2. Der Sonnenwind Der Sonnenwind - Astrophysik Uni

2-01
2. Der Sonnenwind
Abb.2: Korona bei Sonnenfinsternis 1991
Abb.3: Korona-Spektrum
6
Photosphäre Chromosphäre
Konvektionszone
5
4
3
Korona
τ Ross = 2/3
log T/K
Parameter der Sonne:
T eff = 5780 K
R = 700 000 km
M = 2 10 33 g
L = 3.9 10 33 erg/s
log g = 4.44 [cgs]
0
1
2
Höhe [1000 km]
3
Abb.: Temperaturschichtung der
‘‘ ruhigen Sonne’’ (schematisch)
:
2-02
Der Sonnenwind
Abb.: Daten vom SOHO Proton Monitor (‘‘ Space Weather’’)
Geschwindigkeit
Dichte
vth
Winkel zur
Ekliptik
:
2-03
Der Sonnenwind
Abschätzung von v aus Advektion von Kometenschweifen
Winkel zw. Plasma- und Staubschweif
typisch 5 o (Hoffmeister 1943)
Plasmaschweif: Sonnenwind (B)
Staubschweif: Stahlungsdruck
vt typisch 40 km/s Bahngeschw.
sin 5 o = vt /v → v = 400 km/s
Sun
Staub
vt
Pla
sma
v
In-situ-Messungen der Helios-Sonden 1974, 1976
v [km/s]
Richtung
Protonendichte [cm -3 ]
Magnetfeld B [µG]
Winkel von B gegen radial
Temperatur [10 5 K]
- Protonen
- Elektronen
bei 1 AU
bei 0.3 AU
500 - 750
radial
3-4
40 - 60
35 o
500 - 750
radial
20 - 40
250 - 450
10 o
1.5 - 2.5
1.0 - 2.0
4-6
1.5 - 2.5
zitiert nach:
M. Stix:
‘‘The Sun’’
Springer 1989
:
2-04
Der isotherme Sternwind
- eine Vorübung zur Entwicklung der grundlegenden Konzepte
Voraussetzung: Sphärische Symmetrie
r
Bewegungsgleichung für ein Volumenelement am Radius
mit Dichte ρ(r) und Geschwindigkeit v(r) :
Trägheit + Druckgradient + Gravitation = 0
ρ v v′ + p′ + ρ
GM∗
=0
r2
dv
Gestrichene Größen: Gradient, z.B. v′ = dr
beachte: für ein Massenelement gilt (Kettenregel) r̈
Eliminieren von Druck p mit Idealer Gasgleichung:
=
dv
dt
=
dv dr
dr dt
= v′ v
kT
p=ρ
= ρ v2th ← isotherme Schallgeschwindigkeit vth =
AmH
r
Ausdrücken des Gravitationspotentials durch die
Entweichgeschwindigkeit ( escape velocity ) am Radius
r : 12 v2esc =
−→ ρ v v′ + (ρ v2th )′ + ρ
kT
AmH
GM∗
r
1 2
v =0
2r esc
:
2-05
Jetzt Annahme
vth = const.
T = const. (isotherm ):
(ρ v2th )′ = ρ′ v2th
1 2
ρ′ 2
v =0
v v + vth +
ρ
2r esc
′
jetzt noch
ρ′ /ρ durch v ausdrücken mithilfe der Kontinuitätsgleichung
Ṁ = 4π r2 ρ(r) v(r)
(r2 ρ v)′ = 0 → 2rρ v + r2 ρ′ v + r2 ρ v′ = 0
→ ρ (2rv + r2 v′ ) = −ρ′ r2 v
2 v′
ρ′
=− −
→
ρ
r v
Damit wird die Bewegungsgleichung ( ‘‘Euler-Gleichung’’)
!
