• schliesslich erhalten wir für den Wirkungsgrad η = 1 − = 1 − T2 T1

• schliesslich erhalten wir für den Wirkungsgrad
T2
Qab
=1−
=1−
η =1−
Qzu
T1
4.3.8
Va
Vb
γ
Entropie
• Für die Arbeit δW hatten wir für eine reversible Zustandsänderung
beim idealen Gas gefunden: δWrev = −pdV .
• Gibt es einen analogen Ausdruck für δQrev ? Das heisst, gibt es eine
Zustandsgrösse analog zu dV ?
• Wir können eine solche definieren: dS := dQTrev . Dies ist die Definition
der Entropie S, die eine Zustandsgrösse wie Temperatur, Druck und
Volumen ist.
• Da sie nur vom Zustand abhängig ist, muss eine Änderung unabhängig
vom Weg sein.
• Betrachten wir jetzt das System und seine Umgebung, so entspricht
bei reversibler Prozessführung die Entropieänderung des Systems genau
der negativen Entropieänderung der Umgebung.
• Ein Beispiel wäre die isotherme Expansion eines Gases gegen den Druck
p auf das doppelte Volumen.
• Denselben Prozess können wir im Prinzip irreversibel durchführen: Wir
betrachten einen Behälter, der in zwei Hälften getrennt ist, wobei sich
in der einen Hälfte ein Gas unter dem Druck p befindet. Entfernen
wir jetzt die Trennwand, so wird sich das Gas im gesamten Behälter
ausbreiten.
• Die Entropieänderung des Systems ist die gleiche wie bei der isotherme Expansion, jedoch haben wir jetzt keine Entropieänderung in der
Umgebung.
101
• Damit hat sich die Gesamtentropie von System und Umgebung erhöht,
man spricht von einem irreversiblen Prozess.
• Betrachten wir System und Umgebung als neues Gesamtsystem, so
sprechen wir von einem abgeschlossenen System. Ein abgschlossenes
System tauscht mit der Umgebung weder Wärme noch Arbeit noch
Stoff aus. In einem abgeschlossenen System können nur freiwillige Prozesse ablaufen, da wir keine Möglichkeit haben, von aussen auf das
System einzuwirken.
• Wie alle anderen Zustandsgrössen hat auch die Entropie einen Bezug zu mikroskopischen Grössen: Sie ist gleich dem Logarithmus der
Zahl der möglichen Mikrozustände des Systems, multipliziert mit der
Boltzmann-Konstante: S = k ln Ω. Ein einfaches Beispiel soll dies verdeutlichen:
4.3.9
Der zweite Hauptsatz der Thermodynamik
• Vom zweiten Hauptsatz der Thermodynamik existieren viele Formulierungen, die jedoch alle äquivalent sind.
• 1. Formulierung: Alle Prozesse in der Natur in abgeschlossenen Systemen lassen die Entropie konstant (reversible Prozesse) bzw. führen zu
einer Entropieerhöhung (irreversible Prozesse).
• 2. Formulierung: Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die
nichts anderes macht, als Wärme vollständig in Arbeit umzuwandeln
(Perpetuum Mobile 2. Art)
• Salopp formuliert, bleibt in abgeschlossenen Systemen die Ordnung
konstant oder nimmt ab.
102
4.4
4.4.1
Thermodynamische Eigenschaften von Stoffen
Thermische Ausdehnung
• Zur Erklärung der thermischen Ausdehnung kommen wir auf das Potential zwischen den Atomen/Molekülen in einem Festörper oder in
einer Flüssigkeit zurück. Die kinetische Energie der Teilchen äussert
sich hier in einer Schwingung um die Ruhelage in diesem Potential.
Wir hatten gesehen, dass das Potential asymmetrisch ist.
