Kapitel I Mechanik

Kapitel I
Mechanik- Teil 2
1
1. WIEDERHOLUNG : KRÄFTE
1
I. Mechanik- Teil 2
Wiederholung : Kräfte
1.1
Wirkungen einer Kraft
Kräfte selbst kann man nicht sehen. Was man sehen kann, sind ihre Wirkungen.
Eine Kraft kann:
• die Bewegung eines Körpers verändern : dynamische Effekte
• einen Körper verformen : statischer Effekt
Ohne Kraft kann keiner dieser Effekte stattfinden und umgekehrt.
1.1.1
Dynamische Wirkungen
Die Bewegung eines Körpers ist verändert, wenn der Betrag der Geschwindigkeit verändert wird
oder die Bewegungsrichtung verändert wird:
• ein Körper, der sich ursprünglich im Ruhezustand befand, wird in Bewegung gesetzt
• ein Körper beschleunigt
• ein Körper verlangsamt
• ein Körper kommt zum Stillstand
• ein Körper ändert seine Bewegungsrichtung
1.1.2
Statische Wirkung
Kräfte können einen Körper auch verformen.
z.B. Verformung einer Getränkedose mit der Hand
1.2
Darstellung einer Kraft
Kräfte werden mit einem Vektor dargestellt. Ein Vektor hat, genau wie eine Kraft, 4 Eigenschaften:
• der Angriffspunkt : der Punkt, an dem die Kraft angreift
• die Wirkungslinie : die Gerade, auf der der Kräftevektor aufliegt
• die Richtung
• der Betrag : die Größe / Intensität der Kraft
2
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1. WIEDERHOLUNG : KRÄFTE
I. Mechanik- Teil 2
Wirkungslinie
Richtung
F~
Angriffspunkt
g
tra
Be
b
Abbildung I.1: Kräftevektor
Achtung !
Das Formelzeichen F~ eines Vektors steht für die Kraft mit all ihren 4 Eigenschaften.
Das Formelzeichen F (ohne Pfeil) bezeichnet nur den Betrag der Kraft F~ : F = ||F~ ||
Man darf also F=3, 2 N schreiben, nicht aber F~ = 3, 2 N.
1.3
SI-Einheit und Messinstrument
Eine Kraft wird mit einem Dynamometer gemessen. Es funktioniert nach dem „Hooke’schen
Gesetz”. Die SI-Einheit des Kräftebetrags ist Newton (N).
3
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2. ZUSAMMENSETZUNG UND ZERLEGUNG VON KRÄFTEN
2
I. Mechanik- Teil 2
Zusammensetzung und Zerlegung von Kräften
2.1
Zusammensetzung von Kräften
Ist ein Körper gleichzeitig mehreren Kräften F~1 , F~2 , ..., F~N ausgesetzt, so ist die Wirkung
die gleiche, die auftritt, wenn der Körper nur einer einzigen Kraft ΣF~ ausgesetzt ist, die man
resultierende Kraft, oder einfach Resultierende nennt.
Die resultierende Kraft, die auf einen Körper wirkt, entspricht der vektoriellen Summe aller
Kräftevektoren, die auf den Körper wirken. Dir Kräfte, aus denen die Resultierende besteht,
werden Teilkräfte genannt.
X
F~ = F~1 + F~2 + ... + F~N
Um die Resultierende ΣF~ von zwei Kräften F~1 und F~2 zu bestimmen, kann man:
• den zweiten Kräftevektor ans Ende des ersten ansetzen. Man erhält die Resultierende
dann, indem man den Angriffspunkt des ersten Vektors mit dem Ende des zweiten Vektors
verbindet:
F~2
F~1
F~1
ΣF~
F~2
Abbildung I.2: Addition zweier Kräfte - 1. Methode
• das Kräfteparallelogramm erstellen:
hierbei handelt es sich um das Parallelogramm, dessen Seiten aus den Teilkräften bestehen. Die Resultierende entspricht dann der Diagonalen dieses Parallelogramms.
4
c Y. Reiser
2. ZUSAMMENSETZUNG UND ZERLEGUNG VON KRÄFTEN
F~1
I. Mechanik- Teil 2
F~1
ΣF~
F~2
F~2
Abbildung I.3: Addition zweier Kräfte - 2. Methode
Achtung !
