Das Feld einer langgestreckten Zylinderspule

Das stationäre Magnetfeld
Das gesamte Vektorpotential erhält man durch Integration über das Volumen

n
P

r

mmV
 

A rP   0
4

rP
V

rQ
V
1
 grad Q  dVQ .
r


1 1
1  
mmV  grad Q  rot Q mmV  rot Q  mmV  ,
r r

r
0
1
 r rot
mV
(4.62)
Formt man den Integranden mit der Beziehung (F30) in
der nachstehenden Weise um
Abb. 4.11: Ortsabhängige räumliche
Verteilung magnetischer
Dipole
 

A rP   0
4

  m
Q
V
(4.63)
dann erhält man für das Vektorpotential die Beziehung


m mV dVQ  0
4
 rot
Q
V
1  
 mmV  dVQ ,

r
(4.64)
in der das zweite Volumenintegral in ein Oberflächenintegral umgeformt werden kann
F 46

1
1  
rot
m
d
V


mV
Q
Q    m mV  n dAQ .

r
r

V
A
(4.65)
Vergleicht man das resultierende Ergebnis für das Vektorpotential mit den Gleichungen
(4.19) und (4.23)
 

A rP   0
4

1
m dV
 r rot



Q
V
mV
Q

 Jm

0
4
1

 n dA
 r m



A
mV

 Km
Q
,
(4.66)

dann stellt man fest, dass die räumlich verteilte Dipolmomentendichte mm V ersetzt werden

kann durch eine räumlich verteilte Magnetisierungsstromdichte J m sowie eine ortsabhängige

Flächenstromdichte (Strombelag) K m auf der Oberfläche des Volumens
 

A rP   0
4
mit

1
J m dVQ  0

r
4
V


J m  rot mmV
und
1
A r K m dAQ



K m  mmV  n .
(4.67)
(4.68)



In dieser Gleichung hängen J m und mm V nur von den Quellpunktskoordinaten rQ ab, so dass
sich die Bildung der Rotation auch nur auf diese Koordinaten beziehen kann. Der Index Q ist

daher weggelassen. Bei homogener Dipolmomentendichte verschwindet J m und es verbleibt

allein der Strombelag K m zur Beschreibung des von den räumlich verteilten Dipolen hervorgerufenen magnetischen Feldes. Zusammenfassend erhält man die zu (2.76) analoge Aussage:

Ein homogen mit magnetischen Dipolen der Dichte mmV ausgefülltes Volumen verhält
sich wie ein auf der Oberfläche des Volumens fließender Strombelag der Dichte




K m  mmV  n . Mit n wird die Flächennormale der Hüllfläche bezeichnet.
Bei ortsabhängiger Dipoldichte tritt zusätzlich eine räumlich verteilte Magnetisierungs

stromdichte der Größe J m  rot mmV auf.
(4.69)
Elektromagnetische Felder I
103
Das stationäre Magnetfeld
4.11 Der unendlich lange Linienleiter und das komplexe Potential
Betrachtet werden soll der im homogenen Raum der Permeabilität 0 angeordnete unendlich
lange dünne Linienleiter, der sich auf der z-Achse von

y
-  bis +  erstreckt und vom Strom I durchflossen
H

wird. Das hinsichtlich der Koordinate z ebene Problem
e
kann in den Koordinaten des Kreiszylinders (, )
P
betrachtet werden. Die Anordnung ist unabhängig von

I

der Koordinate  und die den Leiter umschließenden
magnetischen Feldlinien sind Kreise in Ebenen
x
z  const . Die allein  -gerichtete magnetische FeldS
stärke hängt nur von der Koordinate  ab und kann
mit dem Oerstedschen Gesetz (4.1) aus dem Umlaufintegral entlang der in Abb. 4.12 eingezeichneten Feldlinie S berechnet werden
Abb. 4.12: Unendlich langer Linienleiter
 
I   H d s 
( 4.1)
S
2
2


e H   e  d    H   d   2  H   .
0 

 

 0



(4.70)

 ds
H
Ähnlich wie die elektrische Feldstärke einer geraden homogenen Linienladung (2.84) hängt
auch die magnetische Feldstärke vom reziproken Abstand 1 /  zum Linienstrom ab. Im Ge 
gensatz zur radial gerichteten elektrische Feldstärke E  e E () ist sie jedoch tangential gerichtet
 
 I
H  e  H    e 
.
2 
(4.71)
Das Vektorpotential wird entsprechend der Gl. (4.19) nur eine Komponente in Richtung des
Stromes aufweisen und ebenfalls von der Koordinate z unabhängig sein
( 4.4 )
( 4.71)
B    0 H   
F 11
 

 0 I ( 4.8) 
A
 e   rot A  e  rote z A  
.
2 

(4.72)
Mit der unbekannten Integrationskonstanten C liefert die für das Vektorpotential gefundene
Differentialgleichung die zum elektrostatischen Skalarpotential einer Linienladung (2.85)
äquivalente Beziehung
dA
 I
 0
d
2 

A
0 I d 
 I
  0 ln   C ,

2 
2
(4.73)
in der die Konstante C wiederum willkürlich gewählt werden kann. Mit der Festlegung eines
an der Stelle   c verschwindenden Vektorpotentials, d.h. A(c)  0 , gilt schließlich
 
