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Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Allgemeine Bewegungsgleichung (gleichmäßig beschleunigte Bewegung) s0, v0 Ableitung nach t 15 Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Sprung vom 5-Meter Turm s0 = 0; v0 = 0 Strecke (m) Weg-Zeit Diagramm (g = -10m/s2) 0 -2 -4 s(t) = 0.5 g t2 0,0 = -0.5*10 ms-2 t2 0,5 1,0 Geschwindigkeit (m/s) Zeit (s) (Aufprallgeschwindigkeit: v = -10m/s) 0 -2 v(t) = -10m/s2 t -4 -6 -8 -10 0,0 0,5 Zeit (s) 1,0 Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Sprung vom 5-Meter Turm s0 = 5m; v0 = 0 g = -10m/s2 Strecke (m) 6 Weg-Zeit Diagramm 4 2 s(t) = 0.5 g t2 + s 0 = -0.5*10 ms-2 t2 + 5m 0 0,0 0,5 1,0 Geschwindigkeit (m/s) Zeit (s) - Geschwindigkeit ist unabhängig von s0 0 -2 v(t) = -10m/s2 t -4 -6 -8 -10 0,0 0,5 Zeit (s) 1,0 Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Weg-Zeit Diagramm s0 = 5m; v0 = 5m/s g = -10m/s2 Strecke (m/s) => 6 s(t) = -0.5*10m/s2 t2 + 5m/s t + 5 m 4 2 0 0 1 2 - Geschwindigkeit ist unabhängig von s0 - Position und Geschwindigkeit sind unabhängig vom Gewicht der Person! Geschwindigkeit (m/s) Zeit (s) 5 v(t) = -10m/s2 t + 5m/s 0 -5 -10 0,0 0,5 1,0 Zeit (s) 1,5 2,0 Kapitel 3: Klassische Mechanik Zur Übung Welches/welche der v-t-Diagramme in der Abbildung beschreibt/beschreiben am besten die Bewegung eines Teilchens (Sie müssen ihre Antwort nicht begründen.). • Mit positiver Geschwindigkeit und zunehmendem Geschwindigkeitsbetrag • Mit positiver Geschwindigkeit und der Beschleunigung null • Mit konstanter, von null verschiedener Beschleunigung • Mit abnehmendem Geschwindigkeitsbetrag Lösung ⇒B ⇒ C ⇒ B,D, E ⇒ D (da Geschwindigkeitsbetrag) Kapitel 3: Klassische Mechanik Fallrohr Bremer Fallturm, 1989 146 m 119 m Fallkapsel Fallschacht Wie lange benötigt eine Kugel für den Fall? (Vakuum = > kein Luftwiderstand) 0m Fallrohr Kapitel 3: Klassische Mechanik Fallrohr Bremer Fallturm 146 m 119 m Fallkapsel Fallschacht (Vakuum) π‘= π π‘ 2 π = β 2 π 0m Fallrohr Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Fallversuche auf dem Mond, 1971 : Feder und Hammer D. Scott gM = 1.6 m/s2 http://www.youtube.com/watch?v=-4_rceVPVSY Experimenteller Beweis, dass eine Feder und ein Hammer gleich schnell fallen! 22 Kapitel 3: Klassische Mechanik Freier Fall Position und Geschwindigkeit sind unabhängig vom Gewicht der Person! Grund: Beschleunigung auf Grund der Erdanziehungskraft Beachte: Dies gilt nicht für leichte kleine Objekte, wie z.B. ein Regentropfen. Da bewirkt die Luftreibung, dass er mit konstanter Geschwindigkeit auf dem Boden auftrifft. (Erdbeschleunigung <-> Luftreibung) Allgemein: Beschleunigung a auf Grund einer externen Kraft Kapitel 3: Klassische Mechanik Bestimmung der Erdbeschleunigung l = 2.8m 2° Zeit bestimmt über eine Länge von 10 cm (Endgeschwindigkeit) Kapitel 3: Klassische Mechanik Bestimmung der