Im Allgemeinen ist der Betrag der Resultierenden ΣF~ nicht gleich der Summe der Beträge
der Teilkräfte F~1 et F~2 :
||F~1 + F~2 || =
6 ||F1 || + ||F2||
||ΣF~ || =
6 ΣF
Sonderfall: Zusammensetzung von zwei senkrechten Kräften
F~2
ΣF~
F~1
Abbildung I.4: Zusammensetzung von zwei senkrechten Kräften
In diesem Fall kann der Betrag der resultierenden Kraft durch den Satz des Pythagoras bestimmt werden:
p
||ΣF~ || = F1 2 + F2 2
5
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2. ZUSAMMENSETZUNG UND ZERLEGUNG VON KRÄFTEN
I. Mechanik- Teil 2
Sonderfall: Zusammensetzen von zwei Kräften, die die gleiche Richtung haben:
F~1
F~1
F~2
ΣF~
F~2
Abbildung I.5: Zusammensetzung von zwei Kräften gleicher Richtung
Haben beide Kräfte F~1 und F~2 die gleiche Richtung, so entspricht der Betrag der resultierenden
Kraft ΣF~ der Summe der beiden Teilkräfte:
||ΣF~ || = F1 + F2
Sonderfall: Zusammensetzung zweier entgegengesetzten Kräfte:
F~2
ΣF~
F~1
F~1
F~2
Abbildung I.6: Zusammensetzung entgegengesetzter Kräfte
Sind zwei Kräfte F~1 und F~2 entgegengesetzt, so entspricht der Betrag der Resultierenden ΣF~
dem absoluten Wert1 der Differenz der Beträge der beiden Teilkräfte:
||ΣF~ || = |F1 − F2 |
2.2
Zerlegung von Kräften
Eine einzelne Kraft kann auch in zwei (oder mehrere) Teilkräfte zerlegt werden.
F~ = F~1 + F~2
Die Wirkung dieser Teilkräfte zusammen ist gleich der Wirkung der ursprünglichen, einzelnen,
Kraft.
Um die Teilkräfte zu bestimmen, müssen zunächst ihre Richtungen festgelegt werden. Anschliessend wird das Parallelogramm gezeichnet, welches diese Richtungen als Seiten hat und dessen
Diagonale der Kraft F~ entspricht. Die Seiten stellen die Teilkräfte F~1 und F~2 dar.
1
Erinnerung: der Betrag einer Kraft ist immer positiv
6
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2. ZUSAMMENSETZUNG UND ZERLEGUNG VON KRÄFTEN
I. Mechanik- Teil 2
Beispiel :
F~
F~
Zerlegungsrichtungen
F~
F~1
F~2
Abbildung I.7: Zerlegen einer Kraft in 2 Teilkräfte belieber Richtungen
Sonderfall : Zerlegung in zwei senkrechte Teilkräfte:
F~1
F~
α
F~2
Abbildung I.8: Zerlegen einer Kraft in zwei senkrechte Teilkräfte
7
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2. ZUSAMMENSETZUNG UND ZERLEGUNG VON KRÄFTEN
I. Mechanik- Teil 2
Wenn die beiden Teilkräfte senkrecht zueinander sind, kann man ihre jeweiligen Beträge berechnen, wenn man den Betrag der zerlegten Kraft kennt sowie den Winkel α zwischen dieser
Kraft und der Waagerechten:
Auf der Zeichnung erkennt man, dass:
cos α =
F2
⇐⇒ F2 = F · cos α
F
Auf die gleiche Weise erhält man:
sin α =
F1
⇐⇒ F1 = F · sin α
F
8
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3. EINFACHE MASCHINEN
3
I. Mechanik- Teil 2
Einfache Maschinen
Wird ein Körper senkrecht nach oben gehoben, so wirken (wenn man die Reibung vernachlässigt) zwei Kräfte auf ihn:
• die Hubkraft F~0
• die Gewichtskraft F~G
Möchte man den Körper mit konstanter Geschwindigkeit senkrecht nach oben heben, so muss
die resultierende Kraft, die auf diesen Körper wirkt, gleich null sein (ansonsten würde sich
die Bewegung ja als Wirkung der resultierenden Kraft ändern, sprich sie würde schneller oder
langsamer werden oder auch die Richtung ändern).
In dem Fall gilt also:
F~0 + F~G = ~0
⇔ F~0 = −F~G
⇒ F0 = FG
F~0
konstante
Geschwindigkeit
F~G
Abbildung I.9: Last, die mit konst. Geschw. gehoben wird
Die Kraft, mit der ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit senkrecht nach oben gehoben
wird hat also exakt den gleichen Betrag wie der seiner Gewichtskraft.
Will man den Betrag der Hubkraft verringern, so kann man einfach Maschinen zu Hilfe nehmen:
Eine einfache Maschine ist eine elementare mechanische Vorrichtung, mit der man einen
Körper mit verringerter Hubkraft heben kann.
