ELEKTROMAGNETISCHES FREQUENZSPEKTRUM

Kapitel 12
ELEKTROMAGNETISCHES
FREQUENZSPEKTRUM
Alle elektromagnetischen Wellen breiten sich in Vakuum mit Lichtgeschwindigkeit aus. Radiowellen, Lichtwellen, Röntgenstrahlung ... Unterschied: Frequenz
der Schwingung.
• Im Vakuum gilt λ = c/ν.
• Der sichtbare Teil des elektromagnetischen Spektrums ist nur winziger
Ausschnitt, nämlich der, der beim Durchgang durch die Atmosphäre die
geringste Absorption erfährt.
Frequenz ν
Hz
3 × 1020
3 × 1016
6 × 1014
3 × 1012
3 × 108
1
Art
der Strahlung
Gamma
Wellenlänge
Energie
der Photonen1
1 pm
1 MeV
100 Å
100 eV
500 nm
2.0 eV
100 µm
10 meV
1m
1 µeV
Röntgen
Ultraviolett
Sichtbar
Infrarot
Mikrowellen
Radiowellen
Damit die Energiewerte exakt mit der angegebenen Wellenlänge und Frequenz
übereinstimmen, sind diese Energiewerte mit dem Faktor 1.18 zu multiplizieren.
Aus der Quantentheorie folgt:
• Die elektromagnetische Feldenergie ist gequantelt.
Photonen erscheinen in ganzzahligen Einheiten von E = hν = h̄ω.
• Der Impuls eines einzelnen Photons ist p = h̄k.
101
Strahlungsquellen Quellen und Detektoren in den verschiedenen Frequenzbereichen sind sehr unterschiedlich. Ursache für die Strahlung (Photonen) sind
immer beschleunigte Ladungen.
√
• Radiowellen: LC-Schwingkreis, Thomson Beziehung ω0 = 1/ L C.
• Mikrowellen: Klystron (gepulste Elektronenstrahlen laufen durch Resonatoren und induzieren im geeigneten Hohlraumresonator ein periodisches
B-Feld). Magnetron (Elektronenpaket läuft mit der Zyklotronfrequenz
(siehe Seite 62) an geeigneten gekoppelten Hohlräumen vorbei).
% $ & ' " ( #' )
+
$ ** , ( - $ #
*
!
!
! " #$ " " $
• Infrarot: Rotationsübergänge, Molekülschwingungen (nur bei Molekülen
mit permanentem elektrischen Dipolmoment, z.B. OH, optisch aktive Gitterschwingungen.
• Sichtbarer, naher UV Bereich: elektronische Übergänge in den äußeren
Schalen der Atomhülle.
)
+
!
#
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(
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• UV, Röntgen Bereich: elektronische Übergänge in inneren Schalen (hohe
Kernladungszahl Z erlaubt kurzwelligere Übergänge).
• Röntgen, γ-Bereich: Kernübergänge, Bremsstrahlung (Synchrotron,
Wiggler-Magnet)
• Die Sonne ist über weite Bereiche ein schwarzer Strahler mit T= 6000 K
(siehe folgender Abschnitt). Die Solarkonstante auf der Erdoberfläche ist
etwa 1 kW/m2 , auf die obere Erdatmosphäre treffen etwa 1.4 kW/m2 .
Bandbreite der Strahlung:
• diskrete Strahlung: Emission von Atomen und Molekülen bei nicht zu
hohem Druck (freie Atome), aber auch auch von ungestörten Atomen in
Kristallgittern (tiefe Temperatur) ergeben Linienspektrum.
• kontinuierliche Strahlung: Gase bei hohem Druck oder feste Körper.
