2002-2003-N-LK Graphen\374

INFORMATIK-NACHKLAUSUR
Name:
Bearbeitungszeit: 180 min
IF1 − Info 13 GK (GA)
Aufgabe 1:
13.01.2003
− Seite 1 −
Graphentheorie – Zusammenhang – kürzeste Wege
Gegeben ist der rechts abgebildete Graph G.
a) Stellen Sie G in Form einer Adjazenzmatrix und in Form
einer Adjazenzliste dar. Dabei sollen die Knoten in
beiden Darstellungen numerisch sortiert sein.
b) Führen Sie auf G von Hand den Algorithmus der
BREITENSUCHE (siehe Anlage I) mit Startknoten aus.
Veranschaulichen Sie dafür jedes Mal, wenn Sie im
Algorithmus die mit {
1
2
50
5
10
10
50
5
10
30
3
6
10
40
10
5
20
4
30
5
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∗} markierte Stelle erreichen, den aktuellen Inhalt der Schlange.
Zeichnen Sie anschließend den sogenannten „Breitensuchbaum“, der nur die Kanten enthält,
die für die BREITENSUCHE benutzt wurden.
c) Verwenden Sie nun die TIEFENSUCHE. Veranschaulichen Sie auch hier an gleicher Stelle
den aktuellen Inhalt des Stapels. Zeichnen Sie anschließend den „Tiefensuchbaum“.
d) Suchen Sie in G die kürzesten Entfernungen vom Startknoten mit Hilfe des Algorithmus
von DIJKSTRA (Anlage II). Veranschaulichen Sie dafür jedes Mal, wenn Sie im
Algorithmus die mit {
∗} markierte Stelle erreichen, den aktuellen Inhalt der Variablen
Distanz und Vorgaenger.
e) Nimmt man den Algorithmus der BREITENSUCHE als Grundlage, so lässt sich daraus mit
minimalen Änderungen ein Algorithmus erstellen, welcher vom Startknoten ausgehend die
kürzeste Entfernung zu allen anderen Knoten im Graphen berechnet.
(1) Welche Änderungen müssen lediglich vorgenommen werden?
Hinweis: Bitte notieren Sie nur die Änderungen, nicht den ganzen Algorithmus.
(2) Die Bedeutungen einiger Variablen haben sich geändert. Erläutern Sie diese im
Unterschied zur ursprünglichen Bedeutung.
(3) Veranschaulichen Sie Ihren Algorithmus am obigen Beispiel.
(4) Die Arbeitsweise dieses Algorithmus ist der des DIJKSTRA-Algorithmus verblüffend
ähnlich. Wodurch unterscheiden sich jedoch beide Algorithmen grundlegend?
Stichwort: Greedy!
(5) Begründen Sie, dass die Laufzeit dieses Algorithmus in der Klasse O(n2) liegt.
f) In Anlage III finden Sie einen weiteren Algorithmus, den FORD-Algorithmus, zur
Bestimmung des kürzesten Weges.
(1) Führen Sie den Algorithmus vom Startknoten ausgehend durch und protokollieren
Sie dabei immer dann, wenn Sie die mit {
∗} markierte Stelle erreichen, die aktuelle
Variablenbelegung der Felder Distanz und Vorgaenger.
(2) Erläutern Sie in eigenen Worten die Arbeitsweise des Algorithmus.
Vergleichen Sie die Arbeitsweise sowohl mit dem DIJKSTRA- als auch mit dem aus
dem Unterricht bekannten FLOYD-Algorithmus.
(3) Begründen Sie, warum der FORD-Algorithmus trotz seiner drei ineinandergeschachtelten Schleifen zur Aufwandsklasse O(n2) zu zählen ist.
g) Geben Sie einen Algorithmus an, welcher den längsten Weg in einem Graphen berechnet,
der alle Knoten genau einmal enthält. Bestimmen und begründen Sie dessen
Aufwandsklasse.
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INFORMATIK-NACHKLAUSUR
Name:
Bearbeitungszeit: 180 min
IF1 − Info 13 GK (GA)
Aufgabe 2:
13.01.2003
− Seite 2 −
Graphentheorie − gerichtete Graphen: Kreise
Ein gerichteter Graph G heißt kreisfrei, wenn es keinen Weg gibt, dessen Anfangs- und
Endknoten gleich sind.
a) Geben Sie jeweils ein Beispiel mit mindestens 7 Knoten für einen kreisfreien und einen
nicht kreisfreien Graphen an.
b) Erläutern Sie, warum die Betrachtung von kreisfreien Graphen auf ungerichteten Graphen
unsinnig ist.
c) Begründen oder widerlegen Sie:
(1) G ist kreisfrei
G ist ein Baum
(2) G ist ein Baum
G ist kreisfrei
d) Schreiben Sie einen Algorithmus, welcher auf einem gerichteten Graphen prüft, ob er
kreisfrei ist.
ALGORITHMUS
Input:
Output:
Lokal:
???
Prüfe_auf_Kreisfreiheit
Matrix:
kreisfrei:
???
