Vorlesungsfolien 08.01.2004 Kosten

Institut für Allgemeine Wirtschaftsforschung
Abteilung Sozialpolitik: Prof. Dr. G. Schulze
Jahreskurs Mikroökonomie
Teil 1 – WS03/04
Vorlesungsfolien 08.01.2004
Nicholson, Walter, Microeconomic Theory
Kapitel 12
Kosten
XII/1
Definition: Kosten
Unter Kosten (im ökonomischen Sinne) eines jeden Einsatzfaktors versteht man die erforderlichen Zahlungen,
um den Faktor in seiner derzeitigen Verwendung zu erhalten.
Man versteht unter Kosten auch die Entlohnung, welche ein
Produktionsfaktor bei seiner bestmöglichen Alternativverwendung
erzielen würde.
Nicholson, S.299
XII/2
à Zwei Vereinfachungen
Zur Vereinfachung treffen wir folgende beiden Annahmen:
1) Es gebe nur zwei jeweils homogene Produktionsfaktoren
Kapital K und Arbeit L (gemessen in
Maschinenstunden und Arbeitsstunden).
2) Die beiden Einsatzfaktoren werden auf Märkten angeboten, die
sich in vollständiger Konkurrenz befinden. Die Unternehmer
kaufen L zum Preis w (=Stundenlohn) und K zum Preis v.
XII/3
Gewinn im ökonomischen Sinne:
π = Umsatz - Kosten
= Pq − wL − vK
P: Produktpreis
q:produzierte Menge
= Pf ( K , L) − wL − vK
Kosten der eingesetzten Arbeit:
L Anzahl der Arbeiterstunden
w Stundenlohn des Arbeiters
Kapitalkosten:
z.B. Preis einer Maschine K
Maschinenstundensatz v
XII/4
Kostenminimaler Faktoreinsatz
Mathematisch haben wir es hier mit einem Minimierungsproblem
zu tun: Wir wollen die Kosten minimieren, um gegebenen
Output q0 zu produzieren(Nebenbedingung).
à Lagrange-Ansatz
l = wL + vK + λ [q0 − f ( K , L )]
(1)
∂l
∂f
= w−λ
=0
∂L
∂L
(2)
∂l
∂f
= v−λ
=0
∂K
∂K
(3)
∂l
= q0 − f ( K , L ) = 0
∂λ
XII/5
Teilt man (1) durch (2), so erhält man:
w ∂f ∂L
=
= GRTS LK
v ∂f ∂K
... die Grenzrate der technischen Substitution L nach K.
Kostenminimaler Faktoreinsatz ist also dann gegeben, wenn das
Faktorpreisverhältnis der GRTS entspricht.
Anders ausgedrückt:
∂f / ∂L ∂f / ∂K
=
w
v
Die Grenzproduktivität des marginalen €uros muss für
beide Faktoren gleich sein.
XII/6
Isokostengerade
TK 0 = wL + vK
TK 0 w
⇒K =
− ⋅L
v
v
TK: Gesamtkosten
XII/7
Grafik 12.1: Kostenminimierung
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.302
XII/8
Grafik 11.2: Das duale Problem: Outputmaximierung
TC = totale Kosten
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.303
XII/9
Statt Kosten für gegebenen Outputq0 zu minimieren wird für
gegebene Kosten(TC1 ) der Output maximiert.
Optimierungsansatz:
l D = f ( K , L) + λD (TC1 − wL − vK )
Waren im Kostenminimierungsproblem TC1 die minimalen Kosten,
zu denen q0 produziert werden konnte (Nebenbedingung), so ist
nun q0 der maximale Output, der für gegebene Kosten TC1
produziert werden kann. (Optimierter Wert der Zielfunktion und
Nebenbedinung werden also im dualen Problem veranschaulicht.
XII/10
Kostenminimale Faktorkombination
Um die Kosten für einen gegebenen Output q0 zu minimieren,
muss die Firma an dem Punkt der Isoquante produzieren, bei dem
die GRTS von L für K gleich dem Verhältnis der Inputpreise w/v ist.
Bei dieser Faktorkombination, ist also das Verhältnis, mit dem L
durch K substituiert werden kann (bei gleichem Output) gleich dem
Verhältnis, mit dem L gegen K im Markt getauscht werden kann.
XII/11
Komparative Statik der Faktornachfrage
- analog zur Nutzentheorie?
Nutzentheorie: Wie wirken Veränderung eines Güterpreises
auf das optimale Konsumbündel?
