Umdruck 300

Fachhochschule Kiel
Aufgabe Nr. 300
Fachbereich Informatik und Elektrotechnik
Labor für Grundlagen der Elektrotechnik
Magnetisches Feld
Magnetisches Feld
1.
Einführung.......................................................... 1
1.1
Magnetfeld eines geraden Leiters .............. 1
1.2
Magnetische Flussgrößen........................... 2
1.3
Magnetfeld endlicher Leiterstücke............. 3
1.4
Magnetfeld einer quadratischen Spule ....... 4
2. Induktion ............................................................ 6
2.1
Induktionsgesetz......................................... 6
2.2
Transformatorgleichungen ......................... 7
2.3
Spule zur Magnetfeldmessung ................... 9
B
A
Φ
I
Aufgaben
301
Magnetfeldmessungen
Frequenzgang des Induktionsgesetzes
Zeitverlauf induzierter Spannungen
Magnetfeld in einer ebenen quadratischen Spule
Lernziele
-
Umgang mit Magnetfeldern langer gerader Leiter
-
Erfassung elementarer Induktionsvorgänge
-
Anwendung einfacher Magnetfeldsensoren
27.08.2006
EG-Labor
Aufgabe 300 (Magnetisches Feld)
-1-
1. Einführung
Jeder von einem Strom durchflossene elektrische Leiter erzeugt in seiner Umgebung und auch
in seinem Innern ein magnetisches Feld, das sich zum erregenden Strom proportional verhält
und durch seine physikalischen Wirkungen nachzuweisen ist. Die durch Magnetfelder verursachten Kräfte werden z. B. in Motoren genutzt. Bei zeitlich veränderlichen Vorgängen
erschließen sich durch die Induktion von Spannungen in benachbarten Stromkreisen weitere
Anwendungen z. B. als Transformator.
1.1
Magnetfeld eines geraden Leiters
Ein unendlich ausgedehnter gerader Leiter mit kreisförmigem Querschnitt erzeugt in einer zur
Stromrichtung senkrechten Ebene ein magnetisches Feld, das sich in kreisförmigen Feldlinien
schließt. Das Umlaufintegral über die Feldlinien ergibt den eingeschlossenen Strom. Die
Feldrichtung beschreibt eine Rechtsschraube um den verursachenden Strom. Auf der Feldlinie
ist die Feldstärke H aus Symmetriegründen konstant. Daraus folgt, dass der Betrag der
Feldstärke nach einem 1/r-Gesetz mit dem Abstand zum Leiter abnimmt. Im Innern des
Leiters nimmt das magnetische Feld bis zum Rand linear zu, was dem durch Feldlinien im
Innern eingeschlossenen Strom entspricht.
2a
r
dℓ
I
H
I
H(r)
I = ∫ H dl = H ∫ dl = H ⋅ 2 π r
I
2πa
l
0
a
r
l
H außen =
I
2π r
H innen =
I⋅r
2π a 2
A
m
[H ] =
Bild 1: Magnetfeld eines geraden Leiters
I3
I2
I1
ℓ
dℓ
A
dA
Das Umlaufintegral kann eine allgemeine
Form aufweisen und dabei mehrere Leiter
mit verschiedenen Strömen erfassen. In
dieser Weise ergibt das Integral die Summe
der durch die aufgespannte Fläche der
Umlaufkontur hindurch tretenden Ströme
(Durchflutung):
∫ H dl = ∫ J dA = Iein = ∑ Ii
l
A
i
mit der Stromdichte J (oder S)
Bild 2: Durchflutungsgesetz (Gesetz von Ampere)
27.08.2006
EG-Labor
1.2
Aufgabe 300 (Magnetisches Feld)
-2-
Magnetische Flussgrößen
Die magnetische Flussdichte B (Fluss pro Fläche) ist über die Materialgleichung B = µH fest
mit der Feldstärke verknüpft. Als Materialgröße tritt die Permeabilität µ = µ0µr auf, wobei im
weiteren Text nur mit µ0 gearbeitet wird (Medium = Luft). Der magnetische Fluss Φ durch
eine Fläche A ist durch Integration der Flussdichte über diese Fläche berechenbar.
