Theoretische Physik: Einf uhrung in die spezielle Relativit atstheorie

Universitat Koblenz, Wintersemester 1999/2000
Theoretische Physik:
Einfu
atstheorie
hrung in die spezielle Relativit
Vorlesungsskript und Aufgaben (ohne Losungen)
Udo Backhaus
Flug durch "Albert Einstein\ mit kleiner (oben) bzw. sehr groer (v = 0:99c)
Geschwindigkeit (nach R. Thiel: Examensarbeit)
i
INHALTSVERZEICHNIS
ii
Inhaltsverzeichnis
Literatur
Lernziele
1 28. Oktober 1999: Einfuhrung
1.1
1.2
1.3
Warum Relativitatstheorie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
U berraschende Aussagen der Relativitatstheorie . . . . . . . . . . . . . . .
Einsteins Postulate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 4. November 1999: Newton'sche Relativitat
2.1
2.2
2.3
2.4
Tragheit und Relativitat . . . . . . . . . .
Geometrische Darstellung von Bewegungen
Die Galilei-Transformation . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Galilei-Invarianz der Newton'schen Gesetze
Elektrodynamik: Die Maxwell-Gleichungen . . .
Die Wellengleichung . . . . . . . . . . . . . . .
Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 25. November 1999: Der Lichtather
4.1
4.2
4.3
4.4
Wiederholung und Erganzung . . . . . . . .
Licht als elektromagnetische Welle . . . . . .
Maxwell-Gleichungen und Galilei-Invarianz .
Die Lichtgeschwindigkeit . . . . . . . . . . .
4.4.1 Galilei . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4.2 Die Methode von Ole Romer . . . . .
4.5 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 2. Dezember 1999: Der Michelson-Versuch
5.1
5.2
5.3
5.4
1
2
2
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3 11. November 1999: Elektromagnetismus
3.1
3.2
3.3
3.4
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v
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Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eine moderne Messung der Lichtgeschwindigkeit
Der Versuch von Michelson und Morley . . . . .
U bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 9. Dezember 1999: Der Verlust des A thers
6.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Versuche, die A ther-Hypothese zu halten . . . .
6.3 noch einmal: Die Einsteinschen Postulate . . . .
6.4 Erste Folgerungen . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 U bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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38
INHALTSVERZEICHNIS
iii
7 16. Dezember 1999: Relativitat { qualitativ
7.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Qualitative Folgerungen aus den Grundpostulaten
7.2.1 Die Relativitat der Gleichzeitigkeit . . . .
7.2.2 Die Relativitat der Langenmessung . . . .
7.3 U bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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8 6. Januar 2000: Die Relativitat der Zeit
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8.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.2 Zeitdilatation { qualitativ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
8.3 U bung: Langenkontraktion und Zeitdilatation { quantitativ . . . . . . . . . 51
9 13. Januar 2000: Minkowski-Diagramme
9.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Bewegte Uhren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Experimente zur Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . .
9.3.1 Das Maryland-Experiment (Sexl, S. 37) . . .
9.3.2 Das Hafele-Keating-Experiment (Sexl, S. 39)
9.3.3 Myonen-Experimente (Sexl, S. 43) . . . . . .
9.4 Minkowski-Diagramme (Sexl, S. 68) . . . . . . . . .
9.5 U bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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10 20. Januar 2000: Anwendung von Minkowski-Diagrammen
10.1 Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Folgerungen aus den Minkowski-Diagrammen . . .
10.2.1 Die Relativitat der Gleichzeitigkeit . . . . .
10.2.2 Die Langenkontraktion und ihre Symmetrie
10.2.3 U berlichtschnelle Signale . . . . . . . . . . .
10.2.4 Vergangenheit und Zukunft . . . . . . . . .
10.2.5 Koordinatentransformation . . . . . . . . . .
10.3 U bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11.1 Ableitung der Transformationsgleichungen . . . . . . . . . . . . .
11.2 Anwendungen der Transformationsgleichungen . . . . . . . . . . .
11.2.1 Langenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.2.2 Relativistische Geschwindigkeitsaddition . . . . . . . . . .
11.3 Das Zwillings-Paradoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 U bung: Weitere Folgerungen aus den Transformationsgleichungen
11.4.1 Relativitat der Synchronisation . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.2 Zeitdilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4.3 Lichtaberration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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11 27. Januar 2000: Die Lorentz-Transformation
12 3. Februar 2000: Das Aussehen schnell bewegter Objekte
12.1 Wiederholung . . . . . .
12.1.1 Lichtaberration .
12.1.2 Der Dopplereekt
12.2 Retardierung . . . . . .
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INHALTSVERZEICHNIS
12.3
12.4
12.5
12.6
12.2.1 Scheinbare Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.2.2 Unsichtbarkeit der Langenkontraktion . . . . . . . . . . . .
12.2.3 Verformung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Berucksichtigung des Doppler-Eektes . . . . . . . . . . . . . . . .
U bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12.4.1 Scheinbare Geschwindigkeit eines sich entfernenden Korpers
12.4.2 Scheinbare Langenanderung bei Abstandsanderung . . . . .
12.4.3 Hyperbelartige Verformung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Visualisierung von Laufzeiteekten durch Raycasting . . . . . . . .
Demonstrationslme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13 10. Februar 2000: Die Masse in der Relativitatstheorie
13.1
13.2
13.3
13.4
13.5
Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lichtlaufzeiteekte in der klassischen Physik . . . . .
noch einmal: relativistische Geschwindigkeitsaddition
Die relativistische Masse . . . . . . . . . . . . . . . .
U bung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14 17. Februar 2000: Relativistische Dynamik
14.1
14.2
14.3
14.4
14.5
14.6
iv
Wiederholung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Das relativistische Kraftgesetz . . . . . . . . . . . . .
Beispiel: Raumfahrt mit konstanter Beschleunigung .
Die kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die beruhmteste Formel der Welt: Masse und Energie
U bung: Elektronen im transversalen Magnetfeld . . .
15 Schlussbemerkungen
16 Anhang
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16.1 Roemers Methode zur Messung der Lichtgeschwindigkeit
16.1.1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.2 Etwas Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.3 Etwas Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.4 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.1.5 Beobachtbare Io-Vernsterungen 1997 . . . . . . .
16.2 Zur Sichtbarkeit relativistischer Eekte . . . . . . . . . .
16.3 Parameter der Filme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.4 Parameter der Bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
16.5 Folien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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123
124
LITERATUR
v
Literatur
1] S. Bergia: Einstein { Das neue Weltbild der Physik, Spektrum-Biographi, Verlag
Spektrum der Wissenschaft, Heidelberg 1999
2] M. Born: Die Relativitatstheorie Einsteins, Springer: Berlin usw. 1969
3] I. N. Bronstein, K. A. Semendjajew: Taschenbuch der Mathematik, Teubner: Stuttgart 1991
4] A. Einstein: Grundzuge der Relativitatstheorie, Vieweg: Braunschweig 1965
5] A. Einstein, L. Infeld: Die Evolution der Physik, Rowohlt 1995
6] L. C. Epstein: Relativitatstheorie { anschaulich dargestellt, Birkhauser: Basel usw.
1988
7] G. Falk, W. Ruppel: Mechanik, Relativitat, Gravitation, Springer: Berlin usw. 1989
8] A. Folsing: Albert Einstein. Eine Biographie, suhrkamp 1995
9] H. Fritzsch: E = mc2 { Eine Formel verandert die Welt. Newton, Einstein und die
Relativitatstheorie, Piper 1990
10] H. Goenner: Einsteins Relativitatstheorien, Beck: Munchen 1997
11] B. Homann: Einsteins Ideen. Das Relativitatsprinzip und seine historischen Wurzeln, Spektrum Akademischer Verlag: Heidelberg usw. 1997
12] R. d'Inverno: Einfuhrung in die Relativitatstheorie, VCH: Weinheim 1995
13] G. Kahan: Einsteins Relativitatstheorie zum leichten Verstandnis fur jedermann, dumont: Koln 1999
14] B. Kanitscheider: Das Weltbild Albert Einsteins, Buchergilde Gutenberg: Darmstadt
1989
15] U. Kraus et al.: Aussehen relativistisch bewegter Korper, Praxis der Naturwissenschaften/Physik 42/2, 2 (1997)
16] U. Kraus: Tempolimit: Lichtgeschwindigkeit, Postscrip-Vorabdruck, Tubingen 1999
17] D.-E. Liebscher: Relativitatstheorie mit Zirkel und Lineal, Vieweg: Braunschweig 1977
18] D.-E. Liebscher: Einsteins Relativitatstheorie und die Geometrien der Ebene, Teubner: Stuttgart 1999
19] A. Lightman: Und immer wieder die Zeit. Einstein's Dreams, Heyne: Munchen 1994
20] H. A. Lorentz, A. Einstein, H. Minkowski: Das Relativitatsprinzip, Wissenschaftliche
Buchgesellschaft: Darmstadt 1974
21] I. Newton: Mathematische Prinzipien der Naturlehre, Unveranderter Nachdruck der
Ausgabe Berlin 1872, Darmstadt: Wissenschaftliche Buchgesellschaft 1963
LITERATUR
vi
22] H. Reichenbach: Philosophie der Raum-Zeit-Lehre (Gesammelte Werke, Band 2),
Vieweg: Braunschweig 1977
23] R. Resnick: Introduction to Special Relativity, Wiley: New York usw. 1968
24] Ruder, H. und M.: Die spezielle Relativitatstheorie, vieweg: Braunschweig 1993
25] R. Sexl, H. K. Schmidt: Raum { Zeit { Relativitat, Vieweg: Braunschweig 1991
26] Thiel, R.: Der Einuss der endlichen Lichtgeschwindigkeit auf das Aussehen schnell
bewegter Korper, Staatsexamensarbeit, Universitat Koblenz 2000
27] P. A. Tipler: Physik, Spektrum Akademischer Verlag: Heidelberg usw. 1994
28] E. F. Taylor, J. A. Wheeler: Physik der Raumzeit, Spektrum Akademischer Verlag:
Heidelberg usw. 1994
LITERATUR
vii
Lernziele
Die Teilnehmer sollen am Ende der Veranstaltung folgendes konnen:
die groen Wenden in der Geschichte der Naturwissenschaften nennen,
die historische und heutige Bedeutung der Relativitatstheorie beschreiben,
typische Aussagen der Relativitatstheorie nennen,
die Grundpostulate der Relativitatstheorie nennen und ihre Bedeutung erlautern,
die Galilei-Transformation mathematisch formulieren und auf konkrete Beispiele
anwenden,
einfache Bewegungen in Minkowski-Diagrammen darstellen,
die Galilei-Transformation als Koorddinatentransformation im Minkowski-Diagramm
darstellen,
die klassische Geschwindigkeitsaddition mit Hilfe der Galilei-Transformation ableiten und den Zusammenhang mit dem Unabhangigkeitsprinzip der Bewegungen
erlautern,
die Newton'schen Gesetze nennen und erlautern und ihre Galileiinvarianz begrunden,
das klassische Relativitatsprinzip erlautern,
die Rolle des absoluten Raumes und der absoluten Zeit in der klassischen Physik
erlautern,
die Wellengleichung der Elektrodynamik und ihre allgemeine Losung angeben,
an Hand der Wellengleichung begrunden, dass die Maxwell'schen Gleichungen nicht
galileiinvariant sein konnen,
Licht als elektromagnetische Welle beschreiben und Rolle und Eigenschaften des
A thers als Ausbreitungsmedium fur das Licht erlautern,
die Methode von Ole Romer und eine moderne Methode zur Messung der Lichtgeschwindigkeit beschreiben,
Ziel, Messmethode, Ergebnis und historische Bedeutung des Versuchs von Michelson
und Morley erlautern,
den Eekt der Lichtaberration beschreiben und seine Erklarung in der klassischen
Physik nennen,
das relativistische Relativitatsprinzip erlautern und gegen das klassische Relativitatsprinzip abgrenzen,
die Relativitat der Gleichzeitigkeit aus den Grundpostulaten der Relativitatstheorie
ableiten und widerspruchsfrei formulieren,
LITERATUR
mindestens ein Verfahren der Uhrensynchronisation beschreiben,
die Lichtaberration als Folge der Relativitat der Gleichzeitigkeit darstellen,
die Langenkontraktion als direkte Folge der Relativitat der Gleichzeitigkeit darstellen und auf konkrete Beispiele qualitativ anwenden,
den Zusammenhang zwischen Relativitat der Gleichzeitigkeit, Langenkontraktion
und Zeitdilatation qualitativ darstellen,
die Eekte der Langenkontraktion und der Zeitdilatation aus den Grundpostulaten
der Relativitatstheorie quantitativ ableiten,
die Denition des Lorentz-Faktors nennen und seine Abhangigkeit von der Geschwindigkeit grasch darstellen,
Experimente zur Bestatigung der relativistischen Formeln fur Langenkontraktion
und Zeitdilatation beschreiben,
aus den Grundpostulaten der Relativitatstheorie die Transformation der Achsen
eines Minkowski-Diagrammes ableiten und die Lorentz-Transformation mit Hilfe
von Minkowski-Diagrammen grasch darstellen,
die Langenkontraktion und ihre Symmetrie anhand eines Minkowski-Diagrammes
begrunden,
die Zeitdilation und ihre Symmetrie anhand eines Minkowski-Diagrammes begrunden,
erlautern, wie in der Relativitatstheorie durch uberlichtschnelle Signale ein Widerspruch zum Kausalitatsprinzip entsteht,
die Begrie Vergangenheit, Zukunft, lichtartig, raumartig und Lichtkegel erklaren
und ihre Bedeutung in der Relativitatstheorie erlautern,
die Transformationsgleichungen der Lorentz-Transformation aufschreiben und die
wichtigsten Schritte ihrer Ableitung aus den Grundpostulaten der Relativitatstheorie beschreiben,
die Formeln fur
{
{
{
{
viii
die Langenkontraktion,
die Zeitdilatation,
die Lichtaberration (fur den Spezialfall cy = 0) und
die relativistische Geschwindigkeitsaddition
0
aus den Transformationsgleichungen ableiten,
die Rolle der Lichtgeschwindigkeit als Grenzgeschwindigkeit und die Verletzung des
Unabhangigkeitsprinzips der Bewegungen als Folge der relativistischen Geschwindigkeitsaddition darstellen,
LITERATUR
das Zwillings-"Paradoxon\ diskutieren,
den Doppler-Eekt als U berlagerung zweier Eekte (Zeitdilatation und endliche
Lichtlaufzeit) beschreiben und die Formel fur den einfachsten Spezialfall ableiten,
den Unterschied zwischen Messung und Beobachtung erlautern,
die wichtigsten Laufzeiteekte bei der Beobachtung sich schnell bewegender Objekte
nennen und begrunden,
den Einuss der Bewegung eines Korpers auf scheinbare Geschwindigkeit und scheinbare Orientierung bei der Beobachtung im Minkowski-Diagramm darstellen und
quantitativ ableiten,
den Unterschied zwischen den Massebegrien der klassischen und der relativistischen
Physik erlautern,
die Bedeutung des Impulserhaltungssatzes fur die Geschwindigkeitsabhangigkeit der
relativistischen Masse beschreiben,
die Geschwindigkeitsabhangigkeit der relativistischen Masse nennen und die Folgerungen diskutieren,
die Denition von Impuls und kinetischer Energie und ihren Zusammenhang in der
Relativitatstheorie angeben und Unterschiede zu den entsprechenden klassischen
Begrien nennen,
das relativistische Kraftgesetz angeben und einfache Folgerungen daraus ziehen,
die A quivalenz von Masse und Energie nennen und die Konsequenzen erlautern,
die Erhaltungssatze der relativistischen Mechanik nennen,
die Grundgleichungen der relativistischen Mechanik auf die Beispiele
{ Weltraumug mit konstanter (lokaler) Beschleunigung und
{ die Bewegung von Elektronen im transversalen Magnetfeld
ix
anwenden,
auf Photonen ubertragen und
Beispiele fur die experimentelle U berprufung dieser Gleichungen nennen.
1 28. OKTOBER 1999: EINFU HRUNG
1
1 28. Oktober 1999: Einfuhrung
1.1 Warum Relativitatstheorie?
Die Entwicklung der Naturwissenschaften ist i.a. ein gleichformiger, stetiger Vorgang. Trotzdem sind darin bestimmte Perioden unterscheidbar, die sich durch hervorragende experimentelle Entdeckungen und darauf aufbauende theoretische Gedanken abheben. Ein solcher Wendepunkt lag um 1550, ein weiterer ist mit den
Namen Galilei und Newton (ca. 1680) verbunden. Haug werden diese beiden Einschnitte auch zu einem zusammengefasst (Copernicanische Wende).
Ein anderer Wendepunkt kam um das Jahr 1900 durch eine Flut experimenteller
Entdeckungen { Rontgenstrahlen, Radioaktivitat, Elektron usw. { und durch zwei
neue grundlegende Theorien { Quantentheorie und Relativitatstheorie (RT).
Mit der Copernicanischen Wende habe ich mich in der "Himmelsmechanik\ befasst,
nun folgt logischerweise ein Teil der Wende zur "modernen\
Physik.
Die Relativitatstheorie markiert insofern den Beginn eines neuen Zeitalters der Physik, als sie von den klassischen Vorstellungen, insbesondere uber Raum und Zeit,
Gebrauch macht, sie aber einer scharfen Kritik unterwirft und sie schlielich durch
neue, revolutionare Begrie ersetzt. Die Begrundungen dafur eroneten neue Wege
des Denkens uber die Naturerscheinungen (Born): Newtons absoluter Raum widerspricht namlich dem Prinzip, dass Begrie, die keine empirische Verikation zulassen, aus der theoretischen Physik ausgemerzt werden sollten.
Die von der Relativitatstheorie vorhergesagten Eekte waren lange Zeit unmessbar
klein. Solange das so war, setzte sich die RT nicht allgemein durch, da sie ein radikales Abrucken von Denkgewohnheiten erforderte. Der Durchbruch kam erst 1919, als
die Lichtablenkung an der Sonne in voller U bereinstimmung mit der Einsteinschen
Vorhersage bestatigt wurde. Damit war Einstein mit einem Schlage, uber den Kreis
der Physiker hinaus, ein weltberuhmter Mann.
Die meisten Eekte der speziellen (SRT), erst recht die der allgemeinen Relativitatstheorie (ART) sind in der Lebenswelt nicht zu bemerken. Inzwischen sind
sie aber aus der Messtechnik (Koordination der Weltzeit), der physikalischen Technik (Teilchenbeschleuniger) und aus den modernen Vorstellungen uber das Weltall
(Kosmologie) nicht mehr wegzudenken.
Die grote praktische Bedeutung (und deshalb auch die grote Beruhmtheit) hat die
A quivalenz von Masse und Energie erlangt: E = mc2. Sie war zunachst ein theoretisches Konzept ohne jede praktische Bedeutung. Noch 1920 meinte Einstein, es
gebe "nicht den leisesten Anhalt dafur, ob und wann jemals diese Energiegewinnung
erzielt werden konnte\ (Sexl, S. XIII). Doch knapp zwei Jahrzehnte spater schrieb
Einstein einen der entscheidenden Briefe dieses Jahrhunderts an den amerikanischen
Prasidenten Roosevelt, der mit den Worten beginnt:
Einige neuere Untersuchungen von Enrico Fermi und Leo Szilard . . . lassen erwarten, dass das Element Uran zu einer neuen und wichtigen Energiequelle in der unmittelbaren Zukunft werden kann . . .
1 28. OKTOBER 1999: EINFU HRUNG
2
Bekanntlich bewahrheitete sich diese Vorhersage sehr schnell: In Kernreaktor und
Atombombe erschloss sich die Menschheit eine Energiequelle, die in der Natur (in
Sternen) seit Jahrmilliarden wirksam ist.
Beispiele experimenteller Relevanz der SRT:
1. Wenn Elektronen statt mit 10MV mit 40MV beschleunigt werden, dann verdoppelt sich ihre Geschwindigkeit nicht, wie man klassisch erwarten wurde,
sondern sie wachst nur von v = 0:9988c auf v = 0:9999c.
2. Wenn man Elektronen der Energie 10MeV senkrecht zu den Feldlinien in ein
magnetisches Feld schiet, so dass man klassisch einen Radius von 0:53cm
erwartet, dann misst man stattdessen einen Radius von 1:8cm.
1.2 U berraschende Aussagen der Relativitatstheorie
Bewegte Korper werden in Bewegungsrichtung kurzer (Langenkontraktion).
Bewegte Uhren gehen langsamer (Zeitdilatation).
Bewegte Korper sehen gedreht oder verformt aus. Das Titelblatt dieses Skriptes
zeigt ein Beispiel.
Schiet eine Rakete, die mit einer Geschwindigkeit v iegt, eine weitere Rakete
mit einer Geschwindigkeit w nach vorn ab, dann ist die Gesamtgeschwindigkeit der
zweiten Rakete kleiner als v + w (relativistische Geschwindigkeitsaddition).
Kehrt ein Zwilling nach einer langen Reise zu seinem Bruder zuruck, dann ist der
Daheimgebliebene alter als sein Bruder (Zwillingsparadoxon).
Auf dem Mount Everest gehen Uhren schneller als in Koblenz. Oder allgemeiner:
Alle Uhren gehen im Schwerefeld langsamer (Gravitationsdilatation).
Lichtstrahlen werden in der Nahe groer Massen gekrummt (Gravitationsablenkung).
Der Raum wird durch Massen gekrummt.
In einem schwarzen Loch steht die Zeit still.
1.3 Einsteins Postulate
Einsteins Originalformulierungen (aus 20])
Beispiele ahnlicher Art, sowie die milungenen Versuche, eine Bewegung
der Erde relativ zum "Lichtmedium\ zu konstatieren, fuhren zu der Vermutung, da dem Begrie der absoluten Ruhe nicht nur in der Mechanik sondern auch in der Elektrodynamik keine Eigenschaften entsprechen,
sondern da vielmehr fur alle Koordinatensysteme, fur welche die mechanischen Gleichungen gelten, auch die gleichen elektrodynamischen und
1 28. OKTOBER 1999: EINFU HRUNG
m
AK H
Y
*
HH
A;
H
@
A H
j
H
AU
m
H
Y
*
HAK H
A;
H
@
A H
j;
H
AU
~v
-
~v
x Beobachter A
x Beobachter B
3
;~v x Beobachter
A
x Beobachter B
Abbildung 1: Eine Lichtquelle und zwei Beobachter, von denen sich einer (B) auf die
Lichtquelle zubewegt (oben). Derselbe Vorgang aus der Sicht von B, d.h. beschrieben in
einem anderen Inertialsystem.
optischen Gesetze gelten, wie dies fur die Groen erster Ordnung bereits erwiesen ist. Wir wollen diese Vermutung (deren Inhalt im folgenden "Prinzip der Relativitat\ genannt werden wird) zur Voraussetzung
erheben und auerdem die mit ihm nur scheinbar unvertragliche Voraussetzung einfuhren, da sich das Licht im leeren Raum stets mit einer bestimmten, vom Bewegungszustande des emittierenden Korpers unabhangigen Geschwindigkeit V fortpanze. Diese beiden Voraussetzungen genugen, um zu einer einfachen und widerspruchsfreien Elektrodynamik bewegter Korper zu gelangen unter Zugrundelegung der Maxwellschen Theorie fur ruhende Korper. Die Einfuhrung eines "Lichtathers\
wird sich insofern als uberussig erweisen, als nach der zu entwickelnden
Auassung weder ein mit besonderen Eigenschaften ausgestatteter "absolut ruhender Raum\ eingefuhrt, noch einem Punkte des leeren Raumes,
in welchem elektromagnetische Prozesse stattnden, ein Geschwindigkeitsvektor zugeordnet werden wird.
(Zur Elektrodynamik bewegter Korper (Einstein 1905), in 20])
Tipler:
Erstes Postulat: Absolute gleichformige Bewegung kann nicht festgestellt werden.
Zweites Postulat: Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist unabhangig vom Bewegungszustand der Lichtquelle.
Diese Postulate erscheinen zunachst fast selbstverstandlich: Das 1. Postulat war so
ahnlich (fur die mechanischen Gesetze) seit langem akzeptiert, und das 2. Postulat scheint eine bekannte Eigenschaft aller Wellen zu beschreiben. So ist doch die
Schallgeschwindigkeit (nicht die Frequenz!) in Luft unabhangig von der Bewegung
der Schallquelle.
Die Brisanz dieser Postulate wird erst durch ihre Kombination deutlich (Beispiel:
Tipler, S. XXX):
Welche Lichtgeschwindigkeit wird Beobachter B messen? Klassisch ist die Antwort
klar: Weil B dem Licht entgegenkommt, muss er c + v als Lichtgeschwindigkeit
1 28. OKTOBER 1999: EINFU HRUNG
4
messen. Nach dem 1. Postulat kann aber zwischen den beiden in Abbildung 1 beschriebenen Vorgangen nicht unterschieden werden! B muss also in beiden Fallen
dieselbe Lichtgeschwindigkeit messen. Nach dem 2. Postulat kann aber im unteren
Fall das Messergebnis nur c sein. Also kann B auch dann nur c als Lichtgeschwindigkeit messen, wenn er dem Licht "entgegenkommt\.
So harmlos die beiden Postulate einzeln auf den ersten Blick erscheinen, so brisant
sind die Folgerungen, die sich durch ihre Kombination ergeben. So haben wir an diesem Beispiel gesehen, dass die Lichtgeschwindigkeit, im Widerspruch zur klassischen
Geschwindigkeitsaddition, in beiden Bezugssystemen dieselbe ist.
Wir werden deshalb die folgende Formulierung (Sexl) verwenden, die das Wesentliche der beiden Postulate etwas deutlicher macht:
Die Grundpostulate der speziellen Relativitatstheorie
Relativitatsprinzip: Die Naturgesetze haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form.
Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in jedem Inertialsystem
denselben Wert.
(1)
2 4. NOVEMBER 1999: NEWTON'SCHE RELATIVITA T
5
2 4. November 1999: Newton'sche Relativitat
2.1 Tragheit und Relativitat
Phanomen: Kaetrinken im Flugzeug
{ Warum wird Kaee nicht bei Turbulenzen ausgeschenkt? Der Grund liegt auf
der Hand: Man wurde die ganze Umgebung vollkleckern!
{ Warum aber geht es vollig in Ordnung, wenn die Stewardessen die Mahlzeiten
servieren, wenn sich die Turbulenzen gelegt haben? Wiederum ist die Ursache
klar: In einem ruhig dahingleitenden Flugzeug { auch wenn es eine Geschwindigkeit von 1000 Kilometer in der Stunde hat { ist Essen und Trinken so einfach,
als hatte man festen Grund unter den Fuen.
Die Ursache fur diese auch heute immer wieder erstaunliche Erfahrung, die aber
vor 400 Jahren fast unglaublich war, ist die Tragheit aller Korper: Die (konstante)
Geschwindigkeit ist allen Korpern der Umgebung im Flugzeug gemeinsam und hat
deshalb keinen Einuss auf die Relativbewegung der Korper untereinander.
Folgerung also: Solange die Bewegung gleichformig ist, hat sie keinen Einuss auf
die Vorgange im Flugzeug. Diese allgemeine Aussage, das sogenannte Relativitatsprinzip, ist das Leitmotiv der ganzen Relativitatstheorie. Es wurde Anfang des
17. Jahrhunderts zuerst von Galilei formuliert und achtzig Jahre spater von Newton verallgemeinert.
Grundlage des Relativitatsprinzips ist der Galilei-Newton'sche Tragheitssatz:
Ein Korper verharrt im Zustand der geradlinig gleichformigen Bewegung,
wenn er nicht durch auere Krafte gezwungen wird, diesen Zustand zu
andern.
Der Wortlaut dieses Satzes ist bei Galilei und Newton zwar gleich, bei Newton ist
er aber weniger "erdgebunden\, vielmehr von kosmischer Bedeutung.
Der Tragheitssatz ist oensichtlich nur sinnvoll relativ zu einem Bezugssystem, in
dem Orte und Zeiten gemessen werden konnen: Um die Gleichformigkeit einer Bewegung feststellen zu konnen, braucht man ein Bezugssystem und Mastabe und
eine Uhr, mit denen man feststellen kann, dass in gleichen Zeiten gleiche Strecken
zuruckgelegt werden. Bei immer genauerem Hinsehen wird dieser Gesichtspunkt immer problematischer: Erscheint eine Bewegung in einem Labor geradlinig, so ist sie
es auf Grund der Erdrotation "von auen betrachtet\ sicher nicht ganz. Auf einem
noch groeren Mastab werden scheinbare Geraden durch den Erdlauf um die Sonne
zu Kreisen gebogen.
Wie aber kann Ruhe und geradliniger Bewegung ein kosmischer Sinn gegeben werden, wenn die Erde nicht als ruhendes Bezugssystem betrachtet werden kann? Newton erfand als Losung den absoluten Raum und die absolute Zeit :
2 4. NOVEMBER 1999: NEWTON'SCHE RELATIVITA T
v = 0 ms
t in s
v = 1 ms
6
4
v = 2 ms
2
v = 5 ms
2
4
6
x in m
Abbildung 2: Weltlinien geradlinig gleichformiger Bewegungen
Der absolute Raum bleibt vermoge seiner Natur und ohne Beziehung auf
einen aueren Gegenstand stets gleich und unbeweglich.
Die absolute, wahre und mathematische Zeit veriet an sich und vermoge
ihrer Natur gleichformig und ohne Beziehung auf einen aueren Gegenstand. Sie wird so auch mit dem Namen "Dauer\ belegt.
2.2 Geometrische Darstellung von Bewegungen
Minkowski hat 1908 die Zusammenfassung des (x y z)-Ortsraumes mit der Zeit
zu einem vierdimensionalen (x y z t)-Raum als die Welt bezeichnet und damit dem
Umstand Rechnung getragen, dass in der Relativitatstheorie zwischen Raum und
Zeit als Objekte physikalischer Messung nicht mehr scharf unterschieden werden
kann: Das Element aller Ordnung der realen Dinge ist nicht der Ort und nicht der
Zeitpunkt, sondern das Ereignis oder der Weltpunkt.
Die Veranderung des absoluten Ortes als Funktion der absoluten Zeit wird in Form
von Weltlinien in Orts-Zeit-Diagrammen dargestellt:
{ Fur den Fall einer eindimensionalen Bewegung in x-Richtung entsprechen diese
Diagramme den bekannten x(t)-Diagrammen mit dem Unterschied, dass der
Ort auf der Abszisse, die Zeit auf der Ordinate abgetragen wird (Abb. 2).
{ Achtung: Die Zeitkoordinate kann niemals abnehmen!
{ Im Falle zweidimensionaler Bewegungen in der (x y)-Ebene stellt die Projektion der Weltlinie auf die (x y)-Ebene die Bahnkurve der Bewegung dar (Abb. 3).
{ Im Falle dreidimensionaler Bewegungen fehlt uns die Moglichkeit einer anschaulichen Darstellung. Man muss sich auf eine zweidimensionale Projektion
der Bewegung beschranken oder auf die Bahnkurve im dreidimensionalen Ortsraum (d.h. man verzichtet auf die Zeitkoordinate).