1
v′ 2
1
v − v2th =
2v2th − v2esc (r)
v
r
2
:
2-06
Rechte Seite = 0 wenn
2vth = vesc , d.h.:
am kritischen Radius rc =
GM∗
ist v(rc ) = vth = Schallpunkt
2v2th
Untersuchung des Linienelements
v′ (r, v) (=Geschwindigkeitsgradient)
v′ = 0 wenn r = rc
v′ = ∞ wenn v = vth
was ist bei r = rc und v = vth ?
v 2v2th − GM∗ /r
v =
r
v2 − v2th
′
(rc , vth ) ist
rv′ 2v2th − GM∗ /r 0
=
=
v
0
v2 − v2th
Am kritischen Punkt
GM∗
rv′ GM∗ /r2
′2
=
→
v
=
v
2vv′
2rc3
′
X type singularity v |rc ,vth
2v3th
=±
GM∗
+
+
-
vth
v
Anwendung der Regel von l’Hopital :
-
r
r
:
2-07
Schlussfolgerungen
es gibt nur eine transsonische Lösung
diese geht durch den kritischen (Schall-)Punkt
v(r) liegt damit überall fest (kein freier Anfangswert)
v(r) durch (numerische) Integration vom kritischen Punkt aus
Massenverlustrate ist frei (beliebige Dichte am inneren Rand)
Abschätzungen für den kritischen Punkt des Sonnewinds
vth = 0.091 km/s
r
T/K
A
-
+
+
-
mit A = mittleres Atomgewicht
vth
v
Sonne : T ≈ 106 K, A ≈ 0.5
→ vth = 130 km/s r
R⊙
Sonne : vesc (r) = 618 km/s
r
aus vesc = 2vth → rc = 5.7 R⊙
r
r
:
2-08
Analogie: Die Laval-Düse ( Rocket Nozzle )
Bewegungsgleichung:
Trägheitskraft + Druckgradient = 0
ρvv′ + p′ = 0
′
′ 2
p
=
ρ
vth
Wieder: ideales Gas und T = const.
ρ′
Jetzt ρ aus Kontinuitätsgleichung mit Querschnitt
ρ(r) v(r) A(r) = const.
′
vv′ = v2th ( vv +
′
A′
)
A
A(r) = π[y(r)]2
(ρ v A)′ = ρ′ v A + ρ v′ A + ρ v A′ = 0
ρ′
v′
A′
=
−
−
ρ
v
A
6
′
v 2
A
(v − v2th ) = v2th
v
A
2
y=r
Schallpunkt: v = vth bei A′ = 0
Isothermer Sternwind als Düse:
A′
= 2r − 2rr2c
Vergleich
A
also: A(r) = r2 exp(2rc /r)
entspr. y(r) = π−1/2 r exp(rc /r)
4
0
-2
-4
-6
0
1
2
r=r
3
4
5
:
2-09
Isothermer Sternwind: Analytische Lösung der Bewegungsgleichung
ρ′
Gleichung von 2-05 oben, für ρ eingesetzt
!
′
v
GM∗
2
v v′ + v2th − −
+ 2 =0
r v
r
!
!
2v2th GM∗
d v2
d
ln
v
2
+ vth −
=
− 2
dr 2
dr
r
r
Integrieren liefert die (nicht analytisch nach
v auflösbare) Lösung:
v2
GM∗
− v2th ln v = 2v2th ln r +
+C
2
r
Die Integrationskonstante C folgt aus dem Wert am kritischen Punkt:
v(rc ) = vth
→ v2th ( 12 − ln vth ) = v2th (2 ln rc + 2) + C
v2
v
r GM∗ 3 2
− v2th ln
− vth
= 2v2th ln +
2
vth
rc
r
2
Für r → ∞ geht die Lösung gegen v(r) ≈ 2vth
q
ln rrc , d.h. v → ∞
:
2-10
Anmerkungen zum isothermen Wind
es gibt nur isotherme Schallwellen (Ausbreitungsgeschwindigkeit vth )
unterhalb des kritischen Punktes können diese auch einwärts
( downstream ) laufen
oberhalb von rc wird alle Information auswärts ( upstream ) advektiert
Das Modell isothermer Wind ignoriert den Energiesatz ( nächste Seite)
Ein adiabatischer Wind kann nicht existieren
- Dichte fällt schneller als r−2
T ∝ ργ−1 = T ∝ ρ2/3
- T fällt schneller als r−4/3
- v2th ∝ r−4/3 fällt schneller
als v2esc ∝ r−1
-
Adiabatische Expansion:
keine Energiezufuhr
p ∝ ργ ; T ∝ ργ−1 ; T ∝ p(γ−1)/γ
mit γ = c p /cV
für einatomige Gase ist γ = 5/3
kritische Bedingung wird nie erreicht
in einem ‘‘polytropen Wind’’ mit T ∝ ρΓ−1 müßte offenbar Γ < 3/2 sein
auch ein polytroper Wind mit Γ = γ braucht Energie-Input für die
kinetische und potentielle Energie
:
2-11
Nicht-isotherme Sternwinde mit Heizung
Energiesatz:
d
(Kinetische Energie
dr
mit v2th = (c p − cV ) T
+ potentielle Energie + Enthalpie h) = Heizung q(r)
und
dh = c p dT =
cp
dv2th
c p −cV
=
γ
dv2
γ−1 th
wird die
!