B = μ H , B = μ H = μ 0μ r H
Vs
[B] = 2 = T (Tesla )
m
Vs
Vs
μ 0 = 4π ⋅10 − 7
= 1.257 ⋅10 − 6
Am
Am
B
dA
Magnetische Flussdichte
Magnetische Feldkonstante
dΦ = B ⋅ dA
Teilfluss durch dA
Φ = ∫ B dA
Magnetischer Fluss
A
[Φ] = Vs = Wb (Weber)
Bild 3: Magnetische Flussgrößen
Tritt das Magnetfeld senkrecht durch die Fläche, vereinfacht sich die vektorielle Behandlung
des Ausdrucks zu einem skalaren Problem. Dies vereinfacht z. B. die Berechnung des
magnetischen Flusses durch eine rechteckige Fläche, die in der Nähe eines unendlich langen
geraden Leiters angebracht ist. Die Feldgrößen H und B hängen nur vom Abstand des
Aufpunkts P zum Leiter ab (Koordinate x). Nach Integration der Flussdichte B über die
Rechteckfläche A erhält man den Ausdruck für den magnetischen Fluss Φ, der die Fläche
durchdringt.
B
I
x
P
A
Φ
Φ
I
x=a
b
b
a
a
Φ = ∫ B dA = ∫ μ0 H ⋅ c dx = ∫ μ0
A
I
cμ I b
⋅ c dx = 0 ln
2πx
2π
a
Bild 4: Magnetischer Fluss durch eine Rechteckfläche
27.08.2006
c
B(x)
x=b
EG-Labor
1.3
Aufgabe 300 (Magnetisches Feld)
-3-
Magnetfeld endlicher Leiterstücke
Ist der elektrische Leiter endlich ausgedehnt, muss das Magnetfeld durch Ansatz der Feldwirkung eines einzelnen dünnen Stromelementes ermittelt werden, das sich im Abstand r zum
Punkt P befindet (Formel von Biot-Savart). Das Element führt den Strom I in Richtung des
vektoriellen Längenelements dl . Die Vektoren r und e r (Aufpunktvektor bzw. Einheitsvektor dazu) zeigen vom Stromelement zum Punkt P. Das resultierende Feld eines endlichen
Leiters erhält man durch Integration über alle Stromelemente des Leiters.
P
dH(P)
dH ( P) =
er
r
(
)
(
I
I
dl × e r =
dl × r
2
4π r
4π r 3
)
I , dℓ
Bild 5: Magnetfeld eines Stromelements
Für gerade Leiterstücke ergibt sich ein geschlossen darstellbarer Ausdruck für das magnetische Feld in einem beliebigen Punkt P. Die Richtung des Feldes entspricht wiederum einer
Rechtsschraube um die Leiterachse, auf der Achse selbst verschwindet das Feld bzw.
wechselt das Vorzeichen. Bei kreisförmigen Leitern ist das Feld mit geringem Aufwand nur
noch berechenbar, wenn der Aufpunkt P in der Kreismitte liegt.
α2
ℓ2
ℓ
I
ℓ1
P
x
α1
H
Gerades Leiterstück
I
(cos α1 + cos α 2 )
H (P) =
4π x
Sonderfall mit halbseitiger Unendlichkeit
(ℓ2 → ∞ bzw. α2 = 0)
I
(cos α1 + 1)
H (P) =
4π x
Grenzfall unendlicher gerader Leiter (s. S. 1)
I
H(P) =
2π x
Kreisförmiger Leiter mit der Windungszahl N
I
P
H (P) =
R
H
H
Sonderfälle
N=1
N<1
Bild 6: Magnetfeld endlicher Leiterstücke
27.08.2006
N⋅I
2R
Einfache Schleife
Teilkreis
EG-Labor
1.4
Aufgabe 300 (Magnetisches Feld)
-4-
Magnetfeld einer quadratischen Spule
Eine ebene rechteckige Spule besteht aus vier geraden Leiterstücken; bei einer quadratischen
Spule sind alle Elemente gleich lang. Das Magnetfeld in einem beliebigen Punkt P innerhalb
und außerhalb der Spule lässt sich durch Überlagerung der vier Felder der einzelnen Leiterstücke ermitteln. Zur Vereinfachung soll der Punkt P in der durch die Spule aufgespannten
Ebene liegen.