  I 
A  e z A    e z 0 ln
2
c
Elektromagnetische Felder I
.
(4.74)
104
Das stationäre Magnetfeld
In Analogie zum komplexen Potential der Elektrostatik
kann auch hier ein komplexes magnetisches Potential
Pm (z) eingeführt werden. Denkt man sich den Linienleiter in Abb. 4.12 im Ursprung der komplexen Zahlenebene angeordnet und ersetzt man den reellen Wert  durch
die komplexe Größe

H
jy
P

z

I
x
z  x  jy  e j ,
(4.75)
dann geht der Ausdruck (4.74) für das reelle VektorpoAbb. 4.13: Unendlich langer Linienleiter tential A  A() in einen Ausdruck für das komplexe
in komplexer Zahlenebene
Potential Pm  Pm (z)  Pm r  jPm i über
Pm z   
0 I z
 I  
 I 
ln   0 ln  e j    0 ln 
2
c
2
2
c
c


 A(  )

 
  Pm r  jPm i .
j    0 I
2 

(4.76)
 Pm i
Der Realteil Pm r des komplexen magnetischen Potentials Pm (z) entspricht offenbar dem Vektorpotential A() . Um zu einer Aussage über den Imaginärteil Pm i zu gelangen, wird zunächst der Gradient von Pm i in Zylinderkoordinaten gebildet
grad Pm i  
F9
 ( 4.15)
  I ( 4.71)
0 I
grad    e  0
   0 H   0 grad Vm
2
2 

Pm i  0 Vm . (4.77)
Dieser entspricht aber dem mit 0 multiplizierten negativen Wert der magnetischen Feldstärke, die ihrerseits nach Gl. (4.15) durch den negativen Gradienten des magnetischen Skalarpotentials ausgedrückt werden kann. Zusammenfassend gilt die Aussage:
Der Realteil Pm r des komplexen magnetischen Potentials Pm (z) gibt das magnetische
Vektorpotential an, während der Imaginärteil dem mit 0 multiplizierten magnetischen
Skalarpotential entspricht.
(4.78)
Das komplexe Potential Pm (z) wurde am Beispiel des Linienleiters eingeführt, es kann aber
auf alle ebenen Anordnungen übertragen werden, die man sich durch Überlagerung von dünnen Leitern entstanden denken kann (Vorsicht: in Massivleitern darf Vm und damit Pm i nicht
verwendet werden!).
Analog zur Elektrostatik wird auch hier die komplexe magnetische Feldstärke H (z) eingeführt, deren Realteil der x-Komponente und deren Imaginärteil der y-Komponente der vektoriellen Feldstärke (4.71) entspricht. Mit dem konjugiert komplexen Wert z *  x  j y erhält
man die Beziehung


 
 
  
jI
jI
I  
(4.79)
ex e   j
e y  e  
H z   H x  j H y  e x  H  j e y  H 

 j



2 
2  e
2 z *
 sin 
cos  

Elektromagnetische Felder I
 

105
Das stationäre Magnetfeld
zwischen dem Linienstrom und der zugehörigen komplexen magnetischen Feldstärke H (z) .
Den Zusammenhang zwischen dem komplexen Potential Pm (z) und der Feldstärke findet
man, indem man Pm (z) nach z differenziert
d Pm ( 4.76 ) d  0 I z 
 I
 jI
 

ln    0   j 0
  j  0 H * z  .
dz
d z  2
c
2 z
2 z
(4.80)
Bildet man auf beiden Seiten dieser Gleichung den konjugiert komplexen Wert, dann lässt
sich die mit 0 multiplizierte Feldstärke als der mit –j multiplizierte konjugiert komplexe
Wert des Differentials dPm (z) / d z darstellen
*
dP
0 H z    j  m  .
 dz 
(4.81)
Die magnetische Feldstärke kann also durch Differentiation des komplexen Potentials berechnet werden.
4.12 Mehrere unendlich lange Linienleiter
z i  z P  z Qi
jy
Ii
P
komplexen Abstände z i  z P  z Qi aufweisen, und
zP
I1
In
z Qn
z Qi
z Q1
Befinden sich mehrere Linienströme I i an den Stellen z Qi mit i  1,2,..n , die vom Aufpunkt z P die
(z 0  z Qi )
z0
0
x
wählt man willkürlich die Stelle z 0 als den Ort verschwindenden magnetischen Potentials, dann erhält
man die resultierenden Feldgrößen durch Summation der Einzelbeiträge (4.76) und anschließende Differentiation entsprechend Gl. (4.81) zu
Pm z P   
Abb. 4.14: Mehrere unendlich lange Linienleiter in komplexer Zahlenebene
H z P  
0
2
z P  z Qi
n
 I ln z
i 1
i
 I z
2
j
n
i 1
i
*
P
0
 z Qi
 z *Qi

