Statistik - S-Inf
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Folien
zur
Statistik
Einführung in die Statistik
für Pädagogen und Psychologen
WS 2002/2003
Fr 9.45 – 11.15
Fr 11.30 – 12.15 (Vertiefung)
Uni Bonn, Römerstraße 164, HS D
E.Jo. Zimmermann
Inhalt
1 Deskriptive Statistik .................................................................................. 3
1.1 Skalenniveaus ................................................................................... 3
1.2 Häufigkeitsverteilungen.................................................................... 9
1.2.1 Univariate Häufigkeitsverteilungen....................................... 10
1.2.2 Bivariate Häufigkeitsverteilungen ......................................... 16
1.3 Statistische Kennwerte.................................................................... 19
1.3.1 Maße der zentralen Tendenz.................................................. 20
1.3.2 Dispersionsmaße .................................................................... 25
1.4 Die z-Transformation...................................................................... 28
1.5 Zusammenhangsmaße..................................................................... 30
1.5.1 Kovarianz und Korrelation .................................................... 31
1.5.2 Weitere bivariate Zusammenhangsmaße............................... 34
1.6 Lineare Regression ......................................................................... 35
1.6.1 Bestimmung der Geradengleichung ...................................... 37
1.6.2 Beobachtete, vorhergesagte und Residualwerte .................... 40
2 Wahrscheinlichkeit und Verteilungen..................................................... 43
2.1 Wahrscheinlichkeit ......................................................................... 43
2.2 Diskrete Verteilungen..................................................................... 49
2.3 Stetige Verteilungen ....................................................................... 53
Literatur ...................................................................................................... 58
Griechisches Alphabet................................................................................ 59
-2-
1 Deskriptive Statistik
In der deskriptiven Statistik geht es um die graphische und tabellarische Darstellung von Datenmengen sowie deren Beschreibung durch Kennwerte.
1.1 Skalenniveaus
• Messen ist eine strukturerhaltende Zuordnung
von Zahlen zu Objekten und Ereignissen.
• Diese Zuordnung kann Aussagen unterschiedlicher „Güte“ erlauben, wobei die jeweiligen Gütestufen als Skalenniveaus bezeichnet werden.
Grundsätzlich wird unterschieden zwischen
• Nominalskalen
• Ordinalskalen
• Intervallskalen
• Ratio- oder Verhältnisskalen
Diese Skalenniveaus unterscheiden sich in ihrem
Informationsgehalt. Dieser determiniert die erlaubten (mathematischen) Operationen und damit die
statistischen Verfahren, die auf die jeweiligen Daten angewendet werden dürfen.
-3-
Nominalskala
Objekte mit gleicher Merkmalsausprägung erhalten
gleiche Zahlen, Objekte mit verschiedener Merkmalsausprägung erhalten verschiedene Zahlen. Die
einzelnen Ausprägungen des Merkmals und damit
die Stufen der Skala sind ungeordnet (gleichberechtigt).
• Mögliche Aussagen: Gleichheit, Verschiedenheit.
• Erlaubte Operationen: =,≠
• Zulässige Transformation: Eindeutige Transformationen, die zahlenmäßige Gleichheit und Verschiedenheit nicht verändern.
• Beispiele: Augenfarbe, Geschlecht
-4-
Ordinalskala
Eine Ordinalskala ordnet Objekten Zahlen zu, die
so geartet sind, dass von jeweils zwei Objekten das
Objekt mit der größeren Merkmalsausprägung die
größere Zahl erhält. Über das Ausmass des Unterschiedes zwischen den einzelnen Ausprägungen ist
nichts bekannt.
• Mögliche Aussagen: Größer-kleiner-Relationen.
• Erlaubte Operationen: =,≠,>,<
• Zulässige Transformation: Monotone Transformationen, die Ordnung der Daten muss erhalten
bleiben.
• Beispiele: Militärische Ränge, Windstärken.
-5-
Intervallskala
Wie bei der Ordinalskala, so sind auch bei der Intervallskala die Stufen geordnet. Zusätzlich sind
hier die Abstände zwischen den einzelnen Stufen
alle gleich gross. Hat z.B. ein Objekt den Skalenwert 1, so ist es von dem Objekt mit dem Skalenwert 2 genauso weit entfernt, wie dieses von einem
Objekt mit dem Skalenwert 3. Der Nullpunkt einer
Intervallskala ist relativ.
• Mögliche Aussagen: Abstandsvergleiche.
• Erlaubte Operationen: =,≠,>,<,+,−
• Zulässige Transformation: Lineare Transformationen der Form X‘ = a⋅X + b, die Verhältnisse
zwischen Differenzen bleiben erhalten.
• Beispiele: Temperatur in Celsius oder Fahrenheit.
-6-
Verhältnisskala
Eine Verhältnisskala ist eine Intervallskala mit absolutem Nullpunkt, der das „Nichtvorhandensein“
des Merkmals ausdrückt.
• Mögliche Aussagen: Vergleich von Verhältnissen.
• Erlaubte Operationen: =,≠,>,<,+,− ,•,/
• Zulässige Transformation: Ähnlichkeitstransformation der Form X‘ = a⋅X, der Nullpunkt wird
nicht verändert und die Verhältnisse von Werten
bleiben erhalten.
• Beispiele: Größe in m, Gewicht in kg, Zeit in sec,
Temperatur in Kelvin.
Weitere Bezeichnungen
Intervall- und Verhältnisskalen werden zusammenfassend auch als Kardinalskalen bezeichnet. Häufigkeiten besitzen Verhälnisskalenniveau und werden auch als Absolutskala bezeichnet.
-7-
Skalenniveaus, mögliche Operationen und statistische Kennwerte
Nominal
GleichUngleich
Ordinal
GleichUngleich
Intervall
GleichUngleich
Verhältnis
GleichUngleich
GrößerKleiner
GrößerKleiner
GrößerKleiner
Vergleich
von Differenzen
Vergleich
von Differenzen
Eindeutige Monotone
Lineare
Transfor- Transfor- Transformamation mationen
tion
Modus
Modus,
Modus,
Zentrale
Median
Median,
Tendenz
Mittelwert
Variations- Variationsbreite breite, ADDispersion
Streuung,
Varianz
Vergleich
von Verhältnissen
Ähnlichkeitstransformation
Modus,
Median,
Mittelwert
Variationsbreite, ADStreuung,
Varianz
Aussagen
Transformationen
-8-
1.2 Häufigkeitsverteilungen
Urliste mit Daten (Messwerte) von n = 92 Teilnehmern der Lehrveranstaltung Statistik im WS 98/99.
Die Liste enthält neben den Probanden-Nummern
(nr) die Variablen „Geschlecht“ (sex), „Ängstlichkeit“ (angst) und „Körperlänge“ (lang).
nr sex angst
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
4
4
4
5
3
4
2
2
3
3
2
5
3
2
2
5
5
2
1
2
4
4
5
lang
173
165
169
174
172
173
176
160
171
170
176
174
170
170
175
195
165
165
166
160
164
177
165
nr sex angst
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
1
1
2
3
4
5
4
2
5
3
1
2
2
5
3
2
3
3
4
5
6
2
4
4
2
2
lang
160
174
174
158
180
180
167
177
167
165
184
168
171
165
170
170
168
178
175
173
170
176
172
-9-
nr sex angst
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1
2
2
5
4
3
4
4
2
2
3
3
2
5
4
4
4
6
7
1
4
5
5
5
lang nr sex angst
lang
163
175
189
170
170
167
169
170
170
181
162
162
171
164
168
168
180
167
175
180
169
165
152
169
175
168
169
164
169
176
185
169
175
166
159
173
184
168
175
176
167
165
176
171
173
171
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
5
5
6
3
4
5
1
5
3
4
4
2
3
2
2
4
3
2
3
4
4
5
4
1.2.1 Univariate Häufigkeitsverteilungen
• Ordnung der Daten nach der jeweiligen Variablen
in aufsteigender Reihenfolge.
• Auszählung des Auftretens einzelner Punktwerte
bzw. Kategorien. Folgende Häufigkeiten lassen
sich bestimmen:
f
h
f%
fkum
hkum
f%kum
Absolute Häufigkeit mit der ein Wert auftritt.
f
Relative Häufigkeit: .
n
f
Prozentuale Häufigkeit: ⋅100.
n
Kumulierte absolute Häufigkeit: Die bis zu
dem betrachteten Wert einschließlich aufsummierten absoluten Häufigkeiten.
Kumulierte relative Häufigkeit: Die bis zu
dem betrachteten Wert einschließlich aufsummierten relativen Häufigkeiten.
Kumulierte prozentuale Häufigkeit: Die bis
zu dem betrachteten Wert einschließlich
aufsummierten prozentualen Häufigkeiten.
f kum
⋅ 100 wird auch als Prozentrang ben
zeichnet.
-10-
Aufsteigende Reihenfolge der „Ängstlichkeit“
nr angst
19
1
31
1
65
1
76
1
7
2
8
2
11
2
14
2
15
2
18
2
20
2
28
2
32
2
33
2
36
2
42
2
45
2
46
2
47
2
nr angst
48
2
54
2
55
2
58
2
81
2
83
2
84
2
87
2
5
3
9
3
10
3
13
3
24
3
30
3
35
3
37
3
38
3
51
3
56
3
nr angst
57
3
73
3
78
3
82
3
86
3
88
3
1
4
2
4
3
4
6
4
21
4
22
4
25
4
27
4
39
4
43
4
44
4
50
4
52
4
-11-
nr angst
53
4
60
4
61
4
62
4
66
4
74
4
79
4
80
4
85
4
89
4
90
4
92
4
4
5
12
5
16
5
17
5
23
5
26
5
29
5
nr angst
34
5
40
5
49
5
59
5
67
5
68
5
69
5
70
5
71
5
75
5
77
5
91
5
41
6
63
6
72
6
64
7
Primäre Häufigkeitsverteilung der „Ängstlichkeit“
Wert
f
1
4
2
23
3
17
4
25
5
19
6
3
7
1
å n = 92
h
0,043
0,250
0,185
0,272
0,207
0,033
0,011
1
f%
4,3
25,0
18,5
27,2
20,7
3,3
1,1
100,0
fkum
4
27
44
69
88
91
92
hkum
0,043
0,293
0,478
0,750
0,957
0,989
1,000
f%kum
4,3
29,3
47,8
75,0
95,7
98,9
100,0
absolute Häufigkeit
30
25
20
15
10
5
0
1
2
3
4
5
6
7
Ängstlichkeit
Abb. 1. Histogramm der Verteilung von „Ängstlichkeit“.
-12-
Primäre Häufigkeitsverteilung der „Körperlänge“
Wert
152
158
159
160
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
180
181
184
185
189
195
å
f
1
1
1
3
2
1
3
8
2
5
6
7
10
5
2
5
4
7
6
2
1
4
1
2
1
1
1
n = 92
h
0,011
0,011
0,011
0,033
0,022
0,011
0,033
0,087
0,022
0,054
0,065
0,076
0,109
0,054
0,022
0,054
0,043
0,076
0,065
0,022
0,011
0,043
0,011
0,022
0,011
0,011
0,011
1
f%
1,1
1,1
1,1
3,3
2,2
1,1
3,3
8,7
2,2
5,4
6,5
7,6
10,9
5,4
2,2
5,4
4,3
7,6
6,5
2,2
1,1
4,3
1,1
2,2
1,1
1,1
1,1
100,0
-13-
fkum
1
2
3
6
8
9
12
20
22
27
33
40
50
55
57
62
66
73
79
81
82
86
87
89
90
91
92
hkum
0,011
0,022
0,033
0,065
0,087
0,098
0,130
0,217
0,239
0,293
0,359
0,435
0,543
0,598
0,620
0,674
0,717
0,793
0,859
0,880
0,891
0,935
0,946
0,967
0,978
0,989
1,000
f%kum
1,1
2,2
3,3
6,5
8,7
9,8
13,0
21,7
23,9
29,3
35,9
43,5
54,3
59,8
62,0
67,4
71,7
79,3
85,9
88,0
89,1
93,5
94,6
96,7
97,8
98,9
100,0
absolute Häufigkeit
12
10
8
6
4
2
15
2
15
6
16
0
16
4
16
8
17
2
17
6
18
0
18
4
18
8
19
2
0
Körperlänge
Abb. 2. Histogramm der „Körperlänge“.
Sekundäre Häufigkeitsverteilung der „Körperlänge“
Kategorie
f
1
150 – 154
2
155 – 159
9
160 – 164
28
165 – 169
26
170 – 174
16
175 – 179
7
180 – 184
2
185 – 189
0
190 – 194
1
195 – 199
å n = 92
h
0,011
0,022
0,098
0,304
0,283
0,174
0,076
0,022
0,000
0,011
1
f%
1,1
2,2
9,8
30,4
28,3
17,4
7,6
2,2
0,0
1,1
100,0
-14-
fkum
1
3
12
40
66
82
89
91
91
92
hkum
0,011
0,033
0,130
0,435
0,717
0,891
0,967
0,989
0,989
1,000
f%kum
1,1
3,3
13,0
43,5
71,7
89,1
96,7
98,9
98,9
100,0
absolute Häufigkeit
30
25
20
15
10
5
0
150- 155- 160- 165- 170- 175- 180- 185- 190- 195154 159 164 169 174 179 184 189 194 199
Körperlänge
absolute Häufigkeit
Abb. 3. Histogramm der kategorisierten „Körperlänge“.
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0
weiblich
männlich
Geschlecht
Abb. 4. Histogramm von „Geschlecht“.
-15-
1.2.2 Bivariate Häufigkeitsverteilungen
• Ordnung der Daten nach den jeweiligen Variablenpaaren in aufsteigender Reihenfolge.
• Auszählung des Auftretens einzelner Kombinationen von Punktwerten bzw. Kategorien.
Aufsteigende Reihenfolge von „Geschlecht“ und
„Ängstlichkeit“
nr sex angst nr sex angst nr sex angst nr sex angst nr sex angst
19 1
1 58 1
2 78 1
3 60 1
4 40 1
5
31 1
1 81 1
2 82 1
3 61 1
4 59 1
5
65 2
1 84 1
2 86 1
3 62 1
4 67 1
5
76 2
1 87 1
2 88 1
3 66 1
4 68 1
5
7 1
2 15 2
2 51 2
3 74 1
4 69 1
5
8 1
2 42 2
2 56 2
3 79 1
4 70 1
5
11 1
2 46 2
2 2 1
4 80 1
4 71 1
5
14 1
2 83 2
2 3 1
4 85 1
4 75 1
5
18 1
2 5 1
3 6 1
4 89 1
4 91 1
5
20 1
2 9 1
3 21 1
4 90 1
4 16 2
5
28 1
2 10 1
3 22 1
4 92 1
4 49 2
5
32 1
2 13 1
3 25 1
4 1 2
4 77 2
5
33 1
2 24 1
3 27 1
4 4 1
5 41 1
6
36 1
2 30 1
3 39 1
4 12 1
5 72 1
6
45 1
2 35 1
3 43 1
4 17 1
5 63 2
6
47 1
2 37 1
3 44 1
4 23 1
5 64 1
7
48 1
2 38 1
3 50 1
4 26 1
5
54 1
2 57 1
3 52 1
4 29 1
5
55 1
2 73 1
3 53 1
4 34 1
5
-16-
Primäre Häufigkeitsverteilung von „Geschlecht“
und „Ängstlichkeit“
sex angst
f
1
1
2
1
2
19
1
3
15
1
4
24
1
5
16
1
6
2
1
7
1
2
1
2
2
2
4
2
3
2
2
4
1
2
5
3
2
6
1
2
7
0
n = 92
å
h
0,022
0,207
0,163
0,261
0,174
0,022
0,011
0,022
0,043
0,022
0,011
0,033
0,011
0,000
1
-17-
f%
2,2
20,7
16,3
26,1
17,4
2,2
1,1
2,2
4,3
2,2
1,1
3,3
1,1
0,0
100,0
Darstellung in einer Kreuztabelle oder Kontingenztafel:
angst
1
2
3
4
5
6
7
Σ
sex
1
2
2,2
19
20,7
15
16,3
24
26,1
16
17,4
2
2,2
1
1,1
79
85,8
-18-
2
2
2,2
4
4,3
2
2,2
1
1,1
3
3,3
1
1,1
0
0,0
13
14,2
Σ
4
4,3
23
25,0
17
18,5
25
27,2
19
20,7
3
3,3
1
1,1
92
100,0
1.3 Statistische Kennwerte
Statistische Kennwerte (etwas verwirrend häufig
auch Statistiken genannt) haben die Funktion, in zusammengefaßter (aggregierter) Form Auskunft über
Eigenschaften von Verteilungen zu geben.
Grundlegende statistische Kennwerte sind
• Maße der zentralen Tendenz, die die Lage (Lokation) einer Reihe von Meßwerten zusammenfassend repräsentieren und
• Dispersionsmaße (Streuungsmaße), die Auskunft
über die Variabilität (Breite der Streuung um einen Zentralwert) einer Reihe von Meßwerten geben.
-19-
1.3.1 Maße der zentralen Tendenz
Durch welchen Wert wird eine Vielzahl von Werten
am besten repräsentiert? – Hierzu geben Maße der
zentralen Tendenz Auskunft über die Lage bzw.
Lokation einer Verteilung in Termini der zugrundeliegenden Skala.
Modalwert (Modus)
Der Modalwert oder Modus ist der Wert, der in einer Verteilung am häufigsten vorkommt. Es kann
auch mehr als einen Modus geben.
Beispiele:
Mosex = 1, Moangst = 4, Molang = 170.
-20-
Median
Der Median ist der Wert, der eine der Größe nach
geordnete Merkmalsverteilung in zwei gleichgroße
Hälften teilt. Bei gerader Anzahl von Werten wird
das arithmetische Mittel aus dem größten Wert der
unteren Hälfte und dem kleinsten Wert der oberen
Hälfte bestimmt.
Statistische Eigenschaften:
Die Summe der absoluten Abweichungen vom Median ist minimal.
Beispiele:
x( 46) + x( 47 ) 4 + 4
Md angst =
=
= 4 , wobei x(a) der a-te
2
2
Wert in der aufsteigenden Reihenfolge ist;
Mdlang = 170.
-21-
Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel bzw. der Mittelwert ist die
Summe aller Messwerte dividiert durch die Anzahl
der Messwerte n:
n
å xi
x = i =1 .
n
Statistische Eigenschaften:
• Die Summe der Abweichungen aller Messwerte
vom Mittelwert ist Null.
• Die Summe der quadrierten Abweichungen der
Messwerte vom Mittelwert ist ein Minimum.
Beispiel: xlang = 15717 = 170,837 .
92
-22-
Zusammenhang zwischen Modus, Median und
Mittelwert
-23-
Statistische Kennwerte der zentralen Tendenz
und Skalenniveaus
Zentrale
Tendenz
Nominal
Modus
Ordinal
Modus,
Median
Intervall
Modus,
Median,
Mittelwert
Verhältnis
Modus,
Median,
Mittelwert
Weitere Lokationsmaße
Geometrisches Mittel, harmonisches Mittel, gewichtetes Mittel, getrimmtes Mittel u.v.a.m..
Perzentile
Das Perzentil PX% ist der Punkt auf einer Skala,
unterhalb dessen X% der aufsteigend angeordneten
Messwerte einer Stichprobe liegen. Der Median ist
das 50%-Perzentil einer Verteilung.
-24-
1.3.2 Dispersionsmaße
Zwei Verteilungen können gleiche Maße der Zentralen Tendenz haben, dabei aber durchaus unterschiedlich breit streuen. Dispersionsmaße geben
Auskunft über die Streuung bzw. Variabilität der
Werte.
Variationsbreite
Die Variationsbreite (engl. Range) ist die Differenz
zwischen dem größten (Maximum) und dem kleinsten Wert (Minimum).
-25-
Varianz
Die Varianz ist die Summe der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert, dividiert durch die Anzahl
der Messwerte n:
n
å ( xi − x ) 2
s 2 = i =1
n
.
Dieser Kennwert ist auf den ersten Blick nur schwer
interpretierbar, hat aber in der Statistik einen hohen
Stellenwert.
Standardabweichung
Die Standardabweichung oder Streuung ist die
Wurzel aus der Varianz:
n
s = s2 =
å ( xi − x ) 2
i =1
n
.
Statistische Kennwerte der Dispersion und Skalenniveaus
Nominal
Dispersion
Ordinal
Variationsbreite
-26-
Intervall
Variationsbreite,
Varianz
Verhältnis
Variationsbreite,
Varianz
Beispiel
Deskription von „Geschlecht“, „Ängstlichkeit“ und
„Körperlänge“
sex
92
0
Angst
92
0
lang
92
0
--1,000
-4,000
4,000
170,837
170,000
170,000
Varianz
Standardabweichung
Minimum
Maximum
Variationsbreite
------
--1,000
7,000
6,000
45,832
6,770
152,000
195,000
43,000
Perzentile
------
2,000
2,000
4,000
4,000
6,000
160,000
167,000
170,000
175,000
184,000
n gültig
fehlende Werte
Mittelwert
Median
Modus
5%
25%
50%
75%
95%
-27-
1.4 Die z-Transformation
Die z-Transformation überführt jede Verteilung in
eine Verteilung mit Mittelwert 0 und Streuung bzw.
Varianz 1:
xi − x
zi =
.
sx
Die z-Transformation ermöglicht den relativen
Vergleich von Variablenausprägungen, da sie Mittelwerts- und Streuungsunterschiede „wegrelativiert“.
-28-
Beispiel
Ist eine Psychologiestudentin mit 184 cm Körperlänge relativ länger als ein Psychologiestudent derselben Länge? Relativ bedeutet in Bezug zur jeweiligen Geschlechtsgruppe.
N
Mittelwert
Streuung
zFrauen =
Körperlänge
Frauen
Männer
79
13
169,456
179,231
5,632
7,040
184 − 169,456
= 2,582
5,632
zMänner =
184 − 179,231
= 0,677
7,040
Während eine Frau von 184 cm Körperlänge um
2,582 Einheiten (Standardabweichungen) über dem
Mittelwert liegt, liegt ein Mann derselben Länge um
nur 0,677 Einheiten (Standardabweichungen) über
dem Mittelwert, jeweils in Bezug zur Geschlechtsgruppe. Die Frau besitzt also eine „überdurchschnittlichere“ Länge.
-29-
1.5 Zusammenhangsmaße
200
Länge Y
190
180
y = 170,837
170
160
150
40
x = 59,846
50
60
70
80
90
100
Gewicht X
Abb. 5. Streudiagramm (Scatterplot) der Variablen
„Körperlänge und -gewicht“ (n = 92).
-30-
1.5.1 Kovarianz und Korrelation
Mit der Kovarianz läßt sich bestimmen, wie sich die
relativen Positionen von gepaarten Messwerten aus
zwei Variablen zueinander verhalten:
n
å ( xi − x )( yi − y )
cov( x,y ) = i =1
n
.
Die Kovarianz kann nur hinsichtlich ihres Vorzeichens, nicht aber hinsichtlich ihrer Größe interpretiert werden.
• Ein positives Vorzeichen der Kovarianz zeigt an,
daß sowohl überdurchschnittliche Werte von X
stärker mit überdurchschnittlichen Werten von Y
gepaart sind als auch, daß unterdurchschnittliche
Werte von X stärker mit unterdurchschnittlichen
Werten von Y zusammen auftreten.
• Ein negatives Vorzeichen zeigt entprechend an,
daß überdurchschnittliche Werte von X stärker
mit unterdurchschnittlichen Werten von Y gepaart
sind und umgekehrt.
-31-
Die Kovarianz kann maximal den Wert sx·sy annehmen. Dies ist damit ein sehr schöner Term zur
Relativierung bzw. Standardisierung von Kovarianzen.
Diese Standardisierung nennt
Moment-Korrelation r(x,y).
r( x , y )
man
Produkt-
cov( x , y )
=
.
sx ⋅ s y
Die Korrelation rx,y kann Werte zwischen –1 und +1
annehmen, wobei
• –1 einen perfekt negativen linearen Zusammenhang anzeigt,
• +1 einen perfekt positiven linearen Zusammenhang anzeigt und
• 0 keinen linearen Zusammenhang anzeigt.
Perfekter linearer Zusammenhang: Die Werte der
einen Variablen lassen sich durch eine Lineartransformation in die der anderen überführen:
yi = a·+ b·xi
-32-
Beispiel:
xi
62
53
70
70
66
å 321
yi
176
166
177
175
176
870
xi − x
yi − y ( xi − x )⋅( yi − y )
2,0
−4,4
89,6
−8,0
3,0
17,4
1,0
5,8
2,0
3,6
0
112
−2,2
−11,2
5,8
5,8
1,8
0
x = 64,2, sx = 40,16 = 6,337
y = 174,0, sy = 16,4 = 4,050
cov(x,y) = 112 = 22,4
5
cov( x , y )
22,4
r( x , y ) =
=
= 0,873
sx ⋅ s y
6,337 ⋅ 4,050
Korrelation und Kausalität
Die Kovariation zweier Variablen kann auf eine
kausale Beziehung der beiden Variablen oder auf
die Beeinflussung durch eine oder mehrere Drittvariablen zurückgehen. Auf Basis einer Korrelation
kann nicht auf die Art der Verursachung geschlossen werden. (Z.B. korrelieren bei Kindern Intelligenz und Schuhgröße.)
-33-
1.5.2 Weitere bivariate Zusammenhangsmaße
dichotom
ordinal
dichotomintervall
isiert
dichotom
ordinal
Phi
Rangbiserial
−
Punktbiserial
Rangkorrelation
−
−
(Tau,Rho)
dichotomisiert
TetrachoBiserial
risch
ProduktMoment
intervall
-34-
1.6 Lineare Regression
Hängen zwei Variablen (wie z.B. Körperlänge und
Gewicht) zusammen, so ist es möglich, eine Variable jeweils auf Basis der anderen vorherzusagen.
Die Vorhersagevariable wird als unabhängige Variable oder Prädiktorvariable (X) bezeichnet, die
Variable, die vorhergesagt werden soll, als abhängige Variable oder Kriteriumsvariable (Y).
Im Rahmen der bivariaten Regression wird die
Vorhersage über folgende lineare Beziehung vorgenommen:
yˆi = a + b ⋅ xi , wobei
ŷi = vorhergesagter Wert, a = Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse (Ordinatenabschnitt, Interzept) und b = Steigung der Geraden.
Ziel ist die Bestimmung einer Geraden, die den Gesamttrend aller Punkte am besten wiedergibt.
-35-
Beispiel:
Für die Körper der 92 Erstsemester des WS 1998
ermittelt man folgende Gleichung:
Länge = 139,74 + 0,52 ⋅ Gewicht.
200
Länge Y
190
180
170
160
150
40
50
60
70
80
90
100
Gewicht X
Abb. 6. Lineare Regression von Länge auf Gewicht
(n = 92).
-36-
1.6.1 Bestimmung der Geradengleichung
Bei der linearen Regression wird die Gleichung
yˆi = a + b ⋅ xi
gesucht, für die die Summe der quadrierten Abweichungen zwischen vorhergesagten und tatsächlichen
Werten minimal ist (Kriterium der kleinsten Quadrate):
n
å ( yi − yˆi ) 2 =
i =1
n
2
[
y
−
(
a
+
b
⋅
x
)
]
= min .
å i
i
i =1
Durch partielle Ableitung dieser Funktion nach a
bzw. b lassen sich allgemeine Lösungen sowohl für
a als auch für b finden, die obiges Kriterium erfüllen:
cov ( x , y )
byx =
und a yx = y − byx ⋅ x .
2
sx
Bei byx und ayx bezeichnet der erste Index (hier y)
die Variable, die vorhergesagt wird, und der zweite
Index die Variable, die vorhersagt (hier x).
-37-
Beispiel:
Körpergewicht X
(Prädiktor)
62
53
70
70
66
Körperlänge Y
(Kriterium)
176
166
177
175
176
x = 64,2, sx = 40,16 = 6,337, y = 174,0
cov(x,y) = 112 = 22,4
5
cov( x , y ) 22,4
byx =
=
= 0,558
2
40,16
sx
a yx = y − b yx ⋅ x = 174 − 0,558 ⋅ 64,2 = 138,176
Die Regressionsgleichung lautet also:
yˆi = 138,176 + 0,558 ⋅ xi
-38-
178
176
Länge Y
174
172
170
168
166
164
50
60
70
80
Gewicht X
Abb. 7. Lineare Regression von Länge auf Gewicht.