Wegen der groen Bedeutung, die die Ausbreitung des Lichtes fur die Relativitatstheorie hat, werden wir die Zeitachse im Folgenden durch eine zusatzliche Raumachse darstellen (Abb. 4).
2 4. NOVEMBER 1999: NEWTON'SCHE RELATIVITA T
7
t in s
t in s
5
y in m
5
5
y in m
100
50
x in m
5
-5
-5
5
x in m
Abbildung 3: Weltlinien zweidimensionaler Bewegungen: Schiefer Wurf (links) und Kreisbewegung (rechts)
ct in m
v = 0:1c v = 0:5c
v=c
4
2
2
6
x in m
Abbildung 4: Umeichung der t-Achse zur ct-Achse
t-Achse
4
;!
ct-Achse = x0 -Achse
Das entspricht einer sehr starken Vergroerung des Mastabes der Ordinate: Alltagliche Bewegungen werden dadurch durch sehr steile Weltlinien reprasentiert, die Bewegung eines Photons durch die Winkelhalbierende (allgemeiner: durch eine Gerade
mit der Steigung 1):
x = ct =) x = x0
2.3 Die Galilei-Transformation
Wenn auch die Vorgange (z.B.) im Flugzeug durch seine Bewegung nicht beeinusst
werden, so ist doch die Beschreibung dieser Vorgange ganz unterschiedlich, je nachdem ob man sie relativ zum Flugzeug oder relativ zum Boden betrachtet: Aus Ruhe
wird Bewegung und umgekehrt, aus einem senkrechten Fall ein horizontaler Wurf
2 4. NOVEMBER 1999: NEWTON'SCHE RELATIVITA T
ct in m
ct' in m
5
vt
4
8
uP
x'
2
x'
2
x' in m
x
4
6
x in m
Abbildung 5: Galilei-Transformation in der Minkowski-Darstellung
usw. Wie kann die Bewegung in dem einen Bezugssystem in die bzgl. des anderen
umgerechnet werden?
Beim U bergang von einem Inertialsystem zu einem anderen erwartet man Folgendes:
{ Die Ausdehnung aller Korper bleibt dieselbe (Langenerhaltung).
{ Alle Vorgange nden zur selben Zeit statt (absolute Zeit).
{ Die Geschwindigkeit des Flugzeuges addiert sich vektoriell zur Geschwindigkeit
aller Korper (Addition der Geschwindigkeiten).
Wenn man das mit dem Boden verbundene Koordinatensystem S als (ct x y z)-,
das mit dem Flugzeug verbundene S als (ct x y z )-System bezeichnet, x- und x Achse in Richtung der Bewegung legt und die beiden Koordinatenursprunge zur Zeit
t = t = 0 ubereinstimmen lasst, dann stellt sich die Transformation geometrisch
dar wie in Abbildung 5 gezeigt.
Dabei wurden die y- und z-Achse fortgelassen und verwendet, dass der Nullpunkt
des Flugzeugsystems S im Bodensystem S eine gleichformige Bewegung vollfuhrt.
Da alle Linien t = const auch Linien t = const darstellen, stimmen x-Achse (t = 0)
und x -Achse (t = 0) uberein.
Die Koordinaten eines Ereignisses P , d.h. eines Punktes in diesen Diagrammen
ndet man durch Projektionen auf die Achsen parallel zu der jeweils anderen Achse.
Geometrisch werden die verschiedenen Inertialsysteme in der Minkowski-Darstellung
also durch schiefwinklige Koordinatensysteme mit gemeinsamer x-Achse dargestellt.
Die Ableitung der Transformationsgleichungen ist nun einfach:
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
2 4. NOVEMBER 1999: NEWTON'SCHE RELATIVITA T
9
Galilei-Transformation
t
x
y
z
=
=
=
=
0
0
0
0
t
x ; vxt
y ; vy t
z ; vz t
oder
t
x
y
z
=
=
=
=
t
x + vxt
y + vy t
z + vz t
0
0
0
0
0
0
0
(2)
Dabei bewegt sich das System S mit der Geschwindigkeit ~v = (vx vy vz ) gegen
das System S . Dreht man die Koordinatensysteme so, dass die x-Richtung mit der
Bewegungsrichtung ubereinstimmt, dann vereinfachen sich die Transformationsgleichungen entsprechend:
0
t
x
y
z
0
0
0
0
t
x ; vt
y
z
oder
t
x
y
z
=
=
=
=
t
x + vt
y
z
0
0
(3)
0
0
0
Die Gleichberechtigung aller Koordinaten wird starker betont, wenn man statt
(t x y z) schreibt: (x0 x1 x2 x3 ). Die Galilei-Transformation schreibt sich dann folgendermaen:
x0
x1
x2
x3
0
0
0
0
=
=
=
=
=
=
=
=
x0
x ; vc x0
x2
x3
oder
x0
x1
x2
x3
=
=
=
=
x0
x1 + vc x0
x2
x3
0
0
0
0
(4)
0
Zeitintervalle sind fur Beobachter, die in verschiedenen Inertialsystemen ruhen { im
Folgenden als Inertialbeobachter bezeichnet {, gleich lang:
tB ; tA = tB ; tA
0
0
(5)
Tatsachlich wurde die letze Transformationsgleichung, weil selbstverstandlich erscheinend, ursprunglich gar nicht explizit formuliert.
Zeitintervalle sind Invarianten der Galilei-Transformation.
2 4. NOVEMBER 1999: NEWTON'SCHE RELATIVITA T
10
Die Lange l eines Gegenstandes ist deniert als
q
l = (x2 (t) ; x1 (t))2 + (y2(t) ; y1(t))2 + (z2(t) ; z1 (t))2 :
Dabei sind alle Koordinaten zum gleichen Zeitpunkt t zu messen: Wie man sich
leicht klar macht, ergibt sich sonst bei einem sich bewegenden Gegenstand eine
falsche Lange!
Die so denierte Lange ist oensichtlich eine Invariante der Galilei-Transformation,
d.h. jeder Gegenstand hat in jedem Inertialsystem dieselbe Lange:
q
l = (x2 (t ) ; x1 (t ))2 + (y2(t ) ; y1(t ))2 + (z2 (t ) ; z1 (t ))2
q
= (x2 ; vt ; (x1 ; vt))2 + (y2 ; y1)2 + (z2 ; z1)2
q
= (x2 ; x1 )2 + (y2 ; y1)2 + (z2 ; z1 )2
l = l
(6)
0
=)
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
Auch raumliche Abstande sind Invarianten der Galilei-Transformation.
Verschiedene Inertialbeobachter messen jedoch unterschiedliche
dx dy dzGeschwindigkeiten:
Misst der eine im System S die Geschwindigkeit ~u = dt dt dt , dann misst der
andere im System S die Geschwindigkeit
0
!
dx
dy
dz
~u = dt dt dt
!
dx
dy
dz
t=t
=
dt ; vx dt ; vy dt ; vz
~u = ~u ; ~v (klassische Geschwindigkeitsaddition) (7)
0
0
0
0
0
0
0
0
=)
0
Beispiel (Resnick, S. 9f): Ein Kern eines radioaktiven Materials, das sich im Labor
in Ruhe bendet, emittiert gleichzeitig zwei Elektronen in entgegengesetzte Richtungen. Beide Elektronen haben fur einen Beobachter im Labor die Geschwindigkeit
v = 32 c. Wie gro ist nach der klassischen Geschwindigkeitsaddition die Geschwindigkeit des einen Elektrons vom anderen aus gemessen?
Wahlt man als Bezugssystem S das Ruhesystem des einen Elektrons, als System S
das Laborsystem (Abb. 6), dann ist v = + 32 c und u = + 23 c. Nach dem klassischen
Additionstheorem (7) ergibt sich also:
0
0
u = u + v = 32 c + 32 c = 34 c
0
Die Losung mit Hilfe eines Minkowski-Diagrammes ist in Abbildung 7 dargestellt:
Zunachst konstruiere man die ct -Achse als Weltlinie des Kernes, der im System S
die Geschwindigkeit v hat. Die Weltlinie des 2. Elektrons, das sich in S mit der
0
0
2 4. NOVEMBER 1999: NEWTON'SCHE RELATIVITA T
a)
S
b) S
0
se
se
1
S
~v
11
0
se
2
se ~u
0
1
2
Abbildung 6: a) Im Laborsystem S bewegen sich beide Elektronen mit derselben Schnelligkeit in entgegengesetzte Richtungen. b) Im Ruhesystem S des einen Elektrons bewegt
sich das Laborsystem mit der Geschwindigkeit ~v. Die Geschwindigkeit des zweiten Elektrons im Laborsystem wird mit ~u bezeichnet.
0
0
ct in m
ct' in m
5
4
uctPt
ctP
0
Kern zur Zeit
=
3m
c
Weltlinie die 2. Elektrons
uP
: 2. Elektron zur Zeit
t = 3cm
2
Q: 2. Elektron zur Zeit t = 0
u
xP
x' in m
xP
0
2
4
6
x inund
m seine Koordinaten
Abbildung 7: Die Weltlinie des nach rechts emittierten Elektrons
im Ruhesystem S des anderen Elektrons und im Ruhesystem S des Kernes
0
Geschwindigkeit u bewegt, ndet man, indem man, neben dem Ursprung Q, die
Koordinaten eines zweiten Punktes P berechnet, z.B.:
0
ctP = 3m =) xP = uc ctP = 2m
0
0
0
Seine Koordinaten im System S ndet man durch Projektion parallel zu den Achsen.
Dann kann seine Geschwindigkeit in S leicht abgelesen werden:
; xQ
= xP c = 4m c = 4 c:
u = xtP ;
t
ct
3m 3
P
Q
P
2 4. NOVEMBER 1999: NEWTON'SCHE RELATIVITA T
12
2.4 Aufgaben
1. Ein Korper der Masse m1 stoe mit einer Geschwindigkeit v gegen einen ruhenden
Korper der Masse m2 . Der Sto sei total unelastisch, so dass sich nach dem Sto
beide Korper gemeinsam mit der Geschwindigkeit u weiterbewegen.
(a) Berechnen Sie mit Hilfe des Impulserhaltungssatzes die Endgeschwindigkeit u!
(b) Beschreiben Sie den Vorgang in dem System, in dem die beiden Korper nach
dem Sto in Ruhe sind (Schwerpunktsystem ). Zeigen Sie, dass auch in diesem
System der Gesamtimpuls erhalten bleibt!
2. Zeigen Sie, dass die A nderung der kinetischen Energie bei dem total uneleastischen
Sto der Aufgabe 1 in beiden Systemen gleich gro ist.
3 11. NOVEMBER 1999: ELEKTROMAGNETISMUS
z
z
0
rP
~v
y
y
4
0
13
ct in m
5
vt
ct' in m
x'
rP
2
x
x
0
x'
x
2
4
x' in m
6
x in m
Abbildung 8: Geometrische Darstellung der Galilei-Transformation: Ortsdarstellung
(links) und Minkowski-Darstellung (rechts)
3 11. November 1999: Elektromagnetismus
3.1 Wiederholung
Galilei-Transformation und ihre Eigenschaften
Geometrische Darstellung der Galilei-Transformation durch Orts-Diagramme und
Minkowski-Diagramme (Abb. 8).
Nachtrag: Fur die Beschleunigungen gilt:
~a = dtd ~u = dtd (~u ; ~v) = dtd ~u ; 0
~a = ~a
0
=)
0
0
0
(8)
Verschiedene Inertialbeobachter messen bei einem Korper verschiedene Geschwindigkeiten. Diese Geschwindigkeiten unterscheiden sich aber durch die zeitlich konstante Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme. Beschleunigungen, Geschwindigkeitsanderungen also, haben deshalb in allen Inertialsystemen denselben
Wert:
Beschleunigungen sind weitere Invarianten der Galilei-Transformation.
3.2 Die Galilei-Invarianz der Newton'schen Gesetze
Das grote Verdienst Newtons waren seine dynamischen Prinzipien, durch die die
Aristotelische Weltsicht ersetzt wurde. Als er 1687 sein Hauptwerk veroentlichte
(Philosophiae Naturalis Prinzipia Mathematica (Mathematische Prinzipien der Naturlehre 21]) hatte er sie auf drei Gesetze reduziert:
1. Newton'sches Gesetz (Tragheitssatz)
Jeder Korper beharrt in seinem Zustande der Ruhe oder gleichformigen
geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Krafte gezwungen wird, seinen Zustand zu andern.
3 11. NOVEMBER 1999: ELEKTROMAGNETISMUS
14
2. Newton'sches Gesetz (Grundgesetz der Mechanik)
Die Anderung
der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft
proportional und geschieht nach der Richtung derjenigen geraden Linie,
nach welcher jene Kraft wirkt.
3. Newton'sches Gesetz (Wechselwirkungsprinzip)
Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen zweier
Korper auf einander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung.
Das erste Gesetz war, weniger allgemein, bereits von Galilei formuliert worden.
Durch die beiden anderen Gesetze etabliert Newton den Kraftbegri als eine Wechselwirkungsgroe und stellt einen Zusammenhang her zwischen Kraft und Beschleunigung statt zwischen Kraft und Geschwindigkeit. In seinen Gesetzen taucht deshalb
die Geschwindigkeit eines Korpers uberhaupt nicht auf!
In der klassischen Mechanik beschreibt die Masse eine Eigenschaft der Korper,
namlich ihre Tragheit. Deshalb ist die Masse eines Korpers konstant, d.h. unabhangig von seiner Bewegung.
Daraus folgt aber, dass auch das Produkt aus Masse und Beschleunigung unabhangig
vom Inertialsystem ist: Jeder Inertialbeobachter misst also dieselben Krafte. Das
heit aber:
Newtons Bewegungsgesetze stimmen in allen Inertialsystemen uberein: Sie
sind invariant gegenuber Galilei-Transformationen.
Folgerungen:
1. Da in der Mechanik die Erhaltungssatze fur Energie, Impuls und Drehimpuls
aus den Newton'schen Gesetzen abgeleitet werden konnen, stimmen alle mechanischen Gesetze in allen Inertialsystemen uberein.
2. Newtons Gesetze enthalten die Annahme, dass Teilchen paarweise miteinander
wechselwirken und dass die wechselseitigen Krafte allein vom gegenseitigen Abstand abhangen und entlang der Verbindungsgerade wirken. Die Gesetze gelten
also fur Phanomene wie Gravitation, van-der-Waals-Krafte und Elektrostatik.
In der Elektrodynamik muss man dagegen mit Schwierigkeiten rechnen!
3. Betrachtet man Systeme miteinander wechselwirkender Teilchen, dann wird
deutlich, dass auch die Mechanik starrer und elastischer Korper und die Hydrodynamik durch die Newton'schen Gesetze beschrieben werden.
4. Obwohl verschiedene Beobachter verschiedene Geschwindigkeiten und deshalb
verschiedene Werte fur kinetische Energie, Impuls usw. messen, stimmen sie
darin uberein, ob diese Groen bei einem Vorgang erhalten bleiben oder nicht.
Als wichtige Folgerung aus dieser Diskussion ergibt sich also die folgende Aussage:
Mit mechanischen Experimenten, die vollig in einem Inertialsystem ausgefuhrt werden, kann man nichts uber die Bewegung des Systems relativ
zu irgendeinem anderen Inertialsystem herausnden.
3 11. NOVEMBER 1999: ELEKTROMAGNETISMUS
15
Newton empfand diese Folgerung, die er leicht aus seinen Gesetzen ableiten konnte,
als sehr storend: Der absolute Raum, eingefuhrt zur Beschreibung von Tragheitsbewegungen, verliert sofort einen wichtigen Teil seiner etwas unheimlichen Existenz.
Denn ein Raum, in dem es keine Orte gibt, die man mit mechanischen Mitteln markieren kann, um eine Bewegung relativ zu ihm zu registrieren, ist jedenfalls ein sehr
subtiles Gebilde (Born, S. 60).
Newton gab dieser Aussage zwar keinen Namen, aber heute spricht man in diesem
Zusammenhang vom Newton'schen Relativitatsprinzip:
Korper, welche in einem gegebenen Raum eingeschlossen sind, haben dieselbe Bewegung unter sich dieser Raum mag ruhen oder sich geradlinig
gleichformig, nicht aber im Kreise fortbewegen.
3.3 Elektrodynamik: Die Maxwell-Gleichungen
Anders als in der Newton'schen Mechanik gibt es in der Elektrodynamik Krafte,
die quer zur Verbindungslinie wirken und deren Betrag von der Geschwindigkeit
abhangt: Lorentz-Kraft. Deshalb muss mit Schwierigkeiten bei der U bertragung des
Relativitatsprinzips auf elektromagnetische Erscheinungen gerechnet werden.
Beim Grundversuch zur elektromagnetischen Induktion wird in einer Spule in der
Nahe eines Magneten ein elektrischer Strom erzeugt, wenn
{ die Spule relativ zum Magneten bewegt wird oder
{ umgekehrt der Magnet auf die Spule zubewegt wird.
Im Lichte der Relativitatstheorie sind diese beiden Erscheinungen vollig symmetrisch, und man sollte eine Beschreibung dieses Phanomens erwarten, in der nur die
Relativbewegung zwischen Spule und Magnet vorkommt. Tatsachlich aber werden
fur die beiden Vorgange ganz verschiedene Begrundungen gegeben:
{ Auf die bewegten Leitungselektronen in den Spulenwicklungen wirkt die Lorentz-
Kraft quer zur Bewegungsrichtung, so dass ein Strom im Kabel entsteht.
{ Durch die Bewegung des Magneten andert sich das Magnetfeld in der Spule.
Durch diese Veranderung wird ein elektrisches Ringfeld (Wirbelfeld) erzeugt,
durch das die Leitungselektronen in Bewegung gesetzt werden.
Alle elektromagnetischen Phanomene werden durch vier gekoppelte partielle Dierentialgleichungen beschrieben:
3 11. NOVEMBER 1999: ELEKTROMAGNETISMUS
Maxwell-Gleichungen
in Materie
~
~
~
~
r r r r E~
B~
E~
B~
=
=
=
=
""0
(9)
0
(10)
~_
;B
(11)
0~j + 0""0E~_ (12)
=0
~j =0
" =1
==1
16
Maxwell-Gleichungen
im Vakuum
~
~
~
~
r )
r r r E~
B~
E~
B~
= 0
(13)
= 0
(14)
= ;B~_ (15)
= 0"0E~_ (16)
Dabei wurden die modernen Bezeichnungen aus der Vektoranalysis verwendet:
{ "r~ \ wurde fruher div geschrieben und bedeutet die Divergenz eines Vektorfeldes:
~ E~ = divE~ = @Ex + @Ey + @Ez
r
@x @y @z
{ "r~ \ wurde fruher mit rot bezeichnet und bedeutet die Rotation eines Vektorfeldes. Sie kann formal als Kreuzprodukt berechnet werden:
!
@E
@E
@E
@E
@E
@E
z
y
x
z
y
x
~ E~ = rotE~ =
r
@y ; @z @z ; @x @x ; @y
Kurzerlauterungen der vier Maxwell-Gleichungen:
(9) Die elektrischen Feldlinien beginnen und enden auf geladenen Korpern. Oder:
Elektrische Ladungen sind die Quellen und Senken des elektrischen Feldes.
(10) Die magnetischen Feldlinien sind geschlossen! sie haben weder Anfang noch
Ende. Oder: Das magnetische Feld ist quellenfrei.
(11) Induktionsgesetz: Um ein sich anderndes Magnetfeld entsteht ein elektrisches
Wirbelfeld.
(12) Amperesches Gesetz: Elektrische Strome (und sich andernde elektrische Felder) sind von geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben.
3.4 Die Wellengleichung
Die Maxwellschen Gleichungen sind gekoppelt : Elektrische und magnetische Felder
beeinussen sich gegenseitig. Durch Dierentiation ist es jedoch moglich, Gleichungen zu erhalten, die nur die elektrische, bzw. nur die magnetische Feldstarke enthalten:
(16)
=)
=(13)
)
~ B~_ (15)
~ r
~ E~ (=) 4E~ ; r
~ (r
~ E~ )
"00 E~ = r
= ;r
~ ; 0"0E~ = 0
4E
(17)
3 11. NOVEMBER 1999: ELEKTROMAGNETISMUS
17
Bei () wurde eine allgemeine Beziehung aus der Vektoranalysis benutzt: Fur jedes
Vektorfeld ~r gilt:
~ r
~ ~r = 4~r ; r
~ (r
~ ~r)
r
Der Operator "4\ ist der sogenannte Laplace-Operator :
2
2
2
~ (r
~ U ) = @ U2 + @ U2 + @ U2
4U = r
@x @y @z
Die oben abgeleitete Gleichung (17) ist die sogenannte Wellengleichung:
4
E~ 0"0E~ = 0
(Wellengleichung)
;
(18)
Beschrankt man sich auf eine Dimension, dann nimmt sie die folgende Gestalt an:
@ 2 E " @ 2E = 0
@x2 0 0 @t2
(eindimensionale Wellengleichung)
;
(19)
Eine ganz entsprechende Gleichung lasst sich fur die magnetische Feldstarke B~ ableiten (Aufgabe!).
Fur den Fall, dass die mathematischen Kenntmisse nicht ausreichen, obige sehr kurze
Aussagen zu verstehen, seien hier die wichtigsten Gesichtspunkte herausgestellt:
{ Die Maxwell-Gleichungen spielen in der Elektrodynamik die gleiche Rolle wie
die Newton'schen Gesetze in der Mechanik.
{ Die Wellengleichung fur die elektrische Feldstarke ist eine Folgerung aus den
Maxwellschen Gleichungen. Das heit umgekehrt: Wenn in einem Bezugssystem die Wellengleichung nicht erfullt ist, dann konnen auch die MaxwellGleichungen nicht gelten.
Durch Einsetzen kann man leicht zeigen, dass der folgende Ausdruck fur E fur jede
beliebige Funktion f eine Losung der Gleichung (19) ist:
E (x t) = f (x ) = f (x ; ct) mit c = p1 "
(20)
0 0
Berechnung der Ableitungen ergibt namlich (dabei f die gewohnliche Ableitung der
Funktion f nach ihrer Variablen x : f = dxdf ):
0
0
@E = df @x = f
@x dx @x
@E = df @x = ;cf
@t dx @t
0
=)
0
=)
@2E = f
@x2
@ 2 E = c2 f
@t2
00
00
3 11. NOVEMBER 1999: ELEKTROMAGNETISMUS
f
18
c(t ; t0)
40
f (t0)
f (t > t0 )
20
40
80
ts]
Abbildung 9: Die Losungen (20) der Wellengleichung (19) sind mit der Geschwindigkeit
c in x-Richtung laufende Wellen beliebiger raumlicher Gestalt.
Welche Eigenschaften haben die Losungen (20) der Wellengleichung (19)?
Kennt man den raumlichen Verlauf E (x t0 ) der Losung fur einen beliebigen Zeitpunkt t0 ,
E (x t0 ) = f (x ; ct0 )
dann kennt man ihn fur jeden beliebigen Zeitpunkt t 6= t0:
E (x t) = f (x ; ct) = f ((x ; c(t ; t0 )) ; ct0) = E (x ; c(t ; t0) t0 )
Zur Zeit t hat die elektrische Feldstarke E an einem beliebigen Ort x denselben
Wert wie zur Zeit t0 an dem anderen Ort x ; c(t ; t0) (Abb. 9).
Der Ort x0 mit einem bestimmten Wert E0 der elektrischen Feldstarke lauft also
mit der Geschwindigkeit c in Richtung der positiven x-Achse:
Die Losung (20) der Wellengleichung (19) ist eine nach rechts laufende
Welle beliebiger Gestalt daher der Name der Gleichung!
Ebenso kann man zeigen, dass auch beliebige nach links laufende Wellen die Wellengleichung erfullen (Aufgabe!).
3.5 Aufgaben
1. Besprechung der Aufgaben vom 4. November
2. Bei einem total elastischen Sto bleibt (per denitionem) die kinetische Energie
erhalten. Zeigen Sie, dass ein Sto in jedem Inertialsystem elastisch ist, wenn er es
in einem ist!
3 11. NOVEMBER 1999: ELEKTROMAGNETISMUS
19
3. (Resnick, Aufg. 5, S. 45f) In einem mit konstanter Geschwindigkeit v fahrenden Zug
wird ein Korper der Masse m, der anfanglich relativ zum Zug in Ruhe ist, wahrend
einer Zeitspanne #t durch eine konstante Kraft F in Richtung der Zugbewegung
beschleunigt. Der Vorgang wird durch zwei Beobachter beschrieben, die sich relativ
zum Boden (S ) bzw. relativ zum Zug (S ) in Ruhe benden.
0
(a) Berechnen Sie die Zunahme an kinetischer Energie in beiden Bezugssystemen!
(b) Zeigen Sie, dass in beiden Systemen der Zuwachs an kinetischer Energie mit
der verrichteten Arbeit ubereinstimmt!
4 25. NOVEMBER 1999: DER LICHTA THER
20
4 25. November 1999: Der Lichtather
4.1 Wiederholung und Erganzung
Faraday und Maxwell beschreiben elektromagnetische Krafte durch den Feldbegri.
Faraday entwirft ein ganz anschauliches Modell mit Feldlinien. Maxwell mathematisiert dieses Modell in seinen Gleichungen, bleibt aber zunachst bei mechanistischen
Vorstellungen: Krafte werden durch Spannungen im Ather
ubertragen.
Die Maxwell-Gleichungen entsprechen in ihrer Bedeutung fur die Elektrodynamik
den Newton'schen Gesetzen der Mechanik.
Als Folgerung aus den Maxwell-Gleichungen ergibt sich: Der A ther kann schwingen:
Wellengleichung. Die Losungen der Wellengleichung sind laufende Wellen.
Diese Wellen wurden einige Jahre nach Maxwells Tod 1885 durch H. Hertz experimentell nachgewiesen { eine uberwaltigende Bestatigung fur Maxwells Theorie!
4.2 Licht als elektromagnetische Welle
Die Maxwell-Gleichungen werden erfullt von Wellen, die sich mit der Geschwindigkeit c ausbreiten. Dabei ist c gegeben durch:
"
1
c = ""
0 0
p
V akuum
=
1
=
1
=)
c = 1 "
0 0
p
(21)
Setzt man hier die bekannten Werte der Induktionskonstanten 0 und der Dielektrizitatskonstanten des Vakuums "0 ein,
Vs
0 = 1:2566 10 6 Am
dann ergibt sich mit
;
"0 = 8:8542 10 12 VAsm c = 2:998 108 ms
;
(22)
der bekannte Wert der Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Als naheliegende Folgerung
ergibt sich daraus:
Licht ist eine elektromagnetische Welle.
Newton stellte sich Licht als Teilchenstrom vor:
{ Ohne Wechselwirkung mit Materie bewegen sie sich entsprechend dem Tragheitssatz geradlinig fort.
{ Bei der Reexion werden sie durch einen elastischen Sto zuruckgestoen.
4 25. NOVEMBER 1999: DER LICHTA THER
21
{ Bei der Brechung werden sie durch eine Kraft in der Nahe der Oberache in
das Medium hinein beschleunigt.
Seit Beginn des 19. Jahrhunderts mehrten sich aber die Hinweise, dass sich Licht
wie eine Welle verhalt, z.B.:
{ Beugung an scharfen Kanten,
{ Ausloschung und Verstarkung (Interferenz)
Diese Dualitat wird in der Optikvorlesung genau untersucht.
In der Mechanik brauchen Wellen zur Ausbreitung ein Medium. So kann sich z.B.
Schall im Vakuum nicht ausbreiten. In der mechanistischen Deutung der Maxwell'schen Gleichungen entsprechen der Ausbreitung von Licht Schwingungen des
thers.
sogenannten A
Die Polarisierbarkeit des Lichtes zeigt, dass Licht transversale Schwingungen erfordert. Transversale Wellen konnen sich aber nicht in Gasen oder Flussigkeiten,
sondern nur in elastischen Medien ausbreiten.
Der A ther muss deshalb folgende Eigenschaften haben:
{ perfekte Transparenz (wegen der fehlenden Schwachung des Lichtes entfernter
Quellen),
{ keinerlei innere Reibung (wegen der ungedampften Planetenbewegung um die
Sonne),
{ hohe Elastizitat (wegen der hohen Lichtgeschwindigkeit).
U ber die Dichte des A thers gab es einander total widersprechende Vorstellungen.
4.3 Maxwell-Gleichungen und Galilei-Invarianz
Aus einer in einem Inertialsystem S mit der Geschwindigkeit c nach rechts laufenden
Welle wird unter der Galilei-Transformation in einem dagegen mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegten Bezugssystem S eine mit der Geschwindigkeit c ; v
laufende Welle:
0
f (x ; ct) (2)
= f (x + vt
0
0
; ct ) = f (x ; (c ; v )t )
0
0
0
Die Losung der Wellengleichung ist aber eine mit der Geschwindigkeit c laufende
Welle! In S kann also die Wellengleichung nicht in unveranderter Form gelten.
Die Wellengleichung (19) ist also nicht galileiinvariant! Damit konnen es auch die
Maxwell-Gleichungen, aus denen sie abgeleitet wurde, nicht sein:
0
Die Maxwell-Gleichungen sind nicht galilei-invariant.
In dieser Situation hat man die Auswahl zwischen drei Alternativen:
4 25. NOVEMBER 1999: DER LICHTA THER
22
1. Das Relativitatsprinzip gilt fur die Mechanik, aber nicht fur die Elektrodynamik. In der Elektrodynamik gibt es also ein bevorzugtes Bezugssystem, in dem
das Licht die Geschwindigkeit c hat: das sogenannte Athersystem
. In diesem
Fall konnte das Athersystem experimentell gefunden werden.
2. Das Relativitatsprinzip und die Galilei-Transformation gelten sowohl in der
Mechanik, als auch in der Elektrodynamik, aber die Maxwell-Gleichungen sind
nicht allgemein richtig. In diesem Falle mussten experimentell Abweichungen
von den Maxwell-Gleichungen gefunden werden.
3. Das Relativitatsprinzip gilt sowohl in der Mechanik, als auch in der Elektrodynamik, aber die Newton'schen Gesetze sind nicht allgemein gultig. In diesem
Falle sollten sich experimentell Abweichungen von den Newton'schen Gesetzen
ergeben. Die Transformationsgleichungen waren nicht die von Galilei angegebenen (die ja nicht mit den Maxwell'schen Gleichungen vertraglich sind),
sondern andere, die mit den Maxwell'schen Gleichungen, nicht aber mit den
Newton'schen Gesetzen vertraglich sind.
Es stellte sich also das Problem, eine Bewegung durch den A ther nachzuweisen.
Zunachst hote man, sie durch messbare elektrische oder magnetische Eekte nachweisen zu konnen. So erwartete man, dass sich die Platten eines drehbar gelagerten
geladenen Kondensators stets senkrecht zur Bewegungsrichtung durch den A ther
ausrichten sollten. Auch der Brechungsindex von Glasern sollte richtungsabhangig
sein. Solche Eekte 1. Ordnung 1 wurden jedoch vergeblich gesucht.
Erfolgversprechender erschien dann die Methode, die Ausbreitungsgeschwindigkeit
der A therwellen zu messen (Veranschaulichen an einem Schi im Nebel (s. Homann
(11]), S. 74)!)
