Elektrizität I

Elektrizität I
Skriptum zur Fachvorlesung
Mag. Peter Schnögl
Mag. Harald Wiltsche
Elektrizität III
Elektrizität
Elektrostatische Erscheinungen sind seit dem Altertum bekannt. Bernstein mit einem
Katzenfell gerieben zieht Haare, Wollfasern, Federn, Stroh, ... an. Erscheinung wird von
Plato in seinem Werk Timaios beschrieben.
Der Begriff Elektrizität stammt vom englischen Arzt William Gilbert (1544-1603) und leitet
sich vom griechischen Wort elektron für Bernstein ab.
Heute versteht man unter Elektrizität jene Effekte, die mit elektrischen Ladungen und
Strömen verknüpft sind. James Clerk Maxwell (1831-1879) beschrieb den Zusammenhang
zwischen magnetischen und elektrischen Phänomenen (Elektromagnetismus) bzw.
formulierte die Gesetzmäßigkeiten der Elektrodynamik.
Die Elektrostatik ist jener Teil der Elektrizitätslehre, der sich mit ruhenden elektrischen
Ladungen beschäftigt.
Reibungselektrizität - Elektrische Ladung
Experimente:
1) Ein Glasstab wird an einem Seidentuch gerieben damit eine an einem Faden
hängende Stanniolkugel berührt. Die Kugel wird nach der Berührung abgestoßen.
2) Bringt man in die Nähe der Kugel danach einen mit Fell geriebenen Hartgummioder Plastikstab, so wird die Kugel angezogen.
3) Verwendet man zwei Kugeln und berührt sie mit demselben Stab, so stoßen sie
einander ab.
Auf Grund der Abstoßung der Kugeln kann nicht deren Masse die Ursache der Kräfte sein.
Benjamin Franklin (1706-1790) führte dafür den Begriff der elektrischen Ladung ein. Dabei
wird die Ladung des an der Seide geriebenen Glasstabs willkürlich als "positive Ladung"
festgelegt (mit "positiv" war dabei damals ein "Überschuss" an Elektrizität gemeint). Der am
Fell geriebene Hartgummistab wird als "negativ geladen" bezeichnet.
Die positiv geladene Kugel wird vom negativ geladenen Stab angezogen.
Aus den Experimenten ergibt sich:
Es gibt zwei Formen elektrischer Ladung: positive und negative Ladung. Ungleichnamig
geladene Gegenstände ziehen sich an, gleichnamig geladene Gegenstände stoßen sich ab.
Mag. Peter Schnögl
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Elektrizität III
Materie besteht aus Atomen. Jedes Atom besteht aus einem Kern aus Protonen und
Neutronen sowie aus einer der Protonenzahl entsprechenden Zahl von Elektronen. Atome
sind elektrisch neutral, d.h. die positive Ladung der Protonen gleicht die negative Ladung der
Elektronen aus. Dabei spielt es keine Rolle, dass die Masse eines Protons ca. das 2000fache einer Elektronenmasse entspricht. Beide Teilchen besitzen die gleich große Ladung,
nur mit verschiedenen Vorzeichen.
Die Ladung –e des Elektrons (bzw. +e des Protons) bezeichnet man als Elementarladung e.
Jede elektrische Ladungsmenge ist ein ganzzahliges Vielfaches dieser Elementarladung e
(Quantelung der Ladung). Die SI-Einheit der Ladung ist das Coulomb (C).
e = 1,602 . 10-19 C
Allgemein wird für Ladungen der Buchstabe Q verwendet, d.h. für jede beliebige Ladung Q
gilt:
Q=N.e
N = 1, 2, 3, ...
Bemerkung: Die Einheit der Ladung wird mit Hilfe der Einheit der Stromstärke, Ampere,
definiert. Ein Coulomb ist dabei jene Ladungsmenge, die pro Sekunde bei einer
Stromstärke von einem Ampere durch die Querschnittsfläche eines Drahtes
fließt (das sind ca. 6,24 . 1018 Elektronen pro Sekunde!).
Beispiel:
Abschätzung der Gesamtladung der Elektronen in einem Kupferpfennig:
m=3g, Ordnungszahl Z=29, molare Masse 63,5g/mol.
Anzahl der Atome in der Münze:
N = 3g.
6,02.10 23 mol −1
= 2,84.10 22 Atome
63,5g / mol
Q = 2,84.10 22.29.(−1,6.10 −19 )C = −1,32.10 5 C
Bei der Berührung (Reibung) zweier Isolatoren treten nun dadurch, dass Elektronen bei
verschiedenen Materialien auch verschieden stark gebunden sind, Elektronen von einem
Körper auf den anderen über.
Elektronenüberschuss bedeutet negative Ladung, Elektronenmangel positive Ladung.
Dabei gilt, dass weder Ladung erzeugt noch vernichtet wird (Gesetz von der
Ladungserhaltung). Die Summe der elektrischen Ladungen bleibt auch bei einer
Ladungstrennung immer erhalten.
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Elektrizität III
Leiter, Nichtleiter und Influenz
Elektrische Leiter sind Stoffe, in denen sich ein Teil der Elektronen frei bewegen kann. Das
Fließen der Elektronen wird als elektrischer Strom bezeichnet. Die besten Leiter sind
Metalle, darunter vor allem Silber und Kupfer. Die Leitfähigkeit hängt von der Bindung der
äußeren Elektronen (Valenzelektronen) der einzelnen Atome ab. Durch Wechselwirkung der
benachbarten Atome können sich einige der äußeren Elektronen z.B. der Kupferatome frei
im Metall bewegen ("Elektronenwolke"). Die Anzahl der freien Elektronen ist stoffabhängig
und beträgt bei Metallen ca. ein Elektron pro Atom.
Ein Atom mit fehlendem äußeren Elektron ist positiv geladen und wird als positives Ion
bezeichnet. Nach außen hin ist ein Leiter normalerweise elektrisch neutral.
Leiter werden nicht durch Reibung geladen. Die Zufuhr oder Abgabe von Elektronen erfolgt
durch Kontakt mit geladenen Körpern.
Stoffe, in denen ein Elektronenfluss nur schwer möglich ist, bezeichnet man als Nichtleiter,
Isolatoren oder Dielektrika (wie z.B. Bernstein, Hartgummi, Glas, Quarz, viele Kunststoffe).
spezifischer elektrischer Widerstand ρ (bei 20°C) in Ωm
Kupfer
0,018 . 10-6
Bernstein
> 1016
Silber
0,016 . 10-6
Glas
> 1011
Aluminium
0,028 . 10-6
Quarzglas
5.1016
Eisen
0,10 . 10-6
Plexiglas
1013
Gold
0,022 . 10-6
Holz (trocken)
109 - 1013
Platin
0,107 . 10-6
Papier
1015 - 1016
Um einen Leiter elektrostatisch aufzuladen nutzt man die Verschiebbarkeit freier Elektronen
und den Effekt der Anziehung entgegengesetzter Ladungen.
