Serie 2

Mechanik I
Übung 2
Kräfte und Potentiale
Abgabetermin: 16. 3. 2017
1. Betrachte die folgende Bahnkurve in der Ebene: ~x(t) = (t, t2 ) ; t ∈ R.
(a) Bestimme die Koordinaten des Krümmungszentrums ~z0 = (x0 , y0 ), und den
¨⊥ und λ = ρ/|~x
¨⊥ |,
Krümmungsradius ρ0 bei t = 0. Hinweis: Benutze ~z = ~x +λ~x
siehe Figur in Abschnitt 1.10.3 im Skript.
(b) Skizziere die Bahnkurve ~x(t) und den Kreis mit Radius ρ0 und Zentrum ~z0 .
(c) Bestimme den Krümmungsradius ρ(t) zu beliebigen Zeiten.
2. Betrachte das Kraftfeld F~ (~x) = (y, 0, 0) (siehe Figur zur Übung 1.15
R im Skript)
Berechne die Arbeit entlang zweier Wege C1 und C2 als Linienintegral Ci d~x · F~ (~x).
Die Wege sind
C1 :
(0, 0, 0)
→
(0, 1, 0)
→
(1, 1, 0) ,
C2 :
(0, 0, 0)
→
(1, 0, 0)
→
(1, 1, 0) .
Die einzelnen Wegstücke bestehen jeweils aus einer Geraden vom einen zum nächsten
Punkt.
Ist das Kraftfeld konservativ? Existiert ein Potential zur Kraft F~ ?
~ x) = E
~0 =
3. Betrachte eine elektrische Ladung Q im homogenen elektrischen Feld E(~
~ 0 = konstant.
konst. Die Kraft auf die Ladung ist F~ = QE
~ (~x) darstellen lässt (V (~x) angeben!).
(a) Zeige, dass sich F~ in der Form F~ = −∇V
(b) Welche Arbeit leistet F~ bei einer Verschiebung der Ladung von ~a nach ~b?
R
(c) Berechne die Arbeit als Linienintegral C d~x · F~ (~x) entlang dem Weg C, der die
beiden Punkte ~a und ~b längs einer Geraden verbindet.
4. Sei F~ (~x) konservativ, V~a (~x) = −
R ~x
~a
d~x 0 · F~ (~x 0 ).
(a) Zeige: Wählt man an Stelle von ~a einen anderen Bezugspunkt ~b, so ändert sich
das Potential um eine Konstante: V~b (~x) = V~a (~x) + konst.
~ (~x). Dann ist V (~x) =
(b) Zeige: Sei V (~x) ein beliebiges Potential mit F~ (~x) = −∇V
~ a (~x)
V~a (~x) + konst. [Hinweis: Verwende, dass V~a (~x) die Beziehung F~ (~x) = −∇V
auch erfüllt.]
(c) Energiesatz: T (2) + V~a (2) = T (1) + V~a (1). Weshalb gilt der Energiesatz auch
für ein beliebiges V , T (2) + V (2) = T (1) + V (1)?
5. Sei F~ (~x) = ~a × ~x, ~a konstant. Gibt es ein Potential? Falls ja, bestimme dieses.
Skizziere F~ für ~a = (0, 0, a).
6. Betrachte einen vertikalen freien Fall, ~v (t) = (0, 0, −v(t)) mit Luftwiderstand F~L ,
von dem wir annehmen, dass er quadratisch mit der Geschwindigkeit anwächst:
F~L = −κ|~v |~v (der Betrag sorgt dafür, dass F~L in die entgegengesetzte Richtung zur
Geschwindigkeit zeigt).
(a) Schreibe die Bewegungsgleichung als Differentialgleichung für v(t) hin.
(b) Löse die Bewegungsgleichung für v(t) mittels Separation der Variablen für einen
freien Fall mit Anfangsgeschwindigkeit v(0) = 0.
(c) Was ist die Maximalgeschwindigkeit, die während dem Fall erreicht werden
kann?
7. Betrachte eine kleine Kugel der Masse m, die sich unter dem Einfluss der Schwerkraft
reibungsfrei in einer Kugelschale mit Radius R bewegt, siehe Skizze.
(a) Parameterisiere die Kurve ~x(t) = (x(t), y(t)) auf der sich die Masse bewegt als
Funktion des Winkels α(t).
(b) Berechne die kinetische und potentielle Energie als Funktion des Winkels α(t)
und der Winkelgeschwindigkeit α̇(t).
(c) Energieerhaltung liefert nun eine Differentialgleichung erster Ordnung für α(t),
welche sich mittels Separation der Variablen lösen lässt. Gib das resultierende
Integral an. (Das Integral lässt sich leider nicht elementar ausführen; es liefert
eine elliptische Funktion.)
(d) Bonusaufgabe: Betrachte kleine Winkel α und entwickle das Potential in eine
Taylor-Reihe zweiter Ordnung in α. In dieser Näherung lässt sich das Integral
in Aufgabe (c) nun lösen. Was für eine Bewegung führt die Kugel aus?
y
x
R
ΑHtL