13th sheet

Quantenmechanik II
A. Riefer, H. Aldahhak, W.G. Schmidt([email protected], [email protected])
Übungsblatt 13 – Exercise 13
1. Die Greensche Funktion (0.5 Punkte)
The Green’s function
Mit der Methode der Greenschen Funktion lassen sich partielle Differentialgleichungen
der Form With the method of the Green’s function one can solve differential equations of the kind
h
i
L̂(~r) − z ψ(~r) = f (~r)
(1)
lösen. Die Lösung hat die Form The solution is given by
Z
ψ(~r) = ψ0 (~r) + G(~r − ~r0 )f (~r0 )d3 r0 ,
(2)
falls ψ0 (~r) die Lösung des homogenen Problems if ψ0 (~r) is the solution of the
homogenous equation
h
i
L̂(~r) − z ψ0 (~r) = 0
(3)
ist und G(~r − ~r0 ) die Greensche Funktion des Operators L̂ darstellt, d.h. die
Lösung der Gleichung and G(~r − ~r0 ) is the Green’s function of the operator L̂, i.e.
the solution of the equation
h
i
L̂(~r) − z) G(~r − ~r0 ) = δ(~r − ~r0 )
(4)
ist. Zeigen Sie, dass ψ(~r) Gl. (2) durch die Bedingungen Gln. (3) und (4) die
Lösung von Gl. (1) ist. Show that ψ(~r) eq. (2) is the solution of eq. (1), if the
conditions eqn. (3) and (4) hold.
1
2. Poisson-Gleichung (3 Punkte)
Poisson equation
Lösen Sie die Poisson-Gleichung Solve the Poisson equation
∆φ(~r) = −
ρ(~r)
.
0
(5)
Hinweise: Setzen Sie Fouriertransformation ein, um die k-Raum Darstellung der
Greenschen Funktion G(~k) zu erhalten. Sie bekommen nach der Fouriertransformation von Gl. (5) eine algebraische Gleichung für G(~k). Über die Rücktransformation
kann G(~r − ~r0 ) bestimmt werden. Bei der k-Raum Integration ist es hilfreich
Kugelkoordinaten und den Kosinussatz zu verwenden.
Hints: Use Fourier-transformation to obtain an expression for the k-space Green’s
function G(~k). After the Fourier-transformation of eq. (5) one obtains an algebraic
equation for G(~k). Applying the back transformation G(~r −~r0 ) can be determined.
It is helpful to use spherical coordinates and the cosine rule to perform the k-space
integration.
Sie können verwenden: You can use:
Z ∞
sin(k)
1
dk
= π.
(6)
k
2
0
3. Greensche Funktion vs Propagator (3 Punkte)
Green’s function vs propagator
Die zeitabhängige Greensche Funktion des Hamilton-Operators HF eines freien
Teilchens lässt sich schreiben als [vgl. Gl. (6.54) im Skript]: The time-dependent
Green’s function of the Hamilton-operator HF of a free particle can be written as
[cf. eq. (6.54) in the lecture notes]:
Z
d3 k ∗ 0
i ~
R
0
0
0
G (~r, ~r , t−t ) = −i
φ (~r )φk (~r) exp − Ẽ(k)(t − t ) mit with t−t0 > 0.
(2π)3 k
~
(7)
φk (~r) und Ẽ(~k) = E(~k) − iδ bilden in Gl. (7) das (kontinuierliche) Spektrum
der Eigenfunktionen und Eigenwerte von HF . Berechnen Sie GR (~r, ~r0 , t − t0 ) (für
δ → 0) explizit und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Propagator eines 3-d
freien Teilchens [Gl. (5.89) im Skript]. Bei der k-Raum-Integration ist es sinnvoll
jede kartesiche Richtung nacheinander zu bearbeiten. Sie können die Integrale
aus Übungsblatt 12 verwenden. φk (~r) und Ẽ(~k) = E(~k) − iδ in eq. (7) are the
(continuous) spectrum of the eigenfunctions and eigenvalues of HF . Calculate
GR (~r, ~r0 , t − t0 ) (for δ → 0) explicitly and compare the result with the propagator
of a 3-d free particle [eq. (5.89) in the lecture notes]. Performing the k-space
integration it is usefull to integrate the cartesian components in sequence. You
can use the integrals of exercise sheet 12.
