Wärme 3

Einführung in die Physik I
Wärme 3
O. von der Lühe und U. Landgraf
Druckarbeit
•
Mechanische Arbeit ΔW kann von
einem Gas geleistet werden, wenn
es sein Volumen um ΔV gegen einen
Druck p ändert. Dies hängt von der
Art der Zustandsänderung ab
– Isobare Expansion
– Adiabatische Expansion (Quelle der
Expansionsarbeit nur innere Energie)
– Isotherme Expansion
Infinitesimal:
dW = p ⋅ dV
Zustandsgleichung:
p = N mol RT V
W = p(V2 − V1 )
W = U1 − U 2 = cV M (T1 − T2 )
W =
V2
∫
V1
= N mol RT ln
Wärme 3
V2
p ⋅ dV = N mol RT ∫
V1
dV
V
V2
V1
2
Wärmekraftmaschinen und
Kraftwärmemaschinen
Gerthsen Physik
Wärme 3
3
Wärmetransport
•
•
•
•
•
Wärme kann auf mehrere
Weisen transportiert werden
Strahlung: elektromagnetische
Wellen tragen Energie auch
durch Vakuum
Wärmeströmung: Energietransport verbunden mit
Materietransport (Konvektion
in Gasen oder Flüssigkeiten)
Wärmeleitung: Energietransport durch ein (ruhendes)
Medium (Festkörper)
Stationärer Zustand: durch
Energiequellen und –senken
bleiben Temperaturverteilung
und Wärmeströme konstant
Wärme 3
T1
T2
T1
T2
T1
T2
4
Wärmetransport
•
•
•
•
Temperaturverteilung im Raum:
T(x,y,z)
Wärme wird in Richtung eines
Temperaturgefälles transportiert
Der Wärmestrom ist proportional
zum Temperaturgradienten
Wärmeleitfähigkeit λ ist eine
Materialkonstante
(Einheit [W m-1 K-1])
r
j
r
j:
Wärmestrom
Energie pro Zeit pro Fläche
r
r
j = − λ ⋅ ∇T ( x )
Gerthsen Physik
Wärme 3
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Wärmeleitungsgleichung
•
Strömt aus einem Volumen
mehr Wärme hinaus als hineingelangt, so nimmt die
Temperatur mit der Zeit ab
•
Die Wärmekapazität des
Volumens dV ist ρ·c·dV
•
Daraus ergibt sich die
Temperaturänderung
•
Wärmeleitungsgleichung:
Zusammenhang zwischen
räumlicher und zeitlicher
Änderung der Temperatur
Wärme 3
r
dQ
&
= Q = − ∇ ⋅ j ⋅ dV
dt
⎛ d dx ⎞ ⎛ j x ⎞
r ⎜
⎟ ⎜ ⎟ dj x dj y dj z
∇ ⋅ j = ⎜ d dy ⎟ ⋅ ⎜ j y ⎟ =
+
+
dx
dy
dz
⎜ d dz ⎟ ⎜ j ⎟
⎝
⎠ ⎝ z⎠
r
dT
1
&
= T = − ∇⋅ j
dt
ρc
1
T& =
∇ ⋅ λ ⋅ ∇T
ρc
=
λ
⋅ ΔT
ρc
6
Wärmeleitungsgleichung
•
•
•
Die Wärmeleitungsgleichung
beschreibt, wie sich eine gegebene
Temperaturverteilung mit der Zeit
entwickelt
Temperaturinhomogenitäten über
eine Strecke d gleichen sich innerhalb
der Relaxationszeit τ aus, wenn
keine Wärmequellen oder –senken
vorhanden sind
Die Wärmeleitungsgleichung
entspricht der Diffusionsgleichung,
welche den Transport von Stoffen in
Lösungen beschreibt
Wärme 3
d
ρc
τ =d
λ
2
7
Entropie
Makrozustand
•
•
•
Prozesse, die von selbst mit
der Zeit nur in eine Richtung
verlaufen, heißen irreversibel
Mikrozustand: detaillierte
Konfiguration eines Ensembles
von Teilchen
Makrozustand: Konfiguration
eines Systems
100 Teilchen
Wärme 3
Mikrozustand
Gerthsen Physik
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Entropie
•
•
•
N Teilchen, jedes Teilchen
entweder links oder rechts
Zustand 1: alle Teilchen
befinden sich in der linken
Hälfte