0.1
0.0
eigrenE elleitnetoP
-0.1
-0.2
-0.3
1.0
1.5
2.0
2.5
Abstand
• Demzufolge verschiebt sich der mittlere Aufenthaltsort der Teilchen
zu grösseren Abständen, je grösser die mittlere kinetische Energie der
Teilchen ist. Experimentell beobachtet man bei Festkörpern folgende
Zusammenhänge:
• l = l0 (1 + α∆T )
• V = V0 (1 + γ∆T )
• wobei der letztere Zusammenhang auch bei Flüssigkeiten gefunden wird.
103
4.4.2
Wärmetransport
• Wir unterscheiden drei Mechanismen des Wärmetransports: Wärmestrahlung, Wärmeleitung und Konvektion. Bei der Wärmestrahlung
handelt es sich um eine elektromagnetische Welle, die wir erst später
genauer betrachten wollen. Hier soll nur erwähnt werden, dass dieser
Transport von Wärmeenergie nicht an das Vorhandensein eines Stoffes
gebunden ist, sondern auch im Vakuum funktioniert.
• Dagegen die Wärmeleitung und die Konvektion stets einen Stoff gebunden. Bei der Wärmeleitung wird die Wärme durch gegenseitige Wechselwirkung der Atome/Moleküle bzw. Elektronen eines Stoffs weitergeleitet. Betrachtet man die Wärmeleitung über einen Stab, so ist die je
Zeiteinheit transportierte Wärme proportional zur Querschnittsfläche
und zur Temperaturdifferenz an den Enden des Stabes sowie indirekt
= λA∆T
, wobei die Proportianalitätskonproportional zur Länge: δQ
dt
l
stante λ als Wärmeleitzahl bezeichnet wird.
• Die Konvektion ist mit einem Stofftransport verbunden und tritt nur
in Flüssigkeiten und Gasen auf.
4.4.3
Stoffgemische
• Stoffgemische hatten wir bereits bei der Mischung idealer Gase kennengelernt. Auch bei Flüssigkeiten und Festkörpern können verschiedene
Stoffe (also solche, die aus verschiedenen Atom/Molekülsorten bestehen) gemischt werden. Man spricht in diesem Fall von Lösungen (auch
bei Festkörpern). Wir wollen uns nur auf flüssige Lösungen beschränken, da diese in der Biologie eine herausragende Rolle spielen. Alle
Zellbestandteile sowie der intrazelluläre Raum sind in der Regel mit
einer wässrigen Flüssigkeit gefüllt, in der die verschiedensten Stoffe gelöst sind. Stoffwechsel bedeutet nichts anderes als einen Transport und
eine (chemische) Umwandlung dieser Stoffe.
104
• Je nachdem, in welcher Art ein Stoff in einer Flüssigkeit enthalten ist,
spricht man von einer Lösung, einem kolloidalen System oder einer
Dispersion. Bei einer Lösung sind die Moleküle des gelösten Stoffes
vollständig von Lösungsmittelmolekülen umgeben. Bei kolloidalen Systemen und Dispersionen sind kleine Tropfen oder Körner des Stoffs in
der Lösung enthalten, es gibt also eine Grenzfläche. Sind die Teilchen
sehr klein (102 bis 1010 Atome/Moleküle), so spricht man von Kolloiden,
bei noch grösseren Teilchen von Dispersionen. Viele Transportprozesse
in der Zelle sind mit der Bewegung kolloidaler Teilchen, der Vesikel
oder Mizellen, verbunden.
Konzentrationsmasse
• Zur Angabe der Konzentration eines Stoffes, der in einem Lösungsmittel
gelöst ist, sind verschiedene Masse gebräuchlich:
• Stoffmengenkonzentration (auch Molarität): c =
Volumen der Lösung mit dem gelösten Stoff ist
• Molalität: b =
net
n
,
mLM
n
,
VLsg
wobei VLsg das
wobei mLM die Masse des Lösungsmittels bezeich-
• Massenkonzentration: β =
m
VLsg
• Daneben sind noch der Molenbruch, der Gewichts- sowie der Volumenanteil als dimensionslose Konzentrationsmasse üblich
Henry-Daltonsches Gesetz
• Das Henry-Daltonsche Gesetz besagt, dass die Konzentration eines gelösten Gases proportional zu seinem Partialdruck über der Lösung ist.