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Elektrizität III
Aufladen durch Influenz:
a) Zwei sich berührende Metallkugeln werden entgegengesetzt aufgeladen, wenn ein positiv geladener
Plastikstab in die Nähe einer Kugel gebracht wird. Der Stab zieht Elektronen auf die linke Kugel, wodurch sich
die rechte positiv auflädt.
b) Trennt man die Kugeln, bevor man den Stab entfernt, so verbleiben beide mit gleich großen,
entgegengesetzten Ladungen.
c) Entfernt man den Stab und die Kugeln voneinander, so verteilen sich die Ladungen gleichmäßig über die
Kugeloberflächen.
Diese Trennung von Ladungen auf einem zunächst ungeladenen Leiter durch in die Nähe
gebrachte elektrische Ladungen bezeichnet man als Influenz.
d) Die freie Ladung einer leitenden Kugel wird durch die Nähe eines positiv geladenen Stabes polarisiert.
e) Durch Erdung der positiv geladenen rechten Kugelseite fließen Elektronen nach und neutralisieren die
rechte Kugelhälfte.
f)
Wird die Erdung noch vor Entfernen des geladenen Stabes unterbrochen, so verbleibt die Kugel negativ
geladen.
g) Die Ladung verteilt sich nach Entfernen des Stabes gleichmäßig über die Kugeloberfläche.
Geräte zum (qualitativen) Nachweis elektrischer Ladungen bezeichnet man als Elektroskope.
Sie beruhen auf der abstoßenden Wirkung gleichnamiger Ladungen.
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Elektrizität III
Coulombsches Gesetz
Das Coulombsche Gesetz (Charles Augustin Coulomb, 1736-1806) beschreibt jene Kraft F,
die eine Ladung Q1 auf eine zweite Ladung Q2 in einem Abstand r ausübt. Es gilt
F=
1 Q1 ⋅ Q 2
⋅
4πε 0
r2
ε0 ... Dielektrizitätskonstante des Vakuums, Influenzkonstante, elektrische Feldkonstante
ε0 = 8,854 . 10-12 C2 N-1 m-2
Gleichnamige Ladungen stoßen sich ab, ungleichnamige Ladungen ziehen sich an.
Bemerkung:
Bei geladenen Körpern kann die Gravitationskraft im Verhältnis zur
Coulombkraft vernachlässigt werden. Das Verhältnis der Kräfte beträgt z.B. bei
zwei Protonen ca. Fe / Fg ≈ 1,24.1036
Mit Hilfe des Coulombschen Gesetzes lässt sich die Einheit der Ladung
festlegen: 1 Coulomb ist jene Ladungsmenge, die auf eine gleich große Ladung
im Abstand von einem Meter eine Kraft von 8,99 . 109 N ausübt.
(entspricht z.B. ca dem Gewicht eines Granitwürfels mit einer Kantenlänge von
70m !! (Dichte ca. 2,6 – 3,0 kg/dm³)).
Sind mehr als zwei Ladungen vorhanden, so ergibt sich die Gesamtkraft, die auf eine
Probeladung wirkt, als vektorielle Summe der Einzelkräfte zwischen der Probeladung und
den einzelnen Ladungen (Superpositionsprinzip).
Eine Anordnung einer positiven und einer negativen Ladung in einem kleinen Abstand
bezeichnet man als elektrischen Dipol.
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Elektrizität III
Das elektrostatische Feld
1687 führte Isaac Newton die Planetenbewegung auf das Gravitationsgesetz zurück:
F= G⋅
m1 m 2
r2
Zwei Massen üben aufeinander eine Kraft aus ohne sich zu berühren. Eine Masse verändert
den Zustand des sie umgebenden Raumes – sie erzeugt ein Gravitationsfeld.
Mitte des 19. Jhdts findet Michael Faraday für elektrische Ladungen eine ähnliche
Erklärung: Erzeugt man an irgendeiner Stelle eine elektrische Ladung, so wird der sie
umgebende Raum in einen veränderten Zustand versetzt, der durch eine Kraft auf
elektrische Ladungen gekennzeichnet ist. Man nennt diesen Zustand elektrisches Feld und
spricht von elektrischen Feldwirkungen.
Befindet sich innerhalb eines elektrischen Feldes eine Probeladung q0 (damit ist eine Ladung
gemeint die so klein ist, dass sie das zu untersuchende Feld nicht wesentlich beeinflusst),
so wirkt auf diese Ladung eine Coulombkraft
F=
1 Qq 0
4πε 0 r 2
Die elektrische Feldstärke E, elektrische Feldlinien
Die Stärke des elektrischen Feldes wird durch jene Kraft ausgedrückt, die auf eine
punktförmige Probeladung q0 in diesem Feld wirkt:
E=
F
q0
[E] = N
C
E ist eine vektorielle Größe; die Richtung von E stimmt mit der Richtung des Kraftvektors
überein. (E =
1
⋅ F)
q0
Das elektrische Feld wird durch Feldlinien dargestellt. Die Richtung der Feldlinien gibt die
Richtung des Feldstärkevektors an, ihre Dichte ist ein Maß für den Betrag der Feldstärke.
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Elektrizität III
Abb.: elektrische Feldlinien einer einzelnen positiven Punktladung (Tipler)
Abb.: elektrische Feldlinien eines Systems zweier positiver Punktladungen (Tipler)
Für das Zeichnen von Feldlinien gelten folgende Regeln:
•
Elektrische Feldlinien beginnen bei positiven Ladungen und enden bei negativen
Ladungen oder im Unendlichen.
•
In elektrostatischen Feldern gibt es keine gschlossenen Feldlinien.
•
Um eine einzelne Punktladung herum sind die Feldlinien kugelsymmetrisch verteilt.
•
Die Anzahl der Feldlinien, die von einer positiven Punktladung ausgehen oder auf einer
negativen enden, ist proportional zur Größe der Ladung.
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Elektrizität III
•
An jedem Punkt des Raumes ist die Liniendichte proportional zur Stärke des Feldes an
diesem Punkt.
•
In großer Entfernung wirkt ein System von Ladungen wie eine einzige Punktladung,
deren Größe der Gesamtladung des Systems entspricht.
•
Feldlinien schneiden sich nicht.
Abb.: elektrische Feldlinien eines elektrischen Dipols (Tipler)
Abb.: "Spitzenwirkung" ... hohe Feldstärke an der Spitze geladener Körper (Kraker-Pail 3)
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Elektrizität III
Abb.: homogenes elektrisches Feld zwischen zwei geladenen Platten
(Plattenkondensator) (Kraker-Pail 3)
Grundgleichung der Elektrostatik (Gauß´sches Gesetz)
Bei der grafischen Darstellung eines elektrostatischen Feldes ist die Dichte der Feldlinien ein
Maß für die Feldstärke. Das Produkt aus der Feldstärke E und dem Flächeninhalt A eines
Flächenstücks (normal zu den Feldlinien) liefert eine weitere physikalische Größe, den
elektrischen Fluss Φ durch diese Fläche.
Abb. aus Tipler, Physik
Φ = EA
Mag. Peter Schnögl
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Elektrizität III
Beispiel:
elektrischer Fluss durch eine Kugeloberfläche, der von einer Punktladung Q im
Mittelpunkt der Kugel erzeugt wird.