γ 2 GM∗
d v2
= q(r)
+
v −
Bernoulli − Gleichung
dr 2 γ − 1 th
r
Bewegungsgleichung (vergl. 2-04 unten) jetzt nicht-isotherm
ρ′ 2
1 2
v v + vth + (v2th )′ +
v =0
ρ
2r esc
γ−1
GM∗
′
2 ′
aus der Bernoulli-Gl. folgt (vth ) = γ q(r) − vv − r2
Term
(v2th )′ :
′
einsetzen:
1 1 2
1 ′ ρ′ 2 γ − 1
v v + vth +
q(r) +
v = 0 oder
γ
ρ
γ
γ 2r esc
1 2
√
ρ′ 2
vesc = 0 mit vs = γ vth
v v + vs + (γ − 1)q(r) +
ρ
2r
′
:
2-12
ρ′
Mithilfe von ρ
= − 2r −
v′
v
aus Kontinuitätsgleichung wie gewohnt:
!
1
1
v′ 2
2v2s − v2esc (r) − (γ − 1) q(r)
v − v2s =
v
r
2
Vergleich mit der Bewegungsgleichung des isothermen Windes
( 2-05):
am kritischen Punkt ist v = vs , d.h. die adiabatische
√
Schallgeschwindigkeit vs = γ vth tritt an die Stelle der
isothermen Schallgeschwindigkeit vth
die Heizung
q(r) bewirkt eine einwärts gerichtete Kraft
rc und v(rc ) verändern ihre Werte
:
2-13
Theorie des Sonnenwinds
Heizung der Korona
T etwa 10 6 K
Energiebedarf: ca. 10 -4 L für Chromosphäre, 10 -5 L für Korona
Energiequelle: Wasserstoffkonvektionszone
Transport: akustische Wellen (*) , Alfven-Wellen, elektr. Ströme
(*)
Energie akustischer Wellen ∝ ρ v2A ( vA = Geschwindigkeitsamplitude)
vA nimmt zu
energie-erhaltende Welle auswärts: ρ nimmt ab
wenn vA → vs : Stoßwelle (Schock), Energie dissipiert
Elektrische Leitfähigkeit von Plasma
Strom / Fläche
Def.: Elektrische Leitfähigkeit σ =
[A V -1 m -1 ]
Spannung / Länge
σ = e n µ [Gerthsen-Kneser, Kap. 8.4.1]
mit: e = Ladung der Teilchen
n = Teilchendichte
µ = ‘‘Beweglichkeit’’;
µ = v/E mit v = Driftgeschwindigkeit im el. Feld E
:
2-14
el
für die Beweglichkeit µ gibt es den Drude-Ansatz: µ = 2 m v
th
1
mit der freien Weglänge l = n A , wobei A = Stoßquerschnitt
e2
2
mit Coulomb-Stoßradius rC = 4πǫ kT
bei geladenen Teilchen: A ≈ πrC
0
o
6
A ≈ 10-17 cm2
z.B. bei T = 10 K: rC ≈ 0.1 A
freie Weglänge l ≈ 10 16 cm ≈ 1000 AU !!!