Für eine Person, die 70 kg wiegt, sagen wir gemäß
der linearen Regression folgende Körperlänge voraus:
ŷ = 138,176 + 0,558 ⋅ 70
= 177,236.
-39-
1.6.2 Beobachtete, vorhergesagte und Residualwerte
Die Abweichungen der beobachteten Werte von den
vorhergesagten Werten heißen Regressionsresiduen:
yi∗ = yi − yˆ i .
Die Residuen enthalten die Anteile der Kriteriumsvariablen, die durch die Prädiktorvariable nicht erfaßt werden.
Mittelwerte
• Die Mittelwerte der Kriteriumsvariablen und der
vorhergesagten Werte sind gleich:
1 n y = 1 n yˆ .
å
å
n i =1 i n i =1 i
• Der Mittelwert der Residuen ist 0:
1 n y* = 0.
å
n i =1 i
Im Beispiel:
ŷi
yi
xi
yi∗
å
AM
62
53
70
70
66
321
64,2
176
166
177
175
176
870
174
172,772
167,750
177,236
177,236
175,004
870
174
-40-
3,228
−1,750
−0,236
−2,236
0,996
0
0
Zerlegung der Kriteriumsvarianz
Die Varianz der y-Werte setzt sich additiv aus der
Varianz der vorhergesagten ŷ -Werte und der
Varianz der Residuen y* zusammen:
s 2y = s 2yˆ + s 2y * .
Im Beispiel:
16,4 = 12,5 + 3,9.
Determinationskoeffizient
Varianzanteil der abhängigen Variablen, der mit der
unabhängigen vorhergesagt bzw. erklärt werden
kann:
2
s
yˆ
2
r( y , yˆ ) = 2 .
sy
Im Beispiel:
12,5/16,4 = 0,762.
0,762 ⋅ 100% = 76,2% der Varianz der „Körperlänge“ kann durch das „Körpergewicht“ erklärt werden
(und umgekehrt).
-41-
Korrelationen
• Die Korrelation zwischen Kriterium und Vorhersage ist gleich der Korrelation zwischen Kriterium und Prädiktor:
r( y , yˆ ) = r( y , x ) .
• Die Korrelation zwischen Prädiktor und Residuen
ist 0:
r(x,y*) = 0.
• Für die Korrelation zwischen Kriterium und Residuen gilt:
r(2y , y*) = 1 − r(2x , y ) .
Im Beispiel:
x
y
ŷ
y*
x
1
ŷ
1,000
0,873
1
y
0,873
1
y*
0,000
0,488
0,000
1
0,4882 = 0,238 = 1 − 0,762 = 1 − 0,8732
-42-
2 Wahrscheinlichkeit und Verteilungen
2.1 Wahrscheinlichkeit
Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer wohldefinierter Vorgang, dessen Ausgang
nicht vorhersagbar ist.
Ein Ausgang wird als Ergebnis oder Elementarereignis ω, die Menge aller Elementarereignisse
wird als Ergebnisraum Ω = {ω1, ω2, ..., ωn} bezeichnet. Die Ergebnisse eines Raumes sind vollständig und schließen sich gegenseitig aus.
Bei der theoretischen (kombinatorischen) Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit geht man oft von
der Gleichwahrscheinlichkeit aller Ergebnisse aus:
p( A) =
Anzahl günstiger Ergebnisse
.
Anzahl möglicher Ergebnisse
Günstige Ergebnisse sind solche, bei denen sich A
ereignet, mögliche Ergebnisse sind alle Ergebnisse
des endlichen Ergebnisraumes (A kann durchaus
mehr als ein einziges ωi umfassen).
-43-
Beispiel 1:
Zufallsexperiment „Münzwurf“: Die möglichen
Elementarereignisse sind „Kopf“ (K) und „Zahl“
(Z): Ω = {K, Z}. Unter Annahme einer „fairen“
Münze (Gleichwahrscheinlichkeit) ist p(K) = p(Z) =
½.
Beispiel 2:
Zufallsexperiment „Reißzweckenwurf“: Der Ergebnisraum ist auch hier Ω = {ω1, ω2} = {„Spitze
oben“, „Spitze schräg unten“}, aber die Annahme
der Gleichwahrscheinlichkeit ist unplausibel. In
solchen Fällen können die p(ωi) meist nur über
viele Versuche geschätzt werden.
Ein statistischer Schätzer der Wahrscheinlichkeit
eines Ereignisses A ist die relative Häufigkeit eben
dieses Ereignisses:
h( A) =
f ( A)
.
n
-44-
Begriffe:
• Der Durchschnitt A∩B bedeutet, daß sich A und B
ereignen.
• Die Vereinigung A∪B bedeutet, daß sich A
und/oder B ereignen.
• Addition: p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B).
• Disjunkt bzw. unvereinbar sind Ereignisse, die
keinen Durchschnitt besitzen; dann gilt: p(A∪B) =
p(A) + p(B).
• Multiplikation: p(A∩B) = p(B) ⋅ p(A|B).
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit p(A|B) ist die
Wahrscheinlichkeit von A, sofern B eingetreten ist:
p( A ∩ B)
p( A | B) =
.
p( B)
Ein Schätzer für p(A|B) ist die bedingte, relative
Häufigkeit:
h( A | B ) =
h( A ∩ B ) f ( A ∩ B ) n f ( A ∩ B )
.
=
=
h( B )
f (B ) n
f (B )
-45-
Beispiel:
In einer Zufallsstichprobe mit n = 1000 sind:
• Frauen: 500.
• Raucherinnen: 100.
• Raucher: 150.
R („raucht“)
f
R
F (Frau) f(F ∩ R) = 100 f(F ∩ R ) = 400 500
F (Mann) f( F ∩ R) =150 f( F ∩ R ) =350 500
250
750
1000
f
Der Anteil der Frauen an der gesamten Stichprobe
beträgt: h(F) = 500/1000 = 0,5.
Wie groß ist der Anteil der Frauen unter den Rauchern und Rauerinnen?
f ( F ∩ R ) 100
h ( F|R ) =
=
= 0 ,4 .
f (R )
250
Oder: Wie groß ist der Anteil der Raucher und
Rauerinnen unter den Frauen?
f ( F ∩ R ) 100
h( R|F ) =
=
= 0,2 .
f (F )
500
h(F) ≠ h(F | R) deutet daraufhin, daß die Ereignisse
F und R nicht unabhängig voneinander auftreten.
-46-
Stochastische Unabhängigkeit
Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame Auftreten der Ereignisse A und B dem
Produkt ihrer Einzelwahrscheinlichkeiten entspricht: p(A∩B) = p(A) ⋅ p(B).
Äquivalent hierzu ist p(A) = p(A|B), sofern p(B) > 0,
und p(B) = p(B|A), sofern p(A) > 0.
Wenn A unabhängig von B, dann ändert das Eintreten von B nichts an der Eintretenswahrscheinlichkeit von A, und umgekehrt.
-47-
Beispiel für Unabhängigkeit:
F
F
p
R
0,1
0,1
0,2
R
0,4
0,4
0,8
p
0,5
0,5
1
Bei Unabhängigkeit müßte gelten:
p(R)⋅p(F)=p(R∩F).
Das ist hier der Fall:
0,2 ⋅ 0,5 = 0,1.
Dann gilt auch:
p(R|F) = p(R) ó 0,1 / 0,5 = 0,2.
Beispiel für Abhängigkeit:
F
F
p
R
0,05
0,15
0,2
R
0,45
0,35
0,8
Bei Unabhängigkeit müßte gelten:
p(R) ⋅ p(F) = p(R∩F),
aber:
0,2 ⋅ 0,5 ≠ 0,05.
Dann ist auch:
p(R|F) ≠ p(R), hier: 0,05 / 0,5 ≠ 0,2.
-48-
p
0,5
0,5
1
2.2 Diskrete Verteilungen
Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktionen ordnen einer endlichen Anzahl von Ereignissen Auftretenswahrscheinlichkeiten zu.
Zufallsexperiment „Wurf von 2 Münzen“:
Mögliche Ergebnisse: Ω={ZZ, ZK, KZ, KK}. Wenn
die Münzen fair und unabhängig voneinander sind,
tritt jedes Ergebnis mit p = ¼ = 0,5 ⋅ 0,5 = 0,25 auf.
Bei den möglichen Ergebnissen wird die Abfolge
der Ereignisse (mit welcher Münze was geworfen
wird) berücksichtigt. Man kann aber auch fragen,
wie wahrscheinlich ist es, X × Kopf zu werfen:
p(„0 × Kopf“) = p({ZZ}) = 0,25.
p(„1 × Kopf“) = p({ZK, KZ}) = 0,5.
p(„2 × Kopf“) = p({KK}) = 0,25.
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 x Kopf
1 x Kopf
2 x Kopf
Abb. 8. Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion.
-49-
Zufallsexperiment „Wurf von 3 Münzen“:
Ω={ZZZ, ZZK, ZKZ, KZZ, ZKK, KZK, KKZ, KKK},
p(ωi) = 1/8 = 0,53 = 0,125.
p(„0 × Kopf“) = p({ZZZ}) = 0,125.
p(„1 × Kopf“) = p({ZZK, ZKZ, KZZ}) = 0,375.
p(„2 × Kopf“) = p({ZKK, KZK, KKZ}) = 0,375.
p(„3 × Kopf“) = p({KKK}) = 0,125.
0,4
0,35
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
0
0 x Kopf
1 x Kopf
2 x Kopf
3 x Kopf
Abb. 9. Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion.
-50-
Binomialverteilung
Ein Experiment, welches in der n-fachen Wiederholung von unabhängigen Einzelexperimenten mit
nur zwei möglichen Ausgängen besteht, heißt Bernoulli-Experiment. Wenn ein Ereignis X in einem
Einzelexperiment mit einer Wahrscheinlichkeit p
auftritt, dann kann die Wahrscheinlichkeit P, daß X
in n Wiederholungen k-mal auftritt, allgemein bestimmt werden:
ænö k
n −k
P ( X = k ) = ç ÷ ⋅ p ⋅ (1 − p ) .
èk ø
Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion heißt Binomialverteilung und gibt an, wie wahrscheinlich das Eintreten eines Ereignisses X = k ist.
Die Verteilungsfunktion hingegen gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis höchstens kmal auftritt:
ænö j
n− j
P ( X ≤ k ) = å ç ÷ ⋅ p ⋅ (1 − p ) .
j =0 è j ø
k
Die Verteilungsfunktion ist die kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion.
-51-
0,3
0,25
0,2
0,15
0,1
0,05
X
=9
X
=1
0
X
=8
X
=7
X
=6
X
=5
X
=4
X
=3
X
=2
X
=1
X
=0
0
Abb. 10. Wahrscheinlichkeitsverteilung mit
p= 0,35, n = 10.
X
=0
X
<=
1
X
<=
2
X
<=
3
X
<=
4
X
<=
5
X
<=
6
X
<=
7
X
<=
8
X
<=
X 9
<=
10
1
0,9
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
Abb. 11. Verteilungsfunktion für p = 0,35, n = 10.
Andere diskrete Verteilungen sind die hypergeometrische, die Poisson- und die multinomiale Verteilung.
-52-
2.3 Stetige Verteilungen
In einem Zufallsexperiment mit einer stetigen Variable besteht die Ergebnismenge aus unendlich
vielen möglichen Ergebnissen. Die Wahrscheinlichkeit einzelner Ergebnisse läßt sich daher nicht
bestimmen.
Stetige Verteilungen werden nicht mit Balken, sondern mit Kurven symbolisiert.
Abb. 12. Binomial- vs. Normalverteilung.
-53-
Die Gesamtfläche unter der Kurve ist auf 1 normiert, was bedeutet, daß mit einer Wahrscheinlichkeit 1 irgendein Ergebnis eintritt. Die Fläche über
einem Intervall von zwei Werten gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit Werte innerhalb dieses
Intervalls eintreten.
Abb. 13. Wahrscheinlichkeit eines Intervalls ∆X.
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer stetigen
Verteilung wird als Wahrscheinlichkeitsdichte oder
Dichtefunktion bezeichnet. Erst über Integrale dieser Dichtefunktion können Werteintervallen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet werden.
-54-
Die Dichtefunktion der Normalverteilung lautet:
1
− ( x −µ) 2
f ( x) =
⋅e
2
2π ⋅ σ
2σ 2
.
Diese Funktion beschreibt eine Schar von Verteilungen, die sich hinsichtlich µ und σ unterscheiden.
Abb. 14. Verschiedene Normalverteilungen.
-55-
Eigenschaften der Normalverteilung:
• Glockenförmiger Verlauf.
• Symmetrie, d.h. Modalwert, Median und Mittelwert fallen zusammen.
• Die Verteilung nähert sich asymptotisch der xAchse.
• Zwischen den zu den Wendepunkten gehörenden
x-Werten befinden sich ungefähr 2/3 der Gesamtfläche.
Standardnormalverteilung
Durch eine z-Transformation kann jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung mit µ =
0 und σ = 1 [Abk.: N(0, 1)] überführt werden:
1
−z2 2
f ( z) =
⋅e
.
2π
Diese Dichte (siehe „Ordinate“) und deren Verteilungsfunktion (siehe „Fläche“) ist bei Bortz (1999)
in Tabelle B (S. 768-772) wiedergegeben.
-56-
Beispiele
• Wie groß ist die Fläche von −∞ bis −1,96?
p(z ≤ −1,96) = F(z = −1,96) = 0,025.
• Wie groß ist die Fläche zwischen −1 und 1?
p(−1 ≤ z ≤ 1) = F(z = 1) − F(z = –1) = 0,8413 –
0,1587 = 0,6826.
D.h. bei Normalverteilungen liegen zwischen −σ
und +σ immer 68,26% aller Werte.
• Wie groß ist die Fläche von 1,65 bis +∞?
p(z ≥ 1,65) = 1 – F(z = 1,65) = F(z = –1,65) =
0,0495.
Bedeutsamkeit der Normalverteilung
Die Normalverteilung nimmt eine zentrale Stellung
unter den theoretischen Verteilungen ein, da sich
verschiedene Verteilungen von ihr herleiten (χ2, t,
F) und andere gegen sie konvergieren (Binomial,
Poisson).
Die Normalverteilung dient als theoretisches Modell für die Verteilung von ...
• Stichprobenkennwerten,
• Zufallsfehlern,
• (manchen) empirischen Merkmalen.
-57-
Literatur
Grundlage dieser Veranstaltung:
Βοrtz, J. (1999). Statistik für Sozialwissenschaftler.
Berlin: Springer.
Weitere Einführungen:
Diehl, J.M. & Kohr, H.U. (1991). Deskriptive Statistik. Frankfurt a.M.: Klotz.
Diehl, J.M. & Arbinger, R. (1989). Einführung in
die Inferenzstatistik. Frankfurt a.M.: Klotz.
Hays, W.L. (1988). Statistics. Orlando: Holt, Rinehart & Winston.
Krengel, U. (1988). Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. Wiesbaden: Vieweg.
-58-
Griechisches Alphabet
Α
Β
Γ
∆
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
ϑ
ι
κ
λ
µ
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Jota
Kappa
Lambda
My
-59-
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Dieses Skript richtet sich nach den Anforderungen, die die Abteilung Methodenlehre & Diagnostik für das Vordiplom stellt. Das Skript erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit und Richtigkeit, ist aber sicher eine gute Hilfe zum
Verständnis der Thematiken sowie zur Prüfungsvorbereitung.
Bortz:
Statistik
SKRIPTLISTE:
Grundstudium:
erstellt
Hauptstudium:
erstellt
B – Methodenlehre (+ Bortz)
2002
C – Allgemeine Psychologie 1
2001
D – Wahrnehmung & Denken
2002
KEINE weiteren Skripte geplant
weitere Skripte in Vorbereitung
Viel Spaß!
Manuel Ulrich
Zur Überprüfung: 151 Seiten
Erstellt wurde das Skript Januar bis April 2002.
1
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Inhaltsverzeichnis:
Diverses:
S. 5
(Konzeption des Skriptes; Literaturliste; griechisches Alphabet; Warnhinweis)
Statistik (B2):
Deskriptive Statistik:
S. 8
(Skalenniveaus; Maße der zentralen Tendenz: Modus, Median & Arithmetisches Mittel; Dispersionsmaße: Variationsbreite und Perzentile, Quadratsummen, Varianz und Standardabweichung; z-Werte)
Merkmalszusammenhänge & -vorhersagen:
S. 12
(Kovarianz und Korrelation; Korrelation und Kausalität; Lineare Regression; Beobachtete, vorhergesagte und Residualwerte; Determinationskoeffizient)
Wahrscheinlichkeitstheorie und -verteilungen:
S. 16
(Zufallsexperimente; Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung; Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie;
Das Theorem von Bayes; Variationen, Permutationen, Kombinationen; Verteilungsfunktionen; Diskrete Verteilungen; Stetige Verteilungen 1: Normalverteilung & Standardnormalverteilung; Stetige Verteilungen 2: Chi2 -Verteilung,
t-Verteilung sowie F-Verteilung; Zusammenhänge von NV, STNV, Chi2 -, t- und F -Verteilung)
Stichprobe und Grundgesamtheit:
S. 27
(Begriffe der Inferenzstatistik; Stichprobenarten; Verteilung von Stichprobenkennwerten; Kriterien der Parameterschätzung: Erwartungstreue, Konsistenz, Effizienz, Suffizienz; Methoden der Parameterschätzung: Methode der
kleinsten Quadrate, Maximum-likelihood-Methode; Intervallschätzung: Wertebereich, Konfidenzintervalle; Bedeutung des Stichprobenumfangs)
Formulierung und Überprüfung von Hypothesen:
S. 35
(Alternativhypothesen; Varianten von Alternativhypothesen; Die Nullhypothese; Fehlerarten bei statistischen Entscheidungen: Alpha- & Beta-Fehler; Signifikanzaussagen; Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit; Einseitige
und zweiseitige Tests; Statistische Signifikanz und praktische Bedeutsamkeit; Effektgröße; Der Beta-Fehler; Indifferenzbereiche; Teststärke („power“); Bedeutung der Stichprobengröße; Monte-Carlo-Studien, Bootstrap-Technik)
Verfahren zur Überprüfung von Unterschiedshypothesen:
S.44
(Verfahren für Intervalldaten; z-Test, t-Test; t-Test für unabhängige Stichproben; t-Test für abhängige Stichproben;
chi2 -Test für eine Varianz; F-Test; Verfahren für Ordinaldaten; Randomisationstest nach Fisher; U-Test; WilcoxonTest; Verfahren für Nominaldaten; Vergleich der Häufigkeit eines zweifach gestuften Merkmals; Vergleich der Häufigkeit eines k-fach gestuften Merkmals; 4-Felder-chi2 -Test; k x l-chi2 -Test; Konfigurationsanalyse; Allgemeine
Bemerkungen zu den chi2 -Techniken)
Verfahren zur Überprüfung von Zusammenhangshypothesen:
S.65
(Die Statistische Absicherung von linearen Regressionen; Determinanten der Vorhersagegenauigkeit; Nonlineare
Regression; Interpretationshilfen für r; k-fach gestufte Merkmale; Korrelation für nonlineare Zusammenhänge; Fischers Z-Transformation; Spezielle Korrelationstechniken)
2
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Varianzanalyse (B3):
Einfaktorielle Versuchspläne:
S. 75
(Begriffe der Varianzanalyse; Grundprinzip der einfaktoriellen Varianzanalyse; Quadratsummenzerlegung; Varianzschätzungen; Entscheidung; Effektgrößen; Varianzaufklärung; Voraussetzungen; Einzelvergleiche; Alpha-FehlerKorrektur; Scheffé -Test; Trendtests; Zusammenhänge; Rangvarianzanalyse)
Mehrfaktorielle Versuchspläne:
S. 88
(Zweifaktorielle Varianzanalyse; Quadratsummen; Freiheitsgrade und Varianzschätzungen; Hypothesenprüfung;
Varianzaufklärung; Interaktionsdiagramme; Feste und zufällige Faktoren; Effektgrößen und Einzelvergleiche; Dreiund mehrfaktorielle Varianzanalysen; Ungleiche Stichprobengrößen; Voraussetzungen)
Versuchspläne mit Messwiederholungen:
S. 97
(Einfaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholung; Datenschema; Hypothesen; Quadratsummen; Varianzschätzungen; Prüfung der Nullhypothese; Trendtests und Einzelvergleiche; Mehrfaktorielle Varianzanalyse mit Messwiederholung; Mathematik total; Voraussetzungen)
Kovarianzanalyse:
S. 103
(Einfaktorielle Kovarianzanalyse; Datenschema; Hypothesen; Quadratsummen; Freiheitsgrade und Varianzschätzungen; Hypothesenprüfung; Unterschiedliche Stichprobengrößen, A-priori Einzelvergleiche; Effektgrößen; Zusammenfassung; Voraussetzungen; Mehrfaktorielle Kovarianzanalyse; Kovarianzanalyse mit Messwiederholung)
Unvollständige, mehrfaktorielle Versuchspläne:
S. 109
(Hierarchische und teilhierarchische Versuchspläne; Lateinische Quadrate; Griechisch-lateinische Quadrate; Quadratische Anordnungen mit Messwiederholungen)
Theoretische Grundlagen der Varianzanalyse:
S. 111
(Einfaktorielle Varianzanalyse; Mehrfaktorielle Varianzanalyse; Varianzanalyse mit Messwiederholung; Einfaktorielle Kovarianzanalyse; Weitere Verfahren; Allgemeine Regeln)
3
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Multivariate Verfahren (B4):
Partialkorrelation und Multiple Korrelation:
S. 114
(Partialkorrelation; Berechnung der Partialkorrelation; Semipartialkorrelation; Berechnung der Semipartialkorrelation; Partialkorrelationen höherer Ordnung; Signifikanztests; Multiple Korrelation und Regression; Voraussetzungen
und Signifikanztests; Schrumpfungskorrektur; Beta-Koeffizienten; Strukturkoeffizienten; Effektgröße; Lineare
Strukturgleichungsmodelle; Zeit & Korrelation)
Das Allgemeine Lineare Modell (ALM):
S. 127
(Grundprinzip des Allgemeinen Linearen Modells; Dummycodierung; Effektcodierung; Kontrastcodierung; Zusammenfassung)
Faktorenanalyse:
S. 130
(Erste Schritte zur Faktorenanalyse; Grundprinzip der Faktorenanalyse; Zusammenfassung; Die „richtige“ Faktorenanalyse; Kennwerte der Faktorenanalyse: Eigenwert, Faktorladung & Kommunalität; Die Kenwerte Eigenwert, Faktorladung & Kommunalität am empirischen Beispiel; Kriterien für relevante Faktoren; Interpretation der Faktoren;
Rotationsverfahren: Orthogonal vs. Oblique; Weiteres)
Clusteranalyse:
S. 141
(Grundprinzip der Clusteranalsyse; Grundprinzip hierarchischer clusteranalytischer Methoden; Fusionskriterien;
Nichthierarchische clusteranalytische Verfahren; Die k-means-Methode; Probleme bei der Clusteranalyse; Zusammenfassung)
Multivariate Mittelwertvergleiche:
S. 146
(Mehrfach univariate Analysen vs. eine multivariate Analyse)
Diskriminanzanalyse:
S. 148
(Grundprinzip der Diskriminanzanalyse)
Kanonische Korrelationsanalyse:
S. 153
(Grundprinzip der kanonischen Korrelationsanalyse; Schlussbemerkung)
© Manuel Ulrich
Gegen eine Vervielfältigung dieses Skriptes für private Zwecke bestehen keine
Einwände. Die kommerzielle Nutzung ist untersagt.
4
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Zusammenfassung der gebrauchten Abkürzungen:
NV =
STNV =
SKV =
H0
=
H1
=
KI
=
df
=
r
=
Abszisse =
AV =
UV =
KV =
QS
=
ANOVA =
ANCOVA =
MANOVA =
FA
=
Vp(n) =
VT
=
NT
=
QUEX =
Reliabilität =
Validität =
Axiom =
DK =
EG
=
KG =
SP
=
IA
=
Normalverteilung
Standardnormalverteilung
Stichprobenkennwerteverteilung
Nullhypothese
Alternativhypothese
Konfidenzintervall
Freiheitsgrade
Korrelation
x-Achse
abhängige Variable
unabhängige Variable
Kontrollvariable
Quadratsumme
Varianzanalyse
Kovarianzanalyse
Multivariate Varianzanalyse
Faktoranalyse
Versuchsperson(en)
Vortest
Nachtest
Quasi-Experiment
Zuverlässigkeit der Daten
Gültigkeit inhaltlic her Schlussfolgerungen
nicht beweisbare Grundannahme
Determinationskoeffizient (der %-Anteil der Varianz, der vorhergesagt wird)
Experimentalgruppe
Kontrollgruppe
Stichprobe
Interaktion
5
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Konzeption des Skriptes
Das Skr ipt folgt beim Mathematikteil (B2, B3 & B4) den Kapiteln des Bortz (sofern nicht anders
angegeben), ergänzend dazu habe ich die Folien von B2, B3 & B4 nachgearbeitet.
Ein Eingang auf SPSS – Ausdrucke (wäre wohl eher B5) erfolgt im B4 Teil.
Da ich im Mathematikteil auf den Bortz als Grundlage, sowie zur Absicherung auf die offiziellen Folien und ein Skript aus der Fachschaft zurückgreifen konnte, meine ich, dass ich
alle relevanten Informationen (eher zuviel) für B2, B3 & B4 in diesen Skript stehen habe.
Den Methodenlehreteil (B1) habe ich in einem gesonderten Skript stehen, da die Anforderungen
& Themen pro Uni unterschiedlich sind. In der Psychologiefachschaft der Uni Bonn ist aber der
B1-Teil zu finden (oder schreibt mir eine eMail mit der Bitte um Sendung des B1-Teils).
Das Erstellen eines eigenen Lernskriptes – was den eigentlichen Lernerfolg bringt, da ihr
die Sachen nicht nur verstehen, sondern auch erklären müsst – ersetzt das Lesen dieses
Skriptes mit Sicherheit nicht.
Benutzte Literatur für das Skript:
Statistik (B2), Varianzanalyse (B3) & Multivariate Verfahren (B4):
• Bortz (1999): Statistik für Sozialwissenschaftler (5. Auflage) [Unsere Bibel]
• Die Folien der Lehrveranstaltungen B2 (WS 01/02), B3 (SS 01) & B4 (WS 01/02)
• Das Statistik -Skript von Benjamin Zeller (B2 & B3)
6
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Griechisches Alphabet:
Α
Β
Γ
∆
Ε
Ζ
Η
Θ
Ι
Κ
Λ
Μ
α
β
γ
δ
ε
ζ
η
ϑ
ι
κ
λ
µ
Ν
Ξ
Ο
Π
Ρ
Σ
Τ
Υ
Φ
Χ
Ψ
Ω
Alpha
Beta
Gamma
Delta
Epsilon
Zeta
Eta
Theta
Jota
Kappa
Lambda
My
ν
ξ
ο
π
ρ
σ
τ
υ
ϕ
χ
ψ
ω
Ny
Xi
Omikron
Pi
Rho
Sigma
Tau
Ypsilon
Phi
Chi
Psi
Omega
ACHTUNG!
Bevor es losgeht:
In diesem Skript stehen viele mit dem Formeleditor von Windows erstellte Formeln sowie einige
Formeln aus dem B2 & B3-Skript. Es kann sein, dass die Formeln sich verändern, da der Formeleditor von Windows nicht bei allen PCs die Formeln genau gleich darstellt (dies kann beim „Anklicken“ der Formeln geschehen).
Deswegen ist das Skript schreibgeschützt. Bitte also nur Änderungen speichern, wenn Ihr – zu
eurem eigenen Interesse – eine anders benannte Sicherheitskopie erstellt habt.
Wenn gar nichts klappt, kopiert Euch mein Skript ausgedruckt aus der Fachschaft.
Zur Kontrolle: es folgen eine fehlerfreie Kovarianzformel und ein z-Test (für eine Population).
n
cov( x , y ) =
∑ (x
i =1
i
− x )( y i − y )
n
z emp =
7
x −µ
σx
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Statistik
Deskriptive Statistik:
Deskriptive Statistik = beschreibende Statistik, d.h. sie dient zur Zusammenfassung und Darstellung von Daten (z.B. durch schöne Grafiken, Kennwerte wie Mittelwert, Streuung, etc.).
