Dynamik 1

Einführung in die Physik I
Dynamik des Massenpunkts (1)
O. von der Lühe und U. Landgraf
Die Newton‘schen Axiome der Mechanik
•
Die Dynamik befasst sich mit den Ursachen der Änderung eines
Bewegungszustandes
•
1. Galileisches Trägheitsprinzip
– „Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich geradlinig
gleichförmig.“
•
Ein Körper ist „sich selbst überlassen“, wenn keine äußeren Kräfte
auf ihn einwirken
•
Ein sich selbst überlassener Körper ändert daher seinen
Geschwindigkeitsvektor nicht
•
Der ruhende Körper mit Geschwindigkeit Null ist ein Spezialfall
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Die Newton‘schen Axiome der Mechanik
•
2. Newton‘sches Aktionsprinzip
– „Ursache einerr Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers
v
ist eine Kraft F , die der Beschleunigung a proportional ist. Die
Proportionalitätskonstante heißt die träge Masse des Körpers.“
r
r
F = mt ⋅ a
•
Die Einheit der Kraft ist [Masse mal Beschleunigung] oder [kg m s-2].
Für diese Einheit wird die Bezeichnung Newton [N] eingeführt
⎡ kg ⋅ m ⎤
1 [N ] = 1 ⎢ 2 ⎥
⎣ s ⎦
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Die Newton‘schen Axiome der Mechanik
•
3. Newton‘sches Reaktionsprinzip (actio gleich reactio)
– „Kräfte werden zwischen Körpern ausgeübt, wobei die Kräfte
gleich groß und entgegen gesetzt gerichtet sind.“
r
F1
r
F2
r
r
F2 = − F1
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Inertialsysteme und Galilei-Transformation
r
• Die Bestimmung der Ortsfunktion X (t ) einer
•
•
•
Bewegung hängt vom gewählten
Koordinatensystem ab
Dieselbe Bewegung kann von verschiedenen
Koordinatensystemen aus beobachtet
werden, mit unterschiedlichen Ergebnissen
bezüglich der Ortsfunktion
Sind Koordinatensysteme mit Körpern
verbunden, die sich geradlinig gleichförmig
bewegen, so unterscheiden sie
r sich
– durch den Abstandsvektor R0 der Ursprünge
für t = 0
r
– durch eine konstante Geschwindigkeit V0
z‘
r
R′
r
V0 ⋅ t
z
r
R0
y‘
r
R
x‘
y
x
Derartige Koordinatensysteme heißen
Inertialsysteme
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Inertialsysteme und Galilei-Transformation
•
Die Transformation der Koordinaten und Geschwindigkeiten
zwischen zwei sich relativ zueinander gleichförmig bewegenden
Koordinatensystemen heißt Galileitransformation
r r
r r
R = R′ + R0 + V0 ⋅ t
r r r
V = V ′ + V0
t = t′
•
•
Die Transformation zwischen Inertialsystemen verändert Kräfte nicht
Die physikalischen Gesetze (welche sich auf Kräfte beziehen)
haben in allen Inertialsystemen die gleiche Form (Invarianz
gegenüber der Galileitransformation)
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„Schwere“ und „träge“ Masse
•
Die Gravitationskraft der Erde bewirkt eine
Kraft FG auf einen Körper, die zu seiner
schweren Masse ms proportional ist
FG = − ms ⋅ g
•
•
Schwere Masse ms und träge Masse mt
des Newton-schen Aktionsprinzips sind
grundsätzlich verschiedene Dinge
Experimente zeigen, dass ms und mt für
alle Körper proportional (gleich) sind,
unabhängig von seiner Zusammensetzung
ms = mt = m
•
z
ms
FG
mt ⋅ a = FG
mt ⋅ a = − ms ⋅ g
a = −g
(Genauigkeit 10-11)
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Mathematisches Pendel
•
Das mathematische Pendel ist
eine idealisierte punktförmige
Masse, welche an einer
masselosen Stange befestigt ist
l
α
– Masse m
– Länge l
– Auslenkwinkel α
•
Es bewegt sich unter dem Einfluss
einer konstanten, nach unten
gerichteten Gravitationskraft
m
α
-mg sin α
-mg
– F = -mg
-mg cos α
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Mathematisches Pendel
•
•
•
•
Die die Masse m beschleunigende
Kraft ist F = − mg sin α
Die von dem Körper zurückgelegte
Strecke ist x = l ⋅ α
Der Winkel α wird im Bogenmaß
(Einheit [rad]) gemessen
Für kleine Winkel ist sin α ≈ α
l
α
x
m
-mg sin α
•
Mit dem 2. Newton‘schen Axiom gilt
F = m ⋅ a = m ⋅ &x&
− m ⋅ g ⋅ sin α = m ⋅ &x& = m ⋅ l ⋅ α&&
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g
α&& + sin α = 0
l
g
α&& + ⋅ α = 0
l
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Mathematisches Pendel
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