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Physikepoche Klasse 10
Mechanik
Bestimmen der Erdbeschleunigung im Klassenzimmer mit
einem mathematischen Pendel
Galilei hat, angeregt durch die Beobachtung eines schwingenden Leuchters im Dom
von Pisa die Pendelbewegung näher untersucht und hat das folgende Gesetz
herausgefunden:
l
T = 2 ⋅π ⋅
g
l Pendellänge
g Erdbeschleunigung
T Schwingungsdauer
Kennt man die Pendellänge und die Schwingungsdauer des Pendels, so kann
man die Erdbeschleunigung daraus berechnen.
4 ⋅π 2 ⋅ l
g=
T2
Kraft und Masse
Wirkung von Kräften
Kräfte kann man nicht sehen, man erkennt sie aber an ihren Wirkungen, die sie auf Körper ausüben:
1.
Kräfte verändern den Bewegungszustand (Geschwindigkeit) von Körpern.
2.
Kräfte verändern die Bewegungsrichtung von Körpern.
3.
Kräfte verformen Körper
4.
Kräfte sind Vektoren, sie weisen in eine Richtung und haben einen Betrag
Viele Kräfte treten paarweise auf und befinden sich im Gleichgewicht miteinander. Diese Kräftepaare sind
in ihren Wirkungen nur schwer erkennbar (Gebäude, Spannen eines Expanders, Tauziehen, ...)
Die Masse
Die Wirkung von Kräften ist an das Vorhandensein von raumausfüllenden (massebehafteten) Körpern
gebunden. Die Masse ist eine Eigenschaft der Materie, die es den Kräften erlaubt in der Natur wirksam zu
werden. Die Masse eines Körpers ist, unabhängig vom Ort an dem sich der Körper befindet, immer konstant.
Die Maßeinheit der Masse ist das Kilogramm [kg]. Die Masse von Körpern kann man nicht so einfach
bestimmen. Man hilft sich hierbei mit einem Trick. Man vergleicht die zu bestimmende Masse mit einem Körper
bekannter Masse. Am besten geeignet für diese Vergleichsmessung ist eine sogenannte Balkenwaage.
Das Eichkilogramm oder "Ur-Kilogramm" ruht seit 200 Jahren unter einer
doppelten "Käseglocke" in einem Labor des "Bureau International des Poids
et Mesures" in Sèvres bei Paris. Die nationalen Eich-Institute besitzen
Kopien davon. Jedes dieser nationalen Eichmassen wird regelmäßig mit
seinem internationalen Gegenstück verglichen.
Auf einer Seite liegt der Körper mit bekannter
Masse und auf der anderen Seite der Körper
mit der zu bestimmenden Masse. Ist der
Balken der Waage waagerecht, sind beide
Massen gleich. Dieses Ergebnis erhalten wir
unabhängig vom Ort an dem die Waage sich
befindet – also z.B. auch auf dem Mond.
Vorraussetzung, dass die Waage funktioniert
ist natürlich auch eine Kraft, die an den
beiden zu vergleichenden Massen angreift.
Das Newtonsche Gravitationsgesetz
Von Massen geht eine Wirkung aus, die auf andere Massen eine anziehende Kraft ausübt.
Johannes Kepler (1571 – 1630) hat diese Tatsache in seinen Gesetzen der Planetenbewegung
das erste Mal beschrieben. Isaak Newton (1643 -1727) formulierte später mit Hilfe dieser Beobachtungen das
physikalische Gesetz der Massenanziehung zweier Körper.
M ⋅m
F =G⋅ 2
r
F Anziehungskraft zwischen zwei Massen
M Masse 1
m Masse 2
r Abstand der Massenmittelpunkte
G Gravitationskonstante
Das dieses Gesetz auch für kleine Massen gilt, konnte 1798
Henry Cavendish experimentell mit einer Drehwaage
nachweisen. Er konnte erstmals auch die Gravitationskonstante
experimentell bestimmen
G = 6,67 ⋅ 10
−11
Nm 2
kg 2
Gewichtskraft
Die Ursache für die Gewichtskräfte der Körper auf der Erde liegt in der
Massenanziehung zwischen Erde und dem Körper. Die Gewichtskraft ist
also eine Folge der Gravitationswirkung der Erde. Die
Gravitationswirkung unserer Erde drückt sich in dem Wert der
Schwerebeschleunigung aus. Die Schwerebeschleunigung ist abhängig
vom Ort an dem sich der Körper befindet. Sie ist nicht an jedem Ort
gleich, sondern schwankt mit der Höhe über dem Meeresspiegel und mit
dem geographischen Ort.