1
.
(4.82)
(4.83)
4.13 Magnetischer Liniendipol
jy
P
zP
 j sI
I
zQ
s
0
x
Abb. 4.15: Magnetischer Liniendipol
Elektromagnetische Felder I
In Analogie zum elektrostatischen Liniendipol lässt sich
auch ein aus zwei in kleinem Abstand s angeordneten, von
entgegengesetzt gleichen Strömen  I durchflossenen
Linienleitern bestehender magnetischer Liniendipol definieren, bei dem das Produkt sI für s  0 konstant gehalten wird. Das Dipolmoment steht senkrecht auf der stromdurchflossenen Leiterschleife und ist pro Längeneinheit
durch den Ausdruck  jsI gegeben. Die beiden Leiter
befinden sich an den Stellen z Q  s / 2 in der komplexen
Zahlenebene. Wegen der verschwindenden Stromsumme
106
Das stationäre Magnetfeld
kann der Ort verschwindenden Potentials ins Unendliche verlegt werden ( z 0   ), so dass
das komplexe Potential mit Gl. (4.82) die Form
Pm z P   
0 I z P  z Q  s / 2 
 I z  z Q   s / 2
  0 ln P
ln
z P  z Q   s / 2
2
z P  z Q  s / 2 
2
(4.84)
annimmt. Wegen dem gegenüber z P  z Q sehr kleinen Wert s kann dieser Ausdruck mit der
Näherungsbeziehung ln(1   )   für   1 folgendermaßen vereinfacht werden
Pm z P   
 1
0 I   1 s 
s  0 I
s
1 
ln
.

ln 1 




2   2 z P  z Q 
 2 z P  z Q  2 z P  z Q
(4.85)
Die zugehörige magnetische Feldstärke wird mit Gl. (4.81) berechnet

j  d  0 I
jI
s 
s*

H z P    
.

0  d z P  2 z P  z Q 
2 z *P  z *Q 2
(4.86)
4.14 Feldlinien
Das gleichnamige Kapitel aus der Elektrostatik kann unmittelbar übernommen werden, wenn


die elektrische Feldstärke E in den Gleichungen durch die magnetische Feldstärke H ersetzt
wird. Die Differentialgleichung zur Beschreibung der

H
magnetischen Feldlinien lautet entsprechend Gl.
(2.114)


  
dr
d r  Hr   0
(4.87)

r
0
Abb. 4.16: Feldlinie
h1 d u 1
H1

h2 d u 2
H2

h3 d u 3
H3
und ihre ausgeschriebene Form in krummlinigen Koordinaten (2.116) sowie der Sonderfall einer nur von
zwei Koordinaten abhängigen Feldstärke (2.118) gelten
dann sinngemäß auch für die magnetische Feldstärke
bzw.
H 2 h1 d u 1  H 1h 2 d u 2 .
(4.88)
4.15 Flussröhren rotationssymmetrischer Felder
Wegen der besonderen praktischen Bedeutung sei noch auf die Flussröhren bei rotationssymmetrischen Anordnungen eingegangen, bei denen stromdurchflossene kreisförmige Leiter von
ebenfalls rotationssymmetrischen Bereichen mit Materialien unterschiedlicher Eigenschaften
umgeben sind. Ein typisches Beispiel sind die Spulen und Transformatoren, die mit Schalenkernen (P-Kerne) aus Ferritmaterial aufgebaut sind.
Das Vektorpotential einer kreisförmigen Leiterschleife besitzt nach Gl. (4.38) nur eine  Komponente und ist von der Koordinate  wegen der Integration von 0 bis 2 selbst unabhängig
Elektromagnetische Felder I
107
Das stationäre Magnetfeld
 
A  e A, z  .
z
(4.89)
Bildet man mit Gl. (F11) die Rotation des Vektorpotentials (4.89) in Zylinderkoordinaten, dann stellt
man das Verschwinden der  -gerichteten Komponente der Flussdichte



B  rot A  rot e A, z   B  0
(4.90)

 0
fest, so dass die magnetischen Feldlinien für die
beschriebenen rotationssymmetrischen Anordnungen ebenfalls rotationssymmetrische Flussröhren
bilden. Die Lösung der Feldliniengleichung erfolgt für diesen Sonderfall in Analogie zur
Elektrostatik durch Konstanthalten des die Flussröhre durchsetzenden Flusses, d.h.   const
(vgl. Kap. 2.22). Damit erhält man die beiden Ausdrücke für die magnetische Feldstärke in
Zylinderkoordinaten mit einer Integration über die Fläche A
Abb. 4.17: Querschnitt durch eine Ferritspule
P
Hz z
AK
  P , z P   2  0  H z , z P   d   const (4.91)
Hr
0
PrP , P 
P P , z P 
A
P
rP
bzw. in Kugelkoordinaten mit einer Integration über
die Kugelkappe AK
 rP ,  P   2  0 rP
P
2
 H r ,  sin  d   const .
r
P
0

0
(4.92)
Die Integration in den beiden vorstehenden Gleichungen kann vermieden werden, wenn die Rechnung mit dem Vektorpotential 7 durchgeführt wird.

Der eine Fläche mit dem gerichteten Flächenelement dA durchsetzende magnetische Fluss
 der Abb. 4.19 kann nach dem Stokesschen Satz in ein Integral über das Vektorpotential


A m entlang der Kontur C mit dem gerichteten Wegelement d s umgewandelt werden
Abb. 4.18: Rotationssymmetrische
Flussröhre
( 4.5 )

dA
 

B
  ( 4.8)
B
  dA 
A

ds
A
C
Abb. 4.19: Fluss durch eine Fläche
 
   A d s .

