V - Friedrich-Alexander-Universität Erlangen

Algorithmik 1
Prof. Dr. Michael Philippsen
Friedrich-Alexander-Universität
Erlangen-Nürnberg
Informatik 2 • Programmiersysteme
Martensstraße 3 • 91058 Erlangen
Organisatorisches
Klausuranmeldung
I&K-Studenten müssen sich zu den Klausuren Mathematik I,
Einführung in I&K, Algorithmik I und Digitaltechnik anmelden.
Nachfrist: MITTWOCH 28.1. also MORGEN!
Lehramt: bis 13.2., natürlich gerne auch früher!
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-2
M. Philippsen
Kapitel 17 - Graphalgorithmen
17.1
17.2
17.3
17.4
17.5
17.6
17.7
17.8
17.9
Graph-Grundlagen
Darstellung von Graphen im Rechner
Euler-Pfad
Graph-Traversierung
Topologische Sortierung
Kürzeste Pfade
Minimaler Spannbaum
Transitive Hülle
Matching
Handy aus!
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-3
M. Philippsen
17.1 Graph-Grundlagen
Ein gerichteter Graph ist ein Paar G=(V,E), wobei
V eine endliche Menge von Knoten („vertex“) und
E eine zweistellige Relation auf V ist, d.h. E V V.
Die Elemente von E werden (gerichtete) Kante („edge“) genannt.
reflexive Kante, Schlinge
Übliche graphische Darstellung:
Beispiel:
v2
V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}
v7
v1
E={(v1,v2),
(v2,v3), (v2,v6), (v2,v7),
v6
(v5,v3), (v5,v7),
v4
v3
(v6,v5),
v5
(v7,v6), (v7,v7)}
Knoten
(gerichtete) Kante
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
M. Philippsen
17.1 Graph-Grundlagen
Ein ungerichteter Graph ist ein Graph G=(V,E) für den gilt:
für alle vi,vj V: (vi,vj) E
(vj,vi) E.
E ist symmetrisch.
In der graphischen Darstellung gehört zu jedem Pfeil ein Pfeil in die
Gegenrichtung. Statt Pfeilen zeichnet man daher spitzenlose Linien.
In der Mengenschreibweise schreibt man [vi,vj] für beide Paare.
Beispiel:
Übliche graphische Darstellung:
V={v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7}
E={[v1,v2],
[v2,v3], [v2,v6], [v2,v7],
[v5,v3], [v5,v7],
[v6,v5],
[v7,v6], [v7,v7]}
v2
v1
v3
v7
v6
v4
v5
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17.1 Graph-Grundlagen
Ein Pfad (Weg, Kantenzug) von x nach y ist eine endliche Folge von
Knoten x=a0, a1, …, ap=y wobei (ai, ai+1) E.
p ist Anzahl der Kanten im Pfad und heißt Länge des Pfades
Der Pfad verbindet x und y,
y ist von x aus erreichbar.
In einem einfachen Pfad kommt jeder Knoten höchstens einmal vor.
Beachte: In unserer
Graph-Definition kann es
keine "parallelen Kanten
(mit gleicher Richtung)"
zwischen zwei Knoten
geben. Sonst „Multigraph“
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17.1 Graph-Grundlagen
Pfade im ungerichteten Graph:
vier (einfache) Pfade von v1 nach v5
v1
v5
Pfade im gerichteten Graph:
zwei (einfache) Pfade von v1 nach v5
v1
v5
„nicht gegen die Pfeilrichtung“
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17.1 Graph-Grundlagen
Ein Pfad der Länge p 1 von x nach x heißt Zyklus (von x nach x).
Ein Zyklus von x nach x heißt minimaler Zyklus (von x nach x), wenn
außer x kein anderer Knoten mehr als einmal vorkommt.
v7
v6
v5
Zyklen:
• v5, v7, v6, v5
ist minimal
• v5, v7, v7, v7, v6, v5
ist nicht minimal
• v7, v7 ist minimal
• Gibt es mehr minimale
Zyklen?
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17.1 Graph-Grundlagen
Ein Graph G=(V,E) heißt (stark) zusammenhängend (oder stark
verbunden), wenn es für alle x,y V einen Pfad von x nach y gibt.
Jeder Knoten ist von jedem anderen Knoten aus erreichbar.
ungerichteter Beispielgraph:
gerichteter Beispielgraph:
X
X
Graph ist nur ohne diesen
Knoten zusammenhängend
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
X
X
X
X
Diese Knoten sind nicht von
jedem anderen Knoten aus
erreichbar.
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17.1 Graph-Grundlagen
Ein gerichteter Graph heißt schwach zusammenhängend, wenn der
zugehörige ungerichtete Graph (der durch Hinzunahme aller
Rückwärtskanten entsteht) zusammenhängend ist.
Im gerichteten Graph gibt es
keinen Pfad zu diesem Knoten
gerichteter Beispielgraph
(nicht stark zusammenhängend)
zugehöriger ungerichteter Graph
ist zusammenhängend:
Der gerichtete Graph ist daher
schwach zusammenhängend.
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17.1 Graph-Grundlagen
Ein stark zusammenhängender ungerichteter Graph heißt Baum,
wenn es keine Schlingen gibt und wenn es zwischen je zwei
verschiedenen Knoten genau einen einfachen Pfad gibt.
Weglassen von Kanten kann Bäume erzeugen:
Ein Knoten, zu dem
nur eine Kante
führt, heißt Blatt.
…
Später folgt: Definition vom Bäumen in gerichteten Graphen.
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17.1 Graph-Grundlagen
Ein Graph G'=(V',E') ist ein Teilgraph (Untergraph) eines Graphen
G=(V,E) genau dann, wenn V' V und E' E.
Ein Teilgraph muss
diese Kante nicht
enthalten, wohl
aber ein induzierter
Teilgraph.
Ein Graph G'=(V',E') ist ein induzierter Teilgraph eines Graphen
G = (V,E) gdw V' V und E' = { (u,v) ∈ E | u,v ∈ V' }
Wähle einige Knoten aus G aus; es „überleben“ in E'
alle Kanten, die diese ausgewählte Knoten verbinden
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M. Philippsen
17.1 Graph-Grundlagen
Sind G ein Graph und R ein zyklenfreier Teilgraph von G, der alle
Knoten von G enthält, und sind G und R beide zusammenhängend,
dann heißt R Spannbaum (aufspannender Baum) von G.
Einige Spannbäume:
…
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-13
M. Philippsen
17.1 Graph-Grundlagen
Eine Familie Gi=(Vi,Ei) mit i ∈ {1,…,n} von Teilgraphen heißt
Partitionierung eines Graphen G = (V,E) gdw
1. jeder Graph Gi zusammenhängend ist und
2. ∀i,j ∈ {1,…,n}, i≠j Vi ∩Vj = ∅
3. Ui=1...n Vi = V
Jeder Graph Gi wird Komponente von G genannt.
Partitionierung in 3 Komponenten
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-14
M. Philippsen
17.1 Graph-Grundlagen
Eine Zusammenhangskomponente Z eines Graphen ist ein
zusammenhängender Teilgraph von G, der in keinem anderen
zusammenhängenden Teilgraph von G enthalten ist. Z ist also ein
maximaler zusammenhängender Teilgraph von G.
Folgender Graph hat zwei Zusammenhangskomponenten:
Jeder Graph kann in eindeutiger Weise in die Menge seiner
Zusammenhangskomponenten partitioniert werden.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-15
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17.1 Graph-Grundlagen
Ist (x,y) E, so heißen
x direkter Vorgänger (bei gerichteten Graphen auch: Elternknoten) von y
y direkter Nachfolger (bei gerichteten Graphen auch: Kind) von x.
Man schreibt x → y
Die Kante (x,y) heißt inzident zu x (bzw. zu y).
Falls ein Pfad von x nach z führt, so heißen
x Vorgänger (bei gerichteten Graphen auch: Vorfahr) von z
z Nachfolger (bei gerichteten Graphen auch: Nachkomme) von x.
Man schreibt x →* y
A
B
C
E
D
F
A ist Vorfahr von allen anderen Knoten
C und D sind Kinder von B
B und E sind Eltern von D
F ist Nachkomme von A und von E
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17.1 Graph-Grundlagen
Die Anzahl der direkten Vorgänger eines Knotens heißt
Eingangsgrad des Knotens. Die Anzahl der direkten Nachfolger eines
Knotens heißt Ausgangsgrad des Knotens. Bei ungerichteten
Graphen spricht man vom Grad des Knoten.
ungerichteter Beispielgraph:
4
1
2
3
gerichteter Beispielgraph:
1/3
0/1
3/2
0
3
3
Grad
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2/1
2/0
1/2
Eingangs-/Ausgangsgrad
Knoten mit Grad 0/* heißen Quelle,
Knoten mit Grad */0 heißen Senke.
