em-frequenzspektrum - Fakult at f ur Physik
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Skalen des Spektrums Elektromagnetisches Frequenzspektrum Frequenz ν Hz Art der Strahlung Gamma 3 × 1020 EX-II SS2007 Wellenlänge Energie der Photonen1 1 pm 1 MeV 100 Å 100 eV 500 nm 2.0 eV 100 µm 10 meV 1m 1 µeV Röntgen 3 × 1016 6 × 1014 Ultraviolett Sichtbar Infrarot 3 × 1012 Mikrowellen 3 × 108 Radiowellen 1 Quantenmechanische Aussagen x 0.84 Wirkung Aus der Quantentheorie folgt: • Die elektromagnetische Feldenergie ist gequantelt. Photonen erscheinen in ganzzahligen Einheiten von E = hν = h̄ω. • Der Impuls eines einzelnen Photons ist p = h̄k. Plancksches Wirkungsquant, Plancksche Konstante h = 6.626 · 10−34 Js [Energie] · [Zeit] = [W irkung] [Energie] · [Zeit] = [Impuls] · [Länge] = [Drehimpuls] Die dynamischen Variablen eines Systems (Orts- und Impulskoordinaten, Drehimpulskoordinaten, Energie) kombinieren zu charakteristischen Wirkungsvariablen des Systems. Das Verhalten des Systems wird durch die Größe dieser Wirkung im Vergleich zum Planckschen Wirkungsquant bestimmt. Strahlungsquellen (1) Strahlungsquellen (2) ! Klystron Magnetron gepulste Elektronenstrahlen laufen durch Resonatoren und induzieren dort ein periodisches B-Feld Elektronenpaket läuft mit der Zyklotronfrequenz an gekoppelten Hohlräumen vorbei ωz = e B m Varian 1939 Strahlungsquellen (3) Rotationsübergänge in Molekülen Strahlungsquellen (4) Molekülschwingungen ) ! ( ' Rotationsenergien sind gequantelt Drehimpuls ändert sich nur in ganzzahligen Beträgen von h # $ nur bei Molekülen mit permanentem elektrischen Dipolmoment, z.B. OH, ( ! "# "& * + ! "# "% ! "# "$ Die Wirkung auf jeder stationären Bahn ist gequantelt ! erfeld p dx = nh r-Somm Boh ) % &' &( " Strahlungsquellen (5) Strahlungsquellen (6) elektronische Übergänge Gitterschwingungen longitudinal ”optisch aktiv” Phononen sind quantisierte Kristallwellen transversal Balmer 1884 Sichtbarer, naher UV Bereich: elektronische Übergänge in den äußeren Schalen der Atomhülle. + # * ) En ∝ −Z 2 /n2 ( UV, Röntgen Bereich: elektronische Übergänge in den inneren Schalen (bei hoher Kernladungszahl kurzwelligere Übergänge) $ %& %' -! " # Strahlungsquellen (7) Balmer: lecture to the Naturforschende Gesellschaft in Basel. He first represented the wavelengths of the four visible lines of the hydrogen spectrum in terms of Sonne Fe XV 284 Å Fe14+ Extreme UV Imaging Telescope from SOHO satellite (Solar Heliospheric Observatory) sohowww.nascom.nasa.gov ! 1 1 hν = 13.6 2 − 2 2 m " Die Sonne ist über weite Bereiche ein schwarzer Strahler mit T= 6000 K. Die Solarkonstante auf der Erdoberfläche ist etwa 1 kW/m2 . Bandbreite 400 in ca 100 km Höhe 500 600 700 nm H Hg diskrete Strahlung Blackbody 5900 K Ne Fe XV 284 A Fraunhofer Linien 800 nm 400 fast kontinuierlich Na Erdoberfläche Na bei hohem Druck ! diskret - kontinuierlich: Verbreiterung durch zusätzliche Dämpfungsmechanismen, z. B. Stösse, Wechselwirkung mit Nachbaratomen, “ was das Atom, die Schwingung, die Rotation, ... so erleben, solange sie angeregt sind ” Thermische Strahlung Thermodynamisches Gleichgewicht ! Wärmestrahlung kontrolliert und erlaubt den Energieaustausch eines Körpers mit seiner Umgebung (ohne direkten mechanischen Kontakt oder Kontakt über Gasteilchen) IR-Thermographie erkennt Wärmeverluste, SARS Fieber Erkennung