Statistik IV

TECHNISCHE UNIVERSITÄT DORTMUND
FAKULTÄT STATISTIK
Prof. Dr. G. Trenkler
Dipl.-Stat. M. Arnold
Dipl.-Math. R. Kwiecien
Sommersemester 2008
16.4.2008
Blatt 2
Übungen zur Vorlesung
Statistik IV
Aufgabe 5
Die Zufallsvariablen X1 , . . . , Xn seien unabhängig identisch verteilt gemäß einer symmetrischen
Vierfeldertafel:
A\B
1
2
1
θ11 θ12
2
θ21 θ22
P2 P2
Dabei ist θkl ≥ 0, k, l = 1, 2, θ12 = θ21 und k=1 l=1 θkl = 1. Diese Vorgaben definieren eine
0
parametrische Verteilungsfamilie mit dem Parametervektor θ = (θ11 , θ12 , θ21 , θ22 ) . Die Dichte von
Xi lautet
1
(xi ) 1
(xi ) 1{21} (xi ) 1{22} (xi )
f (xi |θ) = θ11{11} θ12{12} θ{21}
θ22
,
wobei
1{kl} (xi ) =
für k, l = 1, 2 und


 1, Merkmal A von Xi ist gleich k und Merkmal B von Xi ist gleich l

 0, sonst
P2
k=1
P2
l=1 1{kl} (xi )
Nkl :=
= 1 gilt. Seien
n
X
1{kl} (xi ),
k, l = 1, 2
i=1
0
die Zellhäufigkeiten der jeweiligen Zellen der Vierfeldertafel. Zeigen Sie, dass (N11 , N12 + N21 ) eine
suffiziente Statistik für die Parameter dieser Verteilungsfamilie ist.
Aufgabe 6
Nachdem Chirurgen entdeckt hatten, dass saubere Verbände die Heilung einer Wunde beeinflussen,
versuchte Chirurg Lister, mit sterilen Verbänden bessere Heilerfolge zu erzielen. Er erhielt folgende
Daten:
steriler Verband
gewöhnlicher Verband
Zustand der Wunde gut
14
9
Blutvergiftung
1
6
Sei
p1 = P (Blutvergiftung|steriler Verband),
p2 = P (Blutvergiftung|gewöhnlicher Verband).
Bestimmen Sie ein asymptotisches 95%-Konfidenzintervall für die Differenz p1 − p2 .
Aufgabe 7
Zeigen Sie, dass sich die Nullhypothese
H0 : pij = pi. p.j , i, j = 1, 2
äquivalent schreiben lässt als
H0∗ : p11 = p1. p.1
oder
H0∗∗ : p11 p22 = p12 p21 .
Aufgabe 8
Seien X und Y zwei unabhängige dichotome Zufallsvariablen, die jeweils mit Wahrscheinlichkeit
0,5 die Werte 0 bzw. 1 annehmen. D.h., die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung von X und
Y lautet wie folgt:
X \Y
0
1
0
0, 25 0, 25 0, 5
1
0, 25 0, 25 0, 5
0, 5
0, 5
.
1
a) Simulieren Sie für die Stichprobenumfänge n = 10, 30, 50 und 100 jeweils die Wahrscheinlichkeit,
dass der χ2 -Unabhängigkeitstest die Nullhypothese der Unabhängigkeit von X und Y verwirft.
Geben Sie ein Niveau von α = 0, 05 vor. Erzeugen Sie dazu für jeden der Stichprobenumfänge
jeweils zahlreiche Realisationen der Vierfeldertafel und führen Sie den χ2 -Test auf Unabhängigkeit
durch. In wieviel Prozent der Realisationen wird die Nullhypothese der Unabhängigkeit verworfen?
Nähert sich dieser Prozentsatz für wachsendes n dem vorgegebenen Niveau an?
b) Wie sind diese simulierten tatsächlichen Ablehnwahrscheinlichkeiten verteilt (in Abhängigkeit
von der wahren Ablehnwahrscheinlichkeit und der Anzahl der Wiederholungen)?
c) Wieviele verschiedene Werte nimmt die Teststatistik für die verschiedenen Stichprobenumfänge
an?
Abgabe: Mittwoch, 23.4.2008, in der Vorlesung. Bitte vermerken Sie auf der Abgabe, welche Übung
Sie besuchen.