Teil 1 Grundlagen

Teil1
1 Elektrische und magnetische Felder
1
Teil 1 Grundlagen
1 Elektrische und magnetische Felder
1.1 System der Maxwellschen Gleichungen
Grundgleichungen des elektromagnetischen Feldes
Durchflutungsgesetz
Induktionsgesetz
ε: Permittivität
μ: Permeabilität
γ: Konduktivität
r
r r ∂D
rotH = J +
∂t
(1)
r
r
∂B
rotE = −
∂t
(2)
r
div D = ρ
(3)
r
div B = 0
(4)
r
r
D=εE
r
r
B=μH
r
r r r
J = γ E+ v ×B
(
(5)
(6)
)
(7)
1.2 Einführung von Potenzialen
Felder können als Funktion des Ortes und eines Potenzials ausgedrückt werden.
Dabei muss das Potenzial nicht immer physikalisch interpretierbar sein. Es dient
dann nur als Rechengröße. Aus den ermittelten Potenzialverteilungen können wiederum andere interessierende Größen abgeleitet werden.
Elektrisches Skalarpotenzial
r r
∂
Für Gebiete mit rotE = 0 (keine zeitlichen Änderungen
= 0 ) gilt:
∂
t
r
Da rot grad .... ≡ 0 , kann E auch durch den Gradienten eines elektrischen Skalarpotenzials ϕ (bei einfach zusammenhängendem Gebiet) ausgedrückt werden.
r
E = − grad ϕ
(8)
1 Elektrische und magnetische Felder
2
Teil1
Magnetisches Skalarpotenzial
r r
∂
Für Gebiete mit rotH = 0 (keine zeitlichen Änderungen
= 0 ),(außerhalb stromfüh∂t
r
r r
render Bereiche J = 0 ) kann wegen rot grad...≡ 0 ein magnetisches Skalarpotenzial
ϕ m eingeführt werden.
r
H = − grad ϕ m
(10)
Für Probleme, bei denen die zeitunabhängige
Stromverteilung bekannt ist (z.B. Spur
le), kann das magnetische Feld H in zwei
r rAnteile
r zerlegt werden
H = Hp + Hs
r
r
das Potenzialfeld Hp und das Quellenfeld Hs . Wird das Quellenfeld so gewählt, dass
seine Rotation dier Stromdichte ergibt, (also entsprechend dem Biot-Savart’ schen
Gesetz), dann ist Hp also wirbelfrei und damit als Gradient eines skalaren Potenzials
darstellbar.
Magnetisches Vektorpotenzial
Für stromführende Gebiete innerhalb von elektrischen Leitern kann das magnetische
Skalarpotenzial nicht benutzt werden. Hierfür lässt sich ein magnetisches Vektorpotenzial rdefinieren.
r
Wegen div B = 0 und div rot ... ≡ 0 kann formal das magnetische Vektorpotenzial A
eingeführt werden.
r
r
B = rot A
(11)
1.3 Einteilung der Felder
1.3.1 Elektrische Strömungsfelder
Feldausbildung in einem elektrischen Leiter
Sonderfall:
r
r
∂D r ∂B r
keine zeitlichen Änderungen:
=0
=0
∂t
∂t
keine Raumladungen: ρ = 0
Gebiet mit elektrischer Leitfähigkeit: γ ≠ 0
r
r
r
Mit div D = 0 und D = εE erhält man
r
und mit E = − grad ϕ
r
div εE = 0
div grad ϕ = 0
bzw.