2
4. Funktionalableitungen (1.5 Punkte)
Functional derivatives
Es sei F : Φ → K ein Funktional. Φ ist dabei die Menge aller Funktionen φ, d.h.
Φ = {φ : Kn → K}. Für K gilt: K ∈ {R, C}.
Suppose F : Φ → K is a functional. Φ is, thereby, the set of all functions φ, i.e.
Φ = {φ : Kn → K}. For K, it applies K ∈ {R, C} .
Die Ableitung eines Funktionals ist folgendermaßen definiert: The derivation of a
functional is now defined as follows:
δF [ϕ]
F [ϕ(x) + δ(x − x0 )] − F [ϕ(x)]
= lim
.
(8)
→0
δϕ(x0 )
Berechnen Sie die Funktionalableitungen für folgende Funktionale:
Calculate the functional derivatives of the following functionals:
a) F [ϕ] = ϕ(x)
b) F [ϕ] = ϕ2 (x) = ϕ(x)ϕ(x)
c) F [ϕ] = ϕp (x)
R
d) F [ϕ] = A(x)ϕ(x)dx
R
e) F [ϕ] = ϕ2 (x)dx
5. Thomas-Fermi-Modell (1+1+2 Punkte)
Thomas-Fermi model
Das Thomas-Fermi-Modell kann verwendet werden um effektive Potentiale für
Selbstkonsistenz-Rechnungen zu ermitteln. Ziel dieser Aufgabe ist es, eine partielle Differentialgleichung (Thomas-Fermi-Gleichung) für das effektive Potential
herzuleiten. Betrachten Sie dazu die Gesamtenergie aller Elektronen im Atom mit
der Ordnungszahl Z im Rahmen des Thomas-Fermi-Modells: The Thomas-Fermi
model can be applied to obtain effective potentials for self-consistent calculations.
The task of this exercise is to derive a partial differential equation (Thomas-Fermi
equation) for the effective potential. Therefore, consider the total energie of the
electrons of an atom with the atomic number Z within the Thomas-Fermi model:
Z
Z
Z
Z
e2
ρ(~r)ρ(~r0 )
ρ(~r)
2
E[ρ] = κ d3 rρ(~r)5/3 +
d3 r d3 r0
−
e
Z
d3 r
(9)
0
2
|~r − ~r |
r
mit with κ =
~2 5/3 4/3
π
10m 3
und der Elektronen-Dichte and the electron density ρ(~r).
a) Leiten Sie eine Gleichung zur Bestimmung der Grundzustandsdichte her. Derive an equation to determine the groundstate density.R Berücksichtigen Sie
dabei die Nebenbedingung Incorporate the constraint d3 rρ(~r) = Z durch
den Lagrangeschen Multiplikator by the Langrangian multiplier λ.
b) Ausgehend vom Ergebnis aus Aufgabe (a) können Sie das effektive Potential
φ definieren Based on your result of exercise (a) you can define an effective
potential:
Z
ρ(~r0 )
Z
2
2
−e φ([ρ], ~r) := e
d3 r0
− e2 + λ
(10)
0
|~r − ~r |
r
3
Verwenden Sie die Feldgleichung ∆φ = 4πρ(~r) (r 6= 0) um eine partielle
Diffentialgleichung für φ herzuleiten. Use the field equation ∆φ = 4πρ(~r)
(r 6= 0) to derive a partial differential equation for φ.
c) Es folgt die Untersuchung der Randbedingungen. Now consider the boundary
conditions.
i. Zeigen Sie, dass Show that
λ = 0 wegen because of lim ρ(~r) = 0.
r→∞
(11)
Sie können für den Ausdruck
R 3 0 ρ(~r)You can use the monopole approximation
for the expression
d r |~r−~r0 | für for r → ∞ die Monopol-Näherung
verwenden.
ii. Das Potential φ soll sich für r → 0 wie Zr verhalten, d.h. es gilt The
potential φ shall behave like Zr for r → 0, i.e.:
lim rφ(~r) = Z.
r→0
(12)
Bestimmen Sie zusätzlich die Randbedingung für rφ(~r) für r → ∞. Determine additionally the boundary condition for rφ(~r) for r → ∞.
4