MSG-Hausaufgaben Serie 16

MSG-Hausaufgaben Serie 16
Abgabe: 18.02.2015
Lucas Mann
Aufgabe 1. Überprüfe, ob die folgenden Aussagen richtig sind. Wenn ja, beweise sie, wenn nein,
zeichne ein Gegenbeispiel.
a) Jedes Quadrat ist ein Sehnenviereck.
b) Ein Sehnenviereck mit zwei rechten Winkeln ist ein Quadrat.
c) Es gibt ein Trapez1 mit einem Umkreis.
d) Jedes Drachenviereck2 ist ein Sehnenviereck.
e) Eine Diagonale im Sehnenviereck zerlegt dieses in zwei flächengleiche Dreiecke.
f) Gegeben sei ein Kreis. Dann hat jedes Sehnenviereck, dessen Eckpunkte auf diesem Kreis liegen, den gleichen Umfang.
Aufgabe 2. Beweise den Satz des Thales:
Satz. Seien A und B zwei verschiedene Punkte und sei C ein Punkt auf dem Kreis mit Durchmesser
AB . Dann hat das Dreieck 4ABC einen rechten Winkel bei C .
C
A
M
B
Tipp: Zeichne eine geeignete Hilfslinie ein und benutze, dass in einem gleichschenkligen Dreieck die Basiswinkel gleich groß sind.
Aufgabe 3. Von einem Sehnenviereck äABC D mit dem Umkreismittelpunkt M ist bekannt:
• Die Größe des Innenwinkels ∠B AD beträgt 80◦ .
• Die Größe des Winkels ∠M AD beträgt 30◦ .
• Die Größe des Winkels ∠B MC beträgt 70◦ .
Berechne alle Innenwinkel des Vierecks äABC D. Gehe dabei wie folgt vor:
a) Fertige eine Skizze an und trage alle Winkel ein.
b) Berechne die Größe des Innenwinkels ∠DC B mit deinem Wissen über Sehnenvierecke.
1 Ein Trapez ist ein Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind.
2 Ein Drachenviereck ist ein Viereck, das symmetrisch bezüglich einer Diagonale ist.
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c) Berechne die Größe des Innenwinkels ∠C B A. Suche dir dafür geeignete gleichschenklige Dreiecke und verwende, dass die Basiswinkel eines gleichschenkligen Dreiecks gleich groß sind.
d) Berechne die Größe des Innenwinkels ∠ ADC .
Hinweis: Es darf ohne Beweis angenommen werden, dass M im Inneren des Vierecks äABC D
liegt.
Zusatz
Aufgabe 4. Dir sei die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks bekannt. Beweise damit die
Formel für den Flächeninhalt eines Dreiecks.
Tipp: Zeichne auf geschickte Weise ein Rechteck um das Dreieck.
Aufgabe 5. Aus Serie 15, Aufgabe 4, kennen wir Hilberts Hotel: das ist ein Hotel mit unendlich
vielen Zimmern, nummeriert mit 1, 2, 3, . . .
Nachdem das bereits volle Hotel mit Mühe und Not einen weiteren Gast (den müden Wanderer) untergebracht hatte, fährt wenig später ein großer Reisebus die Einfahrt herauf. Der Reiseleiter
betritt das Hotel und fragt an der Rezeption, ob denn noch ein paar Plätze in dem Hotel frei wären, um seine Reisegruppe unterzubringen. Der Rezeptionist möchte gerade ablehnen (denn das
Hotel ist ja bereits voll belegt), da unterbricht ihn der Hoteldirektor prompt und sagt: „Natürlich
finden wir noch Platz für Ihre Reisegruppe. Geben Sie mir ein paar Minuten, dann ist für jeden ein
Zimmer frei.“
Wie bei dem müden Wanderer sei es dem Hoteldirektor gestattet, die Gäste des Hotels zu bitten,
in ein anderes Zimmer zu wechseln (jeder Gast muss aber eine eindeutige neue Zimmernummer
zugewiesen bekommen und kein Zimmer darf danach mit zwei Gästen belegt sein). Wie kann der
Hoteldirektor für alle Insassen des Busses einen Platz freibekommen, wenn
a) in dem Bus 100 Personen sind,
b) in dem Bus unendlich viele Personen sind, wobei die Plätze des Busses mit 1, 2, 3, . . . nummeriert seien und auf jedem Platz genau eine Person sitzt.
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