Kongruenz und Symmetrie

Kongruenz und Symmetrie
Kongruente Figuren
Wenn Figuren genau deckungsgleich sind, nennt man sie kongruent.
Sie haben gleiche Form und gleiche Größe.
Es entsteht eine 1:1– Kopie.
Figuren, die zwar die gleiche Form, aber verschiedene
Größe haben, nennt man ähnlich.
(Wie Vergrößerungen oder Verkleinerungen beim Kopieren)
Symmetrische Figuren
Wenn man eine Figur durch mindestens
eine Gerade – die Symmetrieachse –
in kongruente Teile zerlegen kann,
nennt man sie symmetrisch.
Manche Figuren haben auch mehrere
Symmetrieachsen.
Symmetrieachse
Wenn du einen der beiden Teile umdrehst,
ist er mit dem anderen deckungsgleich.
Symmetrische Figuren zeichnen
D = D’
1
Zeichne eine beliebige Figur
und eine Symmetrieachse.
94
2
Ziehe von jedem Punkt der
Figur (A, B, C) eine normale
Strecke auf die andere Seite
der Symmetrieachse. Lies die
Entfernung ab oder übertrage
sie mit einem Zirkel.
3
Verbinde dann die
neuen Punkte (A´, B´, C´).
Punkte, die direkt
auf der Achse liegen,
bleiben unverändert.
605 Wenn man die Dreiecksseiten verlängert, erhält man weitere
Level 1
Dreiecke 1
���
Winkel. An jedem Eckpunkt des Dreiecks entstehen 4 Winkel,
wobei die gegenüberliegenden immer gleich groß sind.
a) Wie groß ist die Summe aller 4 Winkel?
b) Wie groß sind 2 unterschiedlich große Winkel
gemeinsam?
����
����
���
�
�
�
606 Innen- und Außenwinkel
��
Außenwinkel sind die Ergänzung der Innenwinkel auf 180°:
α + α1 = 180°; β + β1 = 180°; γ + γ1 = 180°
a) Berechne alle 3 Außenwinkel, wenn α = 30°, β = 80°.
b) Wie groß ist die Summe der 3 Außenwinkel?
�
� ��
�� �
607 Berechne die fehlenden Innen- und Außenwinkel:
a)
α
b)
60°
d)
20°
α1
β
c)
145°
30°
12°
β1
100°
150°
γ
γ1
70°
608 Berechne die Innenwinkel folgender Dreiecke:
a)
b)
����
����
����
����
c)
����
���
���
����
���
�
�
86,6
50
a) Mach zuerst eine Skizze und berechne
60°
die Außenwinkel.
b) Wie heißt die Befehlskette, wenn die
Schildkröte am Ende wieder nach oben schauen soll?
����
�
136,6
100°
136,6
Dreieck mit Seitenlänge 80 zu zeichnen?
611 Programmiere das gleichschenklige Dreieck rechts:
��
�
100
610 Welche Befehlskette ist nötig, um mit LOGO ein gleichseitiges
����
�
30°
90°
609 Konstruiere mit LOGO das Dreieck rechts:
�
����
���
���
����
����
���
40°
40°
168
117
Dreiecke 1
Der Winkel β ist so groß wie 2 gegebene Winkel zusammen.
Erkläre warum!
620 Berechne die fehlenden Winkel. Beachte, dass eine
Winkelsymmetrale gegeben ist und dass der
Winkel γ zweimal vorkommt.
57°
β
29°
Level 2
γ6
4°
619 Kannst du die Winkel β und γ bestimmen, ohne sie abzumessen?
γ γ
β
43°
50°
621 Von einem gleichschenkligen Dreieck kennt
23°
49°
man nur den eingezeichneten Winkel.
Bestimme alle anderen Winkel im Dreieck.
622 Von einem Dreieck kennt man den Umfang. Berechne die fehlenden Seitenlängen,
achte dabei auf die Einheiten: u = a + b + c
a)
b)
a
12 mm
7 dm
b
17 mm
50 mm
d)
19 750 m
17,3 cm
c
u
c)
97 cm
4,7 cm
23 dm
31,9 cm
15,2 km
45 km
Die Höhen im Dreieck
1
Zeichne ein
spitzwinkliges Dreieck.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
2
3
Zeichne eine Strecke
�
�
im rechten Winkel
�
��
�
auf eine� Dreiecksseite
��������
�(Normale), die zum�
�
�
�
�
�����������
��
�
� �
� � �
�
gegenüberliegenden
��
�
�
Eckpunkt
� führt.
�
�
�
Beschrifte!
�
�
�
��������
�����������
�
�
�
�
�
��
���
�
� � ��������
�����������
�
�
�
�
623 Zeichne ein beliebiges spitzwinkliges Dreieck und konstruiere alle drei Höhen.
Sie schneiden einander in einem Punkt. Bezeichne ihn mit H (Höhenschnittpunkt).
624 Konstruiere in einem Koordinatensystem den Höhenschnittpunkt des Dreiecks ABC:
A (2/2); B (13/2); C (10/10). Gib die Koordinaten von H an.
625 Zeichne ein beliebiges stumpfwinkliges Dreieck. Verlängere die
beiden kürzeren Seiten bis unter den gegenüberliegenden Punkt.
