(Prim)Idealtheorie, Dedekindsche Zetafunktion

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ZAHLENTHEORIE
JÖRN STEUDING — WÜRZBURG, KURZSKRIPT SOMMERSEMESTER 2013
Zur Notation: Wir schreiben f (x) = O(g(x)) und f (x) ≪ g(x) bei x → x0 , wenn
lim supx→x0 |f (x)|/g(x) < ∞; ist dieser lim sup gleich null, so notieren wir dies als f (x) = o(g(x)).
Mit ♯M wird die Kardinalität einer Menge M bezeichnet. Alle auftretenden Logarithmen log sind
natürlich, also zur Basis e = exp(1) = 2, 71828 . . .. Kleine lateinische Buchstaben stehen mit Ausnahme von x (meist) für ganze Zahlen, x sowie griechische Buchstaben hingegen (meist) für reelle
Zahlen und große lateinische Buchstaben für Variable.
Zugrundeliegende Literatur:
• A. Baker, A Comprehensive Introduction to the Theory of Numbers, Cambridge 2012
• S.I. Borewicz, I.R. Šafarevič, Zahlentheorie, Birkhäuser 1966
• J.W.S. Cassels, An Introduction to the Geometry of Numbers, Springer 1959
• J.P.G.L. Dirichlet, Vorlesungen über Zahlentheorie, 2. Auflage 1871, herausgegeben von R.
Dedekind; online erhältlich unter http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/
• G.H. Hardy, E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Clarendon Press 1938,
6. Aufl. 2008
• L.K. Hua, Introduction to Number Theory, Springer 1982
• M. Koecher, A. Krieg, Elliptische Funktionen und Modulformen, Springer, 2. Auflage 2007
• H. Opolka, W. Scharlau, Von Fermat bis Minkowski. Eine Vorlesung über Zahlentheorie und
ihre Entwicklung, Springer 1980
• J. Steuding, Diophantine Analysis, CRC-Press/Chapman-Hall 2005
• A. Weil, Number Theory: An Approach Through History from Hammurapi to Legendre,
Birkhäuser 2006
• J. Wolfart, Einführung in die Zahlentheorie und Algebra, Vieweg, 2. Auflage 2011
• D. Zagier, Zetafunktionen und Quadratische Körper, Springer 1981
Inhaltsverzeichnis
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
Gitterpunkte zählen!
Faltung arithmetischer Funktionen
Der Minkowskische Gitterpunktsatz
Ungleichungen mit Linearformen
Minima positiv definiter quadratischer Formen
Äquivalenz binärer quadratischer Formen
Reduktionstheorie
Das Jacobi- und das Kronecker-Symbol
Automorphe und Totale Darstellungsanzahl
Die analytische Klassenzahlformel
Quadratische Zahlkörper
Euklidische und faktorielle Ganzheitsringe
Zerlegung von Primzahlen
Ideale, Primideale und gebrochene Ideale
Die Idealklassengruppe
Die Dedekindsche Zetafunktion
Ein Tauber-Satz und die Verteilung der Primideale
1
2
4
5
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30
32
2
ZAHLENTHEORIE
Diese Vorlesung ist eine Fortsetzung der Einführung in die Zahlentheorie.
Die zentralen Themen bilden Gitterpunkte, quadratische Formen und Primzahlen. Hierzu studieren wir Mittelwerte arithmetischer Funktionen, untersuchen die
Arithmetik von Zahlkörpern und beweisen insbesondere den Primzahlsatz; schließlich gehen wir auch noch kurz auf Modulformen ein.
Wir beginnen jedoch mit der Geometrie der Zahlen, einem Gebiet, welches Minkowski in den 1890ern ins Leben gerufen hat und diverse Anwendungen auf diophantische Fragestellungen hat, aber auch für die Arithmetik von quadratischen
Formen und Zahlkörpern relevant ist. Ursprünge geometrischer Betrachtungen in
der Zahlentheorie finden sich jedoch bereits bei klassischen Problemstellungen (wie
etwa der Pellschen Gleichung, die nach Gitterpunkten auf Hyperbeln fragt bzw.
pythagoräische Tripel, welche mit den rationalen Punkten auf dem Einheitskreis
korrespondieren).
1. Gitterpunkte zählen!
Eine einfache Frage: Wie viele ganzzahlige Gitterpunkte liegen in einem Kreis?
Handelt es sich um den Kreis vom Radius x > 0 mit Mittelpunkt 0 = (0, 0) in der
euklidischen Ebene, so zählt
r(n) := ♯{(a, b) ∈ Z2 : a2 + b2 = n}
√
für n ∈ N0 einerseits eben die Gitterpunkte (a, b) ∈ Z2 , die einen Abstand n vom
Ursprung 0 haben, andererseits auch die Anzahl der Darstellungen von n als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen; dies schlägt eine Brücke zwischen Geometrie
und Zahlentheorie. Nach einem Satz von Fermat gilt r(p) > 0 für alle Primzahlen
p ≡ 1 mod 4; z.B. gilt 5 = 22 + 12 . Im Wesentlichen ist jede solche Darstellung
(bis auf die offensichtlichen Symmetrien) eindeutig, was auf r(p) = 4 für diese
Primzahlen führt. Hingegen ist r(p) = 0 für alle Primzahlen p ≡ 3 mod 4. Dieses recht unterschiedliche Werteverhalten lässt sich durch eine Mittelwertbildung
besser verstehen: Für x ≥ 0 sei
X
R(x) := ♯{(a, b) ∈ Z2 : a2 + b2 ≤ x} =
r(n).
0≤n≤x
Diese Anzahl von Gitterpunkten lässt sich
durch die Fläche des
Kreises approximieren
(vermöge
eindeutiger
Zuordnung eines achesenparallelen Quadrates
der Kantenlänge eins
mit Mittelpunkt in
einem jeden solchen
Gitterpunkt);
also
R(x) ∼ πx. Mit ein
wenig elementarer Geometrie lässt sich dies
präzisieren:
Abbildung 1. Das Kreisproblem illustriert an einer Torte zum diesjährigen π-day
am 3/14.
Satz 1 (Gauß, 1801).
R(x) = πx + O(x1/2 ).
ZAHLENTHEORIE
3
Der Mittelwert von r(n) bei n → ∞ ist also gleich der Irrationalzahl π (womit ein
verschwindender Fehlerterm unmöglich ist).∗ Das so genannte Kreisproblem fragt
nach dem bestmöglichen Fehlerterm. Die zur Zeit beste obere Schranke ist R(x) −
πx ≪ x131/416+ǫ ,† während andererseits ein Fehlerterm x1/4 (log x)1/4 (log log x)1/8
unmöglich ist.‡ Höherdimensionale Analoga sind leichter zu handhaben: Bezeichnet
rk (n) die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von k Quadraten, so gilt
k
lim x
x→∞
− k2
π2
rk (n) =
,
k
Γ( 2 + 1)
n≤x
X
wobei die rechte Seite das Volumen der k-dimensionalen Einheitskugel des Rk ist;§
k
für k ≥ 5 ist der bestmögliche Fehlerterm O(x 2 −1 ), wie Walfisz (1924) zeigte.¶
Ersetzt man im eindimensionalen Fall die Kreislinie durch eine beliebige einfach
geschlossene, rektifizierbare Kurve der Länge ℓ mit einem (beschränkten) Inneren
der Fläche a, so gilt nach einem Resultat von Jarnik |a − R| < ℓ für die Anzahl R
der umschlossenen Gitterpunkte.k
Ein verwandtes Problem beschäftigt sich
P mit Gitterpunkten unterhalb einer Hyperbel. Die Teilerfunktion n 7→ d(n) := d|n 1 zählt die positiven Teiler von n ∈ N.
Auch diese arithmetische Funktion oszilliert stark: d(p) = 2 besteht genau für prime p, während d(m!) mit wachsendem m beliebig groß wird. Hier ergibt sich mit der
’Hyperbel-Methode’∗∗ ein Wachstum ähnlich der divergenten harmonischen Reihe:
Satz 2 (Dirichlet, 1849).
X
d(n) = x log x + (2γ − 1)x + O(x1/2 ).
n≤x
P
Hierbei ist γ := limN →∞ ( n≤N n1 − log N ) = 0, 577 . . . die Euler–Mascheroni–
Konstante und es gilt die asymptotische Formel
X 1
= log x + γ + O(x−1 ),
m
m≤x
wie sich mit Abelscher Teilsummation zeigt: Für stetig differenzierbare f gilt


Z x X
X
X

αm  f ′ (u) du.
αm f (m) =
αm f (x) −
m≤x
m≤x
1
m≤u
Voronoı̈ (1903) erzielte eine explizite Darstellung des Fehlerterms in Dirichlets
asymptotischer Formel. Nach der bestmöglichen Abschätzung des Fehlerterms fragt
das Teilerproblem; es bestehen hierbei ganz ähnliche Abschätzungen wie beim
Kreisproblem. Vermutlich ist jeweils ein Exponent 14 im Wesentlichen bestmöglich.
∗
Durch Abzählen der Gitterpunkte in immer größeren Kreisen berechnete Gauß Dezimalstellen
von π; eine verwandte Idee verwenden Monte Carlo-Methoden.
†
M.N. Huxley, Exponential Sums and Lattice Points III. Proc. London Math. Soc. 87 (2003),
591-609; tatsächlich wird hier sogar noch xǫ durch (log x)18 637/8320 präzisiert!
‡
K. Soundararajan, Omega results for the divisor and the circle problem, Int. Math. Res.
Not. 36 (2003), 1987-1998
§
welche übrigens im Gegensatz zum k-dimensionalen Einheitswürfel ein mit k → ∞ gegen null
konvergierendes Volumen besitzen(!), wie man mit Hilfe der Stirlingschen Formel zeigt.
¶
siehe F. Fricker, Einführung in die Gitterpunktlehre, Birkhäuser 1982
k
siehe Hua, Seite 123
∗∗
engl.: ’hyperbola method’
4
ZAHLENTHEORIE
Übung: i) Es gilt stets r(n) = r(2n) und die Mittelwerte von r(n) für gerade bzw.
ungerade n sind gleich. ii) Der Mittelwert von d(n) ist log n bei wachsendem n.
Tatsächlich weicht d(n) für viele n davon deutlich ab. Es gelten
log log n
,
lim inf log d(n) = log 2 = lim sup log d(n)
n→∞
log n
n→∞
womit die so genannte Minimal- und Maximalordnung von d(n) also null bzw.
2log n/ log log n betragen.††
P
Übungsaufgaben: a) Berechne den Mittelwert von n 7→ σ(n) := d|n d; geben Sie
eine möglichst gute Abschätzung des Fehlerterms an. b) Finde α ∈ R, so dass
P
n≤x (αd(n) − log n) minimal ist. c) Wie viele ganzzahlige Gitterpunkte sind vom
Ursprung aus sichtbar?
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: verbesserte Fehlerabschätzungen beim
Teilerproblem, der Satz von Jarnik, der Satz von Erdös-Fuchs, Maximal- und Minimalordnung arithmetischer Funktionen.
2. Faltung arithmetischer Funktionen
Die Möbiussche µ-Funktion ist definiert durch µ(1) = 1 und µ(n) = 0 für quadratbehaftete n sowie µ(n) = (−1)m , falls n ein Produkt von m verschiedenen
Primzahlen ist. Damit ist µ multiplikativ und es gilt
X
+1
falls n = 1,
ǫ(n) :=
µ(d) =
0
sonst.
d|n
Die Faltung∗ arithmetischer Funktionen f, g : N → C ist erklärt durch
X
(f ∗ g)(n) :=
f (d)g(n/d);
d|n
zusammen mit der durch Superposition erklärten Addition ist so die Menge der
arithmetischen Funktionen ein kommutativer Ring mit Einselement ǫ. Die Faltung
korrespondiert dabei mit der Multiplikation der assoziierten erzeugenden (formalen) Dirichlet-Reihen:
 


X
X
X

f (m)m−s  × 
g(d)d−s  =
(f ∗ g)(n)n−s .
m≥1
n≥1
d≥1
Satz 3 (Möbius Umkehrung, 1832). Es ist genau dann g = f ∗1, wenn f = µ∗g.
Zum Beispiel bestehen die Identitäten ǫ = µ ∗ 1 sowie d = 1 ∗ 1 und für die
Eulersche ϕ-Funktion ϕ = µ ∗ id bzw. id = ϕ ∗ 1. Entsprechend lassen sich viele
relevante Dirichlet-Reihen mit Hilfe der Riemannschen Zetafunktion ausdrücken;
beispielsweise:
Y
X
ζ(s)−1 =
(1 − p−s ) =
µ(n)n−s
(Re s > 1).
p
sowie
∞
X
n=1
††
∗
d(n)n−s = ζ(s)2
(Re s > 1),
n≥1
∞
X
n=1
ϕ(n)n−s =
ζ(s − 1)
ζ(s)
(Re s > 2).
Insofern können auf Hyperbeln bd = n erstaunlich viele ganzzahlige Punkte (b, d) liegen!
engl. convolution
ZAHLENTHEORIE
5
Statt der Frage nach der Anzahl der Gitterpunkten in einem Kreis können wir
auch nach der Anzahl der vom Ursprung sichtbaren Gitterpunkte fragen: In diesem
Fall müssen die Koordinaten des betreffenden Gitterpunktes (a, b) ∈ Z2 teilerfremd
sein. Diese arithmetische Obstruktion führt auf die ϕ-Funktion und in Kombination
2
mit der Eulerschen Formel ζ(2) = π6 ergibt sich
Satz 4 (Mertens, 1874).
X
ϕ(n) =
3 2
x
π2
+ O(x log x).
n≤x
Damit ist die Wahrscheinlichkeit,† dass zwei natürliche Zahlen teilerfremd sind,
gleich π62 = 0, 6079 . . ..
Satz 5 (Gegenbauer, 1885).
X
µ(n)2 =
6
x
π2
+ O(x1/2 );
n≤x
insbesondere ist die Dichte der quadratfreien Zahlen in N gleich
6
.
π2
Der Beweis basiert auf dem Ein- und Ausschlussprinzip der Kombinatorik sowie
der Beobachtung, dass µ(n)2 = 1 genau für quadratfreie n gilt.
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Mittelwerte multiplikativer arithmetischer Funktionen; die Sätze von Wintner, Wirsing und Halász.
3. Der Minkowskische Gitterpunktsatz
Im Folgenden sei stets n ≥ 2. Eine Menge C ⊂ Rn heißt konvex, falls [x, y] :=
{ℓx + (1 − ℓ)y : 0 ≤ ℓ ≤ 1} ⊂ C für je zwei beliebige x, y ∈ C, wenn also das zwei
beliebige Punkte verbindende Liniensegment ganz in der Menge enthalten ist. Eine
beschränkte konvexe Menge besitzt stets ein wohldefiniertes endliches Volumen
vol(C).∗ Eine konvexe Menge C, die nicht in einer Hyperebene enthalten ist, heißt
ein konvexer Körper. Eine Menge C wird symmetrisch genannt, wenn C = −C, also
mit x ∈ C stets auch −x ∈ C gilt.
Satz 6 (Minkowskischer Gitterpunktsatz, 1889/91). Sei C ⊂ Rn ein symmetrischer konvexer Körper mit einem Volumen vol(C) > 2n . Dann enthält C mindestens einen von 0 verschiedenen Gitterpunkt z.
Der Beweis nach Mordell basiert auf der Ausschöpfung des konvexen Körpers durch
immer kleinere Quader ähnlich der Approximation von Integralen durch immer
feinere Riemann-Summen.†
Bislang haben wir den Begriff Gitter synonym für die Menge Zn verwendet.
Allgemein verstehen wir unter einem Gitter Λ in einem euklidischen Raum V eine
diskrete additive Untergruppe von V , deren Erzeugnis ganz V ist. Im Rn lässt sich
mit ein wenig linearer Algebra ein solches Gitter stets darstellen als
(1)
Λ = {m1 z1 + . . . + mn zn : mj ∈ Z} =: z1 Z + . . . + zn Z
mit gewissen in Rn linear unabhängigen z1 , . . . , zn . Beispielsweise ist die Menge
der ganzen Gaußschen Zahlen Z[i] = {a + ib : a, b ∈ Z} ein Gitter (aber auch ein
†
im Sinne eines Laplace-Experimentes
wie eine approximierende Ausschöpfung von C durch Quader zeigt; auch im Falle n = 2
verwenden wir die Notation vol für die Fläche.
†
Einen alternativen Ansatz liefern die Arbeiten von Blichfeldt; siehe Cassels’ Monographie
Introduction to the Geometry of Numbers.
∗
6
ZAHLENTHEORIE
Abbildung 2. Statt im Kreisproblem den Radius wachsen zu lassen, kann
auch der Abstand zwischen den Gitterpunkten verringert werden – das Verhältnis zwischen Gitterpunktanzahl und Fläche der Zellen ist asymptotisch gleich
der Kreisfläche. Entdeckte Mordell so seinen Beweis des Gitterpunktsatzes?
Ring bzw. ein Ideal) und mit der Interpretation von C als R-Vektorraum entspricht
diesem Z2 in der euklidischen Ebene R2 . Der Fundamentalbereich von Λ ist definiert
durch
F = {λ1 z1 + . . . + λn zn : 0 ≤ λj < 1}};
die Determinante des Gitters ist gegeben durch die n × n-Determinante
det(Λ) = | det(z1 , . . . , zn )|
und entspricht dem Volumen von F (welches 6= 0 ist auf Grund der linearen Unabhängigkeit der Spaltenvektoren zj ), ist also unabhängig von den nicht-eindeutig
bestimmten erzeugenden Vektoren zj in (1).
Gauß’ Behandlung der Frage nach der Anzahl der Punkte mit ganzzahligen
Koordinaten in einem gegebenen Kreis entnehmen wir unmittelbar folgende Verallgemeinerung auf beliebige Gitter: Die Anzahl der Gitterpunkte z ∈ Λ in einer
n-dimensionalen Kugel B ist asymptotisch gleich dem Quotienten des Volumens
von B und dem Volumen des Fundamentalbereichs F. Minkowski fragte, unter
welchen Umständen eine Menge einen Gitterpunkt notwendig enthalten muss.‡
Die bijektive lineare Abbildung









