Zusammenfassung: Beweisverfahren - lehrer.uni

LGÖ Ks
VMa 11
Schuljahr 2016/2017
Zusammenfassung: Beweisverfahren
Inhaltsverzeichnis
Teilbarkeitslehre .................................................................................................................................
Mathematische Sätze...........................................................................................................................
Bedingungen für innere Extremstellen ..............................................................................................
Beweisverfahren .................................................................................................................................
Für Experten .......................................................................................................................................
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Teilbarkeitslehre
Teilen mit Rest: Sind n und t  0 natürliche Zahlen, dann gibt es eindeutig bestimmte natürliche
Zahlen k und r („Rest“) mit
n  t  k  r und 0  r  t  1 .
Beispiel ( t  3 ): Für jede natürliche Zahl n gibt es eine (eindeutig bestimmte) natürliche Zahl k mit
n  3k oder n  3k  1 oder n  3k  2 .
Definition: Sind n und t  0 natürliche Zahlen, dann heißt n teilbar durch t, wenn es eine natürliche
Zahl k gibt mit n  t  k .
Definition: Eine natürliche Zahl heißt gerade, wenn sie durch 2 teilbar ist. Andernfalls heißt die
Zahl ungerade.
Merke: Eine natürliche Zahl n ist genau dann gerade (bzw. ungerade), wenn es eine natürliche Zahl
k gibt mit
n  2k (bzw. n  2k  1 ).
Definition: Eine natürliche Zahl n  2 heißt eine Primzahl, wenn sie nur durch 1 und durch sich
selbst teilbar ist.
Satz von der eindeutigen Primfaktorzerlegung: Jede natürliche Zahl n  2 lässt sich eindeutig als
ein Produkt von Primzahlen schreiben.
Bemerkung: Ist die Zahl eine Primzahl, dann besteht das „Produkt“ nur aus der Zahl selbst.
Mathematische Sätze
Viele mathematische Sätze sind von der Form einer Implikation A  B.
Dabei heißt A die Voraussetzung und B die Behauptung.
Man sagt, die Behauptung B ist eine notwendige Bedingung für die Voraussetzung A, und die
Voraussetzung A ist eine hinreichende Bedingung für die Behauptung B.
Beispiel: Wenn eine natürliche Zahl durch 6 teilbar ist, dann ist sie durch 3 teilbar.
 Die Teilbarkeit durch 6 ist die Voraussetzung, und die Teilbarkeit durch 3 ist die
Behauptung.
 Die Teilbarkeit durch 3 ist eine notwendige Bedingung für die Teilbarkeit durch 6, und die
Teilbarkeit durch 6 ist eine hinreichende Bedingung für die Teilbarkeit durch 3.
Umkehrsatz: Ist A  B ein Satz, dann heißt
BA
der Umkehrsatz.
zus_beweisverfahren
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Achtung: Der Umkehrsatz eines wahren Satzes kann wahr oder falsch sein!
Kontraposition: Ist A  B ein Satz, dann heißt der äquivalente Satz
BA
die Kontraposition.
Merke: Ist B falsch, dann ist A falsch, denn wenn A wahr wäre, dann wäre B wahr.
Bemerkung: Damit ist auch klar, warum man bei einem Satz A  B sagt, dass B eine „notwendige
Bedingung“ für A ist, denn B muss wahr sein, damit A wahr sein kann.
Achtung: Die Kontraposition ist etwas anderes als der Umkehrsatz!
Satz und Umkehrsatz: Sind ein Satz A  B und sein Umkehrsatz B  A wahr, dann ist das
äquivalent zu dem Satz
A  B.
Bemerkung: Ein Satz A  B ist äquivalent zu (A  B)  (B  A) und damit zu
(A  B)  ( A   B).
Sprechweisen für die Äquivalenz A  B:
 B ist genau dann wahr, wenn A wahr ist (oder umgekehrt).
 Wenn A wahr ist, dann ist B wahr, sonst nicht (oder umgekehrt).
 B ist eine notwendige und hinreichende Bedingung für A (oder umgekehrt).
Beispiele für Sätze und ihre Umkehrung:
Satz von den Stufenwinkeln:
Für Stufenwinkel  und  an Geraden g und h gilt
gh   .

h

g
Satz von den Basiswinkeln:
Für ein Dreieck mit den Seiten a und b und den gegenüberliegenden Winkeln  und  gilt
a b   .
Satz des Pythagoras:
Für ein Dreieck mit den Seiten a, b und c und dem Winkel 
zwischen den Seiten a und b gilt
  90  a 2  b 2  c 2 .
b
a



b
a
c
Satz des Thales:
Für ein Dreieck ABC mit dem Winkel  bei C gilt:
C liegt auf dem Thaleskreis über AB    90 .
zus_beweisverfahren
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C

