Technische Mechanik III - Institut für Technische und Numerische

Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M0.1
Technische Mechanik III
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Vorlesung: Die Vorlesung wird für die Studierenden der Bachelorstudiengänge Maschinenbau (mach),
Mechatronik (mecha), Technologiemanagement (tema), Technische Kybernetik (kyb), Fahrzeug- und Motorentechnik (fmt), Verfahrenstechnik (verf), Mathematik und Informatik gehalten.
Übungen:
Die Vorlesung wird durch Vortragsübungen ergänzt, die unmittelbar auf den Vorlesungsstoff
abgestimmt sind. Zusätzlich findet ein Seminarbetrieb statt. Dort können unter individueller Anleitung selbständig Aufgaben gelöst werden. Die Seminaristischen Übungen finden in Gruppen
statt. Das erste Seminar findet am Freitag, den 30. Oktober 2015 statt.
Sprechstunden: Während der Vorlesungszeit finden im Sprechstundenzimmer 4.155 des Instituts dienstags
und donnerstags von 13:00 bis 14:00 Uhr Sprechstunden statt. Der Sprechstundenbetrieb beginnt am 20. Oktober. Fragen, die in den Vorlesungen und Übungen offen geblieben sind,
können dort besprochen werden. Darüber hinaus werden fachliche Auskünfte am Institut
durch Herrn Dipl.-Ing. Fabian Spreng (Raum 3.105, Tel.: 685-69868) erteilt.
Ort/Zeit:
Vorlesungen und Vortragsübungen
Montag 11:30 – 13:00 Uhr, V 53.01
alle Studiengänge
Dienstag 8:00 – 9:30 Uhr, V 53.01
Seminaristische Übungen
G01
Freitag 8:00 – 9:30 Uhr, M 2.02
tema
G02
Freitag 11:30 – 13:00 Uhr, M 2.02
verf, mecha
G03
Freitag 11:30 – 13:00 Uhr, M 17.01
mach
G04
Freitag 11:30 – 13:00 Uhr, M 17.02
kyb, sonstige
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M0.2
Hinweise
Institut:
Die Räume des Instituts für Technische und Numerische Mechanik befinden sich im Ingenieurwissenschaftlichen Zentrum (IWZ), Pfaffenwaldring 9, 3. + 4.Stock.
www:
http://www.itm.uni-stuttgart.de
Unterlagen: Zur Kennzeichnung der vom Institut herausgegebenen schriftlichen Unterlagen werden folgende Kennbuchstaben − gefolgt von der laufenden Nummer − verwendet:
M
A
… Merkblätter zur Vorlesung
… Arbeitsblätter
S … Stimmungsbarometer
P … Prüfungen
Ü
… Übungsaufgaben
L … Lösungen
Merkblätter: Die Merkblätter sind im Internet auf den Institutsseiten erhältlich.
Aufgaben:
In den Vortragsübungen werden Aufgaben aus einer Aufgabensammlung (Ü) vorgerechnet.
Auch im Seminar werden Aufgaben aus dieser Aufgabensammlung sowie weitere Arbeitsblätter (A) behandelt. Die Aufgabensammlung (Ü) und Aufgabenblätter (A) sind im Internet auf
den Institutsseiten erhältlich. Die Lösungen der verbleibenden Aufgaben werden ausgehängt.
Unterlagen im Internet: Organisatorische Hinweise sowie aktuelle Unterlagen zur TM III finden Sie auch im
Internet unter http://www.itm.uni-stuttgart.de/courses/tm3
Prüfungsvorleistungen/Scheine: Sind seit Einführung des Bachelors nicht mehr erforderlich.
Prüfung:
Für das Modul TM II + TM III findet eine gemeinsame Prüfung statt. Der Termin der Prüfung
im Frühjahr 2016 steht noch nicht fest und ist im Laufe des Wintersemesters 2015/16 beim
Prüfungsamt zu erfahren.
Prüfungsanmeldung: Die Anmeldung erfolgt immer über das Prüfungsamt.
Hilfsmittel:
In der Prüfung sind als Hilfsmittel ausschließlich 6 Seiten Formelsammlung (entspricht 3 Blättern DIN-A4 doppelseitig) zugelassen. Elektronische Geräte sind ausdrücklich nicht zugelassen.