Falschfarbenbilder ! die Dipole, aus denen wir aufgebaut sind, unterliegen der thermischen Bewegung und strahlen Körper und Umgebung befinden sich auf gleicher Temperatur " ! " #$ % & '% ( )* + #% , % ' Im Vakuum: Gleichgewicht zwischen der aus dem EM Feld absorbierten und in das EM Feld emittierten Energie Emissionsvermögen Absorptionskoeffizient relativ zum Emissionsvermögen eines schwarzen Körpers Integrierte Größen A= Pν ∝ Eν ! Aν dν P = ! Pν dν 2-3 µm Leistung, die pro m2 , bei der Frequenz ν im Frequenzbereich von 1 Hz in den Raumwinkel 1 Sterad abgestrahlt wird Pν , Eν A= absorbierte Strahlungsleistung auftreffende Strahlungsleistung spektrale Größen Beispiel für schwarzen Körper Hohlraumstrahlung falsch ! As = 1 schwarzer Körper = kleine Öffnung zu einem Hohlraum ! ! A= absorbierte Strahlungsleistung auftreffende Strahlungsleistung Das Absorptionsvermögen der kleinen Öffnung ∆F ist praktisch gleich Eins, (A ≈ 1). Eine solche Anordnung nennt man schwarzer Körper. Die Öffnung emittiert Hohlraumstrahlung Kirchhoff’sches Gesetz Definition eines schwarzen Körpers : ! " ! As = 1 Kirchhoff’sches Gesetz schwarzer Körper : K(ν, T ) ist gleich der spektralen Strahlungsdichte der Hohlraumstrahlung T! As = 1 - die beiden Körper im Gleichgewicht: Asν · Pν = Aν · Pνs Pν ∝ Eν " #$ % & '% ( )* + #% , % ' Eν Eνs = K(ν, T ) = Asν Aν Das Verhältnis von Emissions- zu Absorptionsvermögen eines Körpers bei gegebener Frequenz ν hängt nur von T ab. Aufheizen eines Hohlraums die beiden Körper im Gleichgewicht: Asν · Pν = Aν · Pνs Pν ∝ Eν Eν Eνs = K(ν, T ) = Asν Aν Das Verhältnis von Emissions- zu Absorptionsvermögen eines Körpers bei gegebener Frequenz ν hängt nur von T ab. spektrale Energiedichte w(ν, T ) [J m−3 Hz −1 ] ! Strahlungsenergie im Bereich zwischen ν und ν + dν in der Volumeneinheit Pλ spektral integrierte Energiedichte Wellenlänge λ µm w(T ) = !∞ 0 w(ν, T ) dν [J m−3 ] Über 800 K ist die Hohlraumstrahlung sichtbar. Die Erklärung lieferte Max Planck. Strahlungsenergie in der Volumeneinheit Modendichte (1) Modendichte (2) λ1 λ2 Würfel aus metallischen Wänden, idealer Leiter, vollständige Reflexion ! λ3 = 2a = 2a/1 = a = 2a/2 2 = a = 2a/3 3 νn = c n 2a ! An der Oberfläche gilt E|| = 0. Damit gibt es im Würfel nur stehende Wellen. Diese betrachten wir in einer Dimension und fragen: “wie viele Perioden finden auf der Länge 2a Platz” An der Oberfläche gilt E|| = 0. Damit gibt es im Würfel nur stehende Wellen. Diese betrachten wir in einer Dimension und fragen: “wie viele Perioden finden auf der Länge 2a Platz” Modendichte (3) Modendichte (4) In 3 Dimensionen gibt es stehende Wellen mit λ1 λ2 λ3 = 2a = 2a/1 = a = 2a/2 2 = a = 2a/3 3 k = ν = ! π! 2 2π ν = kx2 + ky2 + kz2 = nx + n2y + n2z c! a c c n2x + n2y + n2z = R 2a 2a ! νn = c n 2a ! '( ! jeder Punkt definiert eine bestimmte, im Würfel unterstützte Eigenfrequenz n ist ganzzahlig (n = 1, 2, 3, . . .) ! ! %& mit der Wellenzahl kn = " ) ! " * 2π λn = π a n ! # ! %& $ Modendichte (5) Anzahl der erlaubten Moden In 3 Dimensionen gibt es stehende Wellen mit k = ν = Alle Eigenfrequenzen im Bereich von ν bis ν +dν liegen innerhalb einer Kugelschale mit den Radien R und R + dR ! π! 2 2π ν = kx2 + ky2 + kz2 = nx + n2y + n2z c! a c c n2x + n2y + n2z = R 2a 2a ! M (ν)dν ! ) ! " * ! '( = Der Wurzelausdruck definiert den Radius eines Kugeloktanden. = Frequenzen im Bereich ν und ν + dν liegen innerhalb einer Kugelschale mit den Radien R und R + dR ! # ! %& Plancksche Quantenhypothese !W " → " ) ! " * ! '( kT spektrale Energiedichte: für kleine ν 0 für ν → ∞ Das erreicht man durch die sogenannte Quantenhypothese M (ν) !W " dν V ! ! %& ! UV Katastrophe $ # Planck (1900) fand: Übereinstimmung mit dem Experiment lässt sich erzwingen wenn man fordert: ! 