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17.1 Graph-Grundlagen
Ein stark zusammenhängender ungerichteter Graph heißt Baum,
wenn es keine Schlingen gibt und wenn es zwischen je zwei
verschiedenen Knoten genau einen einfachen Pfad gibt.
Bei gerichteten Graphen sind mehr Begriffe nötig:
Gerichteter azyklischer Graph (DAG, „directed acyclic graph“):
Gerichteter Graph ohne Zyklen.
Ein Knoten v eines DAG heißt Wurzel, falls es keine auf ihn gerichteten
Kanten gibt. Hat ein DAG nur eine Wurzel, so heißt er Wurzelgraph.
Wurzelgraph:
DAG:
Wurzel
X
Wurzel
nur zyklenfrei, wenn X entfernt ist.
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Wurzel
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17.1 Graph-Grundlagen
Bei gerichteten Graphen ist ein Baum ein Wurzelgraph, in dem zu
jedem Knoten genau ein (eindeutiger) Pfad von der Wurzel aus führt.
Baum:
Wurzel
X
X
Es gibt noch andere
Möglichkeiten, um durch
Entfernen von Kanten
aus dem Graph ein
Baum zu machen.
Ein DAG mit mehreren Wurzeln, aber eindeutigen Pfaden, heißt
Wald.
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17.1 Graph-Grundlagen
Aus dieser Baum-Definition folgt:
Es gibt (auch bei gerichteten Graphen) keinen Zyklus.
Die Wurzel ist der einzige Knoten ohne direkten Vorgänger.
Jeder andere Knoten hat genau einen direkten Vorgänger, er kann aber
beliebig viele direkte Nachfolger haben.
Abweichend zu ungerichteten Graphen definiert man:
Der Grad eines Knotens ist die Anzahl der Nachfolger eines Knotens.
(Es werden als nur die Ausgangskanten berücksichtigt.)
Der Grad des Baums ist der maximale Grad seiner Knoten.
Ein Knoten mit Grad 0, also ohne Nachfolger, heißt Blatt.
Alle anderen Knoten heißen innere Knoten des Baums.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
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17.1 Graph-Grundlagen
Weitere Baum-Begriffe (1)
Binärbaum = Baum mit Grad 2
Jeder Knoten hat maximal 2 Nachfolger.
Man spricht vom rechten/linken Kind (Nachfolger, Sohn).
Wenn bei der graphischen Darstellung von Bäumen klar ist, welcher
Knoten die Wurzel ist (und welche Bedeutung die Kante zwischen
Elternknoten und Kinderknoten hat), kann man auf die Pfeilspitzen
verzichten.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
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17.1 Graph-Grundlagen
Weitere Baum-Begriffe (2)
Der Unterbaum eines Knotens v im Baum sind v und alle
nachfolgenden Knoten plus die verbindenden Kanten.
Unterbäume sind wieder Bäume.
Triviale Bäume: leerer Graph; kantenloser Graph mit nur einem
Knoten.
Die Länge des Pfades von der Wurzel zu einem Knoten k bestimmt
die Höhe von k im Baum.
Die Wurzel hat die Höhe 0.
Die Höhe aller direkten Nachfolger eines Knotens v ist um 1 größer als
die Höhe von v.
Bei binären Suchbäum andere Höhen-Definition: Blätter
haben die Höhe 0, Höhe eines Knotens = Länge des
längsten Pfades zu einem Blatt.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
M. Philippsen
17.1 Graph-Grundlagen
Am Beispiel:
1:2
0:1
Wurzel
innerer Knoten
2:0
2:1
4:0
Blatt
3:1
n:m = Höhe:Grad
Blatt
Unterbaum dieses Knotens:
0:1
2:0
Grad des Baums: 2
1:1
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
M. Philippsen
17.1 Graph-Grundlagen
Beispiele:
Ausdrucksbaum
„Kantorowitsch-Baum“ 5 * (7-3)
Cecilia
Claude
*
7
Elisabeth
Mary
Georg VI
George V
-
5
Abstammungsbaum
3
Victoria
Loius
Alice
Olga
Georg I
Andrew
Elisabeth II
Charles
Philip
ist Kind von
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M. Philippsen
17.1 Graph-Grundlagen
Andere Darstellungsformen von Bäumen
Kontour-Darstellung
Einrückungsdarstellung
A
H
J
D
B
A
C
F
B
G
E
C
H
J
D
E
F
G
Listendarstellung
A(B(HJ)C( DE( G)F ))
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Wiederholungsfolie
M. Philippsen
17.1 Graph-Grundlagen
Ein Graph G=(V,E) wird zu einem bewerteten/gewichteten Graphen,
>0 ergänzt,
indem man eine Gewichtsfunktion gw:E
bzw. gw:E
die jeder Kante e E ein positives Gewicht gw(e) zuordnet.
Die (bewertete) Länge c(w) eines Pfades w definiert man in
gewichteten Graphen als die Summe der Gewichte seiner Kanten:
für w = (x=a0, a1, …, ap=y) ist
c(w) =
p-1
i=0
gw(ai,ai+1)
Statt von (bewerteter) Länge spricht man auch von Kosten („cost“)
des Pfades w.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-26
M. Philippsen
17.2 Darstellung von Graphen im Rechner
2
Graphische Darstellung:
1
3
4
Mengenschreibweise:
G = (V,E) mit x
y
(x,y) ∈ E V V.
V={1,2,3,4} E={(1,2), (1,4), (2,3), (2,4), (3,1), (4,4)}
Matrixdarstellung:
(Adjazenzmatrix)
1 2 3 4
1
2
3
4
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
1
1
0
1
boolean-Werte: true (1)
bedeutet, dass es eine
Kante von 2 nach 4 gibt.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-27
M. Philippsen
17.2 Darstellung von Graphen im Rechner
Adjazenzmatrix
2
1
3
4
boolean [][] kanten = {
{false, true, false,
{false, false, true,
{true, false, false,
{false, false, false,
}
true},
true},
false},
true}
Bei ungerichteten Graphen sind Adjazenzmatrizen symmetrisch, es
reicht die Speicherung einer Dreiecksmatrix.
Graphen ohne Schlingen haben in der Diagonalen stets „false“.
Graphen mit wenigen Kanten führen zu spärlich besetzten Matrizen.
Bei bewerteten/gewichteten Graphen speichert man statt booleanWerten die Kantengewichte in der Matrix. Fehlende Kanten durch ein
Gewicht nahe ausgedrückt.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-28
M. Philippsen
17.2 Darstellung von Graphen im Rechner
Adjazenzmatrix
K
A
R
L
S
R
U
H
E
Entfernungstabelle
ist die bekannteste
Form der Adjazenzmatrix
KARLSRUHE
-
L
E
I
P
Z
I
G
M
Ü
N
C
H
E
N
N
Ü
R
N
B
E
R
G
S
T
U
T
T
G
A
R
T
400 300 300 70
-
250 150 450
LEIPZIG
400
MÜNCHEN
300 250
NÜRNBERG
300 150 100
STUTTGART
70
-
100 230
-
450 230 300
300
-
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-29
M. Philippsen
17.2 Darstellung von Graphen im Rechner
Adjazenzlisten:
knoten[1]
knoten[2]
knoten[3]
knoten[4]
=
=
=
=
new
new
new
new
1
2
3
4
2
3
1
4
Knoten(1,
Knoten(2,
Knoten(3,
Knoten(4,
4
4
new
new
new
new
2
1
3
4
Verbindung(2, new Verbindung(4));
Verbindung(3, new Verbindung(4));
Verbindung(1));
Verbindung(4));
Bei gewichteten Graphen hat das Verbindungsobjekt
Instanzvariablen für die Speicherung des Gewichts.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-30
M. Philippsen
17.2 Darstellung von Graphen im Rechner
Nachfolger von Knoten 1
sind die Knoten 2 und 4.
Als Reihung:
2
1
5
7
9
10
2
4
3
1
2
3
4
5
6
7 8
Kanten
Knoten
4
1
3
4
4
9 10
Die Nachfolger von
Knoten 1 finden sich in
der Reihung ab
Position 5 (und bis <7)
Bei gewichteten Graphen hat die Reihung zwei „Zeilen“.
