Spieltheorie WS08/09: Aufgabenblatt 7: Lösung von Aufgabe 7.3

Spieltheorie WS08/09: Aufgabenblatt 7: Lösung von Aufgabe 7.3
Aufgabe 7. 3
Betrachte das folgende Betrand-Spiel zwischen einem Käufer, K, und zwei
Verkäufern, V1 und V2. V1 und V2 produzieren identische Güter, die Grenzkosten von V1
betragen c1 , und die Grenzkosten von V2 betragen c2 . Dabei gelte 0 ≤ c1 < c2 < 1. K hat
eine Zahlungsbereitschaft von 1 für das Gut und kauft höchstens ein Gut. In Stufe 1 setzen
die Verkäufer simultan Preise p1 ≥ 0 und p2 ≥ 0. In Stufe 2 beobachtet K beide Preise, und
entscheidet, ob er das Gut kauft und von wem.
Behauptung: Es gibt multiple Gleichgewichte, und zwar: Sei p irgendein Preis aus dem Intervall [c1 , c2 ]. Dann gibt es ein teilspielperfektes Nash–Gleichgewicht, in dem gilt p∗1 = p∗2 = p.
Beweis der Behauptung: Betrachte das folgende Strategienprofil. Die Strategie des Käufers
spezifiziert für jede Preiskombination (p1 , p2 ) einen Verkäufer V 1 oder V 2 und sei gegeben
durch:

 V 1 f alls p ≤ p ,
1
2
s∗K (p1 , p2 ) =
 V 2 f alls p < p .
1
2
(1)
Die Verkäuferstrategien spezifizieren einen Preis und seien gegeben durch p∗1 = p∗2 = p.
Wir zeigen, dass kein Spieler eine profitable Abweichung von den angegebenen Strategien
hat. Betrachte zuerst K. Sein Verhalten ist offensichtlich optimal.
Betrachte nun V1. Unter dem angegebenen Strategienprofil ist sein Profit π1∗ = p∗1 − c1 ≥ 0.
Eine Erhöhung des Preises führt dazu, dass er das Gut nicht mehr verkauft, und damit fällt sein
Profit auf Null. Eine Preiserhöhung ist also keine profitable Abweichung. Bei einer Verringerung
des Preises verkauft er das Gut zwar noch immer, aber zu einem geringeren Profit. Somit ist
eine Preisreduzierung auch keine profitable Abweichung.
Betrachte nun V2. Unter dem angegebenen Strategienprofil ist sein Profit π2∗ = 0. Erhöht
V2 den Preis, verkauft er nach wie vor das Gut nicht, und damit bleibt sein Profit Null. Eine
Preiserhöhung ist somit keine profitable Abweichung. Verringert V2 den Preis von p∗2 auf einen
Preis pAbw
< p∗2 , so verkauft er nun das Gut und macht einen Profit π2Abw = pAbw
− c2 . Da aber
2
2
pAbw
< p∗2 ≤ c2 , ist dieser Profit negativ. Somit ist eine Preisreduzierung auch keine profitable
2
Abweichung, und damit ist die Behauptung gezeigt.
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