x1
z11 . . . z1n
x1
y1
z1j
 .. 
 .
..   ..  =:  ..  mit z =  .. 
 .  7→  ..
 . 
 . 
j
.  . 
xn
zn1 . . . znn
xn
yn
zjn
bildet das Standardgitter Zn auf Λ ab; zusätzlich werden (symmetrische) konvexe
Körper des x-Raumes in ebensolche im y-Raum abgebildet. Dabei gilt mit Hilfe
der Transformationsformel
Z
Z
Z
Z
. . . f (x1 , , . . . , xn ) dx1 . . . dxn = det(Λ) . . . f (y1 , , . . . , yn ) dy1 . . . dyn
mit integrierbaren Funktionen f . Entsprechend ergibt sich
Satz 7 (Minkowskischer Gitterpunktsatz, allgemeine Version). Es sei Λ ⊂ Rn
ein Gitter und C ⊂ Rn ein symmetrischer konvexer Körper mit einem Volumen
vol(C) > 2n det(Λ). Dann enthält C mindestens einen vom Ursprung 0 verschiedenen Gitterpunkt z ∈ Λ.
Gilt hingegen vol(C) ≥ 2n det(Λ), so folgt mit einem Stetigkeitsargument die Existenz eines von 0 verschiedenen Gitterpunktes in C oder auf seinem Rand.
‡
Seine Monographie Geometrie der Zahlen, Teubner 1896/1910, ist immernoch ein lesenswerter
Klassiker; leichter zugänglich ist sicherlich Cassels’ Monographie.
ZAHLENTHEORIE
7
Mit dem Minkowskischen Gitterpunktsatz wird das geometrische Konzept der
Konvexität arithmetischen Fragestellungen nutzbar gemacht; folgende Anwendungen auf Summen von Quadraten gehen auf Davenport zurück:
Satz 8 (Zweiquadratesatz von Fermat, ≤ 1640§). Jede Primzahl p ≡ 1 mod 4
lässt sich darstellen als Summe zweier Quadrate ganzer Zahlen.
Beispielsweise gilt 30 449 = 1002 + 1432 . Für den Beweis betrachtet man das Gitter
Λ = ( 1q )Z + ( 0p )Z ⊂ R2 mit q 2 ≡ −1 mod p (welches nach dem ersten Ergänzungsgesetz erfüllbar ist).
Satz 9 (Vierquadratesatz von Lagrange, 1772). Jede natürliche Zahl besitzt
eine Darstellung als Summe von vier Quadraten.
Ein Beweis basiert auf der Normengleichung für Quaternionen und einer Anwendung des Minkowskischen Gitterpunktsatzes auf das durch das System linearer
Kongruenzen
X3 ≡ aX1 + bX2 , X4 ≡ bX1 − aX2 mod p
definierte Gitter mit der erfüllbaren Nebenbedingung a2 + b2 + 1 ≡ 0 mod p.¶
Übung: iii) Ganzzahlige Linearkombinationen von über R linear abhängigen Vektoren bilden keine diskrete Menge. iv) Eine Menge Ω ⊂ Rn heißt packbar, wenn
(x + Ω) ∩ (y + Ω) = ∅ für verschiedene x, y ∈ Zn gilt; der Satz von Blichfeldt
besagt: Ist Ω Lebesgue-meßbar und packbar, dann gilt vol(Ω) ≤ 1. Dies liefert einen
alternativen Beweis des Minkowskischen Gitterpunktsatzes.
v) Der erstaunliche Satz von Pick besagt: Ist Π ⊂ R2 ein konvexes Polygon mit
Eckpunkten in Z2 und nicht-leerem Inneren, dann gilt
♯(Π ∩ Z2 ) = vol(Π) + 21 ♯(∂Π ∩ Z2 ) + 1,
wobei ∂Π für den Rand von Π steht.
Höherdimensionale Analoga liefern die
Ehrhart-Polynome.
Abbildung
3. Ein
nicht-konvexes Polygon der
Fläche 13 12 .
Übungsaufgaben: d) Gebe einen vollständigen Beweis des Vierquadratesatzes von
Lagrange mit Hilfe des Minkowskischen Gitterpunktsatzes. e) Sei C eine abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius r > 0 mit Mittelpunkt im Ursprung und auf jedem
ganzzahligen Gitterpunkt (a, b) 6= 0 der euklidischen Ebene innerhalb C sei mittig
ein hoher Baum vom Radius ρ gepflanzt. Für welche Verhältnisse von r und ρ ist es
unmöglich vom Ursprung heraus aus dem Wald hinaus zu schauen? f) Die dichteste
π
= 0, 906 . . . des
Kreisgitterpackung ist nach Lagrange hexagonal und bedeckt 2√
3
R2 , während die dichteste Kugelgitterpackung nach Gauß flächenzentriert-kubisch
π
ist mit einem Bedeckungsanteil von 3√
= 0, 74 . . . des R3 .k
2
§
Fermats Beweis ist nicht erhalten; den ersten überlieferten Beweis erbrachte Euler 1749.
Details etwa in Cassels, Steuding oder Wolfart
k
Beide sind sogar unter allen Kreis- bzw. Kugelpackungen optimal, wie sogar mathematisch
ungebildete Bienen und Orangenverkäufer wissen...
¶
8
ZAHLENTHEORIE
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Ehrhart-Polynome, sukzessive Minima
und der zweite Gitterpunktsatz von Minkowski.
4. Ungleichungen mit Linearformen
Der Minkowskische Gitterpunktsatz liefert einen alternativen Zugang zu Fragestellungen der Theorie diophantischer Approximationen: Beispielsweise folgt der
klassische Dirichletsche Approximationssatz aus einer Anwendung auf den durch
1
die Ungleichungen |x| ≤ Q + 21 , |yα − x| < Q
definierten Quader im R2 : Insbesondere existieren zu einer gegebenen Irrationalzahl α unendlich viele rationale pq
mit
p
α − < 1
(2)
q q2
und R \ Q ist dadurch charakterisiert. Dies lässt sich folgendermaßen verallgemeinern: Eine homogene Linearform Yj in den Variablen X1 , . . . , Xn mit reellen
Koeffizienten αij ist gegeben durch
Yj (X) = Yj (X1 , . . . , Xn ) = αj1 X1 + . . . + αjn Xn .
Unter der Annahme, dass die den Linearformen zugeordnete Determinante det(αjk )
nicht verschwindet, bilden die von ganzen Zahlen x1 , . . . , xn herrührenden Tupel
(Y1 (x1 , . . . , xn ), . . . , Yn (x1 , . . . , xn )) ein Gitter Λ ⊂ Rn mit det(Λ) = | det(αjk )| und
Anwenden des Minkowskischen Gitterpunktsatzes auf den durch die Ungleichungen
|Y1 (X)| ≤ λ1 . . . , |Yn (X)| ≤ λn definierten symmetrisch konvexen Körper C und der
Gitterpunktsatz liefert die Existenz ganzer Zahlen x1 , . . . , xn , nicht alle null, für
die sämtliche Linearformen klein werden. Im Falle verschwindender Determinante
ist C unbeschränkt und eine entsprechende Abschätzung gilt trivialerweise:
Satz 10 (Minkowskischer Linearformensatz, 1896). Seien Linearformen
Y1 , . . . , Yn gegeben. Für λ1 · . . . · λn ≥ | det(αjk )| existiert x ∈ Zn \ {0}, so dass
|Yj (x)| ≤ λj
für
j = 1, . . . , n.
Dies lässt sich auf Linearformen mit komplexen Koeffizienten αjk ausdehnen.
Hierfür bildet man Paare konjugiert komplexer Linearformen Yk , Yk+1 und ordnet diesen folgendermaßen reelle Paare zu:
Yk =
√1 (Yk
2
+ Yk+1 )
und Yk+1 =
√1 (Yk
2i
− Yk+1 )
(ähnlich den Darstellungen von cos und sin durch die Exponentialfunktion).
Satz 11 (Minkowskischer Linearformensatz, komplexe Version). Gegeben s
Paare von Linearformen Y1 , Y2 , . . . , Y2s−1 , Y2s mit jeweils komplex konjugierten Koeffizienten αij und weitere r = n − 2s Linearformen Y2s+1 , . . . , Yn mit reellen Koeffizienten. Dann existieren ganze Zahlen x1 , . . . , xn , nicht alle null, so dass
s
1
für j = 1, . . . , n.
|Yj (x1 , . . . , xn )| ≤ π2 n | det(αjk )| n
Einer Beobachtung von Hurwitz folgend kann man hier (wiederum mittels einem
Stetigkeitsargument) alle bis auf ein Relationszeichen ’≤’ durch strikte ’<’ austauschen.
In vielen Zahlkörpern sind die Ganzheitsringe nicht-euklidisch (ein Thema, welches wir später noch vertiefen werden); damit steht kein euklidischer Algorithmus
zur Verfügung mit Hilfe dessen ein vernünftiger Kettenbruchalgorithmus implementiert werden könnte. Hier liefert der vorangegangene Minkowskische Linearformensatz einen alternativen Zugang:
ZAHLENTHEORIE
9
√
Satz 12 (Gintner, 1936). √Sei m ∈ N. Dann existieren zu beliebigem α ∈ C\Q(i m)
unendlich viele p, q ∈ Z[i m] mit
√
α − p < 6m 1 .
q
π |q|2
√
√
Im Falle m 6=≡ 3 mod 4 ist Z[i m] der Ganzheitsring des Zahlkörpers Q(i m);
im Falle m ≡ 3 mod 4 liefert eine Beweisvariante eine √analoge Ungleichung für den
6m 1 ∗
. Insofern existieren
entsprechenden Ganzheitsring als rechte Seite sogar 2π
|q|2
also Analoga zu den Abschätzungen des Dirichletschen Approximationssatzes (2)
in ebendiesen quadratischen Zahlkörpern.
Weitere Anwendungen des komplexen Linearformensatzes sind in der Algebraischen Zahlentheorie relevant: sie leisten den Existenznachweis von ganzen Idealen
mit kleiner Norm in beliebigen Idealklassen, den Beweis, dass es neben Q keinen
Zahlkörper mit Diskriminante eins gibt,† und einen kurzen Beweis des Dirichletschen Einheitensatzes.‡
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Verallgemeinerungen des inhomogenen
Kroneckerschen Approximationssatzes, Anwendungen beim mathematischen Billard; Abschätzungen der Gitterkonstanten; das subspace theorem von Schmidt.
Interessant sind auch Anwendungen der Geometrie der Zahlen und der Theorie
der Gitter auf Fragestellungen der Kodierungstheorie und der Kryptographie (wie
etwa das Auffinden eines kürzesten Gittervektors); diese lassen wir hier genauso
aus wie auch die spektakulären Untersuchungen von Hales, welche die Keplersche
Vermutung zur dichtesten Kugelpackung im Dreidimensionalen (mit Hilfe massiven
Computereinstazes) bestätigen.§
Der Minkowskische Gitterpunktsatz erlaubte mit dem Fermatschen Zweiquadratesatz Aussagen über die Darstellbarkeit natürlicher Zahlen durch quadratische
Formen wie etwa X 2 + Y 2 . Solche Quadratischen Formen wollen wir nun hinsichtlich ihrer arithmetischen Eigenschaften eingehend untersuchen; unsere Methoden
entstammen dabei der linearen Algebra und der elementaren Zahlentheorie. Die
Theorie der quadratischen Formen wurde im Wesentlichen durch Lagrange in seinen Recherches d’arithmétique von 1773 und Gauß in seinen Disquisitionae Arithmeticae von 1801 begründet; zuvor trugen Fermat, Euler und Legendre wichtige
Teilergebnisse bei.¶
5. Minima positiv definiter quadratischer Formen
Eine quadratische Form Q in den Variablen X1 , . . . , Xn ist ein homogenes Polynom der Form
X
Q = Q(X1 , . . . , Xn ) =
αij Xi Xj
1≤i,j≤n
∗
H. Gintner, Ueber Kettenbruchentwicklung und über die Approximation von komplexen Zahlen, Diss. Wien, 1936
†
hier zeigte Hermite, dass zu jeder natürlichen Zahl d nur endlich viele Zahlkörper mit Diskriminante d existieren
‡
siehe Borewicz & Šafarevič
§
T. Hales, Dense sphere packings. A blueprint for formal proofs, Cambridge University Press
2012; auch lesenswert: G.G. Szpiro, Die Kepler Vermutung, Springer 2011
¶
Die Darstellung bei Dirchlet ist bereits sehr zugänglich und lesenswert!
10
ZAHLENTHEORIE
mit Koeffizienten aij in einem Ring; in unserem Fall sei αij stets reell. Mit Hilfe
der aus den Koeffizienten gebildeten Matrix Q = (αij ) gilt