Gewichte im Kantenteil der 2. Zeile speichern.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-31
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17.2 Darstellung von Graphen im Rechner
Graphik:
+ sehr leicht lesbar für Menschen
- extrem kompliziert für maschinelle Bearbeitung
Mengen:
+ geeignet für einige mathematische Operationen
- teure Suche nach Knoten und Kanten
Adjazenzmatrix:+ sehr schnell feststellbar, ob eine Kante existiert, O(1)
+ manche Graphenoperationen lassen sich als
Matrizenoperationen darstellen
- Speicherverschwendung bei dünnen Graphen, O(n²)
Adjazenzliste:
+ sehr kompakte Darstellung (wenig Speicher), O(|V|+|E|)
- kostspielige Suche nach Kanten, O(|E|)
Reihung:
+ noch kompakter als Liste
- aufwändige Änderungen (Einfügen/Löschen)
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-32
M. Philippsen
17.3 Euler-Pfad
A
Königsberger Brückenproblem:
Gibt es einen geschlossenen
Pfad, der über alle 7 Brücken
führt?
D
C
B
Zeichenproblem:
Kann das Häuschen mit
einem Strich gezeichnet
werden?
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-33
M. Philippsen
17.3 Euler-Pfad
Eulerscher Pfad:
Pfad, der alle Kanten umfasst und jede genau einmal durchläuft.
Eulerscher Zyklus:
Eulerscher Pfad, bei dem Start- und Endknoten identisch sind.
A
D
C
B
als Multigraph, da
parallele
Kanten
A
D
C
B
Die Frage, ob ein Eulerscher Zyklus existiert, ist leicht zu beantworten.
Idee: Wenn man in einen Knoten kommt, muss man auf anderem
Weg wieder herauskommen.
Euler zeigte: Es existiert ein Euler-Zyklus gdw. der Grad jedes
Knotens durch 2 teilbar ist und der Graph zusammenhängend ist.
(Beweisrichtung
leicht, Beweisrichtung
Übung)
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-34
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Bisher war die Bearbeitung der Eingabe immer einfach: man ist
sequentiell vorgegangen und hat ein Eingabe-Element nach dem
anderen betrachtet.
Aber bei Graphen? Traversierung von Graphen, die jeden Knoten
einmal betrachten, ist eine Aufgabe für sich, die in vielen GraphAlgorithmen bewältigt werden muss.
Gegeben: Graph G
Gesucht: Besuch jedes Knotens
Lösungswege:
Tiefensuche
Breitensuche
Bei Bäumen können spezielle Verfahren angewendet werden, weil keine
Zyklen vorliegen.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-35
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Grundidee der Tiefensuche (DFS, „depth-first-search“)
Besuche zuerst die Kinder jedes Knotens, Absteigen bis zum Blatt,
dann zum nächsten Blatt, …
2
7
13
3
5
11
mögliche Tiefensuch-Reihenfolgen:
2, 13, 5, 1, 3, 7, 11
2, 13, 3, 5, 1, 7, 11
2, 7, 11, 13, 5, 1, 3
2, 7, 11, 13, 3, 5, 1
1
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-36
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Grundidee der Tiefensuche (DFS, „depth-first-search“)
Besuch eines Museums mit vielen Gängen, wobei man jeden Gang
ablaufen möchte.
Verfahren:
Man läuft in das Museum hinein.
Man betritt einen neuen Gang, sobald er sich öffnet. Wenn sich mehrere
Gänge gleichzeitig öffnen, wählt man einen (meist den linken).
und hinterlässt an der Kreuzung einen Kieselstein.
Wenn man an eine Kreuzung stößt, die bereits einen Kiesel hat, kehrt
man um und geht den gleichen Weg zurück bis zur vorhergehenden
Kreuzung.
Wenn von dieser noch ein unausprobierter Gang abgeht, wird dieser
erforscht.
Gibt es keinen unausprobierten Gang mehr, kann der Kieselstein
entfernt werden und weiter zurück gegangen werden.
Ariadne benutzte ein Garnknäuel, um Theseus die Rückkehr aus
dem Labyrinth zu ermöglichen, in dem er den Minotaurus getötet hat.
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-37
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Tiefensuche am Beispiel
Startknoten
X
X
4
2
X
1
5
X
3
Die Markierung dient dazu, dass der Algorithmus bei
allgemeinen Graphen nicht in Endlosschleifen läuft.
Es wird nur die Zusammenhangskomponente besucht,
in der sich der Startknoten befindet.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-38
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Rekursive DFS-Implementierung
void DFS(Graph G, Node v) {
v.mark();
Iterator iter = v.getEdges();
while (iter.hasNext()) {
Edge e = (Edge) iter.next();
if (e.target.isUnmarked()) {
DFS(G, e.target);
}
}
}
Speicherung als Adjazenzliste:
Reihenfolge nicht festgelegt.
Jeder Knoten einer
Zusammenhangskomponente
wird erreicht: sonst gäbe es
einen Knoten ohne
Markierung, der über eine
Kante mit einem markierten
Knoten verbunden ist. Das
kann nicht vorkommen.
Erweiterung für nicht zusammenhängenden Graph:
wiederhole beginnend bei unmarkiertem Knoten
Aufwand O(|V|+|E|):
• jede der |E| Kanten wird von beiden Seiten betrachtet
• zusätzlich gibt es ggf. isolierte Knoten in V
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-39
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Rekursion am Beispiel:
Besuch der Nachfolger von links nach rechts
DFS(2)
DFS(13)
2
7
13
11
3
5
DFS(7)
DFS(5)
DFS(3)
DFS(1)
DFS(11)
1
while-Schleife über die
Kanten, die von 2 abgehen,
hier v.l.n.r.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-40
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Keller zur Implementierung der Rekursion
Besuch der Nachfolger von links nach rechts
DFS(2) DFS(13) DFS(5)
DFS(7)
DFS(3)
DFS(7)
2
7
13
3
5
11
DFS(3)
DFS(7)
DFS(7)
DFS(1)
DFS(3)
DFS(7)
DFS(11)
1
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-41
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Iterative DFS-Implementierung mit Keller
void DFS(Graph G, Node v) {
Keller k = new Keller();
k.push(v); //merke Wurzel für Besuch vor
while (!k.isEmpty()) {
//besuche oberstes Kellerelement
v = k.top(); k.pop();
v.mark();
Iterator iter = v.getEdges();
while (iter.hasNext()) {
//lege alle Nachfolger auf Keller
Edge e = (Edge) iter.next();
if (e.target.isUnmarked()) {
k.push(e.target);
}
}
}
}
Die Kinder eines
Knotens v kommen
oben auf den
Keller. Ein Kind k
wird als erstes
besucht. Dessen
Kinder kommen
wieder oben auf
den Keller …
Erst wenn alle
Enkel (und deren
Nachfolger) besucht wurden,
kommen die
Geschwister von
k an die Reihe …
Tiefensuche
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-42
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
(Rekursive) DFS-Implementierung mit Nutzarbeit
void DFS(Graph G, Node v) {
v.mark();
//präKnotenArbeit(v);
Iterator iter = v.getEdges();
while (iter.hasNext()) {
Edge e = (Edge) iter.next();
if (e.target.isUnmarked()) {
//inKnotenArbeit(v);
DFS(G, e.target);
//kantenArbeitif(e)
}
//kantenArbeitimmer(e);
}
//postKnotenArbeit(v);
}
Aufgabe: ergänzen Sie Nutzarbeit
in iterativer Version
Graph wird besucht, um
eine bestimmte Aufgabe
zu erledigen. Abhängig
von der Aufgabe sind zu
konkretisieren:
• präKnotenArbeit: was ist
beim ersten Betreten eines
Knotens zu tun?
• inKnotenArbeit: was ist
zwischen dem Besuchen
der Nachfolger zu tun?
• postKnotenArbeit: was ist
nach Besuch aller Nachfolger zu tun?
• kantenArbeit: was ist beim
Abstieg zu tun?
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-43
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
DFS-Anwendungsbeispiel: Knotenzahl des Unterbaums (1)
Gegeben: Baum G
Gesucht: Bestimmt für jeden Knoten v die Anzahl der Knoten des
Unterbaums, der v als Wurzel hat.
8
1
6
3
1
2
1
In Bäumen gibt
es keine bereits
markierten
Nachfolger.
