Primzahlen und die Riemannsche Vermutung

Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Primzahlen und die Riemannsche Vermutung
Benjamin Klopsch
Mathematisches Institut
Heinrich-Heine-Universität zu Düsseldorf
Tag der Forschung
◦
November 2005
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
„Untersuchung über die Häufigkeit der Primzahlen“
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten?
„Der Stoff, aus dem die Zahlen sind“
Was sind Primzahlen?
Wie viele Primzahlen gibt es?
Riemann – Mitbegründer der Funktionentheorie
Von unendlichen Reihen und komplexen Funktionen
Riemann und die Zetafunktion ζ(s)
„Eine wundersame Formel“
Die Riemannsche Formel
Die Riemannsche Vermutung
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten?
„Der Stoff, aus dem die Zahlen sind“
Was sind Primzahlen?
Wie viele Primzahlen gibt es?
Riemann – Mitbegründer der Funktionentheorie
Von unendlichen Reihen und komplexen Funktionen
Riemann und die Zetafunktion ζ(s)
„Eine wundersame Formel“
Die Riemannsche Formel
Die Riemannsche Vermutung
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Was erwartet uns in den kommenden 45 Minuten?
„Der Stoff, aus dem die Zahlen sind“
Was sind Primzahlen?
Wie viele Primzahlen gibt es?
Riemann – Mitbegründer der Funktionentheorie
Von unendlichen Reihen und komplexen Funktionen
Riemann und die Zetafunktion ζ(s)
„Eine wundersame Formel“
Die Riemannsche Formel
Die Riemannsche Vermutung
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
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Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
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„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
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„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
Primzahlen
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„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
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„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
Primzahlen
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„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001 = 7 · 143.
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
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Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001 = 7 · 11 · 13
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
Primzahlen
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„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001 = 7 · 11 · 13
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Was sind Primzahlen?
Definition
Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl p, die genau zwei Teiler
hat, nämlich 1 und p.
Die ersten sieben Primzahlen sind also 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.
Satz (Fundamentalsatz der Arithmetik)
Jede natürliche Zahl läßt sich (bis auf die Reihenfolge der
Faktoren) eindeutig als Produkt von Primzahlen darstellen.
Zum Beispiel gilt für die Märchenzahl
1001 = 7 · 11 · 13
und ähnlich
112005 = 32 · 5 · 19 · 131.
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„Eine wundersame Formel“
Ende
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
1
13
25
37
49
61
73
85
97
2
14
26
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„Eine wundersame Formel“
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Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
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Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
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Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
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„Eine wundersame Formel“
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
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3
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„Eine wundersame Formel“
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
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Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
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Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
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„Eine wundersame Formel“
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2
13
25
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Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
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„Eine wundersame Formel“
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2
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3
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29
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11
23
47
59
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83
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2
13
37
3
5
17
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41
53
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73
67
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43
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59
71
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Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Das Sieb des Erathostenes
Unter den ersten 100 Zahlen befinden sich 25 Primzahlen.
2
13
37
3
5
17
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41
53
61
73
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43
11
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Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr sind alle Primzahlen.
• Setze N := p1 · p2 · · · pr + 1.
• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.
• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
Ende
Primzahlen
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„Eine wundersame Formel“
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr sind alle Primzahlen.
• Setze N := p1 · p2 · · · pr + 1.
• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.
• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr sind alle Primzahlen.
• Setze N := p1 · p2 · · · pr + 1.
• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.
• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
Ende
Primzahlen
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„Eine wundersame Formel“
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr sind alle Primzahlen.
• Setze N := p1 · p2 · · · pr + 1.
• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.
• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr sind alle Primzahlen.
• Setze N := p1 · p2 · · · pr + 1.
• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.
• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Satz (Euklides um 300 v. Chr.)
Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis.
• Angenommen, p1 = 2, p2 = 3, . . . , pr sind alle Primzahlen.
• Setze N := p1 · p2 · · · pr + 1.
• Dann ist N ≥ 2, aber durch keine einzige Primzahl teilbar.
• Widerspruch!
Frage: Wieviel ist „unendlich viele“?