X1


Q(X) = Xt Q X
mit X =  ...  ;
Xn
hierbei dürfen wir noch αij = αji vorraussetzen, womit Q also symmetrisch ist.
Eine quadratische Form Q heißt positiv definit, falls Q = Q(x) nur positive Werte
für x 6= 0 annimmt; nimmt sie hingegen nur negative Werte an, so heißt sie negativ
definit und ansonsten indefinit. Das Hurwitz-Kriterium liefert eine Charakterisierung positiv definiter Formen als eben jene, bei denen die zugehörige symmetrische
Matrix Q nur positive Eigenwerte besitzt. Die Determinante (auch Diskriminante)
einer quadratischen Form Q ist definiert durch ∆ = det Q; sie ist positiv im Falle einer positiv definiten quadratischen Form. Mittels Hauptachsentransformation
lässt sich jede positiv definite quadratische Form Q darstellen als Q = Y12 +. . .+Yn2 ,
wobei die Yj homogene Linearformen in X1 , . . . , Xn sind.
3
2
1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
-2
-3
Abbildung 4. Ein Beispiel für den Minkowskischen Gitterpunktsatz: Die Ellipsen Ec : 2X 2 + 10XY + 13Y 2 = c mit c = 1, 2 und
Gitterpunkte
überführt E2
√
√ (x, y) 6= 0. Hauptachsentransformation
in (15 − 221)X 2 + (15 + 221)Y 2 < 4, woraus vol(E2 ) = 2π > 22
und die Existenz von Gitterpunkten (x, y) 6= 0 folgt, welche notwendig auf E1 liegen.
Eine zentrale Frage der Zahlentheorie ist, welche Zahlen durch eine gegebene quadratische Form darstellt werden und, falls also die quadratische Gleichung
Q(X) = n bei gegebenem n lösbar ist, welcher Gestalt die Lösungen x ∈ Zn sind.
Mit dem Vierquadratesatz von Lagrange hatten wir mit X12 +X22 +X32 +X42 bereits
eine so genannte universelle quadratische Form kennen gelernt, welche sämtliche
nicht-negativen ganzen Zahlen darstellt; die spannende Frage nach allen solchen
Formen geht auf Ramanujan zurück,∗ doch diese werden wir hier nicht weiter
erörtern.
∗
und wir verweisen auf den Übersichtsartikel J.H. Conway, Universal quadratic forms and
the Fifteen Theorem, in: Quadratic forms and their applications, Proceedings of the conference,
University College Dublin, Ireland, July 5-9, 1999, E. Bayer-Fluckiger (ed.) et al., Providence, RI:
American Mathematical Society (AMS). Contemp. Math. 272, 23-26 (2000)
ZAHLENTHEORIE
11
Im Folgenden wollen wir die Minima positiv definiter quadratischer Formen
untersuchen. Der Gitterpunktsatz zeigt
Satz 13 (Minkowski, 1891). Sei Q eine positiv definite quadratische Form in
den Unbekannten X1 , . . . , Xn mit Determinante ∆, dann existieren ganze Zahlen
x1 , . . . , xn , nicht alle null, so dass
2
1
Q(x1 , . . . , xn ) ≤ π4 Γ( n2 + 1) n ∆ n .
Die Hermite-Konstante γn ist definiert als das Infimum, für die 0 6= x =
1
(x1 , . . . , xn ) ∈ Zn mit Q(x) ≤√γn ∆ n existiert.
Nur wenige Werte von γn sind
√
8
2
√
bekannt: γ2 = 3 (s.u.), γ3 = 2, γ4 = 2, γ24 = 4 (dank dem Leech-Gitter).
Im Allgemeinen sind nur Abschätzungen bekannt: Hermite bewies per Induktion
bereits γn ≤ ( 43 )(n−1)/2 . Mit der Stirlingschen Formel† folgt γn ≤ (1 + o(1)) 2n
πe . Mit
erheblich größerem Aufwand gilt nach Blichfeldt
n
γn < (1 + o(1)) .
πe
Indefinite Formen sind wesentlich schwieriger zu behandeln. Beispielsweise korrespondieren die Darstellungen der Null durch die Form X 2 + Y 2 − Z 2 mit den
pythagoräischen Tripeln.
Margulis bewies, dass jede nicht-degenerierte quadratische Form Q in n ≥ 3
Veränderlichen, welche nicht ein Vielfaches einer rationalen Form ist, ein dichtes
Bild Q(Zn ) in R besitzt; der Beweis erfolgt mit Ergodentheorie. Diese Aussage
ist eine tiefliegende Erweiterung des Kroneckerschen Satzes, dass Iterationen der
Abbildung x 7→ x + α mod 1 für irrationales α ein dichtes Bild im Einheitsintervall
liefern.
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Abschätzungen der Hermite-Konstanten
ternärer Formen. Der Satz von Legendre besagt: Sind a, b, c ∈ Z verschieden und
abc quadratfrei, dann hat die Gleichung
aX 2 + bY 2 + cZ 2 = 0
genau dann nicht triviale Lösungen in Z, wenn a, b, c nicht alle positiv oder nicht
alle negativ sind und −bc, −ac, −ab jeweilsquadratische Reste modulo a, b bzw. c
sind. Dieser Satz ist ein Beispiel eines so genannten Lokal-Global-Prinzips, welches
das Motto vertritt: mit Hilfe arithmetischer Information in den lokalen Erweiterungen von Q (etwa den p-adischen Zahlen) arithmetische Information in der globalen
Erweiterung zu erlangen!
6. Äquivalenz binärer quadratischer Formen
Im Folgenden beschäftigen wir uns mit binären quadratischen Formen‡ derr Gestalt§
(a, b, c) = aX 2 + bXY + cY 2
mit teilerfremden a, b, c ∈ Z;¶ alternativ schreiben wir diese ebenso
X
a b/2
t
Q(X) = X QX
mit Q =
, X=
.
b/2 c
Y
√
Γ(x + 1) = x! ∼ 2πx(x/e)x bei x → ∞
‡
und werden oft nur von Formen sprechen
§
Sowohl bei Gauß als auch bei Dirichlet finden wir stattdessen aX 2 + 2bXY + cY 2 , jedoch führt
dies zu keinen wesentlichen Unterschieden.
¶
Die Einschränkung auf teilerfremde Koeffizienten ist ebenfalls unwesentlich.
†
12
ZAHLENTHEORIE
Die Größe D := D(Q) := b2 − 4ac (= −4 det Q) heißt Diskriminante von Q =
(a, b, c).k O.B.d.A. sei stets a > 0.∗∗
Satz 14. Ist D ein Quadrat, so lässt sich Q in ein Produkt zweier rationaler
Linearformen faktorisieren:
√
−b + D
2
2
mit ζ = ζ(a,b,c) :=
.
(3) aX + bXY + cY = a(X − ζY )(X − ζY )
2a
Ist D < 0, so ist Q positiv definit (d.h. Q(x, y) > 0 für 0 6= (x, y) ∈ Z2 ); für D > 0
hingegen ist Q indefinit (und nimmt also positive als auch negative Werte an).
Im Folgenden nehmen wir stets an, dass D kein Quadrat ist. Es ist entweder
D ≡ 0 mod 4 oder D ≡ 1 mod 4 und jedes solche D 6= 0 wird eine Fundamentaldiskriminante genannt.
Ein bekanntes Beispiel ist die quadratische Form X 2 − dY 2 mit ganzzahligem
d und Diskriminante D = 4d. Für d < 0 ist diese Form positiv definit; für d ≥
1 hingegen indefinit. Fragen wir nach den ganzzahligen Werten, die diese Form
darstellt, so suchen wir ganzzahlige Gitterpunkte auf einer Ellipse (d < 0) bzw.
auf einer Hyperbel (d ≥ 1). Im ersten Fall gibt es bestenfalls endlich viele Lösungen,
während im zweiten Fall für Nicht-Quadrate d die Theorie der Pellschen Gleichung
unendlich viele Gitterpunkte bereitstellt.
Zwei Formen Q(X) = Xt QX und Q̃(X) = Xt Q̃X heißen äquivalent, wenn Q̃ =
t
A QA mit einer Matrix A ∈ SL2 (Z) — also gehen äquivalente Formen durch
gewisse Basiswechsel auseinander hervor!. Hierbei ist SL2 (Z) die Gruppe aller 2×2Matrizen mit ganzzahligen Einträgen und Determinante eins;†† speziell mit
α β
A=
∈ Z2×2
und αδ − βγ = 1
γ δ
ist dann
mit
Q̃(X, Y ) = AX 2 + BXY + CY 2 = Q(αX + βY, γX + δY )
A = aα2 + bαγ + cγ 2 ( = Q(α, γ)),
B = 2aαβ + b(αδ + βγ) + 2cγδ,
C = aβ 2 + bβδ + cδ2 ( = Q(β, δ)).
Wir notieren die Äquivalenz zweier Formen (a, b, c) und (A, B, C) in Zeichen durch
(a, b, c) ∼ (A, B, C); hierbei gilt offensichtlich D = b2 − 4ac = B 2 − 4AC.
Satz 15. i) Die Äquivalenz ∼ von Formen ist eine Äquivalenzrelation und zu einer Fundamentaldiskriminante D existiert stets mindestens eine Äquivalenzklasse,
repräsentiert durch die so genannte Hauptform
bzw.
X 2 − 14 DY 2 ,
falls
X 2 + XY − 14 (D − 1)Y 2 ,
D ≡ 0 mod 4,
falls
ii) Äquivalente Formen stellen dieselben Zahlen dar.
D ≡ 1 mod 4.
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: der Satz von Hasse-Minkowski.
k
ein kleiner Unterschied zum vorangegangenen Paragraphen
Im Falle a = 0 kann (a, b, c) faktorisiert werden und im Falle a < 0 betrachten wir statt Q
die Form −Q.
††
special linear group
∗∗
ZAHLENTHEORIE
13
7. Reduktionstheorie
Satz 16 (Lagrange, 1767). Zu gegebener Fundamentaldiskriminante D enthält jede
Äquivalenzklasse mindestens eine Form (a, b, c), deren Koeffizienten den folgenden
Ungleichungen genügen:
|b| ≤ |a| ≤ |c|
und
D = b2 − 4ac.
Insbesondere existieren also stets nur endlich viele Klassen äquivalenter Formen.
Wir bezeichnen mit der Klassenzahl h(D) die Anzahl der Äquivalenzklassen von
Formen mit Diskriminante D. Es gilt also
Korollar 17. Die Klassenzahl h(D) ist endlich.
Ist D keine Fundamentaldiskriminante, so gilt h(D) = 0.√Für Fundamentaldiskriminanten zeigt der Beweis hingegen 1 ≤ h(D) ≤ 2+3 3 |D|. Die Abbildung
D 7→ h(D) verhält sich sehr unregelmäßig; im weiteren Verlauf der Vorlesung
werden wir wichtige Eigenschaften der Klassenzahl aufdecken! Für positiv definite
Formen ergibt sich genauer:
Satz 18 (Gauß, 1801). Gegeben (A, B, C) mit D < 0 existiert ein (a, b, c) ∼
(A, B, C) mit
(4)
−a < b ≤ a < c
oder
0 ≤ b ≤ a = c;
dieses Form (a, b, c) heißt reduziert und ist eindeutig. Insbesondere ist die Klassenzahl h(D) gleich der Anzahl der a, b, c ∈ Z, welche D = b2 − 4ac und (4) erfüllen.
Beispiele negativer Fundamentaldiskriminanten, Angabe der zugehörigen reduzierten Formen und der Klassenzahl:
• D = −3: (1, 1, 1), und h(−3) = 1
• D = −4: (1, 0, 1), und h(−4) = 1
• D = −7: (1, 1, 2), und h(−7) = 1
• D = −8: (1, 0, 2), und h(−8) = 1
• D = −15: (1, 1, 4), (2, 1, 2), und h(−15) = 2
Der Satz über die Minima quadratischer Formen liefert für binäre Formen die
Hermite-Konstante γ2 ≤ π4 . Dies lässt sich nun etwas verbessern.
Korollar 19. Zu jeder positiv definiten binären quadratischen Form Q = (a, b, c)
existieren ganze Zahlen x, y, nicht beide null, so dass
r
b2
2
ac − ;
Q(x, y) ≤ √
4
3
hierbei besteht Gleichheit genau für alle zur Form m(1, 1, 1) äquivalenten Formen
mit einem geeigneten m ∈ N. Insbesondere ist γ2 = √23 .
Eine zahlentheoretische Anwendung: Nach dem ersten Ergänzungsgesetz existiert zu einer Primzahl p ≡ 1 mod 4 eine natürliche Zahl n < p2 mit n2 + 1 ≡
2
0 mod p; damit stellt die Form (p, 2n, n p+1 ) die Primzahl p dar und hat Diskriminante D = −4, ist also äquivalent zu (1, 0, 1), womit p auch durch X 2 + Y 2
dargestellt wird. Dies ist ein weiterer Beweis des Fermatschen Zweiquadratesatzes.
Ganz ähnlich zeigen sich weitere Darstellungssätze:∗
Korollar 20 (Euler). Jede Primzahl p ≡ 1, 3 mod 8 besitzt eine Darstellung p =
x2 + 2y 2 ; jede Primzahl p ≡ 1 mod 3 besitzt eine Darstellung p = x2 + 3y 2 .
∗
die bei Euler noch mittels Fermats descente infinie bewiesen wurden
14
ZAHLENTHEORIE
Bei der obigen Reduktion haben wir wesentlich ausgenutzt, dass die Formen
positiv definit sind. Im Falle indefiniter Formen mit reellen Koeffizienten besteht
folgender alternativer Ansatz zur Reduktion von Lagrange: Zwei Zahlen ζ, ξ ∈ R
heißen äquivalent, wenn
αζ + β
α β
mit A =
∈ Z2×2
und αδ − βγ = ±1.
ξ = Aζ :=
γ δ
γζ + δ
Hier ist A eine so genannte unimodulare Transformation. Offensichtlich sind alle
rationalen Zahlen äquivalent. Wir folgen Eulers Idee zur Lösung der Pellschen
Gleichung und betrachten die Faktorisierung (3):
√
−b + D
2
2
mit ζ = ζ(a,b,c) =
;
aX + bXY + cY = a(X − ζY )(X − ζY )
2a
hierbei heißt ζ die positive Wurzel der quadratischen Form.†
Satz 21 (Gauß, 1801). Sei D eine Fundamentaldiskriminante. Sind zwei Formen
äquivalent, sei also Q = (a, b, c) ∼ (A, B, C) = Q̃, d.h.
α β
2
2
AX + BXY + CY = Q(αX + βY, γX + δY )
mit
∈ SL2 (Z),
γ δ
dann sind auch die zugehörigen positiven Wurzeln äquivalent; in diesem Fall gilt
δζ − β
δ −β
.
ζ(A,B,C) =
ζ(a,b,c) =:
−γ α
−γζ + α
Die Umkehrung gilt hinsichtlich uneigentlicher Äquivalenz.
Im indefiniten Fall (D > 0) sind die Wurzeln reelle quadratische Irrationalzahlen,
welche eine letztlich periodische Kettenbruchentwicklung besitzen; mit deren Hilfe
lässt sich eine reduzierte Form als diejenige definieren, welche zu der entsprechenden Wurzel mit einer reinperiodischen Kettenbruchentwicklung gehört. Im positiv
definiten Fall hingegen liegen die Wurzeln in der oberen Halbebene und die Reduktionstheorie erklärt sich über die Modulgruppe.
Übung: vi) Die Form (17, 26, 10) stellt alle natürlichen Zahlen dar. vii) Es gelten
h(−15) = 2 und h(5) = 1. viii) Der Satz von Serret (1878) besagt: zwei reelle
Zahlen sind genau dann äquivalent, wenn ihre Kettenbruchentwicklung schließlich
identisch sind. Für rationale Zahlen bedeutet dies die abbrechende Kettenbruchentwicklung. Im irrationalen Fall kann damit über die Äquivalenz
√ von Formen
entschieden werden: Beispielsweise gehört zu der Wurzel ζ = 21 ( 5 − 1) = [0, 1]
die Form (1, 1, −1) und sämtliche Formen mit Diskriminante D = 5 sind zu dieser
äquivalent: h(5) = 1.‡
Übungsaufgaben: g) Gilt ax2 + bxy + cy 2 = m mit teilerfremden a, b, c und x, y,
dann ist die Diskriminante D = b2 − 4ac ein quadratischer Rest modulo m.
h) Allgemeiner kann man Transformationen mittels A ∈ Z2×2 mit det A = −1
zusätzlich zulassen; diese werden in der Literatur uneigentlich äquivalent genannt.
Induziert dies eine Äquivalenzrelation? i) (a, b, c) ∼ (A, B, C) ist äquivalent zu
(a, −b, c) ∼ (A, −B, C). j) Zeige folgenden Approximationssatz von Hurwitz:
Ist ξ quadratisch irrational mit aξ 2 +bξ +c = 0, wobei a, b, c ∈ Z nicht allesamt verschwinden und a > 0, dann existieren unendlich viele xy ∈ Q mit |ξ − xy | < Cy1 2 für
†
auf Grund ihrer Lage in der oberen Halbebene im Falle D < 0 bzw. auf der positiven reellen
Achse für D > 0.
‡
Lagrange entwickelte wesentliche Teile der Theorie der Kettenbrüche für sein Studium binärer
Formen; hierbei entstanden insbesondere seine Beiträge zur Lösung der Pellschen Gleichung.
ZAHLENTHEORIE
15
√
√
jede Konstante C ≤ b2 − 4ac, aber nur endlich viele im Falle C > b2 − 4ac. k)
Sei Q = (a, b, c) indefinit, dann gilt γ2 (Q) ≤ √25 mit Gleichheit genau dann, wenn
Q ∼ m(1, 1, −1) für ein m ∈ N. ℓ) Berechne die Klassenzahlen zu D = −4, −20.
m) Beweise den Eulerschen Darstellungssatz für Primzahlen p ≡ 1 mod 3.
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Zusammenhang zwischen reduzierten
Formen und reduzierten Zahlen (im Sinne des Satzes von Galois), das MarkoffSpektrum und die Markoff-Hurwitz–Gleichung.
8. Das Jacobi- und das Kronecker-Symbol
werden sich als ein wichtiges Werkzeug für die weiteren Untersuchungen quadratischer Formen herausstellen. Das Jacobi-Symbol ist für n ∈ Z und ungerade m ∈ N
definiert als Produkt von Legendre-Symbolen:
n
Y n ν(m;p)
Y
:=
für m =
pν(m;p) ;
m
p
p
p|m
hierbei ist das Produkt über die Primteiler p von m erhoben und jeder Faktor ist
das zugehörige Legendre-Symbol in der entsprechenden Potenz der Primfaktorzerlegung von m. Für ungerade und teilerfremde m, n ∈ N zeigt sich leicht
n m
m−1 n−1
= (−1) 2 · 2 ,
n
m
m−1
m2 −1
−1
2
2
= (−1)
= (−1) 8
und
m
m
in völliger Analogie zum quadratischen Reziprozitätsgesetz für das LegendreSymbol und seinen beiden Ergänzungsgesetzen.
Im Folgenden sei nun stets m ∈ N und D eine Fundamentaldiskriminante (also ≡
0, 1 mod 4 und kein Quadrat). Das Legendre-Symbol verallgemeinernd sei zunächst
D
(D
2 ) = +1 falls D ≡ 1 mod 8, bzw. = −1 falls D ≡ 5 mod 8, und ( 2 ) = 0 sonst.
Dann ist das Kronecker-Symbol definiert durch
Y
Y D ν(m;p)
D
für m =
pν(m;p) ,
:=
m
p
p
p|m
wobei das Produkt wiederum über die Primteiler p von m erhoben ist und jeder
Faktor entsprechend der Vielfachheit der Primfaktorzerlegung von m kommt.§ Es
D
D
) = 0, wenn m und D nicht teilerfremd sind. Damit ist m 7→ ( m
)
gilt genau dann ( m
streng multiplikativ und es gilt
Satz 22 (Quadratisches Reziprozitätsgesetz). Für teilerfremde m und D gilt
(
m
)
falls D ≡ 1 mod 2,
( |D|
D
m−1 n−1
=
m
2 ν
m
) (−1) 2 · 2 ( |n|
(m
) falls D = 2ν n, n ≡ 1 mod 2.
15−1
2 2
− 2
( 15
Beispielsweise gilt somit ( −4
15 ) = ( 15 ) (−1)
1 ) = −1 (was man aber auch
leicht über das Reziprozitätsgesetz für das Legendre-Symbol berechnen kann). Der
Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzes für das Kronecker-Symbol lässt
sich auf selbiges für (das Jacobi- bzw.) das Legendre-Symbol zurückführen.
D
) =: χD (m) ist
Korollar 23. Das Kronecker-Symbol χD : Z → {0, ±1}, m 7→ ( m
ein reeller Charakter modulo |D|.
§
Im Falle eines ungeraden m ist dies identisch mit dem Jacobi-Symbol.
16
ZAHLENTHEORIE
Ähnlich dem Legendre-Symbol liegt dem Kronecker-Symbol also ein Homomorphismus der primen Restklassengruppe (Z/|D|Z)∗ nach Z∗ = {±1} zugrunde. Mit
seiner Hilfe lässt sich die Anzahl der Lösungen gewisser quadratischer Kongruenzen
auch zu Nichtprimzahlmoduln berechnen:
Satz 24. Seien k ∈ N und D teilerfremd. Dann gilt für die Anzahl N (D mod 4k)
der Lösungen der Kongruenz X 2 ≡ D mod 4k
X
N (D mod 4k) = 2
χD (ℓ).
ℓ|k
ℓ quadratfrei
Beispielsweise besitzt die Kongruenz X 2 ≡ 5 mod 24 also 2(χ5 (1)+χ5 (2)+χ5 (3)+
χ5 (6)) = 2(1 − 1 − 1 + 1) = 0 Lösungen.
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Anwendungen (des Jacobi-Symbols) im
Solovay-Strassen Primzahltest in der Kryptographie, Höhere Reziprozitätsgesetze.
9. Automorphe und Totale Darstellungsanzahl
Gegeben eine quadratische Form Q = (a, b, c) mit teilerfremden Koeffizienten,
heißt jede Matrix A ∈ Z2×2 mit Q = At QA und det A = 1 ein Automorphismus und
die Menge UQ aller Automorphismen einer Form Q bildet eine Untergruppe der
SL2 (Z). Stets sind ±E ∈ UQ ; in der Regel existieren aber mehr Automorphismen.
Satz 25. Sei Q = (a, b, c) eine quadratische Form mit teilerfremden Koeffizienten
und Diskriminante D. Dann ist
1
(x − by)
−cy
2
φ : (x, y) 7→
1
ay
2 (x + by)
eine Bijektion zwischen den ganzzahligen Lösungen (x, y) der Pellschen Gleichung
X 2 −DY 2 = 4 und der Automorphismengruppe UQ . Ferner ist φ ein Isomorphismus
von Gruppen bzgl. der Komposition
(x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) := 12 (x1 x2 + Dy1 y2 , x1 y2 + x2 y1 ).
Für D < 0 ist UQ endlich von Ordnung

