Bells Ungleichung und ``spukhafte Fernwirkungen``

Bells Ungleichung
und “spukhafte Fernwirkungen”
20. Juli 2010
Charlies Objekte
I
Charlie kann Objekte v0 , v1 , v2 , . . . reproduzierbar und
stationär konstruieren, die auf 4 Eigenschaften Q, R, S, T hin
untersucht (gemessen) werden können.
I
Diese Messungen können sich ausschliessen, d.h., wenn eine
Q-Messung an einem Objekt gemacht gemacht wird, kann
nicht notwendig vorher oder gleichzeitig oder nachher eine
andere Messung gemacht werden — nach einer Messung ist
das gemessene Objekt “verbraucht”.
Messungen und Wahrscheinlichkeiten
I
Die Messergebnisse werden beschrieben durch:
(
+1 falls v die Eigenschaft Q hat,
Q(v ) =
−1 falls v die Eigenschaft Q nicht hat.
I
Die Messergebnisse sind Zufallsvariable bezüglich einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung


Wkeit, dass für ein Objekt v
π(q, r , s, t) = Q(v ) = q, R(v ) = r , S(v ) = s, T (v ) = t gilt


(q, r , s, t ∈ {±1})
Realismus
I
Die Hypothese des Realismus besagt:
Eigenschaften von Objekten, die man reproduzierbar messen
kann, kommen diesen zu, und zwar unabhängig davon, ob die
entsprechende Messung durchgeführt wird.
Charlies Versuchsanordnung
I
Charlie produziert viele Objekte v0 , v1 , v2 , . . . und schickt
v0 , v2 , v4 , . . . an Alice und v1 , v3 , v5 , . . . an Bob
I
I
Alice entscheidet sich beim Empfang von v2i spontan und
rein zufällig, ob sie die Eigenschaft Q oder R messen will; sie
notiert die Messergebnisse.
Bob entscheidet sich beim Empfang von v2i+1 spontan und
rein zufällig, ob er die Eigenschaft S oder T messen will; er
notiert die Messergebnisse.
Lokalität
I
Alice und Bob sind raum-zeitlich weit voneinander entfernt,
und zwar so weit, dass sich die Entscheidungen für die Art der
Messung von v2i bzw. v2i+1 nicht beeinflussen können und
auch nicht die Messergebnisse - das ist die die Hypothese der
Lokalität.
Statistik der Messwerte
I
Nach vielen Messungen kommen Alice und Bob zusammen
und vergleichen ihre Messergebnisse.
I
Sie stellen ein Histogramm dafür auf, wie häufig eine
simultane Messung von Q an v2i (von Alice durchgeführt)
und von von S an v2i+1 (von Bob durchgeführt) die
Kombinationen (Q, S) = (+1, +1) bzw. = (+1, −1) bzw.
= (−1, +1) bzw. = (−1, −1) ergeben hat.
Charlie
v0 , v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , . . .
v0 , v2 , v4 , . . .
v1 , v3 , v5 , . . .
Alice
Q
+
R
+
R
+
Q
−
R
+
Q Q
− −
Bob
Q
+
R
−
Q
−
R
+
R
−
S
+
S
−
T
+
T
+
S
+
T
+
T
−
T
−
S
+
Alice+Bob
QS
++
RS
+−
RT
++
QT RS
−+ ++
QT
−+
QS
QT
RS
RT
QT
−−
+
−
−
+
QT RS
+− −+
+
− +
+ −
− −
−
QS
−−
RT
+−
RT
−+
S
−
T
−
T