Erdbeschleunigung hh=10 = 10 cm cm l = 2.8m 2° “Fallhöhe: h” β = π β sin 2° ≈ 10ππ β = π β π π π 2° β 2π 360° = π β 2° oder mit sinα≈α 2π β 360° = 2.8π β 0.035 ≈ 10ππ Kapitel 3: Klassische Mechanik Bestimmung der Erdbeschleunigung h=10 cm 2.8m Endgeschwindigkeit: Momentangeschwindigkeit: Beachte: βπ‘ ≠ π‘ Beachte: v ist unabhängig von t! 2° Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Mathematik (Differentiation) Physik . (a,b,c sind Konstanten) s (oder r, ): Strecke t: Zeit g: Erdbeschleunigung s0: Startposition v0=: Anfangsgeschwindigkeit Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmige Bewegung: Differential- Integralrechung s Durchschnitts- oder Intervallgeschwindigkeit: βπ = π£0 βπ‘ π 1 = π£0 π‘1 v π£0 t1 gleichförmige Bewegung: βπ‘ t π£ = konstant t 28 Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmige Bewegung: Differential- Integralrechung s Durchschnitts- oder Intervallgeschwindigkeit: βπ = π£0 βπ‘ π 1 = π£0 π‘1 t1 v π£0 π 1 = π£0 π‘1 gleichförmige Bewegung: βπ‘ t π£ = konstant βπ = π£0 βπ‘ βπ‘ für t => 29 Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung s 1 2 ππ‘ 2 1 π£0 π‘1 π‘1 π 0 t Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Ableitung s v 1 2 ππ‘ 2 1 π£ = ππ + π£0 π£0 π‘1 π‘1 π 0 ππ1 π£0 t π‘1 π£0 t Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Ableitung Ableitung s a v 1 2 ππ‘ 2 1 π£ = ππ + π£0 π£0 π‘1 π‘1 π 0 ππ1 π£0 t π‘1 π£0 π t π = ππππππππ π‘1 t Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Ableitung Ableitung Integration s a v 1 2 ππ‘ 2 1 π£ = ππ + π£0 π£0 π‘1 π‘1 π 0 ππ1 π£0 t π‘1 π£0 π t π = ππππππππ ππ1 π‘1 t Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichförmig beschleunigte Bewegung: Differential- Integralrechung Ableitung Ableitung Integration Integration s v 1 2 ππ‘ 2 1 π‘1 π 0 π£0 : Integrationskonstante π£ = ππ + π£0 π£0 π‘1 π 0 : Integrationskonstante a π£0 t ππ1 1 2 ππ‘ 2 1 π£0 π‘1 π‘1 π£0 π t π = ππππππππ ππ1 π‘1 t Kapitel 3: Klassische Mechanik Zusammenfassung: Bewegungsgesetze 35 Kapitel 3: Klassische Mechanik Gleichmäßig beschleunigte Bewegung in 2-Dimensionen Geschwindigkeit in x- und z- Richtung sind unabhängig voneinander (Grund: Geschwindigkeit ist eine vektorielle Größe) Tennisbälle, Affe Kapitel 3: Klassische Mechanik Waagerechter Wurf Geschwindigkeiten in x- und z- Richtung sind unabhängig voneinander Wasserstrahl, s0 = 0 v0 = v x g π π₯ π‘ = π£0 π‘ 1 2 π π§ π‘ = ππ‘ 2 π β(π‘) = π π₯ (π‘) π π§ (π‘) = π£0 π‘ 1 ππ‘ 2 2 Kapitel 3: Klassische Mechanik Waagerechter Wurf 1 2 Überlagerung gleichförmige Bewegung (π£0 π‘) und freier Fall ( ππ‘ 2 ) π β(π‘) = π π₯ (π‘) π π§ (π‘) = π£0 π‘ 1 2 ππ‘ 2 1 2 z = ππ‘ 2 z Tennisbälle 38 Kapitel 3: Klassische Mechanik Waagerechter Wurf Überlagerung gleichförmige Bewegung und freier Fall π£β(π‘) = π£0 ππ gleichförmige Bewegung freier Fall Tennisbälle 39 Kapitel 3: Klassische Mechanik schnelle Bewegung Rotationsbewegung 40 