A
B
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Bedingungen für innere Extremstellen
Gegeben sind eine zweimal differenzierbare Funktion f und eine innere Stelle x0 ihrer Definitionsmenge.
notwendige Bedingung: Ist x0 eine Extremstelle von f, dann ist f   x0   0 .
Die Umkehrung ist falsch bzw. die Bedingung ist nicht hinreichend.
Gegenbeispiel: f  x   x 3 ; x0  0
erste hinreichende Bedingung: Ist f   x0   0 und hat f  an der Stelle x0 einen VZW, dann ist x0
eine Extremstelle von f.
Die Umkehrung ist für „übliche“ Funktionen richtig bzw. die Bedingung ist für „übliche“
Funktionen notwendig. Näheres siehe „Für Experten“.
zweite hinreichende Bedingung: Ist f   x0   0 und f   x0   0 , dann ist x0 eine Extremstelle
von f.
Die Umkehrung ist falsch bzw. die Bedingung ist nicht notwendig.
Gegenbeispiel: f  x   x 4 ; x0  0
Bedingungen für Wendestellen:
Gegeben ist eine dreimal differenzierbare Funktion f und eine innere Stelle x0 ihrer Definitionsmenge.
Definition: Ist x0 eine Extremstelle der Ableitung f  , dann heißt x0 eine Wendestelle von f, und
der Punkt W  x0 | f  x0   heißt ein Wendepunkt des Graphen von f.
Da eine Wendestelle nach Definition eine innere Extremstelle der Ableitung ist, erhält man die
Bedingungen für Wendestellen einfach dadurch, dass man in den Bedingungen für innere Extremstellen immer die nächsthöhere Ableitung nimmt. Entsprechend erhält man Gegenbeispiele, indem
man immer die nächsthöhere x-Potenz nimmt.
Beweisverfahren
Um zu zeigen, dass ein Satz wahr ist, muss man ihn (allgemein) beweisen. Um zu zeigen, dass ein
Satz falsch ist, genügt die Angabe eines Gegenbeispiels.
Direkter Beweis: Eine Implikation
AB
kann man beweisen, indem man aus A (und aus wahren Aussagen) B herleitet.
Indirekter Beweis: Eine Implikation
AB
kann man beweisen, indem man die (äquivalente) Kontraposition
BA
beweist.
zus_beweisverfahren
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Beweis eines Satzes und seines Umkehrsatzes: Eine Äquivalenz
AB
kann man beweisen, indem man getrennt (!) die Implikationen
A  B und B  A
beweist.
Widerspruchsbeweis: Eine Aussage A kann man beweisen, indem man die Annahme „A ist falsch“
mithilfe wahrer Aussagen zu einem Widerspruch führt.
Beispiele für Widerspruchsbeweise:
 Es gibt unendlich viele Primzahlen.
2 ist irrational.

Endwert
Summenschreibweise:

Term in k
k Startwert
5
Beispiel:
k
2
 32  42  52
k 3
Beweis mit vollständiger Induktion: Eine Aussage kann man für alle natürlichen Zahlen n  1 (bzw.
n  n0 ) beweisen, indem man Folgendes beweist:
1. Induktionsanfang: Die Aussage ist wahr für n  1 (bzw. n  n0 ).
2. Induktionsschritt („Schluss von n auf n+1“): Wenn die Aussage für eine natürliche Zahl
n  1 (bzw. n  n0 ) wahr ist, dann ist sie auch für n  1 wahr.
Standardaufgabe: Beweise mit vollständiger Induktion, dass eine Aussage für alle natürlichen
Zahlen n  1 (bzw. n  n0 ) gilt.
Lösung:
Induktionsanfang: n  1 (bzw. n  n0 ):
Zeige, dass die Aussage mit 1anstatt n ( bzw .mit n0 anstatt n) wahr ist.
Induktionsschritt: Sei n  1 (bzw. n  n0 ).
Induktionsannahme: Notiere die Aussage mit n.
Zeige: Notiere die Aussage mit n+1 anstatt n.
Das geht so:
Beweise die Aussage mit n+1 unter Verwendung der Induktionsannahme.
Bei „Das geht so“ muss die Aussage mit n  1 auf die Aussage mit n zurückgeführt werden, um die
Induktionsannahme ins Spiel zu bringen. Dafür gibt es unter anderem folgende Möglichkeiten:
 bei Summen:
n 1
a
k 
k

n
a
k 
k
 ak 1
 bei Aussagen über Potenzen: a n 1  a n  a
 bei Ableitungen:  f  x  
 n 1

 f  x  
 n
Jetzt kann die Induktionsannahme verwendet werden. Kennzeichne die Stelle, an der dies geschieht.
zus_beweisverfahren
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Definition: Der Betrag einer reellen Zahl x ist
 x für x  0
x 
  x für x  0
Beweis durch vollständige Fallunterscheidung: Eine Gleichung bzw. Ungleichung, in der Beträge
auftreten, kann man beweisen, indem man für jeden auftretenden Betrag
die Fälle

0

0
 dann ist
 dann ist



und

unterscheidet.
Beispiel (Dreiecksungleichung): Für alle reellen Zahlen x und y gilt x  y  x  y .
Unterscheide folgende Fälle:
 Fall x  0 und y  0 (dann ist zwangsläufig x  y  0 )
 Fall x  0 und y  0 :
 Unterfall x  y  0
 Unterfall x  y  0
 Fall x  0 und y  0 :
 Unterfall x  y  0
 Unterfall x  y  0
 Fall x  0 und y  0 (dann ist zwangsläufig x  y  0 )
Bemerkung: Der dritte Fall ist analog zum zweiten Fall, da die Dreiecksungleichung in x und y
symmetrisch ist.
Für Experten
„Unübliche Funktionen“:
Eine Funktion f ist in einer Umgebung einer Stelle x0 „üblich“, wenn die Ableitung f  in einem
Intervall  x0   ; x0  nur positive oder nur negative Werte hat und in einem Intervall  x0 ; x0   
nur positive oder nur negative Werte hat. Hinreichend dafür ist, dass f  in jeder Umgebung von x0
höchstens endlich viele Nullstellen hat.
Beispiele für „unübliche“ Funktionen:
a) konstante Funktion f
 2  1 
 x   sin    1 für x  0
b) f  x   
 x 

0
für x  0

Andere Form des Widerspruchsbeweises:
Eine Implikation
AB
kann man beweisen, indem man die Annahme
AB
(das ist die Verneinung von A  B) mithilfe wahrer Aussagen zu einem Widerspruch führt.
zus_beweisverfahren
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