Übungsblatt 5

Prof. J. Rothe
Düsseldorf, 17.11.2015
Übung zur Vorlesung
Algorithmische Spieltheorie
Blatt 5, Abgabe: 24.11.2015 bis 8:35 Uhr
Aufgabe 1: Sequenzielles Spiel: Nim-Variante
Betrachte die folgende Variante des Nim-Spiels: Zu Beginn des Spiels gibt es drei Stapel mit
je 6 Hölzchen. Ein Zug besteht darin, entweder ein oder zwei Hölzchen von genau einem
der drei Stapel zu nehmen. Der Spieler, der das letzte Hölzchen nimmt, hat gewonnen.
Spieler 1 beginnt das Spiel.
(a) Geben Sie (bis auf Permutation) alle Spielsituationen an, bei denen Spieler 1 an der
Reihe ist und in denen er im übernächsten Zug gewinnen kann.
(b) Für welche der folgenden Spielsituationen, bei denen Spieler 1 am Zug ist, gibt es
eine Gewinnstrategie für Spieler 1: (2, 2, 3) und (1, 2, 4)? Begründen Sie Ihre Antwort.
(Die Notation (a, b, c) gibt hierbei die Anzahl der Hölzchen auf den drei Stapeln an.)
(c) Gibt es eine Gewinnstrategie für einen der beiden Spieler? Wenn nein, warum nicht?
Wenn ja, für welche(n) der beiden Spieler, warum und wie viele Züge sind bis zum
Sieg erforderlich?
Aufgabe 2: Sequenzielles Spiels: Zufallszahl
Betrachte das folgende sequenzielle Zwei-Personen-Spiel. Es wird eine zufällige ganze Zahl
zwischen 10 und 99 gewählt. Wer am Zug ist, darf entweder eine Ziffer streichen oder eine
Ziffer um eins verringern. Allerdings darf die erste Ziffer nur gestrichen werden, wenn die
zweite Ziffer keine Null ist. Gewinner ist der Spieler, der die Zahl 1 erzeugt. Spieler 1
beginnt das Spiel.
(a) Geben Sie den vollständigen Spielbaum für die Zahl 24 an. (Sie können davon ausgehen dass die Spieler rational spielen, d. h., wenn ein Spieler in einem Zug die Möglichkeit hat, eine 1 zu erzeugen, brauchen die anderen Möglichkeiten in diesem Teilbaum
nicht weiter betrachtet zu werden.)
(b) Für welche Zahlen gibt es eine Gewinnstrategie für Spieler 1, und für welche Zahlen
gibt es eine Gewinnstrategie für Spieler 2? Wie sehen diese Strategien aus?
Aufgabe 3: Unvollkommene Information: Wizard-Varianten
Im Folgenden werden drei vereinfachte Varianten des Kartenspiels Wizard1 betrachtet.
Hierbei bekommen zwei Spieler eine Anzahl Karten, von der sie je eine nacheinander ablegen. Derjenige Spieler, der die in dieser Runde wertvollste Karte ablegt, bekommt den
sogenannten Stich. Derjenige Spieler, der einen Stich bekommt, beginnt die nächste Runde.
Ziel des Spiels ist es, die richtige Anzahl an Stichen, die man bekommt, vorherzusagen. Das
Spiel endet, wenn alle Karten abgelegt wurden. Wir gehen davon aus, dass beide Spieler
risikoneutral sind und immer den eigenen Gewinn dem Verlust des Gegners bevorzugen.
(a) In der ersten Variante gibt es drei Karten einer Farbe, auf denen die Werte 1, 2 und
3 stehen. Jeder Spieler erhält eine Karte, so dass nur eine Runde gespielt wird. Jeder
Spieler zeigt nun seine Karte dem Gegner, ohne seine eigene Karte zu sehen. Danach
sagt zunächst Spieler 1 vorher, ob er den Stich bekommt oder nicht, danach Spieler 2.
Daraufhin legen beide Spieler Ihre Karte auf den Tisch. Da es nur eine Farbe gibt,
bekommt der Spieler mit der Karte, auf der die größere Zahl steht, den Stich. Wenn
ein Spieler richtig vorhergesagt hat, ob er den Stich bekommt, erhält er den Gewinn
1, sonst erhält er den Gewinn 0.
Analysieren Sie dieses Spiel analog zu der Poker-Variante aus der Vorlesung. Teilbäume, die mit einer Wahrscheinlichkeit von 0 gespielt werden, dürfen hierbei weggelassen
werden.
Gibt es einen Spieler, der einen Vorteil hat? Was würde sich ändern, wenn beide
Spieler gleichzeitig Ihren Tipp abgeben oder mit offenen Karten spielen?
(b) In der zweiten Variante gibt es vier Karten zweier Farben, eine rote 1, eine rote 2, eine
blaue 1 und eine blaue 2. Wieder erhält jeder Spieler eine Karte und der Spielablauf ist
der gleiche wie in Aufgabenteil (a). Allerdings spielt es jetzt eine Rolle, dass Spieler 1
zuerst seine Karte ablegt, da er die Farbe des Stichs bestimmt. Hat Spieler 2 die
gleiche Farbe wie Spieler 1, bekommt der Spieler mit dem höheren Kartenwert den
Stich, ansonsten Spieler 1.
Mit welchen Wahrscheinlichkeiten gewinnen die beiden Spieler?
Gibt es einen Spieler, für den es sich lohnen würde zu bluffen?
(c) Zu einer weiteren Spielvariante sei der folgende Spielbaum für eine mögliche Ausgangssituation gegeben. Geben Sie dazu die Spielregeln an.
1
K. Fisher, 1984; F. Vohwinkel, AMIGO Spiel + Freizeit GmbH, 1996
Spieler 1: 1r 2b
Spieler 2: 2r 1b
Spieler 1
1
2
Spieler 2
Spieler 2
0
1
Spieler 1
0
Spieler 1
1
Spieler 1
Spieler 1
1r
2b
1r
2b
1r
2b
1r
2b
Spieler 2
Spieler 2
Spieler 2
Spieler 2
Spieler 2
Spieler 2
Spieler 2
Spieler 2
2r
2
0
1b 2r
0
1
0
1
1b 2r
2
0
2
2
1b 2r
0
0
0
0
1b 2r
2
2
0
0
1b 2r
3
1
3
1
1b 2r
0
0
0
2
1b 2r
3
0
3
0
Hierbei stehen die Spielzüge 0, 1 und 2 für Vorhersagen und 1r, 2r, 1b, 2b sowohl für
die Spielkarten in der Ausgangsituation also auch für das Ablegen der entsprechenden
Karte.
(d) Handelt es sich bei den oben angegebenen Spielvarianten um Nullsummenspiele? Falls
ja, welche Spielregeln könnte man abändern, um kein Nullsummenspiel zu erhalten?
Falls nein, welche Spielregeln könnte man wie abändern, um ein Nullsummenspiel zu
erhalten?
(e) In welchen der oben angegebenen Spielvarianten haben die Spieler vollständige Information, in welchen perfekte?
Begründen Sie jeweils Ihre Antworten.
Hinweis: Aus Aufgabe 3 können in der Übung auch Teilaufgaben als Teil für die Zulassung
zur Klausur vorgerechnet werden.
1b
0
2