1
void DFSKnotenZahl(Graph G, Node v) {
v.mark();
v.zaehler = 1; //präKnotenArbeit(v)
Iterator iter = v.getEdges();
while (iter.hasNext()) {
Edge e = (Edge) iter.next();
if (e.target.isUnmarked()) {
DFSKnotenZahl(G, e.target);
}
//kantenArbeitimmer(e):
v.zaehler += e.target.zaehler;
}
}
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-44
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17.4 Graph-Traversierung
DFS-Anwendungsbeispiel: Knotenzahl des Unterbaums (2)
B
D
F
1
3
1
A.zaehler = 1;
A
B.zaehler = 1;
C
A.zaehler += B.zaehler // = 2
C.zaehler = 1;
E
D.zaehler = 1;
G
H
F.zaehler = 1;
D.zaehler += F.zaehler // = 2
G.zaehler = 1;
D.zaehler += G.zaehler // = 3
C.zaehler += D.zaehler // = 4
8
E.zaehler = 1;
6
H.zaehler = 1;
2
E.zaehler += H.zaehler // = 2
C.zaehler += E.zaehler // = 6
1
1
A.zaehler += C.zaehler // = 8
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-45
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17.4 Graph-Traversierung
DFS-Anwendungsbeispiel: Ausdrucksbaum (1)
Betrachte den Ausdruck 5 * (7-3)
Darstellung als Ausdrucksbaum:
*
-
5
g?
n
a
enh
m
am
s
u
Z
Infix-Form:
Postfix-Form:
5 * (7-3)
573-*
Präfix-Form:
*5-73
7
3
//Operatoren zwischen den Operanden
//Operatoren hinter den Operanden
//siehe „Auswertung mit Keller“
//Operatoren stehen vor Operanden
//“polnische Notation“
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-46
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
DFS-Anwendungsbeispiel: Ausdrucksbaum (2)
Tiefensuche durch Ausdrucksbaum, dabei Nachfolger v.l.n.r.
Infix/Inorder-Form (nur Binärbäume)
4.: „*“
1. Besuche linken Unterbaum
2. inKnotenArbeit: Drucke Knotensymbol 1.
3. Besuche rechten Unterbaum
5
*
3.
2.:„5“
Zahlen geben die
Reigenfolge an, in „“
steht ausgegebener Text
5.
6.:„(“
-
7.
7
3
8.:„7“
erzeugte lineare Liste: 5 * ( 7 - …
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-47
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
DFS-Anwendungsbeispiel: Ausdrucksbaum (3)
Tiefensuche durch Ausdrucksbaum, dabei Nachfolger v.l.n.r.
Postfix/Postorder-Form
1. Besuche Unterbäume (v.l.n.r.)
2. postKnotenArbeit: Drucke Knotensymbol1.
Solange „links-abwärts“ wie
möglich. Rechtes Kind wird
erst besucht, wenn der
linke Unterbaum völlig
abgearbeitet ist.
5
*
11.:„-“
4.
3.
2.:„5“
-
5.
7
6.:„7“
7.
8.
3
9.:„3“
erzeugte lineare Liste: 5 7 3 - …
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-48
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17.4 Graph-Traversierung
DFS-Anwendungsbeispiel: Ausdrucksbaum (4)
Tiefensuche durch Ausdrucksbaum, dabei Nachfolger v.l.n.r.
Präfix/Präorder-Form
1.:„*“
1. präKnotenArbeit: Drucke Knotensymbol
2. Besuche Unterbäume (v.l.n.r.)
2.
Solange „links-abwärts“ wie
möglich. Rechtes Kind wird
erst besucht, wenn der
linke Unterbaum völlig
abgearbeitet ist.
5
*
4.
5.
6.:„-“
3.:„5“
-
7.
7
8.:„7“
9.
10.
3
11.:„3“
erzeugte lineare Liste: * 5 - 7 3
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-49
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17.4 Graph-Traversierung
Inorder-Besuch eines binären Suchbaums liefert sortierte Liste
26
DFS mit
inKnotenArbeit
94
= drucke Wert
41
99
27
54
36
97
43
65
39
78
57
92
26
27
36
39
41
43
54
57
65
78
92
94
97
99
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-50
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17.4 Graph-Traversierung
Beim Besuchen von Binärbäumen kann man die Tiefensuche iterativ
implementieren, ohne einen expliziten Keller zu benötigen.
Idee:
Die zwei Nachfolger sind ohnehin im Knoten gespeichert und können
v.l.n.r. abgefragt werden.
Wenn man die aktuelle Besuchsposition kennt kann man beim
Rückkehren von unten erkennen, ob man von links unten oder von
rechts unten kommt.
Wenn man von links unten kommt, dann muss der rechte Nachfolger (und
dessen Nachfahren) noch besucht werden
Wenn man von rechts kommt, geht‘s weiter Richtung Wurzel zurück
Auf den folgenden Folien wird ein entsprechender Iterator für einen
Binärbaum entwickelt, der bei next() den nächsten Knoten gemäß
DFS-Reihenfolge liefert.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-51
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Tiefensuche-Iterator für Inorder-Besuch (1)
Zustand des Iterators muss im Iterator-Objekt gespeichert werden:
Instanzvariable position zeigt jeweils auf dasjenige Element, das
beim nächsten next()-Aufruf geliefert werden soll.
Initialisierung: Knoten "ganz links" im Baum
position = treeSet.root;
if (position != null) {
while (position.left != null) {
position = position.left;
}
}
position
An der Stelle position geht es nicht mehr nach links weiter,
position hat (wenn überhaupt) einen rechten Nachfolger.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-52
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Tiefensuche-Iterator für Inorder-Besuch (2)
class TreeSetIterator implements java.util.Iterator {
// Zu traversierender Baum
private TreeSet treeSet;
private Entry position; // Aktuelle Position
public TreeSetIterator(TreeSet treeSet) {
this.treeSet = treeSet; //ggf. Baum vorher kopieren
// Erste Position ist Knoten "ganz links"
position = treeSet.root;
if (position != null) {
while (position.left != null) {
position = position.left;
}
}
}
public boolean hasNext() {
return position != null;
}
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-53
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17.4 Graph-Traversierung
Tiefensuche-Iterator für Inorder-Besuch (3)
Beim next()-Aufruf wird der Knoten position zurück gegeben.
Für den nächsten next()-Aufruf wird position fortgeschaltet.
Fall 1: Der aktuelle Knoten position (der keinen linken Nachfolger
haben kann) hat einen rechten Nachfolger.
Dann wird zu diesem rechten Nachfolger gegangen und von dort sofort
weiter so weit wie möglich nach links unten.
alte
position
neue
position
if (position.right != null) {
position = position.right;
while (position.left != null) {
position = position.left;
}
}
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-54
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17.4 Graph-Traversierung
Tiefensuche-Iterator für Inorder-Besuch (4)
Fall 2: Der aktuelle Knoten position (der keinen linken Nachfolger
haben kann) hat auch keinen rechten Nachfolger.
Rückweg Richtung Wurzel
Fall 2a: von links kommend
neue
position
alte
position
Fall 2b: von rechts kommend
neue position
alte
position
Wie unterscheidet man zwischen
den Fällen 2a und 2b?
//Schleppzeiger
Entry previous = position;
position = position.parent;
if (position.right == previous) {
//Fall 2b
} else {
//Fall 2a
}
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-55
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
public Object next() {
Object result = position.value;
if (position.right != null) {
//Ergebnis konservieren
//Fall 1
position = position.right;
while (position.left != null) position = position.left;
} else { //Fall 2
if (position == treeSet.root) position = null; //Wurzel erreicht
else {
Entry prevPosition = position;
// Schleppzeiger
position = position.parent;
// Aufstieg um eins
while (
position.right==prevPosition
&& position!=treeSet.root){
prevPosition = position; position = position.parent;
}
if (position.right==prevPosition && position==treeSet.root)
//Wurzel erreicht
position = null;
}
}
return result; //konserviertes Ergebnis zurückgeben
}
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-56
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
DFS-Anwendungsbeispiel: DFS-Nummerierung/-Baum (1)
Die Tiefensuche durchläuft die Knoten eines Graphen in einer
bestimmten Reihenfolge.
Wenn jedem Knoten die Position in dieser Reihenfolge zugeordnet
wird, ist das eine DFS-Nummerierung.
DFS-Nummern sind für viele Graph-Algorithmen nützlich.
Umsetzung mit DFS-Algorithmus:
Globale Variable dfs = 0 vor dem Start initialisieren
präKnotenArbeit(v): v.dfs = dfs++
DFS-Nummer des Knotens wird auf den Wert der globalen Variable
gesetzt; diese wird inkrementiert.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-57
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
DFS-Anwendungsbeispiel: DFS-Nummerierung/-Baum (2)
Startknoten
Knoten mit DFS-Nummern:
1
2
3
6
7
5
4
8
Durchgezogene Kanten verbinden Knoten mit denjenigen Nachfolgern,
die die DFS-Nummerierung als noch unmarkiert vorgefunden hat.
kantenArbeitif baut aus diesen Kanten den sog. DFS-Baum (oder
Tiefensuchbaum, „DFS-tree“) auf, einen Spannbaum.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-58
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Wichtige Eigenschaft ungerichteter DFS-Bäume
Seien G=(V,E) ein ungerichteter Graph und T=(V,F) ein DFS-Baum
von G, dann gilt für alle Kanten e E entweder e F oder e verbindet
zwei Knoten von G, von denen einer Vorfahre des anderen in T ist.
