(1.13) DEF: Sei T ⊆ ZZ eine nichtleere Teilmenge. a) Eine ganze

Chr.Nelius: Zahlentheorie (WS 2006/07)
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(1.13) DEF: Sei T ⊆ ZZ eine nichtleere Teilmenge.
a)
1)
b)
1)
Eine ganze Zahl g heißt größtes Element von T , wenn gilt:
g ∈ T und 2) t ≤ g für alle t ∈ T .
Bezeichnung: g =: max(T ).
Eine ganze Zahl k heißt kleinstes Element von T , wenn gilt:
k ∈ T und 2) k ≤ t für alle t ∈ T .
Bezeichnung: k =: min(T ).
(1.14) SATZ: a) IN besitzt ein kleinstes Element aber kein größtes Element.
b) ZZ besitzt weder ein kleinstes noch ein größtes Element.
(1.15) BEM: Indirekter Beweis
Es soll mit einem indirekten Beweis oder auch Beweis durch Widerspruch bewiesen werden,
daß aus einer Aussage A die Aussage B folgt (in Zeichen: A =⇒ B) , d.h. A ist die Voraussetzung
und B die Behauptung.
Dazu machen wir die Annahme , daß die Behauptung B nicht gilt, und leiten aus dieser Annahme
unter Verwendung der Voraussetzung A einen Widerspruch her. Dies bedeutet dann, daß die
Annahme falsch sein muß , die Behauptung also richtig ist.
(1.16) SATZ:
Element.
Jede nichtleere endliche Teilmenge von ZZ besitzt ein kleinstes und ein gröißtes
(1.17) BEM: Beweis durch vollständige Induktion
n0 ∈ IN0 sei eine feste Zahl, und es sei A(n) eine Aussage in Abhängigkeit von n ∈ IN0 . Kann man
dann beweisen:
i) A(n0 ) ist richtig,
ii)
Aus der Richtigkeit von A(n) für eine beliebige, aber feste
natürliche Zahl n ≥ n0 folgt die Richtigkeit von A(n + 1),
so ist A(n) für alle natürlichen Zahlen n ≥ n0 richtig.
Bezeichnungen: Ein Induktionsbeweis besteht immer aus 2 Beweis–Teilen:
1) dem Induktionsanfang (IA)
hier wird bewiesen, daß die Behauptung für n = n0 richtig ist
2) dem Induktionsschluß (IS) oder dem “Schluß von n auf n + 1“:
hier wird unter der Induktionsvoraussetzung (IV), daß die Behauptung für eine beliebige (aber
feste) natürliche Zahl n ≥ n0 richtig ist, die Induktionsbehauptung (IB) bewiesen, daß dann die
Behauptung auch für n + 1 richtig ist.
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Grundlage für diese Beweismethode ist das sog. Induktionsprinzip aus den Peano–Axiomen für die
natürlichen Zahlen (Giuseppe Peano, 1858–1932):
Die PEANO–Axiome für die natürlichen Zahlen (1889):
P1 )
0 ist eine natürliche Zahl
P2 )
Jede natürliche Zahl n besitzt eine natürliche Zahl n0 als
Nachfolger
P3 )
0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl
P4 )
Haben zwei natürliche Zahlen denselben Nachfolger, so sind
sie gleich
P5 )
Induktionsprinzip
Eine Menge T natürlicher Zahlen, die 0 enthält und mit jeder
Zahl auch deren Nachfolger, enthält alle natürlichen Zahlen.
Unter den Voraussetzungen i) und ii) aus (1.17) läßt sich zeigen, daß die Menge
T := { n | n ∈ IN0 , n ≥ n0 , A(n) ist richtig } ⊆ IN0
auf Grund von P5 ) gleich der Menge aller natürlichen Zahlen ≥ n0 ist, d.h. A(n) ist dann für alle
n ∈ IN0 , n ≥ n0 richtig.
Das Induktionsprinzip steht in engem Zusammenhang mit der sog. Wohlordung der natürlichen
Zahlen:
(1.18) SATZ: Die geordnete Menge (IN0 , ≤) ist wohlgeordnet, d.h. jede nichtleere Teilmenge
von IN0 besitzt ein kleinstes Element.
Man kann die Wohlordnung von (IN0 , ≤) mit Hilfe des Induktionsprinzips P5 ) beweisen und umgekehrt
aus der Wohlordnung von (IN0 , ≤) das Induktionsprinzip folgern.
(1.19) DEF: Sei x ∈ IR. Dann heißt
bxc := max{a|a ∈ ZZ , a ≤ x}
floor von x und
dxe := min{a|a ∈ ZZ , x ≤ a}
ceiling von x .
(1.20) SATZ: Für alle x ∈ IR gilt:
a) bxc ≤ x < bxc + 1
b) dxe − 1 < x ≤ dxe .
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(1.21) SATZ: Division mit Rest
Zu jeder ganzen Zahl a ∈ ZZ und jeder natürlichen Zahl n ≥ 1 gibt es (eindeutig bestimmte) ganze
Zahlen q und r mit folgenden Eigenschaften:
a = qn + r
und 0 ≤ r < n .
Dabei heißt q der Quotient bei Division von a durch n und r der Rest bei Division von a
durch n.
Bezeichnungen:
q =: qn (a) , r =: rn (a)
a = qn (a) · n + rn (a)
Bew: Man setzt q := b na c und
r := a − qn .