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe
Definition
Für jede reelle Zahl x bezeichne π(x) die
Anzahl der Primzahlen zwischen 1 und x.
x
100
1000
10, 000
100, 000
1, 000, 000
10, 000, 000
100, 000, 000
π(x)
25
168
1, 229
9, 592
78, 498
664, 579
5, 761, 455
x/π(x)
4.0
≈ 6.0
≈ 8.1
≈ 10.4
≈ 12.7
≈ 15.0
≈ 17.4
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe
Definition
Für jede reelle Zahl x bezeichne π(x) die
Anzahl der Primzahlen zwischen 1 und x.
x
100
1000
10, 000
100, 000
1, 000, 000
10, 000, 000
100, 000, 000
π(x)
25
168
1, 229
9, 592
78, 498
664, 579
5, 761, 455
x/π(x)
4.0
≈ 6.0
≈ 8.1
≈ 10.4
≈ 12.7
≈ 15.0
≈ 17.4
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe
Definition
Für jede reelle Zahl x bezeichne π(x) die
Anzahl der Primzahlen zwischen 1 und x.
x
100
1000
10, 000
100, 000
1, 000, 000
10, 000, 000
100, 000, 000
π(x)
25
168
1, 229
9, 592
78, 498
664, 579
5, 761, 455
x/π(x)
4.0
≈ 6.0
≈ 8.1
≈ 10.4
≈ 12.7
≈ 15.0
≈ 17.4
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlich
glatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x ist
ungefähr 1/log(x).
Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).
Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).
Gauß schlug als präzisere Näherung das folgende
logarithmische Integral Li(x) vor:
Z x
1
1
1
1
Li(x) :=
dt ≈
+
+ ... +
.
log(2) log(3)
logbxc
2 log(t)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlich
glatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x ist
ungefähr 1/log(x).
Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).
Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).
Gauß schlug als präzisere Näherung das folgende
logarithmische Integral Li(x) vor:
Z x
1
1
1
1
Li(x) :=
dt ≈
+
+ ... +
.
log(2) log(3)
logbxc
2 log(t)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlich
glatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x ist
ungefähr 1/log(x).
Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).
Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).
Gauß schlug als präzisere Näherung das folgende
logarithmische Integral Li(x) vor:
Z x
1
1
1
1
Li(x) :=
dt ≈
+
+ ... +
.
log(2) log(3)
logbxc
2 log(t)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlich
glatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x ist
ungefähr 1/log(x).
Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).
Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).
Gauß schlug als präzisere Näherung das folgende
logarithmische Integral Li(x) vor:
Z x
1
1
1
1
Li(x) :=
dt ≈
+
+ ... +
.
log(2) log(3)
logbxc
2 log(t)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Der Integrallogarithmus
Beobachtung: Aus der Ferne ist die Funktion π(x) erstaunlich
glatt. Die „Dichte“ der Primzahlen um eine große Zahl x ist
ungefähr 1/log(x).
Anmerkung: log(x) ≈ 2.3 · (# Vorkommastellen von x).
Näherungsweise gilt also π(x) ≈ x/ log(x).
Gauß schlug als präzisere Näherung das folgende
logarithmische Integral Li(x) vor:
Z x
1
1
1
1
Li(x) :=
dt ≈
+
+ ... +
.
log(2) log(3)
logbxc
2 log(t)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Der Integrallogarithmus
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Der Integrallogarithmus
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Der Integrallogarithmus
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Wir bilden unendliche Summen
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Wir bilden unendliche Summen
• Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich:
∞
X
1
n=1
n
=
1+
1 1 1 1
+ + + + ...
2 3 4 5
=
∞.
zum Beweis
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn
∞
X
1
n=1
1
=1+ +
n
2
1 1
+
3 4
+
1 1 1 1
+ + +
5 6 7 8
+ ...
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn
∞
X
1
n=1
1
=1+ +
n
2
1
≥1+ +
2
1 1
+
3 4
1 1
+
4 4
+
+
1 1 1 1
+ + +
5 6 7 8
1 1 1 1
+ + +
8 8 8 8
+ ...
+ ...
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn
∞
X
1
n=1
1
=1+ +
n
2
1 1
+
3 4
+
1 1 1 1
+ + +
5 6 7 8
+ ...
1 1
1 1 1 1
1
+
+
+ + +
+ ...
≥1+ +
2
4 4
8 8 8 8
1 2 4
= 1 + + + + ...
2 4 8
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn
∞
X
1
n=1
1
=1+ +
n
2
1 1
+
3 4
+
1 1 1 1
+ + +
5 6 7 8
+ ...