Skalenniveaus:
Terminologie: um Menschen empirisch untersuchen zu können, müssen wir ihnen Zahlen zuordnen können (nach bestimmten, vorgegebenen Regeln), so dass wir auf dieser Basis Berechnungen anstellen können:
Die z.B. Größe von Herrn Schmitz (ein empirisches Relativ) lässt sich durch Zuordnung von
Zahlen in einem numerischen Relativ (z.B. 1,85 m) ausdrücken.
Wenn ein empirisches Relativ nur durch bestimmte Zahlen ausgedrückt werden kann und nicht
auch durch andere, dann ist es eindeutig bzw., anders ausgedrückt: homomorph.
D.h. auf das Beispiel bezogen: die Größe von Herrn Schmitz beträgt 1,85 m; oder mathematisch
formuliert:
Herr Schmitz = Größe in Metern (1,85)
Die oben zu sehende Gleichung ist eine homomorphe Abbildungsfunktion zusammen mit einem
empirischen und einem numerischen Relativ. Dies bezeichnet man auch als SKALA.
Die Funktionswerte (nur der Teil der Gleichung rechts vom „=“) werden auch als Skalenwerte
oder Messwerte bezeichnet.
Messen ist also eine strukturerhaltende Zuordnung von Zahlen
zu Objekten und Ereignissen.
Diese Zuordnung kann Aussagen unterschiedlicher „Güte“ erlauben, wobei die jeweiligen Gütestufen als Skalenniveaus bezeichnet werden:
Grundsätzlich wird unterschieden zwischen
• Nominalskalen
• Ordinalskalen
• Intervallskalen
• Ratio- oder Verhältnisskalen
Eselsbrücke: Wenn Ihr bei der Reihenfolge schwarz (französisch: „noir“) seht.
Die Skalenniveaus unterscheiden sich in ihrem Informationsgehalt. Dieser determiniert die erlaubten (mathematischen) Operationen und damit die statistischen Verfahren, die auf die jeweiligen Daten angewe ndet werden dürfen.
8
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Nominalskala:
Objekte mit gleicher Merkmalsausprägung erhalten gleiche Zahlen, Objekte
mit verschiedenen Merkmalsausprägung erhalten verschiedene Zahlen. Die
einzelnen Ausprägungen des Merkmals und damit die Stufen der Skala sind
ungeordnet (gleichberechtigt).
Beispiele: Augenfarbe, Geschlecht (solange es ohne Wertung bleibt)
Ordinalskala:
Eine Ordinalskala ordnet Objekten Zahlen zu, die so geartet sind, dass von
jeweils zwei Objekten das Objekt mit der größeren Merkmalsausprägung die
größere Zahl erhält. Über das Ausmaß des Unterschiedes zwischen den einzelnen Ausprägungen ist nichts bekannt.
Beispiele: Windstärken, Militärische Ränge, Ranglisten beim Sport
Intervallskala:
Wie bei der Ordinalskala, so sind auch bei der Intervallskala die Stufen geordnet. Zusätzlich sind hier die Abstände zwischen den einzelnen Stufen alle
gleich groß. Hat z.B. ein Objekt den Skalenwert 1, so ist es von dem Objekt
mit dem Skalenwert 2 genauso weit entfernt, wie dieses vo n einem Objekt
mit dem Skalenwert 3. Der Nullpunkt einer Intervallskala ist relativ.
Beispiele: Temperatur in Celsius oder Fahrenheit
Eine Verhältnisskala ist eine Intervallskala mit absolutem Nullpunkt, der das
„Nichtvorhandensein“ des Merkmals ausdrückt.
Beispiele: Temperatur in Kelvin, Größe in m; Gewicht in kg, Zeit in sec.
Null Kelvin (ca. -273 °C): das Fehlen jedweder atomarer Bewegung
Verhältnisskala:
Mögliche Aussagen:
Mögliche Transformationen:
Nominalskala:
gleich / ungleich
Ordinalskala:
gleich / ungleich; größer/ kleiner
Intervallskala:
gleich / ungleich; größer/ kleiner;
Abstandsvergleiche
gleich / ungleich; größer/ kleiner;
Abstands-; Verhältnisvergleiche
Alle, die die Unterscheidung der
Werte nicht verhindern.
Alle, die die Ordnung der Werte
nicht verändern.
Multiplikation/ Division,
Addition/ Sub traktion
nur Multiplikation/ Division
(Erhaltung des Nullpunktes)
Mögliche zentrale Tendenzen:
Mögliche Dispersionsmaße:
Nominalskala:
Modus
---
Ordinalskala:
Modus, Median
Variationsbreite
Intervallskala:
Modus, Median, Arithmetisches Mit- Variationsbreite, AD-Streuung, Varitel
anz
Modus, Median, Arithmetisches Mit- Variationsbreite, AD-Streuung, Varitel
anz
Verhältnisskala:
Verhältnisskala:
9
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Um noch vernünftige Berechnungen a nstellen zu können, geht man u.a. in der psychologischen
Forschung meist von Intervallskalenniveau aus, auch wenn das streng mathematisch gesehen
nicht vorhanden ist.
[Die Kultusministerkonferenz definiert Schulnoten als intervallskaliert, um so einen Durchschnitt
u.a. beim Abitur berechnen zu können, auch wenn z.B. zum Erreichen einer „Vier glatt“ 50 %
oder zwei Drittel der Punkte zu erreichen sind.]
Maße der zentralen Tendenz: Modus, Median & Arithmetisches Mittel:
Durch welchen Wert wird eine Vielzahl von Werten am besten repräsentiert?
Hierzu geben Maße der zentralen Tendenz Auskunft über die Lage bzw. Lokation einer Verte ilung in Termini der zugrund eliegenden Skala.
Modalwert (Modus):
Der Modus ist der Wert, der in einer Verteilung am häufigsten vorkommt. Es kann auch mehr als
einen Modus geben (durch mehrere Maxima; Ausdruck bei Kurvendiskussion: Hochpunkte).
Statistische Abkürzung: Mo
Median:
Der Median ist der Wert, der eine der Größe nach geordnete Merkmalsverteilung (also mind.
Ordinalskalenniveau) in zwei gleichgroße Hälften teilt. Bei gerader Anzahl von Werten wird das
arithmetische Mittel aus dem größten Wert der unteren Hälfte und dem kleinsten Wert der oberen
Hälfte bestimmt. Bei ungerader Anzahl wird der Wert in der Mitte genommen.
Statistische Abkürzung: Md
Statistische Eigenschaften:
• Die Summe der absoluten Abweichungen vom Median ist minimal.
Arithmetisches Mittel
Das arithmetische Mittel bzw. der Mittelwert ist die Summe aller Messwerte dividiert durch die
Anzahl der Messwerte n:
n
∑ xi
x = i =1 .
n
Statistische Eigenschaften:
• Die Summe der Abweichungen aller Messwerte vom Mittelwert ist Null.
• Die Summe der quadrierten Abweichungen der Messwerte vom Mittelwert ist ein Minimum.
Modus, Median und Arithmetisches Mittel sind im wissenschaftlichen, populärwissenschaftlichen und alltäglichen Gebrauch beliebte Werkzeuge zum Beweisen eigener Thesen:
„Die meisten Abiturienten wählen Jura.“ (auch wenn es nur 8,6 % sind) [Zahl fiktiv!]
„Die besten 50% haben einen Schnitt von 3,4 oder besser. “ (Aha! Und wie verteilt sich das?)
„Im Gegensatz zu den 50er können die Hauptschüler heute im Durchschnitt nicht sauber schreiben.“ (In den 50ern gingen auch fast 90% aller Schüler auf die Hauptschule; heute 30%.)
10
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Weitere Maße der zentralen Tendenz:
Geometrisches Mittel, Harmonisches Mittel, Gewichtetes Mittel (siehe Bortz S. 40)
Dispersionsmaße: u.a. Perzentile, Quadratsummen & Varianzen:
Zwei Verteilungen mit ähnlichen oder sogar gleichen Maßen der zentralen Tendenz können
trotzdem sehr unterschiedlich sein, und zwar aufgrund ungleicher Streuungen (Dispersionen)
ihrer einzelnen Werte.
Dispersionsmaße geben also Auskunft über die Stre uung bzw. Variabilität der Werte.
„Für die empirische Forschung sind Dispersionswerte den Maßen der zentralen Tendenz zumindest ebenbürtig.“ (Bortz)
Perzentile und Variationsbreite:
Das Perzentil PX% ist der Punkt auf einer Skala, unterhalb dessen X% der aufsteigend angeordneten Messwerte einer Stichprobe liegen. Der Median ist das 50. Perzentil einer Verteilung.
Die Variationsbreite (engl. Range) ist die Differenz zwischen dem größten (Maximum) und dem
kleinsten Wert (Minimum).
Wenn dieser Wert stark von Extremwerten abhängt, betrachtet man nur einen „eingeschränkten“
Streubereich, z.B. nur die mittleren 90% aller Werte (also den Bereich zwischen dem 5. und 95.
Perzentil.). [Bei einer Standardnormalverteilung liegen die Werte zwischen − ∞ und + ∞ , betrachtet man aber „nur“ 99, 74% aller Werte, liegen die Werte zwischen –3,00 und +3,00!]
Die Quadratsumme (QS) ist die Summe der quadrierten Abweichungen aller Messwerte vom
Mittelwert.
Die Varianz ist die Summe der quadrierten Abweichungen aller Messwerte vom Mittelwert, dividiert durch die Anzahl der Messwerte n:
n
s2 =
∑ ( xi − x )2
i =1
.
n
Die Standardabweichung oder Streuung ist die Wurzel aus der Varianz:
n
s = s2 =
11
∑ ( xi − x )
i =1
n
2
.
Methodenlehre
B2, B3 & B4
z-Werte:
In der psychologischen Diagnostik ergibt sich oftmals die Aufgabe, Testwerte zweier Personen
aus verschiedenen Kollektiven (oder Gruppen, e tc.) zu vergleichen.
Deswegen werden die individuellen Leistungen an der Gesamtleistung des (eigenen) Kollektivs
relativiert, d.h. standardisiert.
Dies geschieht über eine z-Transformation:
Die z-Transformation ermöglicht den relativen Vergleich von Variab lenausprägungen, da sie
Mittelwerts- und Streuungsunterschiede „wegrelativiert“:
zi =
xi − x .
sx
Die z-Transformation überführt jede Verteilung in eine Verteilung mit Mittelwert 0 und Streuung
bzw. Varianz 1.
Merkmalszusammenhänge & -vorhersagen:
Ich ziehe hier die Bereiche „Kovarianz und Korrelation“, „Korrelation und Kausalität“, „Lineare
Regression“ , „Beobachtete, vorhergesagte und Residualwerte“ und „Determinationskoeffizient“
aus Kapitel 6 im Bortz vor, da mir eine Thematisierung in Kapitel 6 als zu spät erscheint.
Kovarianz und Korrelation:
Mit der Kovarianz lässt sich bestimmen, wie sich die relativen Positionen von gepaarten Messwerten aus zwei Variablen zueinander verhalten:
n
∑ ( xi − x )( yi − y )
cov ( x,y) = i =1
.
n
Die Kovarianz kann nur hinsichtlich ihres Vorzeichens, nicht aber hinsichtlich ihrer Größe
interpretiert werden. [Da man auch mit Inches statt cm oder m statt cm arbeiten kann, kann die
Größe der Kovarianz stark schwanken.] [Die Kovarianz ist bei Monte-Carlo-Studien sehr robust.]
•
•
Ein positives Vorzeichen der Kovarianz zeigt an, dass sowohl überdurchschnittliche Werte
von X stärker mit überdurchschnittlichen Werten von Y gepaart sind als auch, dass unterdurchschnittliche Werte von X stärker mit unterdurchschnittlichen Werten von Y zusammen
auftreten.
Ein negatives Vorzeichen zeigt entsprechend an, dass überdurchschnittliche Werte von X
stärker mit unterdurchschnittlichen Werten von Y gepaart sind und umgekehrt.
12
Methodenlehre
•
•
B2, B3 & B4
Keine Kovarianz entsteht dann, wenn sich die Werte von X und Y ausgleichen. Dies macht
eine Interpretation unmöglich.
Nur zur Erinnerung: selbst der kleinste positive lineare Zusammenhang ergibt eine positive
Kovarianz! Damit man das auch erkennen kann, nutzt man Korrelationen.
Man standardisiert eine Kovarianz und erhält eine Korrelation:
Die Kovarianz kann maximal den Wert sx·sy annehmen. Dies ist damit ein sehr schöner Term zur
Relativierung bzw. Standardisierung von Kovar ianzen. (Man macht so was wie eine
z-Transformation, nur für beide Variablen (X, Y) gleichzeitig.)
Diese Standardisierung nennt man Produkt-Moment-Korrelation r(x,y) .
r( x , y ) =
cov( x , y ) .
sx ⋅ s y
Die Korrelation rx,y kann Werte zwischen –1 und +1 annehmen, wobei
• –1 einen perfekt negativen linearen Zusamme nhang anzeigt,
• +1 einen perfekt positiven linearen Zusammenhang anzeigt und
• 0 keinen linearen Zusammenhang anzeigt.
Perfekter linearer Zusammenhang: Die Werte der einen Variablen lassen sich durch eine Lineartransformation in die der anderen überführen:
yi = a·+ b·xi
(Und schon schließt sich der Kreis zu Linearer Regression.)
[Die Abkürzung „r“ bei der Korrelation ist auf das Wort „Regression“ zurückzuführen, da Korrelations- wie Regressionsrechnung eng miteinander verknüpft sind.]
Korrelation und Kausalität:
Die Kovariation zweier Variablen kann auf eine kausale Beziehung der beiden Variablen oder auf
die Beeinflussung durch eine oder mehrere Drittvariablen zurückgehen. Auf Basis einer Korrelation kann nicht auf die Art der Verursachung geschlossen werden. (Z.B. korrelieren bei Kindern
Intelligenz und Sc huhgröße.) Kausalität lässt sich nur widerlegen, nicht beweisen.
Lineare Regression:
Hängen zwei Variablen (wie z.B. Körperlänge und Gewicht) zusammen, so ist es möglich, eine
Variable jeweils auf Basis der anderen vorherzusagen.
Die Vorhersagevariable wird als unabhängige Variable oder Prädiktorvariable (X) bezeichnet,
die Variable, die vorhergesagt werden soll, als abhängige Variable oder Kriteriumsvariable (Y):
13
Methodenlehre
B2, B3 & B4
(Prädiktorvariablen sind im allgemeinen einfacher und billiger zu messen; z.B. IQ-Tests)
Im Rahmen der bivariaten Regression wird die Vorhersage über folgende lineare Beziehung vorgenommen:
yˆi = a + b ⋅ xi , wobei
ŷi = vorhergesagter Wert, a = Schnittpunkt der Geraden mit der y-Achse (Ordinatenabschnitt,
Interzept) und b = Steigung der Geraden.
Ziel ist die Bestimmung einer Geraden, die den Gesamttrend aller Punkte am besten wiedergibt.
200
190
Länge Y
180
170
160
150
40
50
60
70
80
90
100
Gewicht X
Gleichungen:
b yx =
cov ( x , y )
ayx = y − byx ⋅ x
;
s x2
(Grafiken im Bortz S. 181)
Bei der linearen Regression wird die Gleichung gesucht, für die die Summe der quadrierten
Abweichungen zwischen vorhergesagten und tatsächlichen Werten minimal ist (= Kriterium
n
der kleinsten Quadrate).
∑ (y
i =1
i
− yˆ i ) 2 = min . , wobei ŷi = Wert auf der Graden
Beobachtete, vorhergesagte und Residualwerte:
Die Abweichungen der beobachteten Werte von den vorhergesagten Werten heißen Regressionsresiduen:
yi∗ = yi − yˆi .
14
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Die Residuen enthalten die Anteile der Kriteriumsvariablen (Y), die durch die Prädiktorvariable
nicht erfasst werden:
• Die Mittelwerte der Kriteriumsvariablen und der vorhergesagten Werte sind gleich.
• Der Mittelwert der Residuen ist 0.
Diese Anteile der Kriteriumsvariablen sind auf Messfehler, vor allem aber auch durch Bestandteile des Kriteriums, die durch andere, mit der Prädiktorvariablen nicht zusammenhängende Merkmale, erklärt werden können (z.B. Störvariablen).
Zerlegung der Kriteriumsvarianz:
Die Varianz der y-Werte setzt sich additiv aus der Varianz der vorhergesagten
ŷ -Werte und der
*
Varianz der Residuen y zusammen:
s 2y = s 2yˆ + s 2y* .
Determinationskoeffizient:
= Varianzanteil der abhängigen Variablen, der mit der unabhängigen vorhergesagt bzw. erklärt
werden kann:
r(2y , yˆ )
s 2yˆ .
= 2
sy
Dabei kann man die „Power“ einer Regressionsgeraden erfassen, d.h. wie viel Prozent sagt sie
vorher und wie viel bleibt im Dunkeln.
Korrelationen:
• Die Korrelation zwischen Kriterium und Vorhersage ist gleich der Korrelation zwischen
Kriterium und Prädiktor:
r( y , yˆ ) = r( y , x ) .
•
Die Korrelation zwischen Prädiktor (X) und Residuen (von Y) ist 0: (muss ja, die Residuen
sind ja der Teil, den der Prädiktor X nicht aufklärt)
r(x,y*) = 0.
•
Für die Korrelation zwischen Kriterium und Residuen gilt:
r(2y , y*) = 1 − r(2x , y) .
15
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Wahrscheinlichkeitstheorie und -verteilungen:
Eine der wichtigsten Eigenschaften des Menschen ist es, Redundanzen (unnötige Ausführlichkeit
einer Information) zu erkennen und zu erlernen. Dies verhindert, dass der Mensch in dem Chaos
von Zufälligkeiten und in der Fülle von Informationen zugrunde geht.
Der Mensch schafft sich ein Ordnungssystem (z.B. Zahlen, Buchstaben, Gesetze), an dem er sein
Verhalten orientiert – in (teils blindem) Vertrauen darauf, dass das System auch funktioniert.
Jedoch gibt es in der Welt keine absoluten Wahrheiten und Wahrscheinlichkeiten. Wir regulieren
unser Verhalten nach einem System unterschiedlich wahrscheinlicher Hypothesen, die teils völlig
blöde sind (Geld in Glücksspiele investieren), teils sehr vernünftig sind (wir steigen in ein Flugzeug, weil es sehr unwahrscheinlich ist, dass es abstürzt.).
Der Mensch schafft sich Grundsätze (in der Mathematik: Axiome), die er beweislos voraussetzt. Aus mehreren Axiomen (einem Axiomssystem) können Lehrsätze nach den Regeln
der Logik hergeleitet werden. Wichtig dabei:
1.) Widerspruchsfreiheit
2.) Unabhängigkeit: kein Axiom lässt sich aus einem anderen herleiten.
3.) Vollständigkeit: alle Axiome reichen aus, um alle inhaltlich richtigen Sätze zu beweisen.
Zufallsexperimente:
Für die Definition objektiver Wahrscheinlichkeiten (das will ja der Methodiker) ist der Begriff
des „Zufallsexperimentes“ zentral:
Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer wohldefinierter Vorgang, dessen
Ausgang nicht vorhersagbar ist.
Ein Ausgang wird als Ergebnis oder Elementarereignis ω, die Menge aller Elementarereignisse
wird als Ergebnisraum Ω = {ω1, ω2 , ..., ωn} bezeichnet.
Bei der theoretischen (kombinatorischen) Bestimmung einer Wahrscheinlichkeit geht man oft von
der Gleichwahrscheinlichkeit aller Ergebnisse aus:
p ( A) =
Anzahl günstiger Ergebnisse .
Anzahl möglicher Ergebnisse
Günstige Ergebnisse sind solche, bei denen sich A ereignet, mögliche Ergebnisse sind alle Ergebnisse des endlichen Ergebnisraumes (A kann durchaus mehr als ein einziges ωi umfassen).
Ein Beispiel:
Ich werfe einen perfekten sechsseitigen Würfel: Die Chance, das ich eine „sechs“ erhalte, beträgt
also ein Sechstel, oder, mathematisch formuliert:
1
p (Wurf ) =
6
16
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
disjunkt = unvereinbar; die Ereignisse haben keine gemeinsame Menge, keinen Durchschnitt
p = Possibility (Wahrscheinlichkeit)
p ( A) = Wahrscheinlichkeit von A
p (A ) = Wahrscheinlichkeit des Fehlens von A
p ( A ∩ B ) = die Wahrscheinlichkeit von A und B (gleichzeitig)
p ( A ∪ B) = die Wahrscheinlichkeit von A und/oder B (also entweder A oder B oder A&B
gleichzeitig!)
•
•
Das Ereignis, dass sich A und B ereignen, wird als Durchschnitt bezeichnet.
Symbol: ∩ (= logisches Produkt)
Das Ereignis, dass sich A und/oder B ereignen, wird als Vereinigung bezeichnet.
Bei unvorhersehbaren Wahrscheinlichkeiten muss man über viele Versuche die Wahrscheinlichkeiten schätzen (z.B. Reiszwecken werfen: zu wie viel Prozent landet es mit der Spitze nach oben, zu wie viel mit der Spitze schräg nach unten?) (je größer n, desto genauer):
Ein statistischer Schätzer der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist die relative Häufigkeit
eben dieses Ereignisses:
h( A) =
f ( A) .
n
Axiome der Wahrscheinlichkeitstheorie:
1.) Für die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses A gilt p( A) ≥ 0 (Nicht- Negativität).
2.) Die Wahrscheinlichkeit eines sicheren Ereignisses ist gleich 1 (Normierung).
3.) Die Wahrscheinlichkeit, dass eines der disjunkten Ereignisse A1 oder A2 oder ... Ak auftritt, ist gleich der Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten p (A1 ), p(A2 ), ... p(Ak ).
Additionstheorem für vereinbare bzw. nicht disjunkte Ereignisse:
• p(A∪B) = p(A) + p(B) − p(A∩B).
Bei disjunkten bzw. nicht vereinbaren Ereignissen:
• p(A∪B) = p(A) + p(B).
17
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Die bedingte Wahrscheinlichkeit p(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit von A, sofern B bereits eingetreten ist:
p ( A ∩ B) .
p( A | B ) =
p ( B)
Multiplikationstheorem für abhängige Ereignisse:
p ( A ∩ B) = p( A) ⋅ p(B A)
oder
p ( A ∩ B ) = p(B ) ⋅ p( A B )
Multiplikationstheorem für unabhängige Ereignisse:
p( A ∩ B ) = p ( A) ⋅ p(B )
Zwei Ereignisse A und B sind stochastisch unabhängig, wenn A unabhängig von B eintreten
kann, d.h. das Eintreten von B ändert nichts an der Eintretenswahrscheinlichkeit von A, und umgekehrt.
Das Theorem von Bayes:
Das Theorem von Bayes verknüpft die bedingten Wahrscheinlichkeiten p (A B ) und p(B A) unter
Verwendung des Satzes der totalen Wahrscheinlichkeit (Bo rtz S. 57). Eine der beiden bedingten
Wahrscheinlichkeiten kann damit von der anderen aus erschlossen werden.
In der statistischen Entscheidungstheorie hat somit das Theorem von Bayes eine besondere
Bedeutung; statistischen Entscheidungen werden immer aufgrund bedingter Wahrscheinlichkeiten getroffen.
[Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten bestimmter Daten (D) unter der Bedingung, dass eine
bestimmte Hypothese (H) richtig ist: p (D H ) ]
Variationen, Permutationen, Kombinationen:
Insbesondere durch Glücksspiele wurde eine Reihe von Rechenregeln erarbeitet, mit denen die
Wahrscheinlichkeit bestimmter Ereigniskombinationen von gleichwahrscheinlichen Elementarereignissen ermittelt wird.
1. Variationsregel: Wenn jedes von k sich gegenseitig ausschließenden Ereignissen bei jedem
Versuch auftreten kann, ergeben sich bei n Versuchen k n verschiedene Ereignisabfolgen.
Beispiel: die Chance, fünf mal hintereinander beim Münzwurf „Zahl“ zu erhalten (2 mögliche Ereignisse), beträgt k n = 25 = 32 verschiede Ereignisabfolgen. Da es sich um ein günstiges
Ereignis handelt, beträgt die Wahrscheinlichkeit p = 1/32 = 0,031
2. Variationsregel: Werden n voneinander unabhängige Zufallsexperimente durchgeführt und
besteht die Ereignismenge des 1. Zufallsexperime nts aus k 1 , die Ereignismenge des 2. Zufallsex-
18
Methodenlehre
B2, B3 & B4
periments aus k 2 , .... und die Ereignismenge des n-ten Zufallsexperiments aus k n verschiedenen
Elementarereignissen, sind k 1 x k 2 x ..... x k n Ereignisabfolgen möglich (x bedeutet „mal“).
Beispiel: Ein Münzwurf und ein Würfelwurf, man möchte Zahl und eine 6 erhalten. Es ergeben sich 2 x 6 = 12 Ereignismöglichkeiten. Die Wahrscheinlichkeit beträgt also p = 1/12 =
0.08.
Permutationsregel: n verschiedene Objekte können in
n! = 1 x 2 x 3 x ..... x (n-1) x n
verschiedenen Abfolgen angeordnet werden. (n! bedeutet n Fakultät)
Beispiel: In einer Urne befinden sich 6 unterschiedlich schwere Kugeln. Wie groß ist die
Chance, die Kugeln in der Reihenfolge ihres Gewichtes herauszunehmen? (Es ist also ein unterschiedliches Ereignis ohne Zurücklegen; ergo ein abhängiges Ereignis)
6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 720 mögliche Abfolgen. Nur eine ist richtig, also p = 1/720 = 0,0014
1. Kombinationsregel: Wählt man aus n verschiedenen Objekten r zufällig aus, ergeben sich
n!/ (n- r) verschiedene Reihenfolgen der r Objekte.
Beispiel: Ich will aus einem Kartenspiel (32 Karten) in vier Zügen die Asse herausziehen.
Die Reihenfolge der Asse ist festgelegt:
32!
= 32 x 31 x 30 x 29 = 863040
(32 − 4)!
Die Wahrscheinlichkeit beträgt also 1/ 863040 = 1,16 x 10-6 Möglichkeiten
2. Kombinationsregel: Wählt man aus n verschiedenen Objekten r zufällig aus und lässt hierbei
n
die Reihenfolge außer acht, ergeben sich für die r Objekte verschiedene Kombinationen.
r
Beispiel: Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 6 Richtige aus 49 zu haben? (Reihenfolge ist
im Gegensatz zur 1. Kombinationsregel ja egal)
Da wir noch alle wissen, dass
n!
49!
49 ⋅ 48 ⋅ 47 ⋅ 46 ⋅ 45 ⋅ 44
n
49
ist also eingesetzt: =
=
=
=
6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1
r r! (n − r )!
6 6!( 49 − 6)!
= 13.983.816
(Noch genauere Rechenschritte: Bortz S. 61)
Die Wahrscheinlichkeit, sechs Richtige im Lotto zu haben beträgt also 1/ 13.983.816 =
= 7,15 x 10-8 Möglichkeiten.
(Und die Lottobranche boomt. Sollten wir Psychologen da nicht mal eingreifen?)
3. Kombinationsregel: Sollen n Objekte in k Gruppen der Größen n1 , n2 , ...., nk eingeteilt werden
(wobei n1 + n2 + ... + nk = n), ergeben sich n!/ (n1 ! ....... nk !) Möglichkeiten.
Beispiel: In einer Urne sind 4 rote, 3 blaue und 3 grüne Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, erst die 4 roten Kugeln zusammen, denn die 3 blauen und zuletzt die 3 grünen Kugeln zu entnehmen?
10!
= 4200
4!⋅3!⋅3!
Die Wahrscheinlichkeit, erst die 4 roten Kugeln zusammen, denn die 3 blauen und zuletzt die
3 grünen Kugeln zu entnehmen, beträgt also 1/ 4200 = 2,38 x 10 -4 Möglichkeiten.