 F 42 

rot
A

d
A
  Am d s 
 m
A
C
(4.93)
C
Wendet man diese Beziehung auf die in Abb. 4.18 dargestellte Querschnittsfläche an, dann erhält man mit
dem  -gerichteten Wegelement und dem von  unabhängigen Vektorpotential den einfachen Ausdruck in
Zylinderkoordinaten

Bemerkung: In den folgenden Gleichungen, in denen sowohl das Vektorpotential A als auch das vektorielle

Flächenelement dA auftritt (und nur dort), wird das Vektorpotential zur besseren Unterscheidung mit einem

Index m markiert A m .
7
Elektromagnetische Felder I
108
Das stationäre Magnetfeld
( 4.89 ) 2
 , z  


 e A, z  e


 d     A, z  .
(4.94)
0
Eine entsprechende Betrachtung lässt sich für die Kugelkoordinaten anstellen, so dass die
Schlussfolgerung gilt:
Rotationssymmetrische Flussröhren werden in Zylinderkoordinaten durch Konstanthalten
des mit 2  multiplizierten Vektorpotentials A(, z) beschrieben. In Kugelkoordinaten
gilt wegen   r sin  die entsprechende Beziehung
  A, z   2 r sin  Ar ,   const .
(4.95)
4.16 Graphische Darstellung ebener Felder
Eingegangen sei noch auf den in Abb. 4.20 dargestellten Fall einer ebenen, d.h. von der Koordinate z unabhängigen Anordnung, bei der Leiter beliebigen Querschnitts von der z-gerich 
teten Stromdichte J  e z J ( x, y) durchflossen werden. Nach Gl. (4.19) weist das von den
z-gerichteten Strömen hervorgerufene von der Koordinate z
y
unabhängige Vektorpotential nur eine Komponente in z
 
ez
Richtung auf A  e z A( x, y) , so dass die durch Bildung der

Rotation nach Gl. (F7) berechnete magnetische Flussdichte
J x, y 
wegen Bz  0 in Ebenen z  const liegt.
x
0
Die Differentialgleichung für die Feldlinien (4.87) führt mit
der nachstehenden Umformung und wegen der verschwin

denden z-Komponente e z  d r  0 auf die Forderung eines
 
konstanten Vektorpotentials, d.h. dA  0 bzw. dA  0
Abb. 4.20: Ebene Anordnung
F 30

  (4.8) 


 
d r  B  d r  rot A  d r  rot e z A   d r  e z  grad A
F2

 



  e z d r  grad A  e z  d r grad A  e z dA  0 ,
 


F 23
 dA
(4.96)
0
die nach (4.78) auf den Realteil des komplexen Potentials übertragen werden kann. Damit gilt
die Schlussfolgerung:
Bei ebenen, von der Koordinate z unabhängigen Feldern, die mit einem Vektorpotential
 
A  e z A( x, y) beschrieben werden, verlaufen die Feldlinien in Ebenen z  const , in denen sie durch Linien konstanten Vektorpotentials beschrieben werden
Ax, y   Pm r x, y   const .
(4.97)
Elektromagnetische Felder I
109
Das stationäre Magnetfeld
4.17 Isotropes inhomogenes permeables Material
In den folgenden Kapiteln wollen wir den Einfluss von isotropen linearen Materialien mit
einer ortsabhängigen
Permeabilität auf die Feldverteilung untersuchen. Die Materialeigen
schaft    (r ) sei eine skalare Funktion des Ortes. Der Zusammenhang (4.4) zwischen der
Feldstärke und der Flussdichte wird jetzt folgendermaßen erweitert



B  r 0 H   H
mit
   r  0  Permeabilität .
(4.98)
4.17.1 Die Feldgleichung
Die Feldgleichung für das Vektorpotential wird in Kapitel 4.19 nochmals betrachtet, so dass
hier nur die im stromlosen Gebiet anwendbare Feldgleichung für das Skalarpotential angegeben werden soll. Ausgehend von der Quellenfreiheit der Flussdichte erhält man
 
( 4.15 )
 ( 4.98)
 F 25
 
div B  div  H   divH  H  grad     div grad Vm  gradVm  grad 
( 4.6 )
   Vm  grad   gradVm  0
F 28
Vm 
1

grad   gradVm  0
für


   r  .
(4.99)
Diese Gleichung hat den selben Aufbau wie die Beziehungen (2.177) bzw. (3.11). Für abschnittsweise homogenes Material geht diese Gleichung wieder in den Sonderfall (4.16) über.
4.17.2 Die Randbedingungen
In den Gleichungen (2.183) wurden die Randbedingungen für die Tangential- und Normalkomponente der elektrischen Feldstärke für den allgemeinen Fall einer flächenhaft verteilten
Ladung und gleichzeitig vorhandener Sprungstelle der Dielektrizitätskonstanten angegeben.
In der gleichen Weise soll in diesem Abschnitt das Verhalten der magnetischen Feldgrößen
bei flächenhaft verteilten Strömen an den Trennstellen zwischen Materialien unterschiedlicher
Permeabilitätskonstanten untersucht werden.

n

H2
h
A
2

K
1

H1
dA
Abb. 4.21: Materialsprungstelle mit
Strombelag
Elektromagnetische Felder I
In der Trennfläche A zwischen den beiden mit jeweils
homogenem Material der unterschiedlichen Permeabilitätskonstanten 1 und  2 ausgefüllten Räumen
der Abb. 4.21 befinde sich ein örtlich veränderlicher

