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Halbleiter im Nichtgleichgewicht
Die wichtigste Größen, die wir bisher behandelt haben, sind die Ladungsträgerdichten. Wir haben uns diese Größen für den Fall des intrinsischen und dotierten Halbleiter angeschaut und ihre Abhängigkeit von verschiedenen Faktoren untersucht. Zwar
haben wir die Leitfähigkeit eingeführt, sonst aber wenig Worte über Ströme verloren.
Größen wie die Temperatur, die Teilchendichte und die elektrischen Potentiale waren
bisher im ganzen Halbleiter konstant, der Zustand in Bezug auf diese Größen also
stationär. Da vollkommen stationäre Bauelemente ziemlich witzlos sind, wollen wir
uns im vorliegenden Kapitel der Dynamik in Halbleitern widmen. Das bedeutet vor
allem, dass wir uns um Ungleichgewichtszustände kümmern, vor allem um Potentialungleichgewichte und Ungleichgewichte in den Ladungsträgerdichten. Dann nämlich
fließen Ströme.
Außerdem können durch verschiedene Prozesse freie Ladungsträger erzeugt oder
vernichtet werden (zum Beispiel durch die Absorption oder Emission von Licht), solche Effekte werden in Dioden, Transistoren und Laser ausgenutzt.
Wir widmen uns vor allem drei Phänomenen:
•
•
•
Dem durch ein Feld erzeugten Strom von Ladungsträgern (diesen Effekt haben wir im Rahmen der Untersuchung der Leitfähigkeit bereits kennen gelernt),
dem Strom, der entsteht, wenn sich Ungleichverteilungen von Ladungsträgern
durch thermische Bewegung ausgleichen und
verschiedenen Prozessen, wie Elektron-Lochpaare entstehen und vergehen
können.
Am Ende dieses Abschnitts sind wir dann in der Lage, ein paar fundamentale Gleichungen aufzustellen und zu verstehen, mit denen man zahlreiche Situationen in
Halbleiterbauelementen behandeln kann.
8.1 Der Driftstrom
Im Halbleiter existieren geladene, bewegliche Teilchen. Wenn man ein Feld anlegt,
werden sich diese in Bewegung setzen und einen Strom generieren. Im allgemeinen
Fall tragen sowohl Löcher als auch Elektronen zum Strom bei, wir erhalten:
JG
JG
JG
J F = J n,F + J p,F
8.1-1
Hier steht der Index F für Feldstrom. Im Kapitel 6 haben wir gelernt, wie die Feldstromdichte von der Ladungsträgerbeweglichkeit µ abhängt, wir erhielten:
JG
G
G
JG
J F = −env n + epv p = ⎡⎣en µn + epµ p ⎤⎦ E
8.1-2
146
Und haben die Leitfähigkeit σ eingeführt. Damit folgt schlussendlich:
JG
JG
JF = σ E
8.1-3
Der Mechanismus ist in der Abbildung 8.1-1 veranschaulicht. Beim Anlegen einer
Spannung an den Halbleiterkristall bewegen sich die Elektronen zur Anode, die Löcher zur Kathode. Beide Effekte ziehen einen Strom in die gleiche Richtung nach
sich. Im Banddiagramm führt ein Feld zu einer Verkippung der Bänder. Ein homogenes Feld führt zu linear steigenden oder fallenden Bändern (Abbildung 8.1-2:).
Abbildung 8.1-1: Schema des Stromtransports
im Halbleiter – den Strom kann man sich als
aus zwei Komponenten zusammengesetzt
vorstellen. Die Löcher und die Elektronen bewegen sich aufgrund der gegensätzlichen
Ladung zu gegensätzlichen Elektroden. Beide
Anteile addieren sich jedoch, ebenfalls aufgrund der gegensätzlichen Ladung, gleichsinnig auf.
Abbildung 8.1-2: Verkippung der Bänder durch
angelegtes
elektrisches
Feld.
8.2 Der Diffusionsstrom
Stellen wir uns eine ortsabhängige Verteilung der Ladungsträger vor. Schematisch
sehen wir diesen Fall in Abbildung 8.2-1. Zwei Bereiche mit unterschiedlicher Teil-
147
chendichte unbekannter Art werden in Berührung gebracht. Die Teilchen führen
thermische Bewegungen aus, die in alle Richtungen statistisch verteilt sind. Diese
thermischen Bewegungen führen dazu, dass Teilchen die Grenze passieren und so
von einem Bereich in den anderen wechseln. Da aber auf der einen Seite der Grenze
mehr Teilchen umherschwirren als auf der anderen, werden zunächst mehr Teilchen
in den Bereich mit niedrigerer Teilchendichte wandern als umgekehrt. Dieser Teilchenstrom wird solange andauern, bis die Teilchendichten sich in beiden Bereichen
angenähert haben (Abbildung 8.2-1). Im Falle von Ladungsträgern geht mit der Bewegung der Teilchen ein Strom einher. Dieser Strom heißt Diffusionsstrom, weil es
sich bei der Wanderbewegung um einen Diffusionsprozess handelt. Anzumerken ist,
dass nicht etwa die elektrische Abstoßung der Ladungsträger zu dem Strom führt,
sondern die oben geschilderte Tendenz, Ungleichverteilungen in den Dichten auszugleichen. Es handelt sich hier um das grundlegende Phänomen der Diffusion.