à Ableitung der Nachfragekurve
Produktions- und Kostentheorie:
Faktornachfragen sind abgeleitete Nachfragen
für gegebenen Output. Um die komparative
Statik bezüglich eines Faktorpreises zu ermitteln,
müssen wir analysieren, wie sich der Output
infolge der Faktorpreisvariation verändert.
XII/12
Expansionspfad
Ein Unternehmen kann den Optimierungsprozess
(Kostenminimierung bei gegebenem Output) für
mehrere Outputniveaus machen.
Die Verbindung aller Optima stellen dann den Expansionspfad dar.
(Merke: v und w sind konstant entlang des Pfades.)
XII/13
Grafik 11.3: Expansionspfad
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.304
XII/14
Grafik 11.4: Faktorinferiorität
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.305
XII/15
Bsp 12.1: Kostenminimierung im Cobb-Douglas Fall
Wir greifen wieder unser Beispiel 11.3 auf:
Produktionsfunktion:
q = 10 K
Kostenfunktion:
TC = vK + wL
0, 5 0, 5
L
Kostenminimierung für ein Produktionsvolumen von 40:
Lagrangeansatz: l = vK + wL + λ ( 40 − 10 K 0,5 L0,5 )
∂l
0,5
=
v
−
λ
5
(
L
/
K
)
=0
BEO:
∂K
∂l
= w − λ 5( K / L) 0,5 = 0
∂L
∂l
= 40 − 10 K 0,5 L0,5 = 0
∂λ
XII/16
Wenn wir wieder die erste B.E.O. durch die zweite
B.E.O. teilen, erhalten wir:
w K
= = GRTS
v L
Wären jetzt v=w=4 €, könnten wir mit einem Einsatz von
K=L=4 einen Output von 40 Einheiten zu einem Preis von 32
erzielen. Jede andere Inputkombination, die 40 Einheiten Output
generiert, würde höhere totale Kosten implizieren.
àExpansionspfad?
Wie bereits gezeigt haben wir im Cobb-Douglas-Fall
konstante Skalenerträge, so dass der Expansionspfad durch
eine Ursprungsgerade dargestellt werden kann.
XII/17
Kostenfunktionen
Definition: Gesamtkosten
Die (Gesamt-)Kostenfunktion gibt uns für jedes Outputniveau
und jede Faktorpreiskombination die entsprechenden minimalen
Gesamtkosten (TK) an.
TK = TK (v, w, q )
Zentrale Fragen:
Wie ändern sich die Gesamtkosten
- mit steigendem Output?
- mit veränderten Faktorpreisen?
XII/18
Grenz- und Durchschnittskosten
TK (v, w, q)
Durchschni ttskosten = DK (v, w, q) =
q
Grenzkosten = GK (v, w, q ) =
∂TK (v , w, q )
∂q
Sowohl Durchschnitts als auch Grenzkosten hängen vom
Outputniveau und von den Inputpreisen ab.
XII/19
Grafik 12.5: Konstante Skalenerträge
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.309
XII/20
Graphische Analyse
Grafik 12.5a zeigt den Fall proportionaler Gesamtkosten
(relativ zum Output). Dies ist eine Folge der
konstanten Skalenerträge. Um eine Einheit an Output
zu erzeugen benötigen wir:
TK ( q = 1) = vK1 + wL1
Und entsprechend für m Einheiten:
TK (q = m) = vmK1 + wmL1 = m(vK1 + wL1 )
= m ⋅ TK ( q = 1)
Für den linearen Verlauf der Gesamtkostenkurve
ohne Fixkosten (Grafik 12.5a) sind DK=GK.
XII/21
Grafik 12.6: Ertragsgesetzlicher Verlauf (ohne Fixkosten)
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.310
XII/22
Intuition für den ertragsgesetzlichen Verlauf:
à Existenz eines fixen Faktors
Einsatz der variablen Produktionsfaktoren (K,L)
wächst zunächst in ein günstiges, später in ein
ungünstiges Verhältnis hinein.
Alternativ:
Zunächst hat die Unternehmung Vorteile der
Massenproduktion, später erfährt sie
Ineffizienzen aufgrund zu hoher Betriebsgröße.
XII/23
Veränderungen der Kostenkurven
durch:
- Veränderung der Faktorpreise
- Veränderung der Technologie
XII/24
1) Änderung der Faktorpreise
a) Homogenität
Die Kostenfunktion ist linear-homogen in allen Inputpreise. Die
minimalen Gesamtkosten zur Produktion der Menge q1 seien:
TK1 = vK1 + wL1
Wir erhöhen jetzt v und w um den Faktor t und
erhalten die neuen Gesamtkosten TK '1.
