Informatik II

Informatik II ‐ SS 2014
(Algorithmen & Datenstrukturen)
Vorlesung 19 (22.7.2014)
Kürzeste Wege:
Negative Gewichte, alle Paare
Fabian Kuhn
Algorithmen und Komplexität
Fabian Kuhn
Informatik II, SS 2014
Kürzeste Wege
Problem
• Gegeben: gewichteter Graph – Wir bezeichnen Gewicht einer Kante
– Annahme: ∀ ∈ :
0
, ,
,
als
, Startknoten ∈
,
• Ziel: Finde kürzeste Pfade / Distanzen von zu allen Knoten
,
– Distanz von zu : 1
1
3
9
3
(Länge eines kürzesten Pfades)
2
15
3
7
8
4
2
6
6
1
5
8
Fabian Kuhn
6
9
7
Informatik II, SS 2014
2
Negative Kantengewichte
• Kürzeste Pfade können auch in Graphen mit negativen Kantengewichten definiert werden
Beispiel
4
3
5
2
4
6
3
3
8
7
6
Fabian Kuhn
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3
Negative Kantengewichte
Satz: In einem gerichteten, gewichteten Graphen hat es genau dann einen kürzesten Pfad von nach , falls es keinen negativen Kreis
gibt, welcher von erreichbar ist und von welchem erreichbar ist.
• gilt auch für ungerichtete Graphen, falls Kanten , als 2 gerichtete Kanten , und , betrachtet werden
Fabian Kuhn
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4
Optimalität von Teilpfaden
Lemma: Falls , , … , ein kürzester Pfad von nach ist,
dann gilt für alle 0
, dass der Teilpfad ,
,…,
ein kürzester Pfad von nach ist.
• gilt auch bei negativen Kantengewichten...
Fabian Kuhn
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5
Zur Erinnerung: Dijkstras Algorithmus
• Algorithmus kennt zu jedem Zeitpunkt einen Teilbaum
eines Shortest Path Trees
• Man merkt sich zudem für jeden Knoten, wie er über 1 Kante
von am besten erreicht werden kann und nimmt in jedem
Schritt den besten solchen Knoten zu hinzu.
Fabian Kuhn
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6
Dijkstras Algorithmus
Initialisierung ∅, ∅
•
,
0, sowie
,
NULL für alle ∈
•
∞ für alle ∈ ∖
∖
(braucht’s nicht für )
Interationsschritt
• Wähle Knoten mit kleinstem
,
≔
min
,
∈ ∩
• Gehe durch die Ausgangsnachbarn ∈
,
≔ min
,
,
,
,
∖
und setze
,
– Falls nötig, setze auch • Füge Kante Fabian Kuhn
,
zum Baum hinzu.
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7
Dijkstras Algorithmus und negative Gewichte
Funktioniert Dijkstras Algorithmus auch bei negativen
Kantengewichten?
• Antwort: nein
Fabian Kuhn
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8
Bellman‐Ford Algorithmus
• Zur Vereinfachung beschränken wir uns darauf, die Distanzen zu
berechnen
Annahme:
• Für alle Knoten : Algorithmus hat Wert ,
• Initialisierung: ,
0, ,
∞ für
Beobachtung:
• Falls , ∈ , so dass
,
Fabian Kuhn
,
,
,
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,
,
, dann gilt:
,
9
Bellman‐Ford
• Betrachte alle Kanten
,
und versuche
– solange, bis alle Distanzen korrekt sind (∀ ∈ : repeat
for all ,
if ,
zu verbessern
,
,
)
∈
do
,
≔
,
,
until ∀ ∈ : ,
,
,
then
,
,
• Wieviele Wiederholungen sind nötig?
Fabian Kuhn
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10
Bellman‐Ford
• Betrachte alle Kanten
,
und versuche
– solange, bis alle Distanzen korrekt sind (∀ ∈ : for i := 1 to n‐1 do
for all , ∈ do
,
if ,
, ≔
,
,
,
zu verbessern
,
,
)
then
,
Nach Wiederholungen ist
,
, , wobei
, die Länge des kürzesten Pfades aus höchstens Kanten bezeichnet.
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Bellman‐Ford
Lemma: Falls der Graph keine negativen Kreise enthält, sind am Schluss alle Distanzen korrekt berechnet.
Fabian Kuhn
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Negative Kreise erkennen
• Wir werden sehen: Falls es einen (von erreichbaren) negativen
Kreis hat, dann gibt es für irgendeine Kante eine Verbesserung.