1 1
1 1 1 1
1
+
+
+ + +
+ ...
≥1+ +
2
4 4
8 8 8 8
1 2 4
= 1 + + + + ...
2 4 8
1 1 1
= 1 + + + + . . . = ∞.
2 2 2
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Wir bilden unendliche Summen
• Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich:
∞
X
1
n=1
n
=
1+
1 1 1 1
+ + + + ...
2 3 4 5
=
∞.
zum Beweis
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Wir bilden unendliche Summen
• Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich:
∞
X
1
n=1
=
n
1+
1 1 1 1
+ + + + ...
2 3 4 5
=
∞.
• Dagegen ist die Summe der quadratischen Kehrwerte
∞
X
1
n2
n=1
=
1+
1
1
+ 2 + ...
2
2
3
=
nach oben beschränkt und konvergiert.
1+
1 1
+ + ...
4 9
zum Beweis
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Wir bilden unendliche Summen
Denn
∞
∞
X
X
1
1
=
1
+
2
n
n2
n=1
n=2
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Wir bilden unendliche Summen
Denn
∞
∞
X
X
1
1
=
1
+
2
n
n2
n=1
n=2
≤
1+
∞
X
n=2
1
(n − 1)n
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Wir bilden unendliche Summen
Denn
∞
∞
X
X
1
1
=
1
+
2
n
n2
n=1
=1+
n=2
∞
X
n=2
≤
1+
n − (n − 1)
(n − 1)n
∞
X
n=2
=
1
(n − 1)n
1+
∞ X
n=2
1
1
−
n−1 n
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Wir bilden unendliche Summen
Denn
∞
∞
X
X
1
1
=
1
+
2
n
n2
n=1
n=2
∞
X
≤
1+
∞
X
n=2
1
(n − 1)n
∞ X
n − (n − 1)
1
1
=1+
= 1+
−
(n − 1)n
n−1 n
n=2
n=2
1
1 1
1 1
+
+
+ ...
=1+ 1−
−
−
2
2 3
3 4
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Wir bilden unendliche Summen
Denn
∞
∞
X
X
1
1
=
1
+
2
n
n2
n=1
n=2
∞
X
≤
1+
∞
X
n=2
1
(n − 1)n
∞ X
n − (n − 1)
1
1
=1+
= 1+
−
(n − 1)n
n−1 n
n=2
n=2
1
1 1
1 1
+
+
+ ...
=1+ 1−
−
−
2
2 3
3 4
1 1
1 1
1 1
=1+1+ − +
+ − +
+ − +
+ ...
2 2
3 3
4 4
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Wir bilden unendliche Summen
Denn
∞
∞
X
X
1
1
=
1
+
2
n
n2
n=1
n=2
∞
X
≤
1+
∞
X
n=2
1
(n − 1)n
∞ X
n − (n − 1)
1
1
=1+
= 1+
−
(n − 1)n
n−1 n
n=2
n=2
1
1 1
1 1
+
+
+ ...
=1+ 1−
−
−
2
2 3
3 4
1 1
1 1
1 1
=1+1+ − +
+ − +
+ − +
+ ...
2 2
3 3
4 4
= 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + . . . = 2.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Wir bilden unendliche Summen
• Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich:
∞
X
1
n=1
=
n
1+
1 1 1 1
+ + + + ...
2 3 4 5
=
∞.
• Dagegen ist die Summe der quadratischen Kehrwerte
∞
X
1
n2
n=1
=
1+
1
1
+ 2 + ...
2
2
3
=
nach oben beschränkt und konvergiert.
1+
1 1
+ + ...
4 9
zum Beweis
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Wir bilden unendliche Summen
• Die harmonische Reihe divergiert gegen Unendlich:
∞
X
1
n=1
=
n
1+
1 1 1 1
+ + + + ...
2 3 4 5
=
∞.
• Dagegen ist die Summe der quadratischen Kehrwerte
∞
X
1
n2
n=1
=
1+
1
1
+ 2 + ...
2
2
3
=
1+
1 1
+ + ...
4 9
nach oben beschränkt und konvergiert.
Frage: Wogegen konvergiert die Summe der quadratischen
Kehrwerte?
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Euler und die „reelle Zetafunktion“
Es gilt
∞
X
1
π2
≈ 1.6449,
=
6
n2
n=1
wobei π = 3.1415... die Kreiszahl bezeichnet.