Im Innern der Spule weisen alle Einzelfelder dieselbe Richtung auf, außerhalb ist die Lage des
Punktes P bezüglich jedes Leiterstücks zu berücksichtigen. In unmittelbarer Nähe zu einem
Leiter der Spule entspricht das Magnetfeld ungefähr dem Feld eines einzelnen geraden
Leiters.
y
d
α3
α4
I
P
α5
α2
B
y
P(x,y)
α6
α1
0
α8
0
α7
x
d
x
Bild 7: Quadratische Spule: Lage des Aufpunkts P und Ansatz zur Feldberechnung
Das magnetische Feld im Punkt P ergibt sich als Überlagerung der Einzelfelder von 4 geraden
Leiterstücken. Mit dem Umformen aller cos-Ausdrücke über Beziehungen von rechtwinkligen
Dreiecken und nach Einsetzen aller Zahlenwerte erhält man das magnetische Feld im Punkt
P(x,y).
H ( x , y) = H 1 + H 2 + H 3 + H 4
I ⎡ cos α1 + cos α 2 cos α 3 + cos α 4 cos α 5 + cos α 6 cos α 7 + cos α 8 ⎤
+
+
+
⎥
4π ⎢⎣
x
d−y
d−x
y
⎦
y
d−y
cos α1 =
, cos α 2 =
, cos α 3 .. cos α 8
x 2 + y2
x 2 + (d − y ) 2
=
Der magnetische Fluss durch eine innerhalb der Spule liegende Fläche muss relativ aufwändig
durch Integration der Felder aller Leiterstücke ermittelt werden, wobei sich durch die
Symmetrie der quadratischen Spule bereits Vereinfachungen ergeben. Um das Problem
unendlicher Feldstärken bei ideal dünnen Leitern zu umgehen, wird ein Abstand zum
elektrischen Leiter in der Rechnung benutzt. Hierdurch lassen sich endliche Leiterquerschnitte
und Isolationsschichten berücksichtigen. Weiterhin wird bei den Induktionsversuchen nur ein
Teil der Innenfläche von einer weiteren quadratischen Spule belegt, wodurch sich ebenso ein
Abstand ergibt. Bei Verwendung mehrerer Windungen in der Spule müssen die Ergebnisse
mit der Windungszahl multipliziert werden; in der vorgestellten Rechnung gilt N = 1.
27.08.2006
EG-Labor
Aufgabe 300 (Magnetisches Feld)
y
d
b
Symmetrische Lage der Innenfläche:
b - d = a bzw.
d-a=b
Φ
Abstand = a zwischen dem Rand der Innenfläche und der Spule
a
0
-5-
0 a
b
d
x
Bild 8: Magnetischer Fluss innerhalb einer quadratischen Spule
Bei der gewählten Anordnung wird weiterhin von einer symmetrischen Lage der quadratischen Innenfläche ausgegangen. Dadurch muss nur einer der Feldausdrücke (H1 .. H4) integriert werden und von diesem auch nur der Term mit cos(α1), da der Winkel α2 gegenläufige
Werte durchläuft. Diese Symmetrien werden durch Faktoren 4 bzw. 2 berücksichtigt. Trotzdem ergeben sich insgesamt acht Terme im Gesamtausdruck:
⎞ ⎤
μ 0 I ⎡ b 2 ⎛⎜ b
y
⎟
⎢
Φ = ∫ B dA = 4 ∫ μ 0 H1 ⋅ dA = 4
∫ x ⎜ ∫ x 2 + y 2 dy ⎟dx ⎥⎥
4
π
⎢
A
A
⎠ ⎦
⎣a ⎝ a
mit
Φ=
y
2
x +y
2
dy = x 2 + y 2
eingesetzt (Bronstein Nr.193)
2 μ0I ⎡b x 2 + b2 − x 2 + a 2 ⎤
dx ⎥
⎢
x
π ⎢ ∫a
⎥⎦
⎣
mit
Φ=
∫
∫