E=
F 1 1 Qq
Q
=
=
2
q q 4πε 0 r
4πε 0 r 2
Φ = AE = 4π r 2
Q
4πε 0 r
2
=
Q
ε0
(Der Abstand r kommt in der Formel nicht mehr vor, d.h. das elektrische Feld
ausserhalb einer geladenen Kugel entspricht dem einer Punktladung im Mittelpunkt
der Kugel)
Gauß'sches Gesetz:
Der Gesamtfluss durch eine beliebige geschlossene Fläche beträgt Φ =
Q
ε0
Das Gauß'sche Gesetz kann zur Berechnung des elektrischen Feldes symmetrischer
Ladungsverteilungen verwendet werden.
Das elektrische Potential – Potentialdifferenz
Abb.: a) Die Arbeit, die das
Gravitationsfeld an einer Masse
leistet, verringert die
Lageenergie der Masse.
b) Die Arbeit, die das elektrische
Feld an einer positiven Ladung
+q verrichtet, verringert die
elektrostatische potentielle
Energie (Abb. aus Tipler,
Physik)
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Elektrizität III
Wird eine Probeladung q0 in einem elektrischen Feld E um dl verschoben, so gilt für die
Änderung der elektrostatischen potentiellen Energie
dE pot = − F ⋅ dl = − q0 E ⋅ dl
Bewegt man eine Ladung vom Anfangspunkt a zum Endpunkt b , ändert sich die
elektrostatische potentielle Energie um
b
b
a
a
∆E pot = E pot ,b − E pot ,a = ∫ dE pot = − ∫ q0 E ⋅ dl
Die Änderung der potentiellen Energie pro Ladungseinheit heißt Potentialdifferenz dϕ :
dϕ =
dE pot
q0
= − E ⋅ dl
Für eine endliche Verschiebung einer Ladung q0 von einem Punkt a zu einem Punkt b in
einem elektrischen Feld erhält man somit
∆ϕ = ϕ b − ϕ a =
∆E pot
q0
b
= − ∫ E ⋅ dl
a
Die Potentialdifferenz entspricht der durch ein elektrisches Feld an einer positiven
Probeladung verrichteten Arbeit pro Ladungseinheit, wenn die Probeladung von a nach b
bewegt wird (Potentialdifferenz und Arbeit haben entgegengesetzte Vorzeichen).
Die Potentialdifferenz, die zwischen zwei Punkten eines elektrischen Feldes herrscht, wird
als elektrische Spannung U bezeichnet. [U] = 1 Volt = 1 V
(daher auch die in manchen Büchern vereinfachte Definition der Spannung in der Form U = W )
q
Eine Potentialdifferenz bewirkt Ladungsbewegungen. Positive Ladungen werden von Stellen
höheren zu solchen geringeren Potentials transportiert.
Mag. Peter Schnögl
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Elektrizität III
Abb.: elektrische Feldlinien zeigen in Richtung abnehmenden Potentials. Eine
positive Ladung wird in Richtung der Feldlinien beschleunigt. (Tipler, Physik)
Wie bei der potentiellen mechanischen Energie sind nur Potentialänderungen von
Bedeutung. Das elektrische Potential wird als Null angenommen, wenn die beiden
Punktladungen unendlich weit voneinander entfernt sind. Auf dieser Festlegung beruht auch
die Definition des elektrischen Potentials ϕ:
Jedem Punkt P eines elektrischen Feldes wird dabei jene Energie (Arbeit) zugeordnet, die
notwendig ist, um eine positive Probeladung aus dem Unendlichen an diesen Punkt zu
bringen:
Abb.: Probeladung wird aus dem Unendlichen zum Punkt P bewegt (Tipler)
r
∞
∞
∞
r
r
ϕ = W = ∆E pot = − ∫ q0 Edl = q0 ∫ Edr = q0 ∫
q
1 qq0
dr =
2
4πε 0 r
4πε 0 r
1
Lässt man andererseits die positive Probeladung im Punkt P los, so wird sie im elektrischen
Feld nach aussen beschleunigt, die potentielle Energie in Bewegungsenergie umgewandelt.
Mag. Peter Schnögl
Seite 13
Elektrizität III
Elektrische Spannung
Die Arbeit, die zum Verschieben einer Ladungsmenge von 1 C von einem Punkt A ( das ist
z. B. der eine Pol der Batterie) zu einem anderen Punkt B ( das ist z. B. der andere Pol der
Batterie) notwendig ist, heißt elektrische Spannung zwischen den beiden Punkten A und B.
U . . . . elektrische Spannung
U=
W
Q
Q . . . . Ladung
W . . . . Arbeit
Die Einheit der elektrischen Spannung U heißt Volt V.
Die Spannung entspricht somit auch der Potentialdifferenz der beiden Punkte A und B.
(Potential: Spannung zwischen einem geladenen Körper und der Erde.)
Spannungsquelle 1: Ein Galvanisches Element wandelt chemische Energie um.
Abb. 0.1: Im Bleiakkumulator wandern aufgrund
der chemischen Reaktionen der Platten mit der
Schwefelsäure negative Ionen von der
Bleidioxidplatte (PbO2) zur Bleiplatte (Pb). Die
frei werdende Energie ist dabei größer als die
Arbeit, die zum Verschieben der Ionen vom
positiven zum negativen Pol aufgewendet werden muss.
Spannungsquelle 2: Ein Generator wandelt mechanische Energie um.
Abb. 0.2: Im Magnetfeld des Generators wird
eine Spule mit (vielen) Drahtwicklungen gedreht.
Dabei werden die Elektronen im Draht
verschoben (Lorentzkraft). Zwischen den
Drahtenden der Spule kann eine Spannung
abgegriffen werden, die von der Bauart des
Generators und von der Rotationsgeschwindigkeit der Spule abhängt.
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Seite 14
Elektrizität III
Spannungsquelle 3: Eine Solarzelle wandelt Lichtenergie um.
Abb. 0.3: In der Grenzschicht zwischen zwei
verschieden aufgebauten (dotierten)
Halbleiterkristallen entstehen bei Lichteinfall
freie Elektronen, die zur inneren
Halbleiterschicht verschoben werden (ndotierter Halbleiter). Eine Solarzelle stellt eine
Spannung von etwa 0,6 V zur Verfügung.
Spannungsquelle 4: Ein Piezokristall wandelt mechanische Energie um.
Abb. 0.4: Bei der Deformation bestimmter
Materialien (z. B. Quarz, Turmalin, Bariumtitanat)
entsteht zwischen den beiden Enden des
Kristalls eine Spannung, die von der Stärke der
Deformation abhängt.
Spannungsquelle 5: Ein Thermoelement wandelt Wärmeenergie um.
Abb. 0.5: Aufgrund der thermischen Bewegung
treten mehr Elektronen aus dem Metall mit der
kleineren Ablösearbeit in das Metall mit der
größeren Ablösearbeit über. Haben die beiden
Lötstellen verschiedene Temperatur, so treten
bei ihnen verschieden viele Elektronen über. Die
Folge ist ein Spannungsunterschied zwischen
den beiden Lötstellen.
