MC-Blatt - TUM - Zentrum Mathematik - M9

Technische Universität München, Zentrum Mathematik
Lehrstuhl für Angewandte Geometrie und Diskrete Mathematik
Propädeutikum Diskrete Mathematik
(MA 1501, MA 1503), WiSe 2014/15
Dr. René Brandenberg
Multiple-Choice-Blatt 1
Aufgabe 1.1
ja nein
2 2
a) Ein einfacher ungerichteter Graph ist eine symmetrische, irreflexive Relation.
b) Jeder Graph mit mindestens zwei Knoten hat zwei Knoten gleichen Grades.
2
2
2
2
2
2
2
c) Jeder bipartite Graph mit mindestens vier Knoten hat drei Knoten gleichen Grades.
d) Jeder bipartite Graph G = (V, E) mit |E| ≥ 1 hat chromatische Zahl 2.
e) Kein Graph mit n Knoten und n2 /3 Kanten ist 2-färbbar.
2
f) Kein Graph mit n Knoten und n2 /3 Kanten ist 3-färbbar.
2
2
Aufgabe 1.2
a) Sei H ⊂ G mit |V (H)| = |V (G)|. Dann gilt: Ist H zusammenhängend, dann
kann H durch Löschen von Kanten zu einem aufspannenden Baum in G gemacht
werden.
wahr falsch
2
2
b) Sei G ein Graph ohne isolierte Knoten. Dann kann jeder kreisfreie Subgraph in G
durch Hinzufügen von Kanten aus G zu einem aufspannenden Baum in G erweitert
werden.
2
2
c) Sei G = (V, E) ein Graph mit mindestens
drei Knoten, und seien x, y zwei Knoten
in G. Wenn für alle {x0 , y 0 } ∈ V2 \ {x, y} genau ein x0 , y 0 -Weg in G existiert, dann
ist G ein Baum.
2
2
Dann existieren aber mindestens drei w, w0 -Wege, zwei auf dem Kreis
Aufgabe 1.3
Sei G = (V, E) ein Graph, M1 , M2 seien Matchings in G mit |M2 | = |M1 | + 2.
a) Jeder inklusionsmaximale Weg im Graphen G0 = (V, M1 4 M2 ) ist ein M1 augmentierender Weg.
b) Es gibt immer mindestens zwei M1 -augmentierende Wege in G.
c) Es gibt immer genau zwei M1 -augmentierende Wege in G.
Bitte wenden!
wahr falsch
2
2
2
2
2
2
Aufgabe 1.4
Es sei G = (V, E) ein ebener Graph auf n Knoten. Dann gilt immer:
a) G ist 5-färbbar.
b) G hat einen Knoten vom Grad kleiner oder gleich 4.
c) G enthält keine Unterteilung des K5,3 .
d) Ein ebener Graph mit n ≥ 3 Knoten besitzt höchstens 2n − 4 Gebiete.
wahr falsch
2
2
2
2
2
2
2
2
Aufgabe 1.5
ja nein
2 2
a) Eine symmetrische, transitive Relation ist reflexiv.
b) Der Schnitt zweier Relationen R1 , R2 ⊂ M × M ist wieder eine Relation.
c) Die Vereinigung zweier Relationen R1 , R2 ⊂ M × M ist wieder eine Relation.
d) Der Schnitt zweier partieller Ordnungen R1 , R2 ⊂ M × M ist wieder eine partielle
Ordnung.
e) Die Vereinigung zweier partieller Ordnungen R1 , R2 ⊂ M × M ist wieder eine partielle
Ordnung.
f) Die Mehrzahl aller binären Relationen über einer nicht-leeren Menge M sind Funktionen.
g) Ist R eine partielle Ordnung und K eine Kette in R, dann gibt es eine Antikette A,
sodass |K| = |A|.
h) Ist R eine partielle Ordnung, K eine Kette und A eine Antikette in R, dann gilt
|K ∩ A| ≤ 1
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
Aufgabe 1.6
a) Weniger als die Hälfte aller Funktionen f : [23] → [365] sind injektiv.
b) Für alle A, B gilt: es gibt genauso viele Funktionen f : A → B wie f : B → A.
. . . Fortsetzung auf der nächsten Seite . . .
wahr falsch
2
2
2
2
Aufgabe 1.7
a) 30 Studierende und 5 Tutoren sollen sich in eine Reihe stellen. Wie viele Möglichkeiten gibt es,
wenn keine zwei Tutoren nebeneinander stehen sollen?
30
30! 5!
5
31
30! 5!
5
2
35
30! 5!
5
2
2
b) Zu einer Wahl treten k (unterscheidbare!) Kandidaten an. Es werden n gültige Stimmen abgegeben.
Wie viele mögliche Ausgänge gibt es?
n+k−1
k
2
n+k−1
n
2
n+1
k−1
2
n+1
k
2
c) Es sei n ∈ N. Wie viele Anordnungen von [2n] gibt es, sodass keine zwei ungeraden Zahlen
nebeneinander stehen?
2n
n
2 (n!)2 2
3n−1
n
d) Wie viele nicht-leere 0-1-Folgen der Länge höchstens n gibt es?
2
2(n!)2 2
2n 2 2n+1 − 2 2
n!(n + 1)! 2
2n+1 2
n2n 2
e) Eine Fahrschule hat 20 Fahrschülerinnen und 20 Fahrschüler sowie 5 Fahrlehrerinnen und 5
Fahrlehrer. Jede Lehrkraft soll eine nicht-leere Gruppe von Schülerinnen bzw. Schülern bekommen,
die das gleiche Geschlecht wie die Lehrkraft haben. Wie viele verschiedene Zuteilungen gibt es?
(Menschen seien unterscheidbar.)
2 · 5!S20,5 2
(S20,5 )2 2
(5!S20,5 )2 2
(10!)S40,10 2
Sie möchten die vier Wände eines quadratischen Zimmers streichen, jede einzelne Wand in einer
Farbe. Hierzu stehen Ihnen fünf verschiedene Farben zur Verfügung. Wie viele Möglichkeiten gibt es,
das Zimmer farblich zu gestalten, wenn man annimmt, dass die Wände unterscheidbar sind (d.h. die
Kombinationen „rot-grün-blau-gelb“ und „grün-blau-gelb-rot“ sollen unterscheidbar sein), falls
5
2
f) vier verschiedene Farben verwendet werden sollen.
g) die Farben gegenüberliegender Wände gleich sein soll.
h) maximal drei Farben verwendet werden sollen.
Bitte wenden!
34 2
52 2
2
5
2
54 − 5! 2
54 2
2
5
2
5! 2
· 2! 2
5 · 4 · 32 2
Aufgabe 1.8
a) Jede Verteilung von unterscheidbaren Bällen auf unterscheidbare Körbe entspricht
einer Funktion (die die entsprechende Zuordnung beschreibt).
b) Jede Verteilung von unterscheidbaren Bällen auf nicht unterscheidbare Körbe
entspricht einer injektiven Funktion.
c) Eine surjektive Abbildung kann als Verteilung von unterscheidbaren Bällen auf
unterscheidbare Körbe aufgefasst werden, bei der kein Korb leer bleiben darf.
d) Das Zählen von Teilmengen entspricht dem Werfen von nicht unterscheidbaren
Bällen in unterscheidbare Körbe, sodass in jedem Korb maximal ein Ball landet.
e) Das Zählen von Multimengen entspricht dem Werfen von nicht unterscheidbaren
Bällen in unterscheidbare Körbe.
wahr falsch
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2