Strombelag K . Die Feldstärken in den beiden Teil

räumen werden mit H1 bzw. H 2 bezeichnet. In der
bereits aus der Elektrostatik bekannten Weise wird an
der Stelle eines zu betrachtenden Punktes P um die
Trennfläche ein kleiner Flachzylinder mit der parallel
zur Trennfläche verlaufenden Stirnfläche dA und der
verschwindenden Höhe h  0 gelegt.
110
Das stationäre Magnetfeld
Wegen der Quellenfreiheit der magnetischen Flussdichte (4.6) muss der insgesamt in den Zylinder eintretende magnetische Fluss verschwinden. Damit gelangt man zu einer Aussage über


die Stetigkeit der Normalkomponente der magnetischen Flussdichte, die wegen B   H nach
(4.98) einen Sprung in der Normalkomponente der magnetischen Feldstärke erfordert
 
 
 
 
n  B1  n  B 2

1 n  H 1   2 n  H 2
auf A .
(4.100)




Zu einer Aussage über die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke gelangt man,
indem man das Umlaufintegral der Feldstärke entlang des in Abb. 4.22 dargestellten Rechtecks bildet, das nach dem Oerstedschen Gesetz (4.1) dem eingeschlossenen Strom entspre
K
, der die
chen
muss.
Der
Anteil
des
Strombelages


n
markierte
Rechteckfläche
durchsetzt,
ist
mit
der
senkH2
h
recht auf dem Rechteck stehenden Flächennormalen
 

n
durch
das
Skalarprodu
kt
n
0
0  K ds gegeben. Wegen
 
2
(n  n 0 )
der verschwindenden Höhe h  0 liefern nur die bei
den Seiten ds einen Beitrag zum Umlaufintegral. Der
K
eingezeichnete Umlaufsinn entspricht im Raum 1 der
ds
 
1
Richtung des tangentialen Einheitsvektors n  n 0 , im


H1
n0
Raum 2 erfolgt die Integration dagegen in umgekehrter
Richtung. Mit Gl. (4.1) erhält man die für jede RichAbb. 4.22: Materialsprungstelle mit

Strombelag
tung n0 gültige Beziehung
H

1

 H2
  n  n
 d s  n 0  n  H 2  H1  d s

F1
0

 
 n0 K d s .
( 4.1)
(4.101)
Die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke erfährt also einen der Größe des
Strombelages am Durchgangsort proportionalen Sprung




 
n  H 2  H1  K
  1 
1   
n   B 2  B1   K
1 
 2

auf A .
(4.102)
Zusammenfassend gilt die Aussage:
Beim Durchgang durch eine mit einem Strombelag behaftete Fläche, auf der die Permeabilitätskonstante eine sprunghafte Änderung erfährt, erleidet die Normalkomponente der
magnetischen Feldstärke einen Sprung infolge der unterschiedlichen Werte  , während
der Sprung in der Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke allein durch den
Strombelag hervorgerufen wird.
Die entsprechenden Randbedingungen für das Vektorpotential können mit Gl. (4.8) in der
folgenden Weise formuliert werden




n  rot A 2  A1

( 4.100 )
 0
und
 1 

1   ( 4.102 ) 
n  rot  A 2  A1   K
1 
 2
auf A ,
(4.103)
und für das magnetische Skalarpotential gilt nach Gl. (4.15) die Beziehung
1
( 4.100 )


Vm1   2 Vm 2
n
n
Elektromagnetische Felder I
und
( 4.102 ) 

n  grad Vm1  Vm 2   K
auf
A .
(4.104)
111
Das stationäre Magnetfeld
Die Feldgleichungen (4.11) und (4.16) gelten nur für homogene Materialeigenschaften. Unter
Einbeziehung der in diesem Kapitel angegebenen Randbedingungen an den Sprungstellen der
Materialeigenschaften können die Berechnungsmethoden auch auf Probleme mit abschnittsweise konstanter Permeabilität erweitert werden.
4.18 Hochpermeable Teilräume
In der Elektrostatik nehmen die leitenden Körper hinsichtlich der Feldverteilung eine Sonder 
stellung ein. In ihrem Inneren sind sie feldfrei ( E  0 ) und ihre Oberflächen bilden Äquipo
tentialflächen, auf denen die elektrische Feldstärke E senkrecht steht, siehe Gl. (2.131).
Ein sehr ähnliches Verhalten bezüglich des Magnetfeldes weisen die hochpermeablen Materialien   

J
auf, die durch ferromagnetische Stoffe, wie z.B. Eisen,
realisiert werden können. Befindet sich entsprechend

der nebenstehenden Abbildung ein hochpermeabler
n
Teilraum
1 der Oberfläche A und der Flächennormalen
2

n in der Nähe eines stromdurchflossenen Leiters, dann

A


1  
wird die magnetische Flussdichte B   H auch in

nerhalb des permeablen Bereiches endlich bleiben, so
H1  0
dass wegen 1   die Feldstärke gegen Null gehen
Abb. 4.23: Stromführende Leiter vor


hochpermeablem Teilraum
muss: H1  0 . Bei einem nicht vorhandenen Strombelag in der Trennebene zwischen den beiden Teilräumen wird nach Gl. (4.102) dann auch die Tangentialkomponente an der Oberfläche ver
 
schwinden n  H 2  0 , so dass man zu folgender Aussage gelangt:

H2
Befinden sich erregende Ströme im Bereich endlicher Permeabilität vor einem hochpermeablen einfach zusammenhängenden Teilraum    , dann steht die magnetische Feld
stärke H des umgebenden Raumes senkrecht auf der strombelagsfreien Oberfläche des
hochpermeablen Teilraumes.
(4.105)

