Kapitel H

H1
H Wärmetransport und Wärmeleitung
in bewegten fluiden Medien
Grundgleichungen der ThermoFluiddynamik
Lokale Bilanzgleichung einer extensiven Größe (Z) vgl. Kap.A14.
Strömendes fluides Medium (L,V), wärmeleitend, 1 Komponente.
Volumenelement, raumfest Ort x
x3
x1, x 2 , x 3 , Zeit (t).
V
z v, p v
:
x
jz
0
x2
x1
tzv
jz
,
t
t
zv
z
jz ,
pz
pv
(1)
x
,
1,2,3
... Dichte der Größe
1,2,3 ... Stromdichte von
... Pr oduktionsdichte von
Z , Z m3
Z , Z m 2s
Z , Z m 3s
H2
Charakteristische Felder von
x, t
x, t
kg m 3
...
Massendichte
ms
...
Geschwindigkeit
v
v
T
T x, t
K
...
Temperatur
u
u x, t
kJ kg
...
spez. Innere Energie
h
h x, t
kJ kg
...
spez. Enthalpie
N m2
...
Tensor der Normal
Schubspannungen
N m2
P
s
s x, t
,
1,2,3
Summenkonvention!
kJ kgK
und
vgl. Festigkeitslehre, Fluiddynamik
...
spez. Entropie
H3
Bestimmungsgleichungen für die charakteristischen Felder
1. Bilanzgleichungen (1)
1a.
Massenbilanz
zv
,
jz
v ,
pz
(1)
z
1
1,2,3
0
... Massenerhaltung
v
t
0
(B1)
Spezialfall : Inkompressible Flüssigkeit (
Wasser)
const
0
t
0
(B1)
v
0 ... Quellenfreiheit
div v
1b.
(B1a)
0
Impulsbilanz
Herleitung aus Newton-Bewegungsgleichung eines
Massenelementes (d m)
zv
v
jz
P
... Im pulsdichte in Richtung
v v
Spannungstensor
P
…
,
Achse
1,2,3 ... Im pulsstromdichte
konvektiver Impulsfluss
- Komponente der Spannung (d.h. Kraft pro
Flächeneinheit) die von der Umgebung auf die
Masse in Bezugsvolumen dx1dx 2 dx 3 am Ort
x1, x 2 , x 3 zur Zeit (t)auf eine Fläche ausgeübt
wird, deren Flächennormale in Richtung der Achse weist.
H4
Impulsproduktionsdichte
pz
F
,
1,2,3
F …
- Komponente der äußeren Kraft, die auf die
Masseneinheit des Fluides wirkt
Beispiel: Schwerkraft, Lorenzkraft etc
F1
F2
F3
FSchwerkraft
(1)
t
v
P
0
0
g
v v
m / s²
F ,
1,2,3 (B2)
9 neue unbekannte Felder!
Verknüpfung von P
mit
, v etc. über sog. Material - oder
Prozessgleichungen. Diese können nach der Methode der
Thermodynamik irreversibler Prozesse als Beziehungen zwischen
thermodynamischen „Flüssen“ und „Kräften“
d. h. gewissen Faktoren der Entropieproduktion p s im
strömenden Fluid gebildet werden.
Literatur:
1)
J. Kestin, A Course in Thermodynamics,
Vols. I; II; Blaisdell Publ. Coup.,
London, UK, 1968.
2)
S. Kjelstrup, D. Bedeaux, E. Johannessen, J. Gross
Non-Equilibrium Thermodynamics
for Engineers, World Scientific,
Singapour, 2010, p. 272.
H5
Entropieproduktion:
ps
pD
p
v
p
P
Vo l u m enänderung
v
Scherung
1
T
q
Wärmeleitung
Innere Reibung
Dynamischer Druck
pD
1
P11
3
P22
P33
(4)
Statischer Druck (Zustandsgleichung (Equation of State) EOS))
p
p
,T
(5)
„Materialbeziehungen“ für Spannungstensor P
1.
Symmetrie (Drehimpulssatz)
P
2.
P
,
,
1,2,3
(6)
Newton Gesetz über Scherspannungen
p
1
2
P
v
v
(7)
… dynamische Viskosität
3.
Isotropie – Annahme
P11
(4)
pD
p
P22
P33
v
(8)
(9)
(3)
H6
… „Volumenviskosität“
(6-9): 9 Beziehungen für P
.