19
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Verteilungsfunktionen:
Wenn man Experimente durchführt, erhält man jede Menge Daten (z.B. Studiengang von allen
Studenten der Uni Bonn). Diesen Daten kann man bestimmte Kennungen (z.B. 1, 2, 3, etc.) hinzufügen, und so erhält man eine Tabelle. Das ist eine diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktion.*
Diskrete Wahrscheinlichkeitsfunktionen bestehen aus einer endlichen Anzahl von Ereignissen. Auftretens wahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse lassen sich damit bestimmen.
Beispiele: Würfelergebnisse, Noten (manche haben gleiche Ergebnisse)
Man kann aber Daten auf bestimmte Kennungen zufügen, d.h. z.B. ich ordne alle Studenten der
Uni Bonn der Größe nach. So erhält man eine Kurve . Das ist eine stetige Wahrscheinlichkeitsfunktion.*
Stetige Wahrscheinlichkeitsfunktionen bestehen aus einer unendlichen Anzahl von Ereignissen. Auftretenswahrscheinlichkeiten einzelner Ereignisse lassen sich damit nicht bestimmen.
Beispiele: Körpergröße, Geschwindigkeit (Niemand ist gleich groß, wenn man es genau nimmt.)
* Diese Beispiele sind von mir sind konstruiert. Ich kann z.B. den Zahlen 1 bis X die Studiengänge der Studenten der Uni Bonn zuordnen, bin deswegen aber nicht bei einer stetigen Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Der eigentliche Unterschied zwischen STETIG und DISKRET ist in dem fett Geschrieben festgehalten. (Bei Stetigkeit Kurven und bei Diskretheit Tabellen zu benutzten stimmt aber.)
Diskrete Verteilungen:
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
0 x Kopf
1 x Kopf
20
2 x Kopf
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B2, B3 & B4
x und s 2 einer empirischen Verteilung / Stichprobe werden durch µ (Erwartungswert) und σ2 bei
einer theoretischen Verteilung einer Zufallsvariabeln / Population ersetzt, bei diskreter Verteilung
N
N
ergibt sich
µ = ∑ xi ⋅ pi
i =1
und
σ = ∑ pi ⋅ ( xi − µ )
2
i =1
2
.
Binomialverteilung:
Ein Experiment, welches in der n- fachen Wiederholung von unabhängigen Einzelexperimenten
mit nur zwei möglichen Ausgängen besteht, heißt Bernoulli-Experiment. Wenn ein Ereignis X
in einem Einzelexperiment mit einer Wahrscheinlichkeit p auftritt, dann kann die Wahrscheinlichkeit P, dass X in n Wiederholungen k-mal auftritt, allgemein bestimmt werden:
n
.
P( X = k ) = ⋅ p k ⋅ (1 − p )n −k
k
[ 1-p = q ]
Diese Wahrscheinlichkeitsfunktion heißt Binomialverteilung und gibt an, wie wahrscheinlich
das Eintreten eines Ereignisses X = k ist.
Beispiel: Ich möchte wissen, wie groß die Chance ist in 10 Münzwürfen genau 7x „Zahl“ zu
erhalten. Die Wahrscheinlichkeit einer Zahl beträgt 50%, mathematisch formuliert:
p = 0,5 =½
Wenn ich jetzt einsetzte: [n = 10, da 10 Würfe; k = 7, da 7x „Zahl“ gewünscht]
10 1 1 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 1
p ( X = 7) = ⋅ ⋅ =
⋅ = 0,117
7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 2
7 2 2
Die Wahrscheinlichkeit, mit 10 Münzen genau 7 mal Zahl zu treffen, beträgt 11,7%.
7
3
10
Die Verteilungsfunktion hingegen gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Ereignis höchstens k-mal auftritt:
k n
.
P ( X ≤ k ) = ∑ ⋅ p j ⋅ (1 − p )n− j
j= 0 j
Die Verteilungsfunktion ist die kumulierte Wahrscheinlichkeitsfunktion.
Andere diskrete Verteilungen:
• Hypergeometrische Verteilung: wird benutzt bei schwankenden Wahrscheinlichkeiten (z.B.
durch Ziehen ohne Zurücklegen)
• Poisson-Verteilung: Verteilung seltener Ereignisse; wird benutzt bei großem n & kleinem k.
• Multinominale Verteilung: auch Polynominalverteilung genannt; ermöglicht mehrere unte rschiedlich große kx .
• Negative Binomialverteilung: ermittelt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Ereignis nach x Versuchen erst dann eintritt, wird häufig benutzt zur Analyse von Wartezeiten.
21
Methodenlehre
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Stetige Verteilungen 1: Normalverteilung & Standardnormalverteilung:
Für alle stetigen Verteilungen geltend:
• Die Gesamtfläche unter der Kurve ist auf 1 normiert, was bedeutet, dass mit einer Wahrscheinlichkeit 1 irgendein Ergebnis eintritt. Die Fläche über einem Intervall von zwei Werten
gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit Werte innerhalb dieses Intervalls eintreten.
Normalverteilung(NV):
Die Normalverteilung ist die für die Statistik wichtigste Verteilung ; aus ihr werden weitere
stetige Verteilungen wie u.a. die χ 2 -Verteilung, die t-Verteilung sowie die F-Verteilung abgele itet; diskrete Verteilungen wie die Binomial- und Poisson-Verteilung konvergieren gegen sie.
Die Zusammenhänge zwischen χ 2 -Verteilung, t-Verteilung sowie F-Verteilung folgen.
Alle Normalverteilungen haben typische Eigenschaften:
• Die Verteilung hat einen glockenförmigen Verlauf.
• Die Verteilung ist symmetrisch.
• Modus, Median und Mittelwert fallen zusammen.
• Es gibt nur einen Modus (wie auch bei Chi2-Verteilung, t-Verteilung sowie F-Verteilung.)
• Die Verteilung nähert sich asymptotisch der x-Achse (geht also von − ∞ bis + ∞ ).
• Zwischen den zu den Wendepunkten gehörenden x-Werten befinden sich ungefähr 2/3 der
Gesamtfläche.
• Zwischen den Werten x + s (= Streuung) und x - s liegen 68,26% aller Werte, im Bereich x
+- 2s liegen 95,44%.
• Binomfinalverteilung ist für n => ∞ gleich der Normalverteilung (S. 78 Bortz)
Fesche Bilder von Normalverteilungen im Bortz auf S. 74.
Normalverteilungen unterscheiden sich durch
a.) unterschiedliche Erwartungswerte ( µ ) [also Mittelwerte] und
b.) unterschiedliche Streuungen ( σ ).
Zwei Normalverteilungen mit gleichem σ und µ sind identisch. Die Normalverteilung wird
somit durch die beiden Parameter σ und µ festgelegt. Ihre Dichtefunktion lautet:
f ( x) =
1
−( x − µ ) 2
⋅
e
2π ⋅ σ 2
2σ 2 .
Damit klar ist, was diese Funktion da oben soll:
Mithilfe von Funktionen kann man durch Einsetzten des x-Wertes den y-Wert bestimmen und
erhält somit eine wunderschöne Kurve, wie z.B. bei der Parabel: f(x) = x2
Diese Funktion da oben gibt dann den y-Wert an, der aber gleichzeitig die Wahrscheinlichkeit
des Eintretens dieses (eingesetzten) x-Wertes (in einem Intervall ∆ X ) angibt. (in der Tabelle als
„Ordinate“ bezeichnet.) Über ein Integral dieser Dichtefunktion kann die Fläche berechnet werden (das ist ja der Sinn von Integralen).
Alles klar?
22
Methodenlehre
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Grundprinzip mathematisch ausgedrückt:
Die Wahrscheinlichkeitsfunktion einer stetigen Verteilung wird als Wahrscheinlichkeitsdichte
oder Dichtefunktion bezeichnet. Erst über Integrale dieser Dichtefunktion können Werteinterva llen Wahrscheinlic hkeiten zugeordnet werden.
Standardnormalverteilung (STNV):
Die Standardnormalverteilung (STNV) ist eine ganz normale Normalverteilung; wird aber als
Grundlage aller Vergleiche zwischen Normalverteilungen genutzt, da sie einen Mittelwert µ = 0
und eine Streuung σ = 1 [Abk.: N(0, 1)] hat.
Durch eine z-Transformation kann jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung
übe rführt werden; somit sind Vergleiche zwischen allen Normalverteilungen möglich!!
Ihre Dichtefunktion lautet:
2
f ( z ) = 1 ⋅ e− z
2π
2.
[Man hat hier x durch z ersetzt, um zum Ausdruck zu bringen, das diese Funktion nur zu Standardnormalverteilung gehört.]
Diese Dichte (siehe „Ordinate“) und deren Verteilungsfunktion (siehe „Fläche“) ist im Bortz in
Tabelle B (S. 768-772) wiedergegeben. [Einen z-Wert in der Tabelle nachzusehen setzte ich als
bekannt voraus.]
Das hier ist übrigens die Integralformel, die benötigt wird, um die zu den z-Werten zugehörigen
Flächenanteile [von − ∞ bis a ] bei der Standardnormalverteilung (STNV) auszurechen:
a
p (z < a) = ∫
-∞
1
2π
⋅e
− z2 / 2
dz
Schön, nicht? Die anderen Formeln sind noch komplizierter (das ist aber, ebenso wie diese Formel, nicht relevant für die Prüfung – nur zu Anschauung gedacht :-).
Die Bedeutsamkeit der Normalverteilung (NV) lässt sich auf 4 Aspekte zurückführen:
• die NV als empirische Verteilung: eine Reihe von Messungen verteilt sich meistens annährend normal, z.B. Körpergröße, -gewicht, Testleistungen. (Im 19. Jahrhundert entdeckt, heute
relativiert.)
• die NV als Verteilungsmodell für statistische Kennwerte: wenn man genug Stichproben
zieht verteilen sich die Mittelwerte der Stichproben normal (Inferenzstatistik!).
• die NV als mathematische Basisverteilung: Verknüpfungen u.a. zu χ 2 -, t- sowie FVerteilung.
23
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• die NV in der statistischen Fehlertheorie: kaum eine Messungen ist absolut fehlerfrei. Misst
man andauernd, erhält man irgendwann normalverteilte Werte. Der Mittelwert ist das wahrscheinlichste richtige Ergebnis (Strategie der alten Römer u.a. beim Aquäduktbau.).
Stetige Verteilungen 2: Chi2 -Verteilung, t-Verteilung sowie F-Verteilung:
χ 2 -Verteilung:
Gegeben sei eine normalverteilte Zufallsvariable z mit µ = 0 und σ = 1, also eine STNV. Das
Quadrat dieser Zufallsvariablen bezeichnen wir als χ 12 -verteilte Zufallsvariable.
χ 12 = z2
(Die untere Zahl am Chi2 kennzeichnet die Annzahl der normalverteilten Zufallsvariablen z.)
Wenn wir jetzt (theoretisch unendlich) viele χ12 -Werte aus zufällig gezogenen z-Werten nach der
oben stehenden Formel ermitteln, erhalten wir eine stetige χ 12 -Verteilung. (Dichtefunktion steht
nicht im Bortz) [Ein Bild verschiedener χ 2 -Verteilungen im Bortz auf S. 80.]
χ 2n = z12 + z 22 + ... + zn2 .
χ 2 -Verteilungen haben:
• in Abhängigkeit von der Anzahl der z2 - Variabeln unterschiedliche Freiheitsgrade bzw.
df (degrees of freedom)= n
• eine Variationsbreite von 0 bis +∞
• bei df = n einen Erwartungswert von µ = n, eine Streuung von 2n und eine Schiefe (ob es
linkssteil oder rechtssteil ist.) von
8/n .
Mit größer werdendem n nährt sich die χ 2 -Verteilung einer NV mit µ = n und σ = 2n an.
t-Verteilung:
Aus einer STNV wird ein z-Wert und aus einer hiervon unabhängigen χ2 –Verteilung ein χ n2 Wert gezogen. Der folgende Quotient definiert einen tn -Wert:
tn =
z
χ n2 / n
Ein Bild einer t-Verteilung im Bortz auf S. 81.
t-Verteilungen:
• unterscheiden sich durch Anzahl der Freiheitsgrade (= Freiheitsgrade der χ2 -Verteilung; die
steckt ja in den Werten drinnen – siehe Formel).
• nähert sich mit wachsenden Freiheitsgraden (n) der Normalverteilung an.
24
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• haben einen Erwartungswert µ = 0
• sind symmetrisch
• gehen bei df → ∞ in eine NV über (Grenzpunkt Definitionssache)
F-Verteilung:
Gegeben sei eine χ 2 -Verteilung mit df1 = n1 und eine weitere, unabhängige χ2 -Verteilung mit
df2 = n2 . Der Quotient von 2 zufällig aus diesen beiden Verteilungen entnommenen χ 2 -(Einzel-)
Werten, multipliziert mit dem Kehrwert des Quotienten ihrer Freiheitsgerade (d.h. die df sind
Zähler/Nenner- mäßig vertauscht), wird als F-Wert bezeichnet:
F(n1 ,n2 ) =
χ n21
χ
2
n2
*
n2
n1
F-Verteilungen:
• sind asymmetrische, stetige Verteilungen mit einer Variationsbreite von 0 bis +∞.
• unterscheiden sich durch Zähler- (n1 ) und Nenner- (n2) Freiheitsgrade
Ein Bild von F-Verteilungen ist im Bortz auf S.82.
Noch ein paar Zusammenhänge:
• Ein F-Wert in der Tabelle bei df1 = 1 und df2 = ∞ entspricht einem z-Wert der STNV bei
halbiertem Alphaniveau (da die STNV zweiseitig ist muss man beide Grenzwerte
• aufaddieren.).
Eine quadrierte t-Verteilung mit df = n ist mit der F-Verteilung für einen Zähler- und n Nennerfreiheitsgerade identisch. Als Formel:
χ 12 n
t = 2 ⋅ = F(1, n )
χ2 1
2
n
• Zwischen einer χ 2 –Verteilung und einer F-Verteilung besteht der folgende Zusammenhang:
F(n ,∞ ) = χ n2 / n
25
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Zusammenhänge von NV, STNV, Chi2 -, t- und F-Verteilung:
Normal
−∞ < x < ∞
µ, σ
X−µ
s
X1 + ... + Xn
σ⋅X + µ
Standardnormal (z)
−∞ < x < ∞
X12 +K + X 2df
df → ∞
z
?
2
df
df
t
−∞ < x < ∞
df
χ2
x>0
df
X2
X 2df1 df 1
X 2df2 df 2
F
x>0
df1 , df2
26
X1 + ... + Xn
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Stichprobe und Grundgesamtheit:
Die meisten Untersuchengen in u.a. der Psychologie sind dahin ausgerichtet, aufgrund einer kle inen (in einem Experiment) untersuchten Stichprobe Schlüsse auf die Allgemeinheit zu ziehen.
Der sich hiermit befassende Teilbereich der Statistik wird als Inferenz- oder schließende Statistik bezeichnet.
Inferenzstatistik hat das Ziel, auf Basis von Stichprobenergebnissen Aussagen über die
zugrundeliegende Population zu treffen.
Zur Inferenzstatistik zählen
• die Schätzung von Populationsparametern und
• das Testen (Überprüfen) von Hypothesen.
Begriffe der Inferenzstatistik:
•
•
•
•
•
Grundgesamtheit oder Population bezeichnet alle potenziell untersuchbaren Elemente (Personen, Objekte), die ein gemeinsames Merkmal oder eine gemeinsame Merkmalskombination
aufweisen (z.B. Männer, Studenten, Deutsche, VW Golf, Gartenzwerge, etc.).
Stichprobe bezeichnet eine nach einer bestimmten Auswahlmethode gewonnene Teilmenge
von Elementen aus der Population.
Inferenzstatistische Verfahren erfordern, dass die Stichprobe mittels einer Zufallsprozedur
gewonnen wird.
Statistische Kennwerte , wie die Maße der zentralen Tendenz oder die Maße der Dispersion
können für Stichproben wie für Populationen (Grundgesamtheiten) ermittelt werden.
Die Kennwerte einer Population bezeichnen wir als Parameter, bzw. Populationsparameter.
Ein Stichprobenkennwert wird als Punktschätzer bezeichnet.
Unbekannte Parameter (sind in der Regel unbekannt) werden mit den Stichprobenkennwerten geschätzt.
Zur Unterscheidung von Stichprobenkennwerten und Populationsparametern werden
Kennwerte mit lateinischen und Parameter mit griechischen Buchstaben notiert. (manchmal
werden für Parameter einfach die großen Buchstaben der Kennwerte genutzt; also N statt n.
Die Bezeichnung der Kennwerte variiert nicht.)
Stichprobenkennwert:
Mittelwert:
Varianz:
Streuung:
Korrelation:
x
2
s
s
r
27
Populationsparameter:
µ
σ2
σ
ρ
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Mit endlichen Populationen – z.B. die Psychologie studenten im 3. Semester der Uni Bonn – zu
arbeiten ist ausgesprochen schwierig (letztlich ist jede Population endlich, aber ab gewissen Größen – z.B. alle Studenten Deutschlands – gilt sie statistisch als unendlich), dementsprechend versucht man mit unend lichen Populationen zu arbeiten.
• Damit eine Population als unendlich gilt, sollte sie mindestens 100x so groß sein wie die
Stichprobe.
Stichprobenarten:
Wie genau kann gewährleistet werden, dass eine Stichprobe eine Grundgesamtheit möglich genau repräsentiert?
Eine Stichprobe kann in bezug auf die Grundgesamtheit entweder in bezug auf
a.) alle Merkmale (globale Repräsentativität) oder
b.) bestimmte Merkmale (spezifische Repräsentativität)
repräsentativ sein.
•
•
•
Zufallsstichprobe: Jedes Element der Grundgesamtheit kann mit gleicher Wahrscheinlic hkeit ausgewählt werden (Ziehen mit Zurücklegen).
Eine absolut fehlerfreie Zufallsstrichprobe ist fast unmöglich; meist aufgrund zu kleiner
Stichrobengrößen, mangelnder Repräsentativität und mangelnder Bereitschaft der Menschen,
an einem Experiment teilzunehmen.
Klumpenstichprobe: Elemente werden nicht einzeln, sondern in natürlichen Gruppen
(Klumpen) ausgewählt [ z.B. alle Alkoholiker in Kliniken].
Hierbei ist zu beachten, dass die Klumpen zufällig ausgewählt werden (vgl. mit dem Bsp.: die
Auswahl der Kliniken müsste zufällig sein.), ein einzelner Klumpen reicht nicht aus.
Geschichtete Stichprobe: Elemente werden nach relevanten Merkmalen in Schichten (Strata) vorgruppiert. Man überlegt, welche Merkmale relevant für die Untersuchung sind (z.B.
Geschlecht, etc.), und wählt innerhalb dieser Merkmale zufällig die Leute aus (mit dem
Klumpen-Verfahren geht es auch, ist aber statistisch unsauberer.).
Proportional geschichtete Stichprobe: entsprechend der Merkmalsverteilung in Population
zusammengestellt, z.B. 40% Singles, 60% Ehepaare.
Generell führt eine nach relevanten Merkmalen geschichtete Stichprobe zu besseren Schätzwerten der Populationsparameter als eine einfache Zufallsstichprobe.
Verteilung von Stichprobenkennwerten:
Wir berechnen bei einer Stichprobe der Größe n den Mittelwert x . Wie genau können wir nun
daraus den Mittelwert der Population erkennen?
• bei zwei Stichproben aus einer Population: je weiter die Mittelwerte der Stichprobe voneinander entfernt sind, desto geringer die vermutlich richtige Schätzung des Populationsmittelwe rtes.
• wenn wir unendlich viele Stichproben haben, dann entsteht eine Stichprobenkennwerteverteilung, je geringer die Streuung (= Standardfehler σ x ) ist, desto genauer ist die Schätzung.
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
Die Stichprobenkennwerteverteilung (SKV):
Gedankenexperiment: Eine Population mit µ und σ sei gegeben. Aus dieser Population werden
wiederholt (theoretisch unendlich oft) Stichproben derselben Größe n mit Zurücklegen gezogen
und innerhalb jeder Stichprobe wird z.B. der Stichprobenkennwert x berechnet. Die Verteilung
der so gewonnenen Kennwerte ist die Stichproben(kennwerte)verteilung von x .
Wenn man genug Stichprobenkennwerte hat, ist deren Mittelwert mit dem der Population ide ntisch.
Der Mittelwert einer Stichprobenverteilung (SKV) eines Kennwertes T heißt Erwartung swert E(T).
Entspricht der Erwartungswert eines Kennwertes dem Wert des zugehörigen Populationsparameters, E(T) = θ, so wird dieser Kennwert als erwartungstreuer Schätzer bezeichnet.
Mittelwert:
Der Mittelwert ist ein erwartungstreuer Schätzer für µ, da gilt:
E (x ) = µ.
Varianz:
Die Stichprobenvarianz s2 ist kein erwartungstreuer Schätzer: E(s2 ) ≠ σ 2.
s2 unterschätzt σ 2 systematisch um den Faktor:
n −1
n
Daher muss s2 wie folgt korrigiert werden (doch, der Bruch ist richtig herum*):
σˆ 2 = s 2 ⋅
n
n −1
Das Dach über dem Sigma zeigt an, dass es sich um den Schätzer eines Parameters handelt.
σ̂ 2 ist erwartungstreu: E (σˆ 2 ) = σ 2 .
Die Populationsvarianz schätzt man also durch die Summe der quadrierten Abweichungen aller
Messwerte vom Mittelwert (Quadratsumme) geteilt durch n-1 (Freiheitsgrade der Varianz):
n
σˆ 2 =
∑ (x
i =1
i
− x )2
n −1
Jetzt ist eine Berechnung des geschätzten Standardfehlers möglich (siehe nächste Seite)
* Einfach: Weil s 2 unser Sigma systematisch unterschätzt, müssen wir s2 vergrößern.
Mathematisch korrekt: s2 unterschätzt systematisch das Sigma:
n −1 2
σˆ 2 ⋅
=s
n
Und nun stellt die Formel mal um.
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
Der Standardfehler:
Ist die Streuung einer x - Werteverteilung ziemlich klein, ist die Chance, mithilfe eines Stichprobenkennwertes x den Mittelwert der Population µ zu treffen, relativ groß. Ist jedoch die Streuung groß, ist die Chance auf einen Treffer gering. Deswegen benötigt man den Wert der Streuung
der Stichprobenkennwerteverteilung, und das ist der Stand ardfehler.
Die Streuung einer Stichprobenkennwerteverteilung wird als Standardfehler des Mittelwertes
(also des Kennwertes) bezeichnet.
Der Standardfehler des Mittelwertes hängt von der Populationsvarianz σ 2 und der Stichprobengröße n ab:
2
σ
.
σx =
n
• Standardfehler verändert sich proportional zur Streuung in Population.
• Standardfehler verringert sich mit zunehmendem Stichprobenumfang.
Schätzung des Standardfehlers des Mittelwertes:
In der Regel ist die Varianz einer Population σ2 nicht bekannt. Daher wird der Standardfehler aus
den Stichprobendaten geschätzt: (eine Schätzung über den Durchschnitt der Stichprobenvaria nzen wäre ja nicht erwartungstreu.)
σˆ 2
=
σˆ x =
n
s2
n −1
Zentrales Grenzwerttheorem:
Der zentrale Grenzwertsatz sagt nun etwas über die Form aus:
Verteilungen von Mittelwerten aus Stichproben des Umfangs n, die sämtlich derselben Grundgesamtheit entnommen werden, gehen mit wachsendem Stichprobenumfang in eine Normalve rteilung über.
Vereinbarungsgemäß hält man ein n ≥ 30 für hinreichend, um die Stichprobenverteilung des Mittelwertes als Normalverteilung zu behandeln, ungeachtet der Verteilungsform der zugrundeliegenden Population.
Ein Beispiel: man werfe zwei sechsseitige Würfel, und lese deren Ergebnis ab. Die 7 kommt
z.B. häufiger vor als die 2, da es bei der 7 mehrere Kombinationsmöglichkeiten gibt (Bortz
S. 93). Es ergibt sich eine in Richtung NV bewegende Verteilung:
Ergebnis:
2
p(x): 1/36
3
2/36
4
3/36
5
4/36
6
5/36
7
6/36
8
5/36
9
4/36
10
3/36
11
2/36
12
1/36
Entsprechendes gilt für JEDE beliebige Verteilungsform (bei Mittelwerten).
Stichprobenkennwerte müssen nicht nur Mittelwerte sein, sondern es sind auch Mediane und
Varianzen möglich. Bei Varianzen s2 ist die Stichprobenverteilung chi 2 -verteilt.
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
Mittelwert ( x ) der Stichprobenkennwerteverteilung der Mittelwerte:
• entspricht µ der Population bei hinreicheichend großen Stichprobenumfängen.
• Hat ebenfalls bei
µ ±σ x
68,26% und bei
µ ± 2σ x
95,44% aller Messwerte liegen.
[wobei σ x = Streuung der Mittelwerte der Stichproben (= Standardfehler)]
Das bedeutet man kann: „Bei
formulieren, und zwar:
µ ± 2σ x liegen 95,44% aller Messwerte“, auch mathe matisch
µ − 2 ⋅ σ x ≤ x ≤ µ + 2 ⋅σ x
Und schon sind wir bei einem Wertebereich (mehr dazu später).
Kriterien der Parameterschätzung: Erwartungstreue, Konsistenz, Effizienz, Suffizienz:
Nach welchen Kriterien können wir entscheiden, ob ein statistischer Kennwert einen brauchbaren
Schätzer für einen Parameter darstellt?
Was sind die Eigenschaften, die eine gute Schätzung auszeichnen?
Erwartungstreue:
Ein statistischer Kennwert schätzt einen Populationsparameter erwartungstreu, wenn der Mittelwert der Kennwerteverteilung (Kennwerte sind nicht nur Mittelwerte!) bzw. deren Erwartungswert dem Populationsparameter entspricht (siehe auch „Stichprobenkennwerteverteilung“).
Konsistenz:
Von einem konsistenten Schätzwert sprechen wir, wenn sich ein statistischer Kennwert mit
wachsendem Stichprobenumfang dem Parameter, den er schätzen soll, nähert.
[Demzufolge ist z.B. die Standardabweichung konsistent, aber nicht erwartungstreu; der Mittelwert hingegen konsistent und erwartungstreu.]
Effizienz:
Je größer die Varianz der SKV, desto geringer ist die Effizienz des entsprechenden Schätzwertes.
[konkret: es geht hier also um die Präzision einer Schätzung.]
[z.B. schätzt eine Mittelwertsverteilung effizienter µ als eine Medianverteilung. (= eine Verteilung aus den Medianen der Stichproben).]
Suffizienz:
Ein Schätzwert ist suffizient oder erschöpfend, wenn er alle in den Daten einer Stichprobe entha ltenden Informationen berücksichtigt, so dass durch Berechnung eines weiteren statistischen
Kennwertes keine zusätzlichen Informationen über den zu schätzenden Parameter gewonnen
werden kann.
[Da der Median nur ordinale Dateninformationen berücksichtigt, der Mittelwert aber intervallskalierte Dateninformationen berücksichtigt, ist der Mittelwert der erschöpfendere Schätzer.]
Betrachtet man alle vier Kriterien, sieht man, dass σˆ 2 und x die besten Schätzer für σ 2 und µ sind.
Sie sind erwartungstreu, konsistent und erschöpfend. Bei NVen sind sie auch am Effizientesten.
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
Methoden der Parameterschätzung: Meth. d. kleinsten Quadrate, Maximum- likelihood-Methode:
Wie finde ich den besten Schätzer für eine Population?
Methode der kleinsten Quadrate:
Die Methode der kleinsten Quadrate wird noch im Punkt „Verfahren zur Überprüfung von Zusammenhangshypothesen“ thematisiert, trotzdem eine kurze Beschreibung:
Nehmen wir an, wir suchten den besten Schätzer für µ . (Wir wissen natürlich, dass das x ist.)
Den gesuchten Wert nennen wir a.
n
f (a ) = ∑ ( x i − a ) 2 = min .
i =1
Wir lösen das Ganze auf (Rechnung im Bortz S.97 & 98), und erhalten:
n
a=
∑x
i =1
n
i
=x
Demnach ist x der beste Schätzer für µ .