Damit wurde die sehr genaue Messung der Lichtgeschwindigkeit ein zentrales Problem.
4.4 Die Lichtgeschwindigkeit
4.4.1 Galilei
1
Zunachst gab es keinerlei Hinweise auf eine Lichtausbreitung, d.h. auf eine endliche
Ausbreitungsgeschwindigkeit: Licht ist einfach nur da (oder nicht).
Galilei war anscheinend der Erste, dem die Ausbreitung als Problem bewusst wurde
und der sich bemuhte, sie experimentell nachzuweisen. Der Versuch misslang jedoch:
Entweder gab es keine Ausbreitung, oder die Geschwindigkeit war so gro, dass alle
Gemeint sind Versuche, in denen Abweichungen des Ausdruckes
1 ; vc
von 1 noch nachgewiesen werden konnen. Die grote erzielbare Geschwindigkeit v war die Bahnbewegung
der Erde um die Sonne:
v
;4
v 30 km
s =) c = 10
4 25. NOVEMBER 1999: DER LICHTA THER
u
Erde (t1 )
~
Sonne
1
2
u
Erde (t )
d1
23
d2
p p ppp p p p p p
pp pJupiter
pp x prIop
ppp p p p p p ppp
2
Abbildung 10: Zur Messung der Lichtgeschwindigkeit nach Ole Romer
Laufzeiten vernachlassigbar klein gegenuber den Reaktionszeiten der Versuchspersonen sind (s. Homann (11]), S. 57).
4.4.2 Die Methode von Ole Romer
Misst man um die Zeit der Jupiteropposition die Umlaufzeit des Jupitermondes Io, dann
kann man feststellen, dass sich die folgenden Austritte dieses Mondes aus dem Jupiterschatten wahrend des nachsten halben Jahres bis zur Konjunktion von Jupiter immer
mehr verspaten. Nach der Konjunktion treten die Vernsterungen dagegen immer fruher
ein. Romer erkannte in dieser Erscheinung einen Lichtlaufzeiteekt, der auf dem sich
andernden Abstand zwischen Erde und Jupiter beruht. Er wies damit als Erster nach,
dass Licht eine endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit besitzt und bestimmte einen ersten
Wert fur die Lichtgeschwindigkeit.
Wenn auch Messung und Auswertung im Detail ziemlich schwierig sind (s. Hausaufgabe!), so ist die zugrunde liegende Idee doch recht einfach zu verstehen (s. Abbildung
10):
Der Jupitermond Io hat eine (synodische) Umlaufzeit von TIo. Wenn zwischen t1 und
t2 n Io{Umlaufe stattgefunden haben, dann musste Ios Vernsterung zur Zeit t1 + nTIo
stattnden. Sie wird aber zum fruheren Zeitpunkt t2 beobachtet. Die Zeitdierenz ist ein
Ma fur die in der Zwischenzeit eingetretene Veranderung des Abstandes zwischen Erde
und Jupiter, genauer: fur die entsprechende Laufzeit des Lichtes.
d1 ; d2 = c(t1 + nTIo ; t2 )
Bei bekanntem Bahnradius von Jupiter (als Vielfaches des Erdbahnradius rE , d.h.
in Astronomischen Einheiten AE ) und bekannten Winkeln 1 und 2 kann d1 ; d2 in
Vielfachen einer AE berechnet werden:
rE
d1 ; d2 = AE
=)
c = t + nT
1
Io ; t2
Die Winkeln 1 und 2 kann man unter der Annahme eines gleichformigen Umlaufes
der Erde um die Sonne leicht berechnen, wenn der Zeitpunkt tOpp der vorangegangenen
oder der kommenden Jupiteropposition bekannt ist2.
2
Dabei muss beachtet werden, dass das Bezugssystem der Abbildung 10, in dem Jupiter ruht, in 11.89
4 25. NOVEMBER 1999: DER LICHTA THER
24
Romer 1677 gab sein Messergebnis zunachst in der folgenden Form an:
Das Licht braucht zum Durchlaufen der Erdbahn 22 Minuten.
Zu fast derselben Zeit war aber der Abstand zwischen Erde und Sonne, die sogenannte Astronomische Einheit zum ersten Mal mit zufriedenstellender Genauigkeit gemessen
worden (1672 von Cassini und Picard durch Parallaxenmessung an Mars von Paris und
Cayenne aus). Deshalb konnte das Ergebnis auch absolut angegeben werden:
Die Lichtgeschwindigkeit betragt etwa
c = 210000 km
s :
4.5 Aufgaben
Weisen Sie nach, dass auch nach links (in Richtung der negativen x-Achse) laufende
Wellen die Wellengleichung (19) losen!
Wie lautet die Gleichung, die eine nach rechts laufende harmonische Welle mit der
Frequenz beschreibt?
Leiten Sie fur eine harmonische Welle den Zusammenhang zwischen Wellenlange und Frequenz her!
(Hausaufgabe!) Bestimmen Sie aus den in der Praktikumsaufgabe "Die Lichtgeschwindigkeit nach Ole Romer\ angegebenen Zeitpunkten der Vernsterungen des
Jupitermondes Io die Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe des bekannten Radius der Erdbahn um die Sonne (rE = 150000000km).
Jahren einmal um 360 rotiert. In diesem Bezugssystem hat die Erde eine (synodische) Umlaufzeit von
398.9 Tagen!
5 2. DEZEMBER 1999: DER MICHELSON-VERSUCH
25
5 2. Dezember 1999: Der Michelson-Versuch
5.1 Wiederholung
anharmonische und harmonische Wellen
{ Alle Funktionen der Gestalt f (x t) = f (x ; ct) sind Losungen der eindimensionalen Wellengleichung (19). Die Funktion f kann also eine beliebige Funktion
einer Variablen x sein (z.B. sin x cos x ex ).
Man kann die Funktion als zweidimensionalen Grafen darstellen. So zeigt Abbildung 11 oben einen einmaligen Impuls, unten dagegen eine harmonische
Welle.
Macht man durch einen solchen zweidimensionalen Grafen Schnitte parallel
zur ct-Achse (bei x = const), dann sieht man, wie sich die Auslenkung an der
Stelle x mit der Zeit verandert.
Macht man dagegen Schnitte parallel zur x-Achse (bei t = const), dann sieht
man "Momentaufnahmen\ der Auslenkungen entlang der ganzen x-Achse.
Auf diese Weise sieht man, dass alle Orte dasselbe "tun\, allerdings phasenverschoben, d.h. zu verschiedenen Zeiten.
{
{
{
{
Der Versuch von Romer
5.2 Eine moderne Messung der Lichtgeschwindigkeit
Heute braucht man fur die Messung der Lichtgeschwindigkeit keine groen Laufstrecken
mehr! die Messung kann in einem Labor, ja sogar auf einem Labortisch durchgefuhrt
werden:
Prinzip:
{ Um die Geschwindigkeit einer Welle zu bestimmen, misst man die Zeit #t, die
verstreicht, bis an einem um #x verschobenen Ort derselbe Wert der Funktion
f auftritt (s. Abb. 9). Kurze Zeiten konnen mit einem Oszilloskop gemessen
werden.
{ Die Frequenz der Schwingungen des elektrischen Feldes beim Licht ist jedoch
viel zu hoch fur eine direkte Auosung mit dem Oszilloskop.
{ Deshalb verwendet man den folgenden Trick: Die Amplitude des Lichtes wird
mit einer Schwingung niedrigerer Frequenz moduliert (s. Abb. 12). Diese Modulationswelle breitet sich mit derselben Geschwindigkeit aus wie die Tragerwelle
(s. U bungen!).
Demonstration und Messung
{ Das von einer Leuchtdiode ausgestrahlte modulierte Licht wird mit einer Linse
parallel gemacht und durch zwei Spiegel um 180 Grad umgelenkt. Mit einer
weiteren Linse wird es auf die registrierende Fotodiode fokussiert (Abb. 13).
5 2. DEZEMBER 1999: DER MICHELSON-VERSUCH
26
f (x t)
t = t3
t = t2
t = t1
ct
x
ct
f (x t)
x
Abbildung 11: Spezielle Losungen der Wellengleichung (19). Dargestellt ist die Funktion
f (x t), ihr raumlicher Verlauf fur vier verschiedene Werte von ct und zusatzlich ihr zeitlicher Verlauf bei x = 0. oben: Ein einmaliger Impuls lauft entlang der x-Achse. unten:
Eine harmonische Welle f (x t) cos(kx ; !t) lauft entlang der x-Achse.
5 2. DEZEMBER 1999: DER MICHELSON-VERSUCH
F (x ) = f (x )g(x )
27
x
Abbildung 12: Modulation einer harmonischen Welle f = cos k(x ; ct) mit einer Welle
g = cos kM (x ; ct) mit kM = 0:02k
Leuchtdiode
Spiegel
#x
0
0:1m
Spiegel
Fotodiode
Abbildung 13: Prinzip der Messung der Lichtgeschwindigkeit mit der Modulationsmethode
f (x0 t)
f(x,t)
0.5
1.0
1.5
t
T
f (x0 + #x t)
Abbildung 14: Sende- und Empfangssignal auf dem Schirm des Oszilloskops. Sender und
Empfanger sind #x von einander entfernt.
5 2. DEZEMBER 1999: DER MICHELSON-VERSUCH
28
{ Die Frequenz der Modulation betragt = 50:1MHz.
{ Gemessen wird der Unterschied #t (als Vielfaches der Periodendauer T ) zwischen Zeiten gleicher Phase der Modulationswelle (s. Abb. 14) zwischen Sendeund Empfangssignal in Abhangigkeit der Schienenlange #x :
0
fmod cosk(x ; ct)]
=) k(x ; ct) = kx + #x ; c(t + #t)]
x
=) c = #
#t
Die gesamte Weglange ergibt sich nach Abbildung 13 durch
#x = 2#x + 0:1m
{ Abbildung 14 zeigt als typisches Messergebnis ein Oszilloskop-Bild.
Messergebnisse und Auswertung:
#x Tt = t c = xt
#x
0
0
0:78m 1:66m
1:5m 3:1m
0:5
1:0
3:33 108 ms
3:11 108 ms
5.3 Der Versuch von Michelson und Morley
Wenn es einen Lichtather gibt, liegt es nahe anzunehmen, dass sich die Erde aufgrund ihrer Bewegung um die Sonne relativ zu ihm bewegt, die Lichtgeschwindigkeit
relativ zur Erde also von der Richtung abhangt. Michelsons Idee war es, die Lichtgeschwindigkeit in Richtung der Bewegung der Erde um die Sonne mit der senkrecht
dazu zu vergleichen.
Prinzip (s. Abb. 15): Ein Lichtstrahl wird durch einen Strahlteiler (b) in zwei Teilstrahlen zerlegt, die unterschiedliche Wege durchlaufen, von den Spiegeln (c) bzw.
(d) in sich zuruckreektiert werden und wieder auf den Strahlteiler (b) fallen. Ein
Teil dieser Strahlen fallt durch die Linse (e) auf den Schirm (f) und interferiert dort.
U berlagern sich zwei nicht ganz parallele ebene Wellen, dann entsteht auf einem
Schirm senkrecht zur Ausbreitungsrichtung ein Muster paralleler Hell-Dunkel-Streifen.
Entstehung und Eigenschaften dieses Streifenmusters kann mit Moir$e-Folien veranschaulicht werden (s. Abb. 16).
Bei der Demonstration zeigt sich, dass das Streifenmuster extrem empndlich von
der Justierung und von Erschutterungen abhangt.
Ableitung des erwarteten Eektes: Sei die Apparatur so ausgerichtet, dass der Lichtweg bc mit der Lange l1 in Abbildung 15 parallel zur Bewegungsrichtung der Erde
durch den A ther ist. Dann ist nach dem klassischen Additiontheorem (Gleichung
(7), S. 10) fur Geschwindigkeiten die Geschwindigkeit v auf Hin- und Ruckweg
k
5 2. DEZEMBER 1999: DER MICHELSON-VERSUCH
29
Abbildung 15: Prinzip des Versuchsaufbaus von Michelson und Morley
Abbildung 16: Durch U berlagerung zweier ebener Wellen ergibt sich auf dem Schirm
ein System paralleler Streifen. Mit zunehmender Phasendierenz wandern die Streifen
seitlich durch das Bild. Mit zunehmendem Winkel zwischen den beiden Wellen wird das
Streifenmuster enger.
5 2. DEZEMBER 1999: DER MICHELSON-VERSUCH
Abbildung 17: Aufbau und Ergebnis des Experimentes von Michelson und Morley
30
5 2. DEZEMBER 1999: DER MICHELSON-VERSUCH
31
v = c + v bzw. v = c ; v. Dabei ist v die Geschwindigkeit der Erde relativ zum
A ther. Die gesamte Laufzeit t1 ist also
k
k
=)
t1 = c +l1 v + c ;l1 v = c2 2;l1v2
t1 = 2cl1 1 v2
1 ; c2
(23)
Auch fur die Geschwindigkeit v senkrecht dazu gilt, nun allerdings in vektorieller
Form, das klassische Additionstheorem (7):
~v
?
6
~v
?
~c
~v = ~c + ~v
?
Fur die entsprechende Laufzeit t2 gilt also:
t2 = 2vl2 = p 22l2 2
c ;v
2
l
1
t2 = c2 q v2
1 ; c2
?
(24)
Der Laufzeitunterschied #t1 betragt also
0
#t1 = t1 ; t2 = 2c @ l1 v2
1 ; c2
1
l2 A
;q
v2
1 ; c2
(25)
Ganz entsprechend kann man den Laufzeitunterschied #t2 fur den Fall berechnen,
dass die gesamte Apparatur um 90 gedreht wurde (s. U bungen!).
5.4 U bung
Besprechung der Praktikumsaufgabe zur Messung der Lichtgeschwindigkeit nach
Romer (s. Anlage)
5 2. DEZEMBER 1999: DER MICHELSON-VERSUCH
32
Aufgabe: Eine modulierte Lichtwelle kann folgendermaen dargestellt werden:
F (x t) cos(k1x ; !1t) cos(k2x ; !2 t) = f (x t)g(x t)
Weisen Sie nach, dass auch diese Funktion die Wellengleichung (18) erfullt!
Aufgabe: Zum Michelson-Morley-Experiment
{ Leiten Sie den Gleichung (25) entsprechenden Ausdruck fur den Laufzeitunter-
schied #t2 nach Drehung der ganzen Apparatur um 90 ab! Welche Veranderung #t des Gangunterschiedes gibt es demnach wahrend der Drehung?
{ Wie gro ist demnach die Verschiebung des Interferenzmusters bei Verwendung von rotem Licht ( 600nm) und einer Armlange von l1 l2 1:2m
(Potsdam 1881) bzw. 11:0m (Cleveland 1887)?
Hilfe: Die Verschiebung, gemessen als Anzahl der Streifen, ist gleich dem Verhaltnis aus Laufzeitunterschied und Periodendauer.
6 9. DEZEMBER 1999: DER VERLUST DES A THERS
33
6 9. Dezember 1999: Der Verlust des A thers
6.1 Wiederholung
Ziel und Prinzip des Experimentes von Michelson und Morley
Aufbau und Ergebnis (s. Abb. 17)
6.2 Versuche, die A ther-Hypothese zu halten
Das Experiment von Michelson und Morley ergab: Es lasst sich keine Bewegung
der Erde relativ zum A ther nachweisen. Dieses Ergebnis wurde in den folgenden
Jahrzehnten mit immer hoherer Genauigkeit bestatigt. Tatsachlich stellten die entsprechenden Versuche lange Zeit eine groe Herausforderung fur experimentelle und
theoretische Untersuchungen dar3. Inzwischen ist die Genauigkeit so weit getrieben
worden, dass man heute sogar eine Geschwindigkeit der Erde von nur 3 cms nachweisen konnte (Resnick, S. 25, Sexl, S. 11)!
Da dieses Ergebnis im Widerspruch zum klassischen Relativitatsprinzip und zur
Galilei-Transformation steht, wurden zahlreiche Versuche unternommen, trotzdem
die A therhypothese aufrechtzuerhalten (Resnick, S. 26):
{ Die Kontraktionshypothese (Fitzgerald (1892) und Lorentz):
Alle Korper qwerden in Richtung ihrer Bewegung durch den Ather
um
2
v
den Faktor 1 ; c2 verkurzt die Ausdehnung senkrecht dazu bleibt
unverandert.
q
l = l0 1 ; 2 l = l0
(26)
Dabei bedeuten die mit k indizierten Groen die Ausdehnung in Bewegungsrichtung, die mit ? indizierten Groen die Ausdehnungen senkrecht dazu.
Die Abkurzung
k
?
:= vc
(27)
wird im Folgenden haug verwendet werden.
Tatsachlich lasst sich dadurch der Nulleekt des Michelson-Morley-Experimentes
sofort erklaren: Die Groe des erwarteten Laufzeitunterschiedes lasst sich folgendermaen schreiben (s. U bung!):
l + l
2
1
2
#t =
c 1 ; 2
Zusammen mit (26) folgt daraus sofort
k
k
l1 + l2
;p
1 ; 2
#t = 0:
3
?
!
?
ahnlich wie die Suche nach der Fixsternparallaxe in den drei Jahrhunderten zwischen 1550 und 1850
6 9. DEZEMBER 1999: DER VERLUST DES A THERS
34
Abbildung 18: Die Position aller Sterne scheint durch die Erdbewegung etwas in
Bewegungsrichtung verschoben.
{ Die A thermitnahme-Hypothese:
Bewegte Korper fuhren Ather
mit sich, sind also (teilweise) gefullt mit
Ather.
Aufgrund dieser Hypothese "schwimmt\ die Erde gewissermaen in einer A therblase\, ist also relativ zum umgebenden A ther in Ruhe. Diese Hypothese hat
"den
Vorteil, dass weder Mechanik noch Elektrodynamik abgeandert werden
mussen. Trotzdem ist der Nullausgang sofort klar.
Es ergeben sich jedoch sofort Gegenargumente:
Die sogenannte Lichtaberration, von Bradley 1728 bei der Suche nach der
Fixsternparallaxe entdeckt, lasst sich zwanglos mit einer widerstandslosen
Bewegung durch den A ther erklaren:
Beschreibung des Eektes: Im Laufe eines Jahres verandern sich die
Positionen der Fixsterne am Himmel etwas: Sterne in der Bahnebene
der Erde (der sogenannten Ekliptik) schwingen etwas um eine mittlere Position, Sterne, die von der Erde aus gesehen senkrecht uber
der Ekliptik stehen, vollziehen eine Kreisbewegung um eine mittlere
Position und die anderen Sterne durchlaufen mehr oder weniger exzentrische Ellipsen. Dabei ist ihre Position immer etwas in Richtung
der Bahnbewegung der Erde verschoben (s. Abb. 18)4.
therwindes\: Das Sternenlicht wird
Veranschaulichung als Eekt des A
"
durch den voruberstromenden A ther wie Regen durch den Fahrtwind
abgelenkt (s. Abb. 19).
quantitative klassische Erklarung: Die beobachtete Lichtgeschwindigkeit c~ im bewegten Bezugssystem ergibt sich nach der klassischen Geschwindigkeitsaddition (7, S. 10).
0
Die parallaktische Bewegung musste dagegen immer bezuglich der Bewegungsrichtung nach links
verschoben sein.
4
6 9. DEZEMBER 1999: DER VERLUST DES A THERS
35
Abbildung 19: Durch die eigene Bewegung scheint der senkrecht fallende Regen
von vorn zu kommen.
~c ; ~vErde = ~c
0
;~vErde
~c
?
tan = vc = 10 4 =) = 0:00573 = 20:6
Tatsachlich bildete die Lichtaberration die erste uberzeugende Bestatigung des Romerschen Wertes fur die Lichtgeschwindigkeit.
;
00
Lichtausbreitung in bewegten Medien (Ausbreitung im durchstromenden
A ther und im stromenden Medium! beobachtete Geschwindigkeit ist Mittelwert. Oder: Teilweise eingeschlossener A ther (Fresnel). (Resnick, S. 30)
Gegenargument: Lichtaberration in wassergefulltem Teleskop ist ebenso
gro wie im Vakkum-Teleskop!
{ Emissionstheorien:
Die Lichtgeschwindigkeit ist c nicht relativ zum Medium, sondern relativ zur Lichtquelle konstant.
Das Nullergebnis des Michelson-Morley-Experimentes ware dann verstandlich,
da sich Lichtquelle, Spiegel und Schirm nicht gegeneinander bewegen.
Gegenargumente:
Bei Doppelsternen, die einander umkreisen, m
usste die Lichtgeschwindigkeit jeweils der Komponente kleiner sein, die sich gerade von der Erde
fortbewegt. Die Beobachtung der beiden Komponenten wurde also durch
unterschiedliche Lichtlaufzeiten verschieden beeinusst, und die Bewegung
sahe, von der Erde aus beobachtet, unregelmaig aus. Im Gegensatz dazu
6 9. DEZEMBER 1999: DER VERLUST DES A THERS
36
folgt die beobachtete Bewegung von Doppelsternen perfekt den Keplerschen Gesetzen { und bestatigt damit die Unabhangigkeit der Lichtgeschwindigkeit von der Bewegung der Lichtquelle.
Das Michelson-Morley-Experiment wurde auch mit extraterrestrischen Lichtquellen (Sonne bzw. Stern) durchgefuhrt, relativ zu denen sich die Apparatur sicher bewegt. Ein Eekt konnte jedoch wieder nicht beobachtet
werden!
6.3 noch einmal: Die Einsteinschen Postulate
Es zeigte sich also immer deutlicher, dass die A ther-Hypothese nicht haltbar ist.
Die Experimente zeigen daruberhinaus eindeutig, dass die Gesetze der Elektrodynamik keinerlei Modikationen benotigen: Die Lichtgeschwindigkeit ist in allen Inertialsystemen gleich gro, d.h. unabhangig von der relativen Bewegung zwischen
Lichtquelle und Beobachter.
Es gilt also ein Relativitatsprinzip sowohl fur die Mechanik, als auch fur die Elektrodynamik. Oensichtlich kann aber die Galilei-Transformation nicht richtig sein.
Es mussen also neue Transformationsgleichungen gefunden werden. Anschlieend
ergibt sich zusatzlich die Notwendigkeit, die klassischen Gesetze der Mechanik, die
sich ja als galileiinvariant erwiesen hatten, so zu modizieren, dass sie invariant
gegenuber der neuen Transformation sind.
Ein junger unbekannter Physiker in untergeordneter Stellung am Schweizer Patentamt, Albert Einstein, erklarte 1905 diese Erfahrungen zu grundlegenden Prinzipien und wischte damit die Notwendigkeit eines A thers kurzerhand vom Tisch.
Da diese Postulate die Grundlage der Relativitatstheorie bilden, seien sie hier noch
einmal wiederholt:
Die Grundpostulate der speziellen Relativitatstheorie
Relativitatsprinzip: Die Naturgesetze haben in allen Inertialsystemen dieselbe Form.
Prinzip von der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: Die
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum hat in jedem Inertialsystem
denselben Wert.
Es wird sich zeigen, und Einstein zeigte es bereits in seiner Arbeit von 1905, dass sich
auf diesen Postulaten eine widerspruchlose Theorie aufbauen lasst, in der sich die
neuen Transformationsgleichungen fur den U bergang von einem Inertialsystem zu
einem anderen und auch die notwendigen Abanderungen der Newtonschen Gesetze
als logische Konsequenz aus den Postulaten ergeben.
Allerdings muss man bei den streng logischen Ableitungen manche lieb gewordene
Denkgewohnheit uberwinden.
6 9. DEZEMBER 1999: DER VERLUST DES A THERS
Abbildung 20: Eine Raumotte unterwegs. Das Leitschi bendet sich genau in
der Mitte.
Abbildung 21: Befehlubermittlung vom Leitschi nach vorn und hinten. Die Filme
sind von unten nach oben zu lesen.
links: Beschreibung aus der Sicht des Kommandanten
rechts: Sicht "von auen\
Abbildung 22: Durch die nicht simultane Ankunft des Befehls zum Beschleunigen
hat sich nach dem Manover aus der Sicht des ruhenden Beobachters
der Abstand der Raumschie untereinander verkleinert.
37
6 9. DEZEMBER 1999: DER VERLUST DES A THERS
6.4 Erste Folgerungen
38
Wir beobachten eine Raumotte mit drei identischen Raumschien, die mit konstanter
Geschwindigkeit durch den Weltraum iegt (s. Abb. 20)5. Das "Mutterschi\ mit dem
Kommandanten bende sich genau in der Mitte (Epstein, S. 49).
Der Kommandant gibt per Funksignal den Befehl, den Antrieb zu zunden, worauf
die drei Schie beschleunigen, wobei der Kommantant darauf achtet, seine Mittelposition
genau einzuhalten. Nach einer gewissen Zeit erfolgt auf dieselbe Weise der Befehl, den
Schub einzustellen.
Nach diesem Vorgang stimmen wir mit dem Kommandanten darin uberein, dass sich
der Bewegungszustand der Flotte geandert hat (wir haben es gesehen, Kommandant und
Mannschaft haben es wahrend der Beschleunigungsphase gespurt. In mancher Hinsicht
aber unterscheidet sich die Beschreibung des Kommandanten von der unsrigen:
Kommandant :
Die Funksignale haben in beide Richtungen dieselbe Geschwindigkeit (relativ zum Mutterschi!), erreichen deshalb Flaggschi und Nachhut gleichzeitig !
Beide Schie beginnen deshalb gleichzeitig zu beschleunigen (Abb. 21, links).
Da sie aus demselben Grund den Schub gleichzeitig abstellen, andert sich ihr
Abstand voneinander nicht.
wir :
Die Funksignale haben in beide Richtungen dieselbe Geschwindigkeit (relativ
zu uns!). Da das Flaggschi jedoch vor diesem Signal ieht, die Nachhut ihm
aber entgegeniegt, erreichen die Signale die beiden Schie nicht gleichzeitig
(Abb. 21, rechts).
Das hintere Schi beginnt zuerst zu beschleunigen. Dadurch verringert sich der
Abstand zum Flaggschi (Abb. 22). Zwar stellt das hintere Schi den Schub
auch zuerst aus. Da das vordere Schi jedoch erst beim Abschalten dieselbe
Geschwindigkeit erreicht wie das hintere, verringert sich der Abstand in der
Zwischenzeit weiter.
Dieses Beispiel veranschaulicht zwei wichtige Aussagen der Relativitatstheorie:
Der Begri der Gleichzeitigkeit ist relativ: Ereignisse, die an verschiedenen Orten
und fur einen Beobachter gleichzeitig stattnden, sind fur einen relativ zum ersten
bewegten Beobachter nicht gleichzeitig.
Die Lange eines Korpers ist relativ! sie hangt von seinem Bewegungszustand ab: Ein
bewegter Mastab ist fur einen mitbewegten Beobachter langer als fur sich einen
dagegen bewegenden.
6.5 U bung
5
Losung der Aufgaben vom 2. Dezember
Diskussion des Beispieles des vorangehenden Abschnittes
Vielleicht ist es auch so, dass wir an einer ruhenden Raumotte vorbeiiegen!
7 16. DEZEMBER 1999: RELATIVITA T { QUALITATIV
39
Abbildung 23: Die Raumschie des Beispiels auf Seite 38 stoen durch die Abstandskontraktion nicht zusammen (wie oben falschlicherweise dargestellt), da alle Abstande, also auch die Lange der Raumschie, in
gleichem Mae schrumpfen (unten).
7 16. Dezember 1999: Relativitat { qualitativ
7.1 Wiederholung
Die Aufstellung der Grundpostulate der Relativitatstheorie durch Albert Einstein
Beispiel Raumotte (s. S. 38):
{ Fur den Beobachter auf der Erde kommt der Befehl zum Beschleunigen zuerst
beim hinteren Schi an, weil es dem Funkspruch entgegenkommt. Klassisch
ware es fur den Kommandanten ebenso, weil das Signal nach hinten die Geschwindigkeit c + v, nach vorn dagegen die Geschwindigkeit c ; v hatte. Nach
dem Postulat der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit ist jedoch auch fur den
Kommandanten die Lichtgeschwindigkeit nach vorn und hinten gleich gro.
Fur ihn kommt der Befehl bei beiden Raumschien gleichzeitig an.
Gleichzeitigkeit ist relativ.
{ Als Folgerung daraus ergibt sich eine Langenkontraktion der Raumotte.
{ Musste der ruhende Beobachter (oder der Kommandant!) seinen "Irrtum\ nicht
spatestens bemerken, wenn die Raumschie die die Abstandsverringerung zusammenstoen (s. Abb. 23, oben)?
Nein! Mit exakt denselben Argumenten folgt, dass sich der Abstand aller Atome
der Raumschie in Bewegungsrichtung entsprechend verringern muss (Epstein,
S. 55).
7.2 Qualitative Folgerungen aus den Grundpostulaten
7.2.1 Die Relativitat der Gleichzeitigkeit
Die Zeit, zu der ein Ereignis stattndet, wird von einer Uhr angezeigt, die sich am
7 16. DEZEMBER 1999: RELATIVITA T { QUALITATIV
40
selben Ort bendet. Von zwei Ereignissen, die am selben Ort stattnden, kann also
leicht festgestellt werden, ob sie gleichzeitig sind oder welches von beiden sich fruher
ereignet.
Wie aber konnen Ereignisse an verschiedenen Orten miteinander verglichen werden?
Dazu muss es an den beiden Orten Uhren geben, deren Gang ubereinstimmt, die
also synchronisiert sind.
Damit ergibt sich das Problem der Uhrensynchronisation baugleicher Uhren
in einem Inertialsystem:
Methode 1: Die Uhren werden so eingestellt, dass ein Beobachter an einer be-
stimmten Stelle gleichen Gang aller Uhren beobachtet.
Problem: Bei der Beobachtung beeinusst die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes das Ergebnis: Sieht der Gang der Uhren von einem Ort aus
synchron aus, dann scheinen die Uhren von einer anderen Stelle aus gesehen
asynchron zu laufen!
Aufgabe: Ein Beobachter am Ort A synchronisiert seine Uhr nach Beobachtung mit einer zweiten Uhr bei B . Der Abstand der beiden Orte sei l. Wie gro
ist der Gangunterschied der beiden Uhren, wenn sie von B aus beobachtet
werden?
Methode 2: Die Uhren werden an einem Ort synchronisiert und anschlieend an
ihre Bestimmungsorte transportiert.
Problem: Es ist a priori nicht klar, ob der Gang der Uhren nicht durch den
Transport beeinusst wird6.
Methode 3: Die Uhren werden zunachst an ihren Bestimmungsort gebracht. Anschlieend werden sie mit Hilfe von Signalen synchronisiert. Zur U bermittlung
der Signale werden elektromagnetische Wellen benutzt, weil
{ sie kein Medium zur Ausbreitung benotigen,
{ ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit im Vakuum weder von der Wellenlange
(bzw. Frequenz), noch von der Amplitude oder der Ausbreitungsrichtung
abhangt,
{ ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit die hochste bekannte Geschwindigkeit
uberhaupt ist und
{ (am wichtigsten fur eine allgemein anwendbare Methode zur Uhrensynchronisation!) alle Experimente ergeben haben, dass ihre Ausbreitungsgeschwindigkeit fur alle inertialen Beobachter dieselbe ist.