Die Gewichtskraft wirkt nicht nur auf der Erde, sondern auf allen
Himmelskörpern, je nach Masse unterschiedlich stark.
Wirkung von Kräften - Dehnung einer Feder
Wir hängen an eine Feder verschiedene
Massen. Diese Massen ziehen mit den
entsprechenden Gewichtskräften an der
Feder und dehnen sie nach unten. Wir
messen die zu jeder Gewichtskraft erzeugte
Längenänderung der Feder.
Federlänge
Federlänge
von Masse
Feder1 in [mm]
Feder2 in [mm]
0
20
50
100
120
150
200
250
300
0
20
50
100
120
150
200
250
300
0
10
25
50
60
75
100
125
150
Dehnung zweier Federn
350
Federauslenkung [mm]
Wie wir leicht erkennen können ist die
Federauslenkung bei beiden Federn proportional
der an der Feder angreifenden Gewichtskraft.
∆l ~ G
Die Feder1 ist schwächer und deswegen ist die
Auslenkung bei gleicher Gewichtskraft größer als
bei Feder2. Die Federn unterscheiden sich also
durch Materialeigenschaften und Bauart
(Federlänge, Windungszahl, Federdurchmesser,
Drahtdurchmesser, Drahtsorte).
Gewichtskraft
300
250
200
150
100
50
0
0
50
100
150
200
Masse
250
300
350
Das Messen von Kräften
Da man Kräfte an ihren Wirkungen erkennt, ist uns hier eine Möglichkeit zur Quantifizierung oder
Messung von Kräften gegeben. Eine der am häufigsten verwendeten Methoden ist die reversible
Verformung einer Feder durch eine Kraft.
Die an die Feder hängende Masse dehnt die Feder, da die von der Erde erzeugte Anziehungskraft
die Masse nach unten zieht. Nach kurzer Zeit kommt die Dehnung der Feder zu einem Ende und
das System Feder Masse ist im Gleichgewicht. Dies kann nur sein, wenn eine gleich große Kraft
nach oben zieht. Diese Kraft wird von der Feder aufgebracht. Wir können schreiben:
F = −G
Aus den Ergebnissen des Versuches mit der Feder können wir diese Tatsache auch
folgendermaßen ausdrücken:
F = − k ⋅ ∆l
Man nennt den Faktor „k“ auch Federkonstante. In ihr stecken die Eigenschaften der Feder
Die Maßeinheit der Kraft
Zu Ehren des englischen Physikers Isaak Newton nennt man die Einheit der Kraft
Newton [N]
Ein Massestück von 1kg übt auf der Erde senkrecht nach unten eine Gewichtskraft
von 9,81N aus.
Dies gilt aber streng nur an bestimmten Orten, da die Gewichtskraft ja ortsabhängig ist.
Gegenüberstellung Masse und Kraft
Masse
Gewichtskraft
kein Vektor (Skalar)
ortsunabhängige Größe
Maßeinheit [kg]
Bestimmung mit Balkenwagen durch Vergleich
mit "Ur-Masse"
Vektor
ortsabhängige Größe
Maßeinheit [N]
Bestimmung mit Federwaagen
Die Masse eines Gewichtes ist auf Erde und Mond gleich (Wippe), wogegen die Kraft mit
der die Masse an der Feder zieht, auf der Erde größer ist als auf dem Mond.
Kräfte sind Vektoren
Kräfte sind Vektoren; sie haben eine Richtung in die sie wirken und eine Betrag der die Stärke der Kraft
angibt.
α
Die resultierende Kraft aus zwei oder
mehreren Teilkräften können wir
entweder auf graphischem Weg ermitteln
(Vektorparallelogramm) oder mit Hilfe
der Berechnungsgesetze am Dreieck.
Dichte und Wichte
Jeder Körper besitzt eine Masse. Diese Masse kann sich aber auf ein kleines Volumen (z.B. Blei) oder auf ein
großes Volumen (z.B. Holz) verteilen.
Je mehr Masse auf ein bestimmtes Volumen (z.B. 1cm³) konzentriert ist, desto größer ist die Dichte des Körpers.
Dichte =
Masse
Volumen
ρ=
m
V
Bei der Wichte eines Körpers geht man bei dieser Überlegung nicht von der Masse des Körpers aus, sondern von
dem Gewicht welches der Körper an dem gewählten Ort hat.
Wichte =
Gewicht
Volumen
γ=
G
V
Die Wichte eines Körpers hängt also vom Ort ab, wogegen die Dichte ortsunabhängig ist.