Diffusion
105
• Unter Diffusion verstehen wir die im Mittel gerichtete Bewegung von
gelösten Teilchen, die zu einer (irreversiblen) Gleichverteilung im Lösungsmittel führt. Betrachten wir analog zur Wärmeleitung ein Rohr
mit dem Querschnitt A, in dem sich eine Lösung befindet, die an den
Enden unterschiedliche Konzentrationen aufweist. Die je Zeiteinheit
transportierte Stoffmenge ist dann proportional zum Querschnitt und
zur Konzentrationsdifferenz und indirekt proportional zur Länge:
•
= −DA ∆C
oder, wenn wird sehr kleine Abschnitte dx des Rohres
l
dc
dn
. Dies ist das 1. Ficksche Gesetz. Ableitunbetrachten, dt = −DA dx
gen physikalischer Grössen nach dem Ort nennt man Gradienten. Die
Proportionalitätskonstante D nennt man Diffusionskoeffizienten.
dn
dt
• Die Diffusion ist von herausragender Bedeutung beim Stoffwechsel, da
sie sicherstellt, dass Stoffe, die am Stoffwechsel beteiligt sind, vom Ort
hoher Konzentration zum Ort kleiner Konzentration transportiert werden.
Osmose
• Trennen wir zwei Flüssigkeitsvolumina durch eine poröse Wand, die für
die Teilchen des Lösungsmittels durchlässig, für die Teilchen des gelösten Stoffes jedoch undurchlässig ist (eine halbdurchlässige Membran),
so wird bei unterschiedlicher Konzentration beidseits der Membran der
Konzentrationsausgleich mit einem Transport des Lösungsmittels durch
die Membran verbunden sein.
• Dieser Prozess wird Osmose genannt.
• Wie wir gelernt haben, ist zum Transport einer Flüssigkeit durch Röhren eine Druckdifferenz notwendig. Der Druck, der durch die Osmose
entsteht, wird osmotischer Druck genannt, und kann für kleine Konzantrationen durch das van’t Hoffsche Gesetz beschrieben werden:
pOsm VLsg = nStof f RT
106
oder pOsm = cRT .
• Offensichtlich ist der Druck nur von der Konzentration und nicht von
der Art des gelösten Stoffes abhängig.
4.4.4
Phasenübergänge
Umwandlungswärmen und Phasengleichgewichte
• Führen wir einem Festkörper Wärme zu, so kann die Erhöhung der
kinetischen Energie der Teilchen dazu führen, dass sie stärker als die
Wechselwirkungsenergie zwischen den Teilchen wird.
• Der Festkörper geht in den flüssigen Aggregatzustand über.
• Führen wir weiter Energie zu, so kann die Flüssigkeit verdampfen, bis
wir beim gasförmigen Zustand angelangt sind. Der Druck der Gasphase
wird Dampfdruck genannt.
• Ist der Körper teilweise geschmolzen, gibt es eine Grenzfläche (die evtl.
eine sehr komplizierte Form hat), die den Festkörper von der Flüssigkeit
trennt.
• Man sagt, die Grenzfläche trennt die beiden Phasen.
• So lange beide Phasen koexistieren, wird eine konstante Temperatur
beobachtet. Die Wärmezufuhr führt also nicht zu einer Temperaturerhöhunng, sondern dazu, dass weitere Teilchen den starren Verbund im
Festkörper verlassen.
• Man nennt die Wärme, die dabei zu- oder abgeführt werden muss, Umwandlungswärme oder latente Wärme. Bezieht man sie auf die Stoffemenge eines Stoffes, so spricht man von der molaren Umwandlungswärme (z.B. molare Schmelzwärme von Eis ist die Wärmemenge, die
benötigt wird, um ein mol Eis zu Schmelzen).