Bei der Synchronisation muss jedoch die Lichtlaufzeit berucksichtigt werden!
Methode a) Von Ort A wird ein Lichtsignal ausgesendet, wenn die Uhr in A
die Zeit tA anzeigt. Wenn das Signal in B ankommt, wird die dortige Uhr,
entsprechend der Entfernung l zwischen den beiden Orten, auf tB = tA + cl
eingestellt.
Im Zusammenhang mit dem Problem der Langenbestimmung auf See war es lange Zeit ein groes
praktisches Problem, Uhren zu bauen, die trotz Seefahrt synchron mit der Uhr im Heimathafen blieben.
6
7 16. DEZEMBER 1999: RELATIVITA T { QUALITATIV
41
Methode b) Die Uhren in A und B werden durch ein Lichtsignal synchroni-
siert, das von einem Ort C ausgesendet wird, der genau dieselbe Entfernung
von den beiden Orten hat: Bei Ankunft des Signals werden beide Uhren
auf dieselbe Zeit gestellt.
Methode c) Ein Lichtsignal wird zur Zeit tA von A ausgesendet. Bei Ankunft
in B wird es nach A zuruckreektiert, wo es zur Zeit tA + #t registriert
wird. Dann muss die Uhr in B so eingestellt werden, dass sie bei Ankunft
des Signales die Zeit tB = tA + 2t anzeigte.
Die Methoden 3a-3c erweisen sich als aquivalent zueinander. Allerdings muss bei der
Methode 3c, anders als bei den beiden anderen, die Entfernung zwischen den beiden
Punkten nicht vorher bestimmt werden. Bei dem Experiment ergibt sich namlich
die Entfernung zusatzlich:
l = c #2t
Tatsachlich werden auf diese Art Entfernungen durch Radarmessungen bestimmt.
Aufgaben:
{ An welchen Stellen der Methoden 3a-3c wird welches Grundpostulat der Relativitatstheorie verwendet?
{ Beschreiben Sie die praktische Durchfuhrung der Uhrensynchronisation nach
den Methoden 3a bis 3c so genau wie notig!
Auf diese Weise ist es gelungen, eine eindeutige Zeitordnung innerhalb eines Inertialsystems herzustellen, d.h.: Alle ruhenden Beobachter in diesem System kommen
zu denselben Aussagen uber die zeitliche Reihenfolge von Ereignissen, die an verschiedenen Orten stattnden.
Das Beispiel der letzten Woche (s. S. 38) hat jedoch bereits gezeigt, dass sich Beobachter, die sich relativ zueinander bewegen, nicht auf eine solche Zeitordnung einigen
konnen.
Der Deutlichkeit halber soll das Beispiel in etwas anderer Darstellung (Resnick,
S. 53) noch einmal wiederholt werden:
{ Zwei Inertialsysteme S und S bewegen sich relativ zueinander. Beide haben
0
ihre eigenen Mastabe und synchronisierten Uhren. Zwei Beobachter O und O
registrieren Blitzeinschlage an Orten, die gleich weit von ihnen entfernt sind7
(s. Abb. 24).
{ Abbildung 24 zeigt links den Vorgang aus der Sicht des Beobachters O, der
sich in S in Ruhe bendet. Dabei ist angenommen, dass ihn die Lichtsignale
gleichzeitig erreichen. Er schliet daraus, dass die Blitzeinschlage gleichzeitig
stattfanden. Die Signale erreichen jedoch den relativ dazu bewegten Beobachter
O nicht gleichzeitig. Dieser kommt deshalb zu dem Schluss, dass der Blitz bei
B fruher eingeschlagen hat als bei A .
0
0
0
7
0
Das stellen sie anschlieend anhand der "Einschlagsschaden\ fest.
7 16. DEZEMBER 1999: RELATIVITA T { QUALITATIV
42
Abbildung 24: Zur Relativitat der Gleichzeitigkeit (s. Text)
{ Kommt dagegen O zu dem Schluss, dass die Einschlage gleichzeitig stattfanden
0
(s. Abb. 24, rechts), dann ndet fur O der Einschlag in B spater als in A statt.
Folgerungen:
1. Uhren, die fur einen Beobachter synchronisiert sind, sind es fur einen anderen,
der sich gegenuber dem ersten bewegt, nicht. Oder kurz:
Synchronisation ist relativ.
2. Zwei Bezugssysteme S und S bewegen sich gegeneinander. Zwei Ereignisse
nden an den Ort V (in Bewegungsrichtung von S v orn) und H (h inten)
statt. Zwei Beobachter O und O messen fur diese Ereignisse die Zeitpunkte tV
und tH bzw. tV und tH . Dann gilt:
0
0
0
0
0
tH = tV
tH = tV
0
0
=)
=)
tH < tV
tV < t H
0
0
(28)
(29)
3. Beispiel: landendes Flugzeug (Abbildung 25):
{ Wenn der Pilot die Landekufen gleichzeitig ausfahrt, sehen wir die hinteren
zuerst.
{ Wenn der Pilot waagerecht aufsetzt, d.h. mit allen Kufen gleichzeitig, setzt
er fur uns hinten zuerst auf!
{ Wenn wir das Flugzeug horizontal landen sehen, setzt der Pilot vorn zuerst
auf. Fur ihn gibt es also einen Winkel zwischen Flugzeug und Landebahn!
7 16. DEZEMBER 1999: RELATIVITA T { QUALITATIV
Abbildung 25: Das relativistisch landende Flugzeug (Das Bild bitte nicht zu wortlich nehmen!)
Abbildung 26: Das Licht eines sehr weit entfernten Sternes im Zenit trit als ebene
Welle senkrecht auf den Boden (links). Wie wird der Pilot einer sehr
schnell landenden Raumfahre das einfallende Sternlicht registrieren
(rechts)?
43
7 16. DEZEMBER 1999: RELATIVITA T { QUALITATIV
44
Abbildung 27: Zur relativistischen Erklarung der Lichtaberration: Fur den ruhenden Beobachter trit das Licht Bug und Heck der Raumfahre gleichzeitig. Fur den Piloten wird deshalb der Bug zuerst getroen: Der
Stern erschient nach vorn verschoben.
4. Lichtaberration
{ Aufgabe: Wie wird der Pilot das Licht eines Sternes registrieren, der fur
uns im Zenit steht, dessen Licht also senkrecht von oben einfallt (Abb. 26)?
{ Diesen Eekt kennen wir bereits als Lichtaberration (s. S. 34): Die Desynchronisation fuhrt hier dazu, dass Sterne in Vorwartsrichtung verschoben
gesehen werden (s. Abb. 27): Das ist die korrekte relativistische Deutung
der Lichtaberration!
{ Dieser Eekt fuhrt dazu, dass im Weltraum die Sterne, die uns normalerweise nahezu gleichformig verteilt umgeben, in Bewegungsrichtung konzentriert erscheinen (s. Abb. 27).
Aufgabe: Begrunden Sie, dass die Synchronisation senkrecht zur Bewegungsrichtung unabhangig von der Bewegung ist!
7.2.2 Die Relativitat der Langenmessung
Das Ergebnis des Raumottenbeispieles war: Abstande werden unterschiedlich beurteilt { und zwar von dem mitbewegten Beobachter groer als von dem ruhenden.
Dieses Ergebnis soll besser verstandlich gemacht werden, indem der Vorgang der
Langenmessung genauer analysiert wird:
Beispiel: Die Lange eines Zuges:
7 16. DEZEMBER 1999: RELATIVITA T { QUALITATIV
45
Abbildung 28: Fur einen ruhenden Beobachter sind die Fixsterne nahezu gleichformig am
Himmel verteilt (links). Der Pilot eines schnellen Raumschies beobachtet dagegen eine
starke Konzentration der Stern in Fahrtrichtung.
{ Wenn der Zug steht: Abschreiten und Zahlen der Schritte, d.h. Vergleich mit
{
{
{
{
einem Mastab.
Dieses Verfahren kann vereinfacht werden durch Ablesen der Koordinaten von
Zugspitze und -ende. Dabei sind die Koordinatenangaben durch wiederholtes
Anlegen des Mastabes entstanden.
Das erste Verfahren versagt, wenn der Zug fahrt. Bei dem zweiten ist eine
zusatzliche Bedingung zu beachten: Die Koordinaten mussen gleichzeitig bestimmt werden, sonst ergibt sich die Lange des Zuges zu gro oder zu klein.
Da jedoch Gleichzeitigkeit ein relativer Begri ist, ist es nicht erstaunlich, dass
sich auch der Abstand als relativ erweist.
Wenn uns jedoch der Zugfuhrer bei unserer gleichzeitigen Positionsbestimmung
beobachtet, dann ist er uberzeugt, dass wir die hintere Position zu spat messen8
und deshalb ein zu kleines Ergebnis erhalten.
Der Kommandant misst den Abstand der Schie seiner Flotte, indem er ihre Positionen gleichzeitig bestimmt. Fur uns misst er aber die Position des
hinteren Schies fruher als die des vorderen (s. Gleichung (28)). In der Zwischenzeit bewegt sich aber die Flotte weiter. Wir sind deshalb uberzeugt, dass
der Kommandant einen zu groen Abstand misst.
Folgerung:
Die Lange eines Korpers in Bewegungsrichtung hangt vom Bezugssystem
ab, in dem sie gemessen wird:
Machen Sie sich das auch mit Hilfe von Gleichung (28) grundlich klar: Fur den Lokfuhrer bewegt
sich ja der Bahnsteig nach hinten. Deshalb ist fur ihn die Stelle, an der wir die Position des Zugendes
messen, in Bewegungsrichtung vorn!
8
7 16. DEZEMBER 1999: RELATIVITA T { QUALITATIV
46
Abbildung 29: Zu Aufgabe 2 auf Seite 46: Wie wird der Abdruck auf dem Papier
fur verschiedene Beobachter aussehen?
Die Lange ist relativ!
Sie ist am groten in dem Bezugssystem, in dem der Korper in Ruhe
ist, in seinem Ruhesystem also. Diese Lange heit die Ruhelange des
Korpers.
Senkrecht zur Bewegungsrichtung messen alle Beobachter dieselbe Ausdehnung des Korpers.
7.3 U bung
Aufgaben:
1. Begrunden Sie, dass die Ausdehnung von Korpern senkrecht zur Bewegungsrichtung
von allen inertialen Beobachtern gleich gemessen wird!
2. Wie wird der Abdruck des Stempels auf dem Zeitungspapier aussehen, wenn wir
spater die Zeitung lesen (s. Abb. 29)? Oder einfacher: Wie sieht der Abdruck fur
einen Beobachter aus, der sich mit dem Papier mitbewegt?
3. Ein Quadrat fallt, von auen betrachtet, kantenparallel und senkrecht auf ein Flieband, das sich ebenso schnell bewegt, wie das Quadrat fallt (Abbildung 30). Wie
sieht das Quadrat fur einen Beobachter aus, der sich relativ zum Flieband in Ruhe
bendet?
Anregung: (Lorentz-Kontraktion quantitativ)
Ein Beobachter misst den Abstand l zweier relativ zu ihm ruhenden Punkte A und
B , indem er ein Lichtsignal von A nach B sendet, es dort reektieren lasst und die Zeit
#t misst, die vergeht, bis er das reektierte Signal empfangt:
l = 2c #t
0
0
0
7 16. DEZEMBER 1999: RELATIVITA T { QUALITATIV
47
Abbildung 30: Wie wird das fallende Quadrat fur einen auf dem Flieband sitzenden Beobachter aussehen?
Beschreiben Sie diesen Vorgang aus der Sicht eines sich dagegen bewegenden Beobachters, und vergleichen Sie sein Ergebnis l fur die Lange des Korpers mit dem Ergebnis
l , das der mitbewegte Beobachter misst!
0
8 6. JANUAR 2000: DIE RELATIVITA T DER ZEIT
48
8 6. Januar 2000: Die Relativitat der Zeit
8.1 Wiederholung
Hinweis: In der Reihe Spektrum-Biograen ist ein lesenswertes Heft uber Albert
Einstein erschienen (1]).
Relativitat der Uhrensynchronisation
Nachtrag: Weltzeit und Uhrensynchronisation (Sexl, S. 21)
{ Die Notwendigkeit einer uberregionalen Uhrzeit kam erst mit dem modernen
Verkehrswesen, erstmals mit dem Bau von Eisenbahnlinien, auf. Damit entstand auch das Problem uberregionaler bzw. weltweiter Uhrensynchronisation.
{ Die internationale Zeit wird heute durch Atomuhren in sieben Laboratorien
deniert (TAI: temps atomique international). Diese werden durch Funksignale synchronisiert, die die ganze Erde umspannen, also die verschiedensten
Ausbreitungsrichtungen haben. Gabe es eine Richtungsabhangigkeit der Lichtgeschwindigkeit, gabe es bei der Synchronisation die groten Schwierigkeiten:
Die Synchronisation des Uhrennetzes der Welt bestatigt das Prinzip
der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Nach der Athertheorie
waren
standig wechselnde Laufzeiten der Zeitsignale zu erwarten, die experimentell nicht beobachtet werden.
{ Die heute uber Langwellensender verbreitete Zeit ("Funkuhren\) ist jedoch
nicht die TAI, sondern die Universal Time Coordinated (UTC). Sie ist an
astronomische Phanomene (die nicht exakt gleichformige Erdrotation) gekoppelt. Dieser Unregelmaigkeit wird dadurch Rechnung getragen, dass jahrlich
nachtraglich (!) die Dierenz gegenuber der TAI festgelegt und evtl. Schaltsekunden eingefugt werden. 1985 betrug die Dierenz 23 Sekunden.
{ Das heute, bereits in Autos, Hobbyschien und sogar Handgeraten fur Wanderer, global zur genauen Positionmessung benutzte Global Positioning System
(GPS) ermoglicht eine Messgenauigkeit von einigen Metern (militarisch sogar
noch darunter!). Diese Genauigkeit ist nur moglich, indem alle Eekte der (speziellen und allgemeinen!) Relativitatstheorie berucksichtigt werden.
Langenkontraktion als Folge der Relativitat der Gleichzeitigkeit
8.2 Zeitdilatation { qualitativ
Das Phanomen des unterschiedlichen Uhrenganges soll zunachst als logische Konsequenz
der Grundpostulate der Relativitatstheorie herausgearbeitet werden, indem die Argumentation sich so dicht wie moglich an die bisherigen U berlegungen anschliet.
Dazu wird das folgende Problem untersucht (Epstein, S. 75): Zwei Raumschie der
(Ruhe-) Lange l iegen mit der Geschwindigkeit v aneinander vorbei. Was bedeutet diese
Aussage, bzw. wie kann diese Geschwindigkeit gemessen werden?
Messung von auen\, d.h. von einem Beobachter, f
ur den die Raumschie die Ge"
v
v
schwindigkeiten ; 2 bzw. 2 haben (s. Abb. 31):
8 6. JANUAR 2000: DIE RELATIVITA T DER ZEIT
49
t0
t1
Abbildung 31: Messung der Relativgeschwindigkeit zweier Raumschrie durch einen Beobachter, fur den beide gleich schnell sind.
t1a
t1b
Abbildung 32: Die zwei Methoden, mit denen die Besatzung von Raumschi 1 (unten) die
Geschwindigkeit des Vorbeiuges bestimmen kann, fuhren zu unterschiedlichen Ergebnissen (s. Text).
{ Wenn die Raumschie mit ihren Spitzen aneinander vorbeiiegen, wird die
Stoppuhr gestartet: t0 (Abb. 31, oben).
{ Fur die Messung der Zeit t1 (Abb. 31, unten) gibt es zwei aquivalente Methoden:
1. Das Heck des Schies 2 iegt an der Spitze von 1 vorbei.
2. Die Spitze von Schi 2 erreicht das Heck von 1.
Beide Methoden sind gleichwertig, weil die beiden Ereignisse fur den aueren
Beobachter gleichzeitig sind.
Da aber diese Aussage in dagegen bewegten Bezugssystemen nicht gilt, muss
mit Widerspruch der Besatzungen der beiden Schie gerechnet werden.
Messung von Raumschi 1 (unten) aus:
8 6. JANUAR 2000: DIE RELATIVITA T DER ZEIT
50
{ Der Pilot (an der Spitze) startet seine Uhr, wenn er den Vorbeiug der Spitze
von Raumschi 2 registriert (Abb. 32 unten): t0 .
{ Der t1 entsprechende Zeitpunkt kann auf zwei { diesmal verschiedene { Weisen
gemessen werden:
1. Der Pilot registriert den Vorbeiug des Heckes von 2 (Abb. 32, links oben):
t 1a .
2. Der Copilot (im Heck) registriert die Ankunft der Spitze von 2 mit einer
synchronisierten Uhr (Abb. 32, rechts oben): t1b .
Wegen der Langenkontraktion des Raumschies 2 sind die Messungen nicht
aquivalent. Es gilt oensichtlich:
t1b > t1a
Die beiden Ereignisse sind eben nur fur den aueren Beobachter gleichzeitig.
{ Die beiden Zeitspannen verhalten sich wie die Ruhelange l der Raumschie
zur lorentzverkurzten Lange l der bewegten Raumschie:
0
t1b ; t0 = l
t1a ; t0 l
0
(30)
Messung von Raumschi 2 (oben) aus:
{ Der Pilot (an der Spitze) startet seine Uhr, wenn er den Vorbeiug der Spit-
ze von Raumschi 1 registriert. Das Startereignis ist also fur beide Piloten
identisch: t0
{ Die Situation in Abbildung 32 rechts oben entspricht fur den Piloten 2 gerade
der Situation in Abbildung 32 links oben fur den Piloten 1: Beide registrieren
den Vorbeiug des Heckes des anderen Raumschies: t1a
Wegen der A quivalenz der beiden Inertialsysteme muss die Uhr des Piloten
2 rechts dasselbe anzeigen wie links (d.h. zu einem fur Pilot 1 fruheren Zeitpunkt!) die von Pilot 1.
0
0
t1a ; t0 = t1a ; t0
Die Uhr von Pilot 2 muss also langsamer gehen als die von Pilot 1: Zeitdilatation!
0
0
Wenn das Ereignis "Spitze von Raumschi 2 iegt an Heck von Raumschi 1 vorbei.\
eintritt, ist fur die Besatzung von Raumschi 1 die Zeitspanne
#t = t1b ; t0
verstrichen. Fur den Piloten von Raumschi 2 ist jedoch erst die Zeitspanne
#t = t1a ; t0 = t1a ; t0
0
0
0
8 6. JANUAR 2000: DIE RELATIVITA T DER ZEIT
51
verstrichen.
Mit Hilfe von Gleichung (30) kann deshalb ein Zusammenhang zwischen LorentzKontraktion und Zeitdilatation hergestellt werden:
#t = t1a ; t0 (30)
l
=
#t t1b ; t0
l
Langenkontraktion und Zeitdilatation sind gleich gro:
0
(31)
0
t = l
t l
0
(32)
0
8.3 U bung: Langenkontraktion und Zeitdilatation { quantitativ
Die Eekte der Langenkontraktion und der Zeitdilatation konnen quantitativ abgeleitet
werden, wenn man den Vorgang der Langenmessung in zwei gegeneinander bewegten
Bezugssystemen beschreibt (siehe die Anregung vom Ende der letzten Sitzung (S. 46)):
Der mitbewegte Beobachter misst die Lange l , indem er Licht vom Anfang zum
Ende und zuruck laufen lasst und die dafur benotigte Zeit #t misst:
0
0
(33)
#t = 2cl =) l = 2c #t
Fur den ruhenden Beobachter, der diesen Vorgang beobachtet, dauern Hin- und
Rucklauf verschieden lang:
0
0
0
0
#t = c ;l v + c +l v = l c2 2;c v2 = 2cl 1 ;1 2
=) l = c #t(1 ; 2) =: c#2t mit = p 1 2
2
2
1;
Die beiden Messergebnisse verhalten sich also wie
l = #t 1 = 2 #t
l #t 1 ; 2
#t
0
(34)
0
0
(35)
Wegen der im letzten Abschnitt abgeleiteten Zeitdilatation (Gleichung (31)) sind
die von den beiden Beobachtern gemessenen Zeitintervalle nicht gleich gro. Es gilt
vielmehr:
l (35)
2 #t (31) 2 l
=
l
#t = l
l = l
0
0
0
=)
0
(36)
8 6. JANUAR 2000: DIE RELATIVITA T DER ZEIT
52
Damit hat sich gezeigt, dass Mastabe in Bewegung um den Faktor 1 kurzer gemessen werden als in Ruhe:
l = 1 l
0
mit =
p
1
1 ; 2
(Langenkontraktion)
(37)
Damit ergibt sich aus Gleichung (31) auch die Zeitdilatation quantitativ:
Bewegte Uhren gehen um den Faktor 1 langsamer als ruhende:
t = 1 t mit = p1 1; 2
0
(Zeitdilatation)
(38)
Hier scheint sich ein Widerspruch zu ergeben: Mussen nicht auch fur Pilot 2 die
bewegten Uhren des Raumschies 1 langsamer gehen als die eigenen?
Wenn jedoch die Spitze von Raumschi 2 am Heck von Raumschi 1 vorbeikommt,
kann nicht nur Copilot 1 die Uhr von Pilot 2 ablesen, sondern umgekehrt auch Pilot
2 die von Copilot 1. Und die Uhr von Copilot 1 zeigt, wie gerade abgeleitet wurde,
eine groere Zeit an als die von Pilot 1!
Diese scheinbare Paradoxie ergibt sich aus der scheinbaren Symmetrie der Argumentation. Tatsachlich ist jedoch die Situation nicht so symmetrisch, wie sie auf
den ersten Blick wirkt:
{ Die Mannschaft von Raumschi 1 kommt zu der U berzeugung, dass die Uhren
im bewegten Raumschi 2 langsamer gehen, indem sie die Uhr von Pilot 2 mit
zwei ruhenden Uhren an verschiedenen Orten vergleicht.
{ Pilot 2 dagegen vergleicht eine ruhende Uhr (namlich seine eigene) mit zwei Uhren im bewegten Raumschi. Diese Uhren sind jedoch, da sie fur die Besatzung
1 synchronisiert sind, fur Pilot 2 nicht synchronisiert.
Aus dem Umstand, dass die Uhr im Heck von Raumschi 1 im Moment des Vorbeiuges eine groere Zeit anzeigt als seine eigene, kann Pilot 2 also nicht folgern,
dass die Uhren in Raumschi 1 schneller gehen! Er schliet aus seiner Beobachtung
vielmehr auf eine Desynchronisation der beiden Uhren in Raumschi 1.
Das Phanomen der Zeitdilatation sollte deshalb genauer formuliert werden (Sexl,
S. 34):
Bewegt sich eine Uhr an einem Satz zueinander ruhender Uhren vorbei,
dann geht sie im Vergleich mit diesen um den Faktor 1 langsamer.
Keine Kontraktion senkrecht zur Bewegungsrichtung (s. S. 44)
Hausaufgabe: Schatzen Sie die Relativgeschwindigkeit von Rakete 2 gegenuber
Rakete 1 in Abbildung 32 ab!
Hausaufgabe: Zeichnen Sie den Lorentz-Faktor als Funktion der Geschwindigkeit
!
9 13. JANUAR 2000: MINKOWSKI-DIAGRAMME
20
6
53
4
10
2
0.2 0.4 0.6 0.8
0.92 0.94 0.96 0.98
Abbildung 33: Der Lortentz-Faktor als Funktion der Geschwindigkeit
9 13. Januar 2000: Minkowski-Diagramme
9.1 Wiederholung
Phanomen der Zeitdilatation und Verdeutlichung ihrer (paradoxiefreien!) Symmetrie
Quantitatives Ergebnis der letzten U bung (Gleichungen (37) und (38), Seite 52):
l = 1 l mit = p1 1; 2
0
#t = 1 #t mit = p 1 2
1;
0
(Zeitdilatation)
Abbildung 33 zeigt den Lorentz-Faktor als Funktion der Geschwindigkeit (Hausaufgabe!).
9.2 Bewegte Uhren
(Langenkontraktion)
Die bisherigen U berlegungen zur Zeitdilatation waren unabhangig von der Art der
benutzten Uhren. Damit ist klar, dass der Eekt nicht auf der Wirkungsweise spezieller Uhren beruht, sondern ein Charakteristikum der Zeit selbst ist.
Der Eekt ist jedoch mit besonders einfachen Uhren { so genannten Lichtuhren {
viel direkter ableitbar (s. Abb. 34):
9 13. JANUAR 2000: MINKOWSKI-DIAGRAMME
54
Abbildung 34: Eine bewegte Lichtuhr
{ Eine Lichtuhr besteht im Prinzip aus zwei parallelen Planspiegeln, zwischen
denen (als "Unruhe\) ein Lichtstrahl hin- ("tick\) und herlauft ("tack\). Wahlt
man z.B. den Abstand d der beiden Spiegel zu d = 0:15m, dann wird die
Periodenlange T im Ruhesystem der Uhr zu
0
T = 2cd = 1ns:
{ Fur einen Beobachter, relativ zu dem sich die Uhr bewegt, muss der Lichtstrahl
in der Uhr einen groeren Weg zurucklegen (s. Abb. 34 (S. 32, nebeneinander)).
Er misst also eine langere Periodendauer T .
0
A
A
c T2
A
A
A
A
0
?
c T2
A
A
c2T 2 = c2 T 2 + v2T 2 =) T = p1T
0
0
2
;
A
A
AAU
-
v T2
Der Zusammenhang zwischen T und T kann unmittelbar abgelesen werden:
q
T = T 1 ; 2
0
0
Diskussion:
{ Wie interpretiert der mit der Uhr C in Abb. 34 mitbewegte Beobachter die
Beobachtung, dass die Uhr A 0:02ns anzeigt, seine eigene aber 0:01ns?
9 13. JANUAR 2000: MINKOWSKI-DIAGRAMME
55
Er schliet daraus nicht, dass die Uhren A und B doppelt so schnell gehen wie
seine. Er kann vielmehr, mit einem anderen Experiment, herausnden, dass
sie halb so schnell wie seine gehen. Waren fur ihn also die Uhren A und B
synchron, dann musste B 0:5ns anzeigen. Fur ihn geht also B gegenuber A um
1:5ns vor.
{ Wie oben bereits betont, ist das Phanomen der Zeitdilatation unabhangig von
der Art der benutzten Uhren. Tatsachlich wurde das Gegenteil zu einem Widerspruch zum Relativitatsprinzip fuhren: Gabe es namlich einen vom Bezugssystem abhangigen Gangunterschied zwischen dem Gang verschiedener Uhren,
dann konnte dieser benutzt werden, ein bestimmtes Bezugssystem vor allen
anderen auszuzeichnen.
9.3 Experimente zur Zeitdilatation
Die Vorhersage der Zeitdilatation war das wohl spektakularste Ergebnis der speziellen Relativitatstheorie. Es war deshalb von fundamentaler Bedeutung, die radikale
A nderung des Zeitbegris, welche die Zeitdilatation mit sich brachte, auch experimentell zu bestatigen.
Besonders wichtige Uhren fur die experimentelle Prufung sind
{
{
{
{
das Emissionslicht angeregter Atome oder Kerne,
instabile Atomkerne (radioaktiver Zerfall),
instabile Elementarteilchen und
Pulsare.
Im Prinzip sind auch Lebewesen, wenn auch nicht genaue, "biologische Uhren\:
Man sieht ihnen ihr Alter an. Auch bei Lebewesen muss es deshalb (im Prinzip)
Zeitdilatation geben!
Beim Vergleich einer ruhenden Uhr A mit einer auf einer Kreisbahn umlaufenden
Uhr C (Abb. 35) sind nur zwei Uhren erforderlich: Beim wiederholten Zusammentreen der Uhren zeigt sich, dass Uhr C langsamer geht als A. Diese Feststellung
steht nicht im Widerspruch zum Relativitatsprinzip, weil die beiden Uhren nicht
gleichberechtigt sind: Uhr C bewegt sich, im Gegensatz zu A, beschleunigt. Ein
mitbewegter Beobachter kann diese Beschleunigung (absolut!) messen.
Beim Vergleich mit Uhren in iegenden Flugzeugen muss zusatzlich ein gravitativer
Einuss auf den Uhrengang berucksichtigt werden, der dieselbe Groenordnung wie
der Geschwindigkeitseekt hat:
Eine Uhr, die sich im Schwerefeld der Erde um die Hohe H weiter oben
bendet als eine Vergleichsuhr, geht nach der Zeit t um die Zeitspanne
(39)
#tgrav = gH2 t
c
vor, wenn die Uhren anfanglich auf denselben Stand gebracht wurden. Dabei ist g die Erdbeschleunigung am Ort der Vergleichsuhr.
9 13. JANUAR 2000: MINKOWSKI-DIAGRAMME
56
Abbildung 35: Vergleich einer Uhr auf einer Kreisbahn mit ruhenden Uhren
Der erste experimentelle Nachweis der durch Geschwindigfkeit hervorgerufenen Zeitdilatation gelang 1938, also 33 Jahre nach ihrer Postulierung, durch Untersuchung
der Emissionslinien schneller Atome.
9.3.1 Das Maryland-Experiment (Sexl, S. 37)
Dieses Prazisionsexperiment wurde 1975/76 mit jeweils drei Atomuhren am Boden
und in einem (langsamen!) Flugzeug durchgefuhrt.
Zur eigentlichen Messung wurden funf Fluge von jeweils etwa 15 Stunden Dauer
durchgefuhrt. Die Uhren wurden vor und nach den Flugen durch direkten Vergleich
und wahrend der Fluge durch Laserimpulse miteinander verglichen (s. Abb. 36,
links).
Der erwartete Eekt betrug
#t = #tgrav + #tGeschw 53ns ; 6ns = 47ns:
Die U bereinstimmung zwischen Theorie und Experiment (s. Abb. 36, rechts) erwies
sich als auerst befriedigend:
#texp = 0:987 0:016
#ttheor
9 13. JANUAR 2000: MINKOWSKI-DIAGRAMME
57
Abbildung 36: Ergebnisse des Maryland-Experimentes
9.3.2 Das Hafele-Keating-Experiment (Sexl, S. 39)
Das Experiment wurde bereits 1971 quasi als "Freihand-Experiment\ mit kommerziellen Atomuhren und in Linienugzeugen durchgefuhrt und galt damals als "wissenschaftliches Lausbubenstuck\.
Hafele und Keating erkannten, dass das Problem der gegenseitigen Kompensation
von Gravitations- und Geschwindigkeitseinuss bei Flugen um die Erde vermieden
werden kann:
Beobachtet namlich ein ktiver inertialer Beobachter aus dem Weltall die Umrundung der rotierenden Erde, dann bewegen sich sowohl das Flugzeug, als auch die
Bodenstation:
{ Bei einer Ost-West-Umrundung bewegt sich das Flugzeug langsamer als die
Bodenstation, seine Uhr geht durch den Geschwindigkeitseekt also schneller:
Geschwindigkeitseekt und Gravitationseekt verstarken sich also gegenseitig.
{ Bei einer West-Ost-Umrundung kompensieren sich dagegen die beiden Eekte
teilweise, weil sich das Flugzeug schneller bewegt als die Bodenstation. Es wird
sich zeigen, dass der Geschwindigkeitseekt dem Betrage nach etwas groer ist.
