Lernmodul 7 Algorithmus von Floyd

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Lernmodul 7 Algorithmus von Floyd
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Lernmodul 7: Geo-Algorithmen und -Datenstrukturen - Algorithmus von Floyd
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Algorithmus von Floyd Übersicht
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Formulierung/Lösung des Problems
Vorgehen in Kürze
Beispiel zum Ablauf des Floyd
Beschreibung des Algorithmus
Implementierungen
mit Adjazenzmatrix (Pseudo-Code)
unter Mitführung der kürzesten Wege
Ausgabe der kürzesten Wege
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Floyd Formulierung/Lösung des Problems
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Gegeben:Gerichteter Graph G, dessen Kanten mit Zahlen (Kosten, z.B. km oder
min.) beschriftet sind
Bisher: Berechnung der kürzesten Wege von einem Startknoten zu allen anderen
Knoten im Graphen (1:n)
Algorithmus von Dijkstra
"single source shortest path"
Jetzt: Berechnung der kürzesten Wege zwischen allen Paaren von Knoten
"all pairs shortest path"
Lösung:
Iterative Anwendung des Algorithmus von Dijkstra auf jeden Knoten des
Graphen
Besser: Algorithmus von Floyd
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n
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Floyd Vorgehen in Kürze
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Betrachte alle Paare von Vorgängern
und Nachfolgern des aktuellen
Knotens
füge neue direkte Kante ein, wenn
zwischen diesen Vorgänger und
Nachfolger noch keine Kante
existiert
reduziere die Kosten einer Kante,
wenn eine kürzere Verbindung
gefunden wird
Wiederhole diese Betrachung für
jeden Knoten
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Floyd Beispiel zum Ablauf
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Betrachte alle
Vorgänger und
Nachfolger des
aktuellen Knotens
füge ggf. neue direkte
Kante ein
reduziere ggf. die
Kosten einer Kante
Wiederholung für
jeden Knoten
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Floyd Beschreibung des Algorithmus I
Idee: In einem Graphen G mit n Knoten (durchnumeriert von 1 bis n) wird eine Folge
von Graphen G0 bis Gn berechnet. Graph G i entsteht durch Modifikation des Graphen
Gi-1.
Für Gi gilt:
1. Gi hat die gleiche Knotenmenge wie G.
2. Es existiert in Gi eine Kante (v,w) mit den Kosten dist(v,w) <=> es existiert in G
ein Pfad von v nach w, in dem als Zwischenknoten nur Knoten aus der Menge {1,
..., i} verwendet werden. Der kürzeste derartige Pfad hat die Kosten dist(v,w).
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Floyd Beschreibung des Algorithmus II
Es sei G 0 = G. G 0 erfüllt die Definition des G i, Gi wird dann aus Gi-1wie folgt
berechnet:
v1, ..., v r seien die Vorgänger von Knoten i im Graphen G i-1, w1, ..., ws die
Nachfolger. Es werden alle Paare (vj, wk) mit j = 1, ..., r und k = 1, ..., s betrachtet:
1. Falls noch keine Kante von vj nach wk existiert, erzeuge eine Kante (vj,w k). Die
Kosten dieser Kante sind die Kosten des Pfades von vj nach wküber i.
2. Falls schon eine Kante (v j, wk) existiert, werden die Kosten dieser Kante durch die
Kosten des Pfades (v j, wk) ersetzt, falls dist(v j,i)+dist(i,w k) < dist(vj,wk).
Mit vollständiger Induktion läßt sich zeigen, dass G i die Definition erfüllt. In G i-1
waren alle kürzesten Pfade bekannt und durch Kanten repräsentiert, als
Zwischenknoten wurden Knoten aus {1,...,i-1} benutzt. In G i sind alle Pfade über die
Knoten {1,..., i} bekannt, in G n dann die Kosten aller kürzesten Wege in G.
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Floyd Implementierung
Es gibt zwei Möglichkeiten der Implementierung
1. mit der Adjazenzmatrix:
C sei die Kostenmatrix für G
Es gilt C ii = 0 und C ij = 8 , falls es in G keine Kante von Knoten i nach j gibt
>>Pseudo-Code
2. mit Adjazenzlisten:
Es gibt Adjazenzlisten für die Vorgänger- und Nachfolgerknoten
In jedem Schritt werden alle Elemente der Vorgängerliste des Knotens i mit
allen allen Elementen der Nachfolgerliste kombiniert
Für r Vorgänger und s Nachfolger ergibt sich ein Aufwand von O(r s)
Meist wird die Implementierung über die Adjazenzmatrix vorgezogen
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Floyd Implementierung mit Adjazenzmatrix
private floyd (float A [n,n], float C [n,n])
{
int i, j, k;
for ( j = 1; j <= n; j++ )
{
for ( k = 1; k <=n; k++ )
//A: Wege
A[j,k] = C[j,k];
//C: Kanten
}
for( i = 1; i <= n; i++ )
{
for( j = 1; j <= n; j++ )
{
for( k = 1; k <= n; k++ )
{
if ( A[j,i] + A[i,k] < A[j,k] ){
A[j,k] = A[j,i] + A[i,k]; }
} } } }
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Floyd Mitführung der kürzesten Wege
private floyd (float A [n,n], float C [n,n], int W[n,n])
{
int i, j, k;
for ( j = 1; j <= n; j++ )
{
for ( k = 1; k <=n; k++ )
//A: Wege
{ A[j,k] = C[j,k]; W[j,k] = 8; }
//C: Kanten, ggf. ?
}
for( i = 1; i <= n; i++ )
{
for( j = 1; j <= n; j++ )
{
for( k = 1; k <= n; k++ )
{
if ( A[j,i] + A[i,k] < A[j,k] ){
A[j,k] = A[j,i] + A[i,k];
W[j,k] = i ; }
} } } }
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Floyd Ausgabe der kürzesten Wege
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Anhand der Matrizen A und W läßt sich der kürzeste Pfad für zwei beliebige
Knoten in O(m) ausgeben (m = Länge des Pfades)
Beachten Sie:
Die Ausgabeprozedur setzt voraus, dass ein Weg zwischen 2 Knoten x und y
existiert
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Übung:
Wie sehen Sie der Matrix A an, ob ein Weg zwischen 2 Knoten existiert
Allgemeiner: Wie sehen Sie anhand der Matrix A, ob der Graph
zusammenhängend ist
Der Graph ist zusammenhängend, wenn zwischen jedem Paar (a,b) von Knoten
ein Weg existiert
Beachten Sie, dass wir von gerichteten Graphen sprechen, also (a,b) ? (b,a)
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Floyd Ausgabe der kürzesten Weges - Pseudo-Code
public weg(int[][] W,int X,int Y)
{
weg_rekursiv(W,X,Y);
gib Y aus;
}
private weg_rekursiv(int[][] W,int X,int Y)
{
if ( W[X,Y] = 8 )
then gib X aus;
else
{
Z = W[X,Y];
weg_rekursiv(W,X,Z);
weg_rekursiv(W,Z,Y);
}
}
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Algorithmus von Floyd Literatur
Güting, Ralf, Stefan Dieker: Datenstrukturen und Algorithmen. 2. Auflage - B.G.
Teubner, Stuttgart, Leipzig, Wiesbaden, 2003
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