Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken

Grundwissen 9. Klasse: Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken
Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken
Die Satzgruppe der Pythagoras
Bei einem rechtwinkligen Dreieck ABC nennt man die dem rechten Winkel
gegenüberliegende Seite die Hypotenuse und die beiden anderen Seiten, die an den rechten
Winkel angrenzen, Katheten. Wenn die Hypotenuse durch eine Höhe in zwei Strecken geteilt
wird, nennt man diese Hypotenusenabschnitte.
Die zwei kürzeren Seiten a und b sind die
Katheten. Die Hypotenuse c ist unterteilt in die
zwei Hypotenusenabschnitte p und q.
Abbildung 1
Kathetensatz:
Das Quadrat über einer Kathete ist flächengleich zum Rechteck aus Hypotenuse und dem
anliegendem Hypotenusenabschnitt.
Also gilt: 𝑎2 = 𝑐𝑝 und 𝑏2 = 𝑐𝑞
Beispiel:
-Gegeben: p = 3cm; c = 7cm
-Gesucht: b
- Lösung: q = c -p = 7cm - 3cm = 4cm
𝑏 2 = 𝑐𝑞 → 𝑏 = √𝑐𝑞
𝑏 = √7 ∙ 4 = 5,29
Abbildung 2
Erstellt von Verena Pawlowski,
nach Lambacher Schweizer 9, Mathematik für Gymnasien
(Prof. Schmid A., Prof. Dr. Weiding I.)
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Satz des Pythagoras:
Die Summe aus den beiden Katheten im
Quadrat ergibt die Hypotenuse im Quadrat.
Es gilt: 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐²
Beispiel:
-Gegeben: a = 2cm; b = 3cm
-Gesucht: c
-Lösung:
Abbildung 3
𝑐 2 = 𝑎2 + 𝑏 2
= (2𝑐𝑚)2 + (3𝑐𝑚)2 = 13𝑐𝑚2
𝑐 = √13𝑐𝑚² = 3,6𝑐𝑚
Höhensatz:
Das Quadrat über der Höhe ist flächengleich zum Rechteck der
beiden Hypotenusenabschnitte.
Es gilt: ℎ2 = 𝑝𝑞
Beispiel:
-Gegeben: p = 2cm; c = 6cm
-Gesucht: h
-Lösung: q = c – p = 4cm
ℎ2 = 𝑝𝑞 → ℎ2 = 8𝑐𝑚2 → ℎ = 2,83𝑐𝑚
Abbildung 4
Erstellt von Verena Pawlowski,
nach Lambacher Schweizer 9, Mathematik für Gymnasien
(Prof. Schmid A., Prof. Dr. Weiding I.)
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Anwendung: Berechnung an Figuren und Körpern:
Diagonale eines Quadrats:
𝑑 = 𝑎√2
2
2
Herleitung: 𝑎 +2𝑎 = 𝑑²
→ 𝑑 = 2𝑎²
Abbildung 5
Höhe im gleichseitigen Dreieck:
ℎ=
𝑎
√3
2
𝑎 2
Herleitung:
𝑎2 = (2 ) + ℎ2
3
→ ℎ2 = 4 𝑎²
Abbildung 6
Räumliche Diagonale eines Würfels:
𝑑 = 𝑒√3
Herleitung:
Diagonale der Grundfläche: 𝑑 = 𝑠√2
Anwenden des Satz des Pythagoras auf das
Dreieck mit den Katheten d und s und der
Hypotenuse e
Abbildung 7
Erstellt von Verena Pawlowski,
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Trigonometrie
Bezeichnungen der Katheten bei rechtwinkligen Dreiecken:
Die gegenüberliegende Seite des spitzen Winkels α heißt Gegenkathete. Die anliegende Seite
des spitzen Winkels α heißt Ankathete. Dasselbe gilt für β.
Abbildung 8
Seitenverhältnisse im rechtwinkligen Dreieck:
sin(𝑎) =
𝐺𝑒𝑔𝑒𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑛 𝛼
𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒
cos(𝛼 ) =
𝐴𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑛 𝛼
𝐻𝑦𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑒
tan(𝛼 ) =
𝐺𝑒𝑔𝑒𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑛 𝛼
𝐴𝑛𝑘𝑎𝑡ℎ𝑒𝑡𝑒 𝑣𝑜𝑛 𝛼
Wichtige Werte für Sinus und Kosinus:
α
0°
30°
45°
60°
90°
sin(α)
0
1
2
1
√2
2
1
√3
2
1
cos(α)
1
1
√3
2
1
√2
2
1
2
0
Berechnungen an rechtwinkligen Dreiecken:
Wenn zwei Seiten oder eine Seite und ein spitzer Winkel gegeben ist, kann man alle Winkel
und Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks berechnen.
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nach Lambacher Schweizer 9, Mathematik für Gymnasien
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Sinus, Kosinus und Tangens an Einheitskreis:
Die Funktion, die jedem spitzen Winkel α eindeutig die
y-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem
Einheitskreis zuordnet heißt Sinusfunktion.
Die Funktion, die jedem spitzen Winkel α eindeutig die
x-Koordinate des zugehörigen Punktes auf dem
Einheitskreis zuordnet heißt Kosinusfunktion.
Abbildung 9
Beziehungen zwischen Sinus, Kosinus und Tangens:
sin(𝛼 ) = cos(𝛼 − 90°)
cos(𝛼 ) = sin(90° − 𝛼 )
sin(𝛼 )2 + cos(𝛼 )2 = 1
tan(𝛼 ) =
sin(𝛼)
(𝛼 𝑑𝑎𝑟𝑓 𝑛𝑖𝑐ℎ𝑡 90° 𝑠𝑒𝑖𝑛, 𝑑𝑎 𝑑𝑎𝑛𝑛 𝑖𝑚 𝑁𝑒𝑛𝑛𝑒𝑟 0 𝑠𝑡𝑒ℎ𝑒𝑛 𝑤ü𝑟𝑑𝑒!)
cos(𝛼)
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Abbildungsverzeichnis
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Abbildungen 1-4: selbst erstellt mit Geogebra
Abbildung 5:
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/2/23/SquareDefinition.sv
g/220px-SquareDefinition.svg.png
Abbildung 6:
http://de.bettermarks.com/wpcontent/uploads/media/kem_GeoII_GeoIISGdPBFK_1.jpg
Abbildung 7:
https://i.ytimg.com/vi/UYqMvVkwwUg/maxresdefault.jpg
Abbildung 8:
http://www.aufgabenfuchs.de/mathematik/flaeche/dreieck/bilder/DreieckRW.png
Abbildung 9:
http://rechen-fuchs.de/wp-content/uploads/2012/02/2012-02-28_203339.png
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