107
• Die Existenzgebiete von Phasen und die Koexistenzlinien kann man in
Phasendiagrammen veranschaulichen. Offensichtlich sind, wenn wir die
Koexistenz mehrerer Phasen im Gleichgewicht vorliegen haben, nicht
mehr alle Zustandsgrössen frei wählbar. Bei einem bestimmten Temperatur ist zum Beispiel der Druck festgelegt, wenn wir die Phasen
flüssig/gasförmig gleichzeitig vorliegen haben. Es gilt die Gibbssche
Phasenregel:
• f =k−p+2
• hierbei ist f die Zahl der Freiheitsgrade, k die Zahl der Komponenten
(das sind die verschiedenen Stoffe bei einem Gemisch) und p die Zahl
der Phasen. Wir wollen das am Beispiel des Tripelpunktes des Wassers
ausrechnen: k = 1, da wir nur Wasser haben, p = 3, da am Tripelpunkt
die Phasen fest, flüssig und gasförmig im Gleichgewicht stehen. Damit
erhalten wir f = 0. Das heisst, alle Zustandsgrössen sind festgelegt! Damit auch die Temperatur, und darauf beruht die Definition des Kelvin:
Es ist der 273.15te Teil der absoluten Temperatur des Tripelpunktes
des Wassers.
108
• Eine quantitative Beschreibung der Koexistenz-Kurven zweier Phasen
im p − T − Phasendiagramm erlaubt die Clausius-Clapeyronsche Gleichung:
•
dp
dT
=
δQU
T (Va −Vb )
• Die Grösse δQU ist dabei die Umwandlungswärme, und Va und Vb sind
die Volumina des Stoffs in beiden Phasen.
• Schön wird die Anomalie des Wassers deutlich: Die Koexistenzkurve
zwischen fest und flüssig hat einen negativen Anstieg, also muss das
Volumen der festen Phase grösser sein als das der flüssigen. Die Kurve
(3) ist die Dampfdruckkurve, sie beschreibt den Druck und damit auch
den Druck der gasförmigen Phase. Der Siedepunkt des Wassers ist jetzt
diejenige Temperatur, bei der der Dampfdruck gleich dem Aussendruck
ist. Wenn wir ein offenes Gefäss mit Wasser irgendwo stehen haben, so
ist das stets ein Nichtgleichgewichts-System! Das sieht man daran, dass
das Wasser nach und nach verschwindet.
Dampfdruckerniedrigung, Siedepunktserhöhung und Gefrierpunktserniedrigung
109
• Lösungen haben in der Regel einen niedrigeren Dampfdruck als das reine Lösungsmittel. Wir können uns das so vorstellen, dass an der Grenzfläche zwischen den beiden Phasen flüssig und gasförmig die Zahl der
Moleküle, die in die Gasphase übertreten können, kleiner wird. Da wir
in der Gasphase jedoch nur Moleküle des Lösungsmittels haben, ist die
Zahl der Moleküle, die wieder in die flüssige Phase übergehen können,
gleich geblieben. Eine Dampfdruckerniedrigung führt natürlich (siehe
oben) zu einer Siedepunktserhöhung. Experimentell wurde gefunden,
dass die Änderung des Siedepuktes proportional zur Molalität b des
gelösten Stoffes ist:
• ∆Tsied = TLsg − TLM = Ab
• Die Konstante A nennt man ebullioskopische Konstante.
• Auch beim Übergang zwischen flüssiger und fester Phase kommt es zu
einer Temperaturverschiebung des Gefrierpunktes. Dieser wird jedoch
bei einer Lösung herabgesetzt. Der Zusammenhang ist ähnlich wie bei
der Siedepunktserhöhung:
• ∆Tschm = TLsg − TLM = −Bb
• B ist die kryoskopische Konstante.
110
5
Elektrizitätslehre
• Die Elektrizitätslehre beschäftigt sich mit allen Effekten, die mit der
grundlegenden Wechselwirkungskraft zwischen Ladungen sowie
mit der Bewegung von Ladungen und der speziellen Relativitätstheorie im Zusammenhang stehen.
• Wir werden sehen, dass grundlegende Konzepte wie das Vorhandensein von Kräften, Energieerhaltung usw. auch in der E-Lehre Geltung
behalten.