In der Elektrostatik stehen die elektrischen Feldlinien wegen E   grad  e senkrecht auf den
Äquipotentialflächen  e  const . Wegen des senkrechten Auftreffens der magnetischen Feldlinien auf einen hochpermeablen Teilraum und wegen der in stromlosen Gebieten gültigen

Darstellung H  grad Vm nach Gl. (4.15) gilt hier auch die folgende Aussage:
Die strombelagsfreie Oberfläche eines hochpermeablen einfach zusammenhängenden Teilraumes    stellt eine Fläche konstanten magnetischen Skalarpotentials dar
 
nH
A

  n  gradVm 
A

0

Vm  const
auf A.
(4.106)
Elektromagnetische Felder I
112
Das stationäre Magnetfeld

H2

n
Befindet sich an der Trennstelle zwischen den Teilräumen 1   und  2 entsprechend der Abb. 4.24 ein
nicht verschwindender Strombelag, dann werden sich
die Randbedingungen (4.102) bis (4.104) wegen der im
Teilraum 1 verschwindenden magnetischen Feldstärke
folgendermaßen vereinfachen
2
A

K
1 
H1  0
n  H 

2
A



1 
n  rot A 2
2

A

  n  gradVm 2 
Abb. 4.24: Strombelag auf der Berandung eines hochpermeablen
Teilraumes
A

 K.
(4.107)
Besondere Beachtung verdient der Sonderfall in Abb. 4.25, bei dem ein stromdurchflossener
Leiter von einem hochpermeablen Bereich völlig umschlossen wird. Die an der Oberfläche
der Kontur C nach (4.105) durch die Näherung    und die Forderung eines endlichen BFeldes verschwindende Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke widerspricht dem
von Oersted gefundenen Gesetz (4.1), nach dem das Umlaufintegral der magnetischen Feldstärke den eingeschlossenen Strom ergibt. Daher ist diese Näherung hier nicht
C
zulässig. In diesem Fall können die magnetischen FeldliI
nien abweichend von (4.105) nicht senkrecht auf der
 
Oberfläche stehen. In der Praxis existiert dieser Wider 
spruch nicht, da es den Grenzfall    nicht gibt. Bei
der idealisierten Rechnung mit Werten    ist jedoch
Abb. 4.25: Stromführende Leiter
zu beachten, dass die Tangentialkomponente der magnetiinnerhalb eines hochschen Feldstärke an der hochpermeablen Berandung in
permeablen Teilraumes
diesem Sonderfall nicht verschwindet.
4.19 Die magnetische Polarisation und die Magnetisierung


Unter der magnetischen Polarisation J 8 wird die Erhöhung der Flussdichte B im permeablen


Material    (r ) gegenüber der Flussdichte  0 H im Vakuum bei gleicher magnetischer

Feldstärke verstanden. Die Differenz    (r ) zwischen der Permeabilitätszahl  r   / 0
der Materie und dem Wert  r  1 des Vakuums wird magnetische Suszeptibilität genannt

 ( 4.98) 

B   H   0 H     0  H


 
B  0 H  J .
(4.108)

Die Auflösung der Gl. (4.108) nach J zeigt, dass die Polarisation bei einem linearen Material

   (H) proportional zur magnetischen Feldstärke ist




J     0  H   0  r  1 H   0  H .
8

(4.109)

Vorsicht: Die magnetische Polarisation J der Dimension Vs/m² darf nicht mit der Stromdichte J der Dimension A/m² verwechselt werden.
Elektromagnetische Felder I
113
Das stationäre Magnetfeld

In der Technik wird oft die Magnetisierung M anstelle der Polarisation verwendet. Dabei
stellt man sich die magnetische Feldstärke zusammengesetzt vor aus der Feldstärke im Vakuum und einer zusätzlichen Feldstärke infolge der Dipolorientierungen im Material

 
B  0 H  M .
(4.110)


Den Zusammenhang zwischen der Polarisation und der Magnetisierung erkennt man unmittelbar aus den beiden Gleichungen (4.108) und (4.110)



1 
M
J  (  r  1) H   H .
(4.111)
0
An dieser Stelle kehren wir noch einmal zu der in Kapitel 4.4 abgeleiteten Feldgleichung für
das magnetische Vektorpotential zurück. Wir wollen die Problemstellung jetzt dahingehend
verallgemeinern, dass das in Abb. 4.26 darge

stellte Volumen V1 mit einem Material der ortsH2
V2  0
n

h
abhängigen Permeabilität 1 (r ) ausgefüllt sei.
Auf der das Volumen V1 begrenzenden Fläche


A
V1 1 r 
K
A soll ein Sprung der Permeabilität vom Wert
ds
1 auf den Wert  0 erfolgen. In dem Volumen
 

J (rQ )
V1 sei zusätzlich eine räumlich verteilte ortsabH1
 
hängige Stromdichte J (rQ ) vorhanden und entlang der Oberfläche fließe ein Strombelag
 
Abb. 4.26: Ortsabhängige Stromdichteverteilung
K (rQ ) .
und ortsabhängige Permeabilität
Stellt man die Flussdichte entsprechend der Gl.
(4.110) durch die magnetische Feldstärke im Vakuum und die Magnetisierung dar, dann
nimmt die Feldgleichung (4.11) die Form

 ( 4.110 )



 ( 4.3)  
 
rot rot A  rot B  rot 0 H  0 M  0 rot H  rot M  0  J  rot
M

  