Euler betrachtete allgemeiner die reelle Funktion
ζ(s) =
∞
X
1
ns
für s > 1
n=1
und berechnete ζ(2m) für alle geraden Zahlen 2,
4, 6, . . .
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Euler und die „reelle Zetafunktion“
Es gilt
∞
X
1
π2
≈ 1.6449,
=
6
n2
n=1
wobei π = 3.1415... die Kreiszahl bezeichnet.
Euler betrachtete allgemeiner die reelle Funktion
ζ(s) =
∞
X
1
ns
für s > 1
n=1
und berechnete ζ(2m) für alle geraden Zahlen 2,
4, 6, . . .
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Euler und die „reelle Zetafunktion“
Es gilt
∞
X
1
π2
≈ 1.6449,
=
6
n2
n=1
wobei π = 3.1415... die Kreiszahl bezeichnet.
Euler betrachtete allgemeiner die reelle Funktion
ζ(s) =
∞
X
1
ns
für s > 1
n=1
und berechnete ζ(2m) für alle geraden Zahlen 2,
4, 6, . . .
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Die Eulersche Produktformel
Ein Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) und
Primzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel
1
1
1
1
1
ζ(s) = 1 + s + s + s + s + s + . . .
3
4
5
6 2
1
1
1
1
1
1
= 1 + s + 2s + 3s + . . . · 1 + s + 2s + 3s + . . .
2
3
2
2
3
3
1
1
1
· 1 + s + 2s + 3s + . . . · · ·
5
5
5
Y 1
1
1
=
1 + s + 2s + 3s + . . .
p
p
p
p Primzahl
=
Y
p Primzahl
1
.
1 − p−s
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Die Eulersche Produktformel
Ein Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) und
Primzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel
1
1
1
1
1
ζ(s) = 1 + s + s + s + s + s + . . .
3
4
5
6 2
1
1
1
1
1
1
= 1 + s + 2s + 3s + . . . · 1 + s + 2s + 3s + . . .
2
3
2
2
3
3
1
1
1
· 1 + s + 2s + 3s + . . . · · ·
5
5
5
Y 1
1
1
=
1 + s + 2s + 3s + . . .
p
p
p
p Primzahl
=
Y
p Primzahl
1
.
1 − p−s
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Die Eulersche Produktformel
Ein Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) und
Primzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel
1
1
1
1
1
ζ(s) = 1 + s + s + s + s + s + . . .
3
4
5
6 2
1
1
1
1
1
1
= 1 + s + 2s + 3s + . . . · 1 + s + 2s + 3s + . . .
2
3
2
2
3
3
1
1
1
· 1 + s + 2s + 3s + . . . · · ·
5
5
5
Y 1
1
1
=
1 + s + 2s + 3s + . . .
p
p
p
p Primzahl
=
Y
p Primzahl
1
.
1 − p−s
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Die Eulersche Produktformel
Ein Zusammenhang zwischen der Funktion ζ(s) und
Primzahlen besteht aufgrund der Eulerschen Produktformel
1
1
1
1
1
ζ(s) = 1 + s + s + s + s + s + . . .
3
4
5
6 2
1
1
1
1
1
1
= 1 + s + 2s + 3s + . . . · 1 + s + 2s + 3s + . . .
2
3
2
2
3
3
1
1
1
· 1 + s + 2s + 3s + . . . · · ·
5
5
5
Y 1
1
1
=
1 + s + 2s + 3s + . . .
p
p
p
p Primzahl
=
Y
p Primzahl
1
.
1 − p−s
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Die komplexe Zahlenebene
imaginäre Achse
2i
Die reelle Zahlengerade R läßt
sich zur sogenannten
komplexen Zahlenebene
C = R + iR erweitern.
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat die
Eigenschaft, daß ihr Quadrat gleich −1 ist.
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
z+w=
i
−1
3.5 + 1.5 i
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
Die Grundrechenarten
Addition, Subtraktion,
Multiplikation und Division
setzen sich von den reellen auf
die komplexen Zahlen fort.
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Die komplexe Zahlenebene
imaginäre Achse
2i
Die reelle Zahlengerade R läßt
sich zur sogenannten
komplexen Zahlenebene
C = R + iR erweitern.
