Bells Ungleichung und ``spukhafte Fernwirkungen``

Bells Ungleichung
und “spukhafte Fernwirkungen”
How wonderful that we have met with a paradox.
Now we have hope to make some progress!
Niels Bohr
12. Juli 2012
Charlies Objekte
I
Charlie kann Objekte v0 , v1 , v2 , . . . reproduzierbar und
stationär konstruieren, die auf 4 Eigenschaften Q, R, S, T hin
untersucht (gemessen) werden können.
I
Diese Messungen können sich ausschliessen, d.h., wenn eine
Q-Messung an einem Objekt gemacht gemacht wird, kann
nicht notwendig vorher oder gleichzeitig oder nachher eine
andere Messung gemacht werden — nach einer Messung ist
das gemessene Objekt “verbraucht”.
Messungen und Wahrscheinlichkeiten
I
Die Messergebnisse werden beschrieben durch:
(
+1 falls v die Eigenschaft Q hat,
Q(v ) =
−1 falls v die Eigenschaft Q nicht hat.
I
Die Messergebnisse sind Zufallsvariable bezüglich einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung


Wkeit, dass für ein Objekt v
π(q, r , s, t) = Q(v ) = q, R(v ) = r , S(v ) = s, T (v ) = t gilt


(q, r , s, t ∈ {±1})
Realismus
I
Die Hypothese des Realismus besagt:
Eigenschaften von Objekten, die man reproduzierbar messen
kann, kommen diesen zu, und zwar unabhängig davon, ob die
entsprechende Messung durchgeführt wird.
Charlies Versuchsanordnung
I
Charlie produziert viele Objekte v0 , v1 , v2 , . . . und schickt
v0 , v2 , v4 , . . . an Alice und v1 , v3 , v5 , . . . an Bob
I
I
Alice entscheidet sich beim Empfang von v2i spontan und
rein zufällig, ob sie die Eigenschaft Q oder R messen will; sie
notiert die Messergebnisse.
Bob entscheidet sich beim Empfang von v2i+1 spontan und
rein zufällig, ob er die Eigenschaft S oder T messen will; er
notiert die Messergebnisse.
Lokalität
I
Alice und Bob sind raum-zeitlich weit voneinander entfernt,
und zwar so weit, dass sich die Entscheidungen für die Art der
Messung von v2i bzw. v2i+1 nicht beeinflussen können und
auch nicht die Messergebnisse - das ist die die Hypothese der
Lokalität.
Statistik der Messwerte
I
Nach vielen Messungen kommen Alice und Bob zusammen
und vergleichen ihre Messergebnisse.
I
Sie stellen ein Histogramm dafür auf, wie häufig eine
simultane Messung von Q an v2i (von Alice durchgeführt)
und von von S an v2i+1 (von Bob durchgeführt) die
Kombinationen (Q, S) = (+1, +1) bzw. = (+1, −1) bzw.
= (−1, +1) bzw. = (−1, −1) ergeben hat.
I
Alice und Bob bilden das Produkt ihrer Messwerte, d.h., sie
registrieren, wie häufig ihre Q- und S-Messungen den gleichen
oder einen unterschiedlichen Wert ergeben haben.
Charlie
v0 , v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , . . .
v0 , v2 , v4 , . . .