Vergleich der genauen Berechnungen fur die konkreten Fluge mit den experimentellen Daten ergab
{ fur die Westumrundung:
#ttheor = (275 21)ns
{ fur die Ostumrundung:
#ttheor = (;40 23)ns
#texp = (273 7)ns
#texp = (;59 10)ns
# = 7:7%
# = 39%:
9 13. JANUAR 2000: MINKOWSKI-DIAGRAMME
58
Abbildung 37: Zerfallskurven langsamer und schneller Myonen: Theoretische Kurven und
experimentelle Ergebnisse
9.3.3 Myonen-Experimente (Sexl, S. 43)
Myonen sind instabile Elementarteilchen, die dieselbe Ladung wie Elektronen, aber
die 206fache Masse haben:
q = qe m = 206me:
Langsame Myonen ("in Ruhe\) haben eine Halbwertszeit von 0 = 1:52s.
In einem Speicherring-Experiment (CERN 1959) wurden Myonen so beschleunigt,
dass sich ihre Geschwindigkeit nur noch um 0.06% von der Lichtgeschwindigkeit
unterschied:
= 0:99942
Bei dieser Geschwindigkeit hat der Lorentz-Faktor den Wert 29.4. Man erwartet
deshalb einer Halbwertszeit von
v = 0 = 29:40 = 44:6s:
Die experimentell gefundene Abklingkurve (Abb. 37) stimmt damit sehr gut uberein.
Aufgabe: Berechnen Sie, ausgehend von N0 = 10000, die Zerfallskurve oder zumindest die Anzahl der Myonen wahrend der ersten 70s fur langsame und schnelle
Teilchen!
Frage: Wie alt waren Sie heute, wenn Sie in Ihrem heutigen Alter vor 2000 Jahren
in den Speicherring eingeschossen worden waren? (ca. 70a)
9 13. JANUAR 2000: MINKOWSKI-DIAGRAMME
)
= 53 =
WL(U1 )
WL(U2)
Weltlinie
= 45 WL:
LS: Weltlinie eines Lichtsignals
WL(U1 )
ct m]
0
q
q
GBq q
qC
LS von E
50
x m]
(ct = 0)
qE
0
0
q100
q
q
= arctan t
A
0
qD
150
50
0
Fq
100
q
WL(U2 )
WL(U3 )
LS von A
0
ctm]
100
59
t
t
100
150
xm]
Abbildung 38: Zur Konstruktion von Minkowski-Diagrammen (s. Text)
9.4 Minkowski-Diagramme (Sexl, S. 68)
Die Konstruktion von Minkowski-Diagrammen soll an folgendem Beispiel erarbeitet werden (Abbildung 38):
Eine Rakete, die im unbewegten Bezugssystem K die Lange l (l = 120m) hat, iegt
mit der Geschwindigkeit v = c ( = 53 =) = 54 ) entlang der x- und x -Achse. In
K benden sich zwei Uhren U1 bei x = 0 und U2 bei x = 2l . In der Rakete, dh. ruhend
im mitbewegten Bezugssystem K , benden sich drei Uhren: U1 am Heck, U2 in der Mitte
und U3 an der Spitze.
ct;Achse und x;Achse des Systems K stehen senkrecht aufeinander und haben denselben Mastab.
0
0
0
0
0
Zur Zeit t = 0 = t stimmen die Anfange von x; und x ;Achse und das Heck der
Rakete uberein: A
Um die ct ;Achse (x = 0) zu nden, konstruieren wir die Weltlinie von Raketenheck
und Uhr U1 : Wenn das Heck mit der Uhr U1 an der Uhr U2 vorbeikommt (B), zeigt
U2 die Zeit tB an:
0
0
0
0
0
0
9 13. JANUAR 2000: MINKOWSKI-DIAGRAMME
60
ctB = 1 2l = 100m:
(40)
Wegen der Zeitdilatation zeigt U1 dann die Zeit tB an:
0
0
ctB = 1 ctB = 54 100m = 80m
(41)
0
Zu einem leicht zu konstruierenden, um den Lorentz-Faktor (= 45 ) spateren, Zeitpunkt zeigt deshalb U1 die Zeit ctB = 100m an: C.
Damit ist die ct -Achse mit ihrem Mastab konstruiert.
Um die x -Achse (ct = 0) zu nden, senden wir zunachst ein Lichtsignal vom Heck
nach vorn. Seine Weltlinie
0
0
0
0
0
ct = x
ist die Winkelhalbierende. Sein Eintreen (D) ndet man als Schnittpunkt zwischen
den Weltlinien dieses Lichtsignales und der Uhr U2 .
Ein fur die Mannschaft der Rakete mit A gleichzeitiges Ereignis nden wir, indem wir
von der Raketenspitze so ein Lichtsignal nach hinten senden (E), dass es gleichzeitig
in der Raketenmitte ankommt. Die Steigung der Weltlinie dieses Signales hat die
Steigung -1. E ergibt sich als Schnittpunkt mit der Weltlinie von U3.
Damit haben wir die x -Achse gefunden.
Das nach hinten gesendete Signal kommt schlielich am Heck an: F. Die zwischen
E und D verstrichene Zeit in K ist naturlich ebenso gro wie die zwischen D und
F verstreichende. Fur die Uhr U1 vergeht deshalb zwischen A und G ebenso viel
Zeit wie zwischen G und F , die entsprechenden Strecken im Diagramm sind also
gleich lang.
Deshalb (Strahlensatz fur die sich in F schneidenden Weltlinien) sind auch die
Strecken DE und DF gleichlang.
Die Weltlinie des nach vorn laufenden Signals wird in K durch
0
0
0
0
0
0
ct = x
0
0
beschrieben. Da sie, wie eben bewiesen, die Winkelhalbierende des ct ; x ;Systems
ist, mussen die Mastabe auf beiden Achsen gleich gro sein9
0
0
An dieser Stelle wird deutlich, dass auch viel kurzer argumentiert werden konnte:
{ Wegen der bekannten Symmetrie von Langenkontraktion und Zeitdilatation sind die Mastabe auch
auf den ct0 - und x0 -Achsen gleich gro.
{ Wegen
9
9 13. JANUAR 2000: MINKOWSKI-DIAGRAMME
61
Damit ist die folgende Konstruktionsvorschrift gefunden und bewiesen worden:
Zu einem rechtwinkligen ct-x-Koordinatensystem mit gleichem Mastab auf
beiden Achsen ndet man das Koordinatensystem des sich mit einer Geschwindigkeit v = c dagegen bewegenden Systems folgendermaen:
1. Beide Achsen des bewegten Systems schlieen mit den Achsen des Ruhesystems denselben Winkel ein:
= arctan 2. Der Mastab auf beiden Achsen ist um den Faktor
s
1 = q1 + tan2 = 1 + 2
cos 1 ; 2
groer als der im Ruhesystem.
9.5 U bung
1. Aufgabe: Quantitative Abschatzung der Eekte beim Hafele-Keating-Experiment
Die Fluggeschwindigkeit betrage v = 800 km
h , die Flughohe H = 10000m. Die Erd
umrundung verlaufe entlang des Aquators.
(a) Berechnen Sie die Flugzeit und daraus den durch den Gravitationseekt hervorgerufenen Gangunterschied zwischen Boden- und Borduhr nach der Erdumrundung.
(b) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten von Bodenstation und Flugzeug bei OstWest- und bei West-Ost-Umrundung relativ zu einem inertialen (auerirdischen) Beobachter und daraus die Zeitverschiebungen der bewegten Uhren relativ zur Uhr des inertialen Beobachters.
(c) Berechnen Sie daraus den Gangunterschied zwischenpBord- und Bodenuhr fur
die beiden Fluge. Wegen 1 entwickeln Sie dazu 1 ; 2!
(d) Aufgabe: Myonen aus kosmischer Strahlung (Sexl, S. 53)
In einer Hohe von H = 3000m uber dem Meeresspiegel werden N0 = 570h 1
Myonen gemessen, auf Meeresniveau NH = 400h 1:
i. Wie gro ware NH bei = 1 ohne Zeitdilatation?
ii. Wie gro ist die Geschwindigkeit der Myonen ungefahr?
;
;
ct = x () ct0 = x0
muss diese Weltlinie Winkelhalbierende beider Koordinatensysteme sein.
10 20. JANUAR 2000: ANWENDUNG VON MINKOWSKI-DIAGRAMMEN
62
10 20. Januar 2000: Anwendung von Minkowski-Diagrammen
10.1 Wiederholung
Die Zeitdilatation und ihre experimentelle Bestatigung
Konstruktion von Minkowski-Diagrammen
Korrektur der Mastabsanderung
ct
1
ct
6
0
*
1
-
f
1 + tan2 = (1 ; 2)f 2 =) f =
x
0
q 1+2
1; 2
x
10.2 Folgerungen aus den Minkowski-Diagrammen
10.2.1 Die Relativitat der Gleichzeitigkeit
Der Umstand, dass die Raumachsen gegeneinander bewegter Inertialsysteme im MinkowskiDiagramm nicht parallel zueinander sind, stellt die Relativitat der Gleichzeitigkeit dar:
Ereignisse, die im einen System gleichzeitig sind { und deshalb auf einer Parallelen zur
Raumachse liegen {, sind es in dem anderen System nicht, da ihre Verbindungslinie nicht
parallel zur entsprechenden Raumachse ist.
10.2.2 Die Langenkontraktion und ihre Symmetrie
Ein mit der Geschwindigkeit v bewegter Mastab habe in seinem Ruhesystem K
die Lange l = 100m, im ruhenden System K die Lange l.
0
0
ctm]
ct m]
0
Weltlinie des Mastabendes
150
100
x m]
0
50
50
100
150
xm]
10 20. JANUAR 2000: ANWENDUNG VON MINKOWSKI-DIAGRAMMEN
ct m] ct m] ctm]
0
63
00
150
100
50
xm]
B
0
50
100
150
C A
x m]
00
x m]
Abbildung 39: Zur Veranschaulichung der Symmetrie der Langenkontraktion durch
Minkowski-Diagramme
0
Die Lange l wird in K gemesen, indem die Koordinaten von Anfang und Ende des
Mastabes gleichzeitig, z.B. bei ct = 0, bestimmt werden. In das Diagramm sind
die Weltlinien des Anfanges (ct -Achse) und des Endes eingezeichnet. Es zeigt die
Langenkontraktion unmittelbar.
Dieses Diagramm und die zugehorige Argumentation sind zwar richtig, aber leicht
irrefuhrend, weil eine Unsymmetrie zwischen den beiden Systemen suggeriert wird:
Wenn man in das Diagramm die Weltlinien eines in K ruhenden Mastabes mit
der Lange l einzeichnen, hat man { wenn man nicht auf den veranderten Mastab
achtet { den Eindruck, als wurde dieser in K langer gemessen.
Besser ist es deshalb, das Diagramm so zu zeichnen, dass beide Systeme denselben
Mastab haben! Dazu fuhrt man ein Hilfssystem K ein, relativ zu dem sich die
beiden anderen mit den Geschwindigkeiten v2 bzw. ; v2 bewegen (s. Abb. 39).
Zeichnet man die Weltlinie des Endes eines in K ruhenden Mastabes der Lange
l (= 0A), so schneidet diese die x-Achse bei l < l (= 0B ). Zeichnet man nun
die Weltlinie eines in K ruhenden Mastabes der Lange l, so schneidet diese die
x -Achse bei C (l < l).
0
0
00
0
0
0
0
00
10.2.3 U berlichtschnelle Signale (Sexl, S. 86)
Wenn man Botschaften mit einer Geschwindigkeit c > c ubertragen konnte, dann konnte
ich die Ergebnisse der Ziehung der Lottozahlen zur Zeit t = 0 bei (x = 0) an einen
Partner verschicken, der sich mit v = c bewegt (s. Abb. 40). Dieser Partner wurde
im Moment des Erhaltens (A, der fur ihn bei ct < 0 liegt) die Ergebnisse mit derselben
U berlichtgeschwindigkeit zurucksenden. Das Ereignis A liegt fur den Partner so weit in der
Vergangenheit, dass diese Nachricht mich noch vor der Ziehung der Lottozahlen erreichen
wurde. . . .
0
0
10 20. JANUAR 2000: ANWENDUNG VON MINKOWSKI-DIAGRAMMEN
ctm]
ct m]
64
0
150
x m]
0
100
pA
50
B
50
100
150 xm]
Abbildung 40: Verletzung des Kausalitatsprinzips durch uberlichtschnelle (v = 2:3c) Signale (Erlauterungen im Text)
Ein solcher Vorgang wurde das Kausalitatsprinzip der Physik verletzen, nach dem
die Ursache eines Ereignisse immer dem Ereignis selbst zeitlich vorangehen muss.
Durch Ubertragung
von Information mit Uberlichtgeschwindigkeit
wurde das
Kausalitatsprinzip verletzt werden. Man ist deshalb heute sehr sicher, dass
eine solche uberlichtschnelle Signalubertragung nicht moglich ist.
10.2.4 Vergangenheit und Zukunft (Sexl, S. 89)
Die beiden fur uns gleichzeitigen Ereignisse A und B in Abbildung 41 geschehen fur relativ
zu uns bewegten Beobachter nacheinander. Fur einen Autofahrer, der in K ruht, ist B
spater als A. B konnte also die Radiodurchsage eines Unfalles sein, an dem er beteiligt
war. Wenn er nun aber so beschleunigt, dass er in K ruht, dann geschieht B fruher als
A. Der Autofahrer hort also die Nachricht von seinem Unfall, bevor der sich ereignet hat
...
Hier ist nicht (explizit) von uberlichtschnellen Signalen Gebrauch gemacht worden,
aber trotzdem ist ein Widerspruch zum Kausalitatsprinzip entstanden. Wo lag der Denkfehler?
B kann nicht die Nachricht vom Unfall A sein, weil kein Signal, dessen Ausbreitungsgeschwindigkeit hochstens gleich der Lichtgeschwindigkeit ist, den Ort ~rB von ~rA aus
erreichen kann, bevor sich B ereignet! B kann also nicht von A verursacht worden sein.
Tatsachlich konnen nur solche Ereignisse B von A beeinusst werden, fur die gilt
0
00
ctB xB ; xA + ctA:
(42)
Diese Ereignisse liegen alle in dem Gebiet, das oberhalb der Weltlinien der beiden
Lichtsignale liegt, die von A in beiden Raumrichtungen ausgesendet werden. Da dieses
Gebiet im Falle zweier Raumdimensionen zu einem Kegel wird, heit seine Berandung der
Lichtkegel des Ereignisses A.
10 20. JANUAR 2000: ANWENDUNG VON MINKOWSKI-DIAGRAMMEN
ct m]
ctm]
ct m]
0
65
00
200
150
100
50
x m]
00
rA
rB
50 100 150 200
xm]
x m]
Abbildung 41: Dieselben Ereignisse A und B sind in K gleichzeitig, in K geht A B
voraus (ctA < ctB ), in K geht umgekehrt B A voraus (ctB < ctA).
0
0
0
0
00
00
00
Von einem Ereignis A konnen nur diejenigen Ereignisse beeinusst werden,
die innerhalb des (Vorwarts-) Lichtkegels von A liegen. Umgekehrt kann A nur
von den Ereignissen beeinusst werden, die sich innerhalb des (Ruckwarts-)
Lichtkegels von A ereignen. Von diesen Ereignissen sagt man, sie haben einen
zeitartigen Abstand von A.
Ereignisse auerhalb des Lichtkegels von A haben einen raumartigen, Ereignisse auf dem Lichtkegel einen lichtartigen Abstand von A.
Wie man sich anhand von Abbildung 42 leicht klar macht, scheidet der Lichtkegel
eines Ereignisses seine Zukunft eindeutig von seiner Vergangenheit: Alle Ereignisse B
im oberen Teil des Lichtkegels (die von A beeinusst werden konnen!) liegen eindeutig in
seiner Zukunft: Es gibt kein Bezugssystem, in dem diese Ereignisse A vorangehen! Ebenso
macht man sich klar, dass alle Ereignisse C im unteren Teil des Lichtkegel eindeutig in
der Vergangenheit von A liegen. Nur fur die Ereignisse D auerhalb des Lichtkegels ist
die zeitliche Reihenfolge mit A nicht eindeutig. Diese Ereignisse konnen jedoch in keine
kausale Beziehung zu A treten!
10.2.5 Koordinatentransformation
Da wir nun in der Lage sind, zu jeder Geschwindigkeit v das Minkowski-Diagramm zu
zeichnen, konnen wir auch zu jedem Ereignis E, dessen Koordinaten (x y z ct) in K
wir kennen, die zugehorigen Koordinaten (x y z ct ) in K konstruieren und umgekehrt
(s. Abb. 43).
Wir kennen damit die Lorentz-Transformation in geometrischer Darstellung und konnten aus dieser Darstellung auch die algebraische Form der Transformation ableiten (siehe
z.B. 2]).
Stattdessen soll die algebraische Form der Lorentz-Transformation aus den Grundpostulaten der Relativitatstheorie direkt abgeleitet werden.
0
0
0
0
0
10 20. JANUAR 2000: ANWENDUNG VON MINKOWSKI-DIAGRAMMEN
ctm]
mit v bewegt
66
Lichtkegel von A
rB
rA
rD
Zukunft von A
100
50
rC
Vergangenheit von A
50
xm]
100
Abbildung 42: Der Lichtkegel des Ereignisses A teilt "die Welt\ eindeutig in die Vergangenheit und Zukunft dieses Ereignisse { und in den Teil, der in keine kausale Beziehung
zu A treten kann.
ctm]
ct m]
0
rA
ctA
100
ctA
0
50
x m]
0
xA
0
50
100
xA
xm]
Abbildung 43: Zur U bertragung der Koordinaten eines Ereignisses A von einem Inertialsystem K in ein Inertialsystem K
0
10 20. JANUAR 2000: ANWENDUNG VON MINKOWSKI-DIAGRAMMEN
67
10.3 U bung
Besprechung der Hausaufgaben:
{ Quantitative Abschatzung der Eekte beim Hafele-Keating-Experiment (s. S. 61)
Ergebnisse: Der Gravitationseekt betragt
#tgrav = +196ns:
Die Abweichungen zwischen Boden- und Borduhr betragen fur die Fluge nach
Osten bzw. nach Westen
#tWO = ;255ns
#tOW = +156ns
=)
=)
#t = 196ns ; 255ns = ;59ns
#t = 196ns + 156ns = 352ns:
{ Myonen aus kosmischer Strahlung (s. S. 61)
Das Ergebnis ergibt sich aus dem Umstand, dass der Quotient aus Flugzeit
und Lebensdauer in beiden Bezugssystemen gleich gro sein muss:
= 0:997 =) = 12:92 =) = 0 = 19:6s
Hausaufgabe: Stellen Sie die Zeitdilatation und ihre Symmetrie anhand eines
Minkowski-Diagrammes dar!
11 27. JANUAR 2000: DIE LORENTZ-TRANSFORMATION
68
11 27. Januar 2000: Die Lorentz-Transformation
11.1 Ableitung der Transformationsgleichungen
Gegeben ist ein Ereignis mit den Koordinaten (x y z ct) im Inertialsystem K . Gesucht
sind seine Koordinaten (x y z ct ) im dagegen mit der Geschwindigkeit v = c bewegten Bezugssystem K . Gesucht sind also Funktionen, die die Berechnung der neuen
Koordinaten aus den alten ermoglichen:
0
0
0
0
0
x
y
z
ct
0
0
0
0
fx(x y z ct)
fy (x y z ct)
fz (x y z ct)
fct(x y z ct)
=
=
=
=
Aus der Homogenitat von Raum und Zeit10 folgt, dass die Funktionen linear
sein mussen 11 :
x
y
z
ct
=
=
=
=
0
0
0
0
axxx + axy y + axz z + axctct + ax0
ayx x + ayy y + ayz z + ayctct + ay0
azxx + azy y + azz z + azctct + az0
actxx + acty y + actz z + actctct + act0
(43)
(44)
(45)
(46)
Ware namlich z.B.
! !2 2
b
b
x = ax + bx = a x + a x = a x + 2a ; 4ba 0
2
2
dann ware die Stelle x0 = ; 2ba im Raum dadurch ausgezeichnet, dass Langenmessungen besonders kleine Werte ergaben.
Werden die Koordinatensysteme so gewahlt, dass zur Zeit ct = 0 die Ursprunge
beider Systeme zusammenfallen und die Uhr im Ursprung von K ebenfalls 0 anzeigt
(ct = 0), dann wird das Gleichungssystem homogen :
0
0
ax0 = ay0 = az0 = act0 = 0
(47)
Aus der Forderung nach der Isotropie des Raumes12 folgt, dass man die Achsen
so orientieren kann, dass x- und x -Achse in Richtung der Relativgeschwindigkeit
zeigen und dass z- und z - Achse und y- und y -Achse zueinander parallel verlaufen.
0
0
0
Dieses Postulat verlangt, dass das Resultat einer Langenmessung nicht vom Ort der Messung abhangt
und dass die Messung eines Zeitintervalles unabhangig davon ist, wann diese Messung durchgefuhrt wird
(also unabhangig davon ist, wann die Uhr gestartet wurde).
11 Alle Koezienten a sind allein von der Geschwindigkeit v abh
angig.
ij
12 Nach dieser Forderung ist im Raum keine Richtung ausgezeichnet.
10
11 27. JANUAR 2000: DIE LORENTZ-TRANSFORMATION
69
Damit vereinfacht sich das Gleichungssystem ganz erheblich:
(z = 0 =) z = 0) =) z = azz z
(y = 0 =) y = 0) =) y = ayy z
0
0
0
0
also azx = azy = azct = 0 (48)
also ayx = ayz = ayct = 0 (49)
Da das Ergebnis der Langenmessung eines in K ruhenden Mastabes in K dasselbe
Ergebnis haben muss, als wenn derselbe Mastab in K zur Ruhe gebracht wird und
seine Lange von K aus gemessen wird, folgt
0
0
9
#y = ayy #y >
=
0
=) ayy = 1 =) ayy = 1
>
ayy
#y = a1yy #y (50)
0
Ebenso folgt bei einer Langenmessung in z-Richtung
azz = 1:
(51)
Fur einen Korper, der im Ursprung von K ruht (x = 0), gilt in K :
0
(x = 0 =) x = vt) =) x
0
0
0
x ; vt
=) x = k(x ; ct)
(52)
0
Ebenso folgt fur einen Korper, der im Ursprung von K ruht (x = 0):
(x = 0 =) x = ;vt ) =) x x + vt
0
0
0
0
=) x = k (x + ct ) (53)
0
0
0
Aus dem Relativitatsprinzip folgt, dass auch die Langenmessung in x-Richtung symmetrisch in beiden Bezugssystemen sein muss. Daraus ergibt sich mit derselben
Schlussweise wie bei (50):
k = k = axx
(54)
0
Fasst man die Gleichungen (52) und (53) zusammen, dann sieht man, dass ct nur
von x und ct abhangt:
0
x ;x
ct = k
!
= 1 ; k x + kct
k 0
0
(55)
Es muss also gelten:
1 ; k a = k
acty = actz = 0 actx = k
ctct
(56)
11 27. JANUAR 2000: DIE LORENTZ-TRANSFORMATION
Damit hat sich das Gleichungssystem (43)-(46) folgendermaen vereinfacht:
x
y
z
ct
0
0
0
70
0
kx ; kct
y
z
!
k
1
= k ; x + kct
=
=
=
(57)
(58)
(59)
(60)
In diesem Gleichungssystem ist nur noch der von der Geschwindigkeit v abhangige
Parameter k(v) unbekannt. Er kann mit Hilfe des Postulates von der Konstanz der
Lichtgeschwindigkeit bestimmt werden, das bisher noch nicht benutzt wurde.
Ein Lichtsignal, das zur Zeit t = 0 = t vom Koordinatenursprung in positive
x-Richtung ausgesendet wird, wird in den beiden Koordinatensystemen folgendermaen beschrieben:
0
)
x = ct
x = ct
c2 = k2(c2 ; v2)
0
=)
0
(52)(53)
=)
=)
(
ct = k(c ; v)t
ct = k(c + v)t
k = p1 1; 2 = 0
)
0
(61)
Damit sind die Transformationsgleichungen vollstandig bestimmt. Wegen
!
1 ; k = 1 (1 ; k2 ) = 1 1 ; 2 ; 1 = ;k
k k
k 1 ; 2
konnen sie in vollig symmetrischer Form folgendermaen geschrieben werden:13
Die Lorentz-Transformation
x
y
z
ct
0
0
0
0
13
=
=
=
=
(x ct)
y
z
(ct x)
;
;
(1)
(2)
(3)
(4)
oder
x
y
z
ct
(x + ct )
y
z
(ct + x )
=
=
=
=
0
0
0
0
0
0
Meist werden die Transformationsgleichungen in der folgenden Form geschrieben:
x0
y0
z0
t0
= px1;;vtv2
c2
= y
= z v
= pt;1c;2 vx2
c2
oder
x
y
z
t
= px 1+;vtv2
c2
= y0
= z0 v
t + 2x
c
= p
2
1; vc2
0
0
0
0
(1')
(2')
(3')
(4')
(62)
11 27. JANUAR 2000: DIE LORENTZ-TRANSFORMATION
71
11.2 Anwendungen der Transformationsgleichungen
11.2.1 Langenkontraktion
Ein Mastab ruhe in K und habe dort die Ruhelange l = x2 ; x1 . Seine Lange l = x2 ; x1
wird in K gemessen, indem die Positionen von Anfang und Ende gleichzeitig (#t = 0)
bestimmt werden. Aus Gleichung (1) der Lorentz-Transformation ergibt sich damit
0
0
0
0
=0
l = x2 ; x1 = (x2 ; x1 ; c#t) =t)
l = l
0
0
0
0
(63)
in U bereinstimmung mit unserem fruher gewonnenen Ergebnis (37) auf Seite 52.
11.2.2 Relativistische Geschwindigkeitsaddition
Nach der klassischen Geschwindigkeitsaddition (Gleichung (7), S. 10) hatte das
Scheinwerferlicht eines mit der Geschwindigkeit v fahrenden Autos fur einen Fuganger am Straenrand die Geschwindigkeit c + v { im Widerspruch zum Prinzip
der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit.
Mit Hilfe der Lorentz-Transformation ist es einfach, eine neue Vorschrift zur Addition von Geschwindigkeiten abzuleiten:
Das Bezugssystem K bewege sich wie ublich mit der Geschwindigkeit v gegen das
Bezugssystem K . Beschreiben Sie die Weltlinie eines Korpers, der sich relativ zu K
mit der Geschwindigkeit u bewegt, zunachst in K . Berechnen Sie daraus mit Hilfe
der Lorentz-Transformation die Gleichung der Weltlinie in K ! Wie berechnet sich
demnach die Geschwindigkeit u des Korpers relativ zu K ?
0
0
0
0
Misst ein Beobachter B , der sich mit der Geschwindigkeit v gegenuber
einem anderen Beobachter B bewegt, in Bewegungsrichtung14 eine Geschwindigkeit u , dann misst B eine Geschwindigkeit u, die sich folgendermaen aus u und v zusammensetzt:
0
0
u = 1u++uvv
0
0
c2
(relativistische Geschwindigkeitsaddition)
(64)
Folgerungen:
{ Wenn B Lichtgeschwindigkeit misst (u = c), dann misst auch B Lichtge0
0
schwindigkeit { in U bereinstimmung mit dem Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit:
v =c
u = c =) u = 1c +
+ vc
0
{ Aufgabe:
Die zusammengesetzte Geschwindigkeit ist immer kleiner oder gleich c:
14
Der Fall einer dazu senkrechten Bewegungsrichtung wird erst spater (Gleichung 79, S. 95) behandelt.
11 27. JANUAR 2000: DIE LORENTZ-TRANSFORMATION
72
11.3 Das Zwillings-Paradoxon
Aus den Postulaten der Relativitatstheorie folgt zwingend, dass eine Uhr (genauer: jede
Uhr { und damit auch ein Mensch!) nach einer langen und sehr schnellen Reise gegenuber
einer zuruckgebliebenen Uhr nachgeht. Dieser Eekt wird in der Literatur als UhrenParadoxon oder Zwillings-Paradoxon bezeichnet und hat zu den heftigsten Angrien auf
die Relativitatstheorie gefuhrt.
Wir haben diesen Eekt bereits fruher (S. 53) behandelt und begrundet, dass dieses
Ergebnis zwar unserem Zeitverstandnis massiv widerspricht, dass es aber nicht paradox
ist, da die beschriebene Situation nicht symmetrisch ist: Nur eine der beiden Uhren wird
bei diesem Vorgang beschleunigt!
Zu einem tieferen Verstandnis soll dieses Phanomen an einem konkreten Beispiel naher
untersucht werden (Sexl, S. 97, Resnick, S. 201). Dabei wird es einen ersten Hinweis
auf den so genannten Dopplereekt geben.
Von zwei Zwillingen A und B unternehme der eine (B ) eine weite und sehr schnelle
(v = 54 c) Weltreise, die ihn, mit seiner eigenen Uhr gemessen, zunachst drei Jahre
lang von seinem Bruder entfernt, um ihn dann in der gleichen Zeit nach Hause
zuruckzubringen.
Um wieviel sind die beiden Bruder bei ihrem Wiedersehen gealtert?
Da die Uhr von B nach der Reise sechs Jahre anzeigt, ist er um die selbe Zeit
gealtert.
Fur A jedoch geht die Uhr von B langsamer, bzw. seine eigene schneller. Wegen
= 54 =) = 35
ist A um den Faktor 53 mehr gealtert. Er ist also beim Wiedersehen zehn Jahre alter
geworden { und damit vier Jahre alter als sein Zwillingsbruder!
Veranschaulichen Sie den Vorgang in einem Minkowski-Diagramm!
Da die Reisegeschwindigkeit bekannt ist, ist das Minkowski-Diagramm aus der Sicht
von A (Inertialsystem!) leicht zu konstruieren (Abbildung 44): Da fur A wahrend der
Hinreise 5 Jahre vergehen, legt B in dieser Zeit (wegen = 54 ) 4 Lichtjahre zuruck.
Dabei vergehen fur ihn drei Jahre. Der Ereignisse der jeweiligen "Jahreswechsel\
sind durch dicke Punkte markiert.
Die Bruder halten auch wahrend der Reise Kontakt, indem jeder von ihnen immer
nach Ablauf eines Jahres einen Funkspruch an seinen Bruder sendet.
Wie viele Funksignale erhalt jeder der beiden Bruder und in welchem zeitlichen
Abstand?
Die Weltlinien der Funkspruche haben in dem Minkowski-Diagramm die Steigungen
1. Das Diagramm macht folgendes deutlich:
1. B erhalt wahrend seiner Reise tatsachlich 10 Funkspruche, A dagegen nur 6!
11 27. JANUAR 2000: DIE LORENTZ-TRANSFORMATION
10
8
6
4
2
r ctLj]
r
=
=)
r
r
r
r Weltlinie der Ruckfahrt
r
r
r Umkehrpunkt
r
r Weltlinie der Hinfahrt
r
r r
r
r
4
5
2
=
73
5
3
4
xLj ]
Abbildung 44: Dopplereekt und Zwillingsparadoxon (Resnick, S. 205)
2. A erhalt die Funkspruche wahrend der Hinreise im Abstand von 3 Jahren,
wahrend der Ruckreise im Abstand von 31 Jahren. Nach diesen Informationen
hat A also den Eindruck, dass B wahrend der neunjahrigen Hinreise mit um
den Faktor 3 niedrigerer Frequenz sendet, wahrend der einjahrigen Ruckreise
dagegen mit einer um den Faktor 3 hoheren Frequenz!