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M1.1
Technische Mechanik III
5. Kinetik
5.1 Kinetische Grundbegriffe
5.2 Grundgleichungen
5.3 Kinetik der Relativbewegungen
5.4 Kinetik des starren Körpers
5.5 Arbeits- und Energiesatz des starren Körpers
6. Methoden der analytischen Mechanik
6.1 Prinzip von d’Alembert
6.2 Koordinaten und Zwangsbedingungen
6.3 Anwendung des d’Alembert’schen Prinzips
6.4 Lagrange’sche Gleichungen erster Art
6.5 Lagrange’sche Gleichungen zweiter Art
7. Schwingungen
7.1 Grundbegriffe
7.2 Freie Schwingungen
7.3 Erzwungene Schwingungen
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M1.2
Literatur
Gross, D.; Hauger, W.; Schnell, W.: Technische Mechanik. Band 1/2/3/4.
Berlin: Springer, 2008/2011/2010/2007.
(€ 19,95/19,95/19,95/29,95)
Hauger, W.; Mannl, V.; Wall, W.; Werner, E.: Aufgaben zu Technische Mechanik
1–3. Berlin: Springer, 2001. (€ 24,95)
Gross, D.; Ehlers, W.; Wriggers, P.: Formeln und Aufgaben zur Technischen
Mechanik. Band 1/2. Berlin: Springer, 2006/2007. (€ 14,95/14,95)
Hagedorn, P.: Technische Mechanik. Band I/II/III.
Frankfurt: Verlag Harri Deutsch, 2008/2006/2008.
(€ 19,80/19,80/19,80)
Hibbeler, R.C.: Technische Mechanik 3 – Dynamik.
München: Pearson Studium, 2006. (€ 49,95)
(einige Fotos aus der Vorlesung sind mit Genehmigung des Verlages
aus diesem Buch entnommen)
Irretier, H.: Grundlagen der Schwingungstechnik 1.
Wiesbaden: Vieweg, 2000.
Magnus, K.; Müller-Slany, H.H.: Grundlagen der Technischen Mechanik. 7. Auflage,
Stuttgart: Teubner, 2005. (€ 24,90)
Szabo, I.: Einführung in die Technische Mechanik. 8. Auflage.
Berlin: Springer, 2002. (€ 164,95)
Taylor, J. R.: Klassische Mechanik – Ein Lehr- und Übungsbuch.
München: Pearson Studium, 2014. (€ 49,90)
Weidemann, H.-J.; Pfeiffer, F.: Technische Mechanik in Formeln, Aufgaben und
Lösungen. 3. Auflage. Stuttgart: Teubner, 2006. (€ 29,90)
Ziegler, F.: Technische Mechanik der festen und flüssigen Körper.
3. Auflage. Wien: Springer, 1998. (€ 59,95)
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M2
Newton‘sche Gesetze
1. Newton‘sches Gesetz: Trägheitsgesetz
„Jeder Körper bleibt im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen Bewegung, sofern keine äußeren Kräfte auf ihn einwirken.“ (Galilei,
1630)
Für den Massenpunkt gilt:
v
v = const. bzw. v = 0 → x = const.
m
Sir Isaac Newton
(1642–1727)
2. Newton‘sches Gesetz: Bewegungsgesetz
„Die Änderung der Bewegungsgröße ist der einwirkenden äußeren Kraft proportional und erfolgt
längs der Geraden in der diese Kraft wirkt.“
Für den Massenpunkt gilt:
a
m
F
ma = F
z.B.: F = 0 → a = 0 → v = const.
3. Newton‘sches Gesetz: Gegenwirkungsprinzip
„Eine in einem System wirkende innere Kraft ist stets mit einer gleich
großen, aber entgegengesetzten Gegenwirkung verbunden.“
Für zwei Massenpunkte gilt:
F12
m1
→ F12 = F21
F21
In der Principia (1687)
konstatierte Newton die
drei Grundgesetze der
Mechanik.
m2
Bemerkungen:
•
Newton hat seine Gesetze für den Massenpunkt formuliert. Die Übertragung vom einzelnen
Massenpunkt auf den gesamten Körper wurde von Euler vorgenommen.
•
Die Masse kann als schwere Masse m = G / g oder als träge Masse m = F / a aufgefasst werden. Beide Massenbegriffe sind völlig gleichwertig. Einheit (aus F = m g ) [ kg m / s 2 ] .
•
Die kinetischen Grundgleichungen gelten für beliebige, auch nichtstarre, Körper und mechanische Systeme, ohne dass dies im Folgenden stets ausdrücklich betont wird.