J
m



 
rot rot A   0 J  J m






(4.112)
 
an, in der neben der freien Stromdichte J (rQ ) ein von der Magnetisierung abhängiger Term
auftritt, der als eine räumlich verteilte Magnetisierungsstromdichte
 

J m rQ   rot M
(4.113)
interpretiert werden kann.
Die Randbedingung (4.102) für die Tangentialkomponente der magnetischen Feldstärke kann

ebenfalls mit Hilfe der Magnetisierung M ausgedrückt werden. Mit der Darstellungsform
(4.110) erhält man das Ergebnis
Elektromagnetische Felder I
114
Das stationäre Magnetfeld



  ( 4.102 ) 
 
 1 
  1 
n  H 2  H1  n  B 2  n   B1  M1   K .
0
 0

(4.114)
Nach einer Umstellung dieser Gleichung erhält man eine Beziehung
  1 

1    
n   B 2  B1   K  M1  n ,

0 
 
 0
(4.115)
Km
in der auf der linken Seite der Sprung in der Tangentialkomponente der magnetischen Feld 
stärke im Vakuum steht, der hervorgerufen wird durch den freien Strombelag K (rQ ) sowie
einen von der Magnetisierung abhängigen Strombelag, der als Magnetisierungsstrombelag

 
Km  M  n
(4.116)
bezeichnet wird. Die Ergebnisse (4.113) und (4.116) kann man folgendermaßen zusammenfassen:

Ein permeables Material der Magnetisierung M verhält sich wie Vakuum mit einer Mag 

netisierungsstromdichte
J m (rQ )  rot M
und einem Magnetisierungsstrombelag

 

K m  M  n an den Sprungstellen der Permeabilität. n steht als Flächennormale senkrecht
auf den Sprungstellen und zeigt von dem mit permeablem Material gefüllten Raum 1 in
den nicht permeablen Raum 2.
(4.117)
Vergleicht man die Ergebnisse (4.69) und (4.117), dann lässt sich die zu der Aussage (2.203)
aus der Elektrostatik analoge Schlussfolgerung ziehen:

Ein permeables Material der Magnetisierung M verhält sich wie Vakuum, in dem magne

tische Dipole mit der räumlichen Dichte m mV  M verteilt sind.
(4.118)
Elektromagnetische Felder I
115
Das stationäre Magnetfeld
4.20 Der Energieinhalt des Feldes
Für einen mit einem Material der ortsabhängigen Dielektrizitätskonstanten    ( x, y, z) ausgefüllten Raum wurde in der Elektrostatik in Gl. (2.221) die Energiedichte we definiert, mit
der die Energie We im Volumen V verteilt ist. Analog zu dieser Beziehung wird nun für einen
mit einem Material der ortsabhängigen Permeabilität    ( x, y, z) ausgefüllten Raum die
magnetische Energiedichte wm definiert, indem die elektrischen Feldgrößen in der Gl. (2.221)




durch die entsprechenden magnetischen Feldgrößen E  H und D  B ersetzt werden
1 
wm  H  B
2
Wm   wm d V .
und
(4.119)
V
Die Energie des magnetischen Feldes kann durch Integration der Energiedichte über den gesamten Raum V berechnet werden. Eine Vereinfachung ergibt sich mit der nachstehend
durchgeführten Umformung, nach der die Integration auf die stromführenden Leiter beschränkt werden kann. Zu diesem Zweck wird das ursprüngliche Integral in zwei Teilintegrale
aufgespalten



( 4.8 )
F 26 1


 
 


1
1



H
B
d
V

H
rot
A
d
V

A
rot
H

div
H
 A dV
2 
2 
2 
V
V
V
(4.120)


 
1
1
  A  rot
H
d
V

div
H

A
d
V
,



2
2 
( 4.119 )
Wm



 J
V

V
( 4.3 )
von denen das zweite mit dem Gaussschen Satz in ein Hüllflächenintegral über die unendlich
ferne Hülle umgewandelt wird




F 44

 
 
div
H

A
d
V

H

A

d
A
.
m
m


V
(4.121)
A
Da aber die magnetische Feldstärke für die im endlichen Volumen angeordneten stromführenden Leiter nach Gl. (4.22) mindestens mit 1 / r 2 und das Vektorpotential nach Gl. (4.19)
mindestens mit 1/r abklingt, während die Fläche nur mit r 2 zunimmt, verschwindet das Integral über die unendlich ferne Hülle.

In dem verbleibenden ersten Integral wird über die Stromdichte J integriert, die aber nur innerhalb der stromführenden Leiter einen von Null verschiedenen Wert aufweist. Resultierend
erhält man die beiden folgenden Beziehungen zur Berechnung der magnetischen Energie
Wm 
 
 
1
1
H

B
V

A
 J rQ  dVQ ,
d
2 
2 
V
V
(4.122)
wobei das Vektorpotential für den Fall konstanter Permeabilität  0 nach Gl. (4.19) ebenfalls
durch Integration über das Leitervolumen berechnet werden kann
Wm 
( 4.19 )
 
0
1


A

J
r
d
V

Q
Q

2 V
8
Elektromagnetische Felder I
 
 1 
  r Jr  dV   Jr  dV


Q
V
Q
Q
Q
.
(4.123)
V
116
Das stationäre Magnetfeld
4.21 Magnetische Energie räumlicher Massivleiter
Betrachtet werden soll die in Abb. 4.27 dargestellte Anordnung, bei der der gesamte Raum
mit einem Material der ortsabhängigen Permeabilität