12.1
Thermische Strahlung
Das elektromagnetische Feld (Wärmestrahlung) erlaubt den Energieaustausch
eines Körpers mit seiner Umgebung, bis ein Gleichgewicht herrscht. Im Vakuum,
bei Abwesenheit eines direkten mechanischen Kontaktes, ist die Wärmestrahlung
der einzige praktische Weg zum Energiaustausch. Auch wenn das thermische
Gleichgewicht erreicht ist (das bedeutet hier: Körper und Umgebung befinden
sich auf gleicher Temperatur), besteht die Wärmestrahlung weiter. Es kommt
zum Gleichgewicht zwischen der in das elektromagnetische Feld emittierten
und aus dem elektromagnetischen Feld absorbierten Energie. Die Intensität der
Wärmeabstrahlung eines Körpers hängt vom Material und der Beschaffenheit
seiner Oberfläche ab. Wir definieren den Absorptionskoeffizienten
A=
absorbierte Strahlungsleistung
auftreffende Strahlungsleistung
und betrachten zwei Flächen mit As = 1 und A < 1,
die sich in einer ideal verspiegelten Umgebung im
Vakuum befinden. Wir nehmen an, dass sich beide
bei gleicher Temperatur befinden. Die Flächen geben jeweils die Leistung P s und P ab. Die Platte mit As = 1 (“schwarz”) absorbiert den Anteil
P vollständig, die andere Platte nur den Bruchteil
A · P s . Im Gleichgewicht müssen die von den beiden
Platten absorbierten Leistungen gleich sein
!
(12.1)
"
!
"
#$ % & '% ( )* + #% , % '
As · P = A · P s
(12.2)
Asν · Pν = Aν · Pνs
(12.3)
Pν ∝ Eν
(12.4)
Eν
Eνs
= K(ν, T )
=
Asν
Aν
(12.5)
Die Größen
A und P stellen
über das Frequenzspektrum integrierte Größen dar,
!
!
A = Aν dν und P = Pν dν. Da es im obigen Gedankenexperiment zu keiner
Frequenzänderung kommt muß Gl.(12.2) auch für die spektralen Größen gelten:
Mit Eν bezeichnen wir das Emissionsvermögen des Körpers bei der Frequenz
ν. Gemeint damit ist die Leistung, die pro m2 , bei der Frequenz ν im Frequenzbereich von 1 Hz in den Raumwinkel 1 Sterad abgestrahlt wird. Die Leistungsabstrahlung bei einer bestimmten Frequenz ist proportional zum Emissionsvermögen des Körpers bei dieser Frequenz
Damit folgt, dass im thermischen Gleichgewicht, unabhängig vom Material, das
Kirchhoffsche Gesetz gilt
Das Verhältnis von Emissions- zu Absorptionsvermögen eines Körpers bei gegebener Frequenz ν hängt nur von der Temperatur ab. Es stellt sich heraus:
K(ν, T ) ist gleich der spektralen Strahlungsdichte der Hohlraumstrahlung.
Hohlraumstrahlung
Ein Hohlraum der Oberfläche F mit einer kleiner
Öffnung ∆F $ F hat die Eigenschaft, dass eintretende Strahlung vielen Reflexionen (und damit verbunden Absorption) unterliegt und nicht mehr austritt. Das Absorptionsvermögen der kleinen Öffnung
∆F ist damit praktisch gleich Eins A ≈ 1. Eine solche Anordnung nennt man schwarzer Körper.
!
Heizt man den Hohlraum auf, dann wirkt diese Öffnung als eine Strahlungsquelle
mit dem maximalen Emissionsvermögen eines Körpers mit der Temperatur T :
Die austretende Strahlung nennt man Hohlraumstrahlung. Über 800 K ist die
Hohlraumstrahlung sichtbar. Die Erklärung der spektralen Verteilung der
Hohlraumstrahlung war eines der grossen Rätsel am Ende des 19. Jahrhunderts.
Die Lösung erfolgte durch Max Planck.
Die spektrale Energiedichte: w(ν, T ) [J m−3 Hz −1 ] gibt die Strahlungsenergie im Frequenzbereich zwischen ν und ν + dν in !der Volumeneinheit an.
∞
Die spektral integrierte Energiedichte ist w(T ) = 0 w(ν, T ) dν [J m−3 ].