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Elektrizität III
Äquipotentialflächen
Bei einer punktförmigen Ladung besitzen alle Punkte im Abstand r gleiches Potential.
Allgemein bezeichnet man eine von Punkten des gleichen Potentials gebildete Fläche als
Äquipotentialfläche. Um eine Ladung auf einer Äquipotentialfläche zu verschieben ist keine
Arbeit aufzuwenden.
Das elektrische Feld der Erde
Das elektrische Feld der Erde nehmen wir nur bei Gewittern wahr. Es ist aber stets
vorhanden und reicht bis in eine Höhe von ca. 60 km, der Untergrenze der Ionosphäre. Das
Feld ist lotrecht nach unten gerichtet; die Erde negativ geladen. Die Feldstärke
(Spannungsdifferenz pro Meter) ist stark wetterabhängig und beträgt in Bodennähe bei
Schönwetter ca. 130 V/m, bei Gewittern bis zu ca. 450 000 V/m (als Mittelwert findet sich in
der Literatur häufig ca. 200 N/C = 200 V/m).
Auch wenn Luft ein guter Isolator ist, fließen ständig Ionen zur Erde. Die kosmische
Strahlung ionisert Luftmoleküle, die positiven Ionen werden im elektrischen Feld zur Erde
getrieben. Dadurch fließt ständig ein Strom von ca. 2000 A von der Ionosphäre zum
Erdboden. Die negative Ladung der Erde wäre in ca. einer Viertelstunde neutralisiert, wenn
nicht (vor allem tropische) Gewitter negative Ladung zur Erde und positive in die
Atmosphäre transportieren würden (ca. 1000 Gewitter weltweit pro Tag, wobei ein Blitz eine
Ladung von 1 – 10 C transportiert).
Die Entstehung von Gewittern
*)
Benjamin Franklin stellte schon 1752 fest, dass die Unterseite einer Gewitterwolke meist negativ geladen
ist. Die detaillierten Vorgänge, die zur Aufladung von Wolken führen, besonders die Erscheinungen der
»Reibungselektrizität« von Eiskörnern und Wassertropfen, sind auch heute noch nicht restlos geklärt.
Die Gewitterwolke funktioniert wie ein riesiger Bandgenerator (Van de Graaff-Generator, S. 52).
Mechanische Energie der heftigen Aufwinde wird teilweise in elektrische Energie umgewandelt. Die
Entstehung von Gewitterwolken beginnt, wenn feuchte, warme Luft aus bodennahen Schichten
aufsteigt. Dabei kühlt sie ab. Durch die gleichzeitige Kondensation der Luftfeuchtigkeit zu kleinen
Tröpfchen wird Kondensationswärme frei, weshalb das aufsteigende Luftpaket wärmer (und weniger
dicht) ist als die Luft in der jeweiligen Umgebung. Die warme Luft steigt bis in eine Höhe von 10-15
km.
Mag. Peter Schnögl
Seite 16
Elektrizität III
Die elektrische Ladung ist in einer voll entwickelten
Gewitterwolke in drei Bereiche getrennt: Positiv
geladen ist der Oberteil der Wolke, der sich bis in eine
Höhe von etwa 12 km ans Ende der Troposphäre, dem
Bereich des Wettergeschehens in der Atmosphäre,
erstreckt. Die Temperatur in dieser Höhe beträgt etwa 60 °C. Die negative Ladung ist in einer nur wenige
hundert Meter dicken Schicht in etwa 6 km Höhe (bei 15 °C) konzentriert. Darunter befindet sich eine weitere,
nur schwach ausgeprägte Zone positiver Ladung in rund
2 km Höhe. An Ober- und Unterseite der negativen
Schicht treten die höchsten Feldstärken auf.
Derzeit am plausibelsten erscheint die folgende
Erklärung der Ladungstrennung in der Wolke, die von
Laborexperimenten gestützt wird. Eiskristalle und
unterkühlte Wassertröpfchen werden durch den Aufwind
in den Oberteil der Wolke getragen. Eiskristalle
wachsen zu millimetergroßen Eiskörnchen, den
Graupelkörnern, die von der Luft nicht mehr höher
getragen werden und gegen den Aufwind zu fallen
beginnen. Dabei kollidieren sie mit Eiskristallen,
wodurch Ladung übertragen wird: Unterhalb etwa -15
°C geben Eiskristalle negative Ladung an die
Graupelkörner ab und werden dadurch positiv. Sind die
Eiskristalle wärmer, nehmen sie negative Ladung auf,
wodurch die Graupelkörner nach der Kollision positiv
geladen sind.
Im Oberteil der Wolke bilden die Eiskristalle einen sich über mehrere 1000 m Höhe erstreckenden diffusen
Bereich positiver Ladung. In der -l 5 °C-Zone der Atmosphäre werden die negativ geladenen Graupelkörner
von den Eiskristallen entladen, die sich dadurch negativ aufladen und eine relativ dünne, stark negative
Schicht bilden. Im weiteren Fallen laden sich die Graupelkörner positiv auf und bilden einerseits den schwach
positiven unteren Rand der Wolke, andererseits können sie als positiv geladener Regenschauer zur Erde
fallen.
An der Erdoberfläche wird das elektrische Feld hauptsächlich durch die negative Ladungszone der Wolke
bestimmt. Unterhalb der Wolke wird die negative Ladung der Erdoberfläche verdrängt, sodass sich dort
positive Ladung aufbaut. Daher können wir im folgenden von der untersten positiven Wolkenzone
absehen. Das vereinfachte System Gewitterwolke-Erdoberfläche verhält sich wie ein riesiger
Doppelkondensator, dessen äußere Platten (Wolkenobergrenze, Erdoberfläche) positiv geladen sind,
während die mittlere Platte (Wolkenuntergrenze) eine negative Ladung trägt.
Übersteigt die elektrische Feldstärke lokal 106 V/m beginnt die Blitzentladung. Sie wird von einem
Vorblitz eingeleitet, der sich vom unteren Rand der negativen Zone zur Erdoberfläche vorschiebt.
Elektronen ionisieren die Luft und bilden schrittweise kurze (ca. 50 m lange) Stücke des Blitzkanals.
Wenn der Kanal Bodennähe erreicht, setzt der Hauptblitz ein. Unter dem Einfluss der hohen Feldstärke
unter dem Blitzkanal setzt an der Erdoberfläche eine Spitzenentladung ein, durch die positive Ionen
über den Blitzkanal zur Wolke fließen. Die negative Ladung der Wolke wird durch das Abfließen von
Elektronen im Vorblitz und die Zufuhr positiver Ionen im Hauptblitz verringert, die negative Ladung
der Erde wird dadurch vergrößert.
Der Hauptblitz verursacht das Leuchten und Donnern. Die im elektrischen Feld beschleunigten
positiven Ladungen ionisieren durch Stöße andere Luftmoleküle und führen zu einer lawinenartigen
Vermehrung der positiven Ionen. Die Luft verwandelt sich dadurch in ein Plasma, welches durch den
Stromfluss erhitzt wird, hell zu leuchten beginnt und schließlich zum elektrischen Lichtbogen wird.