Kapitel 3: Klassische Mechanik schnelle Bewegung Geschwindigkeit einer Pistolenkugel? Versetzung der Löcher um Winkel Ο Motor f = 25 Hz = 25 s-1 βx = 1m Zurückgelegter Winkel in einer Sekunde: Ο = f 360° 41 Kapitel 3: Klassische Mechanik schnelle Bewegung Geschwindigkeit einer Pistolenkugel? Versetzung der Löcher um Winkel Motor f = 25 Hz = 25 s-1 βx = 1m Kapitel 3: Klassische Mechanik schnelle Bewegung Geschwindigkeit einer Pistolenkugel? Versetzung der Löcher um Winkel Motor f = 25 Hz = 25 s-1 βx = 1m Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Rotation (Drehbewegung um eine Achse) Winkel (in rad: Radiant) Winkelgeschwindigkeit (in rad/s) Winkelbeschleunigung (in rad /s2) Winkel in Bogenmaß, π dimensionslos π s ω= ππ ππ Translation ππ ππ = π2 π ππ‘ 2 π π π π£= ππ ππ π= ππ ππ = π π= π π2 ππ‘ 2 Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Rotation (Drehbewegung um eine Achse) Winkel (in rad: Radiant) s π ππ ππ ππ π2 π = 2 ππ ππ‘ Winkelgeschwindigkeit (in rad/s) Winkelbeschleunigung (in rad Translation ω= /s2) π£= π= Eine volle Umdrehung: π π π ⇒ π = 2ππ π = 2ππ π = 2π Mit 2π = οΏ½ 360° ⇒ ⇒ πΌππππ = ππ ππ ππ ππ π π= π 360° ππ΅π΅π΅π΅π΅π΅π΅π΅ 2π 1 rad = οΏ½ 57.29° = π2 ππ‘ 2 Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Rotation (Drehbewegung um eine Achse) Translation Winkel (in rad: Radiant) s Winkelgeschwindigkeit (in rad/s) Winkelbeschleunigung (in rad π π π= π π π /s2) π ππ ππ ππ π2 π = 2 ππ ππ‘ ω= π Bahngeschwindigkeit, π ππ ππ ππ = = π π ω= ππ ππ = π£=ππ ππ ππ ππ = ππ π£= 1 ππ π ππ = π£ π = π2 ππ‘ 2 (ersetze b durch s ⇒ alte Notation für Geschwindigkeit) Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Rotation (Drehbewegung um eine Achse) Translation Winkel (in rad: Radiant) s Winkelgeschwindigkeit (in rad/s) Winkelbeschleunigung (in rad π π π /s2) π ππ ππ ππ π2 π = 2 ππ ππ‘ ω= ππ ππ ππ = ππ π£= π = π2 ππ‘ 2 Zahl der Umläufe pro Zeiteinheit: π£ = π 2π π π = 2ππ π£ = ππ Umlaufzeit (Periode): π = 1 π = 2π π π: Frequenz 1 π = π Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Translation Weg Geschw. Beschl. Rotation π π£ π Bewegungsgleichungen π£ = π£0 + ππ π 1 2 π = π 0 + π£0 π‘ + ππ‘ 2 Winkel Winkelgeschw. Winkelbeschl. ππ π = π0 + π‘ ππ π ω= ππ ππ ππ ππ = π2 π ππ‘ 2 1 ππ 2 π = π0 + π0 π‘ + π‘ 2 ππ Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Winkelgeschwindigkeit ist ein Vektor, π Betrag: π = π x π£β π£ π • Richtung der Bewegung ist senkrecht zur Bewegungsebene. π£β • Geschwindigkeit ist konstant bei y • Gleichförmiger Drehbewegung π, π£β, πβ sind Vektoren Vektorprodukt (Krezprodukt) π£β = π x πβ Rechenregeln: später Kapitel 3: Klassische Mechanik Beispiel π Beschleunigung einer Zentrifuge: z.B. 6 000 πππππππππππ πππ Radius: r = 10 cm 2π π = 6 000 = 630 π −1 60π π= π2 π = 630 π −1 2 β 0.1π = 40 000 Ultrazentrifuge bis ca. 106 π π π 2 ≈ 4000 π Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehbewegung Drehbewegung läßt sich mittels einer sinus-Funktion beschreiben sinx 1 0 -1 -360° (-2π) 0 360° (2π) 51 Sinusbewegung Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung Allgemein: Beschleunigung a auf Grund einer externen Kraft πΉ =ππ Beachte: π£0 ist angegeben, oder π£0 = βπ βπ‘ oder π£0 = π π‘ Kraft = Masse mal Beschleunigung Beachte: Im allgemeinen sind Kraft, Strecke, Geschwindigkeit und Beschleunigung Vektoren, d.h. sie sind richtungsabhängig. Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung Kraft = Masse mal Beschleunigung F = m a Erdanziehungskraft: Auf Wagen wirkt: Start s0 mw F = m2 g F = mw a Geschwindigkeit ändert sich, Beschleunigung bleibt konstant s1 a g Start s0 s1 s Gewicht m2 Wirkt eine Kraft => ändert der Körper seinen Bewegungszustand Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Erdanziehungskraft: Auf Wagen wirkt: Start s0 F = mG g F = mw a a s1 g Start s0 s1 s Gewicht m2 Beispiel: Erdanziehungskraft wird verwendet, um einen Wagen zu beschleunigen. mg = m2 54 Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Start s0 Start s0 mit F = mw a a s1 2m s1 mw = 250 g m2 = 10 g s g Gewicht m2 F = m2 g Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Start s0 Start s0 Vergleich: mw = 250 g a s1 2m s1 s g m2=10g Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Start s0 mw = 250 g a Start s0 s1 s1 2m2 = 20g s g Gewicht m2=10g Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte Bewegung 2. Newtonsches Axiom: Kraft = Masse mal Beschleunigung Start s0 a Start s0 s1 s1 2m2 = 20g 2mw = 500g s g Gewicht m2 Kapitel 3: Klassische Mechanik Zur Übung Kräfte ο³ Energien Bewegung 1) Ein Fahrzeug der Masse m= 1500 kg wird aus dem Stillstand mit einer konstanten Kraft F = 5000 N beschleunigt. a) Wie groß ist die Beschleunigung? b) Welche Strecke hat das Fahrzeug nach 15 s zurückgelegt? Lösung a) F=ma => a = F/m = 5000N/1500kg = 3.33m/s2 b) s=0.5 a t2 = 0.5 * 3.33m/s2 * (15s)2 = 374.6 m Aus Klausur SS2006 Kapitel 3: Klassische Mechanik Energie Energieerhaltung: Kräfte ο³ Energien Bewegung Kapitel 3: Klassische Mechanik Energie Kräfte ο³ Energien Bewegung Vergleich: Arbeit ≡ Kraft mal Strecke W = πΉβ β π β = |πΉβ | β |π β| β cos(πΉβ , π β) (Winkel zwischen Kraft und Strecke) Energieerhaltung: Kapitel 3: Klassische Mechanik Wiederholung s0 = 5m; v0 = 5m/s F=mg Kraft beim Aufprall: F=mg Energieerhaltung: s (oder r, h): Strecke, Höhe t: Zeit g,a: (Erd)beschleunigung s0: Startposition v0=: Anfangsgeschwindigkeit W = Kraft * Strecke Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Energieerhaltung Bewegung kinetische Energie: Wkin = 0.5 m v2 m = 250g v = 1.4m/s hh==10 10cm cm l = 2.8m Wpot = m g h Wkin = 0.5 m v2 2° Kapitel 3: Klassische Mechanik Bestimmung der Erdbeschleunigung Zur Erinnerung: l = 2.8m 2° Zeit bestimmt über eine Länge von 10 cm (Endgeschwindigkeit) Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Energieerhaltung