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat die
Eigenschaft, daß ihr Quadrat gleich −1 ist.
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
z+w=
i
−1
3.5 + 1.5 i
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
Die Grundrechenarten
Addition, Subtraktion,
Multiplikation und Division
setzen sich von den reellen auf
die komplexen Zahlen fort.
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Die komplexe Zahlenebene
imaginäre Achse
2i
Die reelle Zahlengerade R läßt
sich zur sogenannten
komplexen Zahlenebene
C = R + iR erweitern.
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
Die Zahl i ist die sogenannte imaginäre Einheit und hat die
Eigenschaft, daß ihr Quadrat gleich −1 ist.
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
z+w=
i
−1
3.5 + 1.5 i
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
Die Grundrechenarten
Addition, Subtraktion,
Multiplikation und Division
setzen sich von den reellen auf
die komplexen Zahlen fort.
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Von komplexen Funktionen
Einfache Abbildungen der komplexen Zahlenebene in sich, wie
zum Beispiel die Polynomfunktion
f (z) = f (x + iy ) := z 3 − 64z
werden als Landschaft mit Höhenprofil greifbar.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Von komplexen Funktionen
Einfache Abbildungen der komplexen Zahlenebene in sich, wie
zum Beispiel die Polynomfunktion
f (z) = f (x + iy ) := z 3 − 64z
werden als Landschaft mit Höhenprofil greifbar.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Georg Friedrich Bernhard Riemann
• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg
• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin
• 1851 Promotion mit der epochemachenden
Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeine
Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen
Grösse“
• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welche
der Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernen
Differentialgeometrie
• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,
Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlen
unter einer gegebenen Grösse“
• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, Lago
Maggiore, Italien
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Georg Friedrich Bernhard Riemann
• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg
• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin
• 1851 Promotion mit der epochemachenden
Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeine
Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen
Grösse“
• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welche
der Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernen
Differentialgeometrie
• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,
Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlen
unter einer gegebenen Grösse“
• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, Lago
Maggiore, Italien
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Georg Friedrich Bernhard Riemann
• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg
• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin
• 1851 Promotion mit der epochemachenden
Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeine
Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen
Grösse“
• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welche
der Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernen
Differentialgeometrie
• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,
Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlen
unter einer gegebenen Grösse“
• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, Lago
Maggiore, Italien
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Georg Friedrich Bernhard Riemann
• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg
• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin
• 1851 Promotion mit der epochemachenden
Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeine
Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen
Grösse“
• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welche
der Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernen
Differentialgeometrie
• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,
Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlen
unter einer gegebenen Grösse“
• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, Lago
Maggiore, Italien
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Georg Friedrich Bernhard Riemann
• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg
• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin
• 1851 Promotion mit der epochemachenden
Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeine
Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen
Grösse“
• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welche
der Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernen
Differentialgeometrie
• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,
Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlen
unter einer gegebenen Grösse“
• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, Lago
Maggiore, Italien
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Georg Friedrich Bernhard Riemann
• geboren 1826 in Breselenz, Lüchow-Dannenberg
• Student in Göttingen (anfangs Theologie) und Berlin
• 1851 Promotion mit der epochemachenden
Inauguraldissertation „Grundlagen für eine allgemeine
Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen
Grösse“
• 1854 Habilitationsvortrag „Über die Hypothesen, welche
der Geometrie zu Grunde liegen“ - Geburt der modernen
Differentialgeometrie
• 1859 Nachfolger Dirichlets auf dem Gauß-Lehrstuhl,
Publikation der Arbeit „Ueber die Anzahl der Primzahlen
unter einer gegebenen Grösse“
• gestorben 1866 an Tuberkulose in Selasca, Lago
Maggiore, Italien
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Georg Friedrich Bernhard Riemann
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Die Riemannsche Zetafunktion
Die unendliche Reihe
ζ(s)
=
∞
X
1
ns
n=1
=
1+
1
1
1
+ s + s + ...
s
2
3
4
konvergiert für alle komlpexen Zahlen s = x + yi mit Realteil
x > 1.
Zudem setzt sich die Funktion ζ(s), mit Ausnahme eines Pols
bei s = 1, eindeutig auf die ganze komplexe Zahlenebene fort.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Die Riemannsche Zetafunktion
Die unendliche Reihe
ζ(s)
=
∞
X
1
ns
n=1
=
1+
1
1
1
+ s + s + ...
s
2
3
4
konvergiert für alle komlpexen Zahlen s = x + yi mit Realteil
x > 1.