Dichte und Wichte einiger Stoffe
Stoff
Platin
Gold
Quecksilber
Silber
Kupfer
Stahl
Aluminium
Glyzerin
Wasser
Alkohol
Dichte
[g/cm³]
21,4
19,3
13,6
10,5
8,9
7,8
2,7
1,3
1
0,8
Wichte
[mN/cm³]
209,9
189,3
133,4
103,0
87,3
76,5
26,5
12,8
9,8
7,8
Die Newtonschen Axiome
Das erste Newtonsche Axiom –
Trägheitsgesetz
Ein Körper verharrt solange im Zustand der Ruhe oder der gleichförmig geradlinigen
Bewegung bis er durch eine äußere Kraft zu einer Änderung seines Zustandes gezwungen
wird.
Ruhe und gleichförmig geradlinige Bewegung lassen sich nicht unterscheiden, da in beiden keine
Kräfte wirken.
Beispiele: langsam anfahrender Zug im Bahnhof. Schiffe begegnen sich auf dem Meer
Will man den Bewegungszustand eines Körpers ändern, so setzt dieser diesem Vorgang einen
Widerstand entgegen. Er verhält sich „träge“.
Demonstration mit Kugel und Lego-Eisenbahn
Das zweite Newtonsche Axiom –
Kraftwirkungsgesetz
Versuch
Zwei Experimentierwagen gleicher Masse werden durch gleiche Gewichte in Bewegung gebracht. Die
Experimentierwagen führen eine gleichförmig beschleunigte Bewegung aus. Da beide die gleiche Zeit bis zum Anschlag
brauchen, haben sie auch die gleiche Beschleunigung erfahren.
Nun bringen wir auf einen Wagen Zusatzgewichte an und führen den gleichen Versuch noch einmal durch.
Der Wagen mit der größeren Masse braucht länger bis zum Anschlag. Er erfährt eine geringere Beschleunigung.
Die Beschleunigung der Experimentierwagen ist also indirekt proportional der Masse der Wagen
Wir wiederholen den Versuch derart, dass die Wagen die gleiche Masse haben aber mit unterschiedlichen Gewichten
beschleunigt werden. Der Wagen mit dem größeren Gewicht wird schneller beschleunigt als der Wagen mit dem kleineren
Gewicht. Die Beschleunigung ist also direkt proportional der beschleunigenden Kraft.
a~F
Fassen wir beide Proportionalitäten zusammen, so können wir schreiben
F
a = KP ⋅
m
Der Proportionalitätsfaktor Kp kann in diesem Fall „1“ gesetzt werden, da es sich gezeigt hat, dass keine weiteren
Abhängigkeiten bestehen. Wir erhalten also die Beziehung:
a=
F
m
oder
F = m⋅a
Wirkt auf eine Masse eine Kraft, so wird diese Masse beschleunigt.
Die Gewichtskraft ein Sonderfall
Das allgemeine Kraftwirkungsgesetz lautet
F = m⋅a
Auf der Erde wirkt auf alle Massen eine Kraft, die wir Gewichtskraft „G“ nennen. Diese Kraft will die Körper zum
Erdmittelpunkt hin gleichförmig geradlinig beschleunigen. Diese Beschleunigung nennen wir Erdbeschleunigung „g“.
Für den Sonderfall der Gewichtskraft auf der Erde können wir das allgemeine Kraftwirkungsgesetz wie folgt schreiben.
G = m ⋅g
Die Erdbeschleunigung g beträgt 9,81m/s², schwankt aber geringfügig mit der geographischen
Lage und der Höhe über dem Meeresspiegel.
Das dritte Newtonsche Axiom –
Jede Kraft ruft eine gleichgroße Gegenkraft hervor
actio = reactio
Wechselwirkungsgesetz
Die Gewichtskraft unter dem Gesichtspunkt des Wechselwirkungsgesetzes
Die Gewichtskraft will die Körper zum Erdmittelpunkt hin gleichförmig geradlinig Beschleunigen. Soll
diese Bewegung durch ein Hindernis gestoppt werden (z.B. Unterlage), dann muss dieses Hindernis
eine exakt gleichgroße Gegenkraft aufbringen um in Ruhe zu verharren. Diese Tatsache ist bei der
Konstruktion von Gebäuden und Brücken sehr wichtig.
Kraft die von der
Unterlage aufgebracht
werden muss
Körper
Unterlage
Gewichtskraft
Resultierende Kraft
F1
F3
F2
FR
Die resultierende Kraft der Schlittenhunde
ergibt sich durch parallelverschrieben der
Teilkräfte an die Spitze der vorhergehenden
Teilkraft.