Die schlagartige Ausdehnung der erhitzten Luft führt zum Knall. Die Häufigkeit der Blitzüberschläge ist
innerhalb der Wolke wesentlich höher (90%) als zwischen Wolke und Erde.
*)
Mag. Peter Schnögl
aus Sexl-Kühnelt-Pflug-Stadler, Physik 3
Seite 17
Elektrizität III
Was sind Kugelblitze?
SOLVEIG SPIHOLA. ULM:
WELTWEIT wurden Kugelblitze in
den letzten 300 Jahren nur rund 2000
Mal gesichtet, Fotos existieren nur
zwei oder drei. Doch ihre Existenz
wird nicht mehr bezweifelt. Dennoch
ist ihre Erforschung schwierig, weil
man ausschließlich auf
Zeugenaussagen angewiesen ist.
Axel Wlttmann von der Universitätssternwarte Göttingen hat daraus
eine Art »Profil« entwickelt:
Kugelblitze sind demnach meist
kugelförmig, haben in 60 Prozent der
Fälle einen Durchmesser von zehn bis
dreißig Zentimetern und bewegen sich
mit einer Geschwindigkeit von zwei
bis drei Meter pro Sekunde - nicht
schneller als ein Jogger. Gesichtet
werden sie meist bei Gewitter. 60
Prozent der Gebilde strahlen rötlich
oder gelblich, 30 Prozent weiß, und
zehn Prozent leuchten grünlich bis
bläulich. Meist sind sie so hell wie
eine 100-Watt-Glühbirne. Der
Kugelblitz kann Wände und
Glasscheiben durchqueren, ohne
Schaden anzurichten. Er wird meist
nur zwei biszehn Sekunden alt. Da
ein Kugelblitz das Wasser in einer
Regentonne zum Kochen gebracht
ein anderer schwarze Flecken in den
Asphalt geschmolzen hat, schätzen
Wissenschaftler seine Leistung auf
etwa 360 kW.
Unfälle verursacht das Phänomen
nur selten. Einer Frau rollte die
glühende Kugel über die Füße; im
Streifflug versengte ein Kugelblitz
Schürze und Strümpfe einer anderen
Frau. Beide blieben weitgehend
unversehrt Wer dagegen einem
normalen Gewitterblitz auf zehn
Zentimeter nahe kommt, verliert das
Bewusstsein oder stirbt. Man
unterscheidet zwei Arten von
Kugelblitzen: Der »aufgesetzte Kugelblitz«, der auf Hochspannungsleitungen, Weidezäunen und anderen
Drähten »sitzt«, leuchtet meist
bläulich und ist stark energiegeladen
und gefährlich. Eine Berührung kann
zu Verbrennungen und Lähmungen
führen. Der »harmlose« Kugelblitz ist
meist rot oder gelb und hat wenig
Energie. In einem Flug von New York
nach Washington schwebte ein
Feuerball den Gang des Flugzeugs
entlang und explodierte vor den
Toiletten. Das größte Rätsel bleibt für
die Wissenschaftler die Energie, die
im Kugelblitz bis zu zehn Sekunden
stabil bleiben kann. Eine der anerkanntesten Theorien hält den Kugelblitz für eine Zusammenballung
heißer ionisierter Luft, in der Physik
Plasma genannt, in einem
Magnetfeld. Die Energie, durch die
ein solches Plasma entstehen kann,
liefert zum Beispiel ein ganz normaler
Blitz: Er heizt die Moleküle der Luft
auf und wirft sie durcheinander,
sodass sie ionisieren. (Siehe auch
P.M. Perspektive »Wunder der
Natur«.)
(aus P.M. November 2001)
Mag. Peter Schnögl
Seite 18
Elektrizität III
Die Energieeinheit Elektronenvolt
Wird ein geladenes Teilchen im elektrischen Feld bewegt, so verrichtet das Feld Arbeit am
Teilchen. Es gilt W = q . U
Beispiel:
Ein Elektron (q = e = 1,6 . 10-19 As, me = 9,11 . 10-31 kg) durchläuft eine
Potentialdifferenz von 1 V.
a) wie groß ist die kinetische Energie des Teilchens?
b) wie hoch ist die Geschwindigkeit des Elektrons?
W = e .U = 1, 602.10−19 As .1V = 1, 602.10−19 J
1 2
mv
2
2.1, 602.10−19 J
2
v =
9,11.10−31 kg
m
v = 593.105
s
1, 602.10−19 J =
Die Bewegungsenergie, die ein Elektron beim Durchlaufen einer Potentialdifferenz von
einem Volt erlangt, heißt Elektronenvolt (1 eV). 1 eV = 1,602 . 10-19 J.
Ladungsverteilung bei Leitern
Überträgt man auf einen Leiter eine negative Ladung, so stoßen sich die Elektronen soweit
wie möglich voneinander ab Æ sie werden an die Leiteroberfläche getrieben, bis das Innere
des Körpers ladungsfrei ist.
Zwischen verschiedenen Punkten der Leiteroberfläche besteht keine elektrische Spannung.
Die Oberfläche eines Leiters ist eine Äquipotentialfläche.
Die Feldvektoren stehen senkrecht auf die Leiteroberfläche. Stünde einer der Feldvektoren
nicht normal zur Leiteroberfläche könnte er in eine Normalkomponente En und eine parallele
Komponente Ep zerlegt werden. Die parallele Komponente würde eine Verschiebung der
Ladungen an der Oberfläche hervorrufen die so lange andauern würde, bis Ep gleich Null
wird.
Mag. Peter Schnögl
Seite 19
Elektrizität III
Das Innere eines geladenen Körpers im stationären Zustand ist feldfrei. Wäre dies nicht der
Fall, könnte eine Ladung so von einem Punkt A zu einem Punkt B bewegt werden, dass ein
Arbeitsgewinn möglich wäre. Entlang der Oberfläche könnte die Ladung dann ohne Arbeit an
den Punkt A zurückgebracht werden (Äquipotentialfläche). Æ Perpetuum Mobile und
Widerspruch zum Energieerhaltungssatz.
Im elektrostatischen Feld befinden sich überschüssige Ladungen stets auf der
Leiteroberfläche.
Das Innere eines Leiters in einem elektrostatischen Feld ist feldfrei.
Die Feldlinien eines elektrostatischen Feldes verlaufen senkrecht zur Leiteroberfläche. Sie
entstehen und münden in den Ladungen auf der Oberfläche.
Abb.: Leitende Platte im elektrischen Feld E0. Durch Influenz erfolgt
Ladungstrennung in der Platte bis das elektrische Feld innerhalb der Platte
Null wird. Die elektr. Feldlinien enden auf der linken Seite und beginnen
erneut auf der rechten Seite der Platte. (Tipler, Physik)
Faraday - Käfig
Darunter versteht man eine allseitig geschlossene
Umhüllung aus Metall oder einem Metallgeflecht. Die
Metallhülle bildet eine Äquipotentialfläche, das Innere
des Käfigs ist feldfrei.