TAdjazenzmatrix
boolean
{ Array[1..n,1..n] of integer }
INFORMATIK-NACHKLAUSUR
Anlage I zur
ALGORITHMUS
Input:
Output:
Lokal:
Breitensuche
Startknoten:
integer
Liste:
Ergebniskanten:
Besucht:
Schlange:
Zielknoten:
{ Initialisierung }
• Ergebniskanten ← „neue Liste“
• Schlange ← „neue Schlange“
• Für alle Zielknoten
tue: • Besucht ← false
• Liste[Zielknoten].AnAnfang
• Schlange.Enqueue(Startknoten)
• Besucht[Startknoten] ← true
TAdjazenzliste
TLinList
array of boolean
TQueue
integer
{ über TKantenelement }
{ über TKnotenelement }
{ Algorithmus }
• Solange NICHT Schlange.Empty
tue: • Startknoten ← Schlange.Front
• Solange NICHT Liste[Startknoten].AmEnde UND
Besucht[Liste[Startknoten].Aktuell]
tue: • Liste[Startknoten].Vor
• Falls NICHT Besucht[Liste[Startknoten].Aktuell]
dann: • Zielknoten ← Liste[Startknoten].Aktuell
• Schlange.Enqueue(Zielknoten)
• Besucht[Zielknoten] ← true
• Ergebniskanten.Einfuegen(Startknoten − Zielknoten)
sonst: • Schlange.Dequeue
ALGORITHMUS
Input:
Output:
Lokal:
Tiefensuche
Startknoten:
integer
Liste:
Ergebniskanten:
Besucht:
Stapel:
Zielknoten:
TAdjazenzliste
TLinList
array of boolean
TStack
integer
Ersetze in Breitensuche:
Schlange
durch Stapel
sowie die Methodenaufrufe
Enqueue
Dequeue
Front
{∗}
durch
durch
durch
Push
Pop
Top
{ über TKantenelement }
{ über TKnotenelement }
INFORMATIK-NACHKLAUSUR
Anlage II zur
ALGORITHMUS
Input:
Output:
Lokal:
Dijkstra
Matrix:
Startknoten:
Distanz:
Vorgaenger:
Erledigt:
MinKnoten:
Knoten:
{ Initialisierung }
• Für Knoten ← 1 bis n
tue: • Distanz[Knoten] ← maxInt
• Vorgaenger[Knoten] ← −1
• Erledigt[Knoten] ← false
• Distanz[Startknoten] ← 0
TAdjazenzmatrix
{ Array[1..n,1..n] of integer }
integer
array[1..n] of integer
array[1..n] of integer
array[1..n] of boolean
integer
{ hat kleinste Distanz zum Startknoten }
integer
{ durchläuft alle möglichen Knoten }
{ bedeutet soviel wie: ∞ }
{ Algorithmus }
• Wiederhole n mal:
• MinKnoten ← Knoten_mit_kleinster_Distanz
{∗}
• Falls MinKnoten ≠ −1
dann: • Erledigt[MinKnoten] ← true
• Für Knoten ← 1 bis n
tue: • Falls NICHT Erledigt[Knoten] UND
Distanz[MinKnoten] + Matrix[MinKnoten, Knoten] < Distanz[Knoten]
dann: • Distanz[Knoten] ←
Distanz[MinKnoten] + Matrix[MinKnoten, Knoten]
• Vorgaenger[Knoten] ← MinKnoten
Hilfsfunktion zur Bestimmung des Knotens mit minimaler Distanz zum Startknoten:
ALGORITHMUS Knoten_mit_kleinster_Distanz
Output:
MinKnoten: integer
{ hat kleinste Distanz zum Startknoten }
Lokal:
MinDistanz: integer
Knoten:
integer
{ durchläuft alle möglichen Knoten }
• MinDistanz ← maxInt
{ erst mal von größtmöglicher Distanz ausgehen }
• MinKnoten ← −1
• Für Knoten ← 1 bis n
tue: • Falls NICHT Erledigt[Knoten] UND Distanz[Knoten] < MinDistanz
dann: • MinDistanz ← Distanz[Knoten]
• MinKnoten ← Knoten
Anlage III zur
ALGORITHMUS
Input:
Output:
Lokal:
INFORMATIK-NACHKLAUSUR
Ford
Matrix:
TAdjazenzmatrix
Startknoten:
Distanz:
Vorgaenger:
AmEnde:
von, nach:
Knoten:
integer
array[1..n] of integer
array[1..n] of integer
boolean
integer
integer
{ Array[1..n,1..n] of integer }
{ Initialisierung }
• Für Knoten ← 1 bis n
tue: • Distanz[Knoten] ← maxInt
• Vorgaenger[Knoten] ← Startknoten
• Distanz[Startknoten] ← 0
• Vorgaenger[Startknoten] ← −1
{ Algorithmus }
• AmEnde ← true
• Wiederhole
• Für von ← 1 bis n
tue: • Für nach ← 1 bis n
tue: • Falls Distanz[von] + Matrix[von, nach] < Distanz[nach]
dann: • Distanz[nach] ←
Distanz[von] + Matrix[von, nach]
• Vorgaenger[nach] ← von
• AmEnde ← false
bis: AmEnde = true
{∗}