Δϕ = 0
r r
v=0
Teil1
1 Elektrische und magnetische Felder
3
Elemente, die Felder dieses Typs beschreiben können, müssen den Freiheitsgrad
elektrisches Skalarpotenzial ϕ (in ANSYS Volt) haben und die Materialeigenschaft
elektrische Leitfähigkeit (in ANSYS spezifischer elektrischer Widerstand rsvx,
rsvy, rsvz) erlauben. (solid5,9 plane67 link68 solid69 solid98
shell157)
1.3.2 Elektrostatische Felder
Feldausbildung im Nichtleiter
Sonderfall:
r
r
∂D r ∂B r r r
=0
=0 v=0
keine zeitlichen Änderungen:
∂
t
∂
t
r r
keine Ströme: J = 0 Feldausbildung im Nichtleiter
r
r
r
Mit div D = ρ , D = ε E erhält man
r
und mit E = − grad ϕ
r
div εE = ρ
div grad ϕ = −
Δϕ = −
ρ
ε
ρ
ε
Elemente, die Felder dieses Typs beschreiben können, müssen den Freiheitsgrad
elektrisches Skalarpotenzial ϕ (in ANSYS Volt) haben und die Materialeigenschaft
Permittivität (in ANSYS perx, pery, perz) erlauben. Die elektrische Ladung wird
über chrg und die Verschiebungsflussdichte über d erreicht. (plane121
solid122 solid123)
1.3.3 Magnetostatische Felder
r r
Feldausbildung außerhalb stromführender Bereiche ( J = 0 )
r
r
∂D r ∂B r
Sonderfall: keine zeitlichen Änderungen:
=0
=0
∂
t
∂
t
r
r
r
Mit div B = 0 und B = μ H erhält man
r
div μH = 0
r
und H = − grad ϕ m
div μ grad ϕ m = 0
Δϕ m = 0
r r
v=0
4
1 Elektrische und magnetische Felder
Teil1
Elemente, die Felder dieses Typs beschreiben können, müssen den Freiheitsgrad
magnetisches Skalarpotenzial ϕm (in ANSYS mag) haben und die Materialeigenschaft Permeabilität (in ANSYS murx, mury, murz) erlauben. Der magnetische
Fluss wird über flux und die Magnetflussdichte über b erreicht. (solid5,10 solid96 solid98,10 source36)
1.3.4 Quasistationäre elektromagnetische Felder
Feldausbildung in Bereichen mit Stromverdrängung
r
∂D
zeitliche Änderungen: J >>
∂t
r r
r
r 1 r r
Mit rot H = J , H = B , B = rot A ergibt sich
μ
r r
1
rot rot A = J
μ
Sonderfall:
Zusätzlich wird durch die Coulomb-Eichung
r
div A = 0 .
r
r
r
Mit der Vektoridentität rot rot A = grad div A − ΔA und der Coulomb-Eichung ergibt
sich
r
r
ΔA = −μ J .
Elemente, die Felder dieses Typs
r beschreiben können, müssen den Freiheitsgrad
magnetisches Vektorpotenzial A (in ANSYS ax, ay, az) haben und die Materialeigenschaft Permeabilität (in ANSYS murx, mury, murz) erlauben. Die Magnetflussdichte wird über b erreicht. (plane13,0
plane53,0
solid97,0
solid117,0)
Alle diese Elemente haben zusätzlich die Möglichkeit, den Freiheitsgrad des elektrischen Skalarpotenzials zu aktivieren, um rationell unterschiedliche Bereiche (Leiter,
Nichtleiter) berechnen zu können.
Teil1
2 Finite-Elemente-Methode
5
1.3.5 Wellenfelder
Feldausbildung ohne Einschränkungen
Elemente, die Felder dieses Typs
beschreiben können, müssen den Freiheitsgrad
r
magnetisches Vektorpotenzial A (in ANSYS az) haben und die Materialeigenschaften Permeabilität (in ANSYS murx, mury, murz), Permittivität (in ANSYS perx,
pery, perz), Konduktivität (elektrische Leitfähigkeit) (in ANSYS spezifischer elektrischer Widerstand rsvx, rsvy, rsvz) erlauben. Die Feldstärken werden über
ef (elektrische Feldstärke) bzw. h (magnetische Feldstärke) erreicht. (hf118
hf119 hf120)
2 Finite-Elemente-Methode
2.1 Grundprinzip
Das Finite-Elemente-Verfahren läuft in folgenden Schritten ab:
• Diskretisierung des zu berechnenden Feldgebietes
Innerhalb der Diskretisierung wird das zu berechnende Feldgebiet in einzelne
Elemente (Dreiecke, Vierecke, Tetraeder, quaderähnliche Gebilde) zergliedert.
An den Ecken (und gegebenenfalls in den Seitenmitten) werden Knoten festgelegt. Diese Knoten gehören auch zu den Nachbarelementen.
• Approximation des Potenzials innerhalb eines Elements
Für jedes Element ist nun eine Potenzialverteilungsfunktion zu finden, für die
ein Funktional X ein Extremum wird. Als Funktional für das elektrostatische Feld
eignet sich die im Feld gespeicherte elektrische Energie. Sie stellt sich in der
Natur so ein, dass sie bei vorgegebenem Potenzial auf dem Rand ein Minimum
wird. Zum Auffinden der Potenzialfunktion wird ein Ansatz gemacht. Die Konstanten des Ansatzes werden dann durch die Knotengeometrie und die Knotenpotenziale ausgedrückt. Unterschiedliche Ansatzfunktionen liefern unterschiedliche Genauigkeit der Lösung.
• Ermittlung der Elementgleichungen
Mit den so gewonnenen Ausdrücken werden dann beispielsweise mit der Variationsrechnung Bestimmungsgleichungen für die unbekannten Potenziale ermittelt, unter denen die Energie (das Funktional X) ein Minimum wird.
• Ermittlung der Systemgleichung
Da jedes Element auch über die Knotenpotenziale gekoppelte Nachbarelemente besitzt, muss das Gesamtfunktional aus der Summe aller Elementfunktionale gebildet werden. Das Minimum wird durch Differentiation und Nullsetzen
des Systemfunktionals gefunden.