v1 , v3 , v5 , . . .
Alice
Q
+
R
+
R
+
Q
−
R
+
Q Q
− −
Bob
Q
+
R
−
Q
−
R
+
R
−
S
+
S
−
T
+
T
+
S
+
T
+
T
−
T
−
S
+
Alice+Bob
QS
++
RS
+−
RT
++
QT
−+
RS
++
QT
−+
QS
QT
RS
RT
QT
−−
+
−
−
+
+
−
+
−
QT
+−
+
−
−
RS
−+
−
QS
−−
RT
+−
RT
−+
S
−
T
−
T
+
Statistik der Messwerte
I
Damit können sie den Erwartungswert E (Q · S) der ZV Q · S
(bezüglich π) beliebig genau schätzen. Gleiches machen sie
für die Kombinationen R · S, R · T und Q · T .
I
Damit können sie den Erwartungswert
E (Q·S+R·S+R·T −Q·T ) = E (Q·S)+E (R·S)+E (R·T )−E (Q·T )
beliebig genau berechnen.
Bells Ungleichung
I
Es ist
Q · S + R · S + R · T − Q · T = Q · (S − T ) + R · (S + T ),
I
und da entweder S − T = 0 ist oder S + T = 0, gilt für die
ZV Q · S + R · S + R · T − Q · T immer die Ungleichung
Q ·S +R ·S +R ·T −Q ·T ≤2
I
und dies überträgt sich zwangsläufig auf die Erwartungswerte:
E (Q · S) + E (R · S) + E (R · T ) − E (Q · T ) =
E (Q · S + R · S + R · T − Q · T ) ≤ 2
I
Diese Ungleichung, die für jede lokale und realistische
physikalische Theorie gelten muss nennt man (eine)
Bell-Ungleichung.
Literatur
I
A. Einstein, B. Podolsky N. Rosen Can
quantum-mechanical description of physical reality be
considered complete? Phys. Rev. 47 (1935), S. 777 - 780.
I
N. Bohr, Can quantum-mechanical description of physical
realitiy be considered complete?, (= Erwiderung), in: Physical
Review, 48 (1935), S. 700.
I
J.S. Bell, On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox, Physics,
1964. Die obige Version stammt von
I
J.F. Clauser, M.A. Horne, A. Shimony, R.A. Holt,
Proposed experiment to test local hidden-variable theories,
Phys. Review Letters, 1969, und wird als CHSH-Ungleichung
bezeichnet.
I
Entsprechende Experimente wurden erstmals durchgeführt von
A. Aspect et al., Experimental test of realistic local theories
Phys. Review Letters, 1981.
Quantenversion
I
I
In einer Quantenversion dieses Gedankenexperiments
produziert Charlie viele Bell-Zustände
|00i + |11i
√
β00 =
2
und schickt jeweils deren erstes qubit an Alice und deren
zweites qubit an Bob.
Messungen
I
Alice entscheidet sich spontan und zufällig zwischen den
beiden Messungen
1 0
0 1
Q=Z =
und R = X =
0 −1
1 0
I
Bob entscheidet sich spontan und zufällig zwischen den
beiden Messungen
X +Z
1 1 1
√
√
S =H=
=
2
2 1 −1
X −Z
1 −1 1
√
√
T =X ·H ·X =
=
2
2 1 1
Messungen
I
Man rechnet nach, dass für die Erwartungswerte gilt:
1
hQ ⊗ Si = hR ⊗ Si = hR ⊗ T i = √
2
I
1
hQ ⊗ T i = − √
2
und damit
√
hQ ⊗ Si + hR ⊗ Si + hR ⊗ T i − hQ ⊗ T i = 2 2 > 2
im Widerspruch zur Bell-Ungleichung!
I
Die Quantentheorie ist also nicht zugleich lokal und realistisch!
Details zu den Messungen