Zudem setzt sich die Funktion ζ(s), mit Ausnahme eines Pols
bei s = 1, eindeutig auf die ganze komplexe Zahlenebene fort.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Die Riemannsche Zetafunktion
Die unendliche Reihe
ζ(s)
=
∞
X
1
ns
n=1
=
1+
1
1
1
+ s + s + ...
s
2
3
4
konvergiert für alle komlpexen Zahlen s = x + yi mit Realteil
x > 1.
Zudem setzt sich die Funktion ζ(s), mit Ausnahme eines Pols
bei s = 1, eindeutig auf die ganze komplexe Zahlenebene fort.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Der kritische Streifen
Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganze
Zahlenebene gelingt mit Hilfe der
Funktionalgleichung
30 i
kritischer Streifen
20 i
10 i
reelle Achse
Pol
−4
−3
−2
−1
1
−10 i
−20 i
imaginäre Achse
Λ(s) := π −s/2 Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).
30 i
kritischer Streifen
20 i
10 i
reelle Achse
Pol
−4
−3
−2
−1
1
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
−10 i
−20 i
imaginäre Achse
30 i
...
kritischer Streifen
20 i
0.5 + i (21.02...)
0.5 + i (14.13...)
10 i
nicht−triviale
Nullstellen
reelle Achse
Pol
−4
−3
−2
−1
1
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
−10 i
Von besonderem Interesse sind die Nullstellen
von Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialen
Nullstellen von ζ(s) und liegen alle in dem
kritischen Streifen S := {x + yi | 0 ≤ x ≤ 1}.
0.5 − i (14.13...)
−20 i
imaginäre Achse
0.5 − i (21.02...)
...
Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogar
auf der Geraden G := {x + yi | x = 1/2}.
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Der kritische Streifen
Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganze
Zahlenebene gelingt mit Hilfe der
Funktionalgleichung
30 i
kritischer Streifen
20 i
10 i
reelle Achse
Pol
−4
−3
−2
−1
1
−10 i
−20 i
imaginäre Achse
Λ(s) := π −s/2 Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).
30 i
kritischer Streifen
20 i
10 i
reelle Achse
Pol
−4
−3
−2
−1
1
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
−10 i
−20 i
imaginäre Achse
30 i
...
kritischer Streifen
20 i
0.5 + i (21.02...)
0.5 + i (14.13...)
10 i
nicht−triviale
Nullstellen
reelle Achse
Pol
−4
−3
−2
−1
1
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
−10 i
Von besonderem Interesse sind die Nullstellen
von Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialen
Nullstellen von ζ(s) und liegen alle in dem
kritischen Streifen S := {x + yi | 0 ≤ x ≤ 1}.
0.5 − i (14.13...)
−20 i
imaginäre Achse
0.5 − i (21.02...)
...
Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogar
auf der Geraden G := {x + yi | x = 1/2}.
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Der kritische Streifen
Die Fortsetzung von ζ(s) auf die ganze
Zahlenebene gelingt mit Hilfe der
Funktionalgleichung
30 i
kritischer Streifen
20 i
10 i
reelle Achse
Pol
−4
−3
−2
−1
1
−10 i
−20 i
imaginäre Achse
Λ(s) := π −s/2 Γ(s/2)ζ(s) = Λ(1 − s).
30 i
kritischer Streifen
20 i
10 i
reelle Achse
Pol
−4
−3
−2
−1
1
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
−10 i
−20 i
imaginäre Achse
30 i
...
kritischer Streifen
20 i
0.5 + i (21.02...)
0.5 + i (14.13...)
10 i
nicht−triviale
Nullstellen
reelle Achse
Pol
−4
−3
−2
−1
1
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
−10 i
Von besonderem Interesse sind die Nullstellen
von Λ(s). Diese entsprechen den nicht-trivialen
Nullstellen von ζ(s) und liegen alle in dem
kritischen Streifen S := {x + yi | 0 ≤ x ≤ 1}.
0.5 − i (14.13...)
−20 i
imaginäre Achse
0.5 − i (21.02...)
...
Alle bekannten Nullstellen von Λ(s) liegen sogar
auf der Geraden G := {x + yi | x = 1/2}.