TK1 ' = tvK1 + twL1 = t ⋅ (vK1 + wL1 ) = tTK1
XII/25
Daraus folgt, dass auch DK und GK homogen vom Grade 1sind:
TK ' = tTK
TK '
TK
DK ' =
=t
= tDK
q
q
∂TK '
∂TK
GK ' =
=t
= tGK
∂q
∂q
XII/26
b) Nur ein Faktor-Preis ändert sich
1) Qualitativer Effekt auf TK,DK,GK
2) Stärke des Substitionseffekts zwischen den Faktoren
3) Quantitativer Effekt auf TK,DK,GK
1) Vorzeichen des Effekts:
Eine Preiserhöhung erhöht die Gesamtkosten für alle
Produktionsniveaus (mindestens sinken die TK nicht). Wäre diese
Annahme verletzt, befänden wir uns in der Ausgangssituation
nicht im Kostenminimum.
Dieses Argument gilt auch für die Durchschnittskosten (DK).
Durch eine Preiserhöhung steigen sie ebenso.
(vgl. Fußnote 8 auf Seite 313 in Nicholson!)
XII/27
Für die Grenzkosten kann der Effekt unterschiedlich ausfallen.
Im seltenen Fall inferiorer Produktionsfaktoren, könnte die
Preiserhöhung für einen inferioren Faktor zu einem Absinken
der Grenzkosten führen. Für nicht inferiore Produktionsfaktoren
steigen die GK infolge der Faktorpreiserhöhung (normaler Fall).
Hier findet erneut das Envelope-Theorem Anwendung:
∂TK ∂l
GK =
=
=λ
∂q
∂q
∂GK
∂ 2l
∂ 2 l ∂K
=
=
=
∂v
∂v∂q ∂q∂v ∂q
 ∂l

=
K


 ∂v

Young-Theorem
Das Vorzeichen ist positiv (negativ) falls K ein normaler
(inferiorer) Faktor ist.
XII/28
im einzelnen:
TK = min wL + vK
u.d .B. q0 = f ( K , L )
l = wL + vK + λ (q0 − f ( K , L) )
∂l
=λ
∂q
∂l
=K
∂v
∂ l ∂K
=
∂v∂q ∂q
2
XII/29
2) Substitutionseffekte:
Durch Preissteigerung eines Faktors werden die anderen
Faktoren relativ billiger, das veranlasst den kostenminimierenden
Unternehmer, einzelne Produktionsfaktoren durch andere
teilweise zu ersetzen. Also ändert sich das Faktoreinsatzverhältnis K/L. Eine Maßgröße für die Reaktion des
Faktoreinsatzverhältnisses auf eine Veränderung des
Faktorpreisverhältnisses ist:
K
∂ 
L
 w
∂ 
v
∂(K / L ) w / v ∂ ln (K / L )
s=
⋅
=
∂ (w / v ) K / L ∂ ln (w / v )
s = Substitutionselastizität
XII/30
2a) Partielle Substitutionselastizitäten
Die Partielle Substitutionselastizität zwischen zwei Produktionsfaktoren X i , X j zu den Faktorpreisen wi , w j ist definiert als:
(
)
w j / wi ∂ ln( X i / X j )
sij =
⋅
=
∂ (w j / wi ) X i / X j ∂ ln( wi / w j )
∂ Xi / X j
àCeteris paribus Annahme: Alle anderen Preise sind kostant.
Partielle Substitutionselastizität bedeutet, dass sich andere
Faktoreinsatzmengen ebenfalls ändern können, aber nicht
weiter betrachtet werden.
Bsp: Man möchte untersuchen, wie sich eine Energiepreiserhöhung auf Einsatzverhältnis von Energie zu Kapital
auswirkt (unter der Annahme, dass der Output konstant
bleibt). Ob dieses Einsatzverhältnis steigt oder fällt,
hängt letztlich davon ab, ob die beiden Faktoren
Komplemente oder Substitute sind.
XII/31
3) Quantitativer Effekt auf TK,DK,GK
... hängt davon ab,
- welchen Anteil der betroffene Produktionsfaktor
an den Gesamtkosten hat.
- wie eng die Substitutionsbeziehung zu anderen
Produktionsfaktoren ist.
XII/32
2) Technischer Fortschritt
Auch der technische Fortschritt beeinflusst die Kostenkurve,
da die gleiche Menge mit weniger Input produziert werden kann.
