Pflichtteil - lehrer.uni

Mathematik Kernkompetenz 13
Moll-Gymnasium
Mannheim, 26.03.2004
Brüstle-Bißinger, Höger, Schlicksupp, Sperber
Gemeinsamer Pflichtteil
(Zeitempfehlung: 45 Minuten)
Der Rechenweg muss klar ersichtlich sein.
Endergebnisse müssen exakt berechnet werden.
3 VP
1 Bestimmen Sie zur Funktion f mit f (x ) =
2
3e
− 4 x +1
die Ableitungsfunktion f ' sowie eine
Stammfunktion F.
Für welches x0 gilt f ( x0 ) =
3 VP
2 VP
1
?
e
2 Ein Waldstück weist zu Beobachtungsbeginn 1000 gesunde Bäume auf.
Durch Umwelteinflüsse erkranken erfahrungsgemäß 5 % der Bäume pro Jahr.
a) Geben Sie die Anzahl der gesunden Bäume nach 2 Jahren an.
b) Wie viele Bäume waren 1 Jahr vor Beobachtungsbeginn noch gesund?
c) Nach 2 Jahren werden 300 neue Bäume gepflanzt, die allerdings ebenfalls mit der
gleichen Rate von 5 % pro Jahr erkranken.
Wie viele Bäume sind 3 Jahre nach Beobachtungsbeginn noch gesund?
3 a) Gegeben ist die Funktionenschar fk mit fk ( x ) = sin(kx ) .
Geben Sie zwei Möglichkeiten für die Wahl von k an, so dass x1 =
3
π eine
2
Nullstelle von fk ist.
b) Gegeben ist die Funktion g mit g ( x ) = sin( x − a ) .
Geben Sie zwei Möglichkeiten für die Wahl von a an, so dass x1 =
1
π eine
2
Nullstelle von g ist.
3 VP
4 Die nebenstehende Figur zeigt möglicherweise ein
Tetraeder.
a) Drücken Sie die Kantenvektoren AC, BC und AB
des Tetraeders mithilfe der Vektoren a, b und c aus.
b) Unter welcher Bedingung spannen die Vektoren a, b
und c kein Tetraeder auf?
c) Zeichnen Sie einen Repräsentanten des durch den
Term − a − b + c beschriebenen Vektors in die
Zeichnung ein.
2 VP
5 Gegeben sind die Punkte A(4 / 0 / 0), B(3 / 5 / 0), C(2 / 2 / c3).
a) Für welche Werte von c3 hat das Dreieck ABC bei C einen rechten Winkel?
b) Für welche Werte von c3 ist das Dreieck ABC gleichschenklig mit der Spitze in B?
Viel Erfolg!
Mathematik Kernkompetenz 13
Moll-Gymnasium
Mannheim, 26.03.2004
Brüstle-Bißinger, Höger, Schlicksupp, Sperber
Erwartungshorizont
1
2 4 x −1
2
8
⋅e
, also ´f ' ( x ) = ⋅ 4e 4 x −1 = ⋅ e 4 x −1
3
3
3
1
Für eine mögliche Stammfunktion F wäre ´F ( x ) = ⋅ e 4 x −1 , denn F ' ( x ) = f ( x ) .
6
1
2 4 x0 −1
Löst man ⋅ e
= e −1 nach x0 auf erhält man x0 = (ln 3 − ln 2)
4
3
f (x) =
2
3e−4 x
+1
=
2 Die Funktion B mit B(t ) = 1000 ⋅ 0,95 t gibt die Anzahl der gesunden Bäume t Jahre
nach Beobachtungsbeginn an.
a) B(2) = 1000 ⋅ 0,95 2 = 1000 ⋅ 0,9025 ≈ 900 (oder 902 oder 903)
20
12
b) B( −1) = 1000 ⋅ 0,95 −1 = 1000 ⋅
= 1052
≈ 1050 (oder 1052 oder 1053)
19
19
c) B(3) = 1000 ⋅ 0,953 = 1000 ⋅ 0,9025 ≈ 857
Von den 300 neuen Bäumen sind nach einem Jahr nur noch 285 gesund,
insgesamt haben wir also nach 3 Jahren etwa 857 + 285 = 1142, etwa 1140
gesunde Bäume.
3 a) z.B.: k =
2
4
oder k =
3
3
b) z.B. a =
π
2
oder a =
3
π
2
4 a) AC = −a + c, BC = −b + c, AB = −a + b,
b) Wenn a, b und c linear abhängig sind, spannen sie
kein Tetraeder auf.
c) Siehe nebenstehende Zeichnung
5 Für die Seitenlängenquadrate gilt:
a 2 = 10 + c32 , b 2 = 8 + c32 , c 2 = 26
a) Damit das Dreieck in C einen rechten Winkel hat,
muss gelten: a 2 + b 2 = c 2 , also
18 + 2c32 = 26 ⇔ c32 = 4 ⇔ c3 = 2 oder c3 = −2
b) Damit das Dreieck gleichschenklig mit der Spitze in B ist,
muss gelten: a 2 = c 2 , also
10 + c32 = 26 ⇔ c32 = 16 ⇔ c3 = 4 oder c3 = −4