 2
4
ω := ♯UQ =

6
falls D < −4,
falls D = −4,
falls D = −3.
Andernfalls, wenn D > 0, ist UQ eine unendliche zyklische Gruppe, erzeugt von
der Minimallösung der Pellschen Gleichung.
Im Folgenden sei D < 0 eine Fundamentaldiskriminante und Q = (a, b, c) eine
Form mit D = b2 −4ac (und teilerfremden Koeffizienten a, b, c). Zu n ∈ N bezeichne
rD (n; Q) := ♯{(x, y) ∈ Z2 : Q(x, y) = n, ggT(x, y) = 1}
die Anzahl der primitiven Darstellungen von n durch Q; diese Größe ist endlich auf
Grund der positiven Definitheit von Q. Ferner sei
h(D)
rD (n) =
X
rD (n; Qj )
j=1
die totale Darstellungsanzahl von n, wobei Q1 , . . . Qh(D) Repräsentanten der h(D)
verschiedenen Klassen quadratischer Formen mit Diskriminante D seien.
ZAHLENTHEORIE
Hinter dem Gruppengesetz ⊕ des Satzes steht folgende geometrische Konstruktion: Gegeben zwei Punkte P1 =
(x1 , y1 ) und P2 = (x2 , y2 ) auf einem
Kegelschnitt X 2 − Dy 2 = 4, ist die
Summe P1 ⊕ P2 der beiden Punkte
der weitere Schnittpunkt der Parallelen durch (2, 0) zur Sekante durch P1
und P2 . (Man vergleiche dies mit dem
Gruppengesetz auf elliptischen Kurven!) Mit etwas Aufwand lässt sich zeigen, dass auf einem über Q definierten
Kegelschnitt stets unendlich viele rationale Punkte liegen.
17
Abbildung 5. Das Gruppengesetz im Falle eines Kreises (D = 4).
Satz 26. Für zu D teilerfremde n gilt
rD (n) = ω
X D
ℓ
ℓ|n
.
Als unmittelbare Anwendung zeigt sich im Falle D = −4 auf Grund von h(−4) = 1
für die Anzahl der Darstellungen von n als Summe von zwei Quadraten die Formel
X
r−4 (n) = 4
χ−4 (ℓ).
ℓ|n
Mit Hilfe der dem Kronecker-Symbol χD (n) = ( D
n ) zugeordneten, in Re s > 0
konvergenten Dirichletschen L-Funktion
X
Y
L(s, χD ) =
χD (n)n−s =
(1 − χD (p)p−s )−1
n≥1
p
(wobei das Euler-Produkt über alle Primzahlen p erhoben ist) ergibt sich
Satz 27. Für den Mittelwert der totalen Darstellungsanzahl gilt
X
1
ϕ(−D)
lim
rD (n) = ω
L(1, χD ).
N →∞ N
−D
n≤N
ggT(n,D)=1
Hierbei ist
ϕ(−D)
−D
die Dichte der n ∈ N, die teilerfremd zu D sind.
Übung: ix) Man bestimme sämtliche Charaktere χ mod 5 und untersuche die zugehörigen Dirichletschen L-Reihen L(s, χ) auf Konvergenz.∗
Übungsaufgaben: n) Man beweise: Eine natürliche Zahl n lässt sich genau dann
durch eine quadratische Form Q(x, y) mit teilerfremden x, y darstellen, wenn Q ∼
(n, z, m) mit gewissen m, z ∈ Z gilt. o) Für die Anzahl der n ≤ x, die teilerfremd
zu einem gegebenen d ∈ N sind, gilt
X
ϕ(d)
x + O(1).
1=
d
n≤x
ggT(n,d)=1
∗
ggf. ist ein Blick in die Einführung in die Zahlentheorie
http://www.mathematik.uni-wuerzburg.de/∼steuding/zahl2013.htm)!
angebracht
(siehe
18
ZAHLENTHEORIE
p) Beweise folgenden Satz von Pichler: Stellen zwei quadratische Formen gleicher Diskriminante dieselbe Primzahl dar, so sind sie äquivalent oder uneigentlich äquivalent. q) Gegeben eine in Re s > σc konvergente Dirichlet-Reihe A(s) =
P
−s
n≥1 an n , wobei σc ∈ R. Man beweise die Existenz einer nullstellenfreien Halbebene Re s > σ0 für A(s) und gebe eine explizite Schranke für σ0 an!
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Satz von Siegel über ganzzahlige Punkte
auf kubischen Kurven, Jacobis Thetafunktionen und explizite Darstellungsanzahlen.
10. Die analytische Klassenzahlformel
Der Mittelwert von rD (n) lässt sich mit einem geometrischen Argument alternativ wie folgt berechnen: Gegeben eine quadratische Form Q = (a, b, c) mit Diskriminate D, gilt
♯{(x, y) ∈ (Z/|D|Z)2 : ggT(Q(x, y), D) = 1} = −Dϕ(−D).
Damit ergibt sich für die Darstellungsanzahl von n bzgl. Q
Satz 28. Mit den üblichen Voraussetzungen gilt für D < 0
X
2π ϕ(−D)
1
rD (n; Q) = √
.
lim
N →∞ N
−D −D
n≤N
ggT(n,D)=1
ϕ(−D)
Hierbei ist der Grenzwert von Q unabhängig. Also folgt rD (n) = h(D) √2π
−D −D
und durch Kombination beider Darstellung des Grenzwertes ergibt sich
Satz 29 (Analytische Klassenzahlformel, Dirichlet 1839). Sei D < 0 eine
Fundamentaldiskriminante. Dann gilt
ω√
h(D) =
−DL(1, χD ).
2π
Zur Historie: In der Zeit 1837/39 verfasste Dirichlet seine Recherches sur diverses applications de l’analyse infinitésimale à la théorie des nombres, welche den
Beginn der analytischen Zahlentheorie markiert; mit den Charakteren enthält diese Arbeit ein wichtiges Werkzeug zur Untersuchung arithmetischer Progressionen.
Dirichlet bewies u.a. die Existenz unendlich vieler Primzahlen in einer jeden primen Restklasse und – als Hilfsmittel! – die analytische Klassenzahlformel.∗ Da
für die Klassenzahl stets h(D) ≥ 1 gilt, liefert seine Formel einen Beweis für das
Nichtverschwinden von L(s, χ) in s = 1.
Die Klassenzahlformel erlaubt die explizite Berechnung von Klassenzahlen: Beispielsweise folgt h(−4) = 1 aus der Leibnizschen Formel
π
1 1 1
+ − ± ... =
3 5 7
4
für den Nicht-Hauptcharakter χ mod 4. Etwas aufwendiger zeigt sich
Z 1
1 + x + x3 − x6 + x7 − x10 − x12 − x13
L(1, χ−15 ) =
dx = 1, 622 . . .
1 − x15
0
L(1, χ−4 ) = 1 −
√
und also h(−15) = π15 L(1, χ−15 ) = 2. Bei der weiteren Vereinfachung der Klassenzahlformel hilft eine explizite Formel für die einem Kronecker-Symbol zugeordnete
∗
basierend auf von Jacobi 1832 untersuchten Spezialfällen
ZAHLENTHEORIE
19
Gaußsche Summe
X
τ (χD ) :=
a
(D
a ) exp(2πi |D| ) =
a mod |D|
X
n mod |D|
†
Für beliebige q ∈ N gilt