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Die Chebyshevsche ψ-Funktion
Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahl
π(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch den
Grafik
Integrallogarithmus Li(x) approximiert wird.
Handlicher
P als die Primzahl-Zähl-Funktion
π(x) = p≤x 1 erweist sich die von
Chebyshev eingeführte Variante
X
ψ(x) :=
log(p),
pk ≤x
bei der die Primzahlen mit logarithmischen
Gewichten gezählt werden.
Grob gesprochen ist die Näherung π(x) ≈ Li(x)
äquivalent zu ψ(x) ≈ x.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Die Chebyshevsche ψ-Funktion
Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahl
π(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch den
Grafik
Integrallogarithmus Li(x) approximiert wird.
Handlicher
P als die Primzahl-Zähl-Funktion
π(x) = p≤x 1 erweist sich die von
Chebyshev eingeführte Variante
X
ψ(x) :=
log(p),
pk ≤x
bei der die Primzahlen mit logarithmischen
Gewichten gezählt werden.
Grob gesprochen ist die Näherung π(x) ≈ Li(x)
äquivalent zu ψ(x) ≈ x.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Die Chebyshevsche ψ-Funktion
Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahl
π(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch den
Grafik
Integrallogarithmus Li(x) approximiert wird.
Handlicher
P als die Primzahl-Zähl-Funktion
π(x) = p≤x 1 erweist sich die von
Chebyshev eingeführte Variante
X
ψ(x) :=
log(p),
pk ≤x
bei der die Primzahlen mit logarithmischen
Gewichten gezählt werden.
Grob gesprochen ist die Näherung π(x) ≈ Li(x)
äquivalent zu ψ(x) ≈ x.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Die Chebyshevsche ψ-Funktion
Erinnerung: Wir möchten zeigen, daß für große x die Anzahl
π(x) der Primzahlen kleinergleich x gut durch den
Grafik
Integrallogarithmus Li(x) approximiert wird.
Handlicher
P als die Primzahl-Zähl-Funktion
π(x) = p≤x 1 erweist sich die von
Chebyshev eingeführte Variante
X
ψ(x) :=
log(p),
pk ≤x
bei der die Primzahlen mit logarithmischen
Gewichten gezählt werden.
Grob gesprochen ist die Näherung π(x) ≈ Li(x)
äquivalent zu ψ(x) ≈ x.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Riemanns Formel für die Primzahl-Zähl-Funktion
Die Stufenfunktion ψ(x) läßt sich präzise mit Hilfe der
komplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion
ausdrücken:
X xρ
1
1
ψ· (x) = x − log(2π) −
− log 1 − 2 .
ρ
2
x
ρ
Die nachfolgenden Graphiken zeigen schrittweise die
Approximation der gewichteten Primzahl-Zähl-Funktion ψ(x)
mittels der ersten 300 Nullstellenpaare der Riemannschen
Graphiken
Zetafunktion.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Riemanns Formel für die Primzahl-Zähl-Funktion
Die Stufenfunktion ψ(x) läßt sich präzise mit Hilfe der
komplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion
ausdrücken:
X xρ
1
1
ψ· (x) = x − log(2π) −
− log 1 − 2 .
ρ
2
x
ρ
Die nachfolgenden Graphiken zeigen schrittweise die
Approximation der gewichteten Primzahl-Zähl-Funktion ψ(x)
mittels der ersten 300 Nullstellenpaare der Riemannschen
Graphiken
Zetafunktion.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Riemanns Formel für die Primzahl-Zähl-Funktion
Die Stufenfunktion ψ(x) läßt sich präzise mit Hilfe der
komplexen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion
ausdrücken:
X xρ
1
1
ψ· (x) = x − log(2π) −
− log 1 − 2 .
ρ
2
x
ρ
Die nachfolgenden Graphiken zeigen schrittweise die
Approximation der gewichteten Primzahl-Zähl-Funktion ψ(x)
mittels der ersten 300 Nullstellenpaare der Riemannschen
Graphiken
Zetafunktion.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Schrittweise Approximation von ψ(x)
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Die Riemannsche Vermutung
Riemannsche Vermutung
Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion
liegen auf der Geraden G = {x + yi | x = 1/2}.
Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.
Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung ist
die Aussage:
Äquivalente Form der Riemannschen Vermutung
Es gibt
√ eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr als
C · x log(x) abweicht.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Die Riemannsche Vermutung
Riemannsche Vermutung
Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion
liegen auf der Geraden G = {x + yi | x = 1/2}.
Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.
Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung ist
die Aussage:
Äquivalente Form der Riemannschen Vermutung
Es gibt
√ eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr als
C · x log(x) abweicht.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Die Riemannsche Vermutung
Riemannsche Vermutung
Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion
liegen auf der Geraden G = {x + yi | x = 1/2}.
Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.
Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung ist
die Aussage:
Äquivalente Form der Riemannschen Vermutung
Es gibt
√ eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr als
C · x log(x) abweicht.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Die Riemannsche Vermutung
Riemannsche Vermutung
Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion
liegen auf der Geraden G = {x + yi | x = 1/2}.
Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.
Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung ist
die Aussage:
Äquivalente Form der Riemannschen Vermutung
Es gibt
√ eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr als
C · x log(x) abweicht.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Die Riemannsche Vermutung
Riemannsche Vermutung
Alle nicht-trivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion
liegen auf der Geraden G = {x + yi | x = 1/2}.
Diese Vermutung ist bis heute weder bewiesen noch widerlegt.
Äquivalent zu der Richtigkeit der Riemannschen Vermutung ist
die Aussage:
Äquivalente Form der Riemannschen Vermutung
Es gibt
√ eine Konstante C, so daß π(x) von Li(x) nicht mehr als
C · x log(x) abweicht.
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Die Riemannsche Vermutung
„. . . Man findet nun in der That etwa so viel reelle
Wurzeln innerhalb dieser Grenzen, und es ist sehr
wahrscheinlich, dass alle Wurzeln reell sind. Hiervon
wäre allerdings ein strenger Beweis zu wünschen; ich
habe indess die Aufsuchung desselben nach einigen
flüchtigen vergeblichen Versuchen vorläufig bei Seite
gelassen, da er für den nächsten Zweck meiner
Untersuchung entbehrlich schien. . . . “
Riemann
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Nach Riemann . . .
. . . von Mangoldt . . . Hadamard . . . de la Vallée Poussin
. . . Hardy . . . Littlewood . . . Selberg . . . Montgomery . . .
Ende
Primzahlen
Von Euler zu Riemann
„Eine wundersame Formel“
Ende
Vielen Dank
für Ihre Aufmerksamkeit
und herzlichen Dank an
Tobias Ebel
für die computer-technische Unterstützung
Ende
Anhang mit Bildern und Graphiken
Es gibt unendlich viele Primzahlen
Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe
Anzahl der Primzahlen unter einer gegeben Größe
Euler und die „reelle Zetafunktion“
Euler und die „reelle Zetafunktion“
Die komplexe Zahlenebene
imaginäre Achse
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
−i
Die komplexe Zahlenebene
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
−i
Die komplexe Zahlenebene
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
i
−1
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
w = 1 − 0.5 i
−i
Die komplexe Zahlenebene
imaginäre Achse
z = 2.5 + 2 i
2i
z+w=
i
−1
3.5 + 1.5 i
1
2
3
reelle Achse
w = 1 − 0.5 i
−i
den als Landschaft mit Höhenprofil greifbar.
Von komplexen Funktionen
Georg Friedrich Bernhard Riemann
s = 1, eindeutig auf
Die Riemannsche Zetafunktion
ze komplexe Zahlen
Die Riemannsche Zetafunktion
Der kritische Streifen
30 i
kritischer Streifen
20 i
10 i
reelle Achse
Pol
−4
−3
−2
−1
1
−10 i
−20 i
imaginäre Achse
Der kritische Streifen
30 i
kritischer Streifen
20 i
10 i
reelle Achse
Pol
−4
−3
−2
−1
1
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
−10 i
−20 i
imaginäre Achse
−20 i
imaginäre Achse
Der kritische Streifen
30 i
...
kritischer Streifen
20 i
0.5 + i (21.02...)
0.5 + i (14.13...)
10 i
nicht−triviale
Nullstellen
reelle Achse
Pol
−4
−3
−2
−1
1
triviale Nullstellen für s = −2, −4, −6, ...
−10 i
0.5 − i (14.13...)
−20 i
imaginäre Achse
0.5 − i (21.02...)
...
Der kritische Streifen
Die Chebyshevsche ψ-Funktion