+
Statistik der Messwerte
I
Alice und Bob bilden das Produkt ihrer Messwerte, d.h., sie
registrieren, wie häufig ihre Q- und S-Messungen den gleichen
oder einen unterschiedlichen Wert ergeben haben.
I
Damit können sie den Erwartungswert E (Q · S) der ZV Q · S
(bezüglich π) beliebig genau schätzen. Gleiches machen sie
für die Kombinationen R · S, R · T und Q · T .
I
Damit können sie den Erwartungswert
E (Q·S+R·S+R·T −Q·T ) = E (Q·S)+E (R·S)+E (R·T )−E (Q·T )
beliebig genau berechnen.
Bells Ungleichung
I
Es ist
Q · S + R · S + R · T − Q · T = Q · (S − T ) + R · (S + T ),
I
und da entweder S − T = 0 ist oder S + T = 0, gilt für die
ZV Q · S + R · S + R · T − Q · T immer die Ungleichung
Q ·S +R ·S +R ·T −Q ·T ≤2
I
und dies überträgt sich zwangsläufig auf die Erwartungswerte:
E (Q · S) + E (R · S) + E (R · T ) − E (Q · T ) =
E (Q · S + R · S + R · T − Q · T ) ≤ 2
I
Diese Ungleichung, die für jede lokale und realistische
physikalische Theorie gelten muss nennt man (eine)
Bell-Ungleichung.
Literatur
I
A: Einsten, B. Podolsky N. Rosen Can
quantum-mechanical description of physical reality be
considered complete? Phys. Rev. 47 (1935), S. 777 - 780.
I
N. Bohr, Can quantum-mechanical description of physical
realitiy be considered complete?, (= Erwiderung), in: Physical
Review, 48 (1935), S. 700.
I
J.S. Bell, On the Einstein-Podolsky-Rosen paradox, Physics,
1964. Die obige Version stammt von
I
J.F. Clauser, M.A. Horne, A. Shimony, R.A. Holt,
Proposed experiment to test local hidden-variable theories,
Phys. Review Letters, 1969, und wird als CHSH-Ungleichung
bezeichnet.
I
Entsprechende Experimente wurden erstmals durchgeführt von
A. Aspect et al., Experimental test of realistic local theories
Phys. Review Letters, 1981.
Quantenversion
I
In einer Quantenversion dieses Gedankenexperiments
produziert Charlie viele Bell-Zustände
β11 =
I
|01i − |10i
√
2
und schickt jeweils deren erstes qubit an Alice und deren
zweites qubit an Bob.
Messungen
I
Alice entscheidet sich spontan und zufällig zwischen den
beiden Messungen
Q=Z
I
und R = X .
Bob entscheidet sich spontan und zufällig zwischen den
beiden Messungen
S=
−Z − X
√
2
und T =
Z −X
√ .
2
Messungen
I
Man rechnet nach, dass für die Erwartungswerte gilt:
1
hQ · Si = hR · Si = hR · T i = √
2
I
1
hQ · T i = − √
2
und damit
√
hQ · Si + hR · Si + hR · T i − hQ · T i = 2 2 > 2
im Widerspruch zur Bell-Ungleichung!
I
Die Quantentheorie ist also nicht zugleich lokal und realistisch!
Details zu den Messungen
1 0
0 −1
0 1
R=X =
1 0
−Z − X
1 −1 −1
S= √
=√
2
2 −1 1
Z −X
1
1 −1
T = √
=√
2
2 −1 −1
Q=Z =
Details zu den Messungen