Zustand 2: die Teilchen sind
gleichmäßig über beide Hälften
verteilt
•
Entropie S: Logarithmus der
Wahrscheinlichkeit eines
Zustandes
•
Zustände gehen von selbst nur
von unwahrscheinliche in
wahrscheinlichere über
Wärme 3
P (1) = 2 − N
P (2) ≈ 1
N
P(N)
10
0.001
100
10-30
S = k ⋅ ln P
ΔS > 0
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Entropie - Beispiele
•
Mischen eines Kartenspiels von 52 Karten
– Zahl der Anordnungen: 52! ~ 1070 ~ e160
– ΔS = k · 160 = 2 ·10-21 [J K-1]
•
50 l Sand, eine Hälfte schwarz, die andere weiß
– Zahl der Körner: N = 1013
– Wahrscheinlichkeit, dass all weißen Körner oben sind: P1 = 2-N
– Entropieänderung beim Durchmischen:
ΔS = k·N·ln 2 = 1013·k = 10-10 [J K-1]
•
Entropie ist eine additive Zustandfunktion: fasst man zwei Systeme
mit Wahrscheinlichkeiten P1 und P2 zusammen, so addieren sich
ihre Entropien
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Entropie - Beispiele
•
Isotherme Expansion von V1 auf V2
V1 V1
– Wahrscheinlichkeit für Teilchen,
sich in V1 aufzuhalten:
P1 =
V1
V2
PN A
⎛ V1 ⎞
= ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ V2 ⎠
NA
V2
– Entropie:
S = k ln
•
1
V
= k ⋅ N A ⋅ ln 2
V1
PN A
Mischungsentropie
V2
V1
– Entropiegewinn durch Mischen:
S = k ⋅ N1 ⋅ ln
= k ⋅ N1 ⋅ ln
V
V
+ k ⋅ N 2 ⋅ ln
V1
V2
V = V1 + V2
N1 + N 2
N + N2
+ k ⋅ N 2 ⋅ ln 1
N1
N2
p1 = p2, T1 = T2
Wärme 3
N1 N 2
=
V1
V2
11
2. Hauptsatz der Wärmelehre
•
„Ein System geht nie von selbst in einen bedeutend
unwahrscheinlicheren Zustand über.“
– Die Entropie eines Systems wird durch Fluktuationen von höchstens
einigen k vorübergehend erniedrigt
•
„Es gibt Vorgänge, die irreversibel sind, d.h., die nicht ohne äußere
Einwirkung in frühere Zustände zurückführbar sind.“
•
„Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die nichts anderes
bewirkt als die Erzeugung mechanischer Arbeit unter Abkühlung
eines Wärmereservoirs.“
– Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art
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Carnot-Maschine
•
Idealisierte Maschine, welche
ausschließlich auf reversible
Prozesse beruht
T2
Q2A
– Wärmekraftmaschine A
– Kraftwärmemaschine B
WA – WB
WB
A
•
Wirkungsgrad
η=
W
Q2
Q2B
Q1A
B
Q1B
T1
•
•
2. Hauptsatz → alle CarnotMaschinen haben den gleichen
Wirkungsgrad
Es gibt keine Maschine mit
einem höheren Wirkungsgrad
als die Carnot-Maschine
Wärme 3
η=
T2 − T1
T2
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Reale Gase
•
Gerthsen Physik
Abweichungen von der Zustandsgleichung des idealen Gases bei
hohen Dichten
– hoher Druck
– tiefe Temperatur
•
Änderung der Aggregatzustände
– Verflüssigung / Verdampfung
•
Zustandsgleichung von
van der Waals
– Binnendruck a/V2 durch
Anziehungskräfte der Teilchen
– Kovolumen b durch endlichen
Radius der Teilchen
a ⎞
⎛
⎜ p + 2 ⎟(V − b ) = N mol RT
V ⎠
⎝
Für CO2:
a = 3.6·10-6 [bar m6 mol-2]
b = 4.3·10-5 [m3 mol-1]
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