1
1 
1
Q ⊗S = √ 

2
1
−1

1 
R ⊗S = √ 
2 1
1
1
−1


−1

1
1
 Q ⊗T = √ 
−1 −1
2
−1 1


1 1
1 
1 −1

R ⊗T = √ 

2 −1
1

1
1
1
−1
−1
1
1
1


−1
−1

1
1


Details zu den Messungen
hQ ⊗ Si = hβ00 |Q ⊗ S|β00 i =
1
(h0|Q|0i h0|S|0i + h0|Q|1i h0|S|1i + h1|Q|0i h1|S|0i + h1|Q|1i h1|S|1i)
} | {z } | {z } | {z } | {z } | {z } | {z }
2 | {z } | {z
√
√
√
√
1
1/ 2
0
0
1/ 2
=
1
2
−1
1/ 2
1
1
√ −0−0+ √
2
2
und analog
1
hQ ⊗ T i = hβ00 |Q ⊗ T |β00 i = − √
2
1
hR ⊗ Si = hβ00 |R ⊗ S|β00 i = √
2
1
hR ⊗ T i = hβ11 |R ⊗ T |β11 i = √
2
−1/ 2
1
=√
2
Spukhafte Fernwirkungen: GHZ-Experiment
(Greenberger-Horne-Zeilinger)
D.M. Greenberger, M.A. Horne, A. Zeilinger, Bell’s
theorem without inequalities, Amer. J. Physics 58 (1990), 1131.
I
GHZ-3-qubit-Zustand
|Ψi =
I
1
(|000i − |110i − |011i − |101i)
2
Herstellung von |Ψi
1
|Ψi = C21 H2 X2 √ (|000i − |111i)
2
= C21 H2 X2 C21 C20 H2 X2 |000i
I
beachte Invarianz bei Permutationen der qubits:
1
|Ψi = C12 H1 X1 √ (|000i − |111i)
2
I
Hadamard-Messungen des GHZ-Zustandes
1
H2 H1 |Ψi = H2 H1 C12 H1 X1 √ (|000i − |111i)
2
1
= (H2 H1 C12 H1 H2 ) H2 X1 √ (|000i − |111i)
2
1
= C21 H2 X1 √ (|000i − |111i)
2
1
= C21 Z2 H2 X2 X1 √ (|000i − |111i)
2
1
= Z2 X1 C21 H2 X2 √ (|000i − |111i)
2
= Z2 X1 |Ψi
wobei (Z ⊗ Id).CNot = CNot.(Z ⊗ Id) und H.Z .H = X
verwendet wurde
I
Hadamard-Messungen des GHZ-Zustandes
H2 H1 |Ψi = Z2 X1 |Ψi
H2 H0 |Ψi = Z2 X0 |Ψi
H1 H0 |Ψi = Z1 X0 |Ψi
I
Folgerung für Messungen
|Ψi 7→ |x2 x1 x0 i
H2 H1 |Ψi 7→
H2 H0 |Ψi 7→
H1 H0 |Ψi 7→
I
|x2H x1H x0 i
|x2H x1 x0H i
|x2 x1H x0H i
mit x0 + x1 + x2 ≡ 0 mod 2
mit x0 + x1H + x2H ≡ 1 mod 2
mit x0H + x1 + x2H ≡ 1 mod 2
mit x0H + x1H + x2 ≡ 1 mod 2
Widerspruch, wenn man “verborgene Variable” postuliert!
Spkuhafte Fernwirkungen: das Hardy-Experiment
L. Hardy, Spooky actions at a distance in quantum mechanics,
Contemporary Physics 39 (1998), 419–429.
I
Albert und Betty besitzen je ein qubit von
1
|Ψiab = √ (3 |00iab + |01iab + |10iab − |11iab )
12
1
= √ (2 |00iab − Ha Hb |11iab )
3
1
= Ha Hb √ (|00iab + |01iab + |10iab )
3
I
Herstellung von |Ψi
1
|Ψi = Ha Hb √ (|00i + |01i + |10i)
3
!
r
r
2
1
Hb |00i +
|10i
= Ha H b
3
3
!
r
r
2
1
= Ha
|00i +
Hb |10i
3
3
" r
!
#
r
2
1
H
= Ha Cab
|0ia +
|1ia ⊗ |0ib
3
3
= Ha Cab H Wa |00iab
wobei W eine
ist mit
q 1-qubit-Transformation
q
W : |0i 7→ 23 |0i + 13 |1i
I
Eigenschaften
1
|Ψi = √ (2 |00i − Ha Hb |11i)
3
1
= √ (3 |00i + |01i + |10i − |11i)
12
1
Ha |Ψi = √ (2 Ha |00i − Hb |11i)
3
1
= √ (2 |00i + |10i + |11i)
6
1
Hb |Ψi = √ (2 Hb |00i − Ha |11i)
3
1
= √ (2 |00i + |01i + |11i)
6
1
Ha Hb |Ψi = √ (2 Ha Hb |00i − |11i)
3
1
= √ (|00i + |01i + |10i)
3
I
Messungen liefern
Ha |Ψi 7→ |01i
1
12
mit Wahrscheinlichkeit 0
Hb |Ψi 7→ |10i
mit Wahrscheinlichkeit 0
Ha Hb |Ψi 7→ |11i
mit Wahrscheinlichkeit 0
|Ψi 7→ |11i
I
mit Wahrscheinlichkeit
Widerspruch, wenn man “verborgene Variable” postuliert!
Die statistische Sicht
I
Albert und Betty besitzen je ein (oder mehrere) qubits
und präparieren wiederholt einen Zustand |Ψi und führen
Messungen durch
I
Statistik der Messergebnisse
pΨ (x, y ) = hΨ| Pxa Pyb |Ψi
I
Falls Albert vor unitäre Transformation Ua und Betty vor
der Messung unitäre Transformation Ub ausführt, wird der
Zustand
|Φi = Ua Ub |Ψi
gemessen
I
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
pΨ (x, y |Ua , Ub ) = hΦ|Pxa Pyb |Φi
= hΨ| Ub† Ua† Pxa Pyb Ua Ub |Ψi
= hΨ|(Ua† Pxa Ua )(Ub† Pyb Ub )|Ψi
I
N.B. Operatoren für Albert und Betty kommutieren
Wegen
X
X
Ua† Pxa Ua = Ua† (
Pxa )Ua = Ua† Ua = 1
x
x
gilt aus der Sicht von Betty
X
pΨ (y |Ua , Ub ) =
pΨ (x, y |Ua , Ub )
x
= hΨ|Ub† Pyb Ub |Ψi = pΨ (y |Ub )
unabhängig von Ua ! Sie kann aus ihren Messungen auch
statistisch nichts über das Verhalten von Albert lernen!
You have nothing to do but mention the quantum theory,
and people will take your voice for the voice of science,
and believe anything.
George Bernard Shaw