√
(1 + i) q


√

X
2
q
τ :=
exp(2πi nq ) =
0


√
n mod q

i q
Satz 30 (Gauß,1805).
2
n
exp(2πi |D|
).
falls
falls
falls
falls
q
q
q
q
≡ 0 mod
≡ 1 mod
≡ 2 mod
≡ 3 mod
4,
4,
4,
4.
Damit gelingt nun
Satz 31. Für eine Fundamentaldiskriminante D < 0 gilt
X
X
D
D
ω
π
a
a
bzw.
h(D) = −
.
L(1, χD ) = −
3
a
2|D|
a
|D| 2 1≤a<|D|
1≤a<|D|
Beispielsweise berechnet sich so leicht
h(−23) = −
2
(1+ 2+ 3+ 4− 5+ 6− 7+ 8+ 9− 10 − 11 + 12 + 13∓ . . . − 21− 22) = 3.
23
Im indefiniten Fall D > 0 gelten analog die Formeln
X D
1
L(1, χD ) = − √
log sin aπ
D
a
D a mod D
und
1
h(D) = −
log ǫ
√
X
a mod D
D
a
log sin aπ
D,
wobei ǫ = 21 (x0 + y0 D) > 1 die Minimallösung der Pellschen Gleichung X 2 −
DY 2 = 4 ist.
In seinen Disquisitiones schrieb Gauß ”Ferner scheint die Reihe der Determinanten, denen dieselbe gegebene Klasseneinteilung (...) entspricht, stets abzubrechen (...) Die strengen Beweise dieser Bemerkungen aber scheinen sehr schwierig
zu sein.” Damit sollte mit wachsendem −D die Klassenzahl h(D) beliebig groß
werden; währenddessen sollen unendlich viele positive Fundamentaldiskriminanten
D mit h(D) = 1 existieren. Der Fall negativer Fundamentaldiskriminanten wurde tatsächlich durch Hecke, Deuring und Heilbronn (um 1934) mit analytischen
Methoden bewiesen; der Fall positiver D ist noch offen.
Übung: x) Es sei an eine beschränkte Folge komplexer Zahlen und A(s) :=
P
−s die zugeordnete Dirichlet-Reihe. Man zeige, dass diese Reihe in der
n≥1 an n
†
Am 30. August 1805 schrieb Gauß in sein Tagebuch: ”Demonstrate theorematis venustissimi
supra 1801 Mai commemorati, quam per 4 annos et ultra omni contentione quaesiveramus, tandem
perfecimus.”
20
ZAHLENTHEORIE
Halbebene Re s > 1 absolut konvergiert und dort eine analytische Funktion definiert. Speziel für Dirichletsche L-Reihen L(s, χ) mit einem nicht von einem Hauptcharakter induzuierten Charakter χ mod q beweise man die analytische Fortsetzung


Z ∞ X
X
X

χ(n) u−s−1 du
L(s, χ) =
χ(n)n−s −
χ(n)N −s + s
n≤N
=
X
N
n≤N
χ(n)n−s + O N −σ 1 +
n≤N
|s|
σ
n≤u
für s = σ + it, σ ≥ σ0 > 0
für Re s > 0. xi) Für einen primitiven Charakter χ mod q gilt
X
1
χ(a) exp(2πi an
χ(n) =
q );
τ (χ)
a mod q
hierbei heißt ein Charakter χ mod q primitiv, wenn er nicht q ′ -periodisch für ein
q ′ < q ist.
Übungsaufgaben: r) Man berechne die Klassenzahlen h(−47) und h(47) mit Hilfe der
analytischen Klassenzahlformel und überprüfe die Ergebnisse mit der Reduktionstheorie. s) P
Man zeige, dass mit der für 0 < α ∈ R definierten Hurwitz Zetafunktion
ζ(s, α) := m≥0 (m + α)−s gilt
X
χ(a)ζ(s, aq ).
L(s, χ) = q −s
1≤a≤q
P
Es sei F (s, α) :=
Hurwitzsche Formel
n≥1 exp(2πiαn)n
ζ(1 − s, α) =
−s .
Beweise für 0 < α ≤ 1, Re s > 1 die
Γ(s)
)F (s, α) + exp( πis
)F (s, −α)
exp(− πis
2
2
s
(2π)
und zeige ferner, dass diese für α 6= 1 auch in der Halbebene Re s > 0 gültig ist.‡
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Elliptische Kurven und das Gaußsche
Klassenzahlproblem der Bestimmung aller D < 0 mit h(D) = 1, der Fall indefiniter Formen.
Nun untersuchen wir Dedekind folgend die Arithmetik algebraischer Zahlkörper.
Exemplarisch untersuchen wir dabei quadratische Erweiterungen des rationalen
Zahlkörpers. Dabei wird die Theorie der quadratischen Formen eine wesentliche
Rolle spielen; die Klassenzahl erweist sich hierbei als Maß für die Zerlegbarkeit in
Primelemente.
11. Quadratische Zahlkörper
Ein Oberkörper K von Q heißt quadratischer Zahlkörper, wenn K als QVektorraum die Dimension zwei besitzt.
Satz 32. K ist genau dann ein quadratischer Zahlkörper, wenn es eine ganze
quadratfreie Zahl d gibt, so dass
√
√
√
K = Q( d) := Q + Q d := {a + b d : a, b ∈ Q};
verschiedene quadratfreie d führen auf verschiedene quadratische Zahlörper.
‡
Hinweis: Ein Blick in T.M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer 1976,
mag helfen.
ZAHLENTHEORIE
21
√
Ein quadratischer
√ Zahlkörper Q( d) heißt reell-quadratisch, falls d positiv ist;
andernfalls ist Q( d) imaginär-quadratisch. Die Konjugation
√
√
α = a + b d 7→ α′ := a − b d
ist √der einzige nicht-triviale Q-Automorphismus des quadratischen√Zahlkörpers
Q( d). Mit dessen Hilfe definieren sich Spur und Norm zu α = a + b d durch
S(α) := α + α′ = 2a
bzw.
N(α) := αα′ = a2 − db2 ;
√
die Spur ist additiv und die Norm ist multiplikativ. Man beachte: Für α ∈ Q( d)
2
ist α2 − S(α)α + N(α) = 0 und
√ X − S(α)X + N(α) ist für irrationale α das
Minimalpolynom. Ein α ∈ Q( d) heißt ganz (bzw. ganzalgebraisch), wenn Spur
und Norm von α ganze Zahlen sind; mit α ist stets auch sein Konjugiertes α′ ganz.
√
Satz 33. Die Menge Od der ganzen Zahlen
in Q( d) ist ein kommutativer Ring,
√
der so genannte Ganzheitsring von Q( d), und ist gegeben durch
mit
Od = Z + Zϑ := a + bϑ : a, b ∈ Z} (= Z[ϑ])
1
+
2 (1 √
√
falls d ≡ 1 mod 4,
d
falls d ≡ 2, 3 mod 4.
√
Beispielsweise ist Z[i] mit der imaginären Einheit i = −1 der Ganzheitsring des
Gaußschen Zahlkörpers Q(i). Die Eisensteinschen Zahlen
a+bρ mit einer primitiven
√
1
2πi
dritten Einheitswurzel ρ (etwa exp( 3 ) = 2 (−1 + −3)) bilden den Ganzheitsring
Z[ρ] zum quadratischen Zahlkörper Q(ρ). Hier gilt für die Norm
ϑ=
d)
N(a + bρ) = a2 − ab + b2 .
Die Norm in einem Ganzheitsring ist tatsächlich eine binäre quadratische Form.
Der Ganzheitsring eines imaginär-quadratischen Zahlkörpers besitzt zudem die
Struktur eines Gitters.
12. Euklidische und faktorielle Ganzheitsringe
Ein kommutativer Ring R mit Einselement∗ heißt Integritätsbereich, wenn R keine Nullteiler besitzt, also r · s = 0 nur mit r = 0 oder s = 0 bestehen kann. Sowohl
Z als auch die Ganzheitsringe Od quadratischer Zahlkörper sind Integritätsbereiche. Gegeben zwei Elemente α, β in einem Integritätsbereich R, sagen wir α teilt
β, in Zeichen α | β, falls β = αγ für ein γ ∈ R. Jeder Teiler von 1 heißt Einheit und
die Menge aller Einheiten bildet eine multiplikative Gruppe, die Einheitengruppe
R∗ = {ǫ ∈ R : ǫ | 1}. Zwei Elemente α, β ∈ R heißen assoziiert, falls β = ǫα mit
einer Einheit ǫ. Die Rechenregeln zur Teilbarkeit übertragen sich unmittelbar von
Z auf Integritätsbereiche R.
Gilt in einem Ganzheitsring β = αγ, so gilt für die zurgeordneten Normen
N(β) = N(α)N(γ). Speziell für β = 1 ergeben sich die Einheiten ǫ in Od vermöge
N(ǫ) = ±1. Entsprechend sind die Einheiten ǫ charakterisiert durch
√
1
mit a2 − db2 = ±4 falls d ≡ 1 mod 4,
(a + b√ d)
2
ǫ=
a+b d
mit a2 − db2 = ±1
falls d ≡ 2, 3 mod 4,
mit jeweils a, b ∈ Z.
Satz 34. Die Einheitengruppe des Ganzheitsringes Od eines imaginärquadratischen Zahlkörpers (d < 0) besteht aus
∗
es ist also insbesondere 0 6= 1 ∈ R und R =
6 {0}
22
ZAHLENTHEORIE
• ±1, ±i für d = −1 (also O−1 = Z[i]);
• ±1, ±ρ, ±ρ2 mit ρ = exp( 2πi
3 ) für d = −3 (also O−3 = Z[ρ]);
• ±1 für d < −3.
Die Einheitengruppe Od∗ reell-quadratischer Zahlkörper (d > 0) ist eine unendliche
zyklische Gruppe erzeugt von der Fundamentallösung der Pellschen Gleichung
X 2 − dY 2 = 1
bzw.
4
je nach d ≡ 2, 3 mod 4 oder d ≡ 1 mod 4.
√
Beispielsweise gilt O2∗ ∼
= { 12 (3 + 2 2)m : m ∈√Z}. Die Fundamentallösung findet
sich mittels der Kettenbruchentwicklung von d.
Sei R ein Integritätsbereich, dann heißt 0 6= π ∈ R \ R∗ prim, falls für alle
α, β ∈ R aus π | αβ stets π | α oder π | β folgt. Hingegen heißt π irreduzibel, wenn
aus π = αβ für α, β ∈ R notwendig ein Faktor Faktor α oder β eine Einheit ist (π
also assoziiert zu β oder α ist); andernfalls nennt man π reduzibel. In Z fallen die
Begriffe prim und irreduzibel zusammen (dank dem Lemma von Euklid). In einem
beliebigen Integritätsbereich
ist dies nicht so: Dedekinds berühmtes Beispiel zeigt
√
in O−5 = Z[ −5]
√
√
2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5)
und beide Darstellungen von 6 bestehen aus irreduziblen, aber nicht primen Faktoren.
Ein Integritätsbereich, in dem jedes von null verschiedene Element in ein Produkt von primen Elementen zerlegt werden kann, heißt faktoriell und jedes solche
Produkt nennt
√ man eine Primfaktorzerlegung. So ist also Z ein faktorieller Ring,
nicht aber Z[ −5].
Satz 35. Jedes prime Element π in einem Integritätsbereich R ist irreduzibel. Ist
R darüberhinaus faktoriell, so ist jedes irreduzible π auch prim und die Primfaktorzerlegung ist eindeutig.†
Das Analogon zur (eindeutigen) Primfaktorzerlegung Z (bzw. Q) ist also in
Ganzehitsringen (bzw. Zahlkörpern) i.A. nicht gültig. Wie entscheidet man, ob ein
gegebener Ring faktoriell ist?
√
Der Ganzheitsring Od eines quadratischen Zahlkörpers Q( d) heißt normeuklidisch, wenn zu α, β ∈ Od mit β 6= 0 stets κ, ρ ∈ Od existieren, so dass
α = κβ + ρ
mit ρ = 0
oder |N(ρ)| < |N(β)|.
Dies liefert eine Variante des euklidischen Algorithmus und erlaubt insbesondere
die Definition eines größten √
gemeinsamen Teilers. Äquivalent zu obiger Definition
ist die Existenz eines γ ∈ Q( d) zu gegebenem κ ∈ Od mit der Eigenschaft |N(γ −
κ)| < 1. Der Nachweis der Normeuklidizität reduziert sich damit auf das Auffinden
eines nahen Gitterpunktes.
Satz 36 (Dickson, 1927). Der Ganzheitsring Od eines imaginär-quadratischen
Zahlkörpers (d < 0) ist genau dann normeuklidisch, wenn
d = −1, −2, −3, −7, −11.
Der Beweis benutzt die vorliegende Gitterstruktur imaginar-quadratischer Ganzheitsringe aus; bei reell-quadratischen Zahlkörpern liegt diese Struktur nicht vor
und der Nachweis von Normeuklidizität erweist sich als wesentlich schwieriger. Hier
†
bis auf Assoziiertheit und die Reihenfolge der Faktoren
ZAHLENTHEORIE
23
√
√
ein kurzes Argument für Q( 3): Gegeben γ = x + y 3, wähle man ganze Zahlen a und b, die einen Abstand von x bzw. y von höchstens 12 besitzen, dann ist
√
κ = a + b d ∈ O3 mit
|N (γ − κ)| = |(x − a)2 − 3(y − b)2 | < 1,
und also ist O3 normeuklidisch. Mit√wesentlich mehr Aufwand kann man zeigen,
dass im Falle reell-quadratischer Q( d) (also d > 0) ist der Ganzheitsring genau
in den Fällen d = 2, 3, 5, 6, 7, 11, 13, 17, 19, 21, 29, 33, 37, 41, 57, und 73 normeuklidisch, was Perron
zuerst (korrekt) bewies. Ferner gibt es quadratische Zahlkörper,
√
wie etwa Q( 69) nach Clark 1994, die euklidisch, aber nicht normeuklidisch sind;
hier existiert eine von der Norm verschiedene Funktion N : Od → N0 mit der
gewünschten Reduktionseigenschaft.‡
Satz 37. Ist Od normeuklidisch, dann auch faktoriell; insbesondere ist Od faktoriell
für d = −1, −2, −3, −7, −11.
Die Umkehrung gilt nicht: Beispielsweise ist Od im imaginär-quadratischen
Fall über die im vorletzten Satz angegebenen Werte hinaus genau für d =
−19, −43, −67, −163 faktoriell; diese alte Vermutung von Gauß wurde 1967 durch
Baker und (unabhgängig) Stark bewiesen. Im reell-quadratischen Fall werden unendlich viele faktorielle Ganzheitsringe Od erwartet.
Übung: xi) Die Menge Q aller algebraischen Zahlen bildet einen Körper und Od =
√
Q ∩ Q( d). xii) Die einzigen ganzzahligen Lösungen der Gleichung Y 2 = X 3 − 2
sind x = 3, y = ±5 (wie bereits Bachet, Fermat und Euler wußten).
Übungsaufgaben: t) Man beweise, dass für einen Ganzheitsring Od stets die Darstel√
lung Od = Z[ϑ] mit ϑ = 12 (D + D) gilt und denke sich ferner über Dedekind hinausgehende Beispiele uneindeutiger Faktorisierungen in irreduzible Elemente
√ aus.
u) Man beweise: Es gibt nur endlich viele reell-quadratische Zahlkörper Q( d) mit
d ≡ 2 oder 3 mod
√ 4 und euklidischem Ganzheitsring. v) Beweise, dass der Ganzeheitsring
zu Q( 5) normeuklidisch ist. w) Man zeige, dass der Ganzheitsring zu
√
dass im Falle
Q( 14) faktoriell, aber nicht normeuklidisch ist. x) Man beweise,
√
d < 0 und d ≡ 1 mod 4 der maximale Abstand eines κ ∈ Q( d) zu einer nahesten
1
(−d + 2 − d1 ) beträgt.
ganzen Zahl γ die Norm N(γ − κ) gleich 16
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Euklidische Ganzheitsringe reellquadratischer Zahlkörper; (Euklidische und faktorielle) Ganzheitsringe von
Kreisteilungskörpern und ihre Arithmetik.
13. Zerlegung von Primzahlen
Jeder Ganzheitsring enthält die ganzen rationalen Zahlen: Z = Od ∩ Q, und also
insbesondere auch die Primzahlen. Wie verhalten sich diese unzerlegbaren Elemente von Z in der größeren Menge Od ? Ein wichtiges Werkzeug zur Untersuchung
dieser Fragestellung liefert die Norm und der folgende
√
Satz 38. Sei Od der Ganzheitsring von Q( d) Dann gibt es zu jedem Primelement
π ∈ Od genau eine rationale Primzahl p mit π | p und insbesondere gilt N (π) = ±p
oder = ±p2 .
Entsprechend zerlegt sich eine rationale Primzahl p auf genau eine der folgenden
Arten und Weisen:
‡
D.A. Clark, A quadratic field which is euclidean but not norm-euclidean, Manuscripta Math.
83 (1994), 327-330
24
ZAHLENTHEORIE
• p bleibt prim in Od ;
• p ist in Od nicht prim, aber irreduzibel;
• p ist in Od reduzibel.
Hierbei tritt der zweite Fall nur dann ein, wenn Od nicht faktoriell ist, was wir aber
im Folgenden ausschließen wollen! Im dritten Fall gilt p = ππ ′ mit Primelementen
π, π ′ ∈ Od , die zueinander assoziiert oder auch nicht assoziiert sein können. Wir
sagen
• p ist träge, falls p auch in Od prim ist;
• p ist zerlegt, falls p = ππ ′ (= ±N (π)) für zwei nicht assoziierte, algebraisch
konjugierte Primelemente π, π ′ ∈ Od ;
• p ist verzweigt, p = ǫπ 2 für eine Einheit ǫ und ein Primelement π ∈ Od .
Der jeweilige Zerlegungstyp lässt sich mit Hilfe des Legendre-Symbols bestimmen.
Hierzu
√ definieren wir noch die Diskriminante D eines quadratischen Zahlkörpers
Q( d) als
4d falls d ≡ 2, 3 mod 4,
D=
d
falls d ≡ 1 mod 4.
Man beachte, dass diese Unterteilung √
den unterschiedlichen
Erscheinungsformen
√
der Ganzheitsringen entspricht und Q( D) = Q( d) gilt.
Satz 39 (Zerlegungsgesetz für Primzahlen, Euler, Gauß). Sei Od faktoriell
und p eine ungerade Primzahl. Dann gelten



