Elektrodynamik Prüfung

Elektrodynamik
Prüfung
Beginn 10:00 Uhr, Abgabe 12:00 Uhr, Hörsaal B7
27. Januar 2016
Auf klare Darstellung wird Wert gelegt. Kurze Kommentare oder Stichworte zu den Überlegungen
sind erwünscht. Total können 20 Punkte erreicht werden. Für die Maximalnote 6 wird nicht die
volle Punktzahl benötigt.
1. Betrachte die kugelsymmetrische Ladungsverteilung
ρ R2
0
0≤r≤R
4π r 2
ρ(r) =
0
r>R
mit Gesamtladung Q.
(a) Bestimme die physikalische Dimension der Konstante ρ0 und ihren Wert (ausgedrückt
durch die Gesamtladung Q).
~ als Funktion von r für r ∈ [0, ∞).
(b) Berechne das Potential φ und das elektrische Feld E
(c) Wie viel Arbeit muss man leisten, um eine Punktförmige Ladung q von einem Punkt ~x
(|~x| > R) zum Punkt −~x zu verschieben?
(5 Punkte)
√
2. Betrachte zwei Vierecke bestehend aus dünnen Drähten mit Seiten s1 = 2a und s2 = 2a,
in welchen die Ströme J1 = J und J2 = −J fliessen. Die Drähte liegen in der xy-Ebene und
sind im Ursprung des Koordinatensystems zentriert. Das zweite Viereck ist um 90◦ relativ
zum ersten gedreht, so dass die vier Ecken des Zweiten die Seiten des Ersten genau in der
Mitte berühren (siehe Figur).
J1
J2
~ auf der z-Achse exakt. Spielt hier die Orientierung des
(a) Berechne das Magnetfeld B
zweiten Vierecks eine Rolle?
Hinweis:
Z a
1
2a
√
.
√
3 dx =
2+c
2
c
a
−a
c+x
(b) Berechne sowohl das Potential als auch das Magnetfeld in Dipolnäherung für beliebige
~x.
(5 Punkte)
3. Eine elektromagnetische Welle wird durch die folgenden Koeffizienten α1,2 (~k) beschrieben:
α1 (~k) =
2
2
2
2
2
E0
e−(kx +ky )/(2k0 ) e−(kz −k1 ) /(2k0 ) ,
2
3/2
(2πk0 )
α2 (~k) = 0
wobei E0 , k1 und k0 Konstanten sind, wobei k1 k0 .
(a) Bestimme die physikalische Dimensionen dieser drei Konstanten.
(b) Beschreibe qualitativ das Verhalten der Welle: in welche Richtung breitet sie sich
hauptsächlich aus? Wie ist das Licht polarisiert?
(c) Berechne die Gesamtenergie explizit.
Hinweis:
√ Z ∞
2
1)
π
k1
dk − (k−k
k1 k0 √
2
k0
=
−→
e
1 + erf
π.
k0
2
k0
0
(5 Punkte)
4. Betrachte zwei Ladungen q1 = q, q2 = 2q, die sich auf den folgenden Bahnen bewegen:
~r1 (t) = 2r0 [x̂ cos(ωt) + ŷ sin(ωt)]
~r2 (t) = r0 [ŷ cos(ωt) + ẑ sin(ωt)]
(a) Wie gross ist die Nahzone?
(b) Gib den expliziten Ausdruck der Lösung der Maxwellgleichungen in der Nahzone an
(ohne Strahlungsterme).
Hinweis: In der Nahzone gilt tret ≈ t.
(c) Gib den expliziten Ausdruck der abgestrahlten Leistung an. In welcher Richtung ist
diese bei t = 0 maximal? Verändert sich diese Richtung mit der Zeit? Wie?
(5 Punkte)