Einführung in die Physik I Wärme 3 O. von der Lühe und U. Landgraf Druckarbeit • Mechanische Arbeit ΔW kann von einem Gas geleistet werden, wenn es sein Volumen um ΔV gegen einen Druck p ändert. Dies hängt von der Art der Zustandsänderung ab – Isobare Expansion – Adiabatische Expansion (Quelle der Expansionsarbeit nur innere Energie) – Isotherme Expansion Infinitesimal: dW = p ⋅ dV Zustandsgleichung: p = N mol RT V W = p(V2 − V1 ) W = U1 − U 2 = cV M (T1 − T2 ) W = V2 ∫ V1 = N mol RT ln Wärme 3 V2 p ⋅ dV = N mol RT ∫ V1 dV V V2 V1 2 1 Wärmekraftmaschinen und Kraftwärmemaschinen Gerthsen Physik Wärme 3 3 Wärmetransport • Wärme kann auf mehrere Weisen transportiert werden • Strahlung: elektromagnetische Wellen tragen Energie auch durch Vakuum • Wärmeströmung: Energietransport verbunden mit Materietransport (Konvektion in Gasen oder Flüssigkeiten) • Wärmeleitung: Energietransport durch ein (ruhendes) Medium (Festkörper) • Stationärer Zustand: durch Energiequellen und –senken bleiben Temperaturverteilung und Wärmeströme konstant Wärme 3 T1 T2 T1 T2 T1 T2 4 2 Wärmetransport r • Temperaturverteilung im Raum: T(x,y,z) • Wärme wird in Richtung eines Temperaturgefälles transportiert • Der Wärmestrom ist proportional zum Temperaturgradienten • Wärmeleitfähigkeit λ ist eine Materialkonstante (Einheit [W m-1 K-1]) r j Wärmestrom j : Energie pro Zeit pro Fläche r r j = − λ ⋅ ∇T ( x ) Gerthsen Physik Wärme 3 5 Wärmeleitungsgleichung • Strömt aus einem Volumen mehr Wärme hinaus als hineingelangt, so nimmt die Temperatur mit der Zeit ab • Die Wärmekapazität des Volumens dV ist ρ·c·dV • Daraus ergibt sich die Temperaturänderung • Wärmeleitungsgleichung: Zusammenhang zwischen räumlicher und zeitlicher Änderung der Temperatur Wärme 3 r dQ = Q& = − ∇ ⋅ j ⋅ dV dt ⎛ d dx ⎞ ⎛ j x ⎞ r ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ dj dj y dj z ∇ ⋅ j = ⎜ d dy ⎟ ⋅ ⎜ j y ⎟ = x + + ⎜ d dz ⎟ ⎜ j ⎟ dx dy dz ⎝ ⎠ ⎝ z⎠ r dT 1 = T& = − ∇ ⋅ j dt ρc 1 T& = ∇ ⋅ λ ⋅ ∇T ρc = λ ⋅ ΔT ρc 6 3 Wärmeleitungsgleichung • Die Wärmeleitungsgleichung beschreibt, wie sich eine gegebene Temperaturverteilung mit der Zeit entwickelt • Temperaturinhomogenitäten über eine Strecke d gleichen sich innerhalb der Relaxationszeit τ aus, wenn keine Wärmequellen oder –senken vorhanden sind • Die Wärmeleitungsgleichung entspricht der Diffusionsgleichung, welche den Transport von Stoffen in Lösungen beschreibt d τ = d2 ρc λ Wärme 3 7 Entropie • Prozesse, die von selbst mit der Zeit nur in eine Richtung verlaufen, heißen irreversibel • Mikrozustand: detaillierte Konfiguration eines Ensembles von Teilchen • Makrozustand: Konfiguration eines Systems 100 Teilchen Wärme 3 Makrozustand Mikrozustand Gerthsen Physik 8 4 Entropie • N Teilchen, jedes