9
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3. EINFACHE MASCHINEN
3.1
I. Mechanik- Teil 2
Schiefe Ebene
Eine schiefe Ebene ist eine ebene Fläche, die zur Waagerechten geneigt ist.
Heben wir eine Last mit Hilfe einer schiefen Ebene auf eine Höhe h:
h
α
Abbildung I.10: Heben einer Last mit einer schiefen Ebene
Bewegt man die Last (auf den folgenden Zeichnungen mit einem Punkt dargestellt) auf der
schieden Ebene, so ist sie 3 Kräften ausgesetzt:
• der Gewichtskraft F~G , die senkrecht nach unten gerichtet ist
• der Zugkaft F~ , die man anwenden muss, um die Last parallel zur Ebene nach oben zu
ziehen
~ die senkrecht zu dieser Oberfläche ist2 .
• der Gegenkraft der Oberfläche R,
~
R
F~
b
α
F~G
Abbildung I.11: Bewegte Last auf einer schiefen Ebene
~ auf
Wechselwirkungsprinzip : die Last drückt gegen die Oberfläche der Ebene. Diese wirkt mit der Kraft R
die Last zurück.
2
10
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3. EINFACHE MASCHINEN
I. Mechanik- Teil 2
Wird die Last mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, so muss die resultierende Kraft, die auf
diesen Körper wirkt, gleich null sein (denn wenn die resultierende Kraft nicht null ist, so kann
die Bewegung der Last nicht gleich bleiben).
Es gilt also:
~ = ~0 (∗)
ΣF~ = F~ + F~G + R
Wir zerlegen die Gewichtskraft F~G in zwei Teilkräfte : F~G = F~G// + F~G⊥ :
• die Teilkraft F~G// , parallel zur Oberfläche der schiefen Ebene
• die Teilkraft F~G⊥ , senkrecht zur Oberfläche der schiefen Ebene
F~G//
b
α
F~G⊥
α
α
F~G
Abbildung I.12: Teilkräfte der Gewichtskraft
In den entstandenen rechtwinkligen Dreiecken gilt:
sin α =
FG//
⇔ FG// = FG · sin α
FG
cos α =
FG⊥
⇔ FG⊥ = FG · cos α
FG
und
Ersetzt man in der Gleichung (*) F~G durch F~G// + F~G⊥ , so erhält man:
~ = ~0
F~ + F~G// + F~G⊥ + R
Die senkrechte Teilkraft des Gewichts, F~⊥ , entspricht dem Teil der Gewichtskraft, mit der
~ mit der die Ebene auf die Last
die Last gegen die schiefe Ebene drückt. Die Gegenkraft R,
~
zurückwirkt, ist F⊥ genau entgegengerichtet (Wechselwirkungsprinzip):
~ = −F~G⊥
R
11
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3. EINFACHE MASCHINEN
I. Mechanik- Teil 2
~ ist also:
Der Betrag von R
R = FG⊥ = FG · cos α
~ = −F~G⊥ in die Gleichung (*) ein, so bleibt:
Setzen wir R
F~ + F~G// = ~0
⇔ F~ = −F~G//
⇒ F = FG//
Um die Last also mit konstanter Geschwindigkeit entlang der schiefen Ebene nach oben zu
heben, muss also eine Zugkraft F~ wirken, deren Betrag genau gleich gross ist wie der Betrag
der parallelen Teilkraft des Gewichts:
F = FG// = FG · sin α
Da 0 < sin α ≤ 1, gilt : F ≤ FG : die Zugkraft, mit der ein Körper mit der schiefen Ebene
gehoben werden kann, ist also kleiner als die Gewichtskraft.
~
R
F~
F~G//
b
α
F~G⊥
α
α
F~G
Abbildung I.13: Last, die mit konst. Geschw. auf einer schiefen Ebene gehoben wird
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3. EINFACHE MASCHINEN
I. Mechanik- Teil 2
Bestimmen wir den Weg x, den die Last zurücklegen muss, um auf die Höhe h zu kommen:
x
h
α
Abbildung I.14: Schiefe Ebene : Zusammenhang zw. Weg und Höhe
Da sin α = hx , erhält man:
x=
h
sin α
Da 0 < sin α ≤ 1, gilt : x ≥ h : der zurückzulegende Weg x ist also grösser als die Höhe h.
Um eine Last mit Hilfe einer schiefen Ebene, deren Neigungswinkel α ist, mit konst. Geschw,
auf eine Höhe h zu heben, wird eine Zugkraft F~ benötigt. Der zurückzulegende Weg ist x.