3. B empfangt erst am Ende der Hinreise, also nach drei Jahren, das erste Signal,
wahrend der Ruckreise dagegen neun Signale im Abstand von jeweils 31 Jahren. Auch fur ihn sind die Empfangsfrequenzen also um jeweils den Faktor 3
verringert bzw. vergroert!
Die sich dabei ergebende Frequenzveranderung ist Ausdruck des relativistischen
Dopplereektes, die in der nachsten Sitzung behandelt wird.
Es wurde argumentiert, dass der Eekt allein durch die Beschleunigungsphasen hervorgerufen werde, die auerhalb der speziellen Relativitatstheorie stunden. Dieser
Einwand ist insofern unzutreend, als beschleunigte Bewegungen naturlich relativistisch beschrieben werden konnen! lediglich die Bezugssysteme mussen Inertialsysteme sein. Der Einwand kann auch entkraftet werden, indem man beide Uhren dieselben Beschleunigungsphasen durchlaufen lasst (s. Ruder (24], S. 76, 80)).
Ein wirkliches Paradoxon scheint sich zu ergeben, wenn beide Uhren auf spiegelbildliche Reisen geschickt werden: Fur jeden der beiden Reisenden geht die Uhr des
jeweils anderen wahrend der ganzen Reise langsamer, muss also beim Wiedersehen
nachgehen. Wegen der Symmetrie dieser Situation ware aber dieses Zuruckbleiben
tatsachlich paradox!
11 27. JANUAR 2000: DIE LORENTZ-TRANSFORMATION
74
Frage: Wo liegt der Denkfehler?
(Achtung: Die Antwort ist nicht ganz einfach!)
11.4 U bung: Weitere Folgerungen aus den Transformationsgleichungen
11.4.1 Relativitat der Synchronisation
Aufgabe: Zeigen Sie mit Hilfe der Transformationsgleichungen (62), dass Gleichzeitigkeit
in der Relativitatstheorie ein relativer Begri ist!
11.4.2 Zeitdilatation
Aufgabe: Begrunden Sie mit Hilfe der Transformationsgleichungen (62) den Eekt der
Zeitdilatation und leiten Sie die fruher (Gleichung (38, S. 52) gewonnene Formel dafur
ab!
11.4.3 Lichtaberration
Senkrecht von oben einfallendes Licht kommt fur einen bewegten Beobachter schrag von
vorn. Diese so genannte Lichtaberration ergab sich klassisch durch Vektoraddition von
Lichtgeschwindigkeit und Bewegungsgeschwindigkeit (s. Seite 35). In der Relativitatstheorie ergibt er sich als Folge der Lorentz-Transformation.
Aufgabe: Leiten Sie an einem einfachen Spezialfall den Aberrationseekt aus den
Transformationsgleichungen (62) ab! Transformieren Sie dazu Weltlinie eines in K senkrecht nach unten, d.h. in ;y -Richtung, "fallenden\ Lichtsignals in das Ruhesystem K !
0
0
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
75
12 3. Februar 2000: Das Aussehen schnell bewegter Objekte
12.1 Wiederholung
12.1.1 Lichtaberration
Fur den Ablenkungswinkel bei der Lichtaberration ergab sich klassisch (s. S. 35)
tan = vc = :
(65)
In der letzten U bung wurde abgeleitet, dass das korrekte relativistische Ergebnis
um den Faktor groer ist als das klassisch gewonnene:
tan = relativistische Lichtaberration
(66)
Im Falle der Bahnbewegung der Erde ist dieser Unterschied jedoch unmessbar klein.
Bei der Behandlung des Zwillings"paradoxons\ hatten wir erkannt, dass die Empfangsfrequenz bei Entfernung kleiner, bei Annaherung dagegen groer als die Sendefrequenz ist. Dieses Phanomen ist Ausdruck des relativistischen Dopplereektes,
der { z.B. in der Astronomie { eine uberragende Rolle spielt.
12.1.2 Der Dopplereekt
Ein Sender sende im Abstand T0 Lichtsignale aus. In welchem zeitlichen Abstand T
kommen diese Signale bei einem Beobachter B an, auf den sich der Sender mit der
Geschwindigkeit v zubewegt?15
{ Fur B ist die Zeit im Ruhesystem des Senders um den Faktor p11 gedehnt.
Fur ihn sendet der Sender im groeren Abstand
;
2
T = T0
Jedes Signal muss wegen der Annaherung des Senders an den Empfanger eine
um vT kleinere Distanz durchlaufen. Es kommt deshalb um #T = T fruher
an.
Zwischen dem Empfang zweier Signale vergeht also fur B die Zeit
=)
15
Das war Hausaufgabe!
TE = T ; #T = (1 ; )T = p1 ; 2 T0
1;
s
TE = T0 11 ;
+
(67)
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
Die Frequenz f des ankommenden Signals ist also groer als die des Senders f0:
v
u
t1 + f = f0 u
relativistischer Dopplereekt
1;
f02 ; 1
f2
f02
f2 + 1
f f0(1 + 2 )(1 + 2 ) (1 + )f0
f0 = 1 =) f ;
f0
(70)
Bei der Analyse des Zwillings-Paradoxons mit Hilfe von Funksignalen (Abb. 44,
S. 73) ergab sich, dass die Empfangsfrequenz bei Annaherung um den Faktor 3
groer, bei Entfernung um denselben Faktor kleiner als die Sendefrequenz war. Dieses Ergebnis kann nach Gleichung (68) als Dopplereekt interpretiert werden:
= 54 =)
16
(69)
Fur 1 vereinfacht sich die Formel fur den Dopplereekt zu
also
(68)
Wie man sich leicht uberlegen kann, ist diese Formel auch richtig, wenn sich der
Sender entfernt ( < 0).
Wegen des Relativitatsprinzips mu bei Licht, anders als bei Schall, der sich im
Medium Luft ausbreitet, nicht zwischen bewegter Quelle und bewegtem Empfanger
unterschieden werden.
Aufgabe: Leiten Sie die Formeln fur den akustischen Doppler-Eekt fur den Fall
des bewegten Senders und den des bewegten Empfangers her!
Bei sich entfernender Lichtquelle wird also die Frequenz zu niedrigeren Werten,
die Wellenlange also zu groeren Werten verschoben. Diese so genannte Rotverschiebung wird in der Astronomie zur Geschwindigkeitsmessung { und damit zur
Entfernungsbestimmung16 { benutzt:
f 2 = 1 ; =) = f02 ; f 2 =
f02 1 + f02 + f 2
76
s
1 + = 3 =)
1;
s
1; = 1
1+ 3
mit Hilfe des Hubble-Gesetzes, das bei kosmischen Entfernungen eine Proportionalitat zwischen
Fluchtgeschwindigkeit und Entfernung postuliert
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
77
Bei der Behandlung des Dopplereektes hat sich gezeigt, dass der Eekt der Zeitdilatation bei Relativbewegung im Allgemeinen uberlagert wird durch die endliche (und sich
andernde!) Laufzeit der Signale zwischen Sender und Empfanger. Bei der Rotverschiebung
fuhrt dieser Eekt dazu, dass die registrierte Frequenzveranderung (68) groer ist als nach
Gleichung (38) (Seite 52) fur die Zeitdilatation erwartet. Bei Annaherung zwischen Sender
und Empfanger wird der Eekt sogar in sein Gegenteil verkehrt:
Trotz Zeitdilatation wird eine erhohte Frequenz registriert!
In den folgenden Kapiteln wird der Einuss der Lichtlaufzeit auf den Eekt der
Langenkontraktion untersucht. Allgemeiner werden wir die durch die Lichtlaufzeit hervorgerufene scheinbare Form- und Geschwindigkeitsanderung untersuchen. Dabei wird sich
zeigen, dass die meisten Eekte bereits in der klassischen, nichtrelativistischen Physik
hatten erwartet werden konnen.
12.2 Retardierung
Bei der Vermessung eines Gegenstandes werden die Koordinaten seiner Begrenzung gleichzeitig bestimmt. Bei der Beobachtung oder Fotograe eines bewegten Gegenstandes wird
dagegen Licht registriert, das gleichzeitig ins Auge oder in die Kamera einfallt. Wegen der
unterschiedlichen Laufzeit des Lichtes von verschieden weit entfernten Teilen des beobachteten Gegenstandes ist dieses Licht jedoch nicht gleichzeitig vom Gegenstand ausgesendet
worden.
Bei einem sich bewegenden Gegenstand fuhrt dieser Umstand dazu, dass die Teile des
Gegenstandes nicht nur zu verschiedenen Zeiten, sondern auch an verschiedenen Positionen des Gegenstandes abgebildet werden:
Die verschiedenen Teile eines sich bewegenden Gegenstandes werden bei der
Beobachtung zu unterschiedlichen Zeiten in der Vergangenheit abgebildet (Retardierung).
12.2.1 Scheinbare Geschwindigkeit
Wenn sich ein Gegenstand direkt auf die Kamera zubewegt, verkurzt sich die Laufzeit des
von ihm ausgesendeten Lichtes zur Kamera zunehmend17 . Die an zwei unterschiedlichen
Orten x1 und x2 im zeitlichen Abstand tS2 ; tS1 ausgesendeten Lichtsignale kommen
dadurch mit einem geringeren Zeitunterschied tE2 ; tE1 beim Beobachter an. Fur ihn
scheint deshalb die Geschwindigkeit vS des Korpers groer zu sein als die tatsachliche
Geschwindigkeit v:
x2 ; x1 = v (bei Abstandsverringerung)
; x1
vS = tx2 ;
>
tS2 ; tS1
E2 tE1
Entsprechend ergibt sich eine verkleinerte scheinbare Geschwindigkeit, wenn sich der
Gegenstand vom Beobachter entfernt.
In Abbildung 45 sind die Weltlinie eines sich schnell bewegenden Gegenstandes und
drei seiner Positionen eingetragen. Zwischen den Ereignissen 1 und 2 vergeht die Zeit #t,
zwischen dem Empfang der beiden entsprechenden Signale jedoch nur die Zeit
17
Genau dieser Eekt beeinusste bereits den Dopplereekt.
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
ctm]
100
78
r3
ct
50
r2
;vt
-100
-50
1r
vt
50
100xm]
-50
;ct
-100
Abbildung 45: Weltlinie eines Gegenstandes, der sich direkt am Beobachter bei x = 0
vorbeibewegt. Eingezeichnet sind zwei Lichtsignale, die der Gegenstand von 1 bzw. 3 aus
zum Beobachter sendet.
#t = c#t ;c v#t = (1 ; )#t:
Entsprechend gilt fur den Empfang der Signale von 2 und 3:
#t = c#t +c v#t = (1 + )#t:
Bei der Beobachtung eines sich nahernden/entfernenden Korpers ergibt sich
die folgende scheinbare Geschwindigkeit:
0
0
vS = 1 1 v
(71)
Dabei gilt das negative Vorzeichen fur Annaherung, das positive fur Entfernung
des Gegenstandes vom Beobachter.
Bei Annaherung mit halber Lichtgeschwindigkeit scheint der Gegenstand bereits mit
voller Lichtgeschwindigkeit heranzukommen (s. Abb. 46). Nahert sich seine Geschwindigkeit der Lichtgeschwindigkeit, dann strebt seine scheinbare Geschwindigkeit gegen unendlich: Der Gegenstand ist plotzlich da, ohne vorher beobachtet worden zu sein!
Entfernt sich der Gegenstand, ist seine scheinbare Geschwindigkeit groer als die Halfte
der tatsachlichen Geschwindigkeit.
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
79
Abbildung 46: Ein Wurfel bewegt sich mit = 0:5 auf die Kamera zu. Zwischen den
beiden Bildern hat er tatsachlich 50m zuruckgelegt. Da die Groe der Kacheln 20m 20m
betragt, scheint er 100m zuruckgelegt zu haben.
12.2.2 Unsichtbarkeit der Langenkontraktion
Bei der Beobachtung ausgedehnter Korper treten im Wesentlichen drei Eekte auf:
1. Langenanderung bei Abstandsanderung
Wenn sich ein Stab in Langsrichtung auf einen Beobachter zubewegt, ist das Licht
vom Stabende langer zum Beobachter unterwegs als Licht vom Stabanfang. Das
Stabende wird also an einer fruheren Position abgebildet als der Stabanfang. Der
Stab erscheint also langer, als er gemessen wurde. Aus demselben Grund erscheint
ein sich entfernender Stab verkurzt.
Es wird hier nur das Ergebnis mitgeteilt. Seine Ableitung ist Gegenstand der heutigen U bung.
Ein sich nahernder bzw. entfernender Stab erscheint bei Beobachtung durch
die endliche Laufzeit des Lichtes gegenuber der gemessenen Lange l verlangert bzw. verkurzt:
lS = 1 1 l
(72)
Im Falle der Annaherung erscheint dadurch der Stab trotz der LorentzKontraktion langer als in Ruhe. Bei Entfernung wird er durch diesen Effekt zusatzlich verkurzt:
v
(
u
u
1
> l0
t
lS = l0
1
(bei Annaherung)
< l < l0 (bei Entfernung)
(73)
Dabei gelten die oberen Vorzeichen fur Annaherung, die unteren fur Entfernung.
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
80
Abbildung 47: Die scheinbare Verlangerung bei der Beobachtung eines herankommenden
Korpers (rechts, = 0:9) wird nur sichtbar bei direktem Vergleich mit ruhenden Vergleichsgegenstanden (Bodenkacheln, Wurfel links). Ohne einen solchen Vergleich erscheint
der Korper eher verzerrt.
Eine genauere Analyse zeigt, dass die eben abgeleitete scheinbare Verlangerung bei
der Beobachtung eines herankommenden Korpers durch perspektivische Verkurzung
und andere Verzerrungen nahezu unbeobachtbar wird (s. Abb. 47).
2. Drehung bei Vorbeiug
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, dass die Langenkontraktion auch bei einem
Vorbeiug, bei dem Bewegungsrichtung und Blickrichtung senkrecht zu einander
sind, unbeobachtbar bleibt.
Ein Korper, der sich in y-Richtung bewege, werde in x-Richtung beobachtet. Er
habe in seinem Ruhesystem die Breite #y = b0 , die Hohe #z = h0 und die Tiefe
#x = t0 . In der Zeit #t, in der sich das Licht von der (fur den Beobachter) hinteren
Flache zur vorderen fortpanzt (#t = hc = hc0 ), bewegt sich der Korper um #y =
v#t = h0 weiter. Die in Bewegungsrichtung hintere Seitenache ist also mit einer
Breite h0 zu sehen (s. Abb. 48).
Ist der Korper genugend weit entfernt, sind alle Teile der Vorderache gleich weit
vom Beobachter entfernt, spielen Laufzeiteekte fur ihre Beobachtung also keine
Rolle. Die Vorderache wird jedoch durch die Lorentz-Kontraktion
p in Bewegungsrichtung um den Faktor verkurzt. Sie wird also mit einer Breite b0 1 ; 2 gesehen.
Verkurzung der Vorderseite und Sichtbarkeit der geometrisch unsichtbaren Seitenache lassen den Gegenstand nicht verkurzt, sondern verdreht erscheinen!
0
0
0
Bei der Beobachtung eines in groer Entfernung senkrecht zur Blickrichtung vorbeikommenden Korpers erscheint dieser nicht in Bewegungsrichtung verkurzt, sondern gedreht. Der Drehwinkel ist dabei gegeben durch
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
Aufsicht im Ruhesystem
t0
Ansicht
81
ktive Aufsicht
h0
b0
t0 b0
p
b 1 ; 2
t0 0
b0 cos t0 sin Abbildung 48: An- und Aufsicht eines Quaders, der sich in groer Entfernung senkrecht
zur Blickrichtung am Beobachter vorbeibewegt: Der Quader scheint um = arcsin gedreht zu sein.
= arcsin (74)
3. Sichtbarkeit von geometrisch verdeckten Seitenachen
Jeder Punkt der ideal matten Flachen eines Korpers strahlt in seinem Ruhesystem
isotrop nach allen Seiten Licht ab (Abb. 50 links). In einem Bezugssystem, in dem
sich der Korper bewegt, wird die Isotropie jedoch durch die relativistische Lichtaberration gestort (Abb. 50 rechts18 ).
Dabei ist der Onungswinkel
0 des Lichtkegels durch Gleichung (66) gegeben. Nur
aus Blickwinkeln , die groer als dieser Grenzwinkel sind, kann die Vorderseite {
in der Abbildung ist das die linke { gesehen werden:
tan > = p 2
1;
()
sin > (76)
Dafur ist aber fur Blickwinkel, die groer als dieser Grenzwinkel sind, die in Bewegungsrichtung hintere Seite, in der Abbildung also die rechte, zu sehen (siehe auch
Abb. 51).
Dieses Ergebnis kann leicht auch klassisch verstanden werden: Da der Korper dem
nach vorn ausgesendeten Licht nachlauft, kann sich dieses nur dann von der Vorderseite losen, wenn die Komponente der Lichtgeschwindigkeit in Richtung der Bewegung des Gegenstandes groer als dessen Geschwindigkeit ist, d.h. wenn es unter
einem Winkel abgestrahlt wird, fur den gilt:
Bei der Berechnung der transformierten Strahlrichtungen wurde die Verallgemeinerung von Gleichung
(66) benutzt, die auf dieselbe Weise und ebenso einfach abzuleiten ist (siehe z.B. Resnick (23], S. 84):
18
0
;
tan = sincos
(75)
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
82
Abbildung 49: Seitlicher Vorbeiug einer Kamera an einem Wurfel mit yKamera = 0:9
(Der Wurfel bendet sich 3500m vor und 2000m links von der Kamera.)
Ruhesystem des Wurfels
Ruhesystem des Beobachters
~v
0
Abbildung 50: Abstrahlung von Punkten der Oberache eines Quaders in seinem Ruhesystem (links) und in einem Bezugssystem, in der er sich mit der Geschwindigkeit = 0:6
nach links bewegt.
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
83
Abbildung 51: Nach dem Vorbeiug wird die Ruckseite des Wurfels sichtbar, obwohl die
Kamera nach vorn gerichtet ist. Der rote Punkt zeigt den Fupunkt der Kamera.
sin > vc = Die Ruckseite wird sichtbar, wenn der Korper dem sich ausbreitenden Licht schnell
genug Platz macht, Das ist aber gerade fur alle Winkel der Fall, die groer als dieser
Grenzwinkel sind!
12.2.3 Verformung
Kommt ein Stab quer zur Lange auf einen Beobachter zu, dann ist die Lichtlaufzeit von
den verschiedenen Teilen des Stabes zum Beobachter unterschiedlich. Sie werden deshalb
zu verschiedenen Zeiten in der Vergangenheit abgebildet. Dadurch entsteht eine scheinbare
Krummung, von der gezeigt werden kann, dass es sich um eine Hyperbel handelt (s. U bung,
S. 88). Die hyperbelartige Verformung ist in Abbildung 52 deutlich an den Kanten des
Wurfels zu erkennen.
12.3 Berucksichtigung des Doppler-Eektes
In den vorangehenden Abschnitten wurde die Farbe des bewegten Objektes gegenuber
der des ruhenden Objektes unverandert gelassen, d.h. es wurde der Doppler-Eekt nicht
berucksichtigt. Tatsachlich jedoch andert sich die Frequenz des empfangenen Lichtes { und
damit die wahrgenommene Farbe des beobachteten Gegenstandes { bei den betrachteten
hohen Geschwindigkeiten drastisch!
Um den Einuss des Doppler-Eektes berucksichtigen zu konnen, muss das Ergebnis
(68) verallgemeinert werden. Das Ergebnis (siehe z.B. Resnick (23], S. 84) soll hier nur
mitgeteilt werden:
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
84
Abbildung 52: Hyperbelformige Verformung der Kanten eines vorbeiiegenden Wurfels
( = 0:9)
Bei relativer Bewegung zwischen Lichtquelle und Empfanger andert sich die
Wellenlange 0 der Quelle gema
allgemeiner relativistischer Doppler-Eekt
= 0 1 1~er2~ev = 0 1 1 cos2 :
;
p
;
;
p
;
(77)
Dabei sind ~er und ~ev die Richtungsvektoren des einfallenden Lichtes und der
Geschwindigkeit der Quelle relativ zum Empfanger und der von ihnen eingeschlossene Winkel.
Wenn Quelle und Empfanger sich direkt aufeinander zubewegen oder voneinander
entfernen, ist ~er ~ev = 1, und (77) geht in das fruher gewonnene Ergebnis (67) uber.
Die wahrgenommene Farbe hangt also von der Beobachtungsrichtung ab. Bei hohen
Geschwindigkeiten kann das dazu fuhren, dass der Gegenstand uberhaupt nur in einem
beschrankten Winkelbereich wahrgenommen werden kann: Fur kleinere Winkel (d.h. mehr
in Vorwartsrichtung) ist das ankommende Licht zu kurzwellig, fur groere Winkel zu
langwellig, um mit den Augen wahrgenommen zu werden. Dieser Winkelbereich deniert
einen Kegel, der auf Netzhaut oder Film einen Ring erzeugt, der { ahnlich wie beim
(Haupt-) Regenbogen! { innen blau und auen rot gefarbt ist (s. Abb. 54 und 55).
12.4 U bung
12.4.1 Scheinbare Geschwindigkeit eines sich entfernenden Korpers
Aufgabe: Leiten Sie aus dem Minkowski-Diagramm in Abb. 45 die scheinbare Geschwindigkeit eines sich entfernenden Gegenstandes ab!
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
85
Abbildung 53: "Albert Einstein\ { durch relativistische Retardierung verformt (aus der
Examensarbeit von R. Thiel)
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
86
Abbildung 54: "Einstein\ { ohne (oben) und mit (unten) Doppler-Eekt relativistisch
retardiert ( = 0:5). Die Originalbilder in Farbe sind wesentlich eindrucksvoller.
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
87
Abbildung 55: "Einstein\ { ohne (oben) und mit (unten) Doppler-Eekt relativistisch
retardiert ( = 0:9). Die Originalbilder in Farbe sind wesentlich eindrucksvoller.
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
retardierter Korper
88
Korper zum Aufnahmezeitpunkt
~v
~c
c~
0
Lochkamera
Abbildung 56: Raycasting unter Berucksichtigung der Lichtlaufzeit: Statt den einfallenden
Lichtstrahl ~c bis zum Schnittpunkt mit dem retardierten Korper zuruckzuverfolgen {
dessen Position nicht bekannt ist! {, wird der Schnittpunkt des durch c~ = ~c ; ~v denierten
"Lichtstrahles\ mit dem Korper zum Zeitpunkt der Aufnahme berechnet.
0
12.4.2 Scheinbare Langenanderung bei Abstandsanderung
Aufgabe: Leiten Sie mit Hilfe des Minkowski-Diagrammes die scheinbare Verkurzung
eines Stabes ab, der in Langsrichtung auf einen Beobachter bei x = 0 zukommt!
Aufgabe: A ndern Sie die Argumentation so ab, dass Sie die scheinbare Verkurzung eines
Stabes erhalten, der sich von Ihnen entfernt!
12.4.3 Hyperbelartige Verformung
Aufgabe: Zeigen Sie, dass die scheinbaren Punkte (x y0 z0) bei einem fotograerten
herankommenden senkrechten Stab (x = x0 ; 2l z 2l ) auf einer Hyperbel liegen, und
diskutieren Sie die Eigenschaften dieser Hyperbel!
12.5 Visualisierung von Laufzeiteekten durch Raycasting
Bei der Erzeugung von Bildern oder Filmen, die die Ansicht schnell bewegter Korper unter
Berucksichtigung der Lichtlaufzeit darstellen, wird das so genannte Raycasting-Verfahren
angewendet: Ein in eine Kamera einfallender Lichtstrahl wird zuruckverfolgt, bis er mit
einem (sich bewegenden) Korper "kollidiert\ (s. Abb. 56)19. Der Punkt des Filmes, der von
der Verlangerung dieses Lichtstrahles getroen wird, erhalt die Farbe des Korpers an der
Stelle des Schnittpunktes. Dabei wird das Auge des Beobachters der Einfachheit halber
durch eine Lochkamera ersetzt, die den Vorteil hat, keine Abbildungsfehler zu erzeugen20 .
Im Einzelnen besteht die Herstellung eines Filmes aus vielen Schritten:
1. Abtasten aller Punkte des Filmes, genauer: aller Bildschirmpixel (in der Regel
544*352), die den Film darstellen. Fur jeden dieser Punkte sind die folgenden Schritte durchzufuhren:
Hier mussen Kenntnisse aus der linearen Algebra aufgefrischt werden: Berechnung des Schnittpunktes
zwischen Ebene (genauer: Rechteck) im Raum und Gerade!
20 Hier sind Kenntnisse aus der projektiven Geometrie von Vorteil: Zentralprojektion!
19
12 3. FEBRUAR 2000: DAS AUSSEHEN SCHNELL BEWEGTER OBJEKTE
89
(a) Berechnung der Richtung des Vektors ~c des einfallenden Lichtes,
(b) Berechnung des zugehorigen "avancierten\ Vektors c~ = ~c ; ~v (s. Abb. 56),
(c) Berechnung der Schnittpunkte zwischen ~c und allen Flachen des Korpers zum
Zeitpunkt der Aufnahme,
(d) Auswahl des der Kamera am nachsten liegenden Schnittpunktes und
(e) Farbung des Filmpunktes mit der Farbe der entsprechenden Flache.
0
0
2. Berechnung solcher Bilder fur langsam sich andernde Werte des Abstandes zwischen
Kamera und Gegenstand (zwischen 200 und 1000 Bilder),
3. Erzeugung eines MPEG-Filmes aus den im GIF-Format abgespeicherten Bildern.
12.6 Demonstrationslme
Es wurden die folgenden Filme gezeigt:
Herannahender und vorbeiiegender Wurfel mit = 0:9 (R. Thiel)
FilmTW5.mpg Herannahender und vorbeiiegender W
urfel mit = 0:01 (R. Thiel)
FilmTW6.mpg Quer vorbeiiegender W
urfel mit = 0:9 (R. Thiel)
FilmTE5.mpg Fahrt durch ALBERT EINSTEIN\ mit = 0:01 (R. Thiel)
"
FilmTE1.mpg Fahrt durch ALBERT EINSTEIN\ mit = 0:9 (R. Thiel)
"
FilmTE6.mpg Vorbeifahrt an ALBERT EINSTEIN\ mit = 0:9 (R. Thiel)
"
FilmTE11.mpg Flug diagonal durch ALBERT EINSTEIN\ mit = 0:9 (R. Thiel)
"
doppler.mpg Fahrt durch EINSTEIN\ mit = 0:9 unter Ber
ucksichtigung des Doppler"
Eektes (U. Backhaus)
FilmTW1.mpg
13 10. FEBRUAR 2000: DIE MASSE IN DER RELATIVITA TSTHEORIE
90
13 10. Februar 2000: Die Masse in der Relativitatstheorie
13.1 Wiederholung
Lichtlaufzeiteekte in der Relativitatstheorie:
Messung und Beobachtung sind grundsatzlich verschieden.
Lichtlaufzeit bewirkt Blick in die Vergangenheit { und zwar unterschiedlich tief fur
verschieden weit entfernte Teile eines sich schnell bewegenden Korpers.
Dadurch hervorgerufene Eekte sind insbesondere
{
{
{
{
{
{
Geschwindigkeitsanderung,
Langenanderung bei sich nahernden bzw. sich entfernenden Objekten,
Drehung bei vorbei"iegenden\ Objekten,
dadurch evtl. sichtbare Ruckseite der Objekte,
hyperbelartige Verformung geradliniger Kanten,
Veranderung der Farbe { und eventuelles Unsichtbarwerden! { durch den DopplerEekt.
13.2 Lichtlaufzeiteekte in der klassischen Physik
Es konnte der Eindruck entstanden sein, die in den vorangehenden Abschnitten behandelten Eekte seien Ergebnisse der Relativitatstheorie und traten in der klassischen Physik
nicht auf. Das Gegenteil ist richtig: Alle besprochenen Eekte gibt es auch in der klassischen Physik, sofern nur die endliche Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes berucksichtigt wird. Es sind lediglich zwei Unterschiede zu beachten:
1. In der klassischen Physik muss zwischen den Fallen
bewegter Gegenstand bzw.
bewegter Beobachter
unterschieden werden.
Im Falle des (gegen den A ther) bewegten Beobachters ist die Lichtgeschwindigkeit
durch klassische Geschwindigkeitsaddition zu modizieren.
2. Im Falle der klassischen Physik gibt es, anders als in der Relativitatstheorie, keine
Lorentz-Kontraktion.
Es sollen hier nur die wichtigsten Ergebnisse der Untersuchung von Lichtlaufzeiteekten in der klassischen Physik aufgezahlt werden. Fast alle davon lassen sich durch einfache
Modikation der in den entsprechenden Abschnitten dargestellten Argumentation gewinnen:
Die scheinbare Geschwindigkeit bei Verringerung bzw. Vergroerung des Abstandes
zwischen Gegenstand und Beobachter
13 10. FEBRUAR 2000: DIE MASSE IN DER RELATIVITA TSTHEORIE
91
Abbildung 57: Vergleich der scheinbaren Verlangerung eines herannahenden Wurfels nach
klassischer (links) und relativistischer Rechnung. Das Bild verdeutlicht auch die ubereinstimmende Verformung der Wurfelkanten.
{ ist bei sich bewegendem Gegenstand ebenfalls durch die Gleichung (71) gegeben,
{ bei bewegtem Beobachter statt dessen durch
vS = (1 )v:
(78)
Beim Herannahen ware die scheinbare Geschwindigkeit also kleiner, beim Entfernen groer, als sich aus der Relativitatstheorie ergibt.
Die scheinbare Verlangerung beim Herannahen eines Gegenstandes ist wegen der fehlenden Langenkontraktion deutlicher sichtbar als in der Relativitatstheorie (s. Abb. 57).
Die scheinbare Drehung eines senkrecht zur Blickrichtung vorbeiiegenden Gegenstandes wird zu einer Scherung, da die Langenkontraktion in Bewegungsrichtung
entfallt (Abb. 58).
Die hyperbelartige Verformung von Kanten kam ohne die Langenkontraktion zustande. Sie tritt in der klassischen Physik ebenso auf, wenn auch bei bewegter
Kamera durch die veranderte Lichtgeschwindigkeit in etwas abgeanderter Gestalt
(s. Abb. 57).
Die Dopplerverschiebung der Wellenlange f
uhrt zu ganz ahnlichen Erscheinungen
wie in der Relativitatstheorie, wenn auch quantitativ bei anderen Geschwindigkeiten
und Winkeln.
Die Eekte werden in den Abbildungen 59 und 60 zusammengefasst und mit den
entsprechenden relativistischen Eekten verglichen.