Anwendung: Abschirmung empfindlicher
Messinstrumente gegenüber elektrischen Feldern.
Handy- und Radioempfang in Stahlbetonbauten und im
Abb. aus Kraker-Paill, Physik 3
Mag. Peter Schnögl
Auto
Seite 20
Elektrizität III
Blitzableiter
Abb.: schematische Darstellung eines
Blitzableiters (Kraker-Paill)
(Erfinder Benjamin Franklin). Leitende
Verbindung aller Metallaußenteile eines Hauses
(Blechdach, Dachrinnen, ...) über Leitungen an
den Außenwänden mit der Erde
(Fundamenterder).
Durch die extrem hohe Feldstärke an den
Abb.: Faraday-Käfig, Hochspannungslabor
Deutsches Museum in München
Spitzen des Blitzableiters (Spitzenwirkung)
treten Ladungen vorwiegend an diesen Stellen
aus und bilden einen "Blitzkanal" oder führen
durch Austreten von Ladungen zu einem lokalen Abbau der Feldstärke und somit im
günstigen Fall zu einer Vermeidung des Einschlags. Bei einem Blitzeinschlag wird der hohe
Strom möglichst zerstörungsfrei über die durch die Ableitungen definierten Wege zur Erde
geleitet.
Spitzenwirkung
Auf der Oberfläche von Leitern, die sich auf
gleichem Potential befinden, ist die
Flächenladungsdichte und damit die elektrische
Feldstärke bei gekrümmten Flächen indirekt
Abb.: Spitzenwirkung (Svoboda/Trieb,
Physik 2)
Mag. Peter Schnögl
proportional zum Krümmungsradius R ( E ~
1
)
R
Seite 21
Elektrizität III
Ab einer gewissen Spannung kommt es dabei zu einer Spitzenentladung.
Anwendung: Elektrofilter (elektrostatische Abgasreinigung), elektrostatische Aufladung beim
Fotokopierer, elektrostatische Lackieranlagen, Blitzableiter, ...
Abb.: Experiment zur Spitzenentladung (Kraker-Paill, Physik 3)
Abb.: schematische Darstellung einer elektrostatischen Luftreinigungsanlage
(Kraker-Paill, Physik 3)
Mag. Peter Schnögl
Seite 22
Elektrizität III
Kondensator – elektrostatische Energie
Kondensatoren sind Vorrichtungen zur Speicherung elektrischer Ladung und Energie.
Erste Bauformen: Leyden, Holland (im 18. Jhdt.) Glasflasche, die mit Goldfolie umwickelt war
(Æ Leydener Flasche). Benjamin Franklin: mit Metallfolie beschichtete Glasplatten.
Der Plattenkondensator
Er besteht aus zwei großen, parallel zueinander angeordneten leitfähigen Platten.
Abb.: Plattenkondensator, Tipler, Physik
Legt man an die Platten eine Spannung, so fließen so lange Ladungen auf die Platten, bis
die Potentialdifferenz zwischen den Platten gleich der angelegten Spannung ist.
Die gespeicherte Ladung ist der angelegten Spannung proportional:
Q~U
Der Proportionalitätsfaktor ist die Kapazität C des Kondensators.
Q = C ⋅U
C=
Q
U
[C ] = 1 F =1 Farad
Die Kapazität eines Kondensators ist ein Maß dafür, wieviel Ladung bei vorgegebener
Spannung im Kondensator gespeichert wird.
Die Einheit Farad ist nach Michael Faraday benannt. 1 F ist eine sehr große Einheit.
Typischerweise liegt die Kapazität von Kondensatoren im Bereich von pF bis µF.
Aus der Definition der Spannung und dem Gauß'schen Gesetz erhält man für die Kapazität
eines Plattenkondensators folgende Formel:
Mag. Peter Schnögl
Seite 23
Elektrizität III
Q = ε 0 .Φ = ε 0 . A.E
U = E.d
Q ε . A.E ε 0 . A
=
C= = 0
U
E.d
d
A... Fläche einer Platte
d ... Abstand der Platten
ε0 ... elektrische Feldkonstante
d.h. hohe Kapazitäten erreicht man mit möglichst großen Plattenflächen in geringem
Abstand.
Kondensator mit Dielektrikum
Bringt man einen Isolator (Dielektrikum) zwischen die Platten eines Kondensators, so sinkt
die Spannung zwischen den Platten, der Isolator schwächt das elektrische Feld im
Kondensator. Da die Ladung auf den Platten dabei unverändert bleibt, erhöht sich durch
Einbringen des Dielektrikums die Kapazität des Kondensators.
Die relative Dielektrizitätszahl εr gibt dabei an, um wieviel sich die Kapazität mit dem
Dielektrikum gegenüber jener im Vakuum erhöht hat.
Die Abschwächung des elektrischen Feldes durch ein Dielektrikum ergibt sich durch die
Bildung molekularer Dipole. Die Ladungsschwerpunkte in den Molekülen werden durch das
äußere Feld verschoben, die Moleküle werden polarisiert. Während sich im Inneren des
Dielektrikums die entgegengesetzten Ladungen untereinander aufheben, bilden sich
gebundene Oberflächenladungen die ein Feld erzeugen, das dem äußeren Feld entgegen
gerichtet ist und dieses daher schwächt.
Abb.: Polarisierung eines Dielektrikums im Feld eines Kondensators. (Tipler)
Mag. Peter Schnögl
Seite 24
Elektrizität III
Ist C0 die Kapazität ohne Dielektrikum, so gilt für die Kapazität mit Dielektrikum
C = ε r ⋅ C0 =
ε rε 0 A
d
Relative Dielektrizitätszahlen:
εr
Stoff
Glas
5 – 16
Gummi
Keramische Stoffe
2,5 – 3,5
1000 – 8000
Paraffin
2,0 – 2,3
Quarz
3,8 – 4,7
Wasser (bei 0°C)
Luft
88
1,0006
Vakuum
1
Bauformen von Kondensatoren
Kondensatoren befinden sich in fast jedem elektrischen und elektronischen Gerät. Je nach
Verwendungszweck gibt es verschiedene Ausführungen und Bauweisen von Kondensatoren.
Die geläufigsten sind:
Drehkondensator
Vor allem in der Nachrichtentechnik (in alten Radios!). Er besteht aus Plattensätzen, die sich
durch Verdrehen in veränderbarem Maß überdecken lassen. Damit kann die Kapazität des
Kondensators stufenlos verändert werden.
Keramikkondensator
Er besteht aus Keramikschichten, auf welche Metallbeläge aufgedampft sind.
Keramikkondensatoren sind besonders durchschlagsfest.
Wickelkondensator
Besteht aus zwei aufgewickelten Metallfolien, die durch eine Kunststoff- oder Papierfolie als
Dielektrikum getrennt sind.
Mag. Peter Schnögl
Seite 25
Elektrizität III
Elektrolytkondensator
Besteht aus einer Papierschicht, die mit einem Elektrolyten getränkt ist. Das Dielektrikum ist
eine extrem dünne Oxidschicht auf einem Metallstreifen, der zweiten "Kondensatorplatte".
