ggT und kgV - walser-h-m.ch

Hans Walser, [20140811]
ggT und kgV, größter gemeinsamer Teiler und kleinstes gemeinsames
Vielfaches
Adaptation einer Idee von J. H., A. (Heitzer 2013)
1 Worum geht es?
Die Primfaktorzerlegung von Zahlen wird je in ein Histogramm eingetragen. Überlagerung der Histogramme für zwei Zahlen liefert den größten gemeinsamen Teiler und das
kleinste gemeinsame Vielfache.
2 Die Vorlage
Wir arbeiten mit einer Transparentfolie mit Formularvordruck gemäß Abbildung 1.
2
3
5
7
11
13
17
19
23
29
Abb. 1: Transparente Vorlage
31
37
41
2/5
Hans Walser: ggT und kgV
3 Profil einer Zahl
Für die natürliche Zahl 1176 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3⋅ 7 ⋅ 7 tragen wir die Primfaktoren ein gemäß
Abbildung 2.
1176
2
7
2
2 3
2
3
7
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
Abb. 2: Eintragen der Primfaktoren
Wir ergänzen zu einem Histogramm oder Säulendiagramm (Abb. 3). Damit haben wir
einen Querbezug zur beschreibenden Statistik.
1176
2
7
2
2 3
2
3
7
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
Abb. 3: Histogramm
Die Potenzschreibeweise 1176 = 2 3 ⋅ 31 ⋅ 7 2 , welche im Deutschen als „hoch“ ausgesprochen wird, kann hier direkt als Höhe der Säulen gesehen werden.
3/5
Hans Walser: ggT und kgV
4 Überlagerung zweier Profile
Die Abbildungen 4 und 5 zeigen die Profile der Zahlen 84 und 72 in verschiedenen Farben, die Abbildung 5 deren Überlagerung.
Im Unterricht können sich die Schülerinnen und Schüler die Profile verschiedener Zahlen gegenseitig ausleihen.
84
2
2 3
2
3
7
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
Abb. 4: Profil der Zahl 84
72
2
2
3
2
3
2
3
5
7
11
13
17
19
23
Abb. 5: Profil der Zahl 72
29
31
37
41
4/5
Hans Walser: ggT und kgV
72
84
2
2
3
22 3
2
3
7
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
Abb. 6: Überlagerung
5 ggT
Den größten gemeinsamen Teiler finden wir nun dort, wo beide Farben vorkommen
(Abb. 7).
72
84
2
2
3
22 3
2
3
7
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
Abb. 7: ggT
Es ist ggT( 84, 72 ) = 2 2 ⋅ 31 = 12 .
Wenn wir die Profile der beiden Zahlen 84 und 72 je als Tunnelprofil deuten, hat der
größte gemeinsame Teiler 12 das Profil des größten Wagens, der gerade noch durch
beide Tunnels geht (geschliffen und geschmiert).
5/5
Hans Walser: ggT und kgV
6 kgV
Das kleinste gemeinsame Vielfache finden wir dort, wo mindestens eine Farbe vorkommt (Abb. 8).
72
84
2
2
3
22 3
2
7
3
5
7
11
13
17
19
23
29
31
37
41
Abb. 8: kgV
Es ist kgV ( 84, 72 ) = 2 ⋅ 3 ⋅ 7 = 504 .
3
2
1
Das Profil des kleinsten gemeinsamen Vielfaches 504 ist das kleinste Tunnelprofil,
durch das die beiden Wagen mit den Profilen der beiden Zahlen 84 und 72 gerade noch
hindurchkommen.
Metabemerkung für Didaktiker: Beim Übergang vom ggT zum kgV müssen die Begriffe Tunnel und Wagen vertauscht werden. Max und Moritz sowie der Lehrer Lämpel
merken das auch ohne diesen Hinweis.
7 Umkehrung
Natürlich dann die Profilvisualisierung auch für Umkehrprobleme von der Form
ggT( 90,n ) = 15 oder kgV ( m,20 ) = 1260
verwendet werden. Probleme dieser Art sind besonders reizvoll, da sie mehrere Lösungen, im Falle des ggT sogar unendlich viele Lösungen zulassen.
Literatur
Heitzer, J. (2013): Lochkarten zur Primfaktorzerlegung. Mathematik lehren, 176, 14-17.