Maximum-likelihood-Methode:
Mit der Maximum- likelihood-Methode finden wir für die Schätzung unbekannter Parameter
Stichprobenkennwerte, die so geartet sind, dass sie die Wahrscheinlichkeit (engl.: likelihood) des
Auftretens in der Population maximieren.
Messen wir 5x, und zwar
x1 = 11, x2 = 8, x3 = 12, x4 = 9 und x5 = 10
Wenn wir jetzt eine NV haben, ist es unwahrscheinlich, dass die Population einen Mittelwert von
µ = 20 hat.
Nach der Maximum- likelihood-Methode würde sich herausstellen, dass x = 10 der beste Schätzer für µ ist.
[Eingehendere Beschreibung im Bortz auf den S. 98 & 99]
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
Intervallschätzung: Wertebereich, Konfidenzintervalle:
Bei einem x -Wertebereich versucht man herauszufinden, ob eine Stichprobe (d.h. eigentlich der Mittelwert x einer Stichprobe) zu einer Population gehört.
D.h. bei einer NV, also n ≥ 30 , liegen Werte zu bestimmten Bedingungen um den Mittelwert µ
herum.
µ ± σ x liegen 68,26% und
bei µ ± 2σ x 95,44% aller zufällig gezogenen Stichprobenmittelwerte in dem Bereich
Bei
± 2
Streuungen um den Mittelwert µ .
D.h. bei µ = 100 und σ x = 5 , läge bei ± 2 Streuungen zu 95,44 % die gezogene Stichprobe zwischen 90 und 110. [eigentlich ist das falsch, ein Wert kann nur drin oder draußen liege n,
also ist die Wahrscheinlichkeit entweder 1 oder 0 – ist aber nicht so wichtig (= MathematikerPedanterie)].
Diesen Bereich – hier 90 bis 110 – nennt man x -Wertebereich.
µ und σ x
sind hierbe i festgelegte Werte. Das Einzige, was variieren kann, ist x . (Weswegen
man es ja auch x -Wertebereich nennt.)
Da man aber lieber mit standardisierten NVen rechnet, arbeitet man meist mit z-Werten. Die
Gleichung sieht folgendermaßen aus:
µ + z (α / 2 ) ⋅ σ x ≤ x ≤ µ + z (1−α / 2 ) ⋅ σ x
• (α/2) haben wir hier, da ein zweiseitiges Intervall gesucht wird, also z.B. auf jeder Seite 2,5%
abgeschnitten wird.
In der Standardnormalverteilung liegen 95% der Fläche zwischen z = ± 1,96.
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
Konfidenzintervalle:
Konfidenzintervalle verhalten sich genau umgekehrt zum x -Wertebereich:
Bei einem Konfidenzintervall versucht man herauszufinden, ob eine Population zu einer
Stichprobe gehört (die möglichen µ -Werte werden gesucht); und nicht wie beim Wertebereich,
ob eine Stichprobe zu einer Population gehört (die möglichen x -Werte werden gesucht).
• Konfidenzintervalle sind demnach Bereiche, in denen sich Populationsparameter befinden, die
als Erzeuger einer Stichprobe (mit xx% Wahrscheinlichkeit) in Frage kommen.
• Man nimmt hier 95%ige oder 99%ige Wahrscheinlichkeiten (= Konfidenzkoeff izienten).
Das Konfidenzintervall kennzeichnet denjenigen Bereich eines Merkmals, in dem sich 95%
oder 99% (legt man vorher fest) aller möglichen Populationsparameter befinden, die den
empirisch ermittelten Stichprobenkennwert x erzeugt haben können.
x + z (α / 2) ⋅ σ x ≤ µ ≤ x + z (1−α / 2 ) ⋅ σ x
Gesucht sind nun hierbei die Grenzen des Konfidenzintervalls.
• Ein Konfidenzintervall ∆crit wird bestimmt nach ∆crit
= µ + z (α / 2) ⋅ σ x
Ein Delta steht immer für eine Differenz, d.h. die (Unter-) Grenze des Konfidenzintervalls hat
den Abstand Delta entweder zum Mit telwert oder zur anderen (Ober-)Grenze.
• bei kleinen Stichproben (unter 30) sind die „z-Werte“ nicht standardnormalverteilt, so ndern tverteilt (wenn die Population normalverteilt ist), also muss man t-Werte aus der Tabelle einsetzen; Freiheitsgrade = n-1 (siehe „t-Test“)
Bedeutung des Stichprobenumfangs:
Eine (weitere) Bestimmungsgröße für die Breite eines Konfidenzintervalls ist der Stichprobenumfang: Je größer die untersuchte Stichprobe, desto kleiner das Konfidenzintervall.
• Die Halbierung eines Konfidenzintervalls macht einen vierfachen Stichprobenumfang erforderlich.
• Die benötigten Stichprobenumfänge können erheblich gesenkt werden, wenn statt einer reinen
Zufallsstichprobe eine sinnvoll geschichtete Stichprobe gezogen wird (=> Standardfehler wird
kleiner => kleinere Stichprobenumfänge möglich.)
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
Formulierung und Überprüfung von Hypothesen:
Bei der Formulierung und Überprüfung von Hypothesen entsteht ein zentrales Problem:
Inwieweit können postulierte Eigenschaften (= Hypothesen) der Population (Theorie) durch
Stichproben (Empirie) bestätigt werden?
Welche Kriterien gibt es dort? Bis wann ist ein Stichprobenwert (z.B. x , s2 , etc.) „gerade noch
mit der Theorie übereinstimmend“?
Um diese u.ähnl. Fragen geht es in diesem Kapitel.
Alternativhypothesen:
Die Brauchbarkeit von Theorien ist davon abhängig, inwieweit sie sich in Untersuchen von Teilaussagen, die aus ihr abgeleitet wurden, bewährt.
Ist eine Theorie (noch) nicht empirisch bewiesen worden, stellt man Hypothesen auf, um präzisere Vorhersagen machen zu können. Eine Hypothese ist also eine Deduktion der Theorie (Deduktion = Ableitung des Einzelfalls aus dem Allgemeinen). [Deswegen soll man Hypothesen ja
auch vorher aufstellen, sonst leitet man nämlich aus dem Einzelfall bzw. den Einzelfällen das
Allgemeine ab.]
Hypothesen beinhalten Aussagen, die mit anderen Theorien in Widerspruch stehen können oder
den Wissensstand erweitern.
Hypothesen, die in diesem Sinne „innovative“ Aussagen beinhalten, werden als Gegen- oder
Alternativhypothesen bezeichnet.
Diese Hypothesen müssen dann (nur noch) überprüft werden.
Varianten von Alternativhypothesen:
Je nach Art der Hypothesenformulierung unterscheidet man zwischen
• Unterschiedshypothesen und
• Zusammenhangshypothesen.
Unterschiedshypothesen prüft man bei Häufigkeitsvergleichen und Mittelwertsvergleichen
(siehe „Verfahren zur Überprüfung von Unterschiedshypothesen“ ) und
Zusammenhangshypothesen bei Korrelationsrechnung
(siehe „Verfahren zur Überprüfung von Zusammenhangshypothesen“)
Gerichtete und ungerichtete Hypothesen:
Gerichtete Hypothesen habe irgendeine Richtungsvorgabe, d.h. es sind Formulierungen z.B.
„größer, besser, schneller, schlechter, wandelbarer, etc. als“ vorhanden.
Ungerichtete Hypothesen habe keine Richtungsvorgabe, sie postulieren nur irgend einen Unterschied. Typische Formulierungen wären: „ist ungleich, verschieden, anders, etc. zu“
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
Spezifische und unspezifische Hypothesen:
Wenn wir eine bestimmte Größe bei einer Hypothese angeben, haben wir eine spezifische Hypothese. Z.B. „Es ist (mindestens) um den Betrag x besser als vorher.“ (= Unterschiedshypothese)
oder „Der Zusammenhang (=Korrelation) beträgt (mindestens) x.“ (=Zusammenhangshypothese).
Unspezifische Hypothesen haben demnach keine expliziten Angaben.
• Spezifische Hypothesen kommen in der psychologische Forschung meistens nur in Verbindung mit gerichteten Hypothesen vor.
Die Alternativhypothese sollte – soweit sich das inhaltlich rechtfertigen lässt – so präzise wie
möglich formuliert sein. Die wenigsten Vorkenntnisse verlangt eine
unspezifische ungerichtete Hypothese
gefolgt von einer
unspezifischen gerichteten Hypothese
gefolgt von einer
spezifischen gerichteten Hypothese
Wie das bei einer spezifischen ungerichteten Hypothese (Es unterscheidet sich mindestens um x.)
aussieht, war nicht erwähnt (ist wohl auch eher selten.).
Statistische Hypothesen:
• Zur Überprüfung müssen wissenschaftliche Hypothesen vor einer Untersuchung aufgestellt
und in eine statistische Hypothese überführt werden.
• Hypothesen werden für Populationen, also mit Parametern formuliert.
• Diese beiden Punkte gelten auch für die Nullhypothese.
Alternativhypothesen heißen üblicherweise H1 .
Bei einer Unterschiedshypothese ( hier Mittelwert) hieße sie z.B.
„Psychologiestudenten sind mit diesem neuen Skript ( µ1 ) besser in der Methodenlehreprüfung
als vorher ( µ 0 ).“ Mathematisch formuliert:
H1 : µ0 < µ1
Bei einer Zusammenhangshypothese hieße sie z.B.
„Psychologiestudenten werden eher wahnsinnig ( ρ 1 ) (korrelieren mehr mit Irrenhausbesuchen)
als andere Studenten ( ρ 0 ).“Mathematisch formuliert:
H 1 : ρ 0 < ρ1
Die Nullhypothese:
In Abhängigkeit zur Alternativhypothese wird eine konkurrierende Hypothese gebildet, die sogenannte Nullhypothese (H0). Die Nullhypothese ist eine Negativhypothese, die behauptet, dass
die zur H1 komplementäre Aussage richtig sei. Die Nullhypothese ist die Basis der klassischen Prüfstatistik, da von dort aus entschieden wird, ob die H1 stimmt oder nicht.
(Mehr dazu im Bortz S. 109 & 110)
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
Fehlerarten bei statistischen Entscheidungen: Alpha- & Beta-Fehler:
Stehen Null- und Alternativhypothese fest, kann die Untersuchung beginnen. Aber welche der
Hypothesen gilt nun? Die Entscheidung hierüber wird noch erschwert, da sich das Ergebnis
der Untersuchung auf eine Stichprobe bezieht, während wir eigentlich Aussagen über eine
Population treffen wollen.
Damit ist nicht auszuschließen, dass wir aufgrund der Stichprobenauswahl Fehler machen: Insgesamt gibt es 4 Möglichkeiten:
Entscheidung
für ...
H0
H1
In der Population („in Wahrheit“) gilt ...
H0
H1
Richtige
β-Fehler
Entscheidung
Richtige
α-Fehler
Entscheidung
α -Fehler oder Fehler erster Art: Die H1 wird angenommen, obwohl eigentlich die H0 gilt.
β -Fehler oder Fehler zweiter Art : Die H0 wird beibehalten, obwohl eigentlich die H1 gilt.
α- und β-Fehlerwahrscheinlichkeit bei einer (rechts-) gerichteten Hypothese.
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
Signifikanzaussagen:
Signifikanzaussagen sind Aussagen, ob eine Hypothese – meist die H1 – auf der Basis festgelegter Grenzen (meist bei 5% oder 1% Irrtumswahrscheinlichkeit) gilt oder nicht.
Da Stichprobenergebnisse (zufällig) stark von der Population abweichen können, setzt man
Signifikanzen fest, um zu einer bestimmten Wahrscheinlichkeit eine Hypothese (Aussage)
beweisen zu können.
Man bezeichnet ein Signifikanzniveau von α = 5% als signifikant, ein
Signifikanzniveau von α = 1% als sehr signifikant. (Das ist so festgelegt worden.)
Inwieweit man α festlegt, ist eine methodische Sache (Brisanz der Untersuchung => kleines α ,
junge Wissenschaft mit innovativen Ideen => großes α )
Da die H0 die Basis der klassischen Prüfstatistik ist und wir die H1 beweisen wollen, ist für uns
(erst einmal) der α -Fehler von Bedeutung. Deswegen wird erst einmal die Wahrscheinlichkeit
des α -Fehlers – die sogenannte Irrtumswahrscheinlichkeit – bestimmt.
Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit:
Irrtumswahrscheinlichkeiten sind bedingte Wahrscheinlichkeiten, d.h Wahrscheinlichkeiten für
das Auftreten eines Ereignisses (hier das Ergebnis unserer Stichprobenuntersuchung) unter der
Bedingung, dass die Nullhypothese zutrifft.
Aus der Population ziehen wir (theoretisch) unendlich viele Stichproben – es ergibt sich eine
SKV mit dem Mit telwert µ0 , der dem der Population entspricht.
Bei dieser SKV trennen wir (bei rechtsseitiger H1 & α = 0,05) rechts 5% ab.
Diese Teilfläche stellt den Bereich dar, bei der wir uns zu α % (hier 5%) irrtümlicherweise
zugunsten der H1 entscheiden würden. Die Größe der Irrtumswahrscheinlichkeit wird mit
P gekennzeichnet.
Mittels einer z- Transformation lässt sich dann der genaue (Grenz-) Wert errechnen.
Nun ändern wir bei einer Stichprobe die Bedingungen, damit unsere H1 wirkt (z.B. H1 : neue
Lehrmethode => die wird nun angewandt). Landet der Mittelwert der Stichprobe im Bereich P,
nehmen wir die H1 an.
Das Ganze war die Theorie.
Da aber die Kosten ins Astronomische steigen würden (unendlich viele Stichproben), gehen
wir von einer NV der Mittelwerte aus (die SKV soll also eine NV sein).
Dann berechnen wir eine z-Transformation mit dem Wert unserer – unter H1-Bedingungen
getesteten – Stichprobe. Diesen z-Wert schlagen wir in der Tabelle nach und sehen, wie signifikant er ist. Ist er geringer als unsere Signifikanzniveau α , können wir die H1 annehmen.
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
Beispiel: Nach der z-Transformation unser Experimentalergebnisse
z=
x − µ0
σx
[ σ x kann auch geschätzt sein.]
erhalten wir den z-Wert 2,29.
Dieser Wert schneidet links von sich 98,90% aller z-Werte ab. D.h. bei unserem rechtsseitigem
Test und einem Signifikanzniveau von α = 5% könnten wir die H1 annehmen, bei einem Signifikanzniveau von α = 1% müsste die H0 beibehalten werden (obwohl sie nur zu 1,1% stimmen
würde.
• Ein nicht-signifikantes Ergebnis heißt nicht, dass die H0 richtig ist; z.B. bei einer Verfe hlung des 5%-Niveaus um 1% ist die H0 nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 6% richtig !!
Deswegen sagt man auch „Beibehaltung“ statt „Annahme“ der H0 .
Die Irrtumswahrscheinlichkeit α ist immer vorhanden, sie verringert sich bei
1.) größer werdender Diskrepanz von x − µ0 (je ausgefallener die Stichprobe)
2.) Vergrößerung des Stichprobenumfangs: nur wenn n so groß wie die Population ist,
ist die Entscheidung für H1 oder H0 sicher (aber da alles bekannt ist fällt sie soundso weg).
3.) kleiner werdender Populationsstreuung σ bzw. σ̂ (je weniger sich die Leute unterscheiden.)
Die statistische Hypothesentestung führt zu keinen Wahrheiten, nur zu Wahrscheinlichkeiten.
Unspezifische Nullhypothesen:
Meist haben wir eine spezifische H0 , also µ1 = µ 0 . Es kann aber auch unspezifische Nullhypothesen geben, also bei einem rechtsseitigem Test H0: µ1 > µ 0 . Hat man jedoch festgestellt, dass
µ1 = µ 0 verworfen werden kann, so gilt das auch für µ1 > µ 0 .
Es genügt also, wenn eine unspezifische H1 an einer spezifischen H0 getestet wird.
Einseitige und zweiseitige Tests:
Zweiseitige Tests sind genauer als Einseitige, da das α -Niveau konstant bei z.B. 1% liegt (es
wird also 1% der Verteilung abgeschnitten), und eine zweiseitige Testung durchgeführt wird (es
werden also auf beiden Seiten α /2 % abgeschnitten.
Zweiseitige Tests haben den Nachteil, dass sie keine Richtungen, sondern nur Ungleichheiten
formulieren.
Einseitige Test werden eher signifikant als Zweiseitige – was in der psychologischen Forschung
ja auch gerne gesehen wird.
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
Kann nicht klar entschieden werden, ob ein Sachverhalt besser durch eine gerichtete (einseitig) oder ungerichtete (zweiseitig) Hypothese erfasst wird, muss in jeden Fall zweiseitig
getestet we rden.
Statistische Signifikanz und praktische Bedeutsamkeit:
Ist n hinreichend groß und also σ̂ x entsprechend klein, wird jeder noch so kleine hypothesenkonforme Unterschied signifikant.
Ein Beispiel: eine neue Lehrmethode führte bei 100 Schüle rn zu durchschnittlich 42 Punkten
im Abschlusstest. Der Mittelwert aller Tests vor der neuen Lehrmethode betrug 40 Punkte,
die Streuung 0,8 Punkte. Die H1 (die neue Lehrmethode ist besser) wäre hierbei auf einem
1%tigen Alphaniveau signifikant.
Wenn wir jetzt statt 100 Schülern 10.000 untersuchen würden, wäre selbst ein Unterschied
von 0,19 Punkten bei einem 1%tigen Alphaniveau signifikant
Aber hat das noch irgendeine Bedeutung?
Umgekehrt gilt auch, dass große (und bedeutsame) Unterschiede bei zu kleinen Stichproben nicht
signifikant werden, also „unentdeckt“ bleiben.
Deswegen benötigt man Verfahren, die praktische Bedeutsamkeit von Untersuchungen erkennen
zu können. Das geht über die Feststellung der:
• Effektgrößen und
• Teststärke
Die korrekte Anwendung eines Signifikanztests und die Interpretation der Ergebnisse unter
dem Blickwinkel der praktischen Bedeutsamkeit sind essentielle und gleichwertige Bestandteile der empirischen Hypothesenprüfung.
Effektgröße:
Der in der H1 behauptete Unterschied wird als Effekt bezeichnet. Um Effekte verschiedener Untersuchungen vergleichbar zu machen, werden Effekte zu Effektgrößen standardisiert:
ε=
µ1 − µ 0 .
σˆ
Das Epsilon ( ε ) steht für Effektgröße.
Die Effektgröße gibt also an, inwieweit – in einem speziellen Test – µ1 von µ 0 entfernt sein sollte, um von einem praktisch bedeutsamen Effekt sprechen zu können.
Wenn man vor einer Untersuchung eine Effektgröße festlegt, hat dies den Vorteil (neben dem
größeren Aufwand), dass der Stichprobenumfang kalkulierbar ist:
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Methodenlehre
B2, B3 & B4
n=
(z(1−α ) − zβ )2 .
ε2
Um eine geeignete Teststärke zu erzielen, sollte vor einer Untersuchung eine Effektgröße
festgelegt und n darauf abg estimmt werden.
Der Beta-Fehler:
Die Festlegung des β -Fehlers erfolgt wie die Festlegung des α -Fehlers (zu finden unter dem
Punkt „Bestimmung der Irrtumswahrscheinlichkeit“), nur dass das Ganze mit vertauschten Hypothesen stattfindet.
D.h. eigentlich sollte man unendlich viele H1 -Stichproben (= unter der Bedingung H1 ) durchführen, man geht aber von einer NV aus und macht einen z- Test.
(z.B. bei H1 : µ1 ≥ 110 wäre µ1 = 110)
Der Beta-Fehler stellt den Bereich dar, bei der wir uns zu β % irrtümlicherweise zugunsten der H0 entscheiden würden.
Unspezifische Alternativhypothesen:
Die Festlegung des β -Fehlers, die mit einer Entscheidung zugunsten der H0 verbunden ist, kann
bei unspezifischen H1 nicht bestimmt werden.
Hier das Bild einer spezifischen H1 samt Alpha- & Beta-Fehler-Bereich:
Teils ist der Beta-Fehler durch die Wahl des Alpha -Fehlers festgelegt, d.h. er fängt an der
kritischen Grenze (hier links davon) an, die durch die Wahl des Alpha-Niveaus entstanden ist.
Der β -Fehler kann aber auch festgelegt sein. So können Indifferenzbereiche entstehen.
41
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Indifferenzbereiche:
Wenn Alpha- und Beta-Niveau festgelegt sind, kann es bei sehr kleinen bzw. sehr großen Effektgrößen (entweder große bzw. kleine Streuung und/oder nahe beieinander bzw. weit entfernt liegenden Mittelwerte von H1 und H 0 ) zu Indifferenzbereichen kommen.
Das Stichprobenergebnis befindet sich dann in einem Bereich, für den
• weder die H0 noch die H1 abgelehnt werden können
(Überschneidung der Kurven)
oder
• sowohl die H0 als auch die H1 abgelehnt werden müssen
(kaum Kurvenüberschneidung,
d.h. nur noch die ganz ganz flachen Bereiche der Kurven von H1 und H0 überschneiden sich ).
Teststärke („power“) :
Die Teststärke ist die der korrekten Entscheidung für die H1 zugeordnete Wahrscheinlichkeit, d.h.
die Teststärke gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Signifikanztest zugunsten einer
spezifischen H1 entscheidet.
Die Teststärke hat den Wert 1−β
Da sich α und β gegenseitig beeinflussen, ist die Teststärke für α = 0,05 größer als für
α = 0,01.
Eigenschaften der Teststärke:
Sie vergrößert sich:
• mit wachsender Differenz von µ0 und µ1 (also auch mit wachsender Effektgröße)
• bei kleiner werdender Merkmals (=Populations-) streuung.
• mit größer werdendem α (sofern β nicht festgelegt ist).
2
• mit wachsendem Stichprobenumfang (da der Standardfehler kleiner ist)
σx = σ
n
• Bei gerichteter Hypothese hat ein einseitiger Test größere Power als zweiseitiger Test.
Bedeutung der Stichprobengröße:
Im Allgemeinen kann man sagen, dass große Stichproben immer günstiger sind als kleine, da sie
zu genaueren Ergebnissen führen. Da große Stichproben auch mehr kosten, reicht ein „optimaler“
Stichprobenumfang.
Stichprobenumfänge sind dann optimal, wenn sie bei gegebenem α , β und ε eine einde utige Entscheidung über die Gültigkeit von H0 oder H1 sicherstellen.
Für Stichprobenumfänge, die kleiner sind als der „optimale“, existiert ein x -Wertebereich, der
sowohl mit H0 als auch mit H1 vereinbar ist. Für größere Stichproben gibt es Werte, die weder
mit H0 noch mit H1 vereinbar sind.
42
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Monte-Carlo-Studien, Bootstrap-Technik:
Es gibt statistische Kennwerte, deren mathematischer Aufbau so kompliziert ist, dass es bis heute
nicht gelungen ist, deren Standardfehler auf analytischem Wege zu entwickeln.
In diesen Fällen können sogenannte Monte-Carlo-Studien oder die Bootstrap-Technik eingesetzt
werden, mit denen die unbekannte H0 -Verteilung des jeweiligen Kennwertes auf einem PC simuliert wird.
Die Monte-Carlo-Methode hat zwei (für uns) vorrangige Anwendungsvarianten:
• die Erzeugung der H0 -Verteilung eines statistischen Kennwertes
(man simuliert per PC eine Population, und der PC zieht immer weiter Stichproben, er simuliert eine SKV. Mit dieser künstlichen SKV kann man überprüfen, ob der reale untersuchte
Kennwert signifikant ist oder nicht.)
• die Überprüfung der Folgen, die mit der Verletzung von Voraussetzungen eines statistischen
Tests verbunden sind.
(da in der empirischen Forschung oftmals Testvoraussetzungen verletzt werden, kann man einen Test auf seine „Robustheit“ testen, d.h. beeinflusst die Verletzung der Testvoraussetzungen das Ergebnis des Tests oder nicht.)
Monte-Carlo-Studien sind für die empirische Forschung äußerst wichtig, da sie –teils – die Entscheidung darüber erleichtern, wann ein bestimmter Test eingesetzt werden kann oder nicht.
Die Bootstrap-Technik:
Die Bootstrap-Technik ist den Monte-Carlo-Studien sehr ähnlich; sie unterscheidet sich von der
Monte-Carlo-Studie in einem wesentlichen Punkt:
Die Monte-Carlo-Studien kommen zu generalisierbaren Ergebnissen, die Ergebnisse der
Bootstrap-Techniken beziehen sich immer nur auf eine bestimmte Untersuchung.
Die Bootstrap-Technik simuliert keine Population, sie verwend et ausschließlich Informationen
einer empirisch untersuchten Stichprobe mit dem Ziel, eine Vorstellung über die Variabilität des
zu prüfe nden Stichprobenkennwertes zu gewinnen.
Die Bootstrap-Technik zieht aus den einzelnen Werten der empirischen Stichprobe immer neue
Stichproben, bildet davon Mittelwert und Varianz und berechnet schließlich ein Konfidenzintervall für diese Stichproben. Daran wird dann die H0 überprüft.
43
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Verfahren zur Überprüfung von Unterschiedshypothesen:
Bei den Verfahren zur Überprüfung von Unterschiedshypothesen werden normalerweise
zwei Stichprobenergebnisse miteinander verglichen; Vergleiche eines Stichprobenmittelwertes mit einem Populationsmittelwert gibt es aber auch (meist ob ein Stichprobenkennwert
zu einer Population gehört oder nicht).
Dabei gibt es eine Menge von Testverfahren. Bevor man eines auswählt, muss noch das Skalenniveau festgelegt werden; kann man sich nicht zwischen zweien entscheiden, sollten Tests (also
unterschiedliche Tests, die dasselbe messen) für beiden Skalenniveaus durchgeführt werden.
Sind die Ergebnisse gleich, kann das höhere Skalenniveau nicht angezweifelt werden. Unterscheiden sich die Ergebnisse, muss das anforderungslosere Skalenniveau gewählt werden.
Verfahren für Intervalldaten:
Die folgenden Verfahren wie z-Test, t-Test, F-Test und χ 2 -Test für eine Varianz, vorgestellt in
den Punkten:
„Vergleich eines Stichprobenmittelwertes mit einem Populationsparameter“
„Vergleich zweier Stichprobenmittelwerte aus unabhängigen Stichproben“
„Vergleich zweier Stichprobenmittelwerte aus abhängigen Stichproben“
„Vergleich einer Stichprobenvarianz mit einer Populationsvarianz“
„Vergleich zweier Stichprobenvarianzen“
sind Verfahren für Intervalldaten.
Vergleich eines Stichprobenmittelwertes mit einem Populationsparameter (z-Test, t-Test):
Eine Zufallsstichprobe des Umfangs n mit einem Mittelwert x wird berechnet.
Nun soll die Hypothese geprüft werden, ob die Stichprobe zu einer Grundgesamtheit mit bekanntem Populationsparameter µ 0 gehört.
H0 : µ 0 = µ1
Aufstellen der Hypothesen:
H1 : µ 0
≠ µ1
Bei n ≥ 30 und bekannter Populationsvarianz σ 2 (und somit bekanntem Standardfehler) sowie
bei n ≥ 50 und geschätzter Populationsvarianz σˆ 2 (und somit geschätztem Standardfehler) kann
man einen z-Test durchführen:
Also entweder
z emp =
x −µ
σx
oder
44
z emp =
x−µ
σˆ x
.
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Man berechnet zemp und zkrit . Wenn zemp > zkrit , nehmen wir (bei rechts- und ungerichteter H1, also
auch hier) die H1 an.
Zu beachten ist, dass sich das α bei zkrit bei zweiseitigen Tests halbiert.
Kleine Stichproben:
Erfüllen unsere Stichprobe und die Population die oben genannten Kriterien für den z-Test nicht,
kann man auf einen t-Test ausweichen.
Die Hypothesenaufstellung und das Verfahren erfolgen wie beim z- Test, nur halt jetzt mit
t-Werten statt z-Werten.
Nicht zu vergessen:
Werden Stichproben des Umfangs n aus einer normalverteilten Population (Grundgesamtheit) gezogen, verteilen sie sich entsprechend einer t-Verteilung mit n-1 Freiheitsgraden
(df = degrees of freedom).
t=
x −µ
, mit df = n−1.