8πν 2 w(ν, T ) dν = 3 kT dν c ! ! %& ! Die Anzahl der Moden steigt quadratisch mit der Frequenz an Versuch von Raleigh & Jeans: Gleichverteilungssatz (statistische Mechanik) Jede Mode trägt im Mittel die Energie w(ν, T ) dν = " ) ! " * ! '( $ ! %& ! %& ! Welche Moden sind besetzt ? !W " = kT = " 1 2 4πR2 dR 8 8πa3 2 ν dν c3 8πV 2 ν dν c3 ! %& $ # ! 0 ∞ w(ν, T ) dν = ∞ Die Energie einer stehenden Welle mit der Frequenz ν eines Hohlraumstrahlers kann nicht jeden beliebigen Wert annehmen, sondern nur um diskrete Energiebeträge ∆E = hν (“Quanten”) erhöht oder erniedrigt werden. Plancksches Wirkungsquantum Quantenhypothese: Aber jede Mode kann beliebig viele Quanten (Photonen) aufnehmen eine Mode des Strahlungsfeldes kann nicht kontinuierlich Energie aufnehmen, sondern nur in festen Einheiten N ist keine Erhaltungsgröße, N steigt mit der Temperatur an (neue Quanten werden geschaffen) Wirkungsquantum: h̄ = h ≈ 1 · 10−34 J s 2π Planck’sches Strahlungsgesetz w(ν, T ) dν = Eine Eigenschwingung mit der Frequenz v trägt die Energie WN = N hν E = hν h = 6.626 · 10−34 J s Plancksches Strahlungsgesetz 1 8πhν 3 dν 3 hν/kT c e −1 !W (ν)" = hν ehν/kT − 1 Wien’sches Strahlungsgesetz λmax · T = const = 2.9 [mm K] Gesetz von Stefan-Boltzmann w(T ) = ! ∞ w(ν, T ) dν ∝ T 4 ν=0 10 µm CO2 Laser 300 K Energie des Strahlungsfeldes Energiedichte wem = Impuls des Strahlungsfeldes Impuls pro Volumeneinheit " 1 ! 2 !0 E + c2 B 2 = !0 E 2 2 πem = wem I = 2 c c Intensität (Energiefluss) Dimensionsüberlegungen: I = sem = c wem = c !0 E 2 ! Poynting Vektor Richtung des Energieflusses " ! 2 ! ! ! S = c "0 E × B # ! S [πem ] → Energie s kg m/s Impuls = = m3 m m3 m3 " [wem ] → Energie kg m/s2 Kraft = = = Druck 3 2 m m m2 Strahlungsdruck : Lebedev Strahlungsdruck : Solar Sail http://solarsails.jpl.nasa.gov/ Photonen Langer Streit über die Natur des Lichtes. Newton postulierte das Partikel-Bild, Huygen das Wellenbild. Nach der Entdeckung der elektromagnetischen Wellen durch Hertz schien das Wellenbild gesiegt zu haben. Aber die Modellvorstellung des Lichtes als elektromagnetische Welle bedurfte Korrekturen um die UV-Katastrophe zu verhindern. Eine Deutung der Plankschen Idee erfolgte durch Einstein: Die Energie des Lichtes wird nicht kontinuierlich eingestrahlt, sondern durch einzelne Quanten, Photonen. Wellenbild und Teilchenbild stehen aber nicht im Widerspruch zueinander. Licht verhält sich bei bestimmten Erscheinungen wie eine Welle (Interferenz, Beugung), bei anderen wie ein Teilchen (Photoeffekt, Taylor-Experiment). Photonen Die Photonen-Teilchen sind Vermittler der elektromagnetischen Wechselwirkung. Sie haben eine Ruhemasse von Null, breiten sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit aus und tragen den Impuls: p! = h̄!k Intensität einer elektromagnetischen Welle ist im Photonenbild durch die Anzahl der Photonen gegeben, die pro Sekunde pro Flächeneinheit eintreffen, mal der Energie des einzelnen Photons. I = N hν