⎛ c + c2 + x 2
c2 + x 2
2
2
dx = c + x − c ln⎜
⎜
x
x
⎝
⎞
⎟ eingesetzt (Bronstein Nr.189)
⎟
⎠
2μ 0 I ⎡
b + 2b 2
b + a 2 + b2
⎢ 2b 2 − b ln
− a 2 + b 2 + b ln
b
a
π ⎢
⎣
a + a 2 + b2
a + 2a 2 ⎤
+ 2a 2 − a ln
⎥
b
a
⎥⎦
Weitere Zusammenfassungen – auch in allgemeiner Form - sind möglich. Sinnvoll ist auch
ein Vergleich mit dem Fluss Φ0, der sich bei einem unendlich langen Leiter mit Abstand a in
derselben Fläche ergeben würde:
μ I b
, Φ = g (a , b ) ⋅ Φ 0
Φ 0 = (b − a ) 0 ln
2π a
2μ I ⎡
2b ⎤
für b >> a : Φ = 0 b ⎢− 1,4672 + ln ⎥
a ⎦
π ⎣
Die Gewichtsfunktion g(a,b) bringt dabei zum Ausdruck, in welchem Maße der magnetische
Fluss der erregenden quadratischen Spule von der des geraden Leiters abweicht. Die
Näherung für b » a ist sinnvoll bei der Berechnung des magnetischen Flusses durch die
gesamte Spule, wenn a = Drahtradius (und b ≈ d) gesetzt wird.
− a 2 + b 2 + a ln
27.08.2006
EG-Labor
Aufgabe 300 (Magnetisches Feld)
-6-
2. Induktion
Das Faraday-Gesetz der elektromagnetischen Induktion liegt einer Vielzahl von technischen
Geräten und Effekten zugrunde. Die Funktion von Generatoren und Transformatoren basiert
auf Induktionsvorgängen ebenso wie Übersprechvorgänge auf Leitungen und EMV-Probleme
in elektrischen Schaltungen. Die technischen Eigenschaften von Transformatoren sind
Gegenstand eines anderen Umdrucks und weiterer Laborversuche.
2.1
Induktionsgesetz
Wird eine geschlossene Leiterschleife von einem konstanten magnetischen Fluss durchströmt,
ergeben sich keine Effekte in der Schleife. Erst bei einer zeitlichen Änderung des Flusses
werden auf die Ladungsträger der Schleife Kräfte ausgeübt, die zu einem Stromfluss in der
Schleife führen. Das hierdurch entstehende magnetische Feld wirkt der erregenden Feldänderung entgegen (Lenzsche Regel). Bleibt die Leiterschleife offen, baut sich durch die
Verlagerung von Ladungsträgern eine elektrische Spannung an den Klemmen der Schleife
auf.
Der magnetische Fluss kann durch eine Leiterschleife erzeugt werden. Dann verursacht eine
Stromänderung i1(t) eine entsprechende Flussänderung Φ1(t). Diese wiederum führt in der
eigenen Schleife zu einer Selbstinduktionsspannung u1(t) und in einer räumlich benachbarten
Schleife mit einem Teil des Flusses (Φ21(t) = Koppelfluss) zu einer Gegeninduktionsspannung
u2(t).
B1
i2 = 0
i1
u2
u1
Φ1
Φ21
Bild 9: Selbst- und Gegeninduktion mit zwei Leiterschleifen
Beide Vorgänge können auch mit der Einführung von Selbst- und Gegeninduktivitäten
beschrieben werden. Es sind Windungszahlen N1 bzw. N2 der beiden Schleifen angeführt. Für
L2 und L21 ergeben sich sinngemäße Formeln mit vertauschten Indizes.