Zerlegung von Kräften
Wie wir aus zwei oder mehreren Teilkräften eine Resultierende Kraft ermitteln können, so können wir auch
jede beliebige Kraft als resultierende Kraft von zwei oder mehreren Teilkräften auffassen und diese Kraft in
Teilkräfte zerlegen
Am Beispiel der Seilbahn können wir die
Gewichtskraft der Gondel die senkrecht nach unten
wirkt in Teilkräfte zerlegen um die Kraft zu ermitteln,
mit der die Gondel an den Seilen zieht. Die Kraft
senkrecht nach oben ist im Gleichgewicht mit der
Gewichtskraft. Diese Kraft ist die Resultierende der
beiden in Seilrichtung wirkenden Kräfte.
Kräfte am Keil
Lastaufzug - Dachkonstruktion - Ampel
Wurfbewegungen
Wenn wir einen Körper in eine bestimmte Richtung werfen wollen, dann müssen wir ihm eine
Anfangsgeschwindigkeit geben bevor wir ihn freilassen. Ohne Wirkung von weiteren Kräften würde der
Körper jetzt mit gleichbleibender Geschwindigkeit sich geradlinig weiterbewegen. Befinden wir uns auf
der Erde, dann wirkt aber die Erdanziehungskraft auf den Körper und versucht ihn zum Erdmittelpunkt
hin zu beschleunigen.Die Erdanziehungskraft zwingt ihm eine bestimmte Bahn auf. Der Luftwiderstand
der die Geschwindigkeit des Körpers abbremst, wollen wir bei unseren Betrachtungen vorerst
vernachlässigen.
Bei den Wurfbewegungen handelt es sich um die Überlagerung einer geradlinig
gleichförmigen Bewegung mit einer gleichförmig beschleunigten Bewegung.
Der senkrechte Wurf nach oben
Beim senkrechten Wurf nach oben geben wir dem Körper eine
Anfangsgeschwindigkeit v0. Wenn wir den Körper loslassen fliegt er
geradlinig mit dieser Geschwindigkeit. Gleichzeitig fängt der Körper aber an
zu fallen. Die Fallbewegung ist genau entgegengesetzt zur Wurfrichtung.
Betrachten wir den Zurückgelegten Weg des Körpers ergibt sich folgende
Situation:
In einer Zeiteinheit legt der Körper folgenden Weg zurück
g ⋅ t2
sF =
2
s W = v0 ⋅ t
s = sW − sF
y = a ⋅ x2 + b ⋅ x
g
s = v0 ⋅ t − ⋅ t 2
2
Der Körper steigt auf seine Gipfelhöhe und fällt dann zurück zum Startpunkt. In diesem Startpunkt wird
der Weg wieder Null. Aus dieser Tatsache kann man die Zeit berechnen die es dauert bis der Körper
wieder am Start angekommen ist.
Das Weg Zeit Diagramm des senkrechten Wurfes
Berechnung der Steigzeit
g
2
0 = v0 ⋅ t W − ⋅ t W
2
g
2
v0 ⋅ t W = ⋅ t W
2
tW
g
v0 = ⋅ t W
2
2 ⋅ v0
=
g
Da der Wurfvorgang symmetrisch ist braucht der Körper die halbe Zeit um seine maximale Steighöhe zu erreichen
1
tH = ⋅ tW
2
tH =
v0
g
Um die Formel für die Steighöhe zu erhalten müssen wir jetzt die Steigzeit in die Beziehung für die Wurfhöhe
einsetzen
Berechnung der Steighöhe
g 2
sH = v0 ⋅ t H − ⋅ t H
2
2
0
2
0
v
v
sH =
−
g 2⋅g
tH =
v0
g
Einsetzen
Zusammenfassen
v 0 g v 02
sH = v0 ⋅ − ⋅ 2
g 2 g
v 02
sH =
2⋅g
Der schräge Wurf
sW = v0 ⋅ t
α
g ⋅ t2
sF =
2
Der schräge Wurf ist eine Kombination vom
senkrechten Wurf noch oben und dem
waagerechten Wurf. Da die mathematische
Behandlung recht aufwendig ist versuchen wir
das Problem graphisch zu lösen.
Dazu gehen wir folgendermaßen vor: Wir
zeichnen einen Strahl in Richtung der
Anfangsgeschwindigkeit und markieren aller
Sekunden den Zurückgelegten Weg der
gleichförmigen geradlinigen Bewegung. An
der Markierung ziehen wir eine senkrechte
Gerade bis zum Erdboden. Nun berechnen
wir den Fallweg nach jeder Sekunde und
markieren diesen Fallweg Maßstabsgetreu
auf der senkrechten Linie. Nun verbinden wir
die erhaltenen Punkte und es entsteht die
Wurfparabel des schrägen Wurfes.
Graphische Behandlung des schrägen Wurfes
Wurfparabel 30grd
Wurfparabel 45grd
Wurfparabel 60grd