Als Hohlraum betrachten wir einen Würfel aus metallischen Wänden (idealer
Leiter, vollständige Reflexion). An der Oberfläche gilt E|| = 0. Damit gibt es
im Würfel nur stehende Wellen. Diese betrachten wir in einer Dimension und
fragen: “wie viele Perioden finden auf der Länge 2a Platz”
λ1
= 2a = 2a/1
λ2
= a = 2a/2
2
=
a = 2a/3
3
λ3
νn
=
c
n
2a
n ist ganzzahlig (n = 1, 2, 3, . . .) mit der Wellenzahl
kn =
π
2π
= n
λn
a
!
(12.6)
In 3 Dimensionen gibt es die stehenden Wellen mit den Komponenten {kx , ky , kz }
k
=
ν
=
"
π" 2
2π
nx + n2y + n2z
ν = kx2 + ky2 + kz2 =
c"
a
c
c
n2x + n2y + n2z =
R
2a
2a
(12.7)
(12.8)
In einem Koordinatensystem mit kx , ky , kz definiert ein Punkt eine bestimmte im Würfel
unterstützte Eigenfrequenz. Der Wurzelausdruck definiert den Radius eines Kugeloktanden. Alle Eigenfrequenzen im Bereich von ν
bis ν + dν liegen innerhalb einer Kugelschale
mit den Radien R und R + dR.
!
"
) ! "
*
! '(
!
!
! %&
! %&
$
#
Die Anzahl der erlaubten Moden im Bereich von ν bis ν + dν im Volumen V
(Faktor 2 auf Grund der zwei Polarisationsrichtungen):
8πa3
8πV
1
M (ν)dν = 2 4πR2 dR = 3 ν 2 dν = 3 ν 2 dν
(12.9)
8
c
c
Die Modendichte steigt quadratisch mit der Frequenz an. Um die Energie,
die im Strahlungsfeld der stehenden Wellen im Würfel vorliegt zu berechnen,
brauchen wir Auskunft über die Besetzung der Moden bzw. die mittlere
Energie die in jeder Mode steckt. Raleigh und Jeans gingen von dem Gleichverteilungssatz der statistischen Mechanik aus und setzten die mittlere Gesamtenergie pro stehender Welle
&W ' = kT
(12.10)
eine Größe, die unabhängig von der Frequenz ist. Die spektrale Energiedichte
ist gleich der Anzahl der Moden pro Volumseinheit mal der mittleren Energie
pro Mode. Mit (12.9) erhält man für die spektrale Energiedichte
M (ν)
&W ' dν
V
bzw. nach Einsetzen von (12.10)
w(ν, T ) dν =
(12.11)
8πν 2
kT dν ,
(12.12)
c3
das Raleigh-Jeans’sche Gesetz. Die spektrale Strahlungsdichte S(ν, T ), die
aus der kleinen Öffnung des Hohlraumes (im Bild auf Seite 104 oben) in den
rechten Halbraum tritt, wäre demnach
w(ν, T ) dν =
1
4 ν2
c w(ν, T ) = 2 kT
(12.13)
2π
c
(Dimension W/m2 ). Diesen Ausdruck verglich man mit dem Ergebnis von Gleichung (12.5), dem Wert K(ν, T ). Experimentell fand man den Befund von Gl.
(12.13) im Infrarotbereich (also für kleine Frequenzen), allerdings sagt dieses
Gesetzt auch vorher, dass die Strahlungsdichte für hohe Frequenzen (ν → ∞)
unendlich wird, die sogenannte Ultraviolett Katastrophe:
# ∞
(12.14)
w(ν, T ) dν = ∞
S RJ (ν, T ) =
0
Planck (1900) fand, dass sich Übereinstimmung mit dem Experiment erzwingen
läßt, wenn man fordert:

 kT für kleine ν
&W ' →
(12.15)
 0 für ν → ∞
Das erreicht man durch die sogenannte Quantenhypothese
Die Energie einer stehenden Welle mit der Frequenz ν eines Hohlraumstrahlers
kann nicht jeden beliebigen Wert annehmen, sondern nur um diskrete
Energiebeträge ∆E = hν (“Quanten”) erhöht oder erniedrigt werden.