Am Beispiel:
1
2
3
1
6
7
2
7
5
4
3
8
4
6
8
Es gibt keine
Querverbindungen
5
Beweis:
Es sei (v,u) Kante von G, v sei
bereits besucht. Nach dem
Markieren von v werden die
Nachfolger von v besucht.
Wäre u als erster Nachfolger
besucht worden, dann würde
(v,u) zu F gehören.
Oder u wird besucht, ehe DFS
zum Vorgänger von v zurücklehrt, dann ist u Nachfolger von
v in T.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-59
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Tiefensuche in gerichteten Graphen:
Prinzip ist gleich wie bei ungerichteten Graphen.
Aber Problem: Welcher Teil des Graphen abgesucht wird, hängt vom
Startknoten ab:
A
B
C
V
Tiefensuche(V) durchläuft alle Knoten
Tiefensuche(A) durchläuft nur die Knoten A,B und C
Ebenso wie man bei ungerichteten Graphen davon ausgeht, dass
der DFS-Algorithmus so lange läuft, bis alle Zusammenhangskomponenten bearbeitet sind, geht man auch bei gerichteten
Graphen davon aus, dass DFS so oft mit noch unbesuchten
Knoten wiederholt wird, bis alle Knoten besucht worden sind.
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-60
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Verschiedene Kantenarten in DFS-Bäumen gerichteter Graphen
Definiert für DFS-Baum im gerichteten Graphen:
Baumkanten sind Teil des Tiefensuchbaums
Nicht Teil des Tiefensuchbaums sind
Vorwärtskanten verbinden Knoten mit einem Nachkommen
Rückwärtskanten verbinden mit einem Vorfahr
Querkanten verbinden „nicht direkt verwandte“ Knoten
Baumkante („tree edge“)
1
2
6
3
7
Vorwärskante („forward edge“)
Rückwärskante („backward edge“)
4
5
Querkante („cross edge“), von rechts nach links
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-61
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Zyklenerkennung (1)
Rückwärskante („backward edge“)
1
2
6
3
7
Einen (gerichteten) Zyklus kann es nur
geben, wo es eine Rückwärtskante gibt.
4
5
Erkennung des Zyklus per DFS-Algorithmus:
Auf dem Pfad von der Wurzel nach unten setzt man eine boolesche
Variable auf true.
Man setzt diese Variable auf false, wenn man alle Nachfolger besucht hat,
ohne einen Zyklus zu finden.
Eine Rückwärtskante (v,w) erkennt man daran, dass die boolesche
Variable von w noch immer gesetzt ist. (Bei Vorwärtskanten und
Querkanten ist die Variable bereits wieder auf false gesetzt worden.)
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-62
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Zyklenerkennung (2)
Erkennung des Zyklus per DFS-Algorithmus:
Auf dem Pfad von der Wurzel nach unten setzt man eine boolesche
Variable auf true.
Man setzt diese Variable auf false, wenn man alle Nachfolger besucht hat,
ohne einen Zyklus zu finden.
Eine Rückwärtskante (v,w) erkennt man daran, dass die boolesche
Variable von w noch immer gesetzt ist. (Bei Vorwärtskanten und
Querkanten ist die Variable bereits wieder auf false gesetzt worden.)
Konkret:
präKnotenArbeit(v): v.onPath = true;
knotenArbeitimmer(e): if (e.target.onPath) {
Zurücksetzen
foundCycle=true;
nachdem letzter
break;
Nachfolger
}
if (!iter.hasNext()) { besucht wurde.
v.onPath=false;
}
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-63
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17.4 Graph-Traversierung
Wichtige Eigenschaft gerichteter DFS-Bäume
1
2
6
3
7
Seien G=(V,E) ein gerichteter Graph und T=(V,F)
ein DFS-Baum von G, dann gilt für alle Kanten
e=(v,w) E: wenn v.dfs<w.dfs, dann ist v Vorfahre
von w in T.
4
5
5 ist weder Vorfahre von 4 noch von 2.
7 ist nicht Vorfahre von 5.
1 ist aber Vorfahre von 5.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-64
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17.4 Graph-Traversierung
Grundidee der Breitensuche (BFS, „breadth-first-search“)
Besuche die Knoten eines Graphen also „ebenenweise“: erst alle
Knoten mit Höhe 0, dann alle mit Höhe 1, dann alle mit Höhe 2, …
2
7
13
3
5
mögliche Breitensuch-Reihenfolgen:
2, 13, 7, 5, 3, 11, 1
2, 7, 13, 11, 3, 5, 1
…
11
1
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-65
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17.4 Graph-Traversierung
Breitensuche am Beispiel:
2
X
X
XX X
5
1
4
3
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-66
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17.4 Graph-Traversierung
Iterative BFS-Implementierung mit Schlange
void DFS(Graph G, Nod v) {
Schlange s = new Schlange();
k.enq(v); //merke Wurzel für Besuch vor
while (!s.isEmpty()) {
//besuche vorderstes Schlangenelement
v = s.front(); s.deq();
v.mark();
//Arbeit(v);
Iterator iter = v.getEdges();
while (iter.hasNext()) {
//lege alle Nachf. in Schlange
Edge e = (Edge) iter.next();
if (e.target.isUnmarked()) {
k.enq(e.target);
}
}
}
}
Implementierung:
ersetze den Keller
der iterativen DFSImplementierung
durch Schlange
(FIFO).
prä/post/in sind
nicht wohldefiniert.
Daher nur arbeit.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-67
M. Philippsen
17.4 Graph-Traversierung
Breitensuche mit Schlange
2
7
13
3
5
11
1
2
13 7
753
5 3 11
3 11 1
11 1
1
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-68
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17.5 Topologische Sortierung
Beispiel: Eine Menge von Aufgaben muss erledigt werden. Manche
Aufgaben hängen von einer anderen Aufgabe ab und können erst
begonnen werden, wenn die erste Aufgabe erledigt ist. In welcher
Reihenfolge sollten die Aufgaben hintereinander ausgeführt werden?
Gegeben: gerichteter azyklischer Graph G=(V,E) mit n Knoten.
Gäbe es einen Zyklus, dann kann keine sequentielle Reihenfolge der
Aufgaben gefunden werden, die alle Abhängigkeiten berücksichtigt.
Gesucht: Nummerierung der Knoten von 1 bis |V|=n, so dass alle
Knoten, die von einem Knoten v mit Nummer k aus erreicht werden
können, eine Nummer >k haben.
1
3
2
4
5
6
7
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-69
M. Philippsen
17.5 Topologische Sortierung
Hypothese: Es ist klar, wie man Graphen mit <n Knoten topol. sortiert
Induktionsanfang: Der einzige Knoten eines Graph mit |V|=1
bekommt die Nummer 1; dies ist die topologische Sortierung
Induktionsschritt „n-1 n“:
Es gibt sicher einen Knoten v mit Eingangsgrad 0.
(Sonst gäbe es einen Zyklus).
Dieser Knoten bekommt die Nummer 1.
Für die übrigen n-1 Knoten wird nach Induktionsvoraussetzung eine
topologische Sortierung von 2…n“ berechnet.
Eingangsgrad 0
1
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-70
M. Philippsen
17.5 Topologische Sortierung
Algorithmus zum topologischen Sortieren
1. Traversiere den Graph und berechne für jeden Knoten eine
Instanzvariable indegree, die mit dem Eingangsgrad initialisiert wird:
kantenArbeit(e): e.target.indegree++
2. Knoten mit indegree==0 werden in einen beliebigen
Behälterdatentyp (Liste, Schlange, Keller, …) gesteckt.
3. Initialisiere einen globalen Zähler topolSort = 0
4. Solange der Behälter nicht leer ist:
Entnimm einen Knoten v und setze v.topoNr=topolSort++;
Für alle direkten Nachfolger w von v
Setze w.indegree -= 1;
Wenn w.indegree==0 dann füge w in den Behälter ein
Aufwand O(|V|+|E|): indegree-Berechnung O(|V|+|E|), Behälterzugriff
O(1), jeder Kante wird einmal berücksichtigt, wenn indegree des
Zielknotens verkleinert wird O(|E|).
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-71
M. Philippsen
17.6 Kürzeste Pfade
Suche nach einem geschlossenen
Pfad durch gegebene Knoten:
Wie besucht ein Handlungsreisender alle seine
Kunden mit einer Rundreise?
L
400
Suche nach einem „billigen“ Pfad:
KA
Wie komme ich am billigsten von
Stuttgart nach Leipzig?
L
oder beides:
Billigste Rundreise?