L1 =
N 1Φ 1
I1
L 21 =
N 2 Φ 21
I1
[ L] =
Vs
= H (Henry)
A
Selbstinduktivität
Gegeninduktivität
Die zeitliche Änderung des erregenden magnetischen Flusses durch die Leiterschleife 2 kann
durch folgende Vorgänge erzielt werden:
- Größenänderung der Leiterschleife
- Änderung der räumlichen Lage bzw. Bewegung der Schleife
- Zeitliche Änderung des erregenden magnetischen Felds
Bei mehreren räumlich eng benachbarten Windungen der Schleife vergrößert sich die induzierte Spannung mit der Windungszahl N, da sich die beim Induktionsvorgang wirksame
Fläche entsprechend vergrößert.
27.08.2006
EG-Labor
Aufgabe 300 (Magnetisches Feld)
-7-
Die induzierte Spannung tritt bei zeitlicher Änderung des magnetischen Feldes auf. Die
induzierte Spannung an einer Leiterschleife kann mit Hilfe der Flussänderung ermittelt
werden oder auch unter Angabe der Induktivität über eine Stromänderung.
uL = N
dΦ
di
=L
dt
dt
(Verbraucher-Bezugspfeile, sonst –uL = ..)
Durch Einsetzen der passenden L- oder Φ-Daten für Selbst- und Gegeninduktion ergeben
sich die Spannungen für die Schleifen 1 und 2.
Ist der Zeitverlauf des erregenden magnetischen Flusses bekannt, lassen sich damit auch
Aussagen zu Form und Größe der induzierten Spannung treffen:
- φ(t) ~ sin(ωt)
→ u(t) ~ ω cos(ωt)
- φ(t) ~ Dreieckfunktion
→ u(t) ~ Rechteckfunktion
Bei periodischer Flussänderung wächst die Amplitude der induzierten Spannung proportional
mit der Frequenz.
2.2
Transformatorgleichungen
Im einfachsten Fall kommt es zu einer gegenseitigen Beeinflussung von zwei Leiterschleifen
mit den Selbstinduktivitäten L1 bzw. L2 und der Gegeninduktivität M, die in beiden Richtungen in gleicher Größe wirkt, wenn das umgebende Medium homogen ist. In der Literatur
werden oftmals für die einzelnen Gegeninduktivitäten auch die Größen M12 bzw. M21 benutzt.
Im Gegensatz zum obigen Induktionsgesetz sind in den folgenden Gleichungen die Vorzeichen der induzierten Spannung positiv, da Verbraucher-Bezugspfeile benutzt werden.
di
dΦ1
dΦ12
di
+ N1
= L1 ⋅ 1 + L12 ⋅ 2
dt
dt
dt
dt
dΦ 2
dΦ 21
di 2
di
u 2 (t) = N 2
+ N2
= L2 ⋅
+ L 21 ⋅ 1
dt
dt
dt
dt
u 1 ( t ) = N1
M
I1
U1
L1
U1 = jωL1 I1 + jωM I2
I2
L2
U2
U2 = jωL2 I2 + jωM I1
mit M = L12 = L21
Bild 10: Transformator-Vierpol und -Gleichungen
Durch Bestimmung des magnetischen Flusses mit Hilfe der Geometrie der Leiterschleifen
können die Werte der Induktivitäten ermittelt werden. Bei ineinander verschachtelten quadratischen Leiterschleifen sind die vorhergehend gewonnenen Erkenntnisse der magnetischen
Eigenschaften dieser Schleifen nutzbar. Die Anschlüsse der Leiterschleifen müssen mit verdrillten Leitungen herausgeführt werden, um in den Zuleitungen keine weiteren Flächen zu
schaffen, durch die magnetischer Fluss hindurch treten würde. Dies hätte weitere induzierte
Spannungen und verfälschte Messungen zur Folge. Eventuell vorhandene Restflächen in der
Verdrillung wechseln ständig die Richtung, so dass sich die darin induzierten Kleinspannungen gegenseitig aufheben.