Bewegung kinetische Energie: Wkin = 0.5 m v2 m = 250g v = 1.4m/s hh==10 10cm cm l = 2.8m 2° Wpot = m g h Wkin = 0.5 m v2 = 0.5 * 0.25kg * (1.4 m/s)2 = 0.25 J Kapitel 3: Klassische Mechanik Bestimmung der Erdbeschleunigung hh=10 = 10 cm cm l = 2.8m 2° “Fallhöhe: h” β = π β sin 2° ≈ 10ππ β = π β π π π 2° β 2π 360° = π β 2° oder mit sinα≈α 2π β 360° = 2.8π β 0.035 ≈ 10ππ Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Energieerhaltung Bewegung Potentielle Energie: Wpot = mgh m = 250g v = 1.4m/s hh==10 10cm cm l = 2.8m W = m g h = 0.25 kg*10m/s2 * 0.1m = 0.25 kg m2/s2 = 0.25 J 2° Kapitel 3: Klassische Mechanik Energieerhaltung Wpot = Kraft * Strecke Kräfte ο³ Energien Bewegung . = m 9.81m/s2 * 5m = m 4.9 J/kg = 0.5 m (9.8m/s)2 = m 4.9 J/kg Energieerhaltung: Kapitel 3 Klassische Mechanik Zur Übung Kräfte ο³ Energien Bewegung 6) Ein Mensch springt von einem Tisch (Höhe h = 80 cm) herunter. Mit welcher Geschwindigkeit kommt er auf dem Boden an? (Erdbeschleunigung g = 9.81m/s2) Lösung: => π£ = 1 πππ = ππ£ 2 2 2ππ = 2 β 9.81ππ −2 β 0.8π = 3.96π/π Aus Klausur SS2011 Kräfte ο³ Energien Kapitel 3 Klassische Mechanik Zur Übung Bewegung Ein kleiner Junge fährt auf einem Schlitten einen Hang hinab. Der Junge wiegt 40 kg. Die zurückgelegte Höhendifferenz betrage 20 m. Die Erdbeschleunigung betrage 10m/s2. a) Welche kinetische Energie erreicht der Junge (Reibung soll vernachlässigt werden)? b) Welche Endgeschwindigkeit erreicht der Junge, wenn Reibung vernachlässigt werden kann? Lösung: a) Energieerhaltung: mgΔh = ΔEkin ΔEkin= 40 kg 10 ms-2 20 m = 80 kJ b) mgΔh = ΔEkin = 0.5 m v2 π£= 2πββ = 2 β 10 π 20π π 2 = 20 πs-1 Kapitel 3 Klassische Mechanik Zur Übung Kräfte ο³ Energien Bewegung 13) Aus dem Stand beschleunigt ein Auto (Masse m=1000 kg) mit a = 2 m/s2. a) Welche Geschwindigkeit hat es nach einer Entfernung von s = 50 m erreicht? b) Wie viel Energie wurde benötigt, wenn nur 1/3 davon in Bewegungsenergie umgewandelt worden ist? Lösung: a) 14,1 m/s b) W=1/2 m v2= 0.5 1000kg (14.1m/s)2 ≈ 100kJ da nur ein drittel in Bewegungsenergie umgesetzt wird, werden 3 W = 300kJ benötigt. Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Rotationsenergie Bewegung Rollende Kugel * R r h s=1m Winkelgeschwindigkeit: Bahngeschwindigkeit: Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Rotationsenergie Bewegung * R Rollende Kugel r h s=1m Winkelgeschwindigkeit: Bahngeschwindigkeit: Ziel: Struktur der Geschwindigkeitsgleichungen soll einheitlich sein Trägheitsmoment: π = οΏ½ π 2 ππ 73 Kräfte ο³ Energien Kapitel 3: Klassische Mechanik Zur Übung Bewegung 12) Wie viel Rotationsenergie besitzt ein rollender Vollzylinder 1 π = ππ 2 , π = 10ππ 2 (Trägheitsmoment π, Masse m), wenn sich dessen Masseschwerpunkt mit einer Geschwindigkeit von v = 5 m/s fortbewegt? Lösung: ππππ = 1 π 2 ππππππππ 1 1 π£ 2 2 2 π = ππ 2 2 π 1 4 = ππ£ 2 = 62.5π½ Aus Klausur SS2010