400
KA
70
S
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-72
300
300
70
150
N
S
300
300
150
N
100
M
230
100
M
230
M. Philippsen
17.6 Kürzeste Pfade
Suche nach dem kürzesten Pfad
Gegeben:
Gesucht:
Ein Graph, zwei Knoten v und w.
Der (nach Anzahl der Kanten) kürzeste Pfad
von v nach w.
v
w
Verallgemeinerung:
Pfadlänge nicht durch Kantenzahl bestimmt, sondern durch
Summe der Kantengewichte (die alle positiv sein sollen).
Beispiel:
Gegeben: Eine Straßenkarte mit Entfernungsangaben
zwischen Kreuzungen
Aufgabe: Finde die kürzeste Route von Erlangen nach Berlin
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-73
M. Philippsen
17.6 Kürzeste Pfade
Bemerkungen
In gerichteten Graphen gilt natürlich nicht, dass der kürzeste Pfad
von v nach w der gleiche ist wie der von w nach v.
2
3
8
Für jeden kürzesten Pfad p = (v0, v1, ..., vk) von v0 nach vk ist jeder
Teilpfad p‘ = (vi, ..., vj), 0≤i<j ≤k, ein kürzester Pfad von vi nach vj.
Widerspruchsbeweis: Angenommen es gäbe einen kürzeren Pfad p“ von
vi nach vj. Dann kann in p p‘ durch p“ ersetzt werden, der entstehende
Pfad von v0 nach vk wäre kürzer als p.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-74
M. Philippsen
17.6 Kürzeste Pfade
Grundidee für kürzeste Pfade
Angenommen man kennt die kürzesten Pfade („shortest path“, sp) zu
allen direkten Vorgängern eines Knoten w.
24
X
13
V
17
Y
19
Z
22
11
W
5
6
25
c(sp(v,x))=13
c(sp(v,y))=17
c(sp(v,z))=19
Zur Erinnerung:
c(w) = Kosten
des Pfads w.
Dann ist c(sp(v,w)) = min( c(sp(v,x)) + c(x,w),
c(sp(v,y)) + c(y,w),
c(sp(v,z)) + c(z,w)) = min(24,22,25)=22
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-75
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17.6 Kürzeste Pfade
Algorithmus von Dijkstra (1)
Induktionsbeginn:
Betrachte Knoten v und alle seine abgehenden Kanten.
Offensichtlich: Wenn (v,w) die kürzeste Kante ist, die von v abgeht, dann
ist w der Knoten, der am nächsten an v liegt.
der Knoten mit dem
V1={w}
v
x
w
2
1
kürzestem Abstand zu v
V2={w,x}
die 2 Knoten …
3
y
V3={w,x,y}
die 3 Knoten …
Induktionsannahme:
Die Menge Vk der k Knoten, die am nächsten an v liegen, ist bekannt.
In Vk ist also der Knoten mit dem kürzesten Abstand zu v, mit dem
zweitkleinsten Abstand zu v, …, mit dem k-kleinsten Abstand zu v.
Induktionsschritt „k k+1“:
Suche denjenigen Knoten w Vk, der den k+1-kleinsten Abstand zu v hat.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-76
M. Philippsen
17.6 Kürzeste Pfade
Algorithmus von Dijkstra (2)
Induktionsschritt „k k+1“:
Suche denjenigen Knoten w Vk, der den k+1-kleinsten Abstand zu v hat.
Der kürzeste Pfad von v nach w kann nur durch Vk laufen, nur die letzte
Kante kann einen Knoten u Vk mit w verbinden.
(Sonst wären andere Knoten in Vk.)
Dann ist (siehe „Grundidee“) der Knoten w mit minimalen Kosten
c(sp(v,w)) = minu Vk ( c(sp(v,u)) + c(u,w) ) der gesuchte k+1-te Knoten.
v
Vk
w
Einer dieser Knoten ist
der gesuchte k+1-te
Knoten
Problem: Aufwändige Berechnung der Kosten für alle w Vk
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-77
M. Philippsen
17.6 Kürzeste Pfade
Algorithmus von Dijkstra (3)
Effizienzverbesserung
v
Die Kosten des
Pfades von v zu
diesem Knoten
seien c.
Die Kosten des
Pfades von v zu
diesem Knoten
bleiben unverändert!
Vk
Sei w der Knoten, mit
dem k+1-kleinsten
Abstand zu v.
z
v
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-78
w
Vk+1
z
w
Wegen der gestrichelten
Kante könnte es in Vk+1
einen billigeren Weg zu z
geben als vorher in Vk.
M. Philippsen
17.6 Kürzeste Pfade
Algorithmus von Dijkstra (4)
Effizienzverbesserung
Speichere die Kosten der kürzesten Wege zu Knoten außerhalb von Vk.
Diese Kosten können meistens unverändert als Kosten der kürzesten
Wege zu Knoten außerhalb von Vk+1 übernommen werden.
Nur die Pfade zu w‘ Vk+1, die über den neuen Knoten w (w Vk, aber
w Vk+1) führen, könnten sich verbilligen (oben: gestrichelte Kante).
w
v
z
gespeicherter min.
Pfad zu z
+
?
<
wenn ja: gespeicherten
min. Pfad zu z aktualisieren
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-79
M. Philippsen
17.6 Kürzeste Pfade
Algorithmus von Dijkstra auf einen Blick
Markiere alle Knoten als unbesucht.
Setze v.sp=0 und w.sp= für alle w v
Solange nicht besuchte Knoten existieren
1. Minimumsauswahl:
wähle/besuche einen Knoten w, mit w.sp minimal
(1. Iteration: nur v.sp=0, daher wird v gewählt)
2. Aktualisierung:
Für alle Kanten (w,z) zu unbesuchten z:
Wenn (w.sp + c(w,z) < z.sp)
dann setze z.sp := w.sp + c(w,z)
(1. Iteration: Kosten der direkten Nachfolger von v werden gesetzt.)
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-80
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17.6 Kürzeste Pfade
Algorithmus von Dijkstra am Beispiel
V
A
5
3
C
V
B
5
12
A
8
2 1
4
3
C
D
bisher
gefundene
billigste
Wege
B
12
A
8
2 1
4
V
0
besucht
D
A
V
5
3
C
B
V
B
5
12
A
8
2 1
4
D
C
3
C
B
12
A
8
2 1
4
5
3
C
B
12
8
2 1
4
8 min- 13
10min- Wahl 12
11minWahl
Wahl
Gestrichelte
Kanten
bilden den
Spannbaum
kürzester
Pfade.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-81
D
D
5 min- 12
Wahl
D
V
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17.6 Kürzeste Pfade
Aufwand von Dijkstras Algorithmus (1)
Minimumsauswahl:
Die Halde ist die ideale Datenstruktur für die Suche nach dem Knoten w mit
minimalem Pfad. O(1) für Zugriff auf das Minimum, O(log2|V|) für das
Entfernen von w aus der Halde.
Insgesamt sind |V| Knoten zu suchen & entfernen: O(|V| log2|V|)
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-82
M. Philippsen
17.6 Kürzeste Pfade
Aufwand von Dijkstras Algorithmus (2)
Aktualisierung:
Für jeden Knoten w müssen dessen Nachfolger z gefunden und ggf. die
Pfade zu z korrigiert werden.
Die Halde unterstützt die Suche nach z nicht. Daher ist eine Reihung
erforderlich, die für jedes z dessen Position in der Halde angibt.
Die Korrektur der Pfadlänge zu z macht eine Umsortierung der Halde
erforderlich O(log2|V|)
Insgesamt führen |E| Kanten zu solchen Aktualisierungen: O(|E| log2|V|)
Gesamtaufwand: O((|E|+|V|) log2|V|)
Mit sog. Fibonacci-Halden geht es noch besser: O(|E|+|V| log2|V|),
das sprengt aber den Rahmen der Algorithmik-1.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-83
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Beispiel-Problem:
Gegeben: Eine Landkarte als Graph G.
Gesucht: Es soll ein Wasserleitungsnetz mit minimalen Kosten
aufgebaut werden, das alle Ortschaften versorgt. Die Gesamtkosten
des Netzes sind proportional zur Summe der Längen aller
vorkommenden Leitungen.
Ähnliche Probleme gibt es beim Entwurf von Rechnernetzen.
Was ist besser?
oder
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-84
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Aufgabe:
Gegeben: Ein ungerichteter Graph mit Kantengewichten.
Gesucht: Zusammenhängender Teilgraph der alle Knoten enthält,
wobei die Summe der Kantengewichte minimal ist.
Eigenschaft:
Der gesuchte Teilgraph ist azyklisch:
Denn gäbe es einen Zyklus, dann könnte man zumindest eine Kante
entfernen (also Kosten verringern) und trotzdem alle Knoten erreichen.