Die Grundannahme bei der Einführung von Energiequanten ist, dass eine Mode
des Strahlungsfeldes nicht kontinuierlich Energie aufnehmen kann, sondern nur
in festen Einheiten von h̄ ω = h ν. Die Energiequanten hängen von der Frequenz
der Mode ab. Die Größe h heisst Planck’sches Wirkungsquantum
h = 6.626 · 10−34 J s
(12.16)
Jede Mode kann im Prinzip beliebig viele Quanten (Photonen) aufnehmen. Eine
Eigenschwingung mit der Frequenz ν trägt die Energie2
WN = N hν
(12.17)
Die Anzahl N ist keine Erhaltungsgröße, sie steigt mit der Temperatur an (neue
Quanten werden geschaffen). Mit Gl.(12.17) und einer Besetzungswahrscheinlichkeit für N gemäß der Boltzmann-Verteilung ergibt sich (aus der statistischen
Physik für ununterscheidbare Bosonen) die mittlere thermische Energie eines
Oszillators der Frequenz ν als
&W (ν)' =
hν
ehν/kT
−1
(12.18)
Mit diesem Mittelwert in (12.11) folgt das Planck’sche Strahlungsgesetz
w(ν, T ) dν =
2 In
8πhν 3
1
dν
c3 ehν/kT − 1
der Quantenmechanik ergibt sich die Formel als WN = (N + 12 ) hν.
(12.19)
Für hν $ kT geht diese Gleichung über in das Raleigh-Jeanssche Gesetz.
Die Dimension von w(ν, T ) ist [Jm−3 Hz −1 ]. Mit der Beziehung λ = c/ν und
dν = dλ c/λ2 ist die Planck’sche Strahlungsformel in Abhängigkeit von der Wellenlänge (Dimension [Jm−3 m−1 ])
w(λ, T ) dλ =
8πhc
1
dλ
λ5 ehc/λkT − 1
(12.20)
Das Wien’sche Verschiebungsgesetz beschreibt die Position des Maximums
der Intensität als Funktion der Temperatur. Sie verschiebt sich mit steigender
Temperatur zu kleineren Wellenlängen.
λmax · T = const = 2.9 [mm K]
(12.21)
Das Maximum liegt bei 545 nm bei T = 5000 K (2.7 µm bei T = 1000 K).
Das Stefan-Boltzmann Gesetz beschreibt die Strahlungsintensität, integriert
über alle Frequenzen (steigt mit der vierten Potenz der Temperatur an)
# ∞
w(T ) =
(12.22)
w(ν, T ) dν ∝ T 4
ν=0
12.2
Energie und Impuls
Offenbar nimmt die Welle vom Sender Energie mit (Strahlungsdämpfung), die
Antenne empfängt sie. Das Strahlungsfeld hat die Energiedichte:
wem =
(
1 ' 2
&0 E + c2 B 2 = &0 E 2
2
(12.23)
Sie wird mit der Geschwindigkeit c in Richtung des Wellenvektors 'k transportiert. Die Energie, die pro Zeiteinheit durch die Flächeneinheit senkrecht zu 'k
transportiert wird, nennen wir Intensität oder Energiestromdichte
I = c wem = c &0 E 2
(12.24)
Für eine linear polarisierte Welle E(z = 0, t) = E0 sin(ωt) ist die Intensität
I(t) = c &0 E02 sin2 (ωt)
(12.25)
zeitlich periodisch. Im zeitlichen Mittel über viele Schwingungsperioden gilt
< I >t =
1
c &0 E02
2
(12.26)
Für zirkular polarisierte Wellen ist die Intensität zeitlich konstant.
Im Vakuum ist die Intensität der elektromagnetischen Welle gleich dem Betrag
des Poynting-Vektors
)
*
' = c2 &0 E
' ×B
'
S
(12.27)
Dieser Vektor gibt die Richtung des Energieflusses (Energie pro Zeiteinheit pro
Fläche, W/m2 ).