Der Höhenschnittpunkt liegt außerhalb des Dreiecks.
119
631 Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck (Seitenkante 50 Punkte)
mit LOGO. Denke an die Außenwinkel.
632 Konstruiere ein regelmäßiges Sechseck mit LOGO.
Level 3
Dreiecke 1
54°
72°
108°
54°
72°
Wähle selbst eine geeignete Seitenlänge.
633 Um welches Vieleck handelt es sich bei dieser Befehlskette:
fd 30 rt 30 fd 30 rt 30 fd 30 rt 30 fd 30 rt 30 fd 30 rt 30 fd 30
rt 30 fd 30 rt 30 fd 30 rt 30 fd 30 rt 30 fd 30 rt 30 fd 30 rt 30 fd 30 rt 30
oder einfacher: repeat 12 [fd 30 rt 30] („repeat“ bedeudet „wiederhole“)
CABRI – ein nützliches Zeichenprogramm
634 Konstruiere ein Dreieck mit CABRI.
Klicke auf das 3. Icon – halte die Maustaste gedrückt –
und gehe bis zum Menüpunkt „Dreiecke“:
Klicke anschließend an 3 verschiedenen Stellen in das
Zeichenfeld.
635 Konstruiere ein regelmäßiges Fünfeck mit CABRI.
Klicke auf das 3. Icon – halte die Maustaste gedrückt –
und gehe zum Menüpunkt „reguläres Polygon“
(regelmäßiges Vieleck).
1. Klick: Mittelpunkt des Vielecks. 2.Klick – Radius des Kreises.
Bewege die Maus bis ein Fünfeck entsteht: 3. Klick.
636 Konstruiere verschiedene Vielecke mit CABRI.
637 Winkel bestimmen mit CABRI
Klicke auf das 9. Icon – halte die Maustaste gedrückt – und
gehe bis zum Menüpunkt „Winkel“. Klicke anschließend einen
Schenkel, dann den Scheitelpunkt und anschließend den
zweiten Schenkel an. Die Winkelgröße erscheint.
638 Zeichne ein gleichschenkliges Dreieck mit CABRI.
Überprüfe, ob die beiden Basiswinkel wirklich gleich groß sind.
639 Versuche, ein rechtwinkliges Dreieck mit CABRI zu zeichnen.
Überprüfe die Größe des rechten Winkels.
121
Zusammenfassung
Dreiecke 1
Arten – Winkel:
spitzwinklig
stumpfwinklig
rechtwinklig
Arten – Seiten:
ungleichseitig
gleichschenklig
gleichseitig
Beschriftung:
Eckpunkte: A , B, C
Seiten: a, b, c
Winkel: α, β, γ
C
Höhen:
Höhen stehen normal auf
die Seiten und gehen durch
den gegenüberliegenden
Eckpunkt
γ
a
b
β
Dreiecksungleichung:
a<b+c
b<a+c
c<a+b
α
A
c
B
Winkelsumme:
α + β + γ = 180°
Kontrolle
644 Gegeben ist ein Dreieck im Koordinatensystem.
Die Eckpunkte haben die Koordinaten A (2/1), (6/2) und (4/5).
Zeichne das Dreieck und beschrifte alle Ecken, Seiten und Winkel!
645 Die Winkel α und β in einem Dreieck sind beide 47° groß.
a) Wie groß ist der dritte Winkel?
b) Um welche Art von Dreieck handelt es sich?
646 Skizziere ein rechtwinkliges, ein stumpfwinkliges und ein spitzwinkliges Dreieck.
647 Welche Arten von Dreieck siehst du? (Winkel und Seiten)
a)
b)
c)
d)
C
648 Konstruiere den Höhenschnittpunkt des Dreiecks:
a
b
A
c
B
123
Ferienprogramm
Dezimalzahlen
Es gelten die gleichen Regeln wie beim Rechnen mit
natürlichen Zahlen. Also:
Klammer vor Punktrechnung vor Strichrechnung!
Achte außerdem auf den Stellenwert:
+ und –
Komma untereinander!
·
Kommastellen addieren!
:
Stellenwertbestimmung!
Trage die Buchstaben in der richtigen Reihenfolge unten ein:
1
3,2 · 16,4 =
(7,6 – 4,8) : 0,4 =
24,9
S
21,6
A
N
0,8 · 2,82 =
12 – 4,7 · 2,5 =
11,84
42,5 : (4,7 + 3,8) =
34,72
E
73
G
B
87,6 – 39,4 =
323 : 7,6 =
62,04
3,6 · (4,3 + 1,7) =
45,1
T
2,46
H
I
1,27 · 0,7 =
214,49 : 8,9 =
7
8,9 + 0,24 + 2,7 =
48,2
U
42,5
E
M
92,7 – 47,6 =
(9,3 – 5,15) · 6 =
52,48
7,4 + 0,12 + 6,8 =
0,889
C
24,1
M
R
0,4 · 6,15 =
4,7 · 13,2 =
14,32
2,256
L
T
1
(2,4 + 3,8) · 5,6 =
5
2
3
4
5
6
7
42 + 46,5 : 1,5 =
0,25
S
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
S
195