Teilchen entweder links oder rechts • Zustand 1: alle Teilchen befinden sich in der linken Hälfte • Zustand 2: die Teilchen sind gleichmäßig über beide Hälften verteilt P (1) = 2 − N P ( 2) ≈ 1 • Entropie S: Logarithmus der Wahrscheinlichkeit eines Zustandes N P(N) 10 0.001 100 10-30 S = k ⋅ ln P • Zustände gehen von selbst nur von unwahrscheinliche in wahrscheinlichere über ΔS > 0 Wärme 3 9 Entropie - Beispiele • Mischen eines Kartenspiels von 52 Karten – Zahl der Anordnungen: 52! ~ 1070 ~ e160 – ΔS = k · 160 = 2 ·10-21 [J K-1] • 50 l Sand, eine Hälfte schwarz, die andere weiß – Zahl der Körner: N = 1013 – Wahrscheinlichkeit, dass all weißen Körner oben sind: P1 = 2-N – Entropieänderung beim Durchmischen: ΔS = k·N·ln 2 = 1013·k = 10-10 [J K-1] • Entropie ist eine additive Zustandfunktion: fasst man zwei Systeme mit Wahrscheinlichkeiten P1 und P2 zusammen, so addieren sich ihre Entropien Wärme 3 10 5 Entropie - Beispiele • Isotherme Expansion von V1 auf V2 V1 V1 – Wahrscheinlichkeit für Teilchen, sich in V1 aufzuhalten: P1 = V1 V2 ⎛V ⎞ PN A = ⎜⎜ 1 ⎟⎟ ⎝ V2 ⎠ NA V2 – Entropie: S = k ln 1 V = k ⋅ N A ⋅ ln 2 PN A V1 • Mischungsentropie V2 V1 – Entropiegewinn durch Mischen: S = k ⋅ N1 ⋅ ln = k ⋅ N1 ⋅ ln V V + k ⋅ N 2 ⋅ ln V1 V2 V = V1 + V2 N1 + N 2 N + N2 + k ⋅ N 2 ⋅ ln 1 N1 N2 p1 = p2, T1 = T2 Wärme 3 N1 N 2 = V1 V2 11 2. Hauptsatz der Wärmelehre • „Ein System geht nie von selbst in einen bedeutend unwahrscheinlicheren Zustand über.“ – Die Entropie eines Systems wird durch Fluktuationen von höchstens einigen k vorübergehend erniedrigt • „Es gibt Vorgänge, die irreversibel sind, d.h., die nicht ohne äußere Einwirkung in frühere Zustände zurückführbar sind.“ • „Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die nichts anderes bewirkt als die Erzeugung mechanischer Arbeit unter Abkühlung eines Wärmereservoirs.“ – Es gibt kein Perpetuum mobile 2. Art Wärme 3 12 6 Carnot-Maschine • Idealisierte Maschine, welche ausschließlich auf reversible Prozesse beruht – Wärmekraftmaschine A – Kraftwärmemaschine B T2 Q2A WA – W B WB A W η= Q2 • Wirkungsgrad Q2B B Q1A Q1B T1 • 2. Hauptsatz → alle CarnotMaschinen haben den gleichen Wirkungsgrad • Es gibt keine Maschine mit einem höheren Wirkungsgrad als die Carnot-Maschine η= T2 − T1 T2 Wärme 3 13 Reale Gase Gerthsen Physik • Abweichungen von der Zustandsgleichung des idealen Gases bei hohen Dichten – hoher Druck – tiefe Temperatur • Änderung der Aggregatzustände – Verflüssigung / Verdampfung • Zustandsgleichung von van der Waals – Binnendruck a/V2 durch Anziehungskräfte der Teilchen – Kovolumen b durch endlichen Radius der Teilchen a ⎞ ⎛ ⎜ p + 2 ⎟(V − b ) = N mol RT V ⎠ ⎝ Für CO2: a = 3.6·10-6 [bar m6 mol-2] b = 4.3·10-5 [m3 mol-1] Wärme 3 14 7