Spezialfall:
const ,
(B2), (7,9)
Navier – Stokes – Gleichungen:
tv
v
v
p T,
Speicherterm Impulsfluß
1c.
const
,
0
v
F
(B2a)
Produktion / Verlust
Druckabfall, Reibung, Äußere Kräfte
Energiebilanz
Spezifische innere Energie
u
u x, t
Dichte der inneren Energie
zv
u x, t
(10)
Energiestrom
ju
uv
konvektiver Anteil
q
Wärmestromdichte
(11)
H7
Produktion innerer Energie
pu
P
(12)
v
Umwandlung der mechanischen Arbeit der inneren
Reibungspannungen in innere Energie
F1,F2 ,F3 liefern nur über die
(Äußere Kräfte F
Diffusionsströme in Mehrkomponentensystemen Beiträge zu p u ).
(1, 10-12)
t
u
uv
q
P
v
(B3)
Spezialfall von (B3) für „einfache Fluide“ konstanter Dichte:
1.
Inkompressibilität
x, t
2.
const
Kalorische Zustandsgleichung
u T,
u0
c
3.
(13)
c T
T0
O T
T0
2
(14)
const
Fourier Wärmeleitungsgesetz, vgl. Gl. (3):
q
T
const
(15)
H8
4.
Newton Reibungsgesetz, vgl. Gl.(7)
P
v
p
1
2
v
v
v
v
0...
Kronec ker Symbol
1...
(B1a,13)
(B3,13
P
v
1
2
v
v
v
(16)
16)
tT
x, t
v
T
a T
2
v
v
v
(B3a)
Temperaturleitungsgleichung für einfaches, bewegtes Fluid konstanter
Dichte.
Temperaturleitfähigkeit
a
const.
c
Dynamische Viskosität
const.
Kinematische Viskosität
const.
H9
Grundgleichungen der Thermo-Fluiddynamik
Felder
Gleichungen
Größe
Dichte
x, t
B1
Bilanzgleichungen
v
0
t
Masse
(Eichin var ianz)
Geschwin
digkeit
v x, t
B2
Innere
Energie
u x, t
B3
v
t
P
u
t
Spannungs
tensor
v v
,
P
uv
F
1,2,3
q
P
Im puls
(Ort sin var ianz)
v
P
En ergie
(Zeitin var ianz)
Drehimpuls
(Richtungsin var ianz)
Zus tan dsgleichungen
14
u
(13)
u0
c T
T0
O T
T0
2
const
Pr ozess
Wärme
strom
q x, t
(15)
q
Spannun gs
(7)
P
tensor
P
x, t
(9)
pD
und Tr an sportgleichungen
T x, t
p
1
2
...Fourier
v
v
...Newton
p ,T
v
1
4
pD
P11 P22 P33
...Stokes
3
Für Nicht-Newtonsche Fluide sind andere Prozessgleichungen
zu verwenden!
H10
Beispiel
Rohrströmung nach Hagen – Poiseuille
Wärmeleitung im Fluid (WL)
Wärmeübergang von Rohrwand auf das Fluid (WÜ)
Stationarität
Strömung ausgebildet über Rohrlänge
Laminarität, Rotationssymetrie
Keine äußeren Kräfte F
0
Rohr horizontal
, , ,c
Stoffdaten konstant
Modell
1.
Wärmestromdichte an der inneren Rohrwand
sei konstant q w
2.
(M1)
Druckgradient längs Rohrachse konstant.
zp
3.
const .
z
B
const,
B
const.
(M2)
Wandtemperatur Tw ändert sich linear mit der Rohrlänge:
Tw z
T0
T0
Tw (z
T
0), T
T0
z
Tw z
(M3)
H11
qw z
r
const
R
vz r
r
0
0
R
R
R
Gesuchte Feldgrößen:
1.
Geschwindigkeitsprofil der Strömung
v
v r, ,z, t
v
vr , v , vz
?
z
z
H12
Kontinuitätsgleichung (B1)
const
B1
div v
0
Zylinderkoordinaten
1
r
V:
1
r
rv r
r
v
zvz
0
(20)
Rotationssymmetrie,
Strömung voll ausgebildet, d.h. homogen in z-Richtung.
v r,
(20,21)
,z
v r
rv r
0
vr r
C
r
r
(21)
(22)
Haftbedingung des Fluids an Rohrwand
vr R
C
R
C
0
vr
0
0
(23)
(24)
Azimutgeschwindigkeit :
v
v
r
0
v
r
Grenzbedingungen
v
r
R
0
(25)
H13
v
r
0
r
R
Mögliche Verläufe von v r . Physikalische. Ursache bzw. treibende Kraft
für Rotation (Wirbelrohr)?
v
r
(26)
0
Achsialgeschwindigkeit:
vz
vz r
?