 +1,
 zerlegt 
D
verzweigt
0,
p ist
⇐⇒
=



p
träge
−1,
sowie



zerlegt 
verzweigt
2 ist


träge
⇐⇒

 1 mod 8,
0 mod 2,
D≡

5 mod 8.
Abbildung 6. Die ersten Gaußschen Primzahlen (mit kleiner Norm)
ZAHLENTHEORIE
25
Der Satz erlaubt einige interessante Anwendungen. Beispielsweise ist der Ganzheitsring Z[i] des Gaußschen Zahlkörpers Q(i) faktoriell und es gelten
• 2 = −i(1 + i)2 ist verzweigt (D = 4d = −4);
• alle rationalen Primzahlen p ≡ 3 mod 4 sind träge (also prim);
• alle rationalen Primzahlen p ≡ 1 mod 4 sind zerlegt (also Produkt zweier
konjugierter primer Elemente a ± ib).
Aus der letzten Beobachtung resultiert unter Bildung der Norm ein weiterer Beweis
des Zweiquadratesatzes von Fermat: N (a + ib) = a2 + b2 = p für alle Primzahlen
p ≡ 1 mod 4.
√
Übung: xiii) Z[ 3] ist faktoriell; trotzdem bestehen die Faktorisierungen 2 · 11 =
√
√
(5 + 3)(5 − 3). xiv) Der Lucas-Lehmer-Test testet folgendermaßen, ob eine Zahl
der Form Mq = 2q − 1 prim ist: Die Folge der sn sei rekursiv definiert durch s1 = 4
und sn+1 = s2n − 2 mod Mq . Es ist genau dann Mq prim, wenn sq−1 ≡ 0 mod Mq
gilt. Dies wird zum Auffinden großer Primzahlen benutzt.
Übungsaufgaben: y) Wie zerlegen sich die rationalen Primzahlen in Od für d =
−3 bzw. d = −11? z) Euler beobachtete, dass das Polynom X 2 + X + 41 für
x = 0, 1, . . . , 39 nur Primzahlen als Werte liefert. Aus der Eigenschaft, dass O−163
faktoriell ist, folgere man P41 (x) ist prim für x = 0, 1, . . . , 39 sowie ( −163
p ) = −1
für alle Primzahlen p < 41.
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Der Satz von Rabinowitsch besagt
Für eine Primzahl q und Pq := X 2 + X + q sind äquivalent: i) q = 2, 3, 5, 11, 17, 41;
ii) Pq (x) ist prim für x = 0, 1, . . . , q − 2; iii) O1−4q ist faktoriell.
14. Ideale, Primideale und gebrochene Ideale
Sei R ein kommutativer Integritätsring mit Einselement; im Folgenden√werden
wir meistens einen Ganzheitsring Od eines quadratischen Zahlkörpers Q( d) vorliegen haben (was oftmals die Situation vereinfacht). Ein Ideal a ist eine additive
Untergruppe von R, die bzgl. der Multiplikation mit Ringelementen abgeschlossen
ist. Ein Ideal a heißt Hauptideal, wenn ein α ∈ R existiert, so dass a = (α) := αR
gilt. Summe und Produkt von Idealen a, b sind erklärt durch
a + b := {α + β : α ∈ a, β ∈ b}
sowie
ab :=