Es gilt:
F = FG · sin α
x = sinh α
Mit einer schiefen Ebene kann man also die Kraft, die man zum Heben einer Last braucht,
verringern. Der zurückzulegende Weg wird hingegen länger.
3.2
Rollen und Flaschenzüge
Definition:
Eine Rolle (Umlenkrolle) ist ein Rad, das auf einer Achse gelagert ist, und über dessen Rand
ein Seil verläuft.
3.2.1
Feste Rollen
Eine feste Rolle ist eine Rolle, die nicht mit der zu hebenden Last zusammen bewegt wird.
Heben wir eine Last mit einer festen Rolle:
13
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3. EINFACHE MASCHINEN
I. Mechanik- Teil 2
F~
F~G
Abbildung I.15: Last an einer festen Rolle
Beim Heben der Last ist das Seil genau zwei Kräften ausgesetzt (wenn die Reibung vernachlässigt wird):
• F~G , die Gewichtskraft der Last
• F~ , die Zugkraft
Wird die Last mit konstanter Geschwindigkeit gehoben, so bewegt sich auch das Seil mit konst.
Geschwindigkeit. Die resultierende Kraft, die auf das Seil wirkt, muss also gleich null sein:
F~ + F~G = ~0
⇔ F~ = −F~G
⇒
F = FG
Vergleicht man die Zugkraft F~ mit der Kraft F~0 , die man aufwenden muss, um die Last ohne
einfache Maschine zu heben (s.S. 9), so stellt man fest:
• F~ ist F~0 genau entgegegengesetzt
• die zwei Kräfte haben den gleichen Betrag : F = F0 = P
Um die Last auf eine Höhe h zu heben, muss das Seilende den Weg x zurücklegen:out de la
corde d’une distance
14
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3. EINFACHE MASCHINEN
I. Mechanik- Teil 2
x=h
Zusammenfassend gilt:
Eine feste Rolle verändert die Richtung der Kraft, die man aufwenden muss, um eine Last
zu heben. Der Betrag dieser Kraft bleibt jedoch unverändert (verglichen mit dem Betrag
der Hubkraft, die ohne einfache Maschine aufgewendet werden muss). Auch der Weg, der
zurückgelegt werden muss, bleibt unverändert.
3.2.2
Lose Rollen
Eine lose Rolle ist eine Rolle, die zusammen mit der zu hebenden Last bewegt wird.
Hängen wir unsere Last an eine lose Rolle:
T~
T~
F~G
Abbildung I.16: Last an einer losen Rolle
Es wirken 3 Kräfte auf die lose Rolle:
• die Gewichtskraft F~G der Last
• die Spannkraft T~ des linken Seilstücks
• die Spannkraft T~ des rechten Seilstücks
15
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3. EINFACHE MASCHINEN
I. Mechanik- Teil 2
Bemerkung: Die Spannkraft in einem Seil ist an allen Stellen immer gleich gross.
Wird die Last nun wieder mit konstanter Geschwindigkeit gehoben, so bewegt sich auch die
Lose Rolle mit konstanter Geschwindigkeit. Die resultierende Kraft, die auf die lose Rolle wirkt,
muss also gleich null sein.
Also gilt:
T~ + T~ + F~G = ~0
Die Spannung in jedem der beiden Seilstücke beträgt also:
F~G
T~ = −
2
Um die Last mit konstanter Geschwindigkeit zu heben, muss als eine Kraft F~ aufgewendet
werden, die gleich gross ist wie die Spannung in dem Seilstück, welches man anhebt:
F~G
F~ = T~ = −
2
T~
F~
F~G
Abbildung I.17: Anheben einer Last mit einer losen Rollse
16
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3. EINFACHE MASCHINEN
I. Mechanik- Teil 2
Vergleicht man die Zugkraft F~ , die auf das Seilende ausgeübt werden muss, mit der Kraft F~0 ,
die man braucht, um die Last ohne einfache Maschine zu heben (s.S. 9), so stellt man fest:
• F~ hat die gleiche Richtung wie F~0
• der Betrage der Kraft F~ entspricht der Hälfte des Betrags von F~0 : F =
F0
2
=
FG
.
2
Wird die Last auf eine Höhe h gehoben, so muss das Seilende um den Weg x bewegt werden:
x = 2·h
Eine lose Rolle verändert die Richtung der Kraft, die man zum Heben einer Last braucht,
nicht. Der Betrag der anzuwendenden Zugkraft wird halbiert. Der Weg, den das Seilende
zurücklegen muss, ist doppelt so lang wie die Höhe, um die die Last gehoben wird.