Elektrolytkondensatoren (Elkos) besitzen hohe Kapazitäten und werden unter anderem in
Netzteilen (z.B. in hochwertigen Audiogeräten) verwendet.
Schaltung von Kondensatoren
Parallelschaltung von Kondensatoren
Bei dieser Zusammenschaltung addieren sich die Flächen und somit die Kapazitäten.
Die Gesamtkapazität ergibt sich aus der Summe der Einzelkapazitäten: C =
∑C
i
i
Serienschaltung von Kondensatoren
Auf Grund der Influenzwirkung sind die Ladungen auf der rechten Seite des Kondensators
mit der Kapazität C1 und auf der linken Seite des Kondensators mit der Kapazität C2
betragsgleich. Die beiden Kondensatoren haben also die selbe Ladung. Für die
Potentialdifferenzen U1 und U2 ergeben sich daher U1 =
Gesamtspannung U: U =
Mag. Peter Schnögl
Q
Q
, U2 =
und für die
C1
C2
Q
Q Q
1
1
= U1 +U 2 = +
= Q⋅( + )
C
C1 C2
C1 C2
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Elektrizität III
Daraus folgt für die Kapazität C der parallel geschalteten Kondensatoren:
1 1
1
= +
C C1 C2
Beispiel:
Berechnen Sie die Gesamtkapazität der Kondensatoren C1=2µF, C2=3µF, C3=4µF
(Lösung: C=5,2µF)
Elektrische Energie des Kondensators
Einen Kondensator zu laden bedeutet, eine Potentialdifferenz zwischen den Platten zu
erzeugen bzw. eine bestehende Differenz zu vergrößern.
´
Abb. aus Tipler, Physik
Zum Aufladen um eine kleine Ladung dq muss die Arbeit dW=dq.U aufgebracht werden. Um
diesen Betrag erhöht sich die potentielle Energie des Kondensators.
dW = U dq =
q
dq
C
Der Gesamtbetrag an potentieller Energie W ergibt sich dann als Integral vom Anfang bis
zum Ende des Ladevorgangs (d.h. von q=0 bis q=Q).
Q
q
1 Q2 1
1
dq =
= QU = CU 2
C
2 C 2
2
0
W = ∫ dW = ∫
Mag. Peter Schnögl
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Elektrizität III
Elektrische Stromstärke
Bewegen sich elektrische Ladungen (Elektronen, Protonen, Ionen, ...), so sprechen wir von
einem elektrischen Strom. Fließen in jeder Sekunde gleich viele Ladungen in gleicher
Richtung durch einen elektrischen Leiter, so sprechen wir von Gleichstrom (direct current,
abgekürzt D.C.). In diesem Fall ist die durch den Leiter fließende Ladungsmenge Q zur
verstrichenen Zeit t direkt proportional. Der Proportionalitätsfaktor ist die elektrische
Stromstärke I:
I . . . . . elektrische Stromstärke
I=
∆Q
∆t
∆Q . . . Ladungsmenge die fließt
∆t . . . . verstrichene Zeit
Die Einheit der elektrischen Stromstärke I heißt Ampere A (Basiseinheit im SI).
Definitionsgemäß gilt somit:
1A =
1C
1s
Beispiel 1: Stromfluss in einem metallischen Leiter
Metallatome gehen eine Metallbindung ein. Dabei geben die einzelnen Metallatome alle
Valenzelektronen (Elektronen der äußersten Schale) ab und werden hierdurch zu positiven
Ionen. Diese Ionen bilden ein Raumgitter. Der elektrische Strom (Elektronenstrom) in einem
metallischen Leiter besteht nun in der gerichteten Bewegung der freien Elektronen des
Leiterwerkstoffes. Durch die Ladungsbewegung tritt keine stoffliche Veränderung ein. Die
Elektronengeschwindigkeit beträgt ca. 3mm/s, der Anstoßimpuls pflanzt sich annähernd mit
Lichtgeschwindigkeit c ≈ 300 000 km/s fort.
Abb. 0.6: Schematischer Aufbau eines metallischen Leiters
Mag. Peter Schnögl
Seite 28
Elektrizität III
Beispiel 2: Ladung einer Autobatterie
Die Ladungsmenge einer Autobatterie wird in Ah angegeben (z.B.: 60 Ah). Diese
Autobatterie enthält somit 216 000 C oder 1024 Elementarladungen.
Arbeit und Energie des Stromes
Die von der Spannung beschleunigten Elektronen treffen bei ihrer Bewegung durch den
Leiter nach einer kurzen „freien Wegstrecke“ wieder auf Gitteratome des Metalls und geben
dabei einen Teil ihrer kinetischen Energie wieder ab. Dadurch wird die thermische Bewegung
der Gitteratome heftiger, der Leiter wird erwärmt (Joulesche Wärme).
W = U * ∆Q
∆Q = I * ∆t
(Spannungsdefinition)
(Stromdefinition)
W . . . . Stromarbeit
W=U*I*t
U . . . . elektrische Spannung
I . . . . elektrische Stromstärke
T . . . . Dauer des Stromflusses
Die Einheit der elektrischen Stromarbeit U heißt Joule J. (vgl. mechanische Arbeit)
Da die Einheit Joule eine sehr kleine Arbeits- und Energieeinheit darstellt, verwendet man
meistens die Einheit kWh (1kWh = 3 600 000 J).
Leistung des Stromes
Da man die Leistung aus
P=
∆W
berechnet, ergibt sich für die Leistung des Stromes:
∆t
P . . . . Stromleistung
P=U*I
U . . . . elektrische Spannung
I . . . . elektrische Stromstärke
Mag. Peter Schnögl
Seite 29
Elektrizität III
Die Einheit der elektrischen Stromleistung P heißt Watt W (vgl. mechanische Leistung).
Abb. 0.7: Typenschild eines E-Motors
Beispiel 1: Ein Tauchsieder wandelt elektrische Energie vollständig in Wärme um. In
welcher Zeit erwärmt ein Tauchsieder mit 500W Leistung 1kg Wasser (cp=4187J/kg/°C) von
15°C auf 100°C ?
Das Ohmsche Gesetz
Die Elektronen werden bei ihrer Wanderung durch den Leiter durch Stöße gegen die
Gitteratome ständig abgebremst. Diese Behinderung wirkt der Bewegung der Elektronen
entgegen. Daher tritt bei jeder Spannung eine ganz bestimmte Stromstärke auf:
Die Stromstärke I in einem Leiter mit konstanter Temperatur ist der
Spannung U zwischen den Leiterenden direkt proportional. Die Kennlinien
haben konstante Steigungen und sind Geraden.
Den Proportionalitätsfaktor R nennt man ohmscher Widerstand.
Den Proportionalitätsfaktor 1/R nennt man Leitwert.
I=
U
R
,
U = R*I
U . . . . elektrische Spannung
I . . . . elektrische Stromstärke
Die Einheit des elektrischen Widerstandes heißt Ohm Ω.