13 10. FEBRUAR 2000: DIE MASSE IN DER RELATIVITA TSTHEORIE
92
Abbildung 58: Bei klassischer Retardierung erscheint der Wurfel beim Vorbeiug senkrecht zur Blickrichtung verzerrt, weil keine Lorentz-Kontraktion die Vorderache verschmalert.
13.3 noch einmal: relativistische Geschwindigkeitsaddition
Leider haben wir fruher die relativistische Geschwindigkeitsaddition nur fur den Fall abgeleitet, dass sich der Korper parallel zur Relativgeschwindigkeit der beiden Bezugssysteme
bewegt (Gleichung (64), S. 71). Fur die folgenden U berlegungen wird jedoch auch der Fall
einer dazu senkrechten Geschwindigkeit benotigt. Er sei nun nachgeholt:
Setzt man in die y -Komponente der Bewegungsgleichungen
0
x = uxt
y = uy t
0
0
0
0
0
0
eines Korpers, der sich im Bezugssystem S mit konstanter Geschwindigkeit bewegt, mit
Hilfe der Lorentz-Transformation seine Koordinaten im Bezugssystem S ein, dann ergibt
sich:
0
y
=
(62)
x=ux t
=
=
(64)
=
uy v c ct ; c x uy t ; ucx2v t
1
0
uy @1 ; cv2 ux +uxvv A t
1 + c2
!
u
+
v
uy 1 ; c2x
t
v + ux
0
0
0
0
0
0
0
0
13 10. FEBRUAR 2000: DIE MASSE IN DER RELATIVITA TSTHEORIE
93
Abbildung 59: "Albert Einstein\ { bei = 0:9 durch die endliche Lichtlaufzeit verformt
(aus der Examensarbeit von R. Thiel): oben: relativistische Retardierung bei bewegter
Kamera (f = 0:015m) Mitte: klassische Retardierung bei bewegter Kamera (f = 0:007m)
unten: klassische Retardierung bei bewegtem Schriftzug (f = 0:015m)
13 10. FEBRUAR 2000: DIE MASSE IN DER RELATIVITA TSTHEORIE
94
Abbildung 60: Die Bilder aus Abbildung 59 { diesmal unter Berucksichtigung des DopplerEektes berechnet
13 10. FEBRUAR 2000: DIE MASSE IN DER RELATIVITA TSTHEORIE
95
c2 ; v
t
uy c2v
v + ux
1 ; vc22
uy uxv t
1 + c2
uy uxv t
1 + c2
=
0
0
=
0
0
0
=
0
Damit haben wir fur die Geschwindigkeit in y-Richtung im Bezugssystem S erhalten:
uy = uy uxv 1 + c2
0
(relativistische Geschwindigkeitsaddition)
0
(79)
Obwohl die Koordinaten senkrecht zur Richtung der Relativbewegung durch die LorentzTransformation unverandert bleiben, gilt das fur die Geschwindigkeiten nicht! Der Grund
wird deutlich, wenn sich der Korper in S in y -Richtung bewegt:
0
0
q
(80)
uy ux==0 uy 1 ; 2
Alle Vorgange in S laufen, von S aus gemessen, langsamer ab. Deshalb sind auch die
Geschwindigkeiten kleiner!
0
0
0
13.4 Die relativistische Masse
Das Ziel ist die relativistische Verallgemeinerung des klassischen Impulserhaltungssatzes.
Dazu wird das spezielle Beispiel eines total inelastischen Stoes zwischen Korpern gleicher
Masse betrachtet, von denen einer vor dem Sto in Ruhe ist.
Im Laborsystem S sieht der Vorgang folgendermaen aus:
u1 = u
u2 = 0
~
uG = U
~
-
~~ -
-
Klassisch nimmt der Impulserhaltungssatz in diesem Fall die folgende Gestalt an:
mu1 + mu2 = MuG =) mu + m0 = 2mU =) U = u2
(81)
Dieses Ergebnis ist jedoch nicht relativistisch invariant. Betrachtet man namlich
denselben Vorgang in einem Bezugssystem S , das sich gegen S mit der Geschwindigkeit v = u nach rechts bewegt, dann sieht er folgendermaen aus:
0
uG
u1 = 0
0
~~
0
~
u2 = ;u
0
~
13 10. FEBRUAR 2000: DIE MASSE IN DER RELATIVITA TSTHEORIE
96
Fur die Geschwindigkeit uG des vereinigten Korpers ergibt sich nach der relativistischen Geschwindigkeitsaddition
0
uG = U ;Uvv v==u U ;Uuu :
1 ; c2
1 ; c2
(82)
0
Damit ist aber
2muG 6= 2m(U ; u) = ;mu = mu2 :
0
0
Wenn also der Impuls weiterhin wie in der klassischen Mechanik deniert wird, dann
gilt der Impulserhaltungssatz also in S , in S dagegen nicht!
Tatsachlich muss aus Symmetriegrunden die Geschwindigkeit des vereinigten Korpers
in S dem Betrage nach eben so gro sein wie in S :
0
0
uG = ;U
0
Damit kann ein Zusammenhang zwischen der Anfangsgeschwindigkeit u und der
Endgeschwindigkeit U abgeleitet werden:
;U
=)
+ U2 u = U ; u
c
=) u = 2UU 2
1 + c2
2
1 + U2 = 2U
c
u
;U
=)
= U ;Uuu
1 ; c2
(82)
2
(83)
Mit Gleichung (83) sind wir in der Lage, die relativistisch die Endgeschwindigkeit
U aus der Anfangsgeschwindigkeit u zu berechnen. Wie es sein muss, geht dieses
relativistische Ergebnis fur u c =) U c in das klassische Ergebnis (81)
uber.
Der Impulserhaltungssatz kann also relativistisch nicht invariant formuliert werden,
wenn die Masse als konstant vorausgesetzt wird. Wir machen deshalb den folgenden
Ansatz:
m(u)~u = M (U )U~ (84)
nehmen also eine mogliche Veranderung der Masse mit der Geschwindigkeit in Kauf.
13 10. FEBRUAR 2000: DIE MASSE IN DER RELATIVITA TSTHEORIE
97
Zunachst wollen wir zeigen, dass bei dem Sto, trotz der Veranderung der Einzelmassen, die Gesamtmasse erhalten bleibt:
m(u) + m(0) =! M (U )
Dazu betrachten wir den Vorgang von einem neuen Bezugssystem S aus, das sich
mit einer Geschwindigkeit v, senkrecht zur Storichtung, nach unten bewegt. In
diesem Bezugssystem sieht der Stovorgang folgendermaen aus:
0
6
v
0
~q
6
u1 = u
u 1;
u2 = v
0
v2
c2
6
v
0
~
~~
q
-
U
0
-
U 1 ; vc22
Dabei wurde fur die Geschwindigkeiten senkrecht zur Relativbewegung der beiden
Bezugssysteme, hier also fur die Geschwindigkeiten in y -Richtung, das Ergebnis
(79) benutzt. Hier wird eine Konsequenz dieses Ergebnisses besonders deutlich: Die
Bewegungen in x- und in y -Richtung beeinussen sich. Oder:
0
In der Relativitatstheorie gilt das Unabhangigkeitsprinzip der Bewegungen
nicht!
Die y -Komponente der Impulserhaltung nimmt nun die folgende Gestalt an:
0
m(u )v + m(v)v = M (U )v
0
und nach Division durch v:
m(u ) + m(v) = M (U )
0
0
0
(relativistische Massenerhaltung)
(85)
Dieses Ergebnis, das wir hier nur fur den Fall eines total unelastischen Stoes abgeleitet haben, gilt in Wirklichkeit ganz allgemein:
Bei allen Vorgangen bleibt die Summe der (relativistischen) Massen der
beteiligten Korper konstant.
Fur v = 0 ergibt sich die Behauptung:
m(u) + m(0) = M (U )
(86)
13 10. FEBRUAR 2000: DIE MASSE IN DER RELATIVITA TSTHEORIE
98
Einsetzen dieses Ergebnisses in den Ansatz (84) ergibt:
=)
m(u)u = (m(u) + m(0)) U
m(u)(u ; U ) = m(0)U
m(0) = u ; U
=) m
(u)
U
2 ; 2uU
=
2U
u
U2
2
;
1
+
(83)
c2
=
2
U
1 + c2
v
u
U 2 2
u
1; 2
u
= u
t Uc 2 2
1 + c2
v
u
U 2 2 U 2
u
1+ 2 ;4 2
u
= u
t c U 2 2 c
1 + c2
v
u 4 U2
(83) u
= t1 ; Uc22
4 u2
s
2
= 1 ; uc2
Damit hat sich ergeben:
m(u) = q m0 u2
(87)
1 ; c2
Dabei wurde mit m(0) durch m0 ersetzt. m0 ist die so genannte Ruhemasse eines
Korpers, die Masse also, die der Korper in seinem Ruhesystem besitzt. Nach (87)
ist die Masse des Korpers in allen anderen Bezugssystemen groer!
Erganzungen:
{ Wir haben gezeigt, dass bei dem total unelastischen Sto der Gesamtimpuls
in allen Inertialsystemen erhalten bleibt, wenn wir die folgende relativistische
Verallgemeinerung der Impulsdenition verwenden:
p~ = m~v = qm0~vv2 relativistischer Impuls
1 c2
m
v
p = q 0 x p = qm0vy p = qm0vz
;
x
1 ; vc22
y
1 ; vc22
z
1 ; vc22
(88)
(89)
13 10. FEBRUAR 2000: DIE MASSE IN DER RELATIVITA TSTHEORIE
99
{ Wir haben dieses Ergebnis hier nur fur einen ganz speziellen Fall abgelei{
{
{
{
tet. Tatsachlich aber gilt es ganz allgemein. Man kann namlich mit Hilfe der
Lorentz-Transformation und der Denition (88) leicht zeigen, dass der Impulserhaltungssatz in allen Inertialsystemen gelten muss, wenn er in einem gilt.
Um dieses Ergebnis zu erhalten, musste jedoch der Massenbegri der klassischen Mechanik entscheidend eingeschrankt werden: War er dort in gewisser
Weise ein Ma fur die Quantitat der Materie, so beschreibt er in der Relativitatstheorie ausschlielich das Tragheitsverhalten der Korper { und dieses
andert sich mit der Geschwindigkeit, obwohl die Quantitat der Materie dieselbe
bleibt!
Der relativistische Impuls ist zwar ein Vektor, aber seine Komponenten sind
nicht von einander unabhangig in dem Sinne, dass die Gesamtgeschwindigkeit
v2 = vx2 + vy2 + vz2 in allen drei Komponenten auftritt.
Wir haben fruher gesehen, dass U berlichtgeschwindigkeit von Signalen oder
Korpern zum Widerspruch mit dem Kausalitatsprinzip fuhrt. Jetzt wird deutlich, wie in der Relativitatstheorie das Erreichen der Lichtgeschwindigkeit bei
materiellen Korpern verhindert wird: Mit zunehmender Geschwindigkeit wird
die Tragheit des Korpers immer groer, die Beschleunigung deshalb (bei konstanter Kraft) immer kleiner, bis sie schlielich, wenn die Geschwindigkeit gegen
die Lichtgeschwindigkeit strebt, gegen Null geht.
Die Abhangigkeit der relativistischen Masse von der Geschwindigkeit ist inzwischen mit sehr hoher Genauigkeit experimentell bestatigt worden { zuerst
durch Ablenkung von Elektronen in magnetischen und elektrischen Feldern21 .
13.5 U bung
Ableitung und Diskussion der hyperbelartigen Verformung von bewegten Staben
durch die Lichtlaufzeit (s. S. 88)
Berechnung der zeitlichen Ableitung der relativistischen Masse22 :
=)
21
22
m_ = dtd q m0 v2
1 ; c2
1 ;2~v~a !
m
0
= 3 ;2
2 2
c2
v
1 ; c2
m_ = mc20 r ~v~a 2 3
1 ; vc2
siehe auch das Skript zur Vorlesung "Einfuhrung in die Atomphysik\
Dabei wird folgende Ableitung benutzt:
d 2 d 2 2 2
dt v = dt (vx + vy + vz ) = 2(vx v_x + vy v_y + vz v_z ) = ~v ~a
(90)
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
100
14 17. Februar 2000: Relativistische Dynamik
14.1 Wiederholung
Die relativistische Geschwindigkeitsaddition hat zur Folge, dass das Unabhangigkeitsprinzip der Bewegungen nicht mehr gilt, obwohl es in der klassischen Mechanik
als scheinbar denknotwendig abgeleitet wird. Die Bewegung senkrecht zur Relativbewegung der Bezugssysteme hangt auch von der Geschwindigkeit parallel dazu ab.
Der Massenbegri in der Relativitatstheorie
Der relativistische Impuls wurde folgendermaen deniert:
~p = m~v = qm0~v v2
1 ; c2
Diese Denition wurde so getroen, dass beim total uneleastischen Sto der Gesamtimpuls in allen Inertialsystemen erhalten bleibt. Tatsachlich gilt dieses Ergebnis ganz
allgemein.
14.2 Das relativistische Kraftgesetz
Die relativistische Verallgemeinerung der Newtonschen Grundgleichung der Mechanik lautet:
F~ = p~_
(91)
Erlauterungen:
Wenn das Gesetz in dieser Form geschrieben wird, erkennt man unmittelbar den
relativistischen Impulserhaltungssatz: Wenn die Kraft Null ist, ist der Impuls konstant. Oder: Bei Abwesenheit auerer Krafte ist der Gesamtimpuls konstant.
Daruberhinaus lasst sich leicht zeigen, dass die A nderung #p~ des Gesamtimpulses
eines Systems miteinander wechselwirkenderR Teilchen gerade gleich dem von den
aueren Kraften hervorgerufenen Kraftsto F~ dt ist.
Der durch (91) eingefuhrte relativistische Kraftbegri hat also alle Eigenschaften, die man von der Kraft erwartet.
Wegen der nun nicht mehr konstanten Masse ist also nicht mehr F~ = m~a, sondern
F~ = m~
_ v + m~a
(92)
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
101
Das Kraftgesetz (91) wird auch durch Experimente bestatigt. Zum Beispiel zeigt
sich bei der Beobachtung schneller geladener Teilchen, dass ihre Bewegung durch
die Gleichung
1
0
d
m
~
v
q(E~ + ~v B~ ) = dt @ q 0 v2 A
1 ; c2
(in der die Konstanten q die elektrische Ladung und m0 die Ruhemasse der Teilchen bezeichnen) korrekt beschrieben wird (s. S. 111). Tatsachlich erweist sich der
Ausdruck
F~Lorentz = q(E~ + ~v B~ )
(93)
fur die Lorentz-Kraft auf ein geladenes Teilchen als unabhangig vom Bezugssystem23 .
Wie in der U bung gezeigt wurde, gilt fur die zeitliche Veranderung der relativistischen
Masse (Gleichung (90), S. 99):
m_ = mc20 r ~v ~a 2 3
1 ; vc2
Wenn die Kraft senkrecht auf der momentanen Geschwindigkeit steht, ist das Skalarprodukt ~v ~a gleich Null und damit m_ = 0. Damit wird aus (91):
F~ F~=~v m~a = qm0~av2
?
1 ; c2
(94)
Wirkt dagegen die Kraft in Bewegungsrichtung (~v ~a = va), dann ist m_ 6= 0 und (91)
wird zu
2
6
F~ = m0~v_ 64 3
v
1 77
c
3 + 1 5
v2 2
v2 2
2
2
1 ; c2
Daraus ergibt sich schlielich:
1 ; c2
F~ F~=~v r m0~av2 3
k
1 ; c2
(95)
Vergleich der Gleichungen (94) und (95) zeigt, dass dieselbe Kraft unterschiedliche
Beschleunigungen hervorruft, je nachdem ob sie parallel oder senkrecht zur momentanen
Geschwindigkeit wirkt. Dieser Umstand wurde in der Fruhzeit der Relativitatstheorie
dadurch beschrieben, dass man Korpern eine transversale Masse und eine longitudinale
Masse zuschrieb.
23
Das gilt allerdings nicht fur die elektrischen und magnetischen Summanden einzeln!
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
102
14.3 Beispiel: Raumfahrt mit konstanter Beschleunigung
Bei einem Raumschi wird der Schub so eingestellt, dass die Besatzung (in ihrem momentanen Ruhesystem!) eine konstante Beschleunigung in Bewegungsrichtung von a = g =
10 sm2 erfahrt und sich dadurch im Raumschi wie im Schwerefeld der Erde bewegen kann.
In der klassischen Mechanik f
uhrt ergibt sich daraus eine gleichmaig beschleunigte
Bewegung, die dazu fuhrt, dass die Geschwindigkeit des Raumschies nach der Zeit
3 108 ms
c
t = g = 10 m = 3 107s 1a
s2
Lichtgeschwindigkeit erreichen, Raumschi also von diesem Zeitpunkt an mit U berlichtgeschwindigkeit iegen wurde.
Da der Schub parallel zur Geschwindigkeit nach vorn wirkt, ergibt sich die Bewegung
durch Integration von (95):
Zt F
Z t vdt
_
dt
=
3
0 m0
0
1 ; vc22 2
Z v(t) dv
F
m0 =g
=) gt =
v2 32
0
1 ; c2
= v 2 1
1 ; vc2 2
(96)
Das dabei auftretende Integral kann in einer Formelsammlung (z.B. Bronstein 3])
nachgesehen, aber auch selbst gelost24 { oder zumindest durch Dierentiation von
(96) uberpruft werden.
24
Zv
0
dv
;1 ; v 2
c2
3
2
= c
=
=
=
=
Z arcsin
0
v
c
dx
v
cos2 x (Substitution: c = sin x =) dv = c cos xdx)
Z 2 x + cos2 x
c sin cos
dx
2x
Z
c (1 + tan2 x)dx
Z
Z sin x
sin xdx
c dx + c cos
1 2 x Z
Z
c dx + c cos x sin x ; c dx
c
= jc tan xjarcsin
0
arcsin vc
c
sin
x
= p
2 1 ; sin x 0
= q v 2
1 ; vc2
v
(partielle Integration)
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
103
Lost man die Beziehung (96) zwischen der Zeit und der Geschwindigkeit nach der
Geschwindigkeit auf, dann ergibt sich:
v2
(gt) =
=)
1 ; vc22
v = q gt (gt)2
1 + c2
2
=)
!
2
v 1 + (gtc2) = (gt)2
2
(97)
Abbildung 61 zeigt oben die zeitliche Zunahme der Geschwindigkeit.
Mit dem Ergebnis (97) ist es nun auch moglich, den Reiseweg zu berechnen25 :
x =
Zt
Zt
0
vdt
r gtdt 2
0
1 + gtc
0s 2 1
2
c
= @ 1 + gt ; 1A
g
c
=
Abbildung 61 zeigt unten den zeitlichen Verlauf dieser Funktion.
Diskussion:
{ Die Geschwindigkeit (97) ist immer kleiner, als man nach klassischer Rechnung
erwarten wurde: v < gt.
{ Strebt die Zeit gegen unendlich, dann strebt die Geschwindigkeit gegen c.
{ Nach einem Jahr betragt die Geschwindigkeit erst
v(gt = c) = p c 0:7c
1+1
Zu diesem Zeitpunkt betragt die kinetische Energie des Raumschies nach der
spater abgeleiteten Gleichung (101) bereits 40% der Ruhemasse!
25
Auch dieses Integral kann man in einer Formelsammlung nachschlagen oder selbst berechnen:
Z gt
q gtdt; gt 2 = 1g q xdx x2 (Substitution: x = gt =) dx = gdt)
0
0
1 + c2
1+ c
Zt
2 Z sinh
c
= cg
sinh udu (Substitution: x = c sinh u =) dx = c cosh udu)
0
sinh 1 gtc
2
c
= g cosh u
0s 0 2 1
p
2
= cg @ 1 + gtc ; 1A (wegen cosh u = 1 + sinh2 u)
;1
gt
;
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
104
klassische Rechnung
v
c
2
1
relativistische Rechnung
1
2
ctLj ]
4
ta]
relativistische Rechnung
klassische Rechnung
2
2
4
xLj ]
Abbildung 61: Weltraumug mit konstanter (lokaler) Beschleunigung a = g: Zunahme
der Geschwindigkeit (oben) und zuruckgelegter Weg (unten) nach klassischer und relativistischer Rechnung
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
105
14.4 Die kinetische Energie
Die kinetische Energie wird in der Relativitatstheorie wie in der klassischen Mechanik deniert durch
Ekin =
0
F~ d~s =
Z ~s
0
p~_ d~s:
(98)
In der klassischen Mechanik folgt daraus:
Ekinklass: = m
Z ~s
Zt
0
~v_ ~vdt = m2
Z t dv2
Z v2
m
m v2
2
dt
=
d
(
v
)
=
2 0
2
0 dt
In der Relativitatstheorie ergibt sich stattdessen:
Ekin =
=
Z ~s
Zt
0
0
(m~
_ v + m~v_ )d~s
(mv
_ 2 + m~v ~v_ )dt
(99)
Um dieses Integral losen zu konnen, formen wir den Zusammenhang (87) zwischen
der relativistischen Masse und der Geschwindigkeit um:
=)
m = q m0 v2
1 ; c2
2 2
2 2
2 2
=) m c ; m v = m0c
2mmc
_ 2 ; 2mmv
_ 2 ; 2m2~v ~v_ = 0
=) mc
_ 2 ; mv
_ 2 ; m~v ~v_ = 0
=) mv
_ 2 + m~v ~v_ = mc
_ 2
(100)
Mit (100) kann nun aber das Integral in (99) leicht ausgewertet werden:
Ekin = c2
Zt
0
mdt
_ =
Zm
m0
dm
Damit hat sich fur die relativistische kinetische Energie der folgende Ausdruck ergeben:
Ekin = mc2 m0c2
;
Diskussion:
(101)
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
106
{ Wie es sein muss, geht dieser Ausdruck fur v c in den klassischen Ausdruck
uber:
2
Ekin = mc2 ; m0 c2 = m0 c2 4 q 1
3
#
"
2
v
m0 v 2
1
v c
2
5
; 1 m0 c 1 + 2 ; 1 =
2c
2
1 ; vc
2
2
{ Wenn die Geschwindigkeit gegen c geht, wird die kinetische Energie unendlich
gro:
v ! c =) Ekin ! 1
{ In relativistischen Problemen benotigt man haug den Zusammenhang zwischen Energie und Impuls. Er kann folgendermaen abgeleitet und veranschaulicht werden:
2
2
Ekin + m0c2
=) (mc2)2 = Ekin + m0c2
= m2c4
2 4
= 1m;0 c 2
!
2
2 4
= m0c 1 + 1 ; 2
= (m0c2 )2 + (pc)2
(102)
Diese Relation lasst sich an Hand eines rechtwinkligen Dreieckes veranschaulichen:
Ekin
mc2
pc
m0 c2
m0 c2
Je groer der Impuls eines Korpers, desto kleiner ist der Anteil der
Ruheenergie m0 c2 an seiner Gesamtenergie E .
{ Fur kleine Geschwindigkeiten geht diese Beziehung in die klassische Beziehung
zwischen kinetischer Energie und Impuls uber:
1 =) Ekin = mc2 ; m0 c2
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
107
klassische Rechnung
2
1
relativistische Rechnung
1
2
3
4
Ekin
m0 c2
Abbildung 62: Der Zusammenhang zwischen kinetischer Energie und Geschwindigkeit
!
2
m0 c 1 +
;1
2
= m0 v2 m0 c2
2
2
=) Ekin = p
2m0
Bei kleinen Geschwindigkeiten ist also die kinetische Energie sehr viel kleiner
als die Ruheenergie m0c2 .
Zwischen der kinetischen Energie und der Geschwindigkeit eines Teilchens besteht
nach (101) der folgende Zusammenhang:
2
2
2
Ekin = mc
s ; m0 c 2
0c
=) = 1 ; m
(103)
m0c2 + Ekin
Dieser Zusammenhang ist in Abbildung 62 dargestellt. Er kann experimentell untersucht werden, indem fur verschiedene Beschleunigungsspannungen (= kinetische
Energien) die Geschwindigkeit der Teilchen mit direkten Laufzeitmessungen bestimmt werden. Solche Experimente wurden in Linearbeschleunigern wiederholt
durchgefuhrt (siehe z.B. Sexl, S. 126, Resnick, S. 130). Die Ergebnisse standen immer
in voller U bereinstimmung mit der Vorhersagen der Relativitatstheorie.
Der Zusammenhang zwischen der zum Beschleunigen notwendigen Energie einerseits und der erreichten Geschwindigkeit andererseits verdeutlicht noch einmal die
Unmoglichkeit, einen materiellen Korper auf Lichtgeschwindigkeit zu bringen.
^
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
108
14.5 Die beruhmteste Formel der Welt: Masse und Energie
Der Zusammenhang zwischen der relativistischen Masse und der Energie hat sich
bereits mehrfach angedeutet (siehe z.B. (101) und (102)). Er soll jetzt explizit gemacht werden.
Dazu wird noch einmal der total unelastische Sto aus Abschnitt 13.4 (S. 95)
betrachtet, der im Laborsystem folgendermaen aussieht:
u1 = u
u2 = 0
~
uG = U
~
-
~~ -
-
Fur die Geschwindigkeit U des vereinigten Korpers hatten wir dort gefunden:
;U
= U ;Uuu :
1 ; c2
(104)
Nun betrachten wir denselben Vorgang aus einem weiteren Bezugssystem S , in dem
der vereinigte Korper nach dem Sto ruht:
0
u1
u2
0
0
~-
uG = 0
0
~
-
~~
S muss sich oensichtlich mit der Geschwindigkeit v = U nach rechts gegen S bewegen. Wegen der Impulserhaltung in S muss der Gesamtimpuls auch vor dem Sto
Null sein. Die beiden Geschwindigkeiten vor dem Sto mussen also entgegengesetzt
gleich sein:
0
0
u2 = ;u1:
0
0
Beide Geschwindigkeiten in S lassen sich mit Hilfe der relativistischen Geschwindigkeitsaddition (64, S. 71) tatsachlich leicht berechnen:
0
U (104)
u1 = u ; uU
= U u2 = 0 ; U = ;U:
1;0
1 ; c2
0
0
Sie stimmen erwartungsgema dem Betrage nach mit der Geschwindigkeit des vereinigten Korpers in S uberein.
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
109
Wir hatten bereits abgeleitet, dass die relativistische Masse bei dem Sto erhalten
bleibt (Gleichung (85), S. 97). In S muss also gelten:
0
M = M0 = 2m(U ) > 2m0:
(105)
Die Ruhemasse des vereinigten Korpers ist also groer als die Summe der Ruhemassen der beiden Stopartner! Dafur aber ist kinetische Energie verloren gegangen,
der Gesamtkorper also warmer als die Stopartner.
Tatsachlich besteht zwischen der Abnahme der mechanischen Energie und der Zunahme der Masse ein enger Zusammenhang:
Ekin =
=
=
=
2 m(U )c2 ; 2m0c2
c2(2m(U ) ; 2m0)
c2 (M ; 2m0 )
#Mc2 :
Man kann diesen Zusammenhang so formulieren: Die Zunahme der Masse entspricht
(bis auf einen Faktor c2 ) der Abnahme an kinetischer Energie. Oder: Fur die mechanische Energie gilt einzeln kein Erhaltungssatz, sondern nur dann, wenn die
Ruhemasse mit berucksichtigt wird:
(vorher)
Ekin1 + 2m0c2
(101)
2
(nachher)
= Ekin2 + M0c2
()
2mc = Mc2
()
2m = M
Der Satz uber die Erhaltung der (relativistischen) Masse beinhaltet also den Energieerhaltungssatz!
Einstein, der zu diesem Ergebnis an einem anderen, aber auch speziellen Beispiel
gekommen war, verallgemeinerte es zu seinem beruhmten Postulat:
Energie und Masse sind zueinander aquivalent:
E = mc2
(106)
(107)
(108)
(109)
Schlussfolgerungen:
{ Weil der Energie- und der Massenerhaltungssatz zusammenfallen, gibt es in
der Relativitatstheorie, statt wie in der klassischen Physik drei, nur zwei Erhaltungssatze:
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
110
Die Erhaltungssatze der relativistischen Physik
p~A + p~B = p~C + p~D Impulserhaltung
EA + EB = EC + ED Energieerhaltung
Dabei ist der Impuls p~ eines Teilchens durch
p~ = m~v = qm0~vv2
1 ; c2
(110)
(111)
(112)
gegeben, und seine Gesamtenergie E
E = mc2 = m0c2 + Ekin
(113)
ist gleich der Summe aus Ruheenergie m0c2 und kinetischer Energie
0
Ekin = m0c2 @ q 1
1 ; vc22
1
; 1A :
(114)
{ Da Energie und Masse aquivalent sind, hat die mit Energie in den verschiede-
nen Erscheinungsformen verbundene Masse alle Eigenschaften, die ihr bereits
vorher zugeschrieben wurden: Sie ist trage, sie ist schwer und sie leistet einen
Beitrag zum Massenschwerpunkt eines Systems.
{ U bertragt man die Beziehungen auf Photonen, dann ergeben sich unmittelbar
Ausdrucke fur ihre Masse und ihren Impuls:
Da sich Photonen mit v = c ausbreiten, muss ihre Ruhemasse verschwinden! denn sonst ware nach (87) ihre relativistische Masse unendlich gro:
m0Photon = 0
Fur die Masse von Photonen ergibt sich (mit E = h
):
h
mPhoton = cE2 = h
=
(116)
2
c c
Dabei ist h = 6:626 10 34Js die so genannte Plancksche Konstante.
Fur den Impuls von Photonen ergibt sich entsprechend:
(115)
;
pPhoton = mv = mc = h = Ec
(117)
{ Energie und Masse konnen ineinander umgewandelt werden, wenn dabei die
Erhaltungssatze erfullt sind:
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
111
Wenn die Energie eines Photons groer als die doppelte Ruheenergie von
Elektronen ist, dann kann es sich in ein Elektron-Positron-Paar umwandeln (Paarbildung). Man kann aber leicht einsehen, dass bei diesem Vorgang nur dann Energie- und Impulserhaltungssatz gleichzeitig erfullt sein
konnen, wenn an dem Prozess ein weiterer Korper, in der Regel ein Atomkern, beteiligt ist, der den uberschussigen Impuls aufnehmen kann.
Umgekehrt konnen Teilchen und Antiteilchen sich gegenseitig unter Abstrahlung eines -Quants vernichten, wenn ein schwerer Kern in der Nahe
ist (Zerstrahlung).
Bei der Kernspaltung ist die Summe der Ruhemassen der Reaktionsprodukte kleiner als die der Eingangsstoe. Z.B.:
94
1
U +10 n ! 139
56 Ba +36 Kr + 30 n
Die dabei auftretende Massendierenz ist etwa 400mal die Ruhemasse des
Elektrons. Die Dierenz wird als kinetische Energie der Reaktionsprodukte
frei und fuhrt bei deren Abbremsung zur Erwarmung der Umgebung.
Ein Vergleich zwischen Kernspaltung und Kohleverbrennung verdeutlicht
die Groe des Eektes:
Bei der Spaltung von 1g 235 U wird ebenso viel Energie frei wie bei
235
92
der Verbrennung von 20 Tonnen Kohle!
