Beispiele zu Homomorphismen und Kongruenzrelationen

Homomorphismen, Kongruenzrelationen
(Hilfe zu Übungsblatt 9)
Homomorphismen
Hilfe zu Aufgabe 9.1 und Selbsttestaufgabe 1
a)
g1 : (R, +) → (R, +) mit g1 (x) = 2 · x + 7 ist kein Homomorphismus.
Beweis.
Homomorphiebedingung: g1 (a + b) = g1 (a) + g1 (b)
Wegen g1 (a + b) = 2(a + b) + 7, g1 (a) + g1 (b) = 2a + 7 + 2b + 7 = 2a + 2b + 14 =
2(a + b) + 14 und 7 6= 14 ist die Homomorphiebedingung nicht erfüllt. Also ist
g1 kein Homomorphismus.
b)
g2 : (R × R, ⊕) → (R, +) mit g2 (x, y) = 3 · x + y ist ein Homomorphismus.
Bemerkung (Vektoraddition): (x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 ) = (x1 + x2 , y1 + y2 )
Beweis.
Homomorphiebedingung: g2 ((x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 )) = g2 (x1 , y1 ) + g2 (x2 , y2 )
Wegen g2 ((x1 , y1 ) ⊕ (x2 , y2 )) = g2 (x1 + x2 , y1 + y2 ) = 3(x1 + x2 ) + (y1 + y2 )
(nach Def. g2 )
= 3x1 + 3x2 + y1 + y2 (Distributivgesetz f. Mult. und Add. bei reellen Zahlen)
= 3x1 + y1 + 3x2 + y2 (Kommutativgesetz f. Add. bei reellen Zahlen)
= g2 (x1 , y1 ) + g2 (x2 , y2 ) (nach Def. g2 )
ist die Homomorphiebedingung erfüllt.
c)
g3 : (N, ·) → (N, +) mit g3 (n) = n ist kein Homomorphismus.
Beweis.
Homomorphiebedingung: g3 (a · b) = g3 (a) + g3 (b)
Wir geben ein Gegenbeispiel an und zeigen dafür, dass die Homomorphiebedingung nicht gilt:
a = 2, b = 3 ⇒ g3 (a · b) = 6 6= 2 + 3 = g3 (a) + g3 (b)
d)
g4 : (N, +) → (N \ {0}, ·) mit g4 (n) = 987654321n ist ein Homomorphismus.
Beweis.
Homomorphiebedingung: g4 (n + m) = g4 (n) · g4 (m)
Wegen g4 (n + m) = 987654321n+m (Def. g4 )
= 987654321n · 987654321m (Potenzgesetz)
= g4 (n) · g4 (m) (Def. g4 )
ist die Homomorphiebedingung erfüllt.
Kongruenzrelationen
Hilfe zu Aufgaben 9.2 und 9.3
a)
R1 := {(A, B) |min(A) = min(B)}, wobei min(X) jeder nichtleeren Menge X
natürlicher Zahlen die kleinste in X vorkommende Zahl zuordnet. min(∅) = 0.
R1 ist eine Kongruenzrelation auf der Algebra (2{2,4,6,8} , ∪).
Beweis.
R1 ist eine Äquivalenzrelation:
· R1 reflexiv:
(A, A) ∈ R1 , weil min(A) = min(A) für jedes A ∈ M
· R1 symmetrisch:
(A, B) ∈ R1 ⇒ min(a) = min(B) ⇒ min(B) = min(A) ⇒ (B, A) ∈ R1
für beliebige A, B ∈ M , also R1 symmetrisch.
· R1 transitiv:
(A, B) ∈ R1 ⇒ min(A) = min(B)
(B, C) ∈ R1 ⇒ min(B) = min(C)
Daraus folgt min(A) = min(C) und damit (A, C) ∈ R1 .
Also R1 transitiv.
R1 ist Kongruenzrelation:
Es seien (A, B) ∈ R1 und (C, D) ∈ R1 , d.h. min(A) = min(B) und min(C) =
min(D).
Zu zeigen: (A ∪ C, B ∪ D) ∈ R1 , d.h. min(A ∪ C) = min(B ∪ D)
min(A ∪ C) = min(min(A), min(C))
min(B ∪ D) = min(min(B), min(D))
Wegen min(A) = min(B) und min(C) = min(D) ist
min(min(A), min(C)) = min(min(B), min(D)).
Also ist min(A ∪ C) = min(B ∪ D)
b)
R2 := {(A, B)|p(A) ≤ p(B)}, wobei p(X) jeder nichtleeren Menge X natürlicher Zahlen das Produkt der Elemente aus X zuordnet.
R2 ist keine Kongruenzrelation auf der Algebra (2{2,4,6,8} , ∪).
Beweis.
R2 ist nicht symmetrisch, daher keine Äquivalenzrelation und so auch keine
Kongruenzrelation.
Beweis durch Angabe eines Gegenbeispiels:
A = {2, 4}, B = {2, 4, 6}
p(A) = 2 · 4 = 8, p(B) = 2 · 4 · 6 = 48
R2 ist nicht symmetrisch, da wegen p(A) ≤ p(B) (A, B) ∈ R2 , aber wegen
p(B) 6≤ p(A) (B, A) 6∈ R2 gilt.