Mag. Peter Schnögl
Seite 30
Elektrizität III
U/V
10
R=200Ω
8
6
R=50Ω
4
2
0
0,00
0,04
0,08
0,12
0,16
0,20
I/A
Abb. 0.8: UI-Kennlinie zweier Widerstandsdrähte
Es gibt auch nicht-ohmsche Widerstände:
Ein Widerstand heißt ohmscher Widerstand, wenn
dU/dI = konstant, d.h. wenn die Steigung der
Kennlinie konstant ist. Metalle und
Elektrolytlösungen sind für weite Strombereiche
ohmsche Widerstände bzw. ohmsche Leiter.
Nicht-ohmsche Widerstände sind z.B.
Halbleiter, Gasentladungsröhren und
Abb. 0.9: Kennlinien nicht-ohmscher
Widerstände
Vakuumdioden. Der Zusammenhang zwischen I
und U ist nicht linear, die Kennlinie ist keine
Gerade.
Serienschaltung
Bei hintereinander geschalteten Widerständen kann nirgends ein Elektron verlorengehen
oder ein Elektron neu hinzukommen. Daher ist die elektrische Stromstärke I1, I2 und I3 durch
alle drei Widerstände gIeich der Gesamtstromstärke I.
Die Gesamtspannung U wird längs der Serienschaltung der Widerstände in einzelne
Teilspannungen U1, U2 und U3 an den einzelnen Widerständen aufgeteilt (Spannungsteiler).
Mag. Peter Schnögl
Seite 31
Elektrizität III
Abb. 0.9: Ströme in einer Serienschaltung
Abb. 0.10: Spannungen in einer Serienschaltung
Für eine Serienschaltung von Widerständen gilt somit der Maschensatz (2. Kirchhoffsche
Regel):
I = I1 = I 2 = I3
U = U1 + U2 + U3
I . . . . Stromstärken
U . . . . Spannungen
R = R1 + R2 + R3
R . . . . Widerstände
Der Gesamtwiderstand einer Serienschaltung ist größer als jeder Einzelwiderstand.
Mag. Peter Schnögl
Seite 32
Elektrizität III
Parallelschaltung
Zwischen zwei Stromverzweigungspunkten liegt die Gesamtspannung U. Da alle
Teilwiderstände mit beiden Enden ebenfalls an den beiden Stromverzweigungspunkten
anliegen, herrscht an allen Widerständen die gleiche Spannung.
Im Verzweigungspunkt können keine Elektronen verloren gehen. Daher ist die Zahl der pro
Sekunde zufließenden Elektronen gleich der Zahl der abfließenden Elektronen. Der
Gesamtstrom I teilt sich im Verzweigungspunkt in die Teilströme I1, I2 und I3 auf. Die
Teilströme verhalten sich umgekehrt proportional zum Verhältnis der Widerstände.
Abb. 0.11: Ströme in einer Parallelschaltung
Für eine Parallelschaltung von Widerständen gilt somit der Knotensatz (1. Kirchhoffsche
Regel):
I = I1 + I 2 + I3
U = U1 = U2 = U3
1
1
1
1
=
+
+
R R1 R 2 R 3
I . . . . Stromstärken
U . . . . Spannungen
R . . . . Widerstände
Der Gesamtwiderstand einer Serienschaltung ist kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.
Mag. Peter Schnögl
Seite 33
Elektrizität III
Gemischte Schaltung
Eine Schaltung, die sich aus Parallel- und Reihenschaltungen zusammensetzt, be- zeichnet
man als gemischte Schaltung oder Gruppenschaltung.
Beispiel 1:
Errechnen Sie den Gesamtwiderstand Rges der Schaltung, alle Teilströme I1, I2 und I3 und
auch alle Teilspannungen U1, U2 und U3 der angegebenen Schaltung.
Enthält eine Reihenschaltung eine
Parallelschaltung, dann wird
zuerst die Parallelschaltung
berechnet.
Abbildung 0.12: Erweiterte Serienschaltung
R1 = 5Ω , R2 = 20Ω (Parallelschaltung)
=> R1,2 = 4Ω
R3 = 10Ω , R1,2 = 4Ω (Serienschaltung)
=> Rges = 14Ω
Uges = 7V , Rges = 14Ω (Ohmsches Gesetz)
=> Iges = 0,5A
Iges = 0,5A , R3 = 10Ω (Ohmsches Gesetz)
=> U3 = 5V
U3 = 5V , Uges = 7V (Serienschaltung)
=> U1,2 = 2V
U1,2 = 2V (Parallelschaltung)
=> U1 = U2 = 2V
Iges = 0,5A (Serienschaltung)
=> I3 = 0,5A
U1 = 2V , R1 = 5Ω (Ohmsches Gesetz)
=> I1 = 0,4A
U2 = 2V , R2 = 20Ω (Ohmsches Gesetz)
=> I2 = 0,1A
Damit sind alle Spannungs- und Stromwerte berechnet, die Schaltung ist vollständig
aufgelöst.
Mag. Peter Schnögl
Seite 34
Elektrizität III
Beispiel 2:
Errechnen Sie den Gesamtwiderstand Rges der Schaltung, alle Teilströme I1, I2 und I3 und
auch alle Teilspannungen U1, U2 und U3 der angegebenen Schaltung.
Enthält eine Parallelschaltung eine
Reihenschaltung, dann wird zuerst
die Reihenschaltung berechnet.
Abbildung 0.13: Erweiterte Parallelschaltung
R1 = 20Ω , R2 = 40Ω (Serienschaltung)
=> R1,2 = 60Ω
R3 = 120Ω , R1,2 = 60Ω (Parallelschaltung)
=> Rges = 40Ω
Uges = 12V , Rges = 40Ω (Ohmsches Gesetz)
=> Iges = 0,3A
Uges = 12V (Parallelschaltung)
=> U3 = U1,2 = 12V
U3 = 12V , R3 = 120Ω (Ohmsches Gesetz)
=> I3 = 0,1A
U1,2 = 12V , R1,2 = 60Ω (Ohmsches Gesetz)
=> I1,2 = 0,2A
I1,2 = 0,2A (Serienschaltung)
=> I1 = I2 = 0,2A
I1 = 0,2A , R1 = 20Ω (Ohmsches Gesetz)
=> U1 = 4V
I2 = 0,2A , R2 = 40Ω (Ohmsches Gesetz)
=> U2 = 8V
Damit sind alle Spannungs- und Stromwerte berechnet, die Schaltung ist vollständig
aufgelöst.
Beispiel 3:
Vier Widerstände mit der Größe von je 100Ω sind in der Form eines Quadrates miteinander
verdrahtet. Berechne den Gesamtwiderstand, alle auftretenden Teilspannungen und
Teilströme, wenn die Spannung U=9V diagonal angelegt wird!
Lösung: Rges = 100Ω , Iges = 0,09A ; an jedem
Widerstand liegt die gleiche Spannung von 4,5V an ;
durch jeden Widerstand fließt die gleiche Stromstärke
von 0,045A.
Abbildung: Schaltung zu Beispiel 3
Mag. Peter Schnögl
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