d.h. bei n = 10 cm -3
... alles einsetzen ... n kürzt sich ’raus
σ ∝ T −1/2 T 2 durch vth im Drude-Ansatz und T −2 im Coulomb-Querschnitt
Elektrische Leitfähigkeit von vollständig ionisiertem Wasserstoff:
3/2
σ
−3 T
≈
10
Ω−1 m−1
K
z.B. bei 10 6 K: σ = 10 6 Ω -1 m -1 - vergl. mit Kupfermetall: σ = 6 10 7 Ω -1 m -1
Wärmeleitfähigkeit λ ergibt sich aus der elektrischen Leitfähigkeit σ:
2
λ = σ 3ke2T Wiedemann-Franz-Gesetz [Gerthsen-Kneser 6.4.3]
unter Korona-Bedingungen (nach Spitzer 1962, zitiert bei Stix p. 333)
λ
W K−1 m−1
≈ 0.92 10
−11
T 5/2
K
:
2-15
Die Wärmeleitungs-Korona
Annahmen:
Energiedissipation bei
r = r0
Heizung auf
T0
Abtransport der Energie nur durch Wärmeleitung
Wärmefluss F = −λ T ′ mit λ ∝ T 5/2 ( vorige Seite)
= const.
r2 T 5/2 dT
Flusskonstanz
dr
Integration durch Separation der Variablen :
T 5/2 dT ∝ r−2 dr
T 7/2 ∝ r−1 + const.
!2/7
1
T∝
+ const.
r
Randbedingung innen: ‘‘Kühlung’’ an der Sonnenoberfläche
2/7
T (R⊙ ) ≈ 0
T = T0
→
1−R⊙ /r
1−R⊙ /r0
Randbedingung außen: ‘‘Kühlung’’ im Unendlichen
2/7
T (r = ∞) ≈ 0
→
T = T0
r0
r
vth ∝ T 1/2 ∝ r−1/7 fällt langsamer ab als vesc ∝ r−1/2
Sternwind
:
2-16
Plasma im Magnetfeld
‘‘Eingefrorene’’ Magnetfelder
~ ändert:
Wenn sich Magnetfeld B
E~
~ = − ∂B~
Induktionsgesetz rot E
∂t
Ringspannung πr2 Ḃ
Querschnitt
verteilt auf Kreisumfang 2πr : E = − 12 r Ḃ
1
induziert Stromdichte j = σE = − 2 σr Ḃ (r = 0...R)
RR
R
:
I
=
j dr = − 14 σR2 Ḃ
Strom pro m Schlauchlänge, Radius
r=0
Strom
Magnetfeld (vergl. Spule mit n Windungen: B = µ0 I n )
1
B = − µ0 σ R2 Ḃ
4
→
r2
DGL fuer B(t)
Loesung : B(t) = B0 e−t/τ0 mit τ0 =
Sonnenfleck
Korona
heißes ISM
B~
T/K
R
5000
10 6
10 4
10 4 km
R⊙ ≈ 109 m
1 pc
τ0
1
µ0 σ R2
4
SI: µ0 = 4π 10 -7 V s A -1 m -1
Leitfähigkeit σ siehe vorige Seite
1000 yr
Leitfähigkeiten durch Turbulenz
30 Gyr stark verringert (Steenbeck & Krause 1969)
10 22 yr
:
2-17
Die Alfvén-Bedingung
Maximale Diffusionsgeschwindigkeit geladener Teilchen senkrecht
zu den Feldlinien des B-Feldes: v ≈ R/τ0
Wenn eine Bewegung gegen ein Magnetfeld läuft, gewinnt der Stärkere:
Vergleiche Energiedichten : kinetisch :
1 2 1 2
B > ρv
2µ0
2
−→
1 2
ρv
2
magnetisch :
1 2
B
2µ0
Magnetfeld bestimmt die Bewegung
Diese Bedingung ist in vielen kosmischen Plasmen erfüllt
Korotation
Korotationsgeschwindigkeit am Radius r (Äquator-Ebene): vϕ
Dichte am Radius r aus Kontinuitätsgleichung Ṁ = 4πr2 ρvr
B>
s
= 2πr/Prot
Ṁ = 10−14 M⊙ /yr
vr = 500 km/s
Prot = 25d , vϕ (R⊙ ) = 2 km/s