X

j
αj βj : αj ∈ a, βj ∈ b


,

wobei nur endliche Summen zugelassen sind; offensichtlich sind Summe und Produkt von Idealen selbst wieder Ideale. Offensichtlich gelten stets die Inklusionen
ab ⊂ a ∩ b ⊂ a ⊂ a + b.
Die Summe von Hauptidealen (α1 ) + . . . + (αm ) wird oft als (α1 , . . . , αm ) notiert.
Tatsächlich ist jedes Ideal in Od eine Summe endlich vieler Hauptideale (als endlich
erzeugte abelsche Untergruppe von Od ); in allgemeinen Ringen R ist dies nicht
unbedingt der Fall.
Satz 40. Ist R euklidisch, dann ist jedes Ideal in R ein Hauptideal und also R
ein Hauptidealring; die Umkehrung gilt i.A. nicht.
26
ZAHLENTHEORIE
Beispielsweise ist Od faktoriell, aber nicht euklidisch für d = −163 und d = 14.
Eine Erweiterung des Kongruenzkalküls erlaubt modulare Arithmetik bzgl. eines
Ideales. Gegeben ein Ideal a, definieren wir für α, β ∈ Od
α ≡ β mod a
: ⇐⇒
α − β ∈ a.
Es gelten hiermit die üblichen Rechenregeln. Die Restklassen notieren wir mit Od /a
und diese Struktur ist ein Ring, der so genannte Restklassenring modulo a (in Verallgemeinerung der Restklassenringe modulo einer natürlichen Zahl). Beispielsweise
gilt im Ring der ganzen Gaußschen Zahlen für das Ideal (1 + i) = {a + ib ∈ Z[i] :
a ≡ b mod 2}
Z[i]/(1 + i) = {0 + (1 + i), 1 + (1 + i)} ∼
= Z/2Z.
Weil nämlich Q(i) imaginär-quadratisch ist, kann man sowohl Z[i] = Z + iZ als
auch (1+ i) = (1+ i)Z + (1− i)Z =: Λ als Gitter in C auffassen und Repräsentanten
des Restklassenrings modulo (1 + i) finden sich über die ganzen Gaußschen Zahlen
in einem Fundamentalparallelogramm von Λ.
Zwei Ideale a, b heißen teilerfremd, wenn a + b = (1) = Od gilt; in diesem Fall ist
ab = a ∩ b und noch allgemeiner besteht ein Analogon des chinesischen Restsatzes: Gegeben αj ∈ Od und paarweise teilerfremde aj , ist das System von linearen
Kongruenzen X ≡ αj mod aj für j = 1, . . . , n eindeutig lösbar modulo a1 · . . . · an .
Satz 41. Jede aufsteigende Kette a1 ⊂ a2 ⊂ . . . von Idealen in Od wird stationär,
d.h., es gibt ein m mit aj = am für alle j ≥ m.
In der Sprache der Ringtheorie ist somit Od noethersch.∗
Ein Ideal p in R heißt Primideal (oder kurz prim), wenn p 6= R und aus αβ ∈ p
stets α ∈ p oder β ∈ p folgt. Stets ist das Nullideal (0) ein Primideal. Ferner ist
das Hauptideal (π) genau dann ein Primideal, wenn π ein Primelement in R ist.
Insbesondere in Ganzheistringen Od existiert zu einem Primideal p 6= (0) stets eine
Primzahl p mit der Eigenschaft
p ∩ Z = p Z.
Ein Ideal m 6= R heißt maximal, wenn aus m ⊂ a stets a = m oder a = R folgt.
Offensichtlich ist in dem noetherschen Ring Od jedes Ideal in einem maximalen
Ideal enthalten und darüber hinaus besteht
Satz 42. Jedes maximale Ideal in Od ist prim und insbesondere ist jedes Ideal in
einem Primideal enthalten. Umgekehrt ist jedes Primideal p 6= (0) maximal.
Es ist wünschenswert, in Ganzheitsringen auch den Quotienten von Idealen
bilden
√ zu können. Hierzu heißt eine Teilmenge a des zugrundeliegenden Körpers
Q( d) ein gebrochenes Ideal, wenn ein 0 6= α ∈ Od existiert, so dass
αa := {αa : a ∈ a}
ein Ideal in Od ist; hierbei lässt sich stets mit ±N(α) statt α sogar eine natürliche
Zahl mit dieser Eigenschaft finden. Beispielsweise gilt
√
√
√
√
(3, 1 + −5)−1 := 31 (3, 1 − −5) = (1, 31 (1 − −5)) in Q( −5);
√
hierbei ist das Produkt dieses Ideals mit (3,√
1+ −5) gleich dem Ganzheitsring O−5 .
Genauso verhält es sich mit den zu α ∈ Q( d) gebildeten gebrochenen Hauptidealen (α) = αOd . Tatsächlich kann man gebrochene Ideale hinsichtlich der Addition
∗
nach Emmy Noether, 1882-1935
ZAHLENTHEORIE
27
und Multiplikation wie Ideale behandeln. Im nächsten Paragrapghen werden wir
für ein beliebiges Ideal a 6= (0) zeigen, dass
√
(5)
a · a−1 = (1) = Od
mit a−1 := {β ∈ Q( d) : βa ⊂ Od }
und a−1 ist hierbei ein gebrochenes Ideal, bestehend aus den Körperelementen β,
die im Produkt mit a im Ganzheitsring zu liegen kommen. Insofern stehen uns nun
auch die Inversen von Idealen zur Verfügung!
Die Ideale in Od nennen wir von nun an ganz. Ein ganzes Ideal teilt ein anderes
ganzes Ideal b, wenn ein ganzes Ideal c existiert, so dass b = ac, in Zeichen: a | b.
Offensichtlich gilt genau dann a | b, wenn b ⊂ a. Zusammenfassend lassen sich
folgende Korrespondenzen zwischen der Idealtheorie und der Arithmetik ganzer
bzw. rationaler Zahlen aufstellen:
ganze Ideale
gebrochene Ideale
Inklusion
Summe
Durchschnitt
←→
←→
←→
←→
←→
ganze Zahlen
rationale Zahlen
Teilbarkeit
ggT
kgV,
und das Produkt bedeutet in beiden Welten dasselbe.
Nun können wir endlich die Früchte unserer Begriffsbildung und Voruntersuchungen einfahren und das Analogon zum Fundamentalsatz der Arithmetik formulieren:
Satz 43 (Eindeutige Primidealzerlegung, Dedekind). Jedes von (0) und (1)
verschiedene Ideal a besitzt eine (bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutige
Zerlegung in ein Produkt von Primidealen
a = p1 · . . . · pm .
Der Beweis ähnelt der entsprechenden Aussage für den Ring der ganzen Zahlen
Z; technisches Hilfsmittel sind die gebrochenen Ideale und insbesondere (5). In
der Sprache der Algebra findet man (etwas) allgemeiner: In jedem Dedekind-Ring
besteht eine eindeutige Primidealzerlegung! Hierbei wird ein ganzalgebraisch abgeschlossener,† noetherscher Ring R, in dem jedes Primideal maximal ist, als Dedekindring bezeichnet. Wir illustrieren dieses Analogon zur eindeutigen Primfaktorisierung im Ring der ganzen
√ Zahlen Z mit Dedekinds Beispiel: Im nicht-faktoriellen
Ganzheitsring O−5 = Z[ −5] bestehen verschiedene Zerlegungen in irreduzible
Elemente, wie etwa
√
√
2 · 3 = (1 + −5) · (1 − −5).
√
√
Dies schreibt
sich mit Hilfe√der Primideale p1 = (2, 1 + −5) = (2, 1 − −5), p2 =
√
(3, 1 + −5), p3 = (3, 1 − −5) wegen (2) = p21 usw. als
p21 · p2 p3 = p1 p2 · p1 p3
und die Uneindeutigkeit ist aufgehoben!‡ Der Begriff des Ideals geht auf Dedekind
(um 1871) und zuvor (um 1847) Ernst Eduard Kummer zurück; letzt Genannter
untersuchte die Fermatsche Gleichung X p + Y p = Z p mit einer ungeraden Primzahl p und, ausgehend von der Existenz einer nicht trivialen Lösung x, y, z ∈ Z
†
wenn also aus P (α/β) = 0 mit α/β aus dem Quotientenkörper von R und normiertem P ∈
R[X] bereits α/β ∈ R folgt.
√
√
√
√
‡
Übrigens gilt in Q( −5, 2) die merkwürdige Gleichung (2, 1 + −5)2 = (2) = ( 2)2 .
28
ZAHLENTHEORIE
faktorisierte er die entsprechende Gleichung gemäß
p
p
p
z =x +y =
p
Y
(x + yζpj )
mit ζp := exp( 2πi
p )
j=1
einer primitiven p-ten Einheitswurzel. Unglücklicherweise sind die zu betrachtenden Ringe Z[ζp ] (zwar Ganzheitsringe der Kreisteilungskörper, jedoch) i.A. nicht
faktoriell! Dies veranlasste Kummer so genannte ideale Zahlen einzuführen, die
diesen Mißstand beheben. Die von Dedekinds später eingeführten Ideale leisten
selbiges und mehr.
√
√
√
Übung: xv) In Z[−5] gilt (7, 3 ± −5)(3 ∓ −5) = (7)(2, 1 ∓ −5). xvi) Zu jedem
Ideal a 6= (0) in Od gibt es von (0) verschiedene Primideale p1 , . . . , pn , so dass
p1 · . . . · pn ⊂ a.
Übungsaufgaben: ß) Zeige: In Z ist jedes Ideal ein Hauptideal und es gelten die
Identitäten
(a)(b) = (ab) sowie (a) + (b) = (ggT(a, b)) für beliebige a, b ∈ Z. ä) In
√
Z[ −41] gilt
√
√
42 = 2 · 3 · 7 = (1 + −41) · (1 − −41).
√
Zeigen Sie, dass p = (2, 1 + −41) ein Primideal ist und überdies (42) ⊂ p2 gilt.
Wie hängt dies mit den beiden Faktorisierungen von 42 zusammen?
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Allgemeine Idealtheorie in Dedekindringen und Anwendungen in Kreisteilungskörpern
15. Die Idealklassengruppe
Ideale lassen sich miteinander multiplizieren. Die Ausdehnung des Idealbegriffs
von ganzen auf gebrochene Ideale liefert dabei sehr viel Struktur:
Satz 44. Die Menge der von (0) verschiedenen gebrochenen Ideale in Od bildet
eine multiplikative Gruppe; das Inverse eines gebrochenen Ideals a 6= (0) ist gegeben
durch
√
a−1 := {β ∈ Q( d) : βa ⊂ Od }.
Der Beweis des Satzes beruht im Wesentlichen auf dem Nachweis von (5) und
erklärt die dort verwendete Notation.
Wir definieren die Norm eines ganzen Ideals a 6= (0) als die Ordnung der Restklassengruppe modulo a, also: Na = ♯Od /a, sowie N(0) = 0.
Satz 45. Für Ideale a, b ⊂ Od gelten
• Na < ∞;
• die Norm von Idealen ist streng multiplikativ:
N(ab) = N(a)N(b).
Ist die Norm eines Ideals p prim, also Np = p für eine Primzahl, dann ist p
ein Primideal. Mit dem Zerlegungsgesetz sind Hauptideale (p) in Od mit primem p
somit entweder Primideale oder Produkt zweier Primideale. Zu einem gebrochenen
Ideal a ist
a′ := {α′ : α ∈ a}
ein weiteres gebrochenes Ideal, welches genau dann ganz ist, wenn a ganz ist. Dann
gilt aa′ = (Na) und die Norm des von α ∈ Od erzeugten Hauptideals ist gleich dem
Betrag der Norm von α (als Zahl in Od ).
ZAHLENTHEORIE
29
√
Es bezeichne nun Id die Menge aller gebrochenen Ideale in Q( d) und Hd die
Teilmenge aller gebrochenen Hauptideale. Auf der Menge Id der von (0) verschiedenen gebrochenen Ideale definiert
a∼b
a−1 b ∈ Hd
⇐⇒
eine Äquivalenzrelation.
Satz 46. Die Menge Id / ∼ der Äquivalenzklassen bildet mit der Multiplikation
gebrochener Ideale eine Gruppe, die so genannte Idealklassengruppe, und diese wird
mit Cld bezeichnet.
Damit ist die Idealklassengruppe die Faktorgruppe Cld = Id /Hd und es besteht
folgende exakte Sequenz§
√
1 → Od∗ → Q( d)∗ ∼
= Hd → Id → Cld → 1.
Die Idealklassengruppe spiegelt also die Ausdehnungsgröße und die Einheitengruppe den Verlust beim Übergang von den Zahlen zu den Idealen wieder!
Satz 47. Für einen quadratischen Zahlkörper sind äquivalent:
• Od ist faktoriell;
• Od ist ein Hauptidealring;
• Cld = {1} ist trivial, d.h. ♯Cl d = 1.
Tatsächlich gelten i.A. die Inklusionen folgender Mengen von Ringen:
euklidische Ringe
⊂
Hauptidealringe
⊂
faktorielle Ringe
⊂
Integritätsringe.
Man beachte, dass wir normeuklidische Ganzheitsringe Od bereits als faktoriell
erkannt hatten! In unseren speziellen Situation liefern die Ganzheitsringe Od mit
d = −163, −19 Beispiele für das Vorliegen echter Inklusionen.¶
Eine naheliegende Frage ist hier: Wie groß ist die Idealklassengruppe?
Die Ordnung von Cld heißt Klassenzahl und wird mit h(d) = ♯Cl d notiert.
Tatsächlich handelt es sich bei dieser Größe um dieselbe Klassenzahl wie bei den
quadratischen Formen. Dies erklärt sich durch die Vorschrift zwischen den Mengen
der Formen bzw. Idealen gleicher Diskriminante
√
F := {(a, b, c) : D = b2 − 4ac} → Id , (a, b, c) 7→ a = aZ + 21 (b − D)Z
bzw. deren Umkehrung. Einen alternativen Zugang√bietet wiederum die Minkow√
d)
vermöge
α
=
a
+
b
d 7→
skische
Gitterpunkttheorie.
Hierzu
bettet
man
Q
(
p
(a, b |d|) in den R2 ein und erhält als Bild p
eines ganzen Ideals a 6= (0) ein Gitter
im R2 mit Fundamentalmaschenvolumen 12 |D|Na. Anwenden des Gitterpunktsatzes liefert dann
Satz 48. In jeder Idealklasse von Cld existiert ein Element a mit Norm
p
Na ≤ |D|
und zu jedem n ∈ N existieren höchstens endlich viele Ideale a ⊂ Od mit Na = n;
insbesondere ist die Klassenzahl endlich: h(d) < ∞.
§
d..h. in den hintereinandergeschalteten Abbildungen . . . → A → B → C → . . . gilt jeweils
Bild(A → B) = Kern(B → C).
¶
Der Polynomring Z[X] liefert ein einfaches Beispiel eines faktoriellen Ringes, der kein Hauptidealring ist.
30
ZAHLENTHEORIE
Beispielsweise ist D = −20 für O−5 und die Primideale p mit Norm ≤ 20 < 4, 5
ergeben sich aus den √
Primidealteilern von
√ (2) und (3). Nach√dem Zerlegungsgesetz
sind dies p1 = (2, 1+ −5), p2 = (3, 1+ 5) und p3 = (3, 1− −5) = p′2 . Hierbei ist
keines der pj ein Hauptideal und es gilt p1 ∼ p2 ∼ p3 , so dass also h(−5) = 2. Ferner
√
ist ah(d) stets ein Hauptideal und beispielsweise gilt hier etwa (2, 1 + −5)2 = (2).
Es wird vermutet, dass es unendlich viele reell-quadratische Zahlkörper
mit ein√
deutiger Primfaktorzerlegung gibt. So kennt man 142 Körper Q( d) im Bereich
2 ≤ d ≤ 500, die Klassenzahl eins haben.
Übung: xvii) Z[β] ist genau dann eine endlich erzeugte abelsche Gruppe bzgl. der
Addition, wenn β eine ganze algebraische Zahl ist. xviii) Es gilt h(−6) = 2.
Übungsaufgaben: ö) Bestimme die Klassenzahl h(−23) mit Hilfe der Primideale
kleiner Norm.
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Minkowski-Theorie in algebraischen
Zahlkörpern.
16. Die Dedekindsche Zetafunktion
Sei K ein Zahlkörper, dann ist die zugehörige Dedekindsche Zetafunktion definiert
durch
X
Y
ζK (s) =
Na−s =
(1 − Np−s )−1
für Re s > 1;
a6=0
p
die Identiät zwischen dem Euler-Produkt und der Dirichlet-Reihe ist eine analytische Version der eindeutigen Primidealzerlegung. Für K = Q ergibt√sich die
Riemannsche Zetafunktion. Im Falle quadratischer Zahlkörper K = Q( d) folgt
mit der Zerlegung der rationalen Primzahlen p in Primideale vermöge
• p ist träge: (p) = p für ein Primideal p mit Np = p2 ;
• p ist zerlegt: (p) = pp′ mit zwei nicht assoziierten Primidealen p, p′ und
Np = Np′ = p;
• p ist verzweigt: (p) = p2 für ein Primideal p mit Norm Np = p,
eine Faktorisierung der Dedekindschen Zetafunktion in alte Bekannte:
Y
ζQ(√d) (s) =
(1 − Np−s )−1
p
Y
=
(1 − p−s )−1 ·
p|D
Y
(1 − p−s )−2 ·
)=+1
p:( D
p
Y
(1 − p−2s )−1
p:( D
)=−1
p
= ζ(s)L(s, χD )
n
mit dem Kronecker-Symbol n 7→ χD (n) = ( D
). Andererseits lässt sich die Dedekindsche Zetafunktion auch in eine Dirichlet-Reihe entwickeln: Bezeichnet ad (n)
die Anzahl aller ganzen Ideale a mit Na = n, so folgt
X
X
ζQ(√d) (s) =
Na−s =
ad (n)n−s
a6=0
n1
mit
ad (n) = (1 ∗ χD )(n) =
X
b|n
χD (b)
ZAHLENTHEORIE
31
auf Grund der obigen Faktorisierung als Faltung der jeweiligen Koeffizientenfunktionen.∗
Im Falle des Gaußschen Zahlkörpers Q(i) ergibt sich ζQ(i) (s) = ζ(s)L(s, χ−4 )
mit dem Nicht-Hauptcharakter χ−4 = χ mod 4 (also χ(n) = 0 für gerade n und