(27)
Bestimmung aus Impulsbilanz (B2) und Prozessgleichungen (7,9):
t vz
v grad vz
zp
+
vz
(28)
Stationarität
Zylinderkoordinaten:
vr
1
r
24,26,27
v
r
r
1
r
r r vz
r
r rvz
vz
1
r²
2
vz
rB
z
vz
zp
2
z vz
(29)
H14
Gewöhnliche Integration von (29)
r vz
r
B
2
C
r
vz r
r2
B
4
C ln r
(30)
D
(31)
Integrationskonstante C, D:
1.
Symmetriebedingung Roherachse r
r vz
r
r 0
(30)
2.
C
0 :
0
(32)
0
(33)
Haftbedingung am Rohrrand:
vz r
(31)
(31,33,35)
R
0
(34)
D
B 2
R
4
(35)
vz r
B 2
R 1
4
r
R
Hagen – Poiseuille – Gesetz
Paraboloidprofil der Strömungsgeschwindigkeit.
2
(36)
H15
Interpretation von B durch Betrachtung des Massen – bzw. Volumenstroms
der Strömung
R
m
V
2 r dr
vz r
r 0
(36)
2
m
B
r R2
0
8
(37)
8m
(38)
4
m
8
BR 4
Mittlere Strömungsgeschwindigkeit
V
(39,40)
B
z
(39)
vz
R 2 vz
(40)
8v z
(41)
R2
Druckgradient gemäß Annahme
zp
r 2 dr
B R4
R
V
R
B
4
8
vz
R2
M2
const.
(42)
H16
Temperaturprofil der Strömung:
T
T r, ,z, t
?
Energiebilanz (B3a), Zylinderkoordinaten:
tT
a
vr
1
r
r
1
v
r
r
1
r²
r rT
v
2
vz
2
v
z
T
2
zT
T
v
(44)
Dvis.
Vereinfachungen:
Stationarität
tT
Rotationssymmetrie
2
Reibungswärme klein
T
0
T
0
Dvis
(26)
v
0
(24)
vr
0
(44)
v z zT r,z
a
r
(36)
vz r
r
r r T r,z ,
B 2
R
4
0
0
a
c
const
(45)
r2
(45): PDE 2. Ordnung. Umwandlung in ODE durch Modellierung von
z T r,z über Wärmebilanz Massenelement
H17
Wärmebilanz Massenelement d
qw
const ... Wärmestromdichte
r
T r, z
dA
d :
R dm
du
z
z
geschätzter
Temperaturfeld
z
dz
R
Tw z
d
dV
R 2dz ... const
dm
dv
dA
2 Rdz
dU
dQ
c dm dT
qw
dA dt
c m dT
qw
dA
R 2 v zdT
qw
2 R dz
:
... const
(46)
Energiebilanz
dt
dT :
(46)
c
zT
(36,45,48)
4
qw
R
3
R2
r2 r
(47)
2q w
c Rv z
r
(47a)
const ... M1
r rT r,z
... ODE
(48)
(49)
H18
Gewöhnliche Differentialgleichung 2. Ordnung für T z, r
(49):
1.
Integration
4q w
r r T r,z
2.
R
3
r2
2
r4
4
C1
1
r
(50)
r2
R
4
r4
16
C1 ln r
C2
(51)
R2
Integration
4q w
T r,z
R3
2
Bestimmung der Integrationskonstanten C1,C2 :
1.
Zylindersymmetrie des Temperaturfeldes
rT
r,z
(50)
C1
... vgl. Figur
(52)
0
(53)
Modell für z – Abhängigkeit der Wandtemperatur
2.
r
0
r 0
R :
T R, z
Tw z
(54)
Annahme : Linearer Temperaturanstieg entlang der Rohrachse :
z Tw
z
z Tw
z
const
1
(55)
Tw z
T
Tw z
T0
0
(55a)
H19
(55a)
Tw z
T0
T
T0
z
...vgl. (M3)
Wandtemperatur nach (51) mit r
4q w
Tw z
3 4
R
16
R3
C2
Tw z
(51,57,56) T r,z
Tw z
Rohrachse-
(56)
R :
C2
(57)
4q w
3
R
16
qwR
4
r
R
4
r
4
R
2
3
RadialAbhängigkeit
Anwendung von (58):
Berechnung eines WÜ – Koeffizienten
Rohrwand – Fluid aus
Temperaturverteilung:
Definition:
Q
qw
Tw z
T r
0,z
A
Wand Rohrmitte
(58)
T r
0,z
(61)
(60,62) :
Problem:
qw
(58)
Tw z
4
Tw z
3R
3 qwR
4
T r
(60)
(61)
0,z
(62)
4
... Näherungswert
(63)
3R
1).Eigenschaften der Rohrwand werden nicht berücksichtigt.
2).Grenzverhalten R
… Platte
lim
R
0 ... ?
R