27.08.2006
EG-Labor
Aufgabe 300 (Magnetisches Feld)
-8-
Außen:
Erregende Stromschleife mit u1 und i1
u1
i1
Innen:
Induktionsschleife mit u2
Φ21
u2
Bild 11: Verschachtelte quadratische Leiterschleifen
Im Leerlauf (i2 = 0) und bei Verwendung sinusförmiger Größen vereinfachen sich die
Transformatorgleichungen.
i1 ( t ) = Î ⋅ sin(ωt )
di1
+ R 1 ⋅ i1 ( t ) = ωL1Î ⋅ cos(ωt ) + R 1Î ⋅ sin(ωt ) = Û1 ⋅ sin(ωt − ϕ)
dt
di
u 2 ( t ) = M ⋅ 1 = ωM Î ⋅ cos(ωt ) = Û 2 ⋅ cos(ωt )
dt
⎛ ωL ⎞
ϕ = − arctan⎜⎜ 1 ⎟⎟
⎝ R1 ⎠
u 1 ( t ) = L1 ⋅
Im Labor werden die Spannungen Û1, ÛR1 und Û2 und die Phase ϕ direkt mit dem Oszilloskop
gemessen. Damit sind die Induktivitäten L1 und M und auch alle beteiligten Flussgrößen
bestimmbar. In den Formeln wurde ein Widerstand R1 eingefügt, der in der Messung zugefügt
wird, um die Spannungsquelle nicht mit einer rein induktiven Last zu betreiben und über UR1
eine Strom- und Phasenmessung zu ermöglichen. Die Quelle U0 hat einen festen Innenwiderstand R0.
R0
I1
U0
L1
U1
I2 = 0
M
L2
U2
R1
UR1
Bild 12: Schaltbild der Messanordnung mit Spannungsquelle
27.08.2006
EG-Labor
2.3
Aufgabe 300 (Magnetisches Feld)
-9-
Spule zur Magnetfeldmessung
Eine kleine Spule mit mehreren Windungen N und einem mittleren Durchmesser Dm kann zur
Messung von Magnetfeldern verwendet werden. Hierbei wird unterstellt, dass das Feld
innerhalb der kleinen Spulenfläche konstant ist. Bei örtlich veränderlichem Feld soll die
Annahme gelten, dass mit dieser Anordnung das Feld in der Mitte der Spule erfasst wird.
B = µ0H
Φ
um
Dm
Bild 13: Kleine Spule zur Magnetfeldmessung
Die zeitliche Änderung des magnetischen Flusses in der Spule verursacht eine induzierte
Spannung an deren Klemmen. Über die Fläche A der Spule und die Windungszahl N kann
damit die Feldstärke ermittelt werden. Das negative Vorzeichen von um ergibt sich durch die
Verwendung der Spule als Quelle, wird bei der folgenden Betrachtung von Amplituden der
beteiligten Größen aber nicht berücksichtigt.
− um = N
dΦ
d(A ⋅ B)
dH
=N
= N ⋅ A ⋅ μ0
= N ⋅ A ⋅ μ 0 ⋅ ωĤ cos(ωt )
dt
dt
dt
mit H( t ) = Ĥ sin(ωt ), A = π ⋅ (D m / 2 ) , ω = 2π f
2
2
Û m = N ⋅ π ⋅ (D m / 2) ⋅ μ 0 ⋅ 2π f ⋅ Ĥ
Ûm
Ĥ
= 12 N μ 0 f π 2 D 2m = k m
Effizienz der Spule in
V
A/m
Aus den Daten lässt sich ein Faktor km separieren, der sinngemäß die Effizienz der Wandlung
H → U beschreibt und der in weiteren Rechnungen benutzt werden kann.
Zahlenbeispiel dazu:
N = 10
Dm = 20 mm
f = 1 MHz
µ0 = 4π·10-7 Vs/Am
k m = 5 ⋅ 4π ⋅ 10 −7 ⋅ 10 6 ⋅ π 2 ⋅ 0,02 2 ⋅
Vs 1 2
Vm
mV
⋅ ⋅ m ≈ 20π ⋅ 0,0004
= 25,1
Am s
A
A/m
D. h. bei H = 1 A/m sind ca. 25 mV an induzierter Spannung zu erwarten.
Normierte Kurzform: k m = N ⋅ 0,62
27.08.2006
mV
f
⎛ D ⎞
⋅
⋅⎜
⎟
A / m MHz ⎝ cm ⎠
2