•
Das zweite Newton‘sche Gesetz gilt nur in einem Inertialsystem, d.h. es muss die absolute
Beschleunigung gegenüber dem Inertialsystem eingesetzt werden.
Beispiele für Inertialsysteme: Ursprung im Erdmittelpunkt und Achsen fixsternfest, Ursprung
auf Erdoberfläche und Achsen erdbodenfest (für TM ausreichend).
bewegter Bezugspunkt
fester Bezugspunkt
nicht konservative Kräfte
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M3
konservative Kräfte
nichtabgeschlossenes System
Grundgleichungen der
Kinetik im Inertialsystem
bzw. dazu parallel bewegten Koordinatensystemen
abgeschlossenes System
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Impulssatz
m
d
v OS = Fa
dt
m
d
v QS + a OQ m = Fa
dt
d
(m v OS ) = Fa + dm v OA
dt
dt
●
●
●
●
●
●
●
● ●
●
●
● ●
●
Drallsatz
d
L O = M aO
dt
d
L Q + rQS × a OQ m = M aQ
dt
●
●
●
●
● ●
●
●
●
Arbeitssatz / Energiesatz
T2
T1 = Wa12 + Wi12
T2
T1 =
(V2 − V1 )
●
●
● ●
●
●
●
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M4
Trägheitsmomente ausgewählter homogener Körper
m 2 2
(r + r )
2 a i
m
Ι'zz = Ι'yy = (ra2 + ri2 + h 2 /3)
4
I'xx =
Trägheitsmomente beziehen sich auf das eingezeichnete Hauptachsensystem. Bei Wechsel des
bezugpunkts muss der Trägheitstensor entsprechend transformiert werden.
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M5.1
Arbeits- und Energiesatz für starre Körper
Kinetische Energie des starren Körpers
Für ein abgeschlossenes System gilt
T=
1
1 2
v OK ⋅ v OK dm = ∫ vOK
dm.
∫
2K
2K
Die Kinematik des starren Körpers liefert
vOP
P
ω
v OK = v OP + ω × rPK
rPK
K
v OK
eingesetzt ergibt sich
T=
1
(v OP ⋅ v OP + 2 v OP ⋅ (ω × rPK ) + (ω × rPK ) ⋅ (ω × rPK )) dm
2 K∫
=
1
1
m v OP ⋅ v OP + m v OP ⋅ (ω × rPS ) + ω ∫ rPK × (ω × rPK ) dm
2
2 K
=
1
1
m v OP ⋅ v OP + m v OP ⋅ (ω × rPS ) + ω ⋅ I P ⋅ ω
2
2
14243 1442443 14243
Translation
Kopplung
Rotation
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M5.2
Die Kopplungsenergie verschwindet für P ≡ S , d.h. rPS ≡ 0 :
T=
1
1
2
+ ω ⋅ IS ⋅ ω
m vOS
2
2
Die kinetische Energie des starren Körpers setzt sich aus der Translationsbewegung seines Massenmittelpunkts und der Rotationsenergie bezüglich seines Massenmittelpunkts zusammen.
Sowohl die Translationsenergie als auch die Koppelenergie verschwinden, wenn P (momentan) in
Ruhe ist, d.h. für v OP = 0 ( rPS beliebig):
1
T = ω ⋅ IP ⋅ ω
2
.
Arbeit am starren Körper
•
innere Kräfte
r2
Wi12 = ∫ ∫ dFi ⋅ dr = 0
K r1
•
die inneren Kräfte leisten
am starren Körper keine Arbeit
äußere Reaktionskräfte
Reaktionskräfte werden an starren Körpern durch Lagerungen hervorgerufen:
•
bewegungsfreie Lagerungen (feste Einspannung, Haftreibung, rollendes Rad, ...)
dr = 0 → War12 = 0
•
reibungsfreie Lagerungen (Gelenke, Führungen, …)
r
dr ⊥ dFar → Wa12
=0
die äußeren Reaktionskräfte leisten keine Arbeit (Prinzip der virtuellen Arbeit)
•
äußere eingeprägte Kräfte
r2
Wae12 = ∫ ∫ dFae ⋅ dr
K r1
am starren Körper leisten nur die äußeren eingeprägten Kräfte Arbeit
Arbeits- und Energiesatz für den starren Körper
Die Differenz der kinetischen Energie eines starren Körpers entspricht der an ihm durch die eingeprägten Kräfte geleisteten Arbeit:
T2 − T1 = Wae12
oder, falls die äußeren eingeprägten Kräfte ein Potential V haben:
T2 − T1 = −(V2 − V1 )
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M6.1
Schwingungen
Schwingungen sind typisch für den Maschinenbau. Elastisch oder pendelnd aufgehängte Maschinenteile können zu Schwingungen angeregt werden.