Im Falle konstanter Skalenerträge stellen sich unsere Kosten zum
Zeitpunkt t=0 wie folgt dar:
TK 0 = TK 0 (q, v, w) = K 0 (v, w)q
K 0 (v, w) sind die Stückkosten
XII/33
Bilden wir den technischen Fortschritt mit Hilfe des Terms A(t)
mit der bekannten Gleichung 11.44 q = A(t ) f ( K , L) mit
[A(0) = 1 und A' > 0] , so betragen die Kosten
einer Einheit zum Zeitpunkt t:
K 0 (v, w)
K t (v, w) =
A(t )
TK t (q, v, w) = K t (v, w)q = TK 0 / A(t )
Die totalen Kosten fallen über die Zeit mit der Rate des
technischen Fortschritts A(t).
Der technische Fortschritt ist in diesem Falle als „neutral“ modelliert.
Er wirkt sich nicht auf das Faktoreinsatzverhältnis aus.
XII/34
Bsp 12.2: Cobb-Douglas Produktions Funktion
Bei Kostenminimierung ergab sich folgende Optimalitätsbedingung:
w K
=
v L
Wir nutzen folgende Produktionsfunktion...
q = 10K 0 ,5 L0 ,5
...und teilen sie durch K:
q
 L
= 10 
K
K
0,5
XII/35
...setzen die Bedingung für den optimalen Faktoreinsatz im
Cobb-Douglas-Fall ein, und erhalten:
q
v
= 10 
K
w
K=
0,5
q 0,5 −0,5
w v
10
q 0,5 0,5
vK = w v
10
Analog erhalten wir:
q 0,5 0,5
wL = w v
10
XII/36
Es gilt:
TK = vK + wL
TK = 0,2w0 ,5v 0,5
Wenn zum Beispiel w=v=4€ betragen, so ergeben
sich die Gesamtkosten zu:
TK = 0,8q
Auch hier benötigen wir 32 €
um 40 Mengeneinheiten Output herzustellen.
XII/37
Im Falle konstanter Skalenerträge sind DK und GK
konstant und gleich:
TK
DK =
= 0,8
q
∂TK
GK =
= 0,8
∂q
Die Grenz- und Durchschnittskosten zur Produktion pro Einheit
an Output betragen also 0,8 €.
Ändert sich jetzt der Preis eines Inputs, z.B. v=9€,
so ergeben sich die Gesamtkosen zu:
TK = 0,2qw0,5v 0,5 = 1,2q
XII/38
Erweitern wir dieses Modell nun um den technischen
Fortschritt, verändert sich die Gleichung beispielsweise so:
q = A(t ) f ( K , L) = e0, 05t f ( K , L)
TK zu jedem Zeitpunkt t sind dann:
[
TKt = TK 0 / A(t ) = e −0 ,05tTK 0 = e −0 ,05t 0,2qw0 ,5v 0,5
]
Für t=10:
TK10 = 0,607TK 0 = 0,121qw0,5 v 0,5
w=v=4:
w=4, v=9:
TK10 = 0,48q
TK10 = 0,73q
XII/39
Langfristige und Kurzfristige Analyse
Kurzfristig
Wir gehen davon aus, dass in der kurzen Frist der Kapitalstock
unveränderbar die Höhe K1 hat. Nur der Einsatz an Arbeit (L) kann
variiert werden:
q = f ( K1 , L)
Für die totalen Kosten (TK) gilt zwar nach wie vor die selbe Formel,
allerdings ist K jetzt fest:
TK = vK + wL
kurzfristi ge TK = vK 1 + wL
XII/40
Fixe vs. variable Kosten
In unserem Beispiel beschreibt der erste Term die (in der kurzen Frist)
fixen Kosten, da K kurzfristig nicht variiert werden kann. Die variablen
Kosten wL können durch eine Änderung des Einsatzes an Arbeit
verändert werden:
Kurzfristige totale Kosten:
KTK = vK1 + wL
Fixe Kosten
Variable Kosten
Merke: Fixe Kosten fallen auch dann an,wenn nichts produziert wird.
Wie in der folgenden Grafik 12.7 gezeigt, befinden wir uns in der
kurzen Frist i.a. nicht im Optimum. Da K fix ist, kann eine
Unternehmung keine Kostenminimierung betreiben, indem sie
das optimale Einsatzmengenverhältnis (K/L) ermittelt:
XII/41
Grafik 12.7: Kosten in der kurzen Frist
STC=KTK
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.320
XII/42
Grenzkosten und Durchschnittskosten
in der kurzen Frist
Kurzfristige Durchschnittskosten:
TK
KTK
KDTK =
=
Output
q
Kurzfristige Grenzkosten:
∂KTK
Veränderun g der TK
KGK =
=
Veränderung des Output
∂q
Beide sind definiert für einen gegebenen Bestand des
kurzfristig fixen Faktors (hier Kapital).