−1
1 
−1
Q ⊗S = √ 

2
1
1

1 
R ⊗S = √ 
2 −1
−1

−1
1
−1
−1
−1
1


1
−1

−1
1



1
1 
−1
Q ⊗T = √ 
2
−1
1

1 
R ⊗T = √ 
2 1
−1

−1
−1
1
−1
−1
−1


1
1

−1
−1


Details zu den Messungen
hβ11 |Q ⊗ S|β11 i =
hβ11 |Q ⊗ T |β11 i =
h01| − h10|
|01i − |10i
√
√
Q ⊗S
2
2
1
1
1
1
√ −0−0+ √
=√
=
2
2
2
2
h01| − h10|
|01i − |10i
√
√
Q ⊗T
2
2
1
1
1
1
=
−√ − 0 − 0 − √
= −√
2
2
2
2
Details zu den Messungen
hβ11 |R ⊗ S|β11 i =
hβ11 |R ⊗ T |β11 i =
h01| − h10|
|01i − |10i
√
√
R ⊗S
2
2
1
1
1
1
0+ √ + √ +0 = √
=
2
2
2
2
h01| − h10|
|01i − |10i
√
√
R ⊗T
2
2
1
1
1
1
=
0+ √ + √ +0 = √
2
2
2
2
Spukhafte Fernwirkungen: GHZ-Experiment
(Greenberger-Horne-Zeilinger)
D.M. Greenberger, M.A. Horne, A. Zeilinger, Bell’s
theorem without inequalities, Amer. J. Physics 58 (1990), 1131.
I
GHZ-3-qubit-Zustand
|Ψi =
I
1
(|000i − |110i − |011i − |101i)
2
Herstellung von |Ψi
1
|Ψi = C21 H2 X2 √ (|000i − |111i)
2
= C21 H2 X1 C21 C20 H2 X2 |000i
I
beachte Invarianz bei Permutationen der qubits:
1
|Ψi = C12 H1 X1 √ (|000i − |111i)
2
I
Hadamard-Messungen des GHZ-Zustandes
1
H2 H1 |Ψi = C12 H1 X1 √ (|000i − |111i)
2
1
= (H2 H1 C12 H1 H2 ) H2 X1 √ (|000i − |111i)
2
1
= C21 H2 X1 √ (|000i − |111i)
2
1
= C21 Z2 H2 X2 X1 √ (|000i − |111i)
2
1
= Z2 X1 C21 H2 X2 √ (|000i − |111i)
2
= Z2 X1 |Ψi
I
Hadamard-Messungen des GHZ-Zustandes
H2 H1 |Ψi = Z2 X1 |Ψi
H2 H0 |Ψi = Z2 X0 |Ψi
H1 H0 |Ψi = Z1 X0 |Ψi
I
Folgerung für Messungen
|Ψi 7→ |x2 x1 x0 i
H2 H1 |Ψi 7→
H2 H0 |Ψi 7→
H1 H0 |Ψi 7→
I
|x2H x1H x0 i
|x2H x1 x0H i
|x2 x1H x0H i
mit x0 + x1 + x2 ≡ 0 mod 2
mit x0 + x1H + x2H ≡ 1 mod 2
mit x0H + x1 + x2H ≡ 1 mod 2
mit x0H + x1H + x2 ≡ 1 mod 2
Widerspruch, wenn man “verborgene Variable” postuliert!
Spkuhafte Fernwirkungen: das Hardy-Experiment
L. Hardy, Spooky actions at a distance in quantum mechanics,
Contemporary Physics 39 (1998), 419–429.
I
Albert und Betty besitzen je ein qubit von
1
|Ψiab = √ (3 |00iab + |01iab + |10iab − |11iab )
12
1
= √ (2 |00iab − Ha Hb |11iab )
3
1
= Ha Hb √ (|00iab + |01iab + |10iab )
3
I
Herstellung von |Ψi
1
|Ψi = Ha Hb √ (|00i + |01i + |10i)
3
!
r
r
2
1
Hb |00i +
|10i
= Ha H b
3
3
!
r
r
2
1
= Ha
|00i +
Hb |10i
3
3
" r
!
#
r
2
1
H
= Ha Cab
|0ia +
|1ia ⊗ |0ib
3
3
= Ha Cab H Wa |00iab
wobei W eine
ist mit
q 1-qubit-Transformation
q
W : |0i 7→ 23 |0i + 13 |1i
I
Eigenschaften
1
|Ψi = √ (2 |00i − Ha Hb |11i)
3
1
= √ (3 |00i + |01i + |10i − |11i)
12
1
Ha |Ψi = √ (2 Ha |00i − Hb |11i)
3
1
= √ (2 |00i + |10i + |11i)
6
1
Hb |Ψi = √ (2 Hb |00i − Ha |11i)
3
1
= √ (2 |00i + |01i + |11i)
6
1
Ha Hb |Ψi = √ (2 Ha Hb |00i − |11i)
3
1
= √ (|00i + |01i + |10i)
3
I
Messungen liefern
Ha |Ψi 7→ |01i
1
12
mit Wahrscheinlichkeit 0
Hb |Ψi 7→ |10i
mit Wahrscheinlichkeit 0
Ha Hb |Ψi 7→ |11i
mit Wahrscheinlichkeit 0
|Ψi 7→ |11i
I
mit Wahrscheinlichkeit
Widerspruch, wenn man “verborgene Variable” postuliert!
Die statistische Sicht
I
Albert und Betty besitzen je ein (oder mehrere) qubits
und präparieren wiederholt einen Zustand |Ψi und führen
Messungen durch
I
Statistik der Messergebnisse
pΨ (x, y ) = hΨ| Pxa Py b |Ψi
I
Falls Albert vor unitäre Transformation Ua und Betty vor
der Messung unitäre Transformation Ub ausführt, wird der
Zustand
|Φi = Ua Ub |Ψi
gemessen
I
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
pΨ (x, y |Ua , Ub ) = hΦ|Pxa Pyb |Φi
= hΨ| Ub† Ua† Pxa Pyb Ua Ub |Ψi
= hΨ|(Ua† Pxa Ua )(Ub† Pyb Ub )|Ψi
N.B. Operatoren für Albert und Betty kommutieren
I
Wegen
X
Ua† Pxa Ua = Ua† (
X
Pxa )Ua = Ua† Ua = 1
x
x
gilt aus der Sicht von Betty
X
pΨ (y |Ua , Ub ) =
pΨ (x, y |Ua , Ub ) = hΨ|Ub† Pyb Ub |Ψi = pΨ (y |Ub )
x
unabhängig von Ua ! Sie kann aus ihren Messungen auch
statistisch nichts über das Verhalten von Albert lernen!