• Man kann sagen, dass die elektrische Kraft die für chemische und biologische Prozesse wichtigste Wechselwirkung ist.
5.1
Elektrostatik
• Die Elektrostatik beschäftigt sich mit den Effekten, die mit ruhenden
Ladungen im Zusammenhang stehen.
5.1.1
Die elektrische Ladung
• Vom Vorhandensein elektrischer Ladung erhalten wir nur durch deren
Wirkung Kenntnis: Durch eine Kraft, die sie auf andere Ladungen
ausüben. Also im Prinzip so ähnlich wie bei der Gravitation, bei der wir
eine Kraft zwischen zwei Massen (man spricht auch von GravitationsLadung) beobachtet hatten. Während wir aber die Masse recht leicht
durch Vergleich mit dem Kilogramm messen konnten, ist das mit der
Ladung nicht so einfach. Wir werden noch sehen, wie wir Ladungen
messen können.
• Die Kraft kann dabei anziehend und abstossend sein, also hat Ladung offensichtlich ein Vorzeichen: Es gibt positive und negative Ladung (im Gegensatz zu Massen, die immer positiv sind). Experimentell
111
wurde im Vakuum folgendes Kraftgesetz gefunden
q1 q2~er
F~C ∝
r2
1
• und die Proportionalitätskonstante ist 4πε
. Die elektrostatische Kraft
0
wird zu des französischen Physikers Charles Augustin de Coulomb
(1736–1806) auch Coulomb-Kraft genannt, und die Einheit der Ladung
q ist das Coulomb C = As (in SI-Einheiten). ε0 ist die Dielektrizitätskonstante mit dem Wert 8,854 · 10−12 F/m
• Wir sehen, dass die Kraft bei gleichem Vorzeichen der beiden Ladungen in Richtung des Abstandsvektors zeigt, also abstossend ist.
• Weiterhin ist das Vorhandensein einer Ladung an Masse m gebunden.
• Durch experimentelle Untersuchung des Quotienten mq wurde ausserdem gefunden, dass es eine kleinste Ladung gibt, die Elementarladung
e = 1.602 × 10−19 C. Auch hier verhält sich die Masse anders. Wie wir
später noch genauer betrachten werden, ist die Elementarladung mit
der Ladung der Grundbausteine der Materie, der Elementarteilchen
verknüpft. Dabei trägt das Elektron eine negative Elementarladung und
das Proton eine positive Elementarladung.
• Ladung kann ausserdem weder erzeugt noch vernichtet werden, die Gesamtladung eines Systems ist eine Erhaltungsgrösse!
• Betrachten wir ausgedehnte Körper, so können wir die Raumladungsdichte %C = dq/dV , die Flächenladungsdichte σC = dq/dA sowie die
Linienladungsdichte λC = dq/dl definieren.
• Der Ladungsmittelpunkt ist analog dem Schwerpunkt gegeben durch
R
~rS =
~
~r%C (r)dV
R
%C dV
112
5.1.2
Das elektrische Feld
• Betrachten wir die Coulomb-Kraft auf eine Probeladung q und denken
uns die Kraft als hervorgerufen durch eine zweite Ladung q0 :
• F~C =
1 qq0
~e ,
4πε0 r2 r
• so können wir diese Kraft durch die Probeladung teilen:
F~C
1 q0
=
~er
q
4πε0 r2
~ = F~C /q. Wie
• Dies ist die Definition der elektrischen Feldstärke: E
wir noch sehen werden, ist dies eine sehr nützliche Definition, da sie
erlaubt, auf einfache Art Kräfte auf Ladungen zu erfassen. Man kann
auch sagen, dass eine Ladung ein elektrisches Feld erzeugt.