3.2.3
Kombination aus loser und fester Rolle
F~
F~G
Abbildung I.18: Kombination aus fester und loser Rolle
Die lose Rolle halbiert den Betrag der anzuwendenden Hubkraft. Die feste Rolle verändert die
Richtung dieser Kraft.
17
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3. EINFACHE MASCHINEN
I. Mechanik- Teil 2
F0
FG
=
2
2
Um die Last auf eine Höhe h zu heben, muss das Seilende um den Weg x bewegt werden:
F =
x = 2·h
3.2.4
Flaschenzüge
Ein Flaschenzug ist eine Kombination aus mehreren Rollen.
Ist die Zahl der tragenden Seilstücke gleich n, so gilt:
F =
F0
FG
=
und x = n · h
n
n
Hebt man eine Last mit einem Flaschenzug, so wird der Betrag der Kraft, die man zum
Heben braucht, durch die Zahl n an tragenden Seilstücke geteilt. Der Weg, den das Seilende
zurücklegen muss, wird mit n multipliziert.
Mit einem Flaschenzug kann also der Betrag der Kraft, die man benötigt, um eine Last zu
heben, verringert werden. Der zurückzulegende Weg hingegen wird länger.
F~
n=
F=
x=
F~G
Abbildung I.19: Flaschenzug : Beispiel 2
18
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3. EINFACHE MASCHINEN
I. Mechanik- Teil 2
F~
n=
F=
x=
F~G
Abbildung I.20: Flaschenzug : Beispiel 3
19
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3. EINFACHE MASCHINEN
I. Mechanik- Teil 2
F~
n=
F=
x=
F~G
Abbildung I.21: Flaschenzug : Beispiel 4
20
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4. DREHMOMENT
4
4.1
I. Mechanik- Teil 2
Drehmoment
Drehsinn
Um den Drehsinn eines Körpers anzugeben, benutzt man in der Physik die trigonometrische
(geometrische) Festlegung der Drehrichtungen.
-
+
Abbildung I.22: Trigonometrischer Drehsinn
Der positive trigonometrische Drehsinn entspricht dem Drehsinn entgegengesetzt der Bewegung
der Zeiger einer Uhr.
Der negative trigonometrische Drehsinn entspricht dem Drehsinn der Zeigerbewegung einer Uhr.
4.2
Einführendes Beispiel
Eine Scheibe kann sich frei um eine horizontale Achse bewegen, die sich in ihrem Zentrum
befindet. Man kann Wägestückchen an verschiedenen Punkten der Scheibe befestigen.
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
m1
b
m2
b
b
b
b
b
Abbildung I.23: Scheibe - Beispiel 1
Beispiel 1:
Wir hängen zwei Wägestückchen der Massen m1 = m2 = 200 g so an die Scheibe, dass ihre
Einhängepunkte sich auf einer waagerechten Linie mit der Drehachse befinden. Die Distanz
zwischen der Achse und jedem der beiden Wägestückchen ist gleich gross (s. Bild I.23).
21
c Y. Reiser
4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
Man stellt fest: lässt man die Scheibe los, so bleibt sie im Ruhezustand. Sie befindet sich also
im Drehgleichgewicht.
Beispiel 2:
Hängen wir das Wägestückchen m2 etwas weiter nach rechts (Bild I.24):
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
m1
b
m2
b
b
b
b
Abbildung I.24: Scheibe - Beispiel 2
Man stellt fest: lässt man die Scheibe los, so beginnt sie, sich in die negative Richtung zu drehen.
Beispiel 3:
Das Wägestückchen m2 wird nun etwas weiter nach links (verglichen mit der Anfangsposition)
eingehängt (s. Bild I.25):
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
m2
b
b
b
b
m1
b
b
b
b
b
b
Abbildung I.25: Scheibe - Beispiel 3
Wir stellen fest: wird die Scheibe losgelassen, so beginnt sie, sich in die positive Richtung zu
drehen.
22
c Y. Reiser
4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
Beispiel 4:
Diesmal wird das Wägestückchen m2 etwas unterhalb der ursprünglichen Position eingehängt.
(s. Bild I.26):
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
m1
b
b
m2
b
b
b
Abbildung I.26: Scheibe - Beispiel 4
Man stellt fest: die Scheibe bleibt im Gleichgewicht, auch wenn sie nicht festgehalten wird.