Die elektromagnetische Welle trägt nicht nur Energie, sondern auch Impuls. Der
Impuls pro Volumseinheit ist
πem =
I
wem
= 2
c
c
(12.28)
Die Dimension von πem ist gleich
[πem ] →
Impuls
kg m/s
Energie s
=
=
3
3
m
m
m
m3
Die Dimension von wem entspricht der eines Druckes
[wem ] →
Energie
kg m/s2
Kraft
=
=
= Druck
m3
m2
m2
Dieser Strahlungsdruck kann mit einer präzisen Waage vermessen werden. Dies
gelang erstmals Lebedev in Moskau im Jahre 1901. Bei vollem Tageslicht entspricht er der Gewichtskraft von 0.5 mg auf eine Fläche von 1 m2 . Er ist Ursache
für die Form des neutralen Kometenschweifes (weg von der Sonne, nicht entlang
der Kometenbahn) und wird jetzt in einem Sonnensegel Anwendung finden.3
Der Strahlungsdruck spiegelt auch den Impulsübertrag wieder, den ein Photon
bei Emission oder Absorption auf ein Atom überträgt (Laserkühlen).
3 http://solarsails.jpl.nasa.gov
http://www.planetary.org/solarsail/
12.3
Photonen
Lange Zeit gab es einen Streit über die Natur des Lichtes. Newton postulierte
das Partikel-Bild, Huygen das Wellenbild. Nach der Entdeckung der elektromagnetischen Wellen durch Hertz schien das Wellenbild gesiegt zu haben. Aber
die Modellvorstellung des Lichtes als elektromagnetische Welle bedurfte Korrekturen um die UV-Katastrophe (Gleichung 12.14) zu verhindern. Eine Deutung
der Plankschen Idee erfolgte durch Einstein: Die Energie des Lichtes wird nicht
kontinuierlich eingestrahlt, sondern durch einzelne Quanten, Photonen.
Wellenbild und Teilchenbild stehen aber nicht im Widerspruch zueinander. Licht
verhält sich bei bestimmten Erscheinungen wie eine Welle (Interferenz, Beugung), bei anderen wie ein Teilchen (Photoeffekt, Taylor-Experiment).
Die Photonen-Teilchen sind Vermittler der elektromagnetischen Wechselwirkung. Sie haben eine Ruhemasse von Null, breiten sich im Vakuum mit
der Lichtgeschwindigkeit c0 = 3 · 108 m/s aus und tragen die Energie:
W = hν
(12.29)
Formal kann man dem Photon über die Gleichung W = mc2 eine Masse m =
hν/c2 und den Impuls p = mc = hν/c zuordnen. Der Impulsübertrag erfolgt in
Richtung der Photonen Wellenvektors 'k, sodass für den Impuls eines Photons
gilt
p' = h̄'k
(12.30)
Die Intensität einer elektromagnetischen Welle ist im Photonenbild durch die
Anzahl der Photonen N gegeben, die pro Sekunde pro Flächeneinheit eintreffen
I = N hν
(12.31)
Da die Intensität im Wellenbild gleich
I = c&0 E 2
war, gilt für die Abhängigkeit der Feldstärke von der Photonenzahl
+
hν
N
E=
c&0
(12.32)
(12.33)
Die klassische Beschreibung von Licht als elektromagnetische Welle gilt im
Grenzfall großer Photonenzahlen.
Das Taylor-Experiment zeigt eindringlich die Photonenstruktur des Lichtes:
Eine Kugelwelle wird vom Zentrum emittiert,
) ' %' $ %* +' #
mehrere Detektoren befinden sich im Abstand
R. Bei hoher Intensität empfangen alle Detektoren die gleiche Strahlungsleistung. Bei genügend
hohem zeitlichen Auflösungsvermögen und bei
, !
genügend hoher Empfindlichkeit der Detektoren
beobachtet man aber bei sehr kleiner Intensität
ein statistisches Eintreffen der Photonen. Die
! " # $ %& " ' (('
Energie wird nicht gleichmäßig in alle Richtungen
ausgesandt, sondern in diskreten Paketen, die im
Raum statistisch verteilt sind.