χ(n) = ±1 je nachdem, ob n ≡ ±1 mod 4). In Anbetracht des Zerlegungsgesetzes
sind die ganzen Ideale in Z[i] von der Form a = (a + ib) mit Norm Na = a2 + b2
und es folgt
Korollar 49. Eine natürliche Zahl n ist genau dann als Summe von zwei Quadraten darstellbar, wenn alle Proimfaktoren p ≡ 3 mod 4 von n mit einem geraden
Exponenten in der Primfaktorzerlegung von n auftreten; für die Anzahl r(n) der
Darstellungen gilt
X
r(n) = 4
χ−4 (b).
b|n
Ferner ist
r(n) = 4
Y
(v+1)·
p|n
p≡1 mod 4
Y
w
1
2 (1+(−1) )
mit n = 2u
Y
p|n
p≡1 mod 4
q|n
q≡3 mod 4
pv ·
Y
qw
q|n
q≡3 mod 4
der
von n. Der Zusammenhang zum Kreisproblem
P
P eindeutigen Primfaktorzerlegung
π
a
r(n)
∼
πx
liefert
hier
n≤x −1 (n) ∼ 4 x für die Anzahl der ganzen Ideale
n≤x
a = (a + ib) mit Norm Na ≤ x. Dabei gilt auf Grund des einfachen Pols der
Riemannschen Zetafunktion in s = 1 mit Residuum 1 und der Regularität von
L(s, χd ) in s = 1 für das Residuum der Dedekindschen Zetafunktion ζQ(i) (s)
1 1
π
+ ∓ ... = .
s→1
3 5
4
Dieser Zusammenhang besteht allgemeiner: Mit Hilfe der analytischen Klassenzahl
ergibt sich
√
Satz 50. Für imaginär-quadratische Zahlkörper Q( d) gilt
lim (s − 1)ζQ(i) (s) = L(1, χ−4 ) = 1 −
lim (s − 1)ζQ(√d) (s) = L(1, χD ) =
s→1
2πh(D)
p
.
ω |D|
√
Beispielsweise zeigt sich so für Q( −3) mit h(−3) = 1
π
1 1 1 1
lim (s − 1)ζQ(√−3) (s) = L(1, χ−3 ) = 1 − + − + ∓ . . . = √ .
s→1
2 4 5 7
3 3
Wesentlich allgemeiner zeigten Dedekind und Weber für beliebige algebraische
Zahlkörper K vom Grad n über Q
lim (s − 1)ζK (s) =
s→1
2r1 (2π)r2 RK hK
p
,
ω |D|
wobei r1 für die Anzahl der reellen Einbettungen und r2 für die Anzahl der Paare
konjugiert komplexer Einbettungen von Q in K steht,† RK der Regulator und hK
die Klassenzahl. Ferner gilt für die Anzahl der ganzen Ideale mit Norm ≤ x
(6)
∗
♯{a : ganz mit Na ≤ x} ∼
2r1 (2π)r2 RK hK
p
x.
ω |D|
Tatsächlich beruht der Beweis von L(1, χ) 6= 0 beim Dirichletschen Primzahlsatz auf dieser
Beobachtung!
†
Somit ist n = r1 + 2r2 und im Falle quadratischer Zahlkörper ist entweder (r1 , r2 ) = (2, 0)
oder = (0, 1) je nachdem, ob K reell oder imaginär ist.
32
ZAHLENTHEORIE
Uns interessiert im Folgenden jedoch die Verteilung der Primideale bzw. der Primzahlen...
Übungsaufgaben: ü) Welche n ∈ N besitzen eine Darstellung der Form n = x2 −
xy + y 2 und was lässt sich über die Anzahl der Darstellungen aussagen?
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Der Satz von Dedekind-Weber in voller Allgemeinheit; Dedekindsche Zetafunktion zu Kreisteilungskörpern; arithmetische Äquivalenz: Es gibt verschiedene Zahlkörper (beispielsweise Q((−3)1/8 ) und
Q((−48)1/8 )) mit identischer Dedekindscher Zetafunktion.
17. Ein Tauber-Satz und die Verteilung der Primideale
Erstaunlicherweise treten Primideale in Zahlkörpern mit einer im Wesentlichen
vom Körper unabhängigen Frequenz auf:∗
Satz 51 (Primidealsatz, Landau 1903). Sei K ein Zahlkörper. Bezeichnet πK (x)
die Anzahl der Primideale p mit Norm N(p) ≤ x, dann gilt bei x → ∞
x
πK (x) ∼
.
log x
Im Falle K = Q ist dies der Primzahlsatz, der zuerst von Hadamard und (unabhängig) de la Vallée-Poussin 1896 bewiesen wurde; der Zahlkörperfall wurde
einhergehend mit einer Vereinfaxchung der Beweisführung von Landau bewiesen.
Der Spezialfall des Gaußschen Zahlkörpers Q(i) offenbart, dass die Primzahlen in
den primen Restklassen ±1 mod 4 gleichverteilt sind (was auch bereits aus dem
Dirichletschen Primzahlsatz folgt).
Der Beweis erfolgt mit
Satz 52 (Satz von Wiener–Ikehara, 1932/31). Sei A(x) eine nicht-negative
monoton wachsende Funktion auf x ∈ [0, ∞) und das Integral
Z ∞
A(x) exp(−sx) dx
f (s) =
0
konvergiere für Re s > 1 und f (s) besitze eine analytische Fortsetzung nach
Re (s) ≥ 1 bis auf einen einfachen Pol mit Residuum 1. Dann gilt
lim A(x) exp(−x) = 1.
x→∞
P
P∞
n
Abel bewies ∞
n=0 a(n)x → 1 bei x → 1− unter der Annahme
n=0 a(n) = 1.
1897 gelang Tauber die Umkehrung unter der Voraussetzung na(n) = o(1) bei
n → ∞. Der Tauber-Satz von Wiener-Ikehara liefert
P
−s eine Dirichlet-Reihe mit nicht-negativen
Korollar 53. Sei F (s) = ∞
n=1 a(n)n
Koeffizienten, welche für Re s > 1 absolut konvergiert. Angenommen, F (s) besitzt
eine meromorphe Fortsetzung nach Re s ≥ 1 mit höchstens der Ausnahme eines
einfachen Pols in s = 1 mit Residuum r ≥ 0. Dann gilt
X
a(n) ∼ rx.
n≤x
Anwendung auf die logarithmische Ableitung von ζK (s) liefert den Primidealsatz;
hierbei ist das Nichtverschwinden von ζK (s) auf der vertikalen Geraden s = 1 + iR
wesentlich.
∗
Das Auftreten der Ideale hingegen hängt von einer Vielzahl von Körperdaten ab.
ZAHLENTHEORIE
33
Übung: xix) Für die n-te Primzahl (der Größe nach geordnet) gilt pn ∼ n log n. xx)
Es gilt
X1
∼ log log x;
p
p
hieraus ergibt sich auch log log n als Mittelwert der Anzahl ω(n) der Primfaktoren
von n. xxi) Es gilt (6)
Mögliche Themen in der AG Zahlentheorie: Beweis des Primzahlsatzes mit Fehlerterm, Funktionalgleichung der Riemannschen Zetafunktion, Zusammenhang
zwischen der Riemannschen Vermutung und dem Fehlerterm im Primzahlsatz
(vermöge der expliziten Formel); Epsteinsche Zetafunktionen zu quadratischen Formen.
Lösungshinweise für die Übungsaufgaben:
P
a) Berechne den Mittelwert von n 7→ σ(n) := d|n d; geben Sie eine möglichst
gute Abschätzung des Fehlerterms an. Mit den Methoden aus der Übung gewinnt
man
X
π2 2
σ(n) =
x + O(x log x);
12
n≤x
siehe auch Hardy & Wright, §18.3.
P
b) Finde α ∈ R, so dass n≤x (αd(n) − log n) minimal ist. Mit Hilfe von Teilsummation berechnet sich
Z x
X
du ∼ x log x,
log n = x log x −
n≤x
1
weshalb mit Blick auf den Mittelwert von d(n) also α = 1 zu wählen ist.
c) Wie viele ganzzahlige Gitterpunkte sind vom Ursprung aus sichtbar? Hierzu
berechne man ♯{(a, b) ∈ Z2 : a2 + b2 ≤ x, ggT(a, b) = 1} bei x → ∞. Es ergibt
sich asymptotisch π6 x. Hierbei ist die ggT-Bedingung am besten mit der Formel
für die summatorische Funktion von µ(n) aufzulösen.
d) Gebe einen vollständigen Beweis des Vierquadratesatzes von Lagrange mit
Hilfe des Minkowskischen Gitterpunktsatzes. Siehe etwa Steuding, §8.4.
e) Sei C eine abgeschlossene Kreisscheibe vom Radius r > 0 mit Mittelpunkt
im Ursprung und auf jedem ganzzahligen Gitterpunkt (a, b) 6= 0 der euklidischen
Ebene innerhalb C sei mittig ein hoher Baum vom Radius ρ gepflanzt. Für welche
Verhältnisse von r und ρ ist es unmöglich vom Ursprung heraus aus dem Wald
hinaus zu schauen? Ist der Radius des Kreises 13 und der Baumdurchmesser 0, 26
kann man beispielsweise nicht aus dem Wald hinaus gucken. Mehr Details etwa in
J. Matoušek, Lectures on Discrete Geometry, Springer, 2002.
f) Die dichteste Kreisgitterpackung ist nach Lagrange hexagonal und bedeckt
= 0, 906 . . . des R2 , während die dichteste Kugelgitterpackung nach Gauß
π
flächenzentriert-kubisch ist mit einem Bedeckungsanteil von 3√
= 0, 74 . . . des
2
π
√
2 3
R3 . Siehe Leppmaier, Kugelpackungen, Vieweg 1997, Kapitel 1.
g) Gilt ax2 + bxy + cy 2 = m mit teilerfremden a, b, c und x, y, dann ist die
Diskriminante D = b2 − 4ac ein quadratischer Rest modulo m. Hierzu bildet man
0 ≡ 4am = 4a(ax2 + bxy + cy 2 ) = (2ax + by)2 − Dy 2 . Mit der Teilerfremdheit folgt,
dass D ein zu m teilerfremdes Quadrat ist.
34
ZAHLENTHEORIE
h) Allgemeiner kann man Transformationen mittels A ∈ Z2×2 mit det A = −1
zusätzlich zulassen; diese werden in der Literatur uneigentlich äquivalent genannt.
Induziert dies eine Äquivalenzrelation? Ja; Nachweis durch Nachrechnen.
i) (a, b, c) ∼ (A, B, C) ist äquivalent zu (a, −b, c) ∼ (A, −B, C). Siehe Hua,
§12.2.
j) Zeige folgenden Approximationssatz von Hurwitz: Ist ξ quadratisch irrational
mit aξ 2 + bξ + c = 0, wobei a, b, c ∈ Z nicht allesamt verschwinden und a > 0,
dann existieren unendlich viele xy ∈ Q mit |ξ − xy | < Cy1 2 für jede Konstante
√
√
C ≤ b2 − 4ac, aber nur endlich viele im Falle C > b2 − 4ac. Siehe Steuding,
§2.9.
k) Sei Q = (a, b, c) indefinit, dann gilt γ2 (Q) ≤ √25 mit Gleichheit genau dann,
wenn Q ∼ m(1, 1, −1) für ein m ∈ N. Siehe hierzu Cassels oder das Skript von
Clark, erhältlich unter http://www.math.uga.edu/∼pete/expositions2012.html
ℓ) Berechne die Klassenzahlen zu D = −4, −20. Wiederum Hua, §12.2.
m) Beweise den Eulerschen Darstellungssatz für Primzahlen p ≡ 1 mod 3. Siehe
etwa Scharlau & Opolka, §9.
n) Man beweise: Eine natürliche Zahl n lässt sich genau dann durch eine quadratische Form Q(x, y) mit teilerfremden x, y darstellen, wenn Q ∼ (n, z, m) mit
gewissen m, z ∈ Z gilt. Die eine Implikation ist trivial; die andere erfolgt mit dem
Satz von Bézout.
o) Für die Anzahl der n ≤ x, die teilerfremd zu einem gegebenen d ∈ N sind,
gilt
X
ϕ(d)
x + O(1).
1=
d
n≤x
ggT(n,d)=1
P
Hierzu benutzt man, dass d|m µ(d) gleich 1 ist für m = 1 und null sonst; damit
P
P
ist die zu berechnende Summe gleich x b|d µ(b)/b+ O( b|d 1 und die Behauptung
P
folgt mittels der Formel b|d µ(b)/b = ϕ(d)/d.
p) Beweise folgenden Satz von Pichler: Stellen zwei quadratische Formen gleicher
Diskriminante dieselbe Primzahl p dar, so sind sie äquivalent oder uneigentlich
äquivalent. Angenommen, (p, bj , cj ) für j = 1, 2 sind die beiden Formen mit jeweils
−p < bj ≤ p und D = b2j − 4pcj . Ist p ungerade und gilt p | D, so folgt bj = 0 oder
bj = p je nachdem ob D gerade oder ungerade ist. Gilt p 6| D, ist b21 −b22 ≡ 0 mod 4p
bzw. b1 ± b2 ≡ 0 mod 2p mit |bj | < p. Also gilt b1 = ±b2 und in beiden Fällen folgt
c1 = c2 und die Behauptung. Der Fall p = 2 geht ähnlich.
P
q) Gegeben eine in Re s > σc konvergente Dirichlet-Reihe A(s) = n≥1 an n−s ,
wobei σc ∈ R. Man beweise die Existenz einer nullstellenfreien Halbebene Re s > σ0
für A(s) und gebe eine explizite Schranke für σ0 an! Hierzu konsultiere man etwa
T.M. Apostol, Introduction to Analytic Number Theory, Springer 1976.
r) Man berechne die Klassenzahlen h(−47) und h(47) mit Hilfe der analytischen
Klassenzahlformel und überprüfe die Ergebnisse mit der Reduktionstheorie. Jeweils
durch Nachrechnen!
ZAHLENTHEORIE
35
s) Man P
zeige, dass mit der für 0 < α ∈ R definierten Hurwitz Zetafunktion
ζ(s, α) := m≥0 (m + α)−s gilt
X
χ(a)ζ(s, aq ).
L(s, χ) = q −s
1≤a≤q
P
Es sei F (s, α) :=
Hurwitzsche Formel
n≥1
exp(2πiαn)n−s .
Beweise für 0 < α ≤ 1, Re s > 1 die
Γ(s)
)F (s, α) + exp( πis
)F (s, −α)
exp(− πis
2
2
s
(2π)
und zeige ferner, dass diese für α 6= 1 auch in der Halbebene Re s > 0 gültig ist.
Wiederum mag ein Blick in Apostol, Introduction to Analytic Number Theory,
helfen.
ζ(1 − s, α) =
t) Man beweise, dass
√ für einen Ganzheitsring Od stets die Darstellung Od =
Z[ϑ] mit ϑ = 21 (D + D) gilt und denke sich ferner über Dedekind hinausgehende
Beispiele uneindeutiger
in irreduzible Elemente aus. Im Falle d ≡
√
√ Faktorisierungen
2, 3 mod 4 ist 12 (D + D) = 2d + d, während dies im Falle d ≡ 1 mod 4 gleich
√
√
1
1
d) ist. Ein weiteres Beispiel ist etwa 2 · 3 = 21 (1 − −23) · 21 (1 +
(d
−
1)
+
(1
+
2
2
√
−23).
√
u) Man beweise: Es gibt nur endlich viele reell-quadratische Zahlkörper Q( d)
mit d ≡ 2 oder 3 mod 4 und euklidischem Ganzheitsring. Siehe etwa Hardy &
Wright, §14.9.
√
v) Beweise, dass der Ganzheitsring zu Q( 5) normeuklidisch ist. Im Wesentlichen wie im Beispiel O3 .
√
w) Man zeige, dass der Ganzheitsring
zu
Q
(
14) faktoriell, aber nicht nor√
meuklidisch ist. Es ist O14 = Z[√14]. Wäre dieser Ganzheitsring norm-euklidisch,
müsste für eine ganze Zahl a + b 14 mittels der Normbedingung |(a − 21 )2 − 14(b −
1 2
2
2 ) | < 1 gelten. Nach Multiplikation mit 4 entsteht so (2a − 1) ≡ 3 mod 14, was
nicht lösbar ist.
x) Man beweise,
dass im Falle d < 0 und d ≡ 1 mod 4 der maximale Abstand
√
eines κ ∈ Q( d) zu einer nahesten ganzen Zahl γ die Norm N(γ − κ) gleich
1
1
16 (−d + 2 − d ) beträgt. Rechnen und Elementargeometrie.
y) Wie zerlegen sich die rationalen Primzahlen in Od für d = −3 bzw. d = −11?
Hierzu bemühe man das Zerlegungsgesetz.
z) Euler beobachtete, dass das Polynom X 2 + X + 41 für x = 0, 1, . . . , 39 nur
Primzahlen als Werte liefert. Aus der Eigenschaft, dass O−163 faktoriell ist, folgere
man P41 (x) ist prim für x = 0, 1, . . . , 39 sowie ( −163
p ) = −1 für alle Primzahlen
2
2
p < 41. Wäre z = x +x+41 < 41 nicht prim, besäße z einen Primteiler p < 41 und
dieser wäre ein quadratischer Rest modulo 163. Nun wäre p in O−163 unzerlegbar
(da die Norm stets ≥ 41 (1 + 163) = 41 ist), jedoch enthalten die Faktoren von
√
√
z = 21 ((2x + 1) + −163) · 12 ((2x + 1) − −163) dieses p aber nicht, im Widerspruch
zu h(−163) = 1.
ß) Zeige: In Z ist jedes Ideal ein Hauptideal und es gelten die Identitäten
(a)(b) = (ab) sowie (a) + (b) = (ggT(a, b)) für beliebige a, b ∈ Z. Nachrechnen
(und elementare Zahlentheorie)!
√
ä) In Z[ −41] gilt
√
√
42 = 2 · 3 · 7 = (1 + −41) · (1 − −41).
36
ZAHLENTHEORIE
√
Zeigen Sie, dass p = (2, 1 + −41) ein Primideal ist und überdies (42) ⊂ p2
gilt. Wie hängt dies mit den beiden Faktorisierungen von 42 zusammen? Es ist
p ∩ Z = 2Z und
√ p maximal, also insbesondere prim. Ähnlich wie in Dedekinds
−5] besteht hier eine eindeutige Primidealzerlegung mit p | (2)
Beispiel für
Z
[
√
und (1 + −41).
ü) Welche n ∈ N besitzen eine Darstellung der Form n = x2 − xy + y 2 und
was lässt sich über die Anzahl der Darstellungen
aussagen? Im Ring der ganzen
√
Eisensteinschen Zahlen Z[ϑ] mit ϑ = 21 (1 + −3) gilt N(x + yϑ) = x2 − xy + y 2
und die Primzahlen p ≡ 1 mod 6 erlauben eine solche Darstellung, nicht jedoch die
Primzahlen p ≡ 5 mod 6. Nun ergibt sich aus der eindeutigen Primfaktorzerlegung
und der Multiplikativität der Norm ein Kriterium, welche n sich darstellen lassen
(entsprechend dem Fall der ganzen Gaußschen Zahlen).
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