Beispiel 5:
Im letzten Beispiel wird ein Wägestückchen etwas grösserer Masse (m′2 = 300 g) an die gleiche
Stelle wie ganz zu Beginn eingehängt (s. Bild I.27):
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
bb
b
b
b
b
b
b
b
b
b
m1
b
b
b
b
b
m′2
b
Abbildung I.27: Disque - Situation 5
Man stellt fest: sobald die Scheibe losgelassen wird, dreht sie sich in die negative Richtung.
23
c Y. Reiser
4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
Auswertung:
Fügen den Zeichnungen alle Kräftevektoren hinzu (Massstab : 1 cm=100
ˆ
N).
Im Beispiel 1 üben die Wägestückchen gleich grosse Kräfte auf die Scheibe aus (diese Kräfte
entsprechen ihrem Gewicht F~G1 bzw. F~G2 ). Beide Kräfte haben den gleichen Betrag und die
gleiche Richtung. Die Scheibe befindet sich im Drehgleichgewicht.
In den Beispielen 2 und 3 sind die Kräfte, die auf die Scheibe wirken, immer noch die gleichen.
Da die Scheibe aber nicht mehr im Drehgleichgewicht ist (sie setzt sich in Bewegung), muss die
Entfernung zwischen Kraft und Drehachse eine Rolle spielen.
In Beispiel 4 ist die Entfernung zwischen der Gewichtskraft des Wägestückchens m2 und der
Drehachse grösser als in Beispiel 1. Trotzdem bleibt die Scheibe im Drehgleichgewicht. Es ist
also nicht die Entfernung vom Angriffspunkt der Kraft zur Achse, die einen Einfluss hat.
Die Entfernung zwischen der Wirkungslinie der Kraft ist in beiden Fällen jedoch gleich. Und
in der Tat ist die Entfernung zwischen der Wirkungslinie einer Kraft und der Drehachse die
Grösse, die beachtet werden muss, wenn man die Drehbewegung eines Körpers analysieren will.
Diese Entfernung wird „Hebelarm” genannt.
In Beispiel 5 ist die Entfernung zwischen den jeweiligen Kräften und der Drehachse gleich
gross. Hier hat die Kraft auf der rechten Seite allerdings einen grösseren Betrag! Der Betrag
einer Kraft hat also auch einen Einfluss auf die Drehbewegung einer Scheibe.
Zusammenfassung:
Die Versuche haben gezeigt, dass die Drehwirkung einer Kraft auf einen Körper abhängt von:
• dem Betrag der Kraft
• der Entfernung zwischen der Wirkungslinie der Kraft und der Drehachse
4.3
Der Hebelarm
Definition:
Der „Hebelarm” a einer Kraft F~ zur Drehachse ∆ ist definiert als die Entfernung zwischen
der Wirkungslinie der Kraft und der Drehachse.
Der Hebelarm entspricht der Länge des Segments, der die Drehachse ∆ mit der Wirkungslinie der Kraft verbindet, wenn dieses Segment dabei senkrecht zur Wirkungslinie ist.
SI-Einheit
Da der Hebelarm eine Entfernung, also eine Länge ist, hat er die SI-Einheit Meter (m).
24
c Y. Reiser
4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
Beispiele:
a
∆
∆
~F
a
F~
a
F~
a=0
F~
Abbildung I.28: Beispiele von Hebelarmen
4.4
Das Drehmoment einer Kraft
Definition:
Man bezeichnet als Drehmoment einer Kraft F~ zu einer Drehachse ∆ das Produkt aus dem
Betrag F dieser Kraft und ihrem Hebelarm a. Formelzeichen: M∆ (F~ )
M∆ (F~ ) = ±F · a
SI-Einheit:
Da die SI-Einheit des Betrags einer Kraft Newton ist, die des Hebelarms Meter, ergibt sich als
SI-Einheit des Drehmoments einer Kraft das „Newton Meter” (N · m ou Nm).
Eine Kraft des Betrags F=1 N, deren Hebelarm a=1 m beträgt, übt somit auf einen Körper ein
Drehmoment von M∆ (F~ ) = 1 N · 1 m = 1 Nm aus.
25
c Y. Reiser
4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
Vorzeichen des Drehmoments
Lässt eine Kraft einen Körper in die positive Richtung drehen, so ist ihr Moment ein positives
Drehmoment: M∆ (F~ ) = F · a
Lässt eine Kraft einen Körper in die negative Richtung drehen, so ist ihr Moment ein negatives
Drehmoment: M∆ (F~ ) = −F · a
F~2
a2
a1
∆
F~1
Abbildung I.29: Positives und negatives Drehmoment
Im Beispiel der Zeichnung gilt:
M∆ (F~1 ) = −F1 · a1 (negatives Drehmoment)
M∆ (F~2 ) = F2 · a2 (positives Drehmoment)
Bemerkung: Eine Kraft, deren Wirkungslinie durch die Drehachse verläuft (s. Bild I.28), hat keinen
Hebelarm und übt somit auch kein Drehmoment aus. Eine solche Kraft kann keine Drehbewegung
erzeugen!