• Kraft auf Probeladung im elektrischen Feld ist demnach:
~
F~ = Eq
• Die elektrische Feldstärke ist ein Vektor. Zur graphischen Veranschaulichung von Feldern allgemein verwendet man oft Feldlinien. Die Richtungen der Tangenten an die Feldlinien zeigen in jedem Punkt die Richtung der Feldstärke an. Der Betrag wird durch die Flächendichte der
Feldlinien durch eine Fläche, die senkrecht auf diesen steht, symbolisiert. Die Feldlinien einer einzelnen Punktladung zeigen radial von der
Ladung weg oder zu ihr hin.
113
114
• Eine Fläche, die senkrecht zu Linien ist, die alle von einem Punkt ausgehen, ist eine Kugel. Die Oberfläche einer Kugel wächst mit dem Quadrat
des Radius’. Das Bild der Feldlinien führt also sofort auf die Abstandsabhängigkeit der Feldstärke:
~ ∝ 1
E
r2
• Für das elektrische Feld gilt das Superpositionsprinzip: Elektrische Felder können (vektoriell) addiert werden.
• Beispiel: elektrisches Feld zweier Punktladungen
Das elektrische Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung
• Eine kontinuierliche Ladungsverteilung kann durch eine Ladungsdichte
beschrieben werden:
• Für das elektrische Feld einer Ladungsverteilung gilt demnach:
~ r) =
E(~
1
4πε0
Z
V
~
~ ~r − R dV
%C (R)
~ 3
|~r − R|
• Beispiel: geladener Ring
5.1.3
Der elektrische Dipol
• Der elementare elektrische Dipol besteht aus zwei Punktladungen
gleichen Betrages, aber entgegengesetzten Vorzeichens, die den
Abstand d zueinander haben.
• Das elektrische Dipolmoment ist definiert als µ
~ := qd~eq1 q2
• Die Richtung des Dipolmomentes ist durch den Verbindungsvektor
der beiden Punktladungen gegeben, sein Betrag durch deren Abstand
115
• Man kann jedoch für jede Ladungsverteilung ein Dipolmoment festlegen, indem man die Ladungsmittelpunkte aller positiven sowie aller negativen Ladungen betrachtet. Wie wir noch sehen werden, fallen
für Atome ohne den Einfluss eines äusseren Feldes diese Ladungsmittelpunkte zusammen, so dass Atome kein permanentes Dipolmoment
besitzen. Das elektrische Feld des Dipols folgt aus der vektoriellen Addition der Felder der Einzelladungen.
• Das elektrische Feld des Dipols ist für r d:
~ r) =
E(~
µ 3(~eµ · ~er )~er − ~eµ
4πε0
r3
• Wichtig ist die 1/r3 -Abhängigkeit der el. Feldstärke des Dipols.
• Da für die Gesamtladung eines Dipols qtot = 0 gilt, wirkt auf ihn keine
resultierende Kraft im homogenen el. Feld.
116
• Allerdings wirkt auf den Dipol im el. Feld ein Drehmoment:
~ =µ
~
M
~ ×E
• Ein frei drehbarer Dipol wird sich also so lange drehen, bis das Dipolmoment parallel zum Feld ausgerichtet ist. Dann verschwindet das
Drehmoment.
5.1.4
Der elektrische Fluss und Gauss’sches Gesetz
• Das Integral
Z
~ A
~
Ed
ΦE =
A
bezeichnet man als elektrischen Fluss. Anschaulich ist dies die Gesamt~ tretenden Feldlinien.
zahl der durch eine Fläche A
• Das Gausssche Gesetz besagt, dass dieses Integral, wenn es sich über
eine geschlossene Oberfläche erstreckt, gleich der von der Oberfläche
umschlossenen Gesamtladung, geteilt durch ε0 ist:
I
~ A
~ = qtot
Ed
ε0
• Herleitung aus dem Coulomb-Gesetz:
• Elektrisches Feld auf der Oberfläche einer Kugel mit der Ladung q im
~ = q 2 (auf der OF konstant, kann vor das Integral
Mittelpunkt: E
4πε0 r
H
~ dA
~= q 2·
gezogen werden), Oberfläche der Kugel: 4πr2 , damit E
4πε0 r
q
2
4πr = ε0
Anwendungen des Gauss’schen Gesetzes
• Betrachten wir eine homogen geladene (%C = const) Kugel mit dem Radius R, und wenden den Gausschen Satz auf eine gedachte KugeloberR
R
fläche mit dem Radius r an, so folgt aus qtat = V %C dV = %C V dV sowie aus dem Kugelvolumen VK ∝ r3 und der Kugeloberfläche AK ∝ r2 ,
117
dass das elektrische Feld linear mit dem Radius r wächst. Dies gilt so
lange, wie gilt r ≤ R. Für grössere r wächst qtot nicht mehr, also gilt
E ∝ r−2 wie bei der Punktladung.