∃
,
∈
∶
,
,
,
Bellman‐Ford Algorithmus
for i := 1 to n‐1 do
for all , ∈ do
,
if ,
, ≔
,
for all
, ∈ do
,
,
if
return false
return true
Fabian Kuhn
,
then
,
,
then
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Negative Kreise erkennen
Lemma: Falls einen von erreichbaren negativen Kreis enthält, dann gibt der Bellman‐Ford Algorithmus false zurück.
Fabian Kuhn
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Kürzeste Pfade
Ein Shortest Path Tree kann in der üblichen Art konstruiert werden.
Initialisierung:
•
,
0, für ∶
,
NULL
•
(Wurzel zeigt auf sich selbst), für In jedem Schleifendurchlauf:
...
if ,
,
, ≔
,
≔
• Am Schluss zeigt ,
∶
NULL
then
,
zum Parent in einem Shortest Path Tree
– falls es keine negativen Kreise hat...
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Bellman‐Ford Alg.: Zusammenfassung
Theorem: Falls es einen von erreichbaren negativen Kreis hat, wird
dieser vom Bellman‐Ford Algorithmus erkennt. Falls kein solcher
negativer Kreis existiert, berechnet der Bellman‐Ford Algorithmus in Zeit
⋅
einen Shortest Path Tree.
• Man kann den Algorithmus einfach so abändern, dass er für alle , für welche ein kürzester Pfad von existiert, einen solchen Pfad
berechnet.
Fabian Kuhn
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Bellman‐Ford Algorithmus: Beispiel
1
0
2
1
3
1
3
2
3
2
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Routing‐Pfade in Netzwerken
Ziel: Optimale Routing‐Pfade zu einer Destination • Von jedem Knoten aus wollen wir wissen, zu welchem Nachbar
einen Nachricht geschickt werden muss.
• Entspricht einem Shortest Path Tree, falls alle Kanten umgedreht
werden (transponierter Graph)
Algorithmus:
• Knoten merken sich aktuelle Distanz
, und den aktuell
besten Nachbar
• Alle Knoten schauen gleichzeitig (parallel), ob’s bei irgendeinem
Nachbar eine Verbesserung gibt
∃ , ∈ ∶
,
,
,
• entspricht einer parallelen Version des Bellman‐Ford Algorithmus
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Kürzeste Wege zw. allen Knotenpaaren
• all pairs shortest paths problem
Berechne single‐source shortest paths für alle Knoten
• Dijkstras Algorithmus mit allen Knoten:
Laufzeit: ⋅
LaufzeitDijkstra ∈
log
– Problem: funktioniert nur bei nichtnegativen Kantengewichten
• Bellman‐Ford Algorithmus mit allen Knoten:
Laufzeit: ⋅
LaufzeitBF ∈
∈
– Problem: langsam...
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Distanzen zw. allen Knotenpaaren
• Wir beschränken uns zur Einfachheit auf Distanzen
• Anstatt mit Adjazenzlisten werden wir dieses Mal mit der Adjazenzmatrix arbeiten
• Oder etwas genauer, mit einer Distanzmatrix
• Initialisierung:
1
1
2
2
1
3
3
3
1
2
3
4
5
2
Fabian Kuhn
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20
Distanzmatrix
Nach Initialisierung: • Matrix : Distanzen, falls man nur Pfade bestehend aus
Kante verwenden darf
Pfade aus
Kanten?
• Ziel: Matrix : Distanzen durch Pfade aus
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1
2 Kanten
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Distanzmatrix
Pfade aus
Kanten?
• Matrix : Distanzen, falls nur Pfade aus
werden dürfen
2 Kanten benutzt
Rekursive Berechnung:
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Distanzmatrix und Matrixmultiplikation
Berechnung von (aus
Matrixmultiplikation von und ):
und :
Definition: ⊙
• Matrixmultiplikation in der sogenannten Min‐Plus‐Algebra
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Distanzmatrix berechnen
Algorithmus zum Berechnen der Distanzmatrix
≔
for ≔ 2 to
1 do
≔
⊙
oder ausgeschrieben...
≔
for ≔ 2 to
1 do
for ≔ 1 to
do
for ≔ 1 to
do
, ≔
,
for ≔ 1 to
do
if
,
, ≔
Fabian Kuhn
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,
,
,
,
then
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