4.5
Drehgleichgewicht
Ist die Summer der Drehmomente aller Kräfte, die auf einen Körpern wirken, positiv, so beginnt
der Körper, sich in die positive Richtung zu drehen.
N
X
M∆ (F~i ) > 0 ⇔ Drehung im positiven Drehsinn
i=1
Ist die Summer der Drehmomente aller Kräfte, die auf einen Körpern wirken, negativ, so beginnt der Körper, sich in die negative Richtung zu drehen.
26
c Y. Reiser
4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
N
X
M∆ (F~i ) < 0 ⇔ Drehung im negativen Drehsinn
i=1
Daraus folgt das „Gesetz für das Drehgleichgewicht”:
Ein Körper, der sich um eine Achse drehen kann, ist im Drehgleichgewicht, wenn die Summer
der Drehmomente aller auf ihn ausgeübten Kräfte gleich null ist.
Drehgleichgewicht ⇔
N
X
M∆ (F~i ) = 0
i=1
1 cm=1
ˆ N
1 cm=1
ˆ cm
F~2
a2
a3
a1
∆
F~3
F~1
Abbildung I.30: Drehgleichgewicht
Im Beispiel auf der Zeichnung I.30:
M∆ (F~1 ) = −F1 · a1 = −4 N · 2 cm = −8 N · cm = −0, 08 N · m
M∆ (F~2 ) = +F2 · a2 = 3 N · 1 cm = 3 N · cm = 0, 03 N · m
M∆ (F~3 ) = +F3 · a3 = 2, 5 N · 2 cm = 5 N · cm = 0, 05 N · m
3
X
M∆ (F~i ) = −0, 08 N · m + 0, 03 N · m + 0, 05 N · m = 0
i=1
Der Körper befindet sich also im Drehgleichgewicht!
27
c Y. Reiser
4. DREHMOMENT
4.6
4.6.1
I. Mechanik- Teil 2
Hebel
La loi du levier
Ein Hebel ist ein starrer Körper, der sich um eine Achse drehen kann.
Hängen wir ein Wägestückchen der Masse m=200 g an einen Hebel:
1,5 cm
∆
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
m=200 g
Abbildung I.31: An einem Hebel angehängtes Wägestückchen
Mit dem Dynamometer wird die Kraft gemessen, die nötig ist, um den Hebel im Gleichgewicht
zu halten.
Der Körper übt die Kraft F~1 (gleich seiner Gewichstkraft : F~1 = F~G et F1 = FG ) auf den Hebel
aus. Der Hebelarm dieser Kraft ist a1 .Der Dynamometer übt die Kraft F~0 auf den Hebel aus.
Sein Hebelarm entspricht der Entfernung a0 .
a0
∆
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a1
F~0
F~1
m=200 g
Abbildung I.32: Hebel im Gleichgewicht zweier Kräfte
28
c Y. Reiser
4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
Messen wir den Betrag der Kraft F~0 , die nötig ist, um den Hebel im Gleichgewicht zu halten. Die
Messung wird für verschiedene Einhängepunkte des Wägestücks und auch des Dynamometers
wiederholt. In anderen Worten: die Hebelarme a0 und a1 werden zwischen den Messungen
variiert:
F0(N ) a0 (m) F1 (N ) a1 (m) M∆ (F~0)(N m) M∆(F~1)(N m)
P
M∆ (N m)
Wir stellen fest:
Ein Hebel (genau wie jeder andere drehende Körper) ist dann im Drehgleichgewicht, wenn
die Summe der Drehmomente aller Kräfte, die auf ihn wirken, gleich null ist.
Ist ein Hebel also im Drehgleichgewicht zweier Kräfte F~0 und F~1 , so gilt:
M∆ (F~0 ) + M∆ (F~1 ) = 0
⇔
F0 · a0 − F1 · a1 = 0
⇔
F0 · a0 = F1 · a1
⇔
F0 = F1 · aa01
F0
F1
oder auch :
=
a1
a0
Dies ist das Hebelgesetz !