ˆσ x
Jetzt werden temp und tkrit berechnet, nur abreitet man mit der t-Tabelle statt der z- Tabelle, der
Rest läuft wie beim z-Test.
Zur Erinnerung: je nach t-Test (links- / rechtsseitig / ungerichtet) ist:
t krit = t ( df ;α )
oder
t krit = t ( df ;1−α )
oder
t krit = t ( df ;α / 2 )
Anzahl der Freiheitsgerade:
Freiheitsgrad = Die Anzahl der bei der Berechnung des Kennwertes frei variierbaren We rte.
Die Anzahl der Freiheitsgrade hängt davon ab, wie viel Werte noch frei variieren können. D.h.,
wenn 4 von 5 Werten bei einer Additionsaufgabe und das Ergebnis feststehen, dann ist der Wert
des 5. Wertes festgelegt, ergo unfrei.
Beispiel: die 4 Werte ergeben aufaddiert 9. Das Endergebnis ist 10. Welche Zahl hat wohl der
5. Wert?
45
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Vergleich zweier Stichprobenmittelwerte aus unabhängigen Stichproben (t-Test):
Sind bei Gruppenvergleichen die Daten beider Populationen unbekannt, vergleicht man anhand
von Stichproben.
Der t-Test für unabhängige Stichproben prüft zwei voneinander unabhängige Stichproben
des Umfangs n1 und n2 , die aus zwei verschiedenen Grundgesamtheiten gezogen wurden.
Die Hypothesen lauten:
H0 : µ1 − µ 2 = 0
H1 : µ1 − µ 2 ≠ 0 (ungerichtet)
[Nullhypothese ausformuliert: Wenn sich beide Populationen nicht unterscheiden, müsste bei
(unendlich) vielen Stichproben aus beiden Populationen auch kein Unterschied zwischen den
Mittelwerten der beiden SKVen bestehen.]
Die eigentliche Formel lautet (ist eine Art z-Transformation für zwei Stichproben):
temp =
x1 − x2
σˆ ( x1 − x2 )
df = n1 + n2 − 2
Denn im Nenner steht erneut nur der Standardfehler, nur diesmal für die Differenz aus
beiden Stichproben.
Und dieser Standardfehler berechnet sich aus dieser einfachen formschönen Formel:
ˆ 12 + (n2 − 1) ⋅ σˆ 22
(
n
−
1
)
⋅
σ
1
σˆ ( x1 − x 2 ) =
⋅ 1 + 1
(n1 − 1) + (n2 − 1)
n1 n2
∑ ( xi1 − x1 ) + ∑ ( xi2 − x2 )
=
⋅ 1 + 1
(n1 − 1) + (n2 − 1)
n1 n2
2
2
(Beide Versionen – also die obere und untere – sind mögliche Abwandlungen. Die obere Version
kann man anwenden, wenn beide Populationsvarianzen schon geschätzt wurden.)
Voraussetzungen (für einen t-Test für unabhängige Stichproben):
• Die Verteilungen der Stichprobenmittelwerte sind NV, bei kleineren Stichproben müssen die
Populationen (goodness-of- fit-Test) normalverteilt sein.
• homogene Varianzen
• Unabhängigkeit der Stichproben
• Gleiche Stichprobengrößen (im Allgemeinen)
Noch etwas: ab n1 + n 2 ≥ 50 kann man auch in der z-Tabelle statt in der t- Tabelle nachsehen.
46
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Vergleich zweier Stichprobenmittelwerte aus abhängigen Stichproben (t-Test):
Abhängig sind Stichproben, deren Elemente paarweise einander zugeordnet sind. Dies geschieht durch Messwiederholung oder Zuordnung (Parallelisierung) nach sinnvollen Kriterien:
Beispiele für „paarweise“ wären:
• Intelligenz wird bei denselben Probanden zweimal erhoben und es soll untersucht werden, ob
sich der Intelligenztestwert von Messung zu Messung verändert hat (Messwiederholung).
• Intelligenz wird bei Zwillingen gemessen.
• Stichprobengruppen werden parallelisiert (matched samples)
Beim t-Test für abhängige Stichproben wird berücksichtigt, dass die Varianz des ersten
Messzeitpunktes die des zweiten beeinflusst (oder umgekehrt oder beides).
Dadurch können Mehrfachmessungen (z.B. durch Vorwissen bei einem Wissenstest) vermieden
werden.
Voraussetzungen (für einen t-Test für abhängige Stichproben)
• Die Stichprobenverteilung der mittleren Differenzen ist eine NV (uns interessiert also nicht
die Verteilung von Mittelwerten im möglichst vielen Stichproben, sondern die Verteilung der
Differenzen der Mittelwerte.).
• Bei kleineren Stichproben müssen die Populationen normalverteilt sein.
Die Hypothesen lauten:
ungerichtet
H0: µ d = 0
H1: µ d ≠ 0
rechtsseitig
H0 : µ d ≤ 0
H1 : µ d > 0
linksseitig
H0 : µ d ≥ 0
H1 : µ d < 0
Vorgehen:
Zunächst werden die Differenzen zwischen den Messwerten der ersten und der zweiten Erhebung
berechnet:
di = xi1−xi2.
Dann wird der Mittelwert der Differenzen berechnet:
n
∑ di
i =1 , mit n: Anzahl der Messwertpaare.
xd =
n
47
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Dann der geschätzte Standardfehler ermittelt:
σˆ x d
2
σˆ 2d
∑ni=1 ( di − xd ) 2 1
∑ni=1 (d i − xd )
=
=
⋅ =
n
n −1
n
n ⋅ (n − 1)
Die eigentliche Formel lautet (ist eine Art z- Transformation ohne My, da µ d = 0 ):
temp
xd
=
, mit df = n−1 und dem Standardfehler
σˆ xd
Statistische Entscheidung (für alle t-Tests):
Annahme der H1,
falls ...
ungerichtet
rechtsseitig
linksseitig
|temp |>|t(df; α/2) |
temp > t(df; 1−α )
temp < t(df; α)
Bei einem gerichteten t-Test für abhängige Stichproben ist darauf zu achten, dass die inhaltliche und die statistische Alternativhypothese dieselbe Richtung behaupten; das hängt
davon ab, wie man die Differenzen bildet (der Fehler passiert bei Aufgabenblatt 10 in B2).
Deswegen bei di = x i1 −xi2 immer die H1 -Werte bei x1 einsetzten (dann behaupten die inhaltliche
und die statistische Alternativhypothese immer dieselbe Richtung.).
Aus Monte-Carlo-Studien geht hervor, dass der t-Test für abhängige Stichproben wie auch der tTest für unabhängige Stichproben äußerst robust auf Verletzungen seiner Voraussetzungen reagiert.
Bei einem t-Test für unabhängige Stichproben geht das bei
• ähnlichen Grundgesamtheiten, möglichst eingipflig und symmetrisch
• großen Stic hprobenunterschieden, solange die Varianzen gleich sind.
Bei einem t-Test für abhängige Stichproben sollte
• die Korrelation positiv sein.
48
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Vergleich einer Stichprobenvarianz mit einer Populationsvarianz (chi2 -Test für eine Varianz):
Manchmal kann die Varianz einer Stichprobe stark von der der Population abweichen, der Mittelwert z.B. aber identisch sein. U.a. aufgrund dessen kann es interessant sein, Varianzvergleiche
durchzuführen.
Der folgende Test – ein χ 2 -Test für eine Varianz – überprüft, ob eine Stichprobe aus einer Population mit der Varianz σ 2 = a stammt.
Voraussetzung:
• Sofern die Messwerte (der Population & der Stichprobe) normalverteilt sind, verteilt sich die
Prüfgröße (=die eigentliche Formel) gemäß einer χ 2 -Verteilung mit n−1 Freiheitsgraden.
Die Nullhypothese (ist immer so):
H0 : σ
2
=a
Die Alternativhypothesen lauten:
ungerichtet
χ 2emp
falls ...
<
χ 2df , α 2
oder
rechtsseitig
linksseitig
χ 2emp > χ 2df ,1−α
χ 2emp < χ 2df , α
χ 2emp > χ2df , 1− α 2
Vorgehen:
Standardfehler ausrechen, Werte einsetzten nach folgender Formel.
Die eigentliche Formel lautet:
2
χemp
( n − 1) ⋅ σˆ 2
, mit df = n−1.
=
a
Statistische Entscheidung:
ungerichtet
Annahme der H1 ,
falls ...
rechtsseitig
H1: σ ≠ a
H1: σ > a
2
2
49
linksseitig
H 1: σ2 < a
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Vergleich zweier Stichprobenvarianzen (F-Test):
Der Vergleich von Stichprobenvarianzen mit der Populationsvarianz kommt in der Praxis nicht
so häufig vor. Es werden eher zwei Stichprobenvarianzen miteinander verglichen. Dies geschieht
über einen F-Test.
Voraussetzungen
• Normalverteilung der Grundgesamtheiten,
• Unabhängigkeit der Stichproben.
Die Hypothesen lauten:
H 0 : σ 12 = σ 22
H 1 : σ 12 ≠ σ 22
(ungerichtet)
H1 : σ 12 > σ 22
(gerichtet)
[Die H0 ausformuliert: es gibt keinen Unterschied in den Populationsvarianzen.]
[Diese Hypothese wird nun anhand von Stichprobenvarianzen überprüft.]
Bei einem einseitigen Test (es kommen fast nur einseitige F-Tests vor) kommt die als größer
erwartete Varianz in den Zähler, bei einem zweiseitigen Test (selten) kommt die empirisch
größere Varianz in den Zähler.
Die eigentliche Formel lautet:
Femp
σˆ 12
= 2 mit dfZähler = n1 − 1 und dfNenner = n2 − 1
σˆ 2
(Da die Populationsvarianzen nicht bekannt sind, schätzen wir diese.)
Statistische Entscheidung:
falls ...
Anna hme der ...
ungerichtet
Femp > Fn1−1, n 2−1, 1−α/2
H1:
σ12 ≠ σ 22
* es gibt nur rechtsseitige gerichtete Hypothesen.
50
gerichtet*
Femp > Fn1−1, n 2−1, 1−α
H1:
σ12 > σ 22
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Verfahren für Ordinaldaten:
Werden in bei den Verfa hren für Intervalldaten einige Voraussetzungen nicht erfüllt, oder hat
man in der Untersuchung nur Rangreihen erhoben, muss man auf Verfahren für Ordinaldaten
zurückgreifen.
Verfahren für Ordinaldaten sind „verteilungsfrei“, sie vergleichen nur Relationen (= Ordinaldaten) = Rangdaten.
Die folgenden Verfahren U-Test und Wilcoxon-Test, vorgestellt in den Punkten:
„Vergleich von zwei unabhängigen Stichproben hinsichtlich ihrer zentralen Te ndenz“ und
„Vergleich von zwei abhängigen Stichproben hinsichtlich ihrer zentralen Te ndenz“
sind Verfahren für Ordinaldaten.
Randomisationstest nach Fisher:
Da die hier vorgestellten Verfahren (U-Test & Wilcoxon-Test) auf der Randomisationsidee von
Fisher basieren, wird diese kurz erklärt (am Beispiel unabhängiger Gruppen).
Das ganze Verfahren steht nicht im Bortz (in B3-Folien) und ist auch nur als Einleitung
gedacht.
In einem Experiment wurden die Vbn zufällig auf zwei Gruppen (EG und KG) aufgeteilt.
Die H0 wäre: Die Daten stammen aus derselben Population.
Fishers erstellet eine diskrete Verteilung einer interessierenden Prüfgröße (z.B. D = x1 − x2 ),
die auf allen möglichen Aufteilungen aller Messwerte auf die Gruppen basieren. Im Gegensatz
zur normalen Stichprobenverteilung, konstruiert Fisher eine Verteilung von Prüfgrößen, die auf
Ziehungen ohne Zurücklegen basiert.
Konkret geht Fisher alle möglichen Kombinationen durch und bildet pro Gruppe jeweils den Mittelwert. Dann subtrahiert er den einen Mittelwert vom anderen, und erhält eine Verteilung.
f(D)
3
2
1
0
-3,2 -2,3 -1,5 -0,7 0,2
1
1,8 3,5
Differenz der Mittelwerte
Diese Verfahren für Ordinaldaten erstellt also eine Häufigkeitstabelle, an der man mit simpler
Wahrscheinlichkeitsrechnung feststellen kann, wie groß die Irrtumswahrscheinlichkeit eines gemessenen Wertes ist.
51
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Vergleich von zwei unabhängigen Stichproben hinsichtlich ihrer zentralen Tendenz (U-Test):
Wenn wir die Beeinträchtigung der Reaktionszeit unter Alkohol mit der Beeinträchtigung der
Reaktionszeit unter Alkohol unter Einnahme des Präparates A (soll den negativen Effekt des Alkohols neutralisieren) vergleichen wollen, können wir nicht davon ausgehen, dass die Reaktionszeiten normalverteilt sind.
Dementsprechend können wir nur ein Verfahren für Ordinaldaten anwenden, den sogenannten
U-Test (der funktioniert auch für ungleich große Stichproben).
Der U-Test ist so etwas ähnliches wie der t-Test für unabhängige Stichproben
Als Beispiel:
Wir messen bei insgesamt 27 Personen die Reaktionszeiten, bei 12 unter Alkohol und bei 15 unter Alkohol unter Einnahme des Präparates A.
Mit Alkohol
Reaktionszeit (ms)
85
106
118
81
138
90
112
119
107
95
88
103
Mit Alkohol und Präparat A
Rangplatz
4
17
22
2
27
8
21
23
18
9
7
14
Reaktionszeit (ms)
96
105
104
108
86
84
99
101
78
124
121
97
129
87
109
T1 = 172
Tx = Summe der Rangplätze der Bedingung x
R = Durchschnitt (Mittelwert) der Rangplätze
Rangplatz
10
16
15
19
5
3
12
13
1
25
24
11
26
6
20
T2 = 206
R1 = 14,33
R2 = 13,73
Bestimmung des U-Wertes:
Am Beispiel:
Die erste Person in Gruppe 1 hat den Rangplatz 4. In Gruppe zwei gibt es 13 Personen mit einem
höheren Platz. Die zweite Person in Gruppe 1 hat den Rangplatz 17, der von 5 aus Gruppe 2 übertroffen wird.
Die Summe der Rangplatzüberschreitungen ist der U-Wert (also hier: 13+5+..... etc.).
Die Summe der Rangplatzunterschreitungen wird mit U’ bezeichnet: U = n1 ⋅ n 2 − U ′
52
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Da das zählen sehr langwierig ist, geht das auch mit dieser Formel:
U = n1 ⋅ n2 +
n1 ⋅ (n1 + 1)
− T1
2
Eingesetzt erhalten wir auf das Beispiel bezogen U = 86 und U’ = 94. [U’ erhält man, wenn man
in der Formel im Zähler n2 statt n1 und am Ende T2 statt T1 benutzt.] [Zur Kontrolle kann man
U = n1 ⋅ n 2 − U ′ anwenden.]
Wenn n1 oder n2 größer als 10 sind, sind die Werte annährend normal:
Dann erfolgt die Ermittlung des Populationsmittelwertes und des Standardfehlers:
µU =
n1 ⋅ n2
2
σU =
n1 ⋅ n 2 ⋅ (n1 + n2 + 1)
12
Die eigentliche Formel lautet dann:
z=
U − µU
σU
Bei unserem Beispiel erhalten wir z = – 0,20
Dann entnehmen wir der z-Tabelle, dass auf einem Alphaniveau von 5% dieser (negative) Wert
kleiner ist als unser empirischer z-Wert => Beibehaltung der H0 .
Kleinere Stichproben:
Bei kleineren Stichproben bestimmt man nur U und schaut dann in der U-Tabelle nach.
Wichtig:
• Bei verbundenen Rangplätzen (mehrere Personen auf einem Rangplatz) muss die Streuung
korrigiert werden (siehe Bortz S. 148)
• Beim U-Test muss bei ungerichteter Hypothese das Alphaniveau verdoppelt werden.
Vergleich von zwei abhängigen Stichproben hinsichtl. ihrer zentralen Tendenz (Wilcoxon-Test):
Der Wilcoxon-Test ist so etwas ähnliches wie der t -Test für abhängige Stichproben.
Zuerst wird die Differenz zwischen den zwei Messungen di (z.B. „vorher“ & „nachher“) ermittelt. Danach werden die Rangplätze vom Betrag von di aufgestellt.
Dann werden die Rangplätze speziell gekennzeichnet, deren Vorzeichen (das Vorzeichen bei di)
weniger vorkommt.
Dann werden die Summen der speziell gekennzeichneten und der restlichen Rangplätze aufgestellt.
T = Summe der speziell gekennzeichneten Rangplätze
T’ = Summe der restlichen Rangplätze
(Paare mit di = 0 bleiben unberücksichtigt!)
53
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Verbundenen Rängen (z.B. drei Personen auf Platz 2) werden gemittelte Rangplätze vergeben.
Wenn es keinen Unterschied gibt, erwarten wir als T-Wert (nicht t-Wert, sondern „T“):
µT =
n ⋅ ( n + 1)
4
n = Anzahl der Messwertpaare, wobei di = 0 unberücksichtigt bleibt.
Je deutlicher der empirische T-Wert (das ist „T“) von µT abweicht, desto geringer ist die Chance,
dass der gefundene Unterschied zufällig zustande kam.
Wenn wir die Summe der speziell gekennzeichneten Rangplätze (T) ermittelt haben, schauen wir
in der T-Tabelle (NEIN, NICHT t-Tabelle) beim kritischen Alphaniveau nach. Ist der T-Wert
größer, müssen wir die H0 beibehalten.
Größere Stichproben:
Bei Stichprobengrößen n > 25 geht die T-Verteilung (auch jetzt NICHT t-Verteilung) in eine NV
über, so dass man mit der z-Tabelle arbeiten kann.
Dazu muss nur noch die Streuung errechnet werden:
t i3 − ti
n ⋅ (n + 1) ⋅ (2 ⋅ n + 1) − ∑
2
i =1
24
k
σT =
k = Anzahl der Rangbindungen und ti = Länge der Rangbindung i
Und schon kann man die Formel
z=
T − µT
σT
angewendet werden.
(Diesen Formelwald muss man aber nicht können.)
Der Wilcoxon-Test setzt im Gegensatz zum U-Test Intervallskalenniveau voraus. Trotzdem ist er
ein Verfahren für Ordinaldaten. Wieso?
Der Wilcoxon-Test vergleicht Ränge, er kommt im Prinzip mit Ordinaldaten aus. Das Problem ist
nur, dass er Rangplatzdifferenzen bildet, und so Ordinaldatenniveau dafür nicht mehr ausreicht.
Trotzdem ist er jedoch ein nichtparametrisches Verfahren und wird somit unter Verfahren für
Ordinaldaten gehandelt.
54
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Verfahren für Nominaldaten:
Nominaldaten sind dann nötig, wenn Häufigkeitsunterschiede im Auftreten bestimmter Merkmale bzw. Merkmalskombinationen analysiert werden sollen
Da in fast allen im Bortz in Kapitel 5.3 behandelten Verfahren Prüfstatistiken vermittelt werden,
die (annährend) χ 2 -verteilt sind, werden die Verfahren zur Analyse von Häufigkeiten gelegentlich vereinfachend als χ 2 -Methoden bezeichnet.
χ 2 -Verfahren dienen also der Analyse von Häufigkeiten.
χ 2 -Verfahren können natürlich auch für ordinal- und intervallskalierte Variablen eingesetzt werden, wenn die Häufigkeit bestimmter Merkmale untersucht werden soll. Die Merkmale werden
dann wie nominalskalierte Merkmale behandelt, und somit ist auch das Ordinal- oder Intervallskalenniveau im Eimer.
•
Die erwarteten Häufigkeiten repräsentieren immer die jeweilige Nullhypothese.
Übersicht über die χ 2 -Verfahren
2fach gestuft
1 Merkmal
a) einmalige Untersuchung:
eindimensionaler χ 2 -Test
b) zweimalige Untersuchung:
McNemar χ 2 -Test
c) mehrmalige Untersuchung:
Cochran-Q-Test
2 Merkmale
4-Felder χ 2 Test
mehrfach gestuft eindimensionaler χ 2 -Test: Vgl.
k × l-χ2-Test
einer empirischen mit einer theoretischen Verteilung
55
M Merkmale
Konfigurationsanalyse
für alternative Merkmale
Konfigurationsanalyse
für mehrfach gestufte
Merkmale
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Vergleich der Häufigkeit eines zweifach gestuften Merkmals (eindimensionaler chi2 -Test):
Einmalige Untersuchung:
An einer Uni sind im Fach Psychologie 869 männliche (Wer’s glaubt, wird selig.) und 576 weibliche Studenten immatrikuliert.
Kann man davon ausgehen, dass dieser Unterschied zufällig zustande kam?
Die Antwort auf diese Frage (und somit der ganze Rechenweg) ist davon abhängig, wie die Nullhypothese formuliert ist. Fragen wir danach, ob das Verhältnis männlich/weiblich an der ganzen
Uni so ist, oder, ob das Geschlechterverhältnis im allgemeinen im Bereich Psychologie 50 : 50
ist.
Um es (mir) einfacher zu machen, nehme ich die zweite Hypothese (50 : 50) an.
Aufstellen der Hypothesen:
H0 : Die empirische Verteilung entspricht der erwarteten Verteilung.
H1 : Die empirische Verteilung weicht von der erwarteten Verteilung ab.
Zeichenerklärung:
f
= Häufigkeit
= beobachtete Häufigkeit in Kategorie j und
f bj
fej = erwartete Häufigkeit in Kategorie j,
k
pej
= Anzahl der Kategorien des Merkmals.
= erwartete Wahrscheinlichkeit des Merkmals j.
Dann Abstimmung der erwarteten Häufigkeiten:
fej = pej ⋅ n.
D.h. bei unserem Beispiel wäre die Wahrscheinlichkeit für (z.B.) Männer 50%, es gibt insgesamt
1445 Psychologiestudenten, also
f ej = 0,5 ⋅ 1445 = 722,5
Eigentliche Formel:
χ
2
emp
k
( f bj − f ej ) 2
j =1
f ej
=∑
mit df = k − 1
An dieser Formel erkennt man die Grundstruktur aller χ 2 -Verfahre n: Alle χ 2 -Verfahren
laufen auf einen Vergleich von beobachteten und erwarteten Häufigkeiten hinaus, wobei die
erwarteten Häufigkeiten jeweils die geprüfte Nullhypothese repräsentieren.
56
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Unsere Werte eingesetzt:
χ2 =
(869 − 722,5) 2 ( 576 − 722,5) 2
+
= 59,41
722,5
722 ,5
Feststellen der Freiheitsgrade:
df = k – 1 es gibt 2 Kategorien (Männer/Frauen), also df = 1
Die Freiheitsgrade eines χ 2 -Wertes entsprechen der Anzahl der Summanden (wie viele
Werte gibt es für fb? Hier zwei, nämlich Männer und Frauen) abzüglich der Bestimmungsstücke der erwarteten Häufigkeiten, die aus den beobachteten Häufigkeiten abgeleitet wurden
(es gibt hier nur ein gemeinsames Bestimmungsstück: der Stichprobenumfang n: Die Summe der
beobachteten und erwarteten Häufigkeiten ergibt jeweils n.).
Feststellen von χ 2 krit :
2
χ krit
= χ (2df ;α )
Bei einer gerichteten Hypothese in einem χ 2 -Verfahren wird das Alphaniveau beim Nachschlagen in der Tabelle verdoppelt; soll heißen: bei α = 0,05 schlage ich in der Tabelle bei 10% nach.
Das liegt daran, dass alle χ 2 -Verfahren einseitig getestet werden, denn man betrachtet nur die
rechte Seite der Verteilungen.
Die Überprüfung einer gerichteten Hypothe se ist bei χ 2 -Verfahren nur möglich, wenn der resultierende χ 2 -Wert einen Freiheitsgrad hat.
Deswegen kann man bei einer gerichteten Hypothese auch mit der STNV testen, sofern man aus
dem empirischen und kritischen χ 2 -Wert die Wurzel zieht.
Das Ergebnis eines χ 2 -Tests erhalten wir auch, wenn die Häufigkeit der Alternative 1 (z.B.
hier weiblich) über die Binomialverteilung geprüft wird.
Ab n < 10 ist das nötig (bei zwei Merkmalen).
Entscheidung:
Falls χ 2
< χ2
emp
k −1, 1− α
, Beibehaltung der H0 : Es ist davon auszugehen, dass die Verteilung
des untersuchten Merkmals nicht von der unter der H0 erwarteten Verteilung abweicht.
Entscheidung bei unserem Beispiel:
2
χ krit
ist bei uns 3,84;
2
χ emp
ist bei uns 59,41 => Annahme der H1
57
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Voraussetzungen:
• Jede untersuchte Einheit kann eindeutig einer Kategorie zugeordnet werden.
• Die erwarteten Häufigkeiten sind in jeder Kategorie größer als 5. Im Falle von k = 2 sollten in
jeder Kategorie 10 Elemente erwartet werden.
Weitere tolle Modifikationen und Verfahren:
Kontinuitätskorrektur:
Die Kontinuitätskorrektur, auch Yates-Korrektur genannt, schätzt χ 2 besser, da Häufigkeiten
diskret, χ 2 -Werte aber stetig verteilt sind. D.h. jedes f b − f e wird um – 0,5 vermindert. Die
Kontinuitätskorrektur wirkt der Tendenz nach konservativ (schützt H 0 ).
Der McNemar-Test:
Dieser Test wird bei zweimaliger Untersuchung und Prozentunterschieden benutzt, er berück sichtigt nur diejenigen Fälle, bei denen eine Veränderung eingetreten ist.
Der Cochran-Q-Test:
ist eine Erweiterung des McNemar-Tests, gilt auch für mehrmalige Untersuchungen.
Nur anzuwenden bei n ⋅ m > 30
(Wer sich das alles – Kontinuitätskorrektur, McNemar-Test & Cochran-Q-Test – antun möchte:
steht alles im Bortz auf S. 155-158)
58
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Vergleich der Häufigkeit eines k- fach gestuften Merkmals (eindimensionaler chi2 -Test):
Diese Variation des eindimensionalen χ 2 -Tests ist mit dem eindimensionalen χ 2 -Test für zweifachgestufte Merkmale ziemlich identisch.
Es gibt zwei Möglichkeiten:
1.) Test auf Gleichverteilung (z.B. je 50% Männer/Frauen) und
2.) Test auf andere Verteilungsformen.
Für beide Möglichkeiten gilt:
Die Formel ist mit dem des eindimensionalen χ 2 -Test für zweifachgestufte Merkmale identisch,
es gibt halt nur mehr Bedingungen j, ergo wird die Berechnung langwieriger.
χ 2emp
( fbj − f ej ) 2
, mit df = k−1
=∑
f ej
j =1
k
Bei der Frage, ob sich Variable 1 von den anderen unterscheidet, wird von den Variablen 2 bis k
der Durchschnitt gebildet (fungiert als fe) & mit Variable 1 (als fb) über den χ2 - Test verglichen.
Die Voraussetzungen sind ebenso identisch, nur dass man bei weniger als fünf erwarteten Hä ufigkeiten pro Kategorie (wie beim eindimensionalen χ 2 -Test für zweifachgestufte Merkmale)
anstelle der Binomialverteilung nun eine
Multinominalverteilung rechen sollte.
All das oben genannt galt noch für beide Möglichkeiten. Die erste Möglichkeit ist hiermit
abgeschlossen.
Das Folgende bezieht sich auf:
Tests auf andere Verteilungsformen.
Sofern die H0 nicht behauptet, dass eine Gleichverteilung vorherrscht (z.B. je 50% Männer/Frauen ), haben wir es mit Test für andere Verteilungsformen zu tun, denn
es ergibt sich bei steigender Variablenanzahl eine theoretische Verteilung, die mit einer
empirischen (beobachteten) Verteilung verglichen wird.
Der Vergleich einer empirischen mit einer theoretischen Verteilung heißt
Goodness-of-fit-test!
Beim Goodness-of- fit-Test werden die erwarteten Häufigkeiten aus einer theoretischen Verte ilung abgeleitet:
59
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Man kann so z.B. prüfen, ob sich eine empirische Verteilung normalverteilt oder z.B. nach der
Poisson-Verteilung verteilt.
