Schülerzirkel Mathematik - MA@TUM

Technische Universität München
Zentrum Mathematik
Prof. Dr. Johann Hartl
16. Mai 2012
Schülerzirkel Mathematik
In dem Werk ”Disquisitiones Arithmeticae”, durch das Carl Friedrich Gauß berühmt
wurde, betrachtet er eine Relation zwischen ganzen Zahlen. Ist c eine einmal fest
gewählte ganze Zahl, so heißen eine ganze Zahl a und eine ganze Zahl b kongruent
modulo c, wenn gilt: c teilt die Differenz a − b. In Zeichen:
a ≡ b (mod c) :⇔ c | a − b.
Achtung: Dabei gilt für ganze Zahlen x, y:
x | y :⇔ ∃ z ∈ Z : x · z = y.
Es gilt also x|0 für alle ganzen Zahlen x. Insbesondere gilt auch 0|0, da zum Beispiel
0 · 1 = 0. Das hat nichts damit zu tun, dass Division durch 0 und damit zum
Beispiel auch der Bruch 00 nicht erlaubt ist.
Im Folgenden sei c eine fest gewählte ganze Zahl.
1. Zeige: Für jede ganze Zahl a gilt:
a ≡ a (mod c).
Diese Eigenschaft der Kongruenz modulo c heißt Reflexivität.
2. Zeige: Für je zwei ganze Zahlen a, b gilt:
a ≡ b (mod c) ⇒ b ≡ a (mod c).
Diese Eigenschaft der Kongruenz modulo c heißt Symmetrie.
Warum ist damit gleichbedeutend:
a ≡ b (mod c) ⇔ b ≡ a (mod c).
3. Zeige: Für je drei ganze Zahlen a, b, d gilt:
(a ≡ b (mod c) und b ≡ d (mod c)) ⇒ a ≡ d (mod c).
Diese Eigenschaft der Kongruenz modulo c heißt Transitivität.
Eine Relation, die sowohl reflexiv als auch symmetrisch als auch transitiv ist, heißt
eine Äquivalenzrelation. In älteren Büchern findet sich dafür auch der Ausdruck
”Gleichheitsrelation”.
Ist a eine ganze Zahl, so sei
a := {x ∈ Z : x ≡ a (mod c)}
die Klasse von a modulo c. Die Menge aller Klassen modulo c nennen wir Zc .
4. Welche und wieviele Klassen modulo c gibt es? Gib alle Klassen modulo 7,
modulo 3, modulo 1 und modulo 0 an.
5. Zähle die Elemente der Klassen modulo 3, modulo 1 und modulo 0 auf (gegebenenfalls unter Verwendung von Auslassungspunkten).
6. Will man Klassen modulo c addieren, so liegt es nahe, folgendermaßen zu
definieren:
a + b := a + b.
Was muss man beweisen, damit diese Definition möglich ist? (Man spricht
dann von der Wohldefiniertheit der Addition von Klassen modulo c.)
7. Will man Klassen modulo c multiplizieren, so liegt es nahe, folgendermaßen
zu definieren:
a · b := a · b.
Was muss man beweisen, damit diese Definition möglich ist? (Man spricht
dann von der Wohldefiniertheit der Multiplikation von Klassen modulo c.)
8. Gilt für die Addition in Zc das Assoziativgesetz?
∀ a, b, d ∈ Zc : (a + b) + d = a + (b + d).
Woran liegt das?
9. Gilt für die Multiplikation in Zc das Assoziativgesetz?
∀ a, b, d ∈ Zc : (a · b) · d = a · (b · d).
Woran liegt das?
10. Gilt für die Addition in Zc das Kommutativgesetz?
∀ a, b ∈ Zc : a + b = b + a.
Woran liegt das?
11. Gilt für die Multiplikation in Zc das Kommutativgesetz?
∀ a, b ∈ Zc : a · b = b · a.
Woran liegt das?
12. Gibt es in Zc ein neutrales Element der Addition, das heißt eine Klasse
x, so dass für alle a ∈ Zc gilt:
a + x = x + a = a.
Achtung: Dieses x muss für alle a ∈ Zc dasselbe sein.
Gib gegebenenfalls x an.
13. Gibt es in Zc ein neutrales Element der Multiplikation, das heißt eine
Klasse x, so dass für alle a ∈ Zc gilt:
a · x = x · a = a.
Achtung: Dieses x muss für alle a ∈ Zc dasselbe sein.
Gib gegebenenfalls x an.
14. Gibt es in Zc zu jedem a ein inverses Element bezüglich der Addition,
das heißt eine Klasse x, so dass:
a + x = x + a = 0.
Achtung: Dieses x darf von a ∈ Zc abhängen.
Gib gegebenenfalls x an.
15. Gibt es in Zc zu jedem a ein inverses Element bezüglich der Multiplikation, das heißt eine Klasse x, so dass:
a · x = x · a = 1.
Achtung: Dieses x darf von a ∈ Zc abhängen.
Gib gegebenenfalls x an.
Eine Menge M zusammen mit einer inneren Verknüpfung, zum Beispiel mit einer
Addition + oder mit einer Multiplikation · oder mit einer anderen Rechenoperation
*, in der das Assoziativgesetz gilt, heißt eine Halbgruppe. Gibt es außerdem ein
neutrales Element und zu jedem Element der Halbgruppe ein inverses Element, so
spricht man von einer Gruppe. Gilt in einer Halbgruppe oder in einer Gruppe das
Kommutativgesetz, so heißt die Halbgruppe oder die Gruppe kommutativ oder
abelsch (nach dem norwegischen Mathematiker Niels Henrik Abel (1802 - 1829)).
Wir haben also festgestellt: (Zc ,+) ist eine abelsche Gruppe, (Zc ,·) ist eine abelsche
Halbgruppe mit neutralem Element.
16. Gibt es Zahlen c ∈ Z, für die gilt: (Zc , ·) ist eine abelsche Gruppe?
17. Gibt es Zahlen c ∈ Z, für die gilt: (Zc \ {0}, ·) ist eine abelsche Gruppe?