Aufgaben mit Lösungen zum Themengebiet: Geometrie bei
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Aufgaben mit Lösungen zum Themengebiet: Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken Übungsaufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras: 1) Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Verbessere, wenn notwendig! Die Katheten grenzen an den rechten Winkel. Die Hypotenuse liegt den rechten Winkel gegenüber. Die beiden Katheten können gleich lang sein. Bei einem rechtwinkligen Dreieck können alle Seiten gleich lang sein. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite. Die Summe der Hypotenusenabschnitte ergibt die Hypotenuse. 2) Kathetensatz Berechne die Länge der Dreiecksseiten eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Hypotenusenabschnitten a) p = 10 cm; q = 20 cm b) p = t; q = 3t 3) Satz des Pythagoras a) Bei einer Triangel handelt es sich um ein gleichseitiges Dreieck. Berechne Länge und Breite einer rechteckigen Schachtel, in die eine Triangel, deren Seiten 10 cm beträgt, hineinpasst. b) Gib die Länge der Diagonale eines Quadrats (Seitenlänge: 2a) in Abhängigkeit von a an. Wie verändert sich die Diagonale, wenn die Seitenlängen des Quadrats verdoppelt werden? 4) Satzgruppe des Satz des Pythagoras Berechne die fehlenden Größen für ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit der Hypotenuse c und trage diese anschließend in die Tabelle ein. Katheten a b a) b) c) 3,4cm d) Hypotenuse c 1,25dm Hypotenusenabschnitte Höhe auf c Flächeninhalt p q hc A 5cm 60cm 1,8m 0,08m 4,5cm 45mm Erstellt von Verena Pawlowski, nach Lambacher Schweizer 9, Mathematik für Gymnasien (Prof. Schmid A., Prof. Dr. Weiding I.) Aufgaben mit Lösungen zum Themengebiet: Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken Lösungen: 1) Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Verbessere, wenn notwendig! Die Katheten grenzen an den rechten Winkel. (richtig) Die Hypotenuse liegt den rechten Winkel gegenüber. (richtig) Die beiden Katheten können gleich lang sein. (richtig) Bei einem rechtwinkligen Dreieck können alle Seiten gleich lang sein. (falsch, das wäre ein gleichseitiges Dreieck mit 60°-Winkeln an allen Ecken) Die Hypotenuse ist immer die längste Seite. (richtig) Die Summe der Hypotenusenabschnitte ergibt die Hypotenuse. (richtig) 2) Kathetensatz a) p = 10 cm; q = 20 cm c = p + q = 30 cm 𝑎2 = 𝑐𝑝 → 𝑎 = √𝑐𝑝 = √300𝑐𝑚 = 17,32𝑐𝑚 𝑏2 = 𝑐𝑞 → 𝑏 = √𝑐𝑞 = √600𝑐𝑚 = 24,5𝑐𝑚 b) p = t; q = 3t c = p + q = 4t 𝑎2 = 𝑐𝑝 → 𝑎 = √𝑐𝑝 = √4𝑡 2 = 2𝑡 𝑏2 = 𝑐𝑞 → 𝑏 = √𝑐𝑞 = √12𝑡² = 𝑡√12 3) Satz des Pythagoras a) Breite b: b = 10cm Länge l: (5cm)² + l² = (10cm)²; l² = (10cm)² - (5cm)² = 5cm²; l = 8,66cm b) d² = (2a)²+(2a)² =2(2a)² 𝑑 = √2(2𝑎)² = √2 ∙ 2𝑎 Wenn sich a