Abbildung 8.2-1: Diffusion – zwei Behälter enthalten verschiedene Dichten eines Stoffes (oberes
Bild). In beiden Fällen bewegen sich die Teilchen
thermisch, mit gleicher Wahrscheinlichkeit in alle
Richtungen. Wie stark hängt von der Temperatur
ab und von der Beweglichkeit der Teilchen in ihrer
Umgebung. Wenn beide Behälter in Kontakt gebracht werden, können sich die Teilchen im ganzen Raum bewegen. Im mittleren Bild erkennt
man, dass in diesem Fall mehr Teilchen in die
geringer bevölkerte Zone links wandern als in
umgekehrte Richtung. Je nach Material und Temperatur stellt sich nach einiger Zeit ein Gleichgewicht ein, in dem die Dichte im ganzen Volumen
gleich ist. Natürlich bewegen sich die Teilchen
weiter, so dass Fluktuationen in der lokalen Dichte
auftreten können. Bei sehr großen Teilchenanzahlen sind jedoch starke Abweichungen sehr unwahrscheinlich.
Wie können wir einen solchen Strom quantifizieren? Dazu stellen wir uns den eindimensionalen Fall aus Abbildung 8.2-2 links vor. Die Ladungsträgerdichte ist über
dem Ort aufgetragen.
148
Abbildung 8.2-2: Herleitung des Diffusionsstroms – auf der linken Seite ist eine ortsabhängige Teilchendichte aufgetragen. Wir betrachten zwei Punkte etwas links und rechts vom Ursprung.
Auf der rechten Seite wird die Annäherung des Dichteprofils durch eine Taylorentwicklung illustriert.
Wie beschränken uns auf Terme erster Ordnung, nähern die Kurve an dem interessanten Punkt also
durch eine Gerade an, die die Steigung der Ableitung des Ladungsträgerdichteverlaufs an diesem
Punkt. Eine linear abnehmende Teilchendichte führt zu einem konstanten Diffusionsstrom in Richtung
der geringeren Teilchendichte.
Wir nehmen nun an, alle Elektronen hätten die mittlere thermische Energie vth. An
jeder Stelle wird die Hälfte der Elektronen mit dieser Geschwindigkeit nach rechts,
die andere Hälfte nach links wandern. Den Durchfluss durch den Ursprung kann man
sich also als Summe der Flüsse nach rechts an der Stelle x=-∆l ein wenig links vom
Ursprung abzüglich dem Fluss nach links an der Stelle x=+∆l ein wenig rechts vom
Ursprung vorstellen. Mit den Elektronendichten n(-∆l) und n(+∆l) folgt für den Fluss
F(0) am Ursprung:
F (0) = F ( −∆l ) − F ( +∆l ) =
1
v th ( n( −∆l ) − n( +∆l ) )
2
8.2-1
Wenn wir ∆l sehr klein wählen, können wir die beiden Flüsse durch die ersten zwei
Glieder einer Taylorreihe approximieren:
F ( −∆l ) =
F ( ∆l ) =
1
1 ⎛
dn ⎞
v th n( −∆l ) ≈ v th ⎜ n(0) − ∆l
2
2 ⎝
dx ⎟⎠
8.2-2
1
1 ⎛
dn ⎞
v th n( ∆l ) ≈ v th ⎜ n(0) + ∆l
2
2 ⎝
dx ⎟⎠
8.2-3
Wieder in Gleichung 8.2-1 eingesetzt erhalten wir:
F (0) ≈
1 ⎛
dn
dn ⎞
dn
dn
v th ⎜ n(0) − ∆l
− n(0) − ∆l
= −v th ∆l
= −Dn
⎟
2 ⎝
dx
dx ⎠
dx
dx
8.2-4
Da jedes Elektron eine Ladung –e0 trägt, folgt für den resultierenden Strom:
J n,D = e0Dn
8.2-5
dn
dx
149
Der Index D steht im Folgenden für Diffusion. Für Löcher führen analoge Überlegungen zu:
J p,D = −e0Dp
8.2-6
dp
dx
Im Gegensatz zum Driftstrom zeigen die Diffusionsströme für Elektronen und Löcher
bei gleicher Verteilung der Ladungsträger somit in verschiedene Richtungen. Im
Dreidimensionalen erhalten wir:
JG
J n,D = e0Dn ∇n
8.2-7
Und
JG
J p, D = −e0Dp∇p
8.2-8
Der Diffusionsstrom ist folglich proportional zum Gradienten in der Ladungsträgerdichte. Eine solche Abhängigkeit findet man auch für andere Diffusionsprozesse Die
Konstante D bezeichnet man als Diffusionskonstante. Die Diffusionskonstante hängt
mit der Ladungsträgerbeweglichkeit zusammen:
D=
8.2-9
kBT
µ
q
Hier kann q die Ladung eines Lochs oder eines Elektrons bedeuten. Diese als Einstein-Relation bezeichnete Gleichung verknüpft die Driftkonstante (Beweglichkeit) mit
der Diffusionskonstante. Durch diese beiden Parameter wird der Ladungstransport
im Halbleiter beschrieben.
8.3 Generation und Rekombination
Bisher haben wir uns mit Strömen befasst, also der Bewegung freier Ladungsträger.
Die Anzahl der freien Ladungsträger bleibt bei Stromfluss konstant, sie ändern nur
ihren Aufenthaltsort. Wir haben aber schon gesehen, dass durch thermische Anregung ein Elektron vom Valenzband ins Leitungsband gehoben werden kann. Dieser
Prozess erzeugt ein Paar freier Ladungsträger. Man bezeichnet ihn als Generation.
Zahlreiche physikalische Prozesse können zur Generation führen, einige bedeutende
werden wir uns im folgenden Abschnitt genauer anschauen. Der gegenläufige Prozess, das Verschwinden von Ladungsträgern, kann ebenfalls vorkommen, wir sprechen von Rekombination. Es soll betont werden, dass die Ladungsträger natürlich
erhalten bleiben, sie werden nicht erzeugt oder vernichtet, sondern lediglich in Zustände gebracht, in denen sie als quasifrei bezeichnet werden können oder aus solchen Zuständen entfernt. Da Generation und Rekombination über einen bestimmten
Kanal zusammengehören, werden wir sie zusammen behandeln. Quantifiziert wer-
150
den die Prozesse durch Generationsraten g und Rekombinationsraten r. Diese Größen sind inverse proportional zu den jeweiligen Lebensdauern τ. Der Begriff Lebensdauer bezeichnet hier die durchschnittliche Zeit, bis ein Elektron den Generationsoder Rekombinationsprozess durchmacht. Eine strahlende Lebensdauer (der Begriff
wird gleich erklärt) von 10 ns bedeutet daher, dass es durchschnittlich 10 ns dauert,
bis ein angeregtes Elektron strahlend rekombiniert. Wie schon häufig ist das ein statistischer Wert, einzelne Elektronen können viel schneller oder langsamer rekombinieren. Für einen Generationsprozess ist der Begriff Lebensdauer vielleicht etwas
unpassend, er soll aber trotzdem im Weiteren verwendet werden.
8.3.1 Gleichgewicht
Grundsätzlich hatten wir dieses Kapitel unter die Überschrift „Ungleichgewichtszustände“ gestellt. Und in der Tat, Generation und Rekombination verändern die Dichten der freien Ladungsträger, sorgen also für Dynamik. Trotzdem können wir
makroskopisch davon sprechen, dass der Halbleiter im thermischen Gleichgewicht
ist, obwohl ständig Generations- und Rekombinationsprozesse stattfinden. Generationsraten und Rekombinationsraten müssen im thermischen Gleichgewicht gleich
sein, sonst ändert sich die Ladungsträgerdichte. Da diese Raten nur Durchschnittswerte sind, kommt es natürlich trotzdem zu Fluktuationen. Da wir meistens mit großen Ladungsträgerzahlen arbeiten, hilft uns wieder einmal die Statistik. Das Gesetz
über die großen Zahlen sagt, dass große Abweichungen vom Mittelwert sehr unwahrscheinlich sind. Daher können wir beruhigt von einem konstanten Makrozustand
ausgehen, auch wenn zahlreiche Prozesse ablaufen, die die Ladungsträgerdichten
ändern.
Thermodynamische Überlegungen fordern aber nicht nur, dass die Gesamtraten für
Generation und Rekombination gleich sind, sondern auch, dass die jeweiligen Raten
der einzelnen Kanäle übereinstimmen. Gleichgewicht bedeutet somit, dass für jeden
einzelnen Prozess
g P = nP
8.3-1
gilt. Ansonsten könnten wir mit unserem Halbleiter Zustände hervorrufen, die den
Grundsätzen der Thermodynamik widersprechen.
8.3.2 Optische Generation
Photonen tragen die Energie:
W = hν
8.3-2
Absorbiert also ein Elektron im Valenzband ein Photon mit passender Energie, kann
es ins Leitungsband angeregt werden. Es entsteht ein Elektron-Loch-Paar. Der Begriff „passende Energie“ bezieht sich darauf, dass ein erlaubter und freier Zustand mit
151
der entsprechenden Energie, den das Elektron nach dem Absorptionsprozess einnehmen kann, vorhanden sein muss. In Abbildung 8.3-1 ist ein solcher Prozess dargestellt.
Abbildung 8.3-1: Absorption eine Photons – ein Elektron im Valenzband absorbiert ein Photon und
erhöht seine Energie um die des Photons. Das Elektron befindet sich nach der Absorption in einem
höheren Zustand. Allerdings ist eine Absorption nur möglich, wenn der höherenergetische Zustand im
Halbleiter auch erlaubt und frei ist. Ein Elektron an der oberen Kante des Valenzbands kann also nur
Photonen absorbieren, deren Energie mindestens der Bandlückenenergie entspricht. Photonen niedrigerer Energie werden nicht absorbiert, der Kristall ist für diese transparent.
An dieser Stelle muss aber darauf hingewiesen werden, dass das vereinfachte
Banddiagramm einige Eigenheiten des Halbleiters nicht abbildet. Wenn wir uns den
Bandverlauf im W-k-Diagramm, zum Beispiel für Silizium ansehen, machen wir eine
Feststellung, auf die wir schon vor einiger Zeit hingewiesen haben: Der tiefste Punkt
im Leitungsband und der höchste im Valenzband liegen bei verschiedenen k-Werten.
Damit verbunden ist aber auch ein unterschiedlicher Gitterimpuls. Genauer gesagt
unterscheiden sich die beiden Punkte gerade um
kdiff =
2π
a
8.3-3
Hier bezeichnet a die Gitterkonstante. Das Photon trägt auch einen Impuls, nämlich:
kPh =
2π
8.3-4
λ
Das Dilemma wird sichtbar, wenn man bedenkt, dass die Gitterkonstante des Kristalls sich im Bereich von 0,5 nm bewegt, die Wellenlänge von sichtbarem Licht dagegen zwischen 400 nm und 800 nm. Der Photonenimpuls ist also viel kleiner als der
Unterschied zwischen den Gitterimpulsen. Da aber neben der Energie auch der Impuls erhalten sein muss, kann kein Elektron durch Absorption eines Photons mit der
Bandlückenenergie ins Leitungsband gelangen. Die Impulse von sichtbaren Photonen sind zu klein, Photonenabsorptionen sind also senkrechte Linien im Wellenvektor-Energie-Diagramm. Um die Impulsänderung zu erreichen, benötigt man einen
dritten Stoßpartner. Diesen Part kann zum Beispiel ein Quantum der Gitterschwin-
152
gung, ein Phonon übernehmen. Diese haben üblicherweise zwar einen großen Impuls, aber wenig Energie. Da jetzt Photon, Phonon und Elektron zur gleichen Zeit
benötigt werden, ist ein solcher Übergang sehr unwahrscheinlich. Ein direkter optischer Übergang ist nicht möglich, deshalb nennt man Silizium einen indirekten Halbleiter. Anders ist die Situation beim GaAs. Hier liegen die Extrema des Valenz- und
des Leitungsbands beim gleichen Gitterimpuls. Ein Photon mit der Bandlückenenergie kann also problemlos absorbiert werden, daher ist GaAs ein direkter Halbleiter.
Diese Einschränkung bedeutet natürlich nicht, dass Silizium gar kein Licht absorbieren kann. Vergrößert man nämlich die Energie des einfallenden Photons, so sieht
man, dass ab einer bestimmten Energie auch oberhalb des Valenzbandminimums
wieder erlaubte Zustände liegen, genauso kann natürlich an jedem anderen Punkt
durch ein passendes Photon ein erlaubter Zustand im Leitungsband erreicht werden
(Abbildung 8.3-3:).
Abbildung 8.3-2: Absorption im direkten Halbleiter
– Photonen tragen nur wenig Impuls, ihre Absorption führt also zu senkrechten Übergängen im Wk-Diagramm. Im direkten Halbleiter findet ein Elektron, dass an der Valenzbandkante ein Photon
mit der Bandlückenenergie absorbiert, einen freien
Zustand im Leitungsbandminimum.
Abbildung 8.3-3: Absorption Teil II – im indirekten Halbleiter liegen das Maximum des Valenzbands
und das Minimum des Leitungsband bei unterschiedlichen Wellenvektoren. Ein Photon mit der Bandlückenenergie kann folglich nicht absorbiert werden, ohne dass das Elektron gleichzeitig noch seinen
Impuls verändert. Dies kann zum Beispiel durch die Absorption eines Phonons geschehen. Da eine
solche gleichzeitige Absorption zweier Teilchen aber wenig wahrscheinlich ist, treten solche Ereignisse
kaum auf.
153
Entscheidend für die Absorption ist neben der Dichte der einfallenden Photonen der
passenden Wellenlänge die Dichte der erlaubten freien Zustände bei der entsprechenden Energie. Die Stärke der Absorption hängt proportional von dieser Zustandsdichte ab. Daher erwarten wir im direkten Halbleiter im Bereich der Bandlücke einen
wurzelförmigen Verlauf der Absorption, der die Zustandsdichte im Leitungsband widerspiegelt. Sind die Zustände jedoch besetzt, so kann auch bei hoher Zustandsdichte, die Absorption schwach sein, da die angeregten Elektronen keine freien Plätze
finden. In Abbildung 8.3-4: ist die spektrale Absorption eines Halbleiterkristalls aufgetragen.
Abbildung 8.3-4: Abhängigkeit der Absorption von
der Energie. Die Wahrscheinlichkeit einer Absorption hängt direkt von der Dichte der freien Zustände im Leitungsband ab. Wir haben gesehen, dass
diese im dreidimensionalen Kristall wurzelförmig
ist. Wir erwarten also auch einen wurzelförmigen
Verlauf der Absorption.
8.3.3 ...und Rekombination
Der Prozess der Absorption kann auch in umgekehrter Richtung verlaufen: Ein Elektron fällt von einem Zustand im Leitungsband ins Valenzband zurück und strahlt die
überschüssige Energie in Form eines Photons ab. Diesen Vorgang nennt man Emission. Die Überlegungen bezüglich des Impulses aus dem letzten Abschnitt haben
auch hier Gültigkeit. In indirekten Halbleitern wird sehr viel weniger Emission im Bereich der Bandlücke zu beobachten sein, weil auch hier ein Dreierstoß mit Elektron,
Photon und Phonon nötig ist (Abbildung 8.3-5:).
154
Abbildung 8.3-5: Spontane Emission – ähnlich wie bei der Absorption findet man im direkten und indirekten Halbleiter stark unterschiedliches Verhalten. Während die Elektronen im direkten Halbleiter
(linkes Bild) direkt mit einem Loch im Valenzband rekombinieren können, muss im indirekten Halbleiter
wieder ein Phonon dazukommen. Da das sehr unwahrscheinlich ist, werden die Elektronen vorher auf
anderen Wegen rekombinieren.
Aus diesem Grund ist es ziemlich schwierig, Silizium (indirekter Halbleiter) zur Emission von Licht in nennenswerten Mengen zu bringen. Daher muss man beim Bau von
Leuchtdioden (LEDs) oder Laserdioden (LDs) auf direkte Halbleiter zurückgreifen,
die meist aus der Gruppe der Verbindungshalbleiter stammen. Wir haben festgestellt,
dass unter normalen Betriebsbedingungen die meisten freien Ladungsträger in der
Nähe der Bandmaxima verweilen. Aus diesem Grund ist zu erwarten, dass die Frequenz, also die Farbe, der emittierten Photonen aus einem Halbleiter im Bereich der
Frequenz liegt, die der Bandlückenenergie entspricht:
νe =
8.3-5
WG
h
Die Bandlücke hängt zwar geringfügig von vielen Parametern ab, ist aber prinzipiell
eine Materialkonstante. Daher legt in einfachen Bauteilen das verwendete Material
die Farbe der Emission fest. Manche Frequenzen liegen zufällig im Bereich der
Bandlückenenergie der verbreiteten Halbleiter, andere wiederum sind nur mit zahlreichen technologischen Kniffen oder bisher noch gar nicht zu erreichen. Eine Auflistung der gängigen Halbleitermaterialien und ihrer Bandlücken findet man in
Abbildung 8.3-6. Will man die Emission quantitativ beschreiben, muss man zwei Typen unterscheiden:
155
Abbildung 8.3-6: Die Bandlücke eines Halbleiters bestimmt die Farbe des Lichts, das er emittieren
kann. Im obenstehenden Diagramm sind die Bandlücken einiger wichtiger Halbleiter aufgetragen. Neben der Bandlücke ist die Gitterkonstante gezeigt. Dieses ist interessant, da nur Halbleiter mit ähnlichen Gitterkonstanten aufeinander gewachsen werden können.
8.3.3.1 Spontane Emission
Als „spontan“ bezeichnet man die Emission die ohne äußeren Anlass von statten
geht. Ein angeregtes Elektron rekombiniert nach einer gewissen Zeit unter Aussendung eines Photons. Die Lebensdauer eines angeregten Zustands und die Rekombinationsrate hängen von zwei Faktoren ab:
•
•
Der Dichte der angeregten Zustände, das heißt der Elektronen im Leitungsband, n
und der Dichte der freien Zustände im Valenzband, also der Löcher, p
Mit diesen Dichten erhalten wir:
rsp = B ⋅ n ⋅ p
8.3-6
Mit der Proportionalitätskonstante B. Was aber ist der Auslöser, der das Elektron dazu bewegt, „spontan“ seine Anregungsenergie abzugeben? Diese Frage ist nicht einfach, wie der Name schon sagt war der Mechanismus der spontanen Emission lange
unbekannt. Erst quantenmechanische Rechnungen machten die Bestimmung von
τopt möglich. Der Auslöser von spontaner Emission sind leichte Feldfluktuationen.
156
Das elektrische und magnetische Feld sind über eine Unbestimmtheitsrelation verknüpft. Es ist daher unmöglich, dass beide gleichzeitig genau bestimmt sind. Daraus
folgt dann, dass ein „elektromagnetisches Vakuum“, also ein Bereich in dem beide
Größen gleich Null sind, nicht möglich ist. Auch wenn die Felder im Mittel Null sind,
gibt es kleine und kurze Fluktuationen, diese können ein angeregtes Elektron zur
Emission eines Photons bringen.
8.3.3.2 Stimulierte Emission
Für die spontane Emission sind also Feldfluktuationen verantwortlich. Es können aber auch andere Störungen eine Emission verursachen. Ein wichtiges Beispiel für
einen induzierten Emissionsvorgang ist die durch Photonen ausgelöste Emission.
Dieser Vorgang nennt man stimulierte Emission (Abbildung 8.3-7). Ein interessanter
Aspekt hierbei ist, dass das neu erzeugte Photon dem stimulierenden exakt gleicht.
Diese Gleichheit umfasst nicht nur die Frequenz, sondern auch die Richtung und die
Phase. Im Gegensatz zu den Elektronen, bei denen ein solcher Zustand durch ihre
Fermionen-Eigenschaft verboten ist, bevorzugen die Photonen als Bosonen einen
Zustand mit gleichen Quantenzahlen. Stimulierte Emission ist die Voraussetzung für
Lasertätigkeit. Das Licht eines Lasers zeichnet sich ja gerade dadurch aus, das es
nur ein schmales Frequenzspektrum enthält und außerdem gerichtet und in Phase
ist. Im Falle spontaner Emission sind Phase und Richtung statistisch verteilt.
L
L
V
V
Abbildung 8.3-7: Stimulierte Emission – ein Photon verursacht die Rekombination eines Elektrons im
Leitungsband mit einem Loch. Dabei entsteht ein weiteres Photon, das dem ersten exakt gleicht. Sowohl die Frequenz, als auch die Richtung und die Phase gleichen sich.
Für die stimulierte Emissionsrate können wir auch einen Term angeben. Die Überlegungen bezüglich freier und besetzter Plätze gelten in gleichem Maße wie im Falle
spontaner Emission. Zusätzlich benötigen wir noch einen Term, der die Dichte der
einfallenden Photonen NPh beinhalten. Damit folgt:
rst = A ⋅ N ph ⋅ n ⋅ p
8.3-7
157
8.3.3.3 Thermische Generation
Durch thermische Hintergrundstrahlung werden ständig Elektronen-Loch-Paare erzeugt. Die Rate ist von der intrinsischen Ladungsträgerdichte abhängig. Wir erhalten:
g th = B ⋅ ni2
8.3-8
Im thermischen Gleichgewicht sind die spontanen Rekombinationsraten und die
thermische Generationsraten gleich.
8.3.4 Störstellenrekombination
Ein weiterer wichtiger Kanal für die Erzeugung beziehungsweise Rekombination von
Ladungsträgerpaaren geht über Störstellen. Prinzipiell handelt es sich um einen
thermischen Effekt, der aber durch das Vorhandensein von Störstellen katalysiert
wird. Als Störstellen bezeichnet man erlaubte Energieniveaus in der Bandlücke. Diese können durch Fremdatome eingebracht werden, aber auch durch Kristallfehler wie
Fehlstellen und Versetzungen. Der Rekombinationsprozess ist in Abbildung 8.3-8:
verdeutlicht, es ist ein zweistufiger Ablauf. Zunächst wird das Elektron von der Störstelle eingefangen und rekombiniert in einem weiteren Schritt mit einem Loch des
Valenzbands. Daher spricht man auch von indirekter Rekombination. Die Anregungsenergie des Elektrons geht meistens als Wärmeenergie (Phononen) ins Gitter
über. In gleicher Weise kann eine Störstelle die Entstehung eines ElektronenLochpaares unterstützen. Man kann zeigen, dass besonders Störstellen in der Mitte
der Bandlücke diesen Prozess begünstigen. Für die Raten dieses Prozesses erhält
man:
Abbildung 8.3-8: Störstellenrekombination, Störstellengeneration. Verschiedene Prozesse der
Erzeugung und Vernichtung von freien Ladungsträgern sind im linken Diagramm zu sehen. Ein
Rekombinations- oder Generationsprozess besteht aus zwei dieser Prozesse, zum Beispiel
dem Übergang eines Loches in den Störstellenzustand (3) und dem anschließenden Übergang
des Elektrons von der Störstelle ins Valenzband
(2).
rT = C ⋅ NT
8.3-9
158
Mit der Dichte der Störstellen (Fallenzustände) NT . Der Ausdruck 8.3-9 beruht auf
der Annahme, dass ein Gleichgewichtszustand vorliegt, der nur durch eine kleine
Störung überlagert wird. Dann wird diese Störung mit der in Gleichung 8.3-9 beschriebenen Rate abklingen.
Rekombination und Generation über Störstellen spielt besonders in indirekten Halbleitern, zum Beispiel im Silizium eine wichtige Rolle, da der direkte Rekombinationskanal hier weniger wahrscheinlich ist. Weiter oben haben wir erfahren, dass die
Impulserhaltung hierfür verantwortlich ist. Die Störstellen sind aber lokalisiert, weswegen ihre Impulsunschärfe groß ist. Damit kann der große Kristallimpulsunterschied
zwischen Leitungsband und Valenzband überbrückt werden.
8.3.5 Oberflächenrekombination
In unseren Betrachtungen des Kristalls hatten wir diesen immer als extrem weit ausgedehnt beschrieben. Diese Näherung ist zwar gerechtfertigt, trotzdem spielen die
Oberflächen des Kristalls in vielen Fällen eine Rolle. In punkto GenerationRekombination durch Zustände in der Bandlücke, die durch Oberflächeneffekte eingebracht werden. Diese funktionieren dann in gleicher Weise wie die Störstellenzustände als Katalysator für Generations- oder Rekombinationsprozesse. Natürlich hat
man in Oberflächennähe stärkere Einwirkungen zu erwarten als tief im Kristall. Besonders stark können Oberflächeneffekte sein, wenn der Halbleiterkristall mit einem
metallischen Bereich zusammenkommt. Im Metall gibt es keine Bandlücken und
demnach auf allen Energieniveaus erlaubte Zustände, über die Elektronen rekombinieren können.
Abbildung 8.3-9: Oberflächenrekombination – Oberflächen und Übergangsflächen zu anderen Stoffen,
zum Beispiel Metallen, führen zu Zuständen in der Bandlücke. Diese können zur Rekombination und
Generation von Ladungsträgerpaaren führen.
159
8.3.6 Auger-Prozesse
Der letzte hier behandelte Mechanismus, die Auger-Prozesse, finden unter der Beteiligung von drei freien Ladungsträgern statt. In BildAbbildung 8.3-10 kann man diesen
Vorgang nachvollziehen. Ein Elektron rekombiniert mit einem Loch, sendet aber kein
Photon aus oder erzeugt Gitterschwingungen, sondern überträgt die frei werdende
Energie auf ein weiteres Elektron im Leitungsband. Genauso kann ein Loch aus einem tieferen Energiezustand angehoben werden. Die jeweiligen Generationsprozesse laufen in gleicher Weise ab, nur dass dann jeweils ein drittes Teilchen die Energie
abgibt, die zur Erzeugung eines Elektronen-Lochpaares benötigt wird, abgibt. Da es
sich bei den Auger-Prozessen um Dreiteilchenprozesse handelt, müssen wir für deren Raten folgende Terme ansetzen:
rAu = G ⋅ n 2 ⋅ p
8.3-10
Oder
rAu = G ⋅ n ⋅ p 2
8.3-11
Abbildung 8.3-10: Schema der AugerRekombination.
Je nachdem, ob zwei Elektronen und ein Loch oder zwei Löcher und ein Elektron am
Prozess beteiligt sind. Die Proportionalitätskonstanten für Auger-Prozesse sind viel
kleiner als die für Zweiteilchenprozesse, da drei Partner in geeigneter Weise zusammenkommen müssen. Bei hohen Ladungsträgerdichten macht sich jedoch die quadratische Abhängigkeit von der Dichte einer Ladungsträgersorte bemerkbar. Daher
spielen Auger-Prozesse oft bei hohen Dotierungen oder großen Strömen eine wichtige Rolle.
160
8.4 Die Grundgleichungen des Halbleiters
Wie angekündigt haben wir in den vergangenen Abschnitten die drei Prozesse Driftstrom, Diffusionsstrom und Generation/Rekombination behandelt. Nun sollen alle
diese Effekte zusammengefasst und Grundgleichungen für den Halbleiter aufgestellt
werden. Mit deren Hilfe können dann eine Großzahl von Problemen behandelt werden.
In den letzten Kapiteln haben uns besonders zwei Dinge beschäftigt, wenn wir Halbleiter beschrieben haben:
•
•
Die Dichten der freien Ladungsträger
Der Verlauf der Bänder
Kennt man eine dieser Größen, so lässt sich schon sehr viel über den Halbleiter aussagen. Wir befinden uns dann nur noch eine Ebene unter der Modellierung des Bauteils durch so abstrakte Größen wie Widerstände, Kapazitäten oder Gewinn, die sie
in „Elektronische Schaltungen“ für Halbleiterbauelemente kennen gelernt haben. Für
unsere zwei Größen brauchen wir zwei Gleichungen:
•
•
Die Poissongleichung
Die Kontinuitätsgleichung
Die erste der beiden Gleichungen kennen sie schon. Sie folgt aus den MaxwellGleichungen und wurde in „Felder & Wellen“ ausgiebig behandelt. Die Kontinuitätsgleichung fasst alle Phänomene dieses Kapitels zusammen, sie macht eine Aussage
über die zeitliche Entwicklung der Ladungsträgerdichte im Halbleiter.
8.4.1 Die Kontinuitätsgleichung
Die Abbildung 8.4-1 verdeutlicht die Idee, die hinter der Kontinuitätsgleichung steckt.
Wir befinden uns zu einer bestimmten Zeit in einem kleinen Bereich des Halbleiters.
Die Dichten der freien Ladungsträger sind uns bekannt. Wenn wir uns im Gleichgewicht befinden, bleiben diese so und unser Problem ist gelöst. Wenn nicht, wird die
Sache komplizierter. Wie kann sich die Anzahl der Ladungsträger ändern? Als erste
Möglichkeit können sich Ladungsträger aus dem Volumen herausbewegen, oder in
es hineinwandern. Dieser Effekt ist mit Strömen verbunden. Kommen genauso viele
Teilchen in das Volumenelement herein, wie es verlassen, so bleibt die Dichte konstant. Trotzdem kann ein Strom fließen, dieser muss dann aber stationär sein. Eine
Änderung ergibt sich, wenn die Stromdicht nicht konstant ist, sich also räumlich ändert. Wir schauen uns dazu die Stromdichten ein kleines Stücken links und rechts
von unserem Beobachtungspunkt an und erkennen, dass eine räumliche Änderung
des Stroms eine zeitliche Änderung der Teilchendichte hervorruft:
−e
∂J
∂n
=− n
∂t
∂x
8.4-1
161
Und im Dreidimensionalen:
−e
JG
∂n
= −∇ ⋅ J n
∂t
8.4-2
Für Löcher gilt die entsprechende Gleichung. Die Stromdichten hier sind als Gesamtdichten, also der Summe aus Drift- und Diffusionsstrom aufzufassen:
J n = en µn E + eDn
∂n
∂x
8.4-3
und
JG
G
J n = enµn E + eDn ∇n
8.4-4
sowie
J p = epµ p E − eDp
∂p
∂x
8.4-5
und
JG
G
J p = epµ p E + eDp∇p
8.4-6
Die Ströme sind damit erledigt. Wir müssen aber noch die Generations- und Rekombinationsprozesse einbinden. Das ist ziemlich einfach, da die oben eingeführten Raten schon die Änderung der Dichte pro Zeit bezeichnen.
∂n
= g n − rn
∂t
8.4-7
Und
∂p
= g p − rp
∂t
8.4-8
Jetzt haben wir alle Komponenten beisammen, um eine umfassende Gleichung für
die Änderung der Ladungsträgerdichten aufzustellen. Diese lauten:
−e
∂J
∂n
= − n − e ( g n − rn )
∂t
∂x
8.4-9
Und
162
e
∂J
∂p
= − p + e ( g p − rp )
∂t
∂x
8.4-10
Wobei für die Ströme die Gleichungen 8.4-3 und 8.4-5 einzusetzen sind. Im Dreidimensionalen erhalten wir
−e
JG
∂n
= −∇ J n − e ( g n − rn )
∂t
8.4-11
Und
e
JG
∂p
= −∇ J p + e ( g p − rp )
∂t
8.4-12
Ein guter Teil der Lösungen verschiedener Probleme besteht im Bearbeiten dieser
Gleichungen. Es ist dann wichtig, zu erkennen, welche Terme in den entsprechenden Situationen eine Rolle spielen und welche nicht. Dann beschränkt sich das Problem auf die Lösung einer Differentialgleichung. Der Vollständigkeit halber sei auch
noch die Poisson-Gleichung hier aufgeführt, die Raumladungsdichten und Potentialverlauf verknüpft:
∆ϕ = −
ρ
ε 0ε r
8.4-13
Mit ihrer Hilfe können die Bandverläufe im Halbleiter, die das Potential direkt abbilden, berechnet werden. Man beachte, dass in die Poisson-Gleichung die Dichte der
Gesamtladung eingeht, nicht etwa die Partialdichten der Elektronen oder Löcher.
Sind beide gleich, ist der Halbleiter neutral, was zu konstanter Potentialsteigung
führt.
jn ( x )
jn ( x + dx )
WC
rn
gn
WV
Abbildung 8.4-1: Visualisierung der Kontinuitätsgleichung – die Dichte der Ladungsträger in einem
bestimmten Bereich kann sich entweder durch Ströme ändern, die Ladungsträger bewegen, oder
durch die Entstehung oder Vernichtung von Ladungsträgerpaaren durch verschiedene Prozesse.
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