XII/43
Durchschnittliche Fixkosten und
durchschnittliche variable Kosten
in der kurzen Frist
Manchmal kann es in der kurzen Frist sinnvoll sein, zwischen
variablen und fixen Durchschnittskosten zu unterscheiden:
totale Fixkosten KFK
KDFK =
=
Output
q
totale variable Kosten KVK
KDVK =
=
Output
q
XII/44
Grafik 12.8: Kurzfristige Gesamtkostenkurven für
unterschiedliche Einsatzmengen des fixen Faktors K 0 , K1 , K 2
XII/45
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.322
Beziehung zwischen langfristiger und
kurzfristiger Kostenkurve
Die langfristige Gesamtkostenkurve liegt unterhalb der kurzfristigen
Gesamtkostenkurve und berührt diese nur bei dem Outputniveau, für
das der fixe Kapitalbestand dem kostenminimalen Kapitaleinsatz
entspricht (z.B.ist K 0 optimal für q0 bei gegebenen Faktorpreisen).
XII/46
Kurzfristige Gesamtkosten
KTK = KTK (q , K )
Im Optimum sind KTK minimal, d.h.
∂KTK ( q, K )
=0
∂K
Variiert man K so, dass für jedes q die kurzfristige Gesamtkostenkurve
minimiert wird (s.o.) und verbindet die sich ergebenden Optima,
so erhält man die langfristige Kostenkurve.
XII/47
Grafik 12.9: DK und GK für die
ertragsgesetzliche Kostenfunktion
XII/48
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.323
Stückkostenkurve
In Grafik 12.8 wird gezeigt, wie die langfristige Kostenkurve
die kurzfristigen Kostenkurven umhüllt („envelope“). Der
geometrische Zusammenhang zwischen GK und DK in kurzer und
langer Frist wird in Grafik 12.9 für die
ertragsgesetzliche Kostenkurve dargestellt.
Im Punkt q1 sind langfristige GK und DK gleich.
Hier gilt:
DK = GK = KDTK = KGK
XII/49
Kurz- und langfristige Gesamtkosten für
q = 10 K 0,5 L0,5 und w = v = 4 €
q
KTK(K=1)
KTK(K=4)
KTK(K=9)
TK
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
100
4,00 €
8,00 €
20,00 €
40,00 €
68,00 €
104,00 €
148,00 €
200,00 €
260,00 €
328,00 €
404,00 €
16,00 €
17,00 €
20,00 €
25,00 €
32,00 €
41,00 €
52,00 €
65,00 €
80,00 €
97,00 €
116,00 €
36,00 €
36,44 €
37,78 €
40,00 €
43,11 €
47,11 €
52,00 €
57,78 €
64,44 €
72,00 €
80,44 €
0,00 €
8,00 €
16,00 €
24,00 €
32,00 €
40,00 €
48,00 €
56,00 €
64,00 €
72,00 €
80,00 €
XII/50
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.325
Bsp 12.3: Kurzfristige Kosten bei Cobb-Douglas-PF
Produktionsfunktion:
q = 10 K10,5 L0,5 àK sei fix, nur L variiert
mit der Produktionsmenge
 q 

L = 
0 ,5 
 10 K1 
2
wq 2
KTK = vK1 + wL = vK1 +
100K1
Sei K=4:
wq 2
KTK = 4v +
400
XII/51
Ableitung der langfristigen Kostenkurve
durch ihre Eigenschaft als Umhüllende (=Envelope) der
kurzfristigen Kostenkurven
für w=v=4 gilt:
4q 2
KTK = 4 K +
100 K
Durch Ableiten nach K erhalten wir:
∂KTK
4q 2
= 4−
∂K
100 K 2
Da wir die kurzfristigen TK minimieren, muss die Ableitung nach K
Null sein und wir erhalten durch Umformen den folgenden Term:
4q 2
4=
100K 2
XII/52
Der (fixe) Kapitalstock, für den bei gegebenen Faktorpreisen die
kurzfristigen Kosten minimal sind, genügt also der Gleichung:
q
K=
10
Durch Einsetzen in unsere Ausgangsgleichung
für die kurzfristigen
2
Gesamtkosten KTK = 4K + 4q ergibt sich dann:
100 K
TK = 0,4q + 0,4q = 0,8q
,
was mit der langfristigen Kostenfunktion aus Beispiel 12.2
übereinstimmt.
XII/53
Grafik 12.10: Kurz- und Langfristige DK und GK
q = 10 K 0,5 L0,5
XII/54
Quelle: Nicholson (2002), Microeconomic Theory: Basic Principles And Extensions, S.326