Also ist der gesuchte Teilgraph ein Baum.
Genauer, ein Spannbaum (aufspannender Baum)
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-85
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Erster Ansatz:
Der Algorithmus für die Suche nach dem kürzesten Pfad lieferte für
einen gegebenen Knoten einen Spannbaum kürzester Pfade.
In jedem Schritt wurde eine Kante so hinzugefügt, dass der entstehende
Pfad minimale Länge hatte.
Aufwand: O(|E| + |V| log|V|).
Man kann den minimalen Spannbaum finden, indem man den
Spannbaum kürzester Pfade für jeden Knoten berechnet und dann
den kleinsten dieser Spannbäume auswählt.
O(|V| (|E| + |V| log|V|)).
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-86
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Zweiter Ansatz: Algorithmus von Prim (1)
Angenommen man hat einen Teilgraph T von G gefunden, der auch
Teilgraph des minimalen Spannbaums ist.
Wie kann man T um eine weitere Kante vergrößern?
zu T gehörig
T
Es gibt Knoten, die über eine Kante mit T verbunden sind,
die aber noch nicht zu T gehören.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-87
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Algorithmus von Prim (2)
Die Kante mit dem kleinsten Gewicht, die einen zu T benachbarten
Knoten verbindet, wird zum minimalen Spannbaum hinzugenommen.
zu T gehörig
T
w
u
(u,w) sei die billigste Kante, die einen Knoten von T mit einem Knoten
außerhalb von T verbindet.
(u,w) gehört zum minimalen Spannbaum. Andernfalls gäbe es einen
Pfad von irgendeinem Knoten aus T zu w mit niedrigeren Kosten. Da
jeder Pfad T verlassen muss, hat dieser Pfad mindestens die Kosten
der ersten Kante, die T verlässt. Diese sind aber höher als die Kosten
der Kante (u,w).
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-88
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Algorithmus von Prim am Beispiel (1)
A
D
1
B
12
C
2 6 4 11 9
19 13
G
17
H
F
22 28
I
Starten wir zum Beispiel mit Knoten E
E gehört sicher zum Spannbaum
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(EB)-4
(ED)-6
Minimum
(EF)-11
(EH)-17
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(BA)-1
Mit Knoten B kommen
(ED)-6
neue Kanten hinzu,
(EF)-11
einsortieren.
(BC)-12
(EH)-17
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-89
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Algorithmus von Prim am Beispiel (2)
A
D
1
B
12
C
2 6 4 11 9
19 13
G
17
H
F
22 28
I
Knoten A kommt hinzu.
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(AD)-2
Wegen Hinzunahme
(ED)-6
von D wird diese
(EF)-11
Kante gestrichen.
(BC)-12
(EH)-17
Knoten D kommt hinzu.
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(EF)-11
(BC)-12
(EH)-17
(DG)-19
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-90
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Algorithmus von Prim am Beispiel (3)
A
D
1
B
12
C
2 6 4 11 9
19 13
G
17
H
F
22 28
I
Knoten F kommt hinzu.
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(FC)-9
Wegen Hinzunahme
(BC)-12
von C wird diese
(EH)-17
Kante gestrichen.
(DG)-19
(FI)-28
Knoten C kommt hinzu.
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(EH)-17
(DG)-19
(FI)-28
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-91
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Algorithmus von Prim am Beispiel (4)
A
D
1
B
12
C
2 6 4 11 9
19 13
G
17
H
F
22 28
I
Knoten H kommt hinzu.
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(HG)-13
(DG)-19
(HI)-22
(FI)-28
Knoten G kommt hinzu.
Zu untersuchende Kanten, sortiert:
(HI)-22
(FI)-28
Knoten I kommt hinzu.
Keine Kanten mehr zu untersuchen.
Minimaler Spannbaum gefunden.
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-92
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Beachte die Analogie zu Dijkstras Algorithmus:
Minimumauswahl unter den Kanten, die aus T herausführen.
T vergrößern.
Aktualisierung und gleiche Idee zur Effizienzverbesserung:
Statt alle Kanten, die aus dem neuen T herausführen, neu zu
untersuchen, aktualisiert man die Kosten der billigsten Kante aus T für
alle Nachbarknoten von w.
Durch diese Änderung berechnet der selbe Algorithmus den
minimalen Spannbaum
Natürlich mit dem gleichen Gesamtaufwand: O(|E|+|V| log2|V|)
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-93
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Dritter Ansatz: Algorithmus von Kruskal (1)
Statt einen Teilgraph des Minimalen Spannbaum in jedem Schritt um
eine Kante zu erweitern, beginnt man mit einem Wald von einzelnen
Knoten und fügt diese nach und nach zum Minimalen Spannbaum
zusammen.
Beginne mit sortierter Kantenliste in aufsteigender Reihenfolge
Kante gehört zur Lösung, wenn sie
einen vorhandenen Baum um einen noch nicht betrachteten Knoten
erweitert
zwei noch nicht betrachtete Knoten verbindet (zu einem neuen Baum)
zwei verschiedene Bäume verbindet
Jetzt kann man die Kanten nacheinander betrachten und sofort
entscheiden, ob die Kante zur Lösung gehört oder nicht.
Es ist garantiert, dass kein Zyklus entsteht.
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-94
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Algorithmus von Kruskal am Beispiel
1
12
Sortierte Kantenliste (hier nur Gewichte):
1 2 4 6 9 11 12 13 17 19 22 28
2 6 4 11 9
19 1317 22 28
entfällt, da Zyklus
entstünde
dito
dito
dito
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-95
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Andere Sichtweise:
Induktion: Zu jedem Zeitpunkt haben wir einen Wald minimal
spannender Bäume.
Induktionsanfang: Jeder Knoten ist für sich ohne Kanten ein minimal
spannender Baum.
Induktionsschritt: Vereinige durch Hinzufügen zwei Bäume zu einem,
so dass dieser seine Knoten auch minimal aufspannt.
!
" #
$
%$
"
&
!
!"
"
!
' (!
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-96
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Daraus dann Beweis für Korrektheit:
Induktionsanfang: trivial.
Induktionsschritt:
Nach Induktion gilt, dass der Teilgraph G ein minimaler Spannbaum ist
und ebenso Teilgraph H.
Nach Verfahren ist e die kürzeste Kante, die G und H verbindet.
G∪H∪e ist auch minimal, weil G∪H∪f nicht besser sein kann, und eine
„Umordnung“ G oder H „länger“ macht.
Würde man G und H mit mehr als einer Kante verbinden, würde ein
Zyklus entstehen, außer man entfernt dafür andere (kürzere) Kanten
Summe wieder länger.
e
G
H
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-97
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Aufwand von Kruskals Algorithmus (1)
Jede Kante wird aus der Halde entfernt: O(|E| log2|V|)
Aufwand für Baumerweiterung und Test auf Zyklenfreiheit?
v1
v2
Verweis auf Identifikator der Zusammenhangskomponente
Anfangs eine Komponente für jeden Knoten.
v3
v5
Aufwand des Zyklentests: Beim Einfügen von (vi,vj) wird
überprüft, ob vi und vj in derselben Zusammenhangskomponente liegen. Dann Zyklus. Aufwand des Tests: O(1)
…
…
Baumerweiterung: Konkatenation und Zeigerkorrektur
v4
Vn-1
x
vk1 vk2 vk3
vn
y
vl1 vl2 vl3 … vly
…
vkx
Zusammengangskomponente mit x Knoten,
nämlich vk1, …, vkx
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-98
M. Philippsen
17.7 Minimaler Spannbaum
Aufwand von Kruskals Algorithmus (2)
Aufwand für Baumerweiterung?
v1
v2
v3
v4
v5
…
…
Vn-1
Wenn bei der Baumerweiterung eines Knotens der
Zeiger kopiert wird, dann war der Knoten in der
kleineren Gruppe. Das kann insgesamt höchstens
log2|V| mal der Fall sein, weil dann der Spannbaum
erreicht ist. Da jede Kante einmal betrachtet wird,
ergibt sich als Gesamtkosten der Baumerweiterung
O(|E| log2|V|)
x+y vk1 vk2 vk3
vn
…
vkx vl1 vl2 vl3 … vly
kürzere Liste wird angehängt, O(1)
gestrichelt: y Zeiger werden korrigiert.
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-99
Gesamtaufwand O(|E| log2|V|)
M. Philippsen
17.8 Transitive Hülle
Gegeben ein gerichteter Graph G=(V,E). Die transitive Hülle C=(V,F)
von G ist ein gerichteter Graph, in dem es genau dann eine Kante
(v,w) VxV gibt, wenn es in G einen gerichteten Pfad v *w gibt.