Warum werden Maschinenteile elastisch oder pendelnd aufgehängt?
•
Schwingungsisolation (Radaufhängung, Motoren, Waschmaschinentrommel etc.)
•
Leichtbau (Kranseil, Roboterarme, Tragflügelflattern, Werkzeugmaschinenrattern etc.)
•
Schwingungserzeugung (Uhrenpendel, Rüttelsiebe, Klaviersaite, Schaukel etc.)
•
Gleichgewichtslagen (Zeigerinstrumente etc.)
Wodurch werden Schwingungen angeregt?
•
Anfangsauslenkung (Schaukel, Roboterarm etc.)
•
Stöße (Radaufhängung, Klaviersaite etc.)
•
selbsterregte Schwingungen (Tragflügelflattern, Kreiselinstabilitäten etc.)
•
parametererregte Schwingungen (Zeigerinstrumente etc.)
•
periodische Anregungen (Motoren, Waschmaschine, Rüttelsieb etc.)
Schwingungslehre ist eine umfangreiche Wissenschaft für alle Schwingungserscheinungen.
Begriffe der Schwingungslehre entsprechend der Norm DIN 1311.
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M6.2
Einteilung der Schwingungen
Anzahl der Freiheitsgrade
•
einfacher (einläufiger) Schwinger
f =1
α
•
1< f < ∞
mehrfache Schwinger
α
z
•
kontinuierliche Schwinger
stetige Massen- und Steifigkeitsverteilung
f →∞
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M6.3
Art der Differentialgleichung
•
lineare Schwingungen:
z.B.
&x& + ω 2 x = 0
•
nichtlineare Schwingungen:
z.B.
&x& + ω 2 sin x = 0
Entstehungsmechanismus
•
freie Schwingungen:
keine Energiezufuhr, einmaliger Anstoß von außen
•
selbsterregte Schwingungen:
selbstgesteuerte Energiezufuhr
&x& + f(x,x&) = 0
•
parametererregte Schwingungen:
Energiezufuhr durch periodisch veränderliche Parameter
&x& + p(t) x = 0
Harmonische Schwingungen (Sinusschwingungen)
•
reelle Darstellung: x(t ) = C cos(ω t − ϕ )
x
t
Amplitude:
C
Periode (Schwingzeit):
T=
Eigen(kreis)frequenz:
ω
Phasenverschiebung / Nullphasenwinkel:
ϕ
2π
ω
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
•
komplexe Darstellung:
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M6.4
z (t ) = x (t ) + i y (t ) = C e i (ω t −ϕ )
= C e −iϕ e iω t = C e iω t
123
C
hierraus folgt mit der eulerschen Formel
eiωt = cos ω t + i sin ω t
durch Koeffizientenvergleich
{
x (t ) = Re C e iωt
}
Zeiger der harmonischen Schwingung (komplexe Amplitude)
C = C e −iϕ
Zeigerdarstellung vereinfacht die Addition zweier Schwingungen gleicher Frequenz
(z.B. Wechselströme).
Sinusverwandte Schwingungen
x
t
gedämpfte / asymptotisch stabile Schwingung
x
t
entdämpfte Schwingung (selbst anfachend)
instabil
Institut für Technische und Numerische Mechanik
Prof. Dr.-Ing. P. Eberhard
apl. Prof. Dr.-Ing. M. Hanss
Technische Mechanik III
WS 2015/16
M6.5
Allgemeine periodische Schwingungen
x
t
Dreiecksschwingung
T
x
t
Rechteckschwingung
T
x(t ) = x(t + T ) … periodisch
Mit Hilfe der Periode T ist eine Fourier-Zerlegung möglich
x(t ) =
C0 ∞
+ ∑ Ck cos(kωt − ϕ k )
2 k =1
Sonderfall: k = 1 : harmonische Schwingung
Nichtperiodische Schwingungen
x
t
z.B. chaotische Bewegung (nichtlineare Dynamik),
zufällige Bewegungen (stochastische Prozesse)
Rauschvorgänge