Bei der Kernfusion ist umgekehrt die Summe der Ruhemassen der vier
Wassersto-Kerne groer als die Ruhemasse des entstehenden HeliumKernes:
411H ! 42He + 2e+ + 2
Die fehlende Masse tritt wiederum als uberschussige kinetische Energie
zutage.
14.6 U bung: Elektronen im transversalen Magnetfeld
Im magnetischen Feld stehen nach (93) Geschwindigkeit und Kraft senkrecht auf
einander. Die Beschleunigung ist deshalb durch (94) gegeben und steht senkrecht
auf den Feldlinien:
F~
~a = m
Treten Elektronen so in ein magnetisches Feld mit der Feldstarke B~ ein, dass ihre
Geschwindigkeit senkrecht auf den Feldlinien steht, dann liegen Geschwindigkeit
und Beschleunigung in einer Ebene. Die Bewegung der Elektronen bleibt also in
dieser Ebene.
Da die Beschleunigung senkrecht auf der Geschwindigkeit steht, andert sich der
Betrag der Geschwindigkeit nicht. Damit bleibt auch der Betrag der Beschleunigung
konstant, und die Bewegung ist eine gleichformige Kreisbewegung.
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
112
Die Zentripetalkraft dieser Kreisbewegung ist gerade die Lorentz-Kraft. Es gilt also:
2
evB = mvr
=) r = mv = p
eB eB
(118)
Das ist dasselbe Ergebnis, das sich auch in der klassischen Physik ergibt { allerdings
enthalt die Beziehung nun die relativistische Masse und nicht die klassische (Ruhe-)
Masse.
Die Elektronen seien durch eine Spannung von U = 10MV beschleunigt worden,
ihre kinetische Energie betrage also Ekin = 10MeV . Die Feldstarke betrage B =
2Tesla = 2 mV s2 .
{ Klassisch ergibt sich daraus mit p = p2m0Ekin:
p
17 10 22kg ms
= 5:3 10 3m
r = 2meB0 Ekin =
eB
{ Relativistisch ergibt sich jedoch:
;
;
2
2
p2c2 = Ekin
+ m0 c2 ; (m0c2 )2
q 2
=) p = 1c Ekin
+ 2m0c2 Ekin
= 56 1022kg ms :
Dabei ist m0c2 = 0:51MeV die Ruheenergie des Elektrons.
{ Damit ergibt sich schlielich
p = 18 10 3m:
r = eB
Tatsachlich sind die experimentellen Ergebnisse in U bereinstimmung mit dem relativistischen Ergebnis! So untersuchte z.B. bereits 1909 Bucherer die Ablenkung
schneller Elektronen aus dem -Zerfall radioaktiver Kerne. Seine Ergebnisse zeigt
die folgende Tabelle (Resnick, S. 128):
0
1
e
u
e @
u
11 C
11 C
A
m (= rB ) in 10 kg m0 = q v2 in 10 kg
;
(gemessen)
0.3173
0.3787
0.4281
0.5154
0.6870
(gemessen)
1.661
1.630
1.590
1.511
1.283
rB
1; c2
(berechnet)
1.752
1.761
1.760
1.763
1.767
14 17. FEBRUAR 2000: RELATIVISTISCHE DYNAMIK
113
Die Ergebnisse demonstrieren uberzeugend, dass nicht der Quotient me konstant ist,
sondern vielmehr der Ausdruck
qe
m 1 ; vc
2
2
= me = const:
0
Nun konnte die Variation des Quotienten me ganz oder teilweise auf eine Veranderung
der Ladung e mit der Geschwindigkeit geschoben werden. Tatsachlich zeigt sich
jedoch in der relativistischen Elektrodynamik:
Die Ladung eines Korpers ist relativistisch invariant, d.h. sie ist in allen
Inertialsystemen gleich gro.
Dieses Ergebnis ist unmittelbar einleuchtend: Andernfalls konnten Atome, in denen
sich Elektronen mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten bewegen, nicht elektrisch
neutral sein. Insbesondere ware ihre elektrische Neutralitat nicht unabhangig vom
Bewegungszustand!
15 SCHLUSSBEMERKUNGEN
114
15 Schlussbemerkungen
Wie die letzten Seiten gezeigt haben, ergeben sich aus der relativistischen Dynamik
auerst wichtige Konsequenzen. Leider fehlt die Zeit fur deren Behandlung. Ich
empfehle dafur die in der Literaturliste angegebenen weiterfuhrenden Werke.
Hauptziel dieser Veranstaltung war es, ein Verstandnis der Grundideen der Relativitatstheorie zu erzeugen und die Teilnehmer in die Lage zu versetzen, weitere
Studien auf eigene Faust zu unternehmen. Ich hoe, dazu Anregungen gegeben zu
haben.
Bei der Vorbereitung der Vorlesung habe ich besonders viel Gebrauch gemacht von
den Buchern von Homann, Born, Epstein, Resnick und Sexl. Diese Bucher enthalten viele weitere Aspekte, die leider nicht oder zu wenig angesprochen werden
konnten, insbesondere
{
{
{
{
{
die geometrische Struktur der Raum-Zeit,
die vierdimensionale Darstellung der relativistischen Dynamik,
Kern- und Elementarteilchenphysik,
relativistische Elektrodynamik und
Grundzuge der allgemeinen Relativitatstheorie.
Es lohnt sich, in diesen Buchern weiterzulesen!
Ursprung und Bedeutung der "beruhmtesten Formel der Welt\ werden in dem Buch
von H. Fritsch 9] anschaulich und allgemein verstandlich dargestellt.
Der Abschnitt uber Lichtlaufzeiteekte in der relativistischen und der klassischen
Physik ist das Ergebnis aktueller U berlegungen und Forschungen im Institut (siehe insbesondere die Examensarbeit von R. Thiel (26]), aber auch die Homepage
unter http://www.uni-koblenz.de/
backhaus). Die amerikanische und deutsche
didaktische Literatur enthalt zahlreiche, auch aktuelle, Beitrage dazu. Die Arbeiten
von U. Kraus (15], 16]) ermoglichen einen guten Einstieg in die Diskussion.
Ich suche Studenten und Studentinnen, die Interesse daran haben, im Rahmen ihrer Examensarbeit weitere Aspekte dieser Phanomene zu untersuchen!
Ich wunsche schone Semesterferien!
16 ANHANG
115
16 Anhang
16.1 Roemers Methode zur Messung der Lichtgeschwindigkeit
16.1.1 Einleitung
Mit man um die Zeit der Jupiteropposition die Umlaufzeit des Jupitermondes Io, dann
kann man feststellen, da sich die folgenden Austritte dieses Mondes aus dem Jupiterschatten wahrend des nachsten halben Jahres bis zur Konjunktion von Jupiter immer
mehr verspaten. Nach der Konjunktion treten die Vernsterungen dagegen immer fruher
ein. Romer erkannte in dieser Erscheinung einen Lichtlaufzeiteekt, der auf dem sich
andernden Abstand zwischen Erde und Jupiter beruht, und bestimmte daraus den ersten
Wert fur die Lichtgeschwindigkeit (siehe z.B. Romer).
Heute, da die Lichtgeschwindigkeit bereits auf dem Labortisch gemessen werden kann,
kann der Eekt umgekehrt benutzt werden, die Astronomische Einheit zu messen (Quast,
Neumann). Als "Beobachtungsdaten\ werden in dieser Aufgabe die Angaben benutzt, die
man einem astronomischen Kalender (Ahnert) fur die Zeitpunkte der Schatteneintritte
(VA) bzw. der Vernsterungsenden (VE) des innersten Galileischen Mondes Io entnehmen kann.
16.1.2 Etwas Theorie
u
Erde (t1 )
~
Sonne
1
2
u
Erde (t )
d1
d2
p p ppp p p p p p
pp pJupiter
pp x prIop
ppp p p p p p ppp
2
Abbildung 1: Zur Messung der Astronomischen Einheit durch Beobachtung von
Io-Vernsterungen
Der Jupitermond Io hat eine synodische Umlaufzeit von TIo. Zwischen t1 und t2 haben
n Io{Umlaufe stattgefunden. Ios Vernsterung mute also zur Zeit t1 + nTIo stattnden.
Sie wird aber zum fruheren Zeitpunkt t2 beobachtet.
Die Zeitdierenz ist ein Ma fur die Veranderung des Abstandes zwischen Erde und
Jupiter.
d1 ; d2 = c(t1 + nTIo ; t2 )
Bei bekanntem Bahnradius von Jupiter (in AE) und bekannten Winkeln 1 und 2 , die
sich aus den seit der letzten Jupiteropposition vergangenen Zeiten t1 und t2 und der
Umlaufzeit (im rotierenden Bezugssystem, in dem Jupiter ruht, ist das die synodische
Umlaufzeit von Jupiter) ergeben, kann d1 ; d2 in Vielfachen einer AE berechnet werden:
d1 ; d2 = AE
=)
1AE = c (t1 + nTIo ; t2 )
16 ANHANG
116
Romers Verfahren kann anhand der Angaben in einem Astronomischen Kalender (Ahnert) nachvollzogen werden. Bei einzelnen Io-Umlaufen ist der zu untersuchende Eekt
zwar kleiner als die Genauigkeit der Angaben! er summiert sich aber im Laufe von Monaten zu mehreren Minuten.
Um die Rechnungen zu vereinfachen, werden die (um 2450000 verringerten) julianischen Daten der Vernsterungszeitpunkte mit angegeben.
16.1.3 Etwas Literatur
Ahnert, Kalender fur Sternfreunde 1997, Johann Ambrosius Barth: Heidelberg usw.
1996
H.-L. Neumann, Die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit durch Ole Romer, Praxis
der Naturwissenschaften/Physik 37/4, 16 (1988)
U. Quast, U. Backhaus, Die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach Romers
Verfahren mit Hilfe eines astronomischen Kalenders, Naturwissenschaften im Unterricht (Physik/Chemie) 35/7, 35 (1987)
O. Romer, Eine Demonstration der Bewegung des Lichtes, U bersetzung der Originalarbeit von 1676, in S. Sambursky (Hrsg.): Der Weg der Physik, dtv 6093: Munchen
1978
16.1.4 Aufgaben
Romers Methode zur Messung der Lichtgeschwindigkeit soll anhand der Vernsterungszeitpunkte nachvollzogen werden, die einem astronomischen Kalender fur 1997 (Ahnert)
entnommen wurden.
1. (a) Warum kann man nicht alle Vernsterungen Ios beobachten?
(b) Warum lassen sich vor der Opposition nur die Eintritte Ios in den Jupiterschatten (VA fur Vernsterungsanfang), nach der Opposition dagegen nur die
Austritte (VE) beobachten?
2. Den Werten kann man eine Schatzung Tappr fur Ios Umlaufzeit entnehmen. Wie gro
ist diese?
Tappr =
3. Bestimme mit Hilfe von Tappr die Anzahl ni der Umlaufe zwischen den beobachtbaren Vernsterungen.
4. Aus den Zeitspannen dti und der Anzahl der Umlaufe ergeben sich die jeweiligen
mittleren Umlaufzeiten Ti.
5. Berechne die tatsachliche (synodische) Umlaufzeit TIo von Io als gewichtetes Mittel
aller Ti (d.i. die insgesamt vergangene Zeit dividiert durch die Anzahl der Umlaufe26).
TIo =
Das ist das beste, was man mit den Daten eines Jahres tun kann: Man mu hoen, da sich die
Laufzeitfehler vor und nach der Opposition ungefahr kompensieren!
26
16 ANHANG
117
6. Mit TIo lat sich berechnen, wieviel Zeit #terw zwischen den Vernsterungsenden
am 20.8. und am 15.12. vergehen mute.
terw =
7. Wie gro ist aber die tatsachlich beobachtete Zeitspanne #tgem ?
tgem =
8. Der Austritt Ios aus dem Jupiterschatten am 15.12. verspatet sich also um
tL = tgem ; terw =
min
9. Die A nderung der Entfernung d zwischen Erde und Jupiter zwischen dem 20.8.
und dem 15.12. kann aus den bekannten Werten fur den Radius der (als kreisformig
angenommenen) Jupiterbahn (rJup = 5:0AE) und die synodische Umlaufzeit
(Tsyn = 398:9 Tage) Jupiters bestimmt werden:
x
s
Jupiter
Sonne
Abb. 2 Positionen der Erde in dem Bezugssystem, in dem Sonne und Jupiter
ruhen27
(a) Zeichne die Position der Erde zum Zeitpunkt der Jupiteropposition ein!
(b) Bestimme die Positionen der Erde am 20.8. und 15.12., und zeichne sie ein28.
Berechne dazu zunachst die seit der Opposition verstrichenen Zeiten!
(c) Nun lassen sich die Entfernungen d1 und d2 berechnen oder in der Zeichnung
ausmessen:
d1 =
AE d2 =
AE
In diesem Bezugssystem betragt die Umlaufzeit der Erde um die Sonne gerade eine synodische Umlaufzeit von Jupiter!
28 Von Norden aus betrachtet bewegt sich die Erde im entgegengesetzten Umlaufsinn um die Sonne
herum.
27
16 ANHANG
118
(d) Die Zunahme der Entfernung d betragt also
d =
AE
(e) Fur diese zusatzliche Entfernung benotigt das Licht die Zeit #tL . Seine Geschwindigkeit betragt also
AE
min
c = td =
L
10. Ist die Groe der Astronomischen Einheit bekannt (1 AE = 150 000 000 km),
dann kann aus diesem Ergebnis die absolute Lichtgeschwindigkeit abgeleitet werden:
c=
km
s
Heute, da man die Lichtgeschwindigkeit bereits auf einem Labortisch messen kann,
die Astronomische Einheit aber immer noch sehr schwierig zu bestimmen ist, liegt
es naher, mit Hilfe der Io-Vernsterungen aus dem bekannten Wert fur die Lichtgeschwindigkeit (c = 300 000 km
s ) die Groe der Astronomischen Einheit abzuleiten:
1AE =
km
16 ANHANG
119
16.1.5 Beobachtbare Io-Vernsterungen 1997
jul. Datum
-2450000
25. 3. 5.19
VA
532.679861
3. 5. 3.45
VA
571.614583
11. 6. 2.10
VA
610.548611
27. 6. 0.26
VA
626.476389
4. 7. 2.20
VA
633.555556
12. 7. 22.42
VA
642.404167
20. 7. 0.36
VA
649.483333
27. 7. 2.30
VA
656.562500
28. 7. 20.59
VA
658.332639
9. 8. 15.00 Opposition 670.083333
20. 8. 23.28
VE
681.436111
28. 8. 1.22
VE
688.515278
29. 8. 19.51
VE
690.285417
5. 9. 21.45
VE
697.364583
12. 9. 23.40
VE
704.444444
21. 9. 20.04
VE
713.294444
28. 9. 21.59
VE
720.374306
7.10. 18.23
VE
729.224306
14.10. 20.18
VE
736.304167
21.10. 22.13
VE
743.384028
30.10. 18.38
VE
752.234722
6.11. 20.33
VE
759.314583
15.11. 16.57
VE
768.164583
22.11. 18.53
VE
775.245139
8.12. 17.12
VE
791.175000
15.12. 19.08
VE
798.255556
Datum Mez
Art
dtTage]
38.934722
38.934028
15.927778
7.079167
8.848611
7.079166
7.079167
1.770139
7.079167
1.770139
7.079167
7.079861
8.850000
7.079861
8.850000
7.079861
7.079861
8.850694
7.079861
8.850000
7.080556
15.929861
7.080556
Anzahl der
Umlaufe
Ti Tage]
16 ANHANG
16.2 Zur Sichtbarkeit relativistischer Eekte
120
Aus dem Begleitmaterial fur Jugendliche zu einer Ausstellung mit dem Thema "Die Zeit\:
Paulas Traum
Hallo? . . . ? . . . ? Was soll ich gehort haben? . . . ? . . . ? Aber warum antwor"test
du so spat? . . . ? . . . ? Was, ich schweige auch immer so lange? Nein, ich
antworte doch sofort! Das Telefon ist wohl kaputt. Tschuss!, wir sehn uns in
der Schule.\
Schon beim Aufstehen el Paula auf, dass sich etwas verandert hat: Die Nachttischlampe ging nicht gleich anund als sie sich im Badezimmerspiegel anschaute, stimmte irgend etwas nicht. Sie betrachtete sich lange. Und dann merkte
sie es: Sie sah genau, dass ihr Spiegelgesicht geschlossene Augen hat, jedenfalls fur einen Moment. Beide Augen zu?! Wie kann das sein? Jede Bewegung
zeigte ihr, dass das Spiegelbild langsamerals sie selbst ist.
sind die Sechs-Uhr-Nachrichten!\ tonte es aus dem Radio. "Mensch,
"daHier
bin ich ja eine Stunde zu fruh aufgestanden\, dachte Paula. Geht denn
mein Wecker falsch?\ Nein, der zeigte 7 Uhr 5 und hatte punktlich" um 7 Uhr
geweckt.
Hier eine wichtige Durchsage: Seit heute Nacht breitet sich das Licht nur
"noch
mit einer Geschwindigkeit von 30 km pro Stunde aus. Bisher betrug die
Lichtgeschwindigkeit 300.000 km pro Sekunde. Wie es zu dieser enormen Verlangsamung kam ist noch ungeklart. Die Folgen sind verheerend und gar nicht
abzusehen, denn nicht nur das Licht ist langsamer, sondern auch die Radiound Fernsehwellen und die Telefonubertragung: Alle elektromagnetischen Wellen breiten sich zur Zeit mit 30 km pro Stunde aus.\
Paula hat sofort geschaltet: Nicht der Wecker geht falsch, sondern die Nachrichten haben uber eine Stunde vom Sender bis zum Radio gebraucht klar,
denn der Sendemast steht etwa 30 km entfernt! Sie ging noch mal zum Spiegel: Augen zu, Augen auf. Die Paula im Spiegel hat die Augen zu und onet sie
wieder. "Ich sehe etwas, was gerade eben schon war,\ ging ihr durch den Kopf.
Sie trat zwei Schritte zuruck. Jetzt war ihr Spiegelbild noch mehr verzogert.
Sie schaute noch mehr in die Vergangenheit.
Als Paula endlich auf der Strae war, el ihr sofort auf, dass die Autos heute langsamerfuhren, langsamer noch als in einer Tempo-Dreiig-Zone. Hatten
die Fahrer vielleicht Angst vor der langsamen Lichtgeschwindigkeit? Trotzdem
machten die Autos einen Krach, als wollten sie hundert fahren. Es ging wohl
nicht schneller. Da kam schon der Schulbus angekrochen. Er sah aus, als ware
er vor eine Wand gefahren, er schien viel kurzerals gewohnlich. Aber als der
Bus dann hielt, hatte er wieder normale Lange. Der Bus startete, und je mehr
Gas der Fahrer gab, desto kurzerwurde die Strae vor dem Bus. Schneller
schien der Bus gar nicht zu werden. Die Hauser am Straenrand waren eigentumlich verdreht. Paula dachte an den Spiegel: Wie wohl der Bus aussahe,
wenn er auf einen Spiegel zufahren wurde. Da entdeckte sie das Spiegelbild des
Busses in der Heckscheibe eines Transporters vor ihnen: Der Bus war ganz
16 ANHANG
klein und schien sehr weit weg. Wie zu hause, ging es Paula durch den Kopf:
Ich sehe die Vergangenheit des Busses.
Rumms! Fast ware Paula nach vorn gefallen. Der Fahrer machte eine Vollbremsung. "Aber die Ampel war doch grun!\ schimpften viele Fahrgaste. Die
oberste Lampe der Ampel leuchtete und auerdem war sie tatsachlich rot, als
der Bus hielt. Die Kreuzung sah jetzt ganz normal aus. Dafur krochen nun
lauter geschrumpfteAutos uber die Kreuzung.
Vollig verwirrt schaute Paula nach drauen und schlo die Augen, weil sie ein
Scheinwerfer blendete.
Aufwachen, aufstehen, es ist sieben Uhr!\ Aus weiter Ferne hort Paula die
"Stimme
ihre Schwester, die ihre Nachttischlampe eingeschaltet hat. "Was ist
los, ich bin doch schon unterwegs ....?!\ Verwirrt rappelt sich Paula hoch. "Du,
ich habe vielleicht getraumt. Mit dem Licht stimmte irgendwas nicht. Alles war
so langsam.\
Nach und nach el ihr der Traum wieder ein, und dann begri sie auch, warum
ihr so etwas traumte: Vor dem Einschlafen hatte sie ein Buch uber Albert Einstein und seine Relativitatstheorie gelesen. Einstein hatte erstmals 1905 behauptet, dass die Lichtgeschwindigkeit stets einen festen Wert hat: 300.000km
pro Sekunde, genannt c. Und dies auch, wenn sich die Lichtquelle schnell
bewegt. Wenn uns das Licht von rasend schnell durch den Weltraum iegenden Sternen auf der Erde erreicht, hat auch dieses die Geschwindigkeit c.
Schneeballe verhalten sich da ganz anders: wenn du vor einem geworfenen
Schneeball davon laufst, trit er dich langst nicht so hart, als wenn du ihm
noch entgegen rennst. Licht verhalt sich also ganz anders. Eine Anderung
kann
man aber doch bemerken, wenn sich die Lichtquelle schnell bewegt: Die Farbe
des Lichtes verschiebt sich zum Rot, wenn die Quelle sich schnell entfernt und
verschiebt sich zum Grun, wenn sich die Quelle nahert.
Auerdem stand in dem Buch, dass kein Gegenstand sich schneller als mit
Lichtgeschwindigkeit bewegen kann: c ist die grotmogliche Geschwindigkeit.
Und wenn man ein Fahrzeug fast so schnell machen will wie die Lichtgeschwindigkeit, braucht es einen immer starker werdenden Motor: Je schneller
das Fahrzeug wird, desto schwerer wird es auch.
Wenn sich ein Gegenstand fast mit Lichtgeschwindigkeit bewegt, erscheint er
dem ruhenden Beobachter verkleinert. Einstein sagt: Bewegte Lineale verkurzen
sich, die Lange schrumpft. Der mitreisende Beobachter bemerkt davon nichts.
Fur ihn scheint umgekehrt das zuruckbleibende Lineal kurzer zu werden.
Und auch die Zeit schrumpft: Bewegte Uhren gehen langsamer. Wenn ein Zwilling nach einer wahnsinnig schnellen Reise zu seinem Bruder zuruckkehrt, ist
der Reisende etwas junger geblieben, denn seine Uhr ging { im Vergleich zu
dem zuruckgebliebenen Zwilling { langsamer.
Und Einstein hatte recht. Zwar sind die Reisegeschwindigkeiten selbst mit Raketen noch viel zu langsam, als dass man eine Verjungung sehen wurde. Aber
wenn Atomuhren auf Reisen gehen, sind Abweichungen der Uhren schon zu
beobachten. Und aus dem Weltall erreichen uns winzigste Teilchen, deren Lebensdauer gar nicht fur den weiten Weg reichen wurde. Aber weil sie fast
121
16 ANHANG
122
Lichtgeschwindigkeit haben, gehen ihre "Uhren\ langsamer, sie "leben\ deshalb lang genug, um die Erde zu erreichen. Auch die Zunahme der Masse
konnen die Physiker wirklich beobachten: Elektronen und Atome kann man so
stark beschleunigen, da sie der Lichtgeschwindigkeit nahe kommen. Dafur ist
sehr viel Energie notig, denn deren Masse nimmt dabei immer mehr zu.
Ich habe wohl von einer Welt getraumt, in der die unvorstellbare Relativitats"theorie
im taglichen Leben sichtbar wird, weil das Licht Tempo Dreiig einhalten mute. Ob Einstein wohl auch von seiner Relativitatstheorie getraumt
hat?\, meinte Paula noch ganz verschlafen zu ihrer Schwester. Die hat nur
den Kopf geschuttelt.
Den ganzen Tag beobachtete sich Paula immer wieder im Spiegel. Doch es
gelang ihr nie wieder, ihr Spiegelbild mit zwei geschlossenen Augen zu sehen!
Fragen und Aufgaben zum Text
1. Lokalisieren und identizieren Sie die relativistischen Eekte, die in dem Text angesprochen werden.
2. Finden Sie Ungenauigkeiten und Fehler und korrigieren Sie diese!
3. An welchen Stellen hatten zusatzliche Eekte berucksichtigt werden konnen bzw.
mussen?
16 ANHANG
16.3 Parameter der Filme
Film/Bild Programm r/k? K/W? xmin #x
FilmTE1
albert
r
K
-640
1
FilmTE5
r
K -1302 1.5
r
K
-100
0
FilmTE6
FilmTE10
r
K
-100
0
r
K
-330 1.875
FilmTE11
FilmTE15
r
K -1400 1.5
doppler
retarneu
r
K
123
xmax
350
156
0
0
170
15
ymin
0
0
141
552
528
1250
#y ymax
0
0
0
0
-3 -1482
-3 -561
-3
-1.5
z
0
0
0
0
0
0
0
f
vx
vy
0.015 -0.9
0
0.015 -0.01
0
0.015 0
0.9
0.02
0
0.01
0.01 -0.477 0.763
0.015 -0.007 0.007
-0.9
0
16.4 Parameter der Bilder
Name
w01
w02
w03
w05
w06
w07
geschw1
geschw2
D10/D11
D20/D21
D30/D31
D40/D41
Albert1
Albert2
Albert3
Albert4
Albert5
Albert6
Programm Abb. Seite r/k? K/W? x
y
z
f
vx vy
retarwn
49
82
r
K
3500 2000 0 0.9
0 0.5
52
84
r
K
30
30 0 0.04 -0.9 0
51
83
r
K
-25
40 0 0.02 -0.9 0
47
80
r
W
-50
40 -30 0.05 0.8 0
r
W
-240 -40 -30 0.05 0.0 0
57
91
r
W
-15
30 0 0.04 0.9 0
k
W
-25 -30 0 0.04 0.9 0
58
92
k
W -3500 -3150 0 0.09 0 -0.9
79
79
r
W
-105
0
0 0.04 0.5 0
79
79
r
W
-55
0
0 0.04 0.5 0
retarneu
54
86
r
K
100
0
0 0.01 -0.4 0
55
87
r
K
-110
0
0 0.005 -0.9 0
r
K
70 480 0 0.005 0 0.9
r
K
40
40 0 0.005 -0.3 0.3
albert
53
85
r
K
-183
0
0 0.015 -0.01 0
53
85
r
K
77
0
0 0.015 -0.9 0
59
93
k
K
77
0
0 0.007 -0.9 0
59
93
k
W
30
0
0 0.015 0.9 0
r
K
-30 210 0 0.005 0 -0.9
r
K
-30 -205 0 0.005 0 0.9
16 ANHANG
16.5 Folien
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
124
Originalformulierung der Einsteinschen Postulate (S. 2)
Die Grundpostulate der speziellen Relativitatstheorie (S. 4)
Weltlinien zweidimensionaler Bewegungen (Abb. 3, S. 7)
Die Newton'schen Gesetze (S. 13)
Galilei-Transformation und ihre Eigenschaften (S. 9
Geometrische Veranschaulichung der Galilei-Transformation (Abb. 5, S. 8)
Maxwell-Gleichungen und Wellengleichung (S. 15)
Messung der Lichtgeschwindigkeit mit Hilfe von Jupitermondvernsterungen (Abb. 10,
S. 23)
Spezielle Losungen der Wellengleichung (Abb. 11, S. 26
Modulation (Abb. 12, S. 27)
2 Moir$e-Folien zur Veranschaulichung der Beobachtung beim Michelson-Versuch
(Abb. 16, S. 29)
Aufbau und Ergebnis des Versuchs von Michelson und Morley (Abb. 17, S. 30)
Zur klassischen Erklarung der Lichtaberration (Abb. 18 und 19, S. 34f)
Die Lorentz-Kontraktion (Raumotte) (Abb. 20 und 22, S. 37)
Relativitat der Gleichzeitigkeit I (Abb. 21, S. 37)
Relativitat der Gleichzeitigkeit II a (Resnick) (Abb. 24, S. 42)
Relativitat der Gleichzeitigkeit II b (Resnick) (Abb. 24, S. 42)
Das landende relativistische Flugzeug (Abb. 25, S. 43)
Wie wird der Pilot das Licht registrieren? (Abb. 26, S. 43)
Zur relativistischen Deutung der Lichtaberration (Abb. 27, S. 44)
Lichtaberration im Weltall (Abb. 28, S. 45)
Wie wird der Abdruck auf dem Papier fur verschiedene Beobachter aussehen? (Abb. 29,
S. 46)
Wie wird das fallende Quadrat fur einen auf dem Flieband sitzenden Beobachter
aussehen? (Abb. 30, S. 47)
Fallendes Quadrat II
Zur Messung der Relativgeschwindigkeit 1 (Abb. 31, S. 49)
16 ANHANG
125
26. Zur Messung der Relativgeschwindigkeit 2 (Abb. 32, S. 49)
27. Der Lorentz-Faktor als Funktion der Geschwindigkeit (Abb. 33, S. 53)
28. Zeitdilatation mit Lichtuhren / Uhrenvergleich mit zwei Uhren (Abb. 34 und 35,
S. 54 und 56)
29. Maryland-Experiment / Myonen-Experiment (Abb. 36, S. 57)
30. Zur Konstruktion von Minkowski-Diagrammen (Abb. 38, S. 59)
31. U berlichtgeschwindigkeit und Kausalitat (Abb. 40, S. 64)
32. Relativitat von Vergangenheit und Zukunft (Abb. 41, S. 65)
33. Der Lichtkegel (Abb. 42, S. 66)
34. Langenkontraktion und Zeitdialtation im Minkowski-Diagramm(Abb. 39 , S. 63 )
35. Die Lorentz-Transformation (S. 70)
36. Dopplereekt und Zwillingsparadoxon (Abb. 44, S. 73)
37. Die scheinbare Geschwindigkeit (Abb. 46, S. 79)
38. Die Unsichtbarkeit der Laufzeitverlangerung (Abb. 47, S. 80)
39. Zur Unsichtbarkeit der Lorentz-Kontraktion:
40.
41.
42.
43.
44.
45.
46.
47.
48.
49.
Drehung statt Kontraktion (Abb. 49, S. 82)
Die sichtbare Ruckseite (Abb. 51, S. 83)
Hyperbelformige Verformung eines senkrechten Stabes durch relativistische Retardierung
Hyperbelartige Verformung (Abb. 52, S. 84)
Klassische Retardierung: Vergleich der scheinbaren Verlangerungen (Abb. 57, S. 91
Klassische Retardierung: Scherung statt Drehung (Abb. 58, S. 92
Albert Einstein { durch relativistische Retardierung verformt (Abb.53, S. 85)
Berucksichtigung des Doppler-Eektes ( = 0:5) (Abb. 54, S. 86)
Berucksichtigung des Doppler-Eektes ( = 0:9) (Abb. 55, S. 87)
Berucksichtigung des Doppler-Eektes in Relativitatstheorie und klassischer Physik
(Abb. 60, S. 94)
Weltraumug mit konstanter Beschleunigung (Abb. 61, S. 104
Die Geschwindigkeit als Funktion der Energie (Abb. 62, S. 107)
Der Erhaltungssatze der Relativitatstheorie(S. 109)
Die spezische Ladung von Elektronen im transversalen Magnetfeld (Tabelle S. 112)