• Der Goodness-of-fit-Test dient also z.B. der Überprüfung der Voraussetzung, dass Grundgesamtheit normalverteilt (H0 : normalverteilt, H1 : nicht normalverteilt)
Problem: die H0 als „Wunschhypothese“
• wenn der χ 2 -Wert auf 5%-Niveau signifikant ist, heißt das, dass die Wahrscheinlichkeit für
eine Normalverteilung der Werte kleiner als 5% ist, wenn es nicht signifikant ist, bedeutet es
lediglich, dass es mit mehr als 5% Wahrscheinlichkeit normalverteilt ist - mehr nicht.
Wir wollen aber die H0 „beweisen“ (sonst will man normalerweise ja die H1 „beweisen“), deshalb versucht man den Beta-Fehler möglichst klein zu halten, nicht Alpha (ist wurscht).
Da aber die Hypothese in diesem Fall nicht spezifisch ist, kann der Beta-Fehler nicht bestimmt
werden, deswegen wird einfach der Alpha-Fehler enorm vergrößert, z.B. auf 25%
Wenn wir auf 25%tigem Alphaniveau testen und die H1 dann immer noch nicht signifikant ist,
haben wir H0 gesichert.
• Beachtet: die H0 als Wunschhypothese beizubehalten, wird mit wachsendem Stichprobenumfang unwahrscheinlicher!
Der Goodness-of-fit-Test:
Zuerst werden die Daten in Kategorien eingeteilt, d.h. wenn wir einen Wert haben, können wir
ihn in eine Kategorie packen. Ein gutes Beispiel wären die gemessenen km/h der Wagen, eingeteilt in 10er-Kategorien, beginnend von 60km/h bis (sagen wir mal) 220 km/h.
(Das Ganze läuft unter der H 0 , das unsere Kategorien normalverteilt sind.)
Also eine Tabelle:
Intervall
Beobachtete Häufigkeiten
Erwartete Häufigkeiten
60,0-69,9 km/h
70.0-79,9 km/h
etc.
4
10
etc.
3
6
etc.
Der kritische χ 2 -Wert lautet ausgeschrieben
( fb − f e )2
fe
0,33
2,67
etc.
Die Summe davon
ergibt den empirischen
χ 2 -Wert
χ2(k−3, 1−α),
somit sind die Freiheitsgrade df = k – 3, wobei k die Anzahl der Kategorien angibt.
Poisson-Verteilung:
Bei einer Frage nach einer Poisson-Verteilung sind die Freiheitsgrade df = k – 2.
Vom Prinzip läuft es wie oben, nur werden die erwarteten Häufigkeiten nach der PoissonVerteilung ermittelt (Formel im Bortz S. 71; der Rest S. 161 & 162)
60
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Vergleich der Häufigkeiten von zwei alternativen Merkmalen (4-Felder-chi2 -Test):
Werden n voneinander unabhängigen Beobachtungen nicht nur einer, sondern zwei Merkmalsalternativen zugeordnet, erhalten wir eine 4-Felder-Kontingenztafel bzw. eine bivariate Häufigkeitsverteilung.
Und schon sind wir bei einem 4 -Felder- χ 2 -Test.
(den kann man auch schon k × l-χ2 -Test nennen)
Ein Beispiel: 100 Personen sollen auf die Merkmalsalternativen männlich/weib lich und Brillenträger/Nicht-Brillenträger untersucht werden.
mit Brille
ohne Brille
männlich
25
25
50
weiblich
10
40
50
35
35
100
Jetzt gibt es zwei Möglichkeiten:
1.) Vorgegebene erwartete Häufigkeiten und
2.) Geschätzte erwartete Häufigkeiten
Vorgege bene erwartete Häufigkeiten:
Dann könnte unsere vorgegebene H0 lauten:
Brillenträger = 30% in der Bevölkerung
Männer/Frauen ja 50% in der Bevölkerung
Dementsprechend währen unsere Wahrscheinlichkeiten
p(Brille, Mann)
=0,15
p(Brille, Frau)
=0,15
p(ohne Brille, Mann) =0,35
p(ohne Brille, Frau) =0,35
Dann setzten wir das ein in folgende Formel:
2
2
χ2 = ∑∑
( f b (i , j ) − f e (i , j ) ) 2
f e (i , j )
i =1 j =1
und bekommen ein χ 2 = 11,90
Die Freiheitsgrade df = 2 x 2 – 1 = 3 df
Dementsprechend ist unser kritisches χ 2 = 11,34
Brillen, Männer mehr Brillen als erwartet.
61
=> Annahme der H1, Frauen tragen weniger
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Geschätzte erwartete Häufigkeiten:
Beim 4-Felder-χ2 -Test entsprechen die erwarteten Zellenhäufigkeiten den bei stochastischer Unabhängigkeit zu erwartenden:
f eij = p i ⋅ p j ⋅ n =
(Summe Zeile i ) ⋅ (Summe Spalte j)
.
n
Der Rest läuft wie bei vorgegebenen Nullhypothesen, nur sind die Freiheitsgrade df = 1 df.
Dementsprechend ist auch das kritische χ 2 anders.
Auch hier wird übrigens die H1 angenommen (Bortz S. 164)
Kontinuitätskorrektur:
• Auch hier ist eine Kontinuitätskorrektur nach Yates möglich
Prozentunterschiede:
• laufen genauso wie beim eindimensionalen χ 2 -Test
Vergleich der Häufigkeiten von zwei mehrfach gestuften Merkmalen (k x l-chi2 -Test):
Im vorherigen Punkt waren beide Merkmale jeweils zweifach gestuft. Beim k × l-χ 2 -Test ist die
Anzahl der Stufen unwichtig
Das Merkmal A ist k-fach gestuft und das Merkmal B l-fach.
Der k×l-χ 2-Test überprüft die Alternativhypothese:
• H1 , dass zwischen zwei Merkmalen ein irgendwie gearteter Zusammenhang besteht,
gegen die Nullhypothese
• H0 , dass es zwischen den beiden Merkmalen keinen Zusammenhang gibt bzw. die Merkmale
stochastisch unabhängig sind.
Das Verfahren läuft wie beim 4-Felder- χ 2 -Test:
χ
k
2
emp
l
= ∑∑
( f bij − f eij ) 2
i =1 j =1
f eij
Beim k×l-χ2-Test entsprechen die erwarteten Zellenhäufigkeiten den bei stochastischer Unabhä ngigkeit zu erwartenden:
f eij = p i ⋅ p j ⋅ n =
(Summe Zeile i ) ⋅ (Summe Spalte j)
.
n
62
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Freiheitsgrade:
Bei geschätzten erwarteten Häufigkeiten: df = (k − 1)⋅ (l − 1)
Bei vorgegebenen erwarteten Häufigkeiten: df = (k − 1)⋅ (l − 1) – 1
Entscheidung
Falls χ 2 > χ2
emp
( k −1)( l −1), 1− α
, Entscheidung für die H1 : Es ist davon auszugehen, dass die Vari-
ablen voneinander stochastisch (irgendwie) abhä ngig sind.
Voraussetzungen
• Jede untersuchte Einheit kann eindeutig den Kategorien (Zellen) zugeordnet werden.
• Die erwarteten Häufigkeiten sind alle größer als 5.
Der k×l-χ 2 -Test und der 4-Felder- χ 2 -Test lassen sich auch mit Prozentwerten durchführen.
Vgl. d. Häufigkeiten von m alternativ oder mehrf. gestuften Merkmalen (Konfigurationsanalyse):
Verallgemeinern wir das 4-Felder χ 2 auf m alternative Merkmale, erhalten wir eine mehrdimensionale Kontingenztafel, die mit der Konfigurationsanalyse analysiert werden kann.
Ein Beispiel:
Wir überprüfen, ob Frauen, die in der Stadt leben, überzufällig berufstätig sind ( α = 0.01).
Also haben wir drei alternative Merkmale (m = 3):
A= Stadt (+) vs. Land ( – )
B = männlich (+) vs. weiblich ( – )
C = berufstätig (+) vs. nicht berufstätig ( – )
Merkmal
Häufigkeiten
A
B
C
fb
fe
( fb − f e )2
fe
+
+
+
+
-
+
+
+
+
-
+
+
+
+
-
120
15
70
110
160
10
20
135
nb = 640
86,79
63,33
95,32
69,56
89,54
65,34
98,35
71,77
ne = 640
12,71
36,88
6,73
23,51
55,45
46,87
62,42
55,71
2
χ = 300,28
63
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Die erwarteten Häufigkeiten werden geschätzt mit:
f e (i , j ,k ) =
( Summe Ai ) ⋅ (Summe B j ) ⋅ ( Summe C k )
n2
In unserem Beispiel lauten die Summen
A(+) = 315
A(–) = 325
B(+) = 305
B(–) = 335
C(+) = 370
C(–) = 270
(z.B. fe(+++) = 315 x 305 x 370 / 6402 = 86,79)
Freiheitsgrade: df = 1 df
Der kritische Wert (5,43) ist kleiner als der Empirische (6,73) für unsere These, dass in der Stadt
mehr Frauen berufstätig sind.
Da das aber unsere H0 war, müssen wir nun die H0 annehmen bzw. beibehalten (nicht davon verwirren lassen, ist ein Fehler bei der Hypothesenaufstellung).
Allgemeine Bemerkungen zu den chi2 -Techniken:
χ 2 -Techniken gehören – von der Durchführung her – zu den einfachsten Verfahren der Eleme ntarstatistik, wenngleich der mathematische Hintergrund dieser Verfahren komplex ist.
Mit Hilfe der χ 2 -Verfahren werden die Wahrscheinlichkeiten multinominalverteilter Ereignisse
geschätzt (wobei die Schätzung erst bei n → ∞ exakt übereinstimmen).
Deshalb sollte beachtet werden:
• Die einzelnen Beobachtungen müssen voneinander unabhängig sein (Ausnahme: McNemar& Cochran-Test)
• Jede untersuchte Einheit muss eindeutig einer Kategorie zugeordnet werden können.
• Nicht mehr als 20% der erwarteten Häufigkeiten in den Kategorien sollten kleiner als 5 sein.
64
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Verfahren zur Überprüfung von Zusammenhangshypothesen:
Die Verfahren zur Überprüfung von Zusammenhangshypothesen haben der u.a. psychologischen
Forschung so viel Impulse wie kein anderes statistisches Verfahren verliehen.
Zusammenhänge sind in der Mathematik und in den Naturwissenschaften bekannt, z.B. verändert
sich der Umfang eines Kreises proportional zu seinem Umfang.
Solche exakten, funktionalen Zusammenhänge haben wir in der Psychologie nicht. Deswegen
sprechen wir von stochastischen (zufallsabhängigen) Zusammenhängen, die nach Höhe des
Zusammenhangs unterschiedlich präzise Vorhersagen zulassen.
(Bei einer Korrelation von +1 oder –1 geht unser stochastischer Zusammenhang über in einen
funktionalen, deterministischen Zusammenhang.)
Im Kapitel „Merkmalszusammenhänge & –vorhersagen“ habe ich einige Punkte aus dem 6. K apitel im Bortz vorgezogen – also bitte nicht wundern, wenn jetzt was „fehlt“. Die behandelten
Punkte waren, bezogen auf die Bortz-Unterkapitel:
• 6.1 Lineare Regression, dabei: Kovarianz und Regression
• 6.2.1 Kovarianz und Korrelation, dabei: Produkt-Moment-Korrelation; Korrelation und Regression; Beobachtete, vorhe rgesagte und Residualwerte; Determinationskoeffizient
• 6.4 Korrelation und Kausalität
Die Statistische Absicherung von linearen Regressionen:
Regressionsgleichungen werden auf der Grundlage einer repräsentativen Stichprobe bestimmt,
um sie auch auf andere Untersuchungseinheiten, die zur selben Population gehören, anwenden zu
können.
Das bedeutet aber, dass eine (auf Basis einer Stichprobe gebildete) Regressionsgleichung generalisierbar sein muss. Aus dieser Population können wir eine durch (unendlich) viele Stichproben
wieder eine SKV bilden.
Je größer aber die Streuung (der Standardfehler) dieser SKV ist, desto weniger werden die Werte
einer einzelnen Stichprobe (hier: einer einzelnen Regressionsgerade) die Regressionsgerade der
Population vorhersagen können.
Die nach der Methode der kleinsten Quadrate ermittelte Regressionsgleichung stellt nur eine
Schätzung der folgenden, in der Population gültigen, Regressionsgerade dar:
yˆ *j = β yx ⋅ x j + α yx
yˆ *j
kennzeichnet hierbei einen
vorhergesagt wurde.
ŷ -Wert, der aufgrund der Populations-Regressionsgleichung
• Wichtig: nicht die Punktabstände zur Geraden minimieren, sondern die Abstände in yRichtung, damit für die Vorhersage x auf y optimiert, deswegen gibt es für eine Regression
von y auf x auch andere Koeffizienten a & b.
65
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Voraussetzungen:
• Unsere SKV verteilt sich (gemäß Abb. 6.7 im Bortz S. 183) als bivariate Häufigkeitsverteilung:
a.) Die Verteilung der x-Werte muss für sich genommen normal sein.
b.) Die Verteilung der y-Werte muss für sich genommen normal sein.
c.) Die zu einem x-Wert gehörenden y-Werte (Arrayverteilungen)* müssen normalverteilt
sein.
d.) Die Mittelwerte der Arrayverteilungen müssen auf einer Gerade liegen.
* Ein Arrayverteilung von y-Werten (zu natürlich jeweils zu einem x-Wert gehören) bedeutet,
das bei nicht perfektem Zusammenhang gleiche Untersuchungen eines bestimmten x-Merkmals
verschiedene y-Merkmale aufweisen.
Die Genauigkeit der Regressionsvorhersagen:
Die Genauigkeit der Regressionsvorhersagen wird durch den Standardschätzfehler (STSF) bestimmt. (Formel siehe Bortz S. 185)
Der Standardschätzfehler kennzeichnet die Streuung der y-Werte um die Regressionsgerade und ist damit ein Gütemaßstab für die Genauigkeit der Regressionsvorhersagen. Die
Genauigkeit einer Regressionsvorhersage wächst mit kleiner werdendem Standardschätzfehler.
Determinanten der Vorhersagegenauigkeit (durch Konfidenzintervalle):
Durch Konfidenzintervalle kann man die Vorhersagegenauigkeit einzelner Punkt um und auf
einer Regressionsgeraden bestimmen.
y
Regressionsgerade
Konfidenzintervalluntergrenze
Konfidenzintervallobergrenze
x
Bestimmung der Größe des Konfidenzintervalls (KI):
• Je kleiner der Konfidenzkoeffizient ( 1 − α ), desto kleiner KI
• Je kleiner der Standardschätzfehler (STSF), desto kleiner KI.
• Je kleiner n, desto größer KI.
• Je kleiner die Varianz x (y ist im STSF), desto kleiner KI.
66
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Nonlineare Regression:
Gelegentlich erwartet man, dass eine nicht- lineare Beziehung eine bessere Vorhersage macht als
eine lineare Beziehung. Als Beispiel mit einer nicht- und einer linearen Regression:
X
Y
1
1
1
3
2
7
2
9
4
6
4
8
12
10
8
6
4
2
0
-2
-4
-6
-8
Y
-10
1,00
2,00
4,00
X
Hier dürfte die nicht- lineare Beziehung die Punkte besser vorhersagen (Grafik aus den B3-Folien,
leicht abgewandelt)
Varianten (einige ausgewählte):
Umgekehrt U-förmige Beziehung (Bortz S. 189):
Eine umgekehrt U- förmige bzw. parabolische Beziehung wird durch eine quadratische Regressionsgleichung oder ein Polynom 2. Ordnung modelliert.
yˆ = a + b1 ⋅ x + b2 ⋅ x 2
Polynome höherer Ordnung:
Ein (umgekehrt) S- förmiger Zusammenhang lässt sich durch eine kubische Regressionsgleichung
bzw. ein Polynom 3. Ordnung anpassen:
yˆ = a + b1 ⋅ x + b2 ⋅ x 2 + b3 ⋅ x 3
67
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Nonlineare Zusammenhänge, die über ein Polynom 3. Ordnung hinausgehen, können in der u.a.
psychologischen Forschung nur sehr selten begründet werden. Die Aufstellung eines solchen
Polynoms kann bestenfalls ex post (= ohne theoretische Vorannahmen) sinnvoll sein.
[Die Regressionsgleichung wird einfach um weitere b und x erweitert, wobei der Exponent pro
weiterem b um 1 erhöht wird.]
Linearisierung:
Über Logarithmierung kann man die Funktion von Gleichungen ermitteln.
Geht man von einem exponentiellen Zusammenhang von zwei Variablen aus, erhält man die
Gleichung:
yˆ = a ⋅ x b
Durch Logarithmierung (siehe Bortz S. 192) gelangt man schlussendlich zu folgender Gleichung:
yˆ ′ = a′ + b′ ⋅ x
Was verteufelt wie eine lineare Regression aussieht.
[Ganz exakt sind die so ermittelten Regressionskoeffizienten leider nicht, sie unterscheiden sich
von denen, die wir mit der Methode der kleinsten Quadrate ermitteln würden.]
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Interpretationshilfen für r:
Angenommen ein Schulpsychologo ermittelt eine Korrelation von r = 0,60 zwischen Abiturschnitt (y) und Intelligenzquotienten (x).
Was bedeutet diese Zahl?
Um das zu veranschaulichen, dichotomisieren wir beide Variablen am Median und erhalten eine
4-Felder-Tafel.
(dichotom = ein Merkmal mit nur zwei Ausprägungen, z.B. Geschlecht. Man kann aber auch intervallskalierte Daten dichotomisieren, d.h. zweiteilen. D.h. hier teilen wir am Median in zwei
Hälften.)
Wenn wir dem Schulpsychologen jetzt auftragen, mal zu schätzen, wie sich die Abiturschnitte
und IQs bei 200 Schülern verteilen, wenn er am Median teilen soll, so werden bei keinem Zusammenhang (r = 0) je 50 Schüler pro Kategorie verteilt sein.
Aber es verteilt sich so bei r = 0,60:
IQs (x)
< Mdx
> Mdx
Abischnitt (y)
< Mdy
> Mdy
80
20
20
80
100
100
68
100
100
200
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Wieso?
Bei zwei symmetrischen, mediandichotomisierten Merkmalen gibt r an, um wie viel der
Fehler minimiert wird.
Im Beispiel betrug der Fehler bei Zufallsverteilung (je 50 n pro Kategorie) 50% Diese 50% reduziert um r = 0,60 bzw. 60% von 50 = 30. Diese 30 werden einer Korrelation von r = 0,60 nicht
mehr falsch eingeordnet, sondern richtig, d.h.
Die Fehler (50%), die wir bei der Vorhersage von x durch y machen (großes y = großes x),
werden bei e iner Korrelation von 0,60 um 30 % vermindert.
Mehr Infos Bortz S. 201/202.
k-fach gestufte Merkmale:
Diese Variante ist einfach eine Erweiterung der 4-Felder-Matrix um weitere Kategorien.
Eine Besonderheit dabei ist, dass größere Abweichungen um mehrere Kategorien stärker „bestraft“ werden als andere. Vom Prinzip wie die 4-Felder-Matrix, jedoch aufwendiger zu rechnen.
Wer mehr wissen will: Steht alles im Bortz auf S. 203/204.
Korrelation für nonlineare Zusammenhänge:
Der Zusammenhang zwischen nonlinearen Variablen lässt sich ermitteln, indem man die Varianz
der vorhergesagten Werte durch die Varianz der tatsächlichen Werte teilt:
r =
2
s 2yˆ
s 2y
Überprüfung von Korrelationshypothesen:
Wird aus einer bivariaten, intervallskalierten Grundgesamtheit eine Stichprobe gezogen, kann ein
Korrelationskoeffizienz r berechnet werden. Er zeigt den linearen Zusammenhang zwischen den
zwei Merkmalen an, bzw., quadriert (r 2 ), den Anteil gemeinsamer Varianz.
Voraussetzungen:
• Grundgesamtheit bivariat normalverteilt
• Kovarianz & Korrelation der Grundgesamtheit bekannt
• Die einzelnen Merkmalsstufenkombinationen müssen voneinander unabhängig sein.
Die ganzen Voraussetzungen sind aber ein bisschen schwierig zu erfüllen (siehe Bortz S.205),
dementsprechend beschränkt man sich darauf, dass beide einzelnen Merkmale NV sind, die Arrayverteilungen Normalverteilt sind und die Varianzen der Arryverteilungen homogen ist.
Wenn man diese Voraussetzungen missachtet, muss man mit größerem Alpha- und Beta-Fehler
rechnen. Trotzdem ist der Test relativ robust.
69
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Signifikanztest:
Ob eine empirisch ermittelte Korrelation r mit der Hypothese
H0 : ρ = 0
zu vereinbaren ist, lässt sich mit folgender Prüfgröße testen:
t emp = r ⋅ n −22 , mit df = n−2.
1− r
Ab n > 3 kann man zeigen, dass der Ausdruck bei df = n – 2 t-verteilt ist.
Entscheidung:
ungerichtet
falls ...
Annahme ...
rechtsseitig
|temp |>|t(df; α /2)|
linksseitig
temp > t(df; 1−α )
H1: ρ ≠ 0
H1 : ρ > 0
temp < t(df; α)
H1 : ρ < 0
Für den zweiseitigen Test einer Korrelation sind in der Tabelle D (Bortz 1999, S. 775) kritische
Wert für α = 0,05 und α = 0,01 angegeben. Diese Werte erhält man, wenn man obige Prüfgröße
nach r auflöst:
rkrit =
tkrit
2
n − 2 + t krit
.
Fischers Z-Transformation:
Besteht in der Grundgesamtheit ein Zusammenhang ρ ≠ 0 , erhalten wir für (theoretisch unendlich) viele Stichproben eine rechts- ( ρ > 0) oder linkssteile ( ρ < 0) SKV der Korrelationen.
Eine Nullhypothese mit einem ρ ≠ 0 kann somit nichts mehr messen (da asymmetrisch).
Diese rechts- oder linkssteile Verteilung lässt sich durch Fishers Z-Transformation wieder in
Normalverteilung transformieren:
1 1 + r
Z = ⋅ ln
2 1 − r
aufgelöst nach r
e 2Z − 1
r = 2Z
e +1
wobei ln = Logarithmus zur Basis e(≈ 2 ,718 ) .
Je weiter ρ von +/-1 entfernt und je größer n ist, desto normalverteilter ist die Kurve nach Fischers Z-Transformation
Weiterhin sind die trans formierten Werte Teil einer Verhältnisskala (fester Nullpunkt), man kann
nämlich bei einer Korrelation nicht davon ausgehen, dass der Zusammenhang bei r = 0,4 halb so
groß ist wie bei r = 0,8!
70
Methodenlehre
B2, B3 & B4
Wenn es transformiert wird zeigt sich: die Zuwachsraten im obe ren Korrelations-Bereich sind
bedeutsamer.
Auch Mittelwerte & Varianzen von einer Korrelation sind nicht interpretierbar, sofern sie nicht
transformiert wurden.
Bei Mittelwertsbildung von (z.B. 3) Korrelationen also erst transformieren, dann Mittel der
Fisher-Z-Werte bilden, dann dieses Mittel rücktransformieren:
Dabei werden höhere Korrelationen stärker be rücksichtigt als niedrige.
Es gibt mehrere Variationsmöglichkeiten von Fischers Z-Transformation, sie stehen im Bortz auf
den Seiten 210 – 214. Wen es interessiert, der möge es nachschlagen.
Ich glaube aber nicht, dass das für die Prüfung in irgendeiner Form relevant sein könnte.
Spezielle Korrelationstechniken:
Unter dem Punkt „Überprüfung von Korrelationshypothesen“ ging es um die Produkt-MomentKorrelation zweier intervallskalierter Merkmale.
Das Ganze geht aber natürlich auch mit ordinal- und nominalskalierten sowie dichotomen Merkmalen.
Übersicht der bivariaten Korrelationsarten:
Merkmal x
Merkmal y
Intervallskala
dichotomes Merkmal
Ordinalskala
Intervallskala
Punkt-biseriale Korrelation
Φ -Koeffizient
Rangkorrelation
dichotomes Merkmal
Produkt-MomentKorrelation
-
Ordinalskala
-
-
Biseriale Rangkorrelation
Rangkorrelation
Dazu gibt es noch den Kontingenzkoeffizienten, der den Zusammenhang zweier nominalskalierter Merkmale bestimmt. Da dieser Koeffizient aber kein Korrelationsmaß im engeren Sinn darstellt, ist er nicht in der Tabelle.
I.) Korrelation zweier Intervallskalen:
Berechnung der Produkt-Moment-Korrelation, siehe „Überprüfung von Korrelationshypothesen“
71
Methodenlehre
B2, B3 & B4
II.) Korrelation einer Intervallskala mit einem dichotomen Merkmal:
A.) Punktbiseriale Korrelation:
Ein Zusammenhang zwischen einem dichotomen Merkmale (z.B. männlich/weiblich) und einem
intervallskalierten Merkmal (z.B. Körpergewicht) wird durch eine punktbiseriale Korrelation
(auch Produkt-Moment-biseriale Korrelation genannt) erfasst.
Eine punktbiseriale Gleichung erhält man, wenn die Werte 0 und 1 für die beiden dichotomen
Variablen in die Produkt-Moment-Korrelations-Gleichung eingesetzt werden.
Dadurch vereinfacht sich die Korrelationsformel:
rpb =
y1 − y0
n ⋅n
⋅ 0 2 1
sy
n
wobei
n0, n1 =
y0 , y1 =
Anzahl der Untersuchungseinheiten in den Merkmalskategorien x0 und x1 .
durchschnittliche Ausprägung des Merkmals y (Körpergewicht) bei den
Untersuchungseinheiten x0 (Männer) und x1 (Frauen).
n = n0 + n1 = Gesamtstichprobe
sy
=
Streuung der kontinuierlichen y-Variablen
Die Signifikanzüberprüfung ( H0 : ρ = 0) erfolgt wie bei der Produkt-Moment-Korrelation durch:
t=
r pb
(1 − rpb2 ) /(n − 2)
Der so ermittelte t-Wert ist mit n – 2 Freiheitsgraden versehen und in der t-Tabelle mit tkrit verglichen.
Die punktbiseriale Korrelation entspricht ( als Verfahren zur Überprüfung von Zusammenhangshypothesen) dem t-Test für unabhängige Stichproben ( als Verfahren zur Überprüfung
von Unterschiedshypothesen).
B.) Biseriale Korrelation:
Bei einem künstlich dichotomisierten Merkmal und einem intervallskalierten Merkmal wird eine
biseriale Korrelation (rbis) durchgeführt.
• Biseriale Korrelation (r bis) und Punktbiseriale Korrelation (r pb) hängen statistisch zusammen.
• Es gibt auch noch triseriale und polyseriale Korrelation
• Das steht alles im Bortz auf S. 216-218
III.) Korrelation einer Intervallskala mit einer Ordinalskala:
• Richtige Verfahren hierfür gibt es (noch) nicht. Für die Praxis: Herabstufung der Intervallskala
auf Ordinalskalenniveau, Anwendung der Korrelation zweier Ordinalskalen.
72
Methodenlehre
B2, B3 & B4
IV.) Korrelation für zwei dichotome Variablen:
Wenn die Merkmale x und y jeweils dichotom sind, kann ihr Zusammenhang durch den
Phi-Koeffizienten ( Φ ) ermittelt werden
Da es nur 4 Häufigkeiten gibt...
Merkmal (y)
Merkmal (x)
0
a
c
0
1
1
b
d
….ist die Berechnung von Φ einfach:
Φ=
a ⋅d −b⋅ c
(a + c) ⋅ (b + d ) ⋅ (a + b) ⋅ ( c + d )
Es gibt einen engen Zusammenhang mit dem 4-Felder-χ 2, deshalb Signifikanzprüfung mittels
χ 2 = n⋅Φ
mit df = 1
Der Zusammenhang zwischen dem 4-Felder-χ 2 und Phi-Koeffizienten:
χ2
n
Φ=
Achtung:
Der Φ-Koeffizient liegt nur im üblichen Wertebereich von -1 bis +1, wenn die Aufteilung der
Stichprobe in Alternativen von x der in die Alternativen von y entspricht, also bei identischen
Randverteilungen.
