Einführung in die Physik I Dynamik des Massenpunkts (1) Die

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Einführung in die Physik I
Dynamik des Massenpunkts (1)
O. von der Lühe und U. Landgraf
Die Newton‘schen Axiome der Mechanik
• Die Dynamik befasst sich mit den Ursachen der Änderung eines
Bewegungszustandes
• 1. Galileisches Trägheitsprinzip
– „Ein sich selbst überlassener Körper bewegt sich geradlinig
gleichförmig.“
• Ein Körper ist „sich selbst überlassen“, wenn keine äußeren Kräfte
auf ihn einwirken
• Ein sich selbst überlassener Körper ändert daher seinen
Geschwindigkeitsvektor nicht
• Der ruhende Körper mit Geschwindigkeit Null ist ein Spezialfall
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Die Newton‘schen Axiome der Mechanik
• 2. Newton‘sches Aktionsprinzip
– „Ursache einerr Änderung des Bewegungszustandes eines Körpers
v
ist eine Kraft F , die der Beschleunigung a proportional ist. Die
Proportionalitätskonstante heißt die träge Masse des Körpers.“
r
r
F = mt ⋅ a
• Die Einheit der Kraft ist [Masse mal Beschleunigung] oder [kg m s-2].
Für diese Einheit wird die Bezeichnung Newton [N] eingeführt
⎡ kg ⋅ m ⎤
1 [N ] = 1 ⎢ 2 ⎥
⎣ s ⎦
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Die Newton‘schen Axiome der Mechanik
• 3. Newton‘sches Reaktionsprinzip (actio gleich reactio)
– „Kräfte werden zwischen Körpern ausgeübt, wobei die Kräfte
gleich groß und entgegen gesetzt gerichtet sind.“
r
F1
r
F2
r
r
F2 = − F1
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Inertialsysteme und Galilei-Transformation
r
• Die Bestimmung der Ortsfunktion X (t ) einer
Bewegung hängt vom gewählten
Koordinatensystem ab
• Dieselbe Bewegung kann von verschiedenen
Koordinatensystemen aus beobachtet
werden, mit unterschiedlichen Ergebnissen
bezüglich der Ortsfunktion
• Sind Koordinatensysteme mit Körpern
verbunden, die sich geradlinig gleichförmig
bewegen, so unterscheiden sie
r sich
– durch den Abstandsvektor R0 der Ursprünge
für t = 0
r
– durch eine konstante Geschwindigkeit V0
z‘
r
R′
r
V0 ⋅ t
z
r
R0
y‘
r
R
x‘
y
x
• Derartige Koordinatensysteme heißen
Inertialsysteme
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Inertialsysteme und Galilei-Transformation
• Die Transformation der Koordinaten und Geschwindigkeiten
zwischen zwei sich relativ zueinander gleichförmig bewegenden
Koordinatensystemen heißt Galileitransformation
r r
r r
R = R′ + R0 + V0 ⋅ t
r r r
V = V ′ + V0
t = t′
• Die Transformation zwischen Inertialsystemen verändert Kräfte nicht
• Die physikalischen Gesetze (welche sich auf Kräfte beziehen)
haben in allen Inertialsystemen die gleiche Form (Invarianz
gegenüber der Galileitransformation)
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„Schwere“ und „träge“ Masse
• Die Gravitationskraft der Erde bewirkt eine
Kraft FG auf einen Körper, die zu seiner
schweren Masse ms proportional ist
z
ms
FG
FG = − ms ⋅ g
• Schwere Masse ms und träge Masse mt
des Newton-schen Aktionsprinzips sind
grundsätzlich verschiedene Dinge
• Experimente zeigen, dass ms und mt für
alle Körper proportional (gleich) sind,
unabhängig von seiner Zusammensetzung
mt ⋅ a = FG
mt ⋅ a = − ms ⋅ g
ms = mt = m
•
a = −g
(Genauigkeit 10-11)
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Mathematisches Pendel
• Das mathematische Pendel ist
eine idealisierte punktförmige
Masse, welche an einer
masselosen Stange befestigt ist
l
α
– Masse m
– Länge l
– Auslenkwinkel α
• Es bewegt sich unter dem Einfluss
einer konstanten, nach unten
gerichteten Gravitationskraft
m
α
-mg sin α
-mg
– F = -mg
-mg cos α
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Mathematisches Pendel
• Die die Masse m beschleunigende
Kraft ist F = − mg sin α
• Die von dem Körper zurückgelegte
Strecke ist x = l ⋅ α
• Der Winkel α wird im Bogenmaß
(Einheit [rad]) gemessen
• Für kleine Winkel ist sin α ≈ α
l
α
x
m
-mg sin α
• Mit dem 2. Newton‘schen Axiom gilt
F = m ⋅ a = m ⋅ &x&
− m ⋅ g ⋅ sin α = m ⋅ &x& = m ⋅ l ⋅ α&&
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g
sin α = 0
l
g
α&& + ⋅ α = 0
l
α&& +
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Mathematisches Pendel
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