Sonne:
πµ0 Ṁ
/Prot
vr
−→
Korotation
Korotation für B > 10 -2.5 Gauss
:
2-18
Vergleiche: Messwerte Magnetfeld im Sonnenwind
log B [Gauss]
Prominenzen
Radio-Bursts
bei 1 AU
1 ... 2
0 ... 2
≈ -3.5
35 o
600 km/s
Korotation des Sonnenwindes bis ~ 12 R
konsistent mit Messung in Erdnähe:
vϕ (r = 1 AU) ≈ 1...10 km/s
Korotationsradius
450 km/s
1 AU
- ohne Korotation zu erwarten: 10 m/s
vϕ ∝ r−1 )
(Drehimpulserhaltung
- bei Korotation bis 10 R : 10 2 -fach höher = 1 km/s Abb.: Sektorstruktur des B-Feldes
in der Ekliptik:
- bei Korotation bis 33 R : 10 3 -fach höher = 10 km/s
meist 2 oder 4 Sektoren
Korotierender Bereich:
Feldlinien: radial
~v = Spirale (im Inertialsystem)
radial (mitrotierendes System)
Nicht korotierender Bereich:
Feldlinien: archimedische Spirale
wegen ( vr = const., sin(Winkel) = vϕ /vr
~v = (fast) radial (im Inertialsystem),
Spirale (mitrotierendes System)
:
2-19
Langsamere Strömungen von einem Fußpunkt aus erzeugen korotierende
Störungsmuster ( Corotating Interaction Regions Mullan 1984)
Drehimpuls-Verlust durch Magnetic Braking
spezifischer Drehimpuls eines Massenenementes:
bei Korotation bis 33 R
~j = J/m
~ = ~r × ~v
~j 1000 mal größer als bei 1 R
Abschätzung für die Sonne
grobe Annahme: ~j sei gleichmässig über M verteilt
Ṁ ≈ 10−14 M⊙ /yr
→
J˙ ≈ 10−11 J⊙ /yr
10% Drehimpuls-Verlust in 10 Gyr
Abbremsung der äußeren Schichten
differentielle Rotation
Effekt in jungen Sternen größer (mehr Rotation
stärkeres Magnetfeld) ??
Magnetic Rotator Theory (ausführlich bei Lamers & Cassinelli)
- Korotation erzeugt Zentrifugalkraft
- Lösung von Bewegungs- und Energie-Gleichung zusammen
mit elektrodynamischen Gleichungen (in der Äquatorebene)
liefert einen " kritischen Punkt am ‘‘Alfven-Radius’’ rA ≈ Korotations-Radius
- Sonne ist ein Slow Magnetic Rotator (radiale Komponente kaum beeinflusst)
- Fast Magnetic Rotators können Winde treiben, besonders in Verbindung
mit anderen Kräften ( ‘‘Hybrid Models’’), z.B. Luminous Magnetic Rotators
:
2-20
Wechselwirkung Sonnenwind ./. Interstellares Medium (ISM)
Heliopause : Sonnenwind-Staudruck ~ Druck des ISM, 12 ρv2r ≈ ρISM v2th
von Voyager 1 2003 bei 90 AU (vergl. Pluto ~40 AU) erreicht
shock
Ulysses (1990-): fliegt über die Pole der Sonne;
Sonnenwind zu den Polen ist schneller & dünner
Die Magnetosphäre der Sonne
- endet an der magnetosheath
- Abschirmung kosmischer Strahlung
- theor. weniger wirksam
an den Polen
- von Ulysses so nicht bestätigt
: