Quantenmechanik Überblick mit

Welle – Teilchen – Dualismus
Quantenphysik
"Es gab eine Zeit, als Zeitungen sagten, nur zwölf Menschen verständen die Relativitätstheorie. Ich glaube
nicht, dass es jemals eine solche Zeit gab. Auf der anderen Seite denke ich, es ist sicher zu sagen, niemand
versteht Quantenmechanik." - Richard Feynman, The Character of Physical Law, MIT-Press 1967, Kapitel 6
TEILCHEN
WELLE
Tennisball, Gewehrkugel, Elektron, ...
Wasserwelle, Schallwelle,
Elektromagnetische Welle (Licht), ...
Klassische Physik:
Klassische Physik:
Eigenschaften:
Impuls:
Energie:
Ruheenergie:
p = m.v
E =mv²/2
E = mc²
Eigenschaften
Wellenlänge , Frequenz f,
Wellenausbreitungsgeschwindigkeit c
(Spez.RT)
Grundgleichung:
.f=c
Phänomene: Impuls- und Energieübertragung Phänomene: Brechung, Beugung, Reflexion,
bei Stößen, ...
Intererenz, Polarisation...
Erhaltungssätze: Gesamtenergie,
Gesamtimpuls, Gesamtdrehimpuls sind in
einem abgeschlossenen System konstant.
Huygens(1690): benutzt Prinzip der
Elementarwellen erfolgreich um die
beobachtbaren Phänomene zu beschreiben.
Beschreibung von Licht als Welle setzt sich
durch (Newtons Teilchenmodell unterliegt)
Optik als Anwendung von Brechung und
Beugung.
Maxwell(1862): gelingt mit seiner Theorie
der elektrischen und magnetischen Felder die
Vorraussage und Beschreibung von
elektromagnetischen Wellen, Hertz gelingt
ein paar Jahre später (1884)die Erzeugung
und der Nachweis dieser Wellen (Dipol).
Ab 1900 beginnt mit der Entwicklung der Quantenphysik die
Unterscheidungd zwischen Teilchen und Wellen Schwierigkeiten zu machen…
Plancksches Strahlungsgesetz(1900): Erklärt die Strahlung eines schwarzen Körpers
(Hohlraumstrahlung) in Übereinstimmung mit den Beobachtungen. Planck muss dabei
kleinste Lichtquanten mit E = h.f annehmen (Planck tat das nur ungern (wieso?) und suchte
jahrelang nach einem anderen möglichen Ansatz für seine Theorie)
Das Jahr 1900 gilt seither als Geburtsstunde der Quantenphysik
Einstein: erklärt in einer Arbeit 1905 den Photoeffekt mit der Annahme von Lichtquanten E
= h.f (wie Planck) und erhält dafür später den Nobelpreis:
Licht kommt nur in kleinen Quanten vor die bei einer Frequenz f die Energie E = h.f
aufweisen!
Bestimmung des Impulses des Photons:
p=h/λ
1911 Rutherford’scher Streuversuch: Rutherford entdeckt den Atomkern
Moderne Physik
Bohr’sches Atommodell (1913)
Bohr gelingt es mit der Annahme, dass der Drehimpuls eines Elektrons im
elektromagnetischen Feld eines Protons nur ganzzahlige Vielfache des Planckschen
Wirkunsquantums h annehmen kann, das Spektrum des Wasserstoffatoms zu erklären.
http://www.walter-fendt.de/ph11d/bohr.htm
Comptoneffekt (1921): treffen Lichtteilchen auf ein Elektron so wird Impuls auf dieses
übertragen. Die verringerte Energie des Photons äußert sich in der verringerten Frequenz des
Teilchens. Je größer die Ablenkung des Photons nach dem Stoß (mehr Impulsübertrag) , umso
größer der Energieverlust bzw. die Frequenzverminderung. Der Comptoneffekt ist somit ein
Beleg für den Teilchencharakter und die Beziehung E = h . f für Lichtquanten
http://de.wikipedia.org/wiki/Compton-Effekt
De Broglie (1924): Ordnet jedem Teilchen eine Wellenlänge
 = h/p
zu, die DeBroglie – Wellenlänge.
Die Annahme, dass nur dann ein Elektron eine bestimmte Bahn um den Wasserstoffkern
(=Proton) einnehmen kann, wenn sich die Materiewelle nicht selbst auslöscht, führt auf
dieselben bereits von Bohr berechneten und im Spektrum des Wasserstoffs nachweisbaren
Energiezustände des Elektrons im Wasserstoffatom.
http://www.walter-fendt.de/ph11d/bohr.htm
Jahre später kann in Experimenten auch überprüft werden, dass Teilchen beim Versuch mit
einem Doppeltspalt tatsächlich Interferenzen mit den berechneten Wellenlängen aufweisen.
Anwendung der Theorie heute unter anderem in der Kristallstrukturforschung und dem
Elektronenmikroskop, da mit Teilchen sehr geringe „Wellenlängen“ möglich werden und
damit sehr hohes optisches Auflösungsvermögen erzielt werden kann.
Heisenberg: 1925 „Matrizenmechanik“ (vollständige mathematische Beschreibung der
Quantenmechanik)
1927 Heisenberg’sche Unschärferelation: Impuls und Ort eines Teilchens sind nicht
gleichzeitig genau bestimmbar bzw. auch nicht genau bestimmt (die Unschärfe ist auch
dann vorhanden wenn keine Messung gemacht wird!)
Δx . Δx > h/ 2π
Eine ähnliche Beziehung gilt auch für die Energie und die Zeit:
ΔE . Δt > h/ 2π
Unschärferelation - Grenzen unserer Erkenntnis
Schrödinger 1926: „Wellenmechanik“ (vollständige Beschreibung der Quantenmechanik,
neu: Schrödingergleichung zur Bestimmung der Wellenfunktion Ψ). Schrödinger kann zeigen,
dass die unter völlig anderen Voraussetzungen geschaffene Wellenmechanik mathematisch
vollkommen äquivalent zur Matrizenmechnik Heisenberg’s ist und dieselben Ergebnisse
liefert.
Später von Max Born Deutung der Wellenfunktion Ψ als Wahrscheinlichkeitswelle mit
Aufenthaltswahrscheinlichkeit P = | Ψ²|
Die Schrödingergleichung erlaubt somit die Berechnung von Aufenthaltswahrscheinlichkeiten
von z.B. Elektronen im elektr. Feld eines Protons:  Atomaufbau und Spektren der Atome
erklärbar. Orbitalmodell
http://www.falstad.com/qmatom/
(Bem: Der Wellenfunktion Ψ kann nach heutigen Wissen keine physikalische Realität
zugeordnet werden, sondern ist einzig und alleine ein mathematisches Werkzeug um (im
Experiment dann auch beobachtbare) Aufenthaltswahrscheinlichkeiten zu berechnen!
Moderne Physik
Doppelspaltexperiment:
Um 1805 führte Thomas Young das Experiment erstmalig durch, um die Wellennatur des
Lichts zu beweisen.
1927 zeigten Davisson und Germer die Welleneigenschaften von Elektronen anhand der
Beugung eines Elektronenstrahls an einem Nickel-Kristall.
1961 wurde das Doppelspaltexperiment mit Elektronen durch Jönsson durchgeführt (und im
September 2002 in einer Umfrage der englischen physikalischen Gesellschaft in der
Zeitschrift „Physics World“ zum schönsten physikalischen Experiment aller Zeiten gewählt.)
Doppelspaltversuch mit vielen Applets
kurze Beschreibung Doppelspaltexperiment
Java-Applet zum Doppelspaltversuch
Die Interferenzmuster mit Teilchen (Photonen) erscheinen auch dann wenn die Teilchen
(Photonen) einzeln durch den Spalt geschickt werden!
Kopenhagener Deutung der Quantentheorie (formuliert von Werner Heisenberg und Niels
Bohr 1927):
 Es können nur Wahrscheinlichkeitsaussagen getroffen werden, die nicht einem
Unvermögen der Theorie entspringen, sondern wesentlicher Bestandteil der Naturvorgänge
selbst sind. Die Natur ist somit nicht-deterministisch.
 Die Wellenfunktion Ψ ist keine real vorhandene Größe sondern dient nur zur Vorhersage
und Berechnung von Messergebnissen, ihr entspricht keine reale Existenz
 Jede Beobachtung ist prinzipiell mit der Veränderung des zu messenden Objektes bzw.
derer physikalischen Eigenschaften verbunden. Jede Messung verändert das zu Messende.
Erst durch die Messung bzw. Beobachtung erfolgt eine Festlegung der beobachteten Größe.
Beispiel: Ob ein radioaktives Atom bereits zerfallen ist oder nicht, läßt sich nur durch
Messung bestimmen. Erst im Moment der Messung nimmt das Atom den Zustand
„zerfallen“ oder den Zustand „nicht zerfallen“ an. Vorher ist das Atom in einem
Mischzustand aus „zerfallen“ und „nicht zerfallen“ (Überlagerung von Zuständen,
Superpositionsprinzip)
http://de.wikipedia.org/wiki/Kopenhagener_Deutung
Beispiel Doppelspalt: Misst man durch welchen Spalt Teilchen im Doppelspaltversuch
gehen (z.B. mit Hilfe von Ablenkung von Photonen), dann kann zwar der Weg des Teilchens
festgestellt werden, die Wellenfunktion bzw. das Interferenzmuster bricht aber dann
zusammen. Misst man nicht, dann geht das Teilchen sowohl durch den einen als auch durch
den anderen Spalt (Superposition) und es zeigt sich (bei genügend langer Versuchsdauer) ein
Interferenzmuster.
Beispiel Schrödingerkatze: Der Mischzustand „zerfallen“ und „nicht zerfallen“ eines
radioaktiven Atoms wurde in einem Gedankenexperiment Schrödingers auf eine Katze in
einer nicht einsehbaren Kiste übertragen (Schrödinger wollte die Absurdität der
Kopenhagener Deutung zumindest angewandt auf die makroskopische Welt zeigen). Nach
den Regeln der Kopenhagener Deutung der Quantenphysik kann eine Katze demnach in
einem Mischzustand „lebendig“ und „tot“ sein. Erst durch das Öffnen des Käfigs und
Beobachtung wird der Zustand der Katze festgelegt und sie ist entweder lebendig oder tot. Die
tatsächliche Überlagerung der Ψ-Funktion ist aber bei makroskopisch großen Objekten aber
wegen unvermeidlicher Wechselwirkung mit der Umgebung (Wärmestrahlung, Luftmoleküle,
etc) derzeit nicht möglich, bzw existiert dann nur für unmessbar kurze Zeiten. der Siehe auch
http://science.orf.at/science/news/59806
Gegner der Kopenhagener Deutung:
Schrödinger: Gedankenexperiment Schrödingers Katze (siehe oben)
Einstein: wendet sich gegen unbestimmte Wahrscheinlichkeit in Natutvorgängen:„Gott würfelt
nicht“ (Einstein vermutet verborgene Variable als Ursache von Quantenphänomenen) 
Gedankenexperiment von Einstein-Podolski-Rozen (EPR-Paradoxon):
Eine Quelle sendet Teilchenstrahlenaus in einer Weise, dass ihr Spin immer z.B. entgegengesetzt sein
muss.
Spin -1/2
TeilchenQuelle
Spin +1/2
(Erst) bei der Messung des Spins an einem Teilchen nimmt dieses Teilchen den Spin +1/2 oder -1/2
an (mit der Wahrscheinlichkeit 50%). Im Augenblick der Messung ist damit unmittelbar und
eindeutig auch der Spin des anderen Teilchens festgelegt. (Sozusagen mit Überlichtgeschwindigkeit). Das Problem ist dabei aber vielleicht weniger die Überlichtgeschwindigkeit (es
kann gezeigt werden, dass hier nichts der Relativitätstheorie wiederspricht, da ja keine Masse und
wie man zeigen kann keine Information übertragen wird), sondern dass zwei räumlich völlig
voneinander getrennte Teilchen in einem vollständig korrelierten Zustand sind. Der Spin des
gemessenen Teilchens wird dabei auf jeden Fall erst bei der Messung festgelegt (Man kann zeigen
das er vor der Messung in jeder beliebigen Raumrichtung gleich wahrscheinlich ist, also aus einer
Superposition aller möglichen Richtungen besteht).
Mittlerweile wurden solche Experimente tatsächlich durchgeführt, aktuell mit einem Abstand von
mehreren Kilometern (unter anderem von Anton Zeilinger). Zeilinger selbst versucht mit Hilfe
solcher Übertragung von Quantenzuständen Teleportation zu realisieren, die er selbst als mit dem
„Beamen“ (aus Raumschiff Enterprise, „Beam me up Scotty, there is no intelligent life down here!“)
vergleichbar sieht:
http://www.cip.physik.uni-muenchen.de/~milq/teleportation/tele1p01.html
http://de.wikipedia.org/wiki/Einstein-Podolsky-Rosen-Paradoxon
Aspect (1982): Nachweis der Nicht-Existenz der im ERP Paradoxon angenommen „verborgenen
Parametern“ die ein klassische Sichtweise ermöglichen würden und die Quantentheorie als
unvollständig zeigen würde. Die Quantentheorie und die Kopenhagener Deutung wird bestätigt!
Quantenphysik - Was vorher galt auf den Kopf gestellt
Übersicht über die Deutungen der Quantenphysik: http://www.klawi.de/quanten.htm
Weitere Links zur Quantenkryptographie und Quantencomputer: http://www.cip.physik.unimuenchen.de/~milq/milq_spezialp01.html
SA-Stoff:
Allgemeine Relativitätstheorie:
Ablenkung von Licht durch Gravitation, Gravitationslinsen, Uhren und Längen im Schwerefeld,
Raumkrümmung, Periheldrehung des Merkur, Rotverschiebung durch Gravitation, Schwarze Löcher
– Schwarzschildradius,…
Quantentheorie: siehe Dualismus.doc
Rechenbeispiele
Übungsbeispiele:
1) Aus der Allgemeinen Relativitätstheorie folgt, dass die Ablenkung eines Lichtstrahles an einem
Körper mit der Masse M und dem Radius R gegeben ist durch
δ= 4GM/(c²R)
G=6,67.10-11 N/m²
a) Wie groß ist δ für einen weissen Zwerg?
=2 . 1030kg, R=5000km
b) für einen Neutronenstern?
=2 . 1030kg, R=10km
c=3.108 m/s
[1,2.10-3rad]
[0,6 rad = 34°]
2) Eine 100 W - Lampe sendet gelbes Licht der Wellenlänge λ= 500nm=500.10-9m aus
a) Berechne Energie, Impuls und Massenäquivalent der Photonen
E= h.c/ λ
p = h/ λ
E = mc²
[E=4.10-19J]
[p=1,3.10-27 kg m/s]
[m=4,4.10-36kg]
h=6,6.10-34Js
b) Wie viele Photonen gehen pro Sekunde von der Lampe aus, wenn 1% der zugeführten
Energie im sichtbaren Bereich liegen?
n=1J/4.10-19J = 2,5 . 1018 Photon
c) Nimmt die Masse der Lampe durch die Aussendung der Photonen ab? Nein
3) Ein Scheinwerfer sendet ein paralleles Lichtbündel von 100 W Leistung aus.
a) Welchen Impuls haben die in einer Sekunde ausgesendeten Photonen insgesamt?
[3,3.10-7 kg m/s]
b) Welche Rückstoßkraft erfährt der Scheinwerfer durch die Lichtauslenkung
[F=Δp/t=3,3.10-7N]
4) Ein Elektronenblitz sendet einen Blitz von 10-3s Dauer aus, der 10 J Lichtenergie enthält. Das
austretende Licht sei parallel.
a) Wie groß ist der Gesamtimpuls der Photonen? [p = 3,3 . 10-8 kg m/s]
b) Hängt der Gesamtimpuls von der Wellenlänge ab? [Nein, nur von der Gesamtenergie]
c) Welche Rückstoßkraft wirkt auf den Blitz? [F = p/t = 3,3 . 10-5 N]
d) Mit welcher Geschwindigleit müßte sich ein Sandkorn (m = 1mg) bewegen, damit es den
gleichen Gesamtimpuls hat? [p = m.v = 3,3 cm/s]
5) Berechne die De Broglie – Wellenlänge für
a) Einen Tennisball (m = 60 g, v = 10 m/s)
b) Ein Projektil ( m = 1g, v = 90 m/s)
c) Ein Proton (m = 1,67 . 10-27 kg, E = 250 keV)
d) Ein Elektron ( m=9,1 . 10-31 kg, E = 250 eV)
e) Was schließt du aus den unterschiedlichen Wellenlängen im Hinblick auf Interferenzen?
6) In einem Fernsehgerät werden Elektronen durch eine Spannung U = 15 kV beschleunigt. Welche
De Broglie Wellenlänge haben diese Elektronen? [λ=10-11 m]
Bem: ein geladenes Teilchen erhält beim Beschleunigen mit einer Spannung U die Energie E = q.U
(Einheit J). Somit erhält ein Elektron (Ladung q = 1,6 . 10-19 C), das eine Spannung von 1V
durchläuft eine Energie von E = 1,6 . 10-19 C . 1 V = 1eV (1 Elektronenvolt)
7) Ein Elektronenstrahl tritt durch einen Spalt mit der Breite d = 0,1 μm. Wie groß sind die
Unschärfen von Impuls und Geschwindigkeit hinter dem Spalt? [Δp = 6,6 . 10-27 kg m/s;
Δv = 7300 m/s]
Bem: Suche die Masse eines Elektrons und das Plancke Wirkungsquantum aus dem Buch S2
8) Du schießt beim Minigolf daneben. Ist die Unschärferelation daran schuld? Schätze die
erforderlichen Größen (Δx = Ungenauigkeit beim Treffen, Δp=m. Δv) selbst. Was für eine
Impulsungenauigkeit Δp bzw. Geschwindigkeitsungenauigkeit Δv ergibt sich daraus aus der
Unschärferelation beim Minigolfball?
9) Berechne den Schwarzschildradius RS
a) eines Protons: mp= 6 .10-27kg. Bem: Vergleiche mit dem Radius eines Protons: r≈0,87 . 10-15m
[Rs≈10-54 m]
b) des Neutronensternes in Bsp 1
Was folgerts du über das Auftreten von schwarzen Löchern?
Für Fragen stehe ich gerne zur Verfügung: [email protected]