• ist a0 > a1 , dann gilt F0 < F1 : zum Gleichgewicht muss F0 kleiner sein als F1
• ist a0 = a1 , dann gilt F0 = F1 : zum Gleichgewicht muss F0 gleich gross sein als F1
• ist a0 < a1 , dann gilt F0 > F1 : zum Gleichgewicht muss, F0 grösser sein als F1
29
c Y. Reiser
4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
Beispiele:
a0
a1
∆
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
F~0
b
b
b
F~1
Abbildung I.33: Hebel im Gleichgewicht / a0 = a1 : F0 = F1
a0
a1
∆
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
F~0
F~1
Abbildung I.34: Hebel im Gleichgewicht / a0 = 2 · a1 : F0 =
30
1
2
· F1
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4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
a0
a1
∆
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
F~1
F~0
Abbildung I.35: Hebel im Gleichgewicht / a0 = 21 · a1 : F0 = 2 · F1
4.6.2
Praktische Anwendungen von Hebeln
Im vorigen Versuch war der Hebel im Drehgleichgewicht unter Einfluss der beiden Kräfte F~0
und F~1 .
F~1 ist die Kraft, die der Körper auf den Hebel ausübt. Der Körper reagiert (nach dem Wechselwirkungsprinzip) und übt somit die gleich grosse, aber entgegengesetzte Kraft F~2 auf den
Körper aus : F~2 = −F~1 und F2 = F1 .
F~2 (Hebel auf Körper)
a0
∆
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
b
a1
F~0 (Dynam. auf Körper)
F~1 (Körper auf Hebel)
m=200 g
Abbildung I.36: Kräfte zwischen Körper und Hebel
Nach dem Hebelgesetz;
F1 = F0 · aa10
donc : F2 = F0 · aa10
31
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4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
Ist a0 > a1 , dann gilt F2 > F0 : aus dem Hebel wurde somit ein Kräfteverstärker !
Beispiele :
1. Die Zange:
F~2
Hebe 1
F~0
b
∆
Hebel 2
a0
a1
F~1
Abbildung I.37: Die Zange
Hebel 1 ist im Drehgleichgewicht zweier Kräfte:
• die Kraft F~0 , die ein Benutzer auf den Zangenarm ausübt
• die Kraft F~1 , die der Nagel auf den Zangenschnabel ausübt
Die Kraft F~1 wird vom Nagel auf den Hebel ausgeübt, der Hebel reagiert und übt die
Kraft F~2 = −F~1 auf den Nagel aus. Schlussendlich ist es diese Kraft F~2 , die den Nagel
durchtrennt.
Und da a0 > a1 , F2 > F0 .
32
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4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
2. Öffnen des Deckels eines Farbeimer mit einem Schraubenzieher:
F~2
F~0
b
∆
a0 >> a1 also : F2 >> F0
—FAR BE—
F~1
Abbildung I.38: Öffnen eines Farbeimers mit einem Schraubenzieher
Der Schraubenzieher ist im Drehgleichgewicht zweier Kräfte:
• die Kraft F~0 , die ein Handwerker auf den Griff ausübt
• die Kraft F~1 die der Deckel auf die Spitze ausübt
Der Deckel übt die Kraft F~1 auf die Spitze aus. Die Spitze reagiert und übt die Kraft F~2 =
−F~1 auf den Deckel aus. Schlussendlich ist es diese Kraft F~2 , die den Deckel „aufhebelt”.
3. Heben einer Last mit einer Schubkarre:
33
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4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
F~2
F~0
b
∆
G
F~1 = F~G
b
a0
a1
Abbildung I.39: Schubkarre
Die Schubkarre befindet sich im Drehgleichgewicht zweier Kräfte:
• die Kraft F~0 , die ein Handwerker auf die Griffe ausübt
• die Kraft F~1 , die dem Gewicht der Last auf der Schubkarre entspricht
Die Last übt die Kraft F~1 auf die Schubkarre aus. Diese reagiert und übt die Kraft
F~2 = −F~1 auf die Last aus. Schlussendlich ist es diese Kraft F~2 , die die Last nach oben
hebt.
34
c Y. Reiser
4. DREHMOMENT
I. Mechanik- Teil 2
4. Der Nussknacker:
a0
F~1
a1
Hebel 1
∆
F~0
b
Hebel 2
F~2
Abbildung I.40: Le casse-noisettes
Der Hebel 1 des Nussknackers befindet sich im Drehgleichgewicht zweier Kräfte:
•
•
Die Kraft F~1 wird ausgeübt durch _____________ auf ___________, __________
réagit und übt die Kraft F~2 = −F~1 auf ___________. Schlussendlich ist es diese
Kraft F~2 qui ______________.
Und da a0 > a1 , __________.
35
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