G:
Transitive Hülle von G:
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-100
M. Philippsen
17.8 Transitive Hülle
Lösung durch Reduktion auf ein anderes Problem
Die transitive Hülle kann man finden, indem man das Problem
auf ein anderes (bekanntes) Problem reduziert.
Sei G‘=(V,E‘) ein vollständig verbundener Graph („jeder mit jedem“).
Jeder Kante e E‘ hat das Gewicht 0, wenn sie auch Kante in G ist
(e E) und 1 sonst.
Es gibt also einen von v nach w in G, wenn der kürzeste Pfad
zwischen v und w in G‘ die Länge 0 hat.
Berechne die Länge aller kürzesten Pfade für jeden Knoten aus G‘;
dann kann die Transitive Hülle abgelesen werde.
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-101
M. Philippsen
17.9 Matching
Bipartiter Graph:
Ungerichteter Graph G=(U ∪V,E) mit U∩V = ∅ und nur Kanten [v1, v2] ∈ E
mit v1∈U, v2∈V.
In diesem Abschnitt betrachten wir nur ungerichtete Graphen.
Praktische Relevanz: Viele Zuordnungsprobleme ordnen Dinge
verschiedener Arten einander zu, z.B.
Männer / Frauen im Tanzkurs
Arbeiten / Arbeitskräfte
Koffer / Schließfächer
usw.
Bäume sind bipartit (ebenenweise aufteilen)
Satz von König: Graphen ohne Zyklen mit ungrader Kantenanzahl sind
bipartit. (Aufteilung: Graph traversieren und dabei Markierungsbit auf
alternierend/jeweils invers zum Vorgänger setzen.)
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-102
M. Philippsen
17.9 Matching
Beispiel
Gegeben: Wir befinden uns im Tanzkurs.
Jeder Teilnehmer (Knoten) weiß,
mit wem er gerne tanzt (Kante).
Aufgabe: Bestimme mögliche Paarungen.
Heino
Klaus
Eva
Martin
Maria
Lilo
Pia
Uwe
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-103
M. Philippsen
17.9 Matching
Heino
Klaus
Eva
Martin
Maria
Lilo
Pia
Uwe
Drei Paare sind gefunden (gestrichelt), aber nicht jeder Knoten hat
einen Partner, und es sind keine weiteren Paarungen möglich.
Frage: Wie kriegt man eine optimale Paarbildung zustande?
Es ist ja noch ein Herr und eine Dame übrig geblieben!
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-104
M. Philippsen
17.9 Matching
Anderes Beispiel
Jeder Algorithmik-Student darf 2 Wünsche für Übungsgruppen
angeben. Die Übungsgruppen haben eine begrenzte Zahl an Plätzen.
Gibt es eine Lösung, die alle Übungsgruppenwünsche erfüllt?
Studenten
Tutorien
…
…
…
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-105
M. Philippsen
17.9 Matching
Definitionen
Zwei Kanten (u,v) und (x,y) heißen unabhängig, wenn u,v,x,y vier
verschiedene Knoten sind.
Wenn u=x oder u=y oder v=x oder v=y, dann heißen die Kanten
benachbart (oder verbunden oder adjazent).
Eine Kantenmenge M heißt unabhängig, wenn alle ihre Elemente
paarweise unabhängig sind. Solche Kantenmengen heißen auch
Matching.
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-106
M. Philippsen
17.9 Matching
Definitionen
Ein Knoten heißt frei bzgl. eines Matchings, wenn
er keine Kante des Matchings hat, sonst sagt man,
dass er zum Matching gehört.
Ein Matching heißt perfekt, wenn es alle Knoten
des Graphen überdeckt.
Ein Matching heißt größtes Matching wenn es um
keine Kante erweitert werden kann.
Ein Matching heißt größtmögliches Matching wenn
es kein Matching mit mehr Kanten gibt.
Ein Matching bei dem nur ein Knoten frei bleibt,
heißt fast perfekt.
gematcht
frei
ist nicht perfekt
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-107
M. Philippsen
17.9 Matching
Bemerkungen
Ein Zyklus mit gerader Knotenzahl hat genau 2 perfekte Matchings.
Nicht jeder Graph hat ein (fast) perfektes Matching.
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-108
M. Philippsen
17.9 Matching
Ein gieriger Algorithmus:
Gegeben: Graph G
Gesucht: Matching M
!
!
!
)
#
"
Dieser giereige Algorithmus liefert
ein maximales Matching
aber kein (fast) perfektes Matching
Verbesserung der Matchingqualität durch Heuristiken:
zuerst Knoten mit geringem Grad bearbeiten („schwer zu verkuppeln“)
…
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-109
M. Philippsen
17.9 Matching
Idee: Verbesserung eines größten Matchings
Um diesen freien
Knoten ins Matching
aufzunehmen…
…muss diese MatchingKante ersetzt werden.
Idee klappt bei
alternierenden
Pfaden:
}A
}B
}A
}B
ersetze hier 2 Kanten des
Matchings durch 3 neue Kanten
}A
}B
größtmögliches
(auch perfektes)
Matching.
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-110
M. Philippsen
17.9 Matching
Definition
Ein Pfad heißt (vergrößernd) alternierender Pfad bzgl. eines
Matchings M gdw.
der Pfad der abwechselnd Kanten M und M hat
und Anfangs- und Endknoten des Pfades nicht in M liegen.
v
w
Satz von Berge:
Ein Matching M in einem Graphen G ist größtmöglich gdw.
G keinen alternierenden Pfad bzgl. M enthält.
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-111
M. Philippsen
17.9 Matching
Beispiel (1)
v
w
v
w
M (fette Linien) ist kein
größtmögliches Matching, da Verbessern
es einen alternierenden Pfad
zwischen Knoten v,w M gibt.
M (fette Linien) ist kein
größtmögliches Matching, da Verbessern
es einen alternierenden Pfad
zwischen Knoten v,w M gibt.
v
w
v
w
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-112
M. Philippsen
17.9 Matching
Beispiel (2)
w
v M (fette Linien) ist kein
größtmögliches Matching, da Verbessern
es einen alternierenden Pfad
zwischen Knoten v,w M gibt.
v
w
In jedem Fall landet man bei einem größtmöglichen Matching.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-113
M. Philippsen
17.9 Matching
Matching-Algorithmus:
*
+
#
0
%'
,/. #
, !
.
/
0
/
Der Algorithmus fügt in jedem Schritt eine Kante zu M hinzu.
Da es nur endlich viele Kanten gibt, terminiert er.
Wenn er terminiert, hat er ein größtmögliches Matching gefunden.
Noch offen: Wie findet man M-alternierende Pfade?
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-114
M. Philippsen
17.9 Matching
Das Finden eines alternierenden Pfades ist in bipartiten Graphen G
mit zwei Klassen A und B leicht.
Sei ein Matching gegeben:
}A
}B
Definiere G‘ so dass alle Matching-Kanten von A nach B und
alle anderen von B nach A gerichtet sind.
}A
}B
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-115
M. Philippsen
17.9 Matching
Traversiere den Graph (egal ob Tiefen- oder Breitensuche).
Jeder Pfad wechselt zwischen M´ und G´\M´.
Ein alternierender Pfad ist gefunden, sobald man von einem
Knoten v M‘ einen Knoten w M‘ erreicht.
Vergrößerung der Matchings:
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-116
M. Philippsen
Organisatorisches
Vorlesungsbefragung
1. Papierfragebögen (vorlesungsspezifische Fragen)
Was können wir an Algorithmik-1 in Zukunft verbessern?
Bitte helfen Sie mir und dem nächsten Jahrgang!
Nehmen Sie sich Zeit zum Lesen und Beantworten.
Jede Frage einzeln lesen, nicht nur von oben nach unten ankreuzen.
Langschriftliche Kommentare sind besonders nützlich.
Ergebnisse werde ich auf der Material-Seite veröffentlichen.
2. Online-Evaluation (allgemeine Fragen)
Wir teilen nach der Vorlesung eine TAN pro Person aus.
Bitte nehmen Sie sich die Zeit.
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Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-117
M. Philippsen
17.8 Transitive Hülle
Warshall‘s Allgorithmus
Elegante Verwendung der Adjazenzmatrix
boolean [][] A = {...}
int dim = A.length;
...
void warshall() {
for (int y = 0; y < dim; y++) {
for (int x = 0; x < dim; x++) {
if (A[x][y]) {
for (int z = 0; z < dim; z++) {
if (A[y][z])
A[x][z] = true;
}
}
}
}
}
Friedrich-Alexander-Universität Erlangen-Nürnberg
Algorithmik 1, WS 2003/04, Folie 17-118
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