Eµr
Eµ1/r
2
E
dleF
Radius
r
• Analog kann man einen homogen geladenen Zylinder betrachten: Wir
legen jetzt Zylinderflächen um die Zylinderachse. Das Volumen (und
damit qtot ) wächst mit dem Quadrat des Radius’ dieser Zylinder, während die Oberfläche linear mit dem Radius wächst. Demzufolge wächst
das Feld im innern des homogen geladenen Zylinders linear mit dem
Abstand von der Zylinderachse, während es ausserhalb mit 1/r abfällt.
• Betrachten wir zwei entgegengesetzt homogen geladene Platten (diese
Anordnung nennt man Plattenkondensator), so muss im Aussenraum
nach dem Gaussschen Satz die Feldstärke verschwinden, da für die Gesamtladung gilt: qtot = 0. Im Innenraum muss die Feldstärke überall
gleich sein. Es ergibt sich E = σεC0
118
E
5.1.5
Das elektrische Potential
• Für die mechanische Arbeit gilt allgemein:
Z
W =
F~ (~r)d~r
• Mit der Kraft im elektrischen Feld erhalten wir:
Z
~ r)d~r
Wel = q E(~
• Wie die Gravitationskraft ist die elektrische Kraft (die Kraftgesetze
sind sehr ähnlich) eine konservative Kraft. Also ist die Arbeit unabhängig vom Weg, oder anders, entlang eines geschlossenen Weges
119
verschwindet die Arbeit
I
I
~
~ s=0
F d~s = 0 ⇒ Ed~
• Man sagt auch, dass das elektrische Feld wirbelfrei ist (es gibt keine
geschlossenen Feldlinien).
• Bilden wir den Quotienten aus Arbeit und Ladung q, so erhalten wir
das elektrische Potential:
Z
~
r
φ(~r) − φ(~r0 ) = ∆φ = −
~
r0
~ r)d~r = Wel
E(~
q
• Die Einheit des elektrischen Potentials [φ] = J/C = V ist das Volt
(Alessandro Giuseppe Antonio Anastasio Graf von Volta (* 18. Februar 1745 in Como, Italien; † 5. März 1827 in Camnago bei Como)).
Damit kann man umgekehrt die Arbeit im elektrischen Feld aus der
Potentialdifferenz und der Ladung berechnen: Wel = q∆φ.
• Die Arbeit, die benötigt wird, um eine Elementarladung um ein Volt zu
verschieben, wird oft mit einer eigenen Einheit bezeichnet, dem Elektronenvolt 1eV = 1.602 × 10−19 J.
• Für die Potentialdifferenz zwischen zwei Orten wird eine weitere Grösse eingeführt, die elektrische Spannung U = ∆φ = ∆Wel /q mit der
gleichen Einheit wie die des Potentials, Volt. Damit erhalten wir für
die Arbeit dWel = qdU = U dq.
• Aus der Definition des Potentials (Skalarprodukt!) folgt sofort, dass
Wegänderungen senkrecht zur Richtung des elektrischen Feldes nicht
zu einer Potentialänderung führen. Flächen, die senkrecht zum elektrischen Feld orientiert sind (z.B. eine Kugelfläche um eine Punktladung)
haben demnach konstantes Potential, man nennt sie Äquipotentialflächen. In einem Plattenkondensator sind die Äquipotentialflächen
Ebenen, da der Feldvektor überall die gleiche Richtung hat.
120