Grundwissen Geometrie

Prof. Dr. Peter Bender
Gerda Werth
U Paderborn Fakultät EIM
SS 09
Grundwissen Geometrie
Hausaufgaben (immer für Freitag 10 Minuten vor der Vorlesung)
1. Zeichne ein regelmäßiges n-Eck (Polygon) für n=3, 4, 5, 6,
7, 8.
a)
Versuche zunächst folgendes Vorgehen: Fange mit einer Seite der Länge 3 cm an, trage den Winkel gemäß
der Tabelle im Skript an, zeichne die nächste Seite, den
nächsten Winkel, ... usw. — Was fällt bei größerem n
(unangenehm) auf?
b) Gehe nun folgendermaßen vor: Nutze aus, dass die regelmäßigen Polygone einen Umkreis haben. Betrachte alle n Radien, die man
vom Mittelpunkt aus zu den Ecken zeichnen kann. — Welchen Winkel schließen
zwei benachbarte Radien ein? — Zeichne nun auf diese Art und Weise die o.a.
regelmäßigen Polygone.
c)
Wie groß muss der Kreis (d.h. wie lang müssen die Radien) gemacht werden,
wenn die Seiten des jeweiligen Polygons 3 cm lang werden sollen? (Hinweis:
Sinus benutzen.)
d) Berechne nun allgemein den Radius des Umkreises und den Radius des Inkreises eines regelmäßigen n-Ecks bei gegebener Seitenlänge a .
Bestimme den Quotienten dieser beiden Radien. Wie entwickelt sich dieser
Quotient für wachsendes n (auch über n=8 hinaus)?
Beschreibe verbal, wie die Polygone bei immer größer werdendem n aussehen.
e)
Besitzt wirklich jedes regelmäßige n-Eck einen Umkreis und einen Inkreis? —
Wenn nein: Gegenbeispiel angeben. Wenn ja: allgemeine Konstruktion an einem
Beispiel erläutern.
f)
Besitzt eigentlich auch jedes konvexe (d.h. ohne einspringende Ecken), nicht
notwendig regelmäßige Polygon einen Umkreis? — Wenn nein: Gegenbeispiel
angeben. Wenn ja: allgemeine Konstruktion an einem Beispiel erläutern.
2. Bastele ein Flächenmodell eines archimedischen Körpers eigener Wahl (jedoch nicht die Nrn. (a), (e), (f)).
Schneide dazu nicht die Seitenflächen einzeln aus, sondern
verwende als "Netz" ein zusammenhängendes Blatt Papier, auf dem alle Seitenflächen eingezeichnet sowie Klebefalze vorgesehen sind und das durch Falten und Kleben
zum Körper wird (s. Abb. für den Würfel).
Fertige das Netz zweimal an: einmal zum Abgeben als Hausaufgabe und einmal
zum Basteln des Flächenmodells des Körpers. Gib das fertige Modell nicht als
Hausaufgabe ab, sondern bringe es mit in die Übungsgruppe!