verdoppelt, verdoppelt sich auch d. 4) Satzgruppe des Satz des Pythagoras Katheten a) b) c) d) a 7,9cm 5,7m 3,4cm 6,4cm b 9,7cm 1,9m 7,2cm 6,4cm Hypotenuse c 1,25dm 6m 0,08m 9cm Hypotenusenabschnitte p 5cm 5,4m 1,4cm 4,5cm q 7,5cm 60cm 6,6cm 45mm Höhe auf c hc 6,1cm 1,8m 3,1cm 4,5cm Flächeninhalt A 38,3cm² 5,4m² 12,2cm² 20,5cm² Erstellt von Verena Pawlowski, nach Lambacher Schweizer 9, Mathematik für Gymnasien (Prof. Schmid A., Prof. Dr. Weiding I.) Aufgaben mit Lösungen zum Themengebiet: Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken Übungsaufgaben zur Trigonometrie: 1) Namen der Katheten Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Die Ankathete von α ist gleichzeitig die Gegenkathete von β. Die Hypotenuse grenzt sowohl an die Ankathete von α als auch an die Ankathete von β. 2) Rechnen mit sin, cos und tan a) Berechne die fehlenden Seiten und Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks ABC und trage sie in die Tabelle ein. Katheten Hypotenuse Spitze Winkel a b c α β a) 48mm 42° b) 7,3cm 72° c) 37mm 28,2° d) 1,21dm 20,5° e) 1,9cm 3,5cm f) 33mm 5,7° b) Vereinfache: sin(𝛼 ) − sin(𝛼 ) ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝛼 ) 𝑐𝑜𝑛2 (𝛼 ) + 𝑐𝑜𝑠²(𝛼) ∙ 𝑡𝑎𝑛²(𝛼) c) Berechne aus sin(α) = 0,6 die Werte für cos(α) und tan(α). Erstellt von Verena Pawlowski, nach Lambacher Schweizer 9, Mathematik für Gymnasien (Prof. Schmid A., Prof. Dr. Weiding I.) Aufgaben mit Lösungen zum Themengebiet: Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken Lösungen 1) Namen der Katheten Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Die Ankathete von α ist gleichzeitig die Gegenkathete von β. (richtig) Die Hypotenuse grenzt sowohl an die Ankathete von α als auch an die Ankathete von β. (richtig) 2) Rechnen mit sin, cos und tan a) Katheten a b a) 5,3cm 48mm b) 6,9cm 2,3cm c) 37mm 2,0cm d) 1,21dm 4,5cm e) 2,9cm 1,9cm f) 3,3mm 32,8mm Hypotenuse c 7,2cm 7,3cm 4,2cm 12,9cm 3,5cm 33mm Spitze Winkel α 48° 72° 61,8° 65,5° 57,1° 5,7° β 42° 18° 28,2° 20,5° 32,9° 84,3° b) Vereinfache: 𝑠𝑖𝑛²(𝛼) sin(𝛼 ) − sin(𝛼 ) ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 (𝛼 ) = sin(𝛼) ∙ (1 − 𝑐𝑜𝑠²(𝛼) ∙ 𝑐𝑜𝑠²(𝛼) = 𝑠𝑖𝑛³(𝛼) 𝑐𝑜𝑛2 (𝛼 ) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝛼 ) ∙ 𝑡𝑎𝑛2 (𝛼 ) = 𝑐𝑜𝑠 2 (𝛼 ) + 𝑐𝑜𝑠 2 (𝛼 ) ∙ cos ²(𝛼) = 1 𝑠𝑖𝑛²(𝛼) c) sin(𝛼 )2 + cos(𝛼 )2 = 1 𝑐𝑜𝑠 2 (𝛼 ) = 1 − 𝑠𝑖𝑛2 (𝛼 ) = 16 25 cos(𝛼 ) = 0,8 sin(𝛼) tan(𝛼 ) = = 0,75 cos(𝛼) Erstellt von Verena Pawlowski, nach Lambacher Schweizer 9, Mathematik für Gymnasien (Prof. Schmid A., Prof. Dr. Weiding I.) Aufgaben mit Lösungen zum Themengebiet: Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken Erstellt von Verena Pawlowski, nach Lambacher Schweizer 9, Mathematik für Gymnasien (Prof. Schmid A., Prof. Dr. Weiding I.)