   ( x, y, z) ausgefüllt ist. In dem Volumen befinden
HP 
J1
sich weiterhin n räumliche stromdurchflossene Massivleiter. Die magnetische Feldstärke im Aufpunkt P kann

durch Summation der Beiträge der einzelnen Leiter be
Ji
   ( x, y, z )
rechnet werden. Bezeichnet man mit H i die Feldstärke


Jn
im Aufpunkt P infolge des Stromes J des i-ten Leiters,
i
Abb. 4.27: Stromführende Massivleiter
Wm 
dann kann die Energie (4.122) folgendermaßen dargestellt werden:
 
 
1
1  n    n  
1 n n
H

B
d
V

H

B
d
V

H







i
i
i  B k dV .
2 
2 
2 i 1 k 1 
  i 1 
V
V  i 1
V
(4.124)
Um die Integration entsprechend dem zweiten Term in Gl. (4.122) über die stromführenden
Leiter durchführen zu können, wird das von allen Strömen verursachte gesamte Vektorpoten
tial innerhalb der Leiter benötigt. Bezeichnet man mit A ik das Vektorpotential im laufenden
Punkt Pi des i-ten Leiters infolge der Stromdichtevertei




A
P
J1
ik
i
lung J k im k-ten Leiter, dann kann das resultierende

Vektorpotential durch eine Summation über alle Leiter
Ji
rik
dargestellt werden

Jk
   ( x, y, z )
n 


A

Ai k .
(4.125)

i
J
n
k 1
Abb. 4.28: Stromführende Massivleiter
( 4.122 )
Wm

Die Energieberechnung mit einer Integration über die
Leitervolumina nimmt dann die folgende Form an
 
 
1
1 n

A
J
V
A i  J i dV
d




2 V
2 i 1 Vi
 
1 n
1 n n
 n   
A

J
d
V

J



 
 i  A i k dV ,
ik
i
2 i 1 
2 i 1 k 1 
k 1

Vi
Vi
( 4.125 )
(4.126)
in der im Falle homogener Permeabilität  0 das Vektorpotential im laufenden Punkt Pi des i
ten Leiters infolge der Stromdichte J k im k-ten Leiter nach Gl. (4.19) ausgedrückt werden
kann
 ( 4.19 ) 0
Ai k 
4
1 
J k dV .

ri k
Vk
(4.127)
Mit rik wird der in Abb. 4.28 dargestellte Abstand zwischen dem laufenden Punkt Pi des i-ten
Leiters vom laufenden Punkt Pk des k-ten Leiters bezeichnet.
Elektromagnetische Felder I
117
Das stationäre Magnetfeld
4.22 Energie eines permeablen Körpers
In diesem Abschnitt gehen wir zunächst von dem aus der Abb. 4.27 abgeleiteten Sonderfall
aus, dass die dort angenommene ortsabhängige Permeabilität überall in dem Volumen V den
homogenen Wert 0 des Vakuums besitzt. In das somit von den Leitern hervorgerufene mag


netische Feld der Feldstärke H 0 und der Flussdichte B 0   0 H 0 wird entsprechend Abb. 4.29
ein permeabler Körper des Volumens VK und der ortsabhängigen Permeabilität    ( x, y, z )

 
eingebracht. Dadurch wird sich die Feldstärke von dem Wert H 0 auf einen Wert H  H 0 än 
dern. Entsprechend ändert sich die Flussdichte auf einen Wert B  B 0 .

Unter der Annahme, dass die Stromverteilungen J i in den Leitern durch den permeablen
Körper nicht beeinflusst werden, muss von den speisenden Stromquellen und einer mechanischen Kraft beim Einbringen des Körpers eine Arbeit zum Aufbau des neuen Feldes geleistet
werden, die sich in der magnetischen Energie WmK des

permeablen Körpers wiederfindet. Ausgangspunkt für
J1
die Berechnung ist also die zur Gl. (2.223) analoge Be ( x, y, z )
ziehung
VK


0
( 4.122 )
   
1
Ji
WmK 
H
 B  H 0  B 0 dV ,
(4.128)

2 
V
Jn


in der die gesuchte Energie des permeablen Körpers aus
der Differenz der Energien nach bzw. vor dem EinbrinAbb. 4.29: Zur Energie eines permeablen gen bestimmt wird. Bevor die Gl. (4.128) weiter umgeKörpers
formt wird, soll zunächst das Verschwinden der beiden
Integrale
  

 
B

H

H
d
V

0
und
B

H
(4.129)
0

 0  H 0 dV  0



V

V
nachgewiesen werden. Für die linke Gleichung erhält man zunächst eine Beziehung


( 4.8 )
  
B
H

H
d
V


0

V
F 26

 rot A   H  H  dV



0
V

 

V
mit



V
F 44

 
div
A

H

H
d
V

0
m

V


  
 
A

rot
H

H
d
V

div
A
 H  H 0 dV
0


 


 
Am  H  H0


 dA ,
(4.130)
A



0
in der das über die unendlich ferne Hülle zu erstreckende Integral verschwindet. Das verbleibende Integral verschwindet wegen den voraussetzungsgemäß unveränderten Strömen aber
ebenfalls




 
rot H  rot H 0  J
  A  rot H  H 0 d V  0 ,
(4.131)


V
Elektromagnetische Felder I
118