Ansonsten gibt es einen geringerer Φmaximal -Wert (ist mit Formel berechenbar)
Bei der Bestimmung von Φmax ist darauf zu achten, dass
• das Vorzeichen von Φ max mit dem Φ emp von übereinstimmt.
• das Vorzeichen von Φ max beliebig ist.
Gelegentlich versuchen Einige die Aufwertung eines empirischen Φ-Wertes am Φmax , um es
vergleichbar mit der Produkt-Moment-Korrelation zu machen, das ist aber fragwürdig, da auch
die Produkt-Moment-Korrelation nur bei identischen Randverteilungen einen Wertebereich von
-1 bis +1 aufweist.
Sind beide Variablen künstliche Dichotomien , arbeitet man mit einer
Tetrachorischen Korrelation. (siehe Bortz S. 220/221)
73
Methodenlehre
B2, B3 & B4
V.) Korrelation eines dichotomen Merkmals mit einer Ordinalskala:
Die Korrelation eines dichotomen Merkmals mit einer Ordinalskala – auch biseriale Rangkorrelation (rbisR) genannt – wird berechnet, wenn ein Merkmal (x) in künstlicher oder natürlicher Dichotomie vorliegt und das andere Merkmal (y) rangskaliert. (ähnlich dem U-Test)
rbisR =
2
⋅ ( y1 − y 2 )
n
wobei
y1 = durchschnittlicher Rangplatz der zu x1 gehörenden Untersuchungseinheiten
y2 = durchschnittlicher Rangplatz der zu x2 gehörenden Untersuchungseinheiten
n=
Umfang der Stichprobe
Der kritische Wert wird – bei hinreichend großen Stichproben – mit dem U-Test berechnet:
z=
U − µU
σU
VI.) Korrelation zweier Ordinalskalen (Spearman’s Rho):
Der Zusammenhang zweier ordinalskalierter Merkmale wird durch die Rangkorrelation nach
Spearman (rs oder ρ )erfasst.
Errechnung des kritischen Wertes ab n ≥ 30
Eigentliche Formel:
n
rs = 1 −
6 ⋅ ∑ d i2
i =1
2
t=
n ⋅ ( n − 1)
rs
(1 − rs2 ) /(n − 2)
df = n – 2
(Dieselbe Formel wie bei der punktbiserialen Korrelation)
• bei verbundenen Rängen gibt es Modifikationen (Bortz S. 224)
VII.) „Korrelation“ zweier Nominalskalen (Kontingenzkoeffizient):
Das bekannteste Maß zur Berechnung des Zusammenhangs zweier Nominalskalen ist der Kontingenzkoeffizient C.
Dieser Test hängt eng mit dem k × l-χ 2-Test zusammen, mit dem wir auch die H0 überprüfen, ob
zwei nominalskalierte Merkmale stochastisch unabhängig sind.
Eigentliche Formel:
C=
χ2
χ2 + n
wobei χ2 = -χ2 Wert des k × l-χ2 -Tests.
74
1
2
1. WAS IST EIGENTLICH STATISTIK? ...................................................................5
1.1. Definitionsversuch für den Begriff Statistik .............................................................................................. 5
1.2. Das Problem der Verarbeitung von Massenereignissen durch subjektive Erfahrung .......................... 6
1.3. Statistik: Unsicherheit und Ängste............................................................................................................. 7
1.4. Probleme der Lernmotivation in bezug auf Statistik................................................................................ 8
2. DIE FRAGE DER MEßBARKEIT: MEßNIVEAUS...............................................10
2.1. Nominal-Niveau der Messung................................................................................................................... 10
2.1.1. Die Nominalskala...................................................................................................................................10
2.1.2. Die formalen Bedingungen der Klassifikation.......................................................................................11
2.2 Ordinal-Niveau der Messung..................................................................................................................... 12
2.3 Intervall-Niveau der Messung.................................................................................................................... 12
2.4. Ratio- oder Verhältnisniveau der Messung ............................................................................................. 13
2.4.1. Stetige Merkmale ...................................................................................................................................13
2.4.2. Diskrete Merkmale.................................................................................................................................14
2.5 Das Problem der Kombination unterschiedlicher Meßniveaus .............................................................. 15
2.6. Qualitative und quantitative Untersuchungen ........................................................................................ 15
3. EINFACHE BESCHREIBUNGEN VON MASSENEREIGNISSEN - UNIVARIATE
VERTEILUNGEN ....................................................................................................16
3.1 Der Begriff "Verteilung"............................................................................................................................ 16
3.2 Ordnung und Klassifikation von Daten – graphische Darstellungen..................................................... 20
3.3. Zusammenfassung der Information aus Häufigkeitsverteilungen ........................................................ 24
3.3.1. Daten auf dem Intervall- und Ratio-Niveau der Messung - Lage- und Streuungsmaße ........................24
3.3.1.1 Maße der zentralen Tendenz und Lagemaße....................................................................................29
3.3.1.2 Arithmetisches , geometrisches Mittel und harmonisches Mittel.....................................................30
3.3.1.3. Der Median .....................................................................................................................................32
3.3.1.4 Arithmetisches Mittel und Median bei klassifizierten Werten.........................................................33
3.3.1.5. Weitere Lagemaße: N-tile und Prozentränge ..................................................................................34
3.3.1.6. Modi................................................................................................................................................35
3.3.1.7. Relative, prozentuale und kumulierte Häufigkeiten; Wahrscheinlichkeit.......................................36
3.3.1.8. Zur unterschiedlichen Leistung der verschiedenen Mittelwerte. ....................................................41
3.3.2. Streuungsmaße: Range, Quartilabstand, durchschnittliche, absolute und quadrierte Abweichungen vom
Mittelwert, Varianz und Standardabweichung.................................................................................................42
3.3.2.1. Berechnungsweise für die Varianz und die Standardabweichung nach einer vereinfachenden
Formel ..........................................................................................................................................................44
3.3.3. Daten auf dem Ordinal- und Nominal-Niveau. Lage- und Streuungsmaße ...........................................47
4. WAHRSCHEINLICHKEIT UND THEORETISCHE VERTEILUNGEN.................47
4.1. Begriff Wahrscheinlichkeit ....................................................................................................................... 47
4.2 Theoretische Verteilungen ......................................................................................................................... 49
4.2.1 Allgemeines ............................................................................................................................................49
3
4.2.2 Diskrete Ereignisse .................................................................................................................................49
4.2.3 Stetige Ereignisse....................................................................................................................................49
4.3.Beispiele für theoretische Verteilungen .................................................................................................... 49
4.3.1 Gleichverteilung - diskret........................................................................................................................49
4.3.2 Gleichverteilung - stetig..........................................................................................................................50
4.4. Kombinatorik als Voraussetzung zur Herleitung von theoretischen Verteilungen ............................. 51
4.4.1. Permutationen ........................................................................................................................................53
4.4.2 Kombinationen........................................................................................................................................54
4.4.2.1. Kombinationen ohne Zurücklegen mit Unterscheidung der Anordnung ........................................54
4.4.2.2. Kombinationen ohne Zurücklegen ohne Unterscheidung der Anordnung......................................54
4.4.2.3 Kombinationen mit Zurücklegen unter Berücksichtigung der Anordnung......................................54
4.4.2.4 Kombinationen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Anordnung ......................................55
4.4.2.5. Anwendung dieser Formeln auf ein Beispiel: Urne mit 6 Kugeln .................................................55
EXKURS ZUR BERECHNUNG DER SUMME VON ZAHLENFOLGEN UND DER
HÄUFIGKEIT VON WÜRFELSUMMEN; WÜRFELBEISPIELE ZUR
KOMBINATORIK ....................................................................................................61
4.5. Die Binomialverteilung .............................................................................................................................. 65
4.6. Die geometrische Verteilung ..................................................................................................................... 70
4.7. Die hypergeometrische Verteilung ........................................................................................................... 71
4.8 Die Poissonverteilung.................................................................................................................................. 73
4.9. Die Normalverteilung und die Prüfung einer Verteilung auf Normalität ............................................ 73
5. PRÜFVERTEILUNGEN.......................................................................................78
5.1. Die Chi-Quadrat-Verteilung .................................................................................................................... 78
5.2 Die t-Verteilung......................................................................................................................................... 81
5.3 Die F-Verteilung........................................................................................................................................ 83
6. DER STANDARDFEHLER VON STICHPROBENKENNWERTEN ....................85
6.1. Allgemeines................................................................................................................................................. 85
6.2. Der Standardfehler des arithmetischen Mittels ...................................................................................... 85
6.2.1 Demonstration des Standardfehlers des arithmetischen Mittels..............................................................85
6.2.2. Zur Bedeutung des Standardfehlers des arithmetischen Mittels ............................................................87
6. 3. Der Standardfehler von Prozentsätzen ................................................................................................... 90
7. STATISTISCHE TESTS ......................................................................................90
7.1. Zur Terminologie ....................................................................................................................................... 90
7.2. Zur Struktur der Statistischen Tests........................................................................................................ 91
7.3. Beispiele ...................................................................................................................................................... 91
7.3.1. Z-Test und t-Test auf Abweichung der Stichprobe von der Grundgesamtheit ......................................91
7.3.1.1. Z-Test..............................................................................................................................................91
4
7.3.1.2. t-Test ...............................................................................................................................................93
7.3.2. t-Test für die Differenz zweier Mittelwerte aus unabhängigen Stichproben aus 2 varianzhomogenen
Grundgesamtheiten ..........................................................................................................................................93
7.3.3. Der F-Test ..............................................................................................................................................96
7.3.4. t-Test für die Differenz zweier Mittelwerte aus varianzheterogenen Grundgesamtheiten.....................96
7.3.5. t-Test für Mittelwertsdifferenzen aus abhängigen Stichproben.............................................................98
7.3.6. Der Binomialtest ..................................................................................................................................100
7.3.7. Chiquadrat-Test....................................................................................................................................103
7.3.7.1. Allgemeines ..................................................................................................................................103
7.3.7.2. Eindimensionales und zweidimensionales Chiquadrat-Design.....................................................104
7.3.7.3. Standardisierte, korrigierte Chiquadratresiduen............................................................................107
7.3.8. Mann-Whitney U-Test .........................................................................................................................109
7.4. Tabellarische Übersicht über kombinatorische Probleme und die Prüfverteilungen ....................... 111
8. BIVARIATE VERTEILUNGEN - ZUSAMMENHANGSDARSTELLUNGEN UND MAßE ....................................................................................................................114
9. KORRELATION UND REGRESSION...............................................................114
9.1 Zwei intervallskalierte Merkmale ........................................................................................................... 114
9.1.1. Die Regressionsgeraden und die Regressions-Koeffizienten...............................................................114
9.1.2. Der Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient r .................................................................................117
9.1.3. Ein Rechenbeispiel...............................................................................................................................118
9.2. Zwei ordinal skalierte Merkmale ......................................................................................................... 119
9.2.1. Kruskals Gamma..................................................................................................................................119
9.2.2. Kendalls τb ("taub"). ...........................................................................................................................122
9.3 Zwei nominal skalierte Merkmale........................................................................................................... 123
9.3.1 Cramérs V .............................................................................................................................................123
9.3.2 Phi und korrigiertes χ²...........................................................................................................................124
10. SIGNIFIKANZTESTS FÜR KORRELATIONS- UND ASSOZIATIONSMAßE.125
10.1. t-Test für den Produktmomentkorrelationskoeffizienten .................................................................. 125
10.2. Z-Test für Kendalls "tau"..................................................................................................................... 126
10.3. Einschränkungen der Chiquadrat-Tests für Cramers V und Phi..................................................... 126
10.4 Fisher's exakter Test............................................................................................................................... 126
11. EINFAKTORIELLE VARIANZANALYSE........................................................128
12. EINFÜHRUNG IN STATISTISCHES RECHNEN ............................................133
13. KURZE EINFÜHRUNG IN SPSS 6.0.1 UND IN DIE WICHTIGSTEN ROUTINEN.
..............................................................................................................................148
13.1. Die „Fenster“ von SPSS......................................................................................................................... 148
13.1.1. Das Datenfenster................................................................................................................................149
13.1.2. Häufigkeitsanalysen als Rechenbeispiel ............................................................................................149
13.1.3. Das Syntaxfenster. .............................................................................................................................150
13.1.4. Das Ausgabe-Fenster und das Graphik-Karussel...............................................................................151
5
13.1.4.1. Das Ausgabe Fenster..................................................................................................................151
13.1.4.2. Das Graphik-Karussel .................................................................................................................151
13.1.5. Übertragung von Ergebnissen aus SPSS nach WinWord ..................................................................152
13.2. Praktische Fälle...................................................................................................................................... 153
13.2.1. Untersuchung von Mittelwertsdifferenzen zweier unabhängiger Stichproben. .................................153
13.2.2. Untersuchung von Mittelwertsdifferenzen zweier abhängiger Stichproben. .....................................155
13.2.3. Einfache Varianzanalyse....................................................................................................................156
13.2.4. Zweidimensionaler CHI-Quadrat -Test mit einer Vierfelder-Tabelle................................................158
13.2.5. Zweidimensionaler CHI-Quadrat -Test mit Kontrollvariable. ...........................................................159
13.2.6. Korrelations- und Regressionsanalyse ...............................................................................................162
13.2.7. Binomialtest .......................................................................................................................................164
13.2.8. Kolmogorov-Smirnov-Test auf Verteilungsform bei einer Stichprobe..............................................165
4. TABELLEN .......................................................................................................166
4.1. Standardnormalverteilung...................................................................................................................... 166
4.2. χ2-Verteilung ............................................................................................................................................ 168
4.3. t-Verteilung............................................................................................................................................... 169
4.4. F-Verteilung für (1-α)=0,99 .................................................................................................................... 170
1. Was ist eigentlich Statistik?
1.1. Definitionsversuch für den Begriff Statistik
Fragen wir zunächst nach dem alltagssprachlichen Gebrauch:
Wenn wir
- eine Tabelle in einem Zeitungsartikel oder einem Buch sehen, in der Zahlen aufgeführt sind, vielleicht sogar
Prozentzahlen, und wenn die einzelnen Zahlenangaben dann sogar in eine graphische Darstellung übersetzt
werden, sprechen wir von einer "Statistik".
Neben diesem Sprachgebrauch gibt es aber im Wissenschaftsbereich noch weitere Bedeutungen von Statistik,
die im Alltagssprachgebrauch ungewöhnlich sind:
• Statistik wird als die Bezeichnung für eine Wissenschaft benutzt. Diese Wissenschaft ist relativ
jung. Mitte des 18. Jahrhunderts hielt Gottfried Achenwall in Göttingen Vorlesungen über
Staatenkunde, einen Gegenstand, den er auch als Statistik bezeichnete. Inhalt dieser Wissenschaft
waren die "würklichen Merkwürdigkeiten einer bürgerlichen Gesellschaft" (zitiert nach Kern, Horst:
Empirische Sozialforschung, Ursprünge, Ansätze, Entwicklungslinien, Beck, München 1982, S.
20). Erst später entwickelt sich die Statistik zu einer selbständigen Disziplin, die, in erster Linie auf
wahrscheinlichkeitstheoretischen Grundlagen aufbauend, anstrebt, wissenschaftliche Hypothesen zu
überprüfen (schließende oder induktive Statistik). Grundlagen hierfür liefern Beschreibungen von
6
Realität auf der Grundlage von Messungen und Zählungen (beschreibende oder deskriptive
Statistik). Dabei sind die wesentlichen mathematischen Grundlagen schon Ende des 17. Jahrhunderts vorhanden.
• Im englischsprachigen Bereich wird das Wort "statistic" als ein Ausdruck benutzt, der bestimmte
Rechenergebnisse (z.B. Mittelwerte und Streuungsmaße etc.) bezeichnet.
In diesem Kursus wollen wir unter Statistik die Wissenschaft verstehen, die sich mit der Organisation und
Auswertung von Messungen und Zählungen beschäftigt, wenn Messungen an vielen einzelnen "Objekten"
vorgenommen werden, die einander hinreichend ähnlich sind, und die meistens zufällig aus einer Gesamtheit
einander ähnlicher Objekte ausgewählt wurden.
Wenn ich z.B. mit einer Studentin über ihre finanzielle Situation spreche und dabei ihr Einkommen erfahre,
dann kann man dieses zwar schon als Meßvorgang interpretieren (es wird eine Zahl, das Einkommen in DM, der
Person der Studentin (Erhebungseinheit) zugeordnet; da aber nur eine Einzelmessung vorliegt, existiert noch
keine Statistik. Erst wenn ich eine größere Menge von Messungen nebeneinanderstelle, treten Probleme der
Statistik auf, d.h. Statistik hat es immer mit Mengen oder Massen zu tun. Einzelereignisse sind für sie nicht
Gegenstand der Untersuchung oder Betrachtung, sondern nur Massenereignisse.
1.2. Das Problem der Verarbeitung von Massenereignissen durch subjektive
Erfahrung
Diese Unterscheidung zwischen dem einzelnen Ereignis und dem "Massenereignis" ist für den Alltagsgebrauch
ungewöhnlich. Die persönliche Erfahrung ist in der Regel nie mit Massenereignissen konfrontiert, sondern
immer nur mit einer Folge von Einzelereignissen, wobei diese Ereignisse nicht einmal ähnlich sein müssen.
Wir fahren morgens in die Universität und benutzen dabei z.B. die U-Bahn und betrachten die Umgebung der
Fahrstrecke. In den Institutsräumen der Universität lesen wir Akten und Bücher. In der Mensa begutachten wir
das Essen etc.: Ein Einzelereignis reiht sich an das andere. Die Gesamtheit und die Verknüpfung dieser Einzelereignisse führt dann zu so etwas wie subjektiven Erfahrungen, ohne daß hieraus jemals Massenereignisse im
Sinne der Statistik werden.
Massenereignisse sind der subjektiven Erfahrung nur sehr selten zugänglich. Ein gut gefülltes Fußballstadion
z.B. wäre so ein Massenereignis. Die hier dem Betrachter begegnende Masse ist nicht geordnet, hunderte oder
tausende von Fußballfans sitzen oder stehen auf den Bänken in einem Fußballstadion und äußern ihre
Begeisterung.
Die Eindrücke, die wir aber von solchen Massenereignissen haben können, sind sehr ungenau. Wir können etwa
sagen: "Schätzungsweise waren es (so und so viele)"; "etwa 1/3 hatte Fähnchen oder andere Zeichen der
Vereinszugehörigkeit dabei"; "jeder Zehnte trug ein Transparent"; "die Mehrheit war besonders bunt
angezogen"; "etwa jeder fünfte Fan war stark alkoholisiert".
Alle diese Angaben beruhen auf groben Schätzungen; eine genaue Analyse des Massenereignisses "gefülltes
Fußballstadion" ist aus der Perspektive des einzelnen Zuschauers in der Regel nicht möglich. Dennoch bilden
sich aus der subjektiven Einschätzung individueller Erlebnisse und der ungenauen Speicherung von Eindrücken
solcher Massenereignisse Urteile über das Leben, die Gesellschaft, die Menschen, über soziale Verhältnisse,
soziale Normen etc., und diese subjektiven Eindrücke haben im Alltagsleben ein starke Wirkung auf Urteile.
Besonders wenn wir als Mitglied einer bestimmten Fan-Gemeinde Beobachtungen anstellen, ist die Gefahr sehr
groß, daß wir auf bestimmte Merkmale oder bestimmte Gruppen beispielsweise von Personen besonders achten
und die dabei gewonnenen Eindrücke ohne wirkliche Kenntnis der Gesamtheit unzulässig verallgemeinern. Hier
stoßen wir schon auf wichtige Unterschiede zwischen Alltagserfahrung und wissenschaftlichem Urteil.
Will man so entstandenen (Vor)urteilen argumentativ begegnen, dann ist es wichtig, solche Massenereignisse
genau zu beschreiben. Hierzu bedarf es allerdings eines methodisch geregelten, nachvollziehbaren Vorgehens,
das in seinen einzelnen Schritten begründbar ist. Dieses Vorgehen macht „Massen-Ereignisse“ für unsere
Vorstellungskraft verfügbar, die sich ihr sonst entziehen.
7
Wenn wir uns zum Beispiel vorstellen, eine Nation habe eine Gesamtbevölkerung von 70 Millionen Menschen,
dann sehen wir nur noch eine unübersehbare Menschenmenge vor uns, und die individuelle Fassungskraft wird
von solchen Angaben in jedem Falle überfordert. Dennoch ist die arbeitsmarktpolitische Tatsache, daß Ende
1997 mehr als 4 Millionen Arbeitslose von der Bundesanstalt für Arbeit registriert worden sind, von großer
Bedeutung. Politische Bedeutsamkeit ist nicht an unser Vorstellungsvermögen gebunden.
Sehr viele Verwaltungs- und politische Vorgänge verursachen solche politisch bedeutsamen Tatsachen, werden
durch sie bedingt, und man kann sagen, daß bestimmte Zahlenwerke der amtlichen Statistik, insbesondere aber
die Statistiken unserer Ministerien, Ergebnisse und zugleich Steuerinstrumente des politischen Lebens sind.
1.3. Statistik: Unsicherheit und Ängste
Man kann nun feststellen, daß Zahlen, die sich der subjektiven Vorstellungskraft entziehen und gleichzeitig
Steuerungsinstrument unseres politischen Lebens sind, im öffentlichen Bewußtsein große Unsicherheit und
Ängste hervorrufen.
Dies könnte u.a. folgende Ursachen haben:
Zahlen wecken zwar den Anschein der exakten Messung, weil wir mit ihnen in erster Linie im Rahmen des
Mathematik- und Physikunterrichts vertraut gemacht worden sind. Wir sind gewöhnt, auf Zahlen zu vertrauen.
Es macht uns unsicher und erregt Angst, wenn wir Zahlen nicht vertrauen können. Was aber heißt das, daß wir
einer Zahl vertrauen können ?
Ein paar Beispiele hierfür:
Ich werde gefragt, wie groß ich bin. Ich stelle zwei Messungen an, eine morgens, eine abends. Morgens messe
ich 1,78 m, abends 1,76 m. Ich gebe vorsichtshalber meine Größe mit 1,77 m an...
Ich frage im Supermarkt, was das Brot kostet. Ich bekomme die Auskunft, daß hier 20 Brotsorten vorrätig sind,
und daß der Preis zwischen 3,50 DM und 4,50 DM pro Kilo schwankt. Bei der Konkurrenz stelle ich die gleiche
Frage. Dort sagt man mir, der Preis schwanke - je nach Sorte - zwischen 3,30 DM und 4,60 DM. Was kostet das
Brot nun ?
Ich will in Inflationszeiten einen Brief frankieren. Der Postbeamte sagt mir, eine Briefbeförderung koste 1000
Reichsmark. Am nächsten Tag komme ich wieder. Da kostet eine Briefbeförderung bereits 20000 Reichsmark.
Ich werde im Auto bei einer Geschwindigkeitsüberschreitung geblitzt. Mein Tacho zeigt 45 km/h. 6 Wochen
später bekomme ich ein nettes Foto von mir zugeschickt, zugleich mit dem Hinweis, ich sei mit 40 km/h geblitzt
worden, und davon würden noch 4 km/h (zum Ausgleich von Meßfehlern) abgezogen. Man werfe mir daher die
Überschreitung der Höchstgeschwindigkeit von 30 km/h um 6 km/h vor.
Alle diese Beispiele zeigen Situationen, in denen auf eine Zahl aus verschiedenen Gründen nicht ganz vertraut
werden kann, sondern nur ein bißchen. Die Gründe können sehr verschieden sein. Es lohnt sich, sie zu
analysieren: Hier waren die Gründe rhythmisches Schwanken, Vielfalt verschiedener Ereignisse in zwei
Gruppen, schnelle Änderung eines Zustandes, Verwendung unterschiedlicher Meßinstrumente und Definitionen.
Wir merken uns daher, daß wir auf Zahlen nur vertrauen dürfen, wenn wir sicher sein können, die gleichen
Definitionen für die bezeichneten Tatbestände (Erhebungseinheit, Dimension) zu verwenden wie unsere
Kommunikationspartner und auch mit den gleichen Meßinstrumenten arbeiten. Zudem müssen die Zustände, die
wir mit Zahl beschreiben, zeitlich stabil sein, wenn wir künftig die gleichen Zahlen verwenden wollen, oder die
Prozesse müssen wiederholbar sein, deren Ablauf wir beschrieben haben.
Unter den oben genannten Bedingungen ist die Bedingung der gleichen Definition die wichtigste und in der
sozialwissenschaftlichen Praxis zugleich die schwierigste. Wie jeder Messung liegt jeder empirisch bedeutsamen
Zahl eine Reihe von Definitionen zugrunde, durch die sie zustandekommt. Bei sozialen Tatsachen sind diese
Definitionen in der Regel kontrovers, da unterschiedliche Interessen am Ergebnis der Definition bestehen.
Wird z. B. im Fernsehen um Zahlen gestritten, handelt es sich oft um einen Streit über die Wahl der politisch
jeweils "nützlichen" Definition. Von solchen Feinheiten versteht natürlich der Fernsehzuschauer nichts, und er
denkt, man stritte über Tatsachen, nicht aber über Begriffe. In seinem Gedächtnis bleibt der Streit über die Zahl
erhalten, nicht aber der Definitionsstreit.
8
Gewöhnlich liegt jeder größeren statistischen Erhebung und natürlich auch jeder Stichprobe eine Reihe
verschiedenartigster Fehler (z.B. Meß- und Übertragungsfehler, Fälschungen) zugrunde, deren Ausmaß nur
selten genau bestimmt werden kann. Von daher sind die Verwaltungen und Regierungen nicht selten in der
dummen Situation, sich auf Zahlenmaterial stützen zu müssen, das sehr wenig zuverlässig ist. Politische
Fehlentscheidungen sind aus diesem Grunde gelegentlich statistisch bedingt, und man gibt leicht der Statistik die
Schuld für politisches Versagen. Dennoch tun die Verwaltungen in der Regel so, als hätten sie verläßliche
Daten. Das gehört zu ihrem Prestige.
Bestimmte statistische Angaben bekommen gelegentlich hohen Symbolwert: Wenn z. B. die Zahl der
Arbeitslosen über 4 Millionen ansteigt, der Benzinpreis höher als 1,00 EURO pro Liter liegt oder sogenannte
Maastricht-Kriterien über drei Prozent wachsen. Dies wissen die Parteien natürlich, und sie tun alles, um die
eigenen politischen Ergebnisse nach Möglichkeit zu beschönigen oder zu verstecken. Die Kunst der Fälschung
statistischer Angaben durch ihre Frisierung vor der Veröffentlichung ist hoch entwickelt, mindestens genauso
hoch wie die Abneigung des normalen Zeitungslesers gegenüber einer tabellarischen Darstellung technischer
oder sozialer Sachverhalte. Das schöne Bild einer Grafik, das vermeintlich schnellen Überblick verschafft,
wird der zahlenmäßigen Einzelangabe, die dann auch noch Absolut- und Prozentzahlen nebeneinanderstellt, in
der Regel vorgezogen. Der schnelle Leser fragt nicht nach Definitionen, Bezugsgrößen für Prozentzahlen. Er
will nicht mühsam rechnen, vergleichen, analysieren, sondern er will unterhalten sein und hält das auch noch für
Information. Vor allem will er keine Angst haben müssen. Er will durch Zahlen "beruhigt" werden. Statt
Information oder Entertainment nennt man diese beruhigende Unterhaltung neuerdings "Infotainment".
Wenn sich angesichts dieser Probleme und Ängste die Statistik auf komplizierte Definitionen, wissenschaftliche
und politische Erörterungen der Erhebungskonzepte und noch kompliziertere Rechnungen stützt, dann bekommt
sie - vor allem auch an den Universitäten - in der Regel den Beigeschmack einer Geheimwissenschaft, die
nichts mit dem Leben zu tun hat.
Das Verdikt der Alltagssoziologie, Statistik sei falsch, mechanistisch, borniert, patriarchalisch, Produkt eines
falschen Bewußtseins und was der Plattitüden mehr sind, ist mit rationalen Argumenten in der Regel nicht zu
entkräften, weil – wie Fachleute gelegentlich erfahren müssen - die Kritiker oft gar nicht wissen, was sie selber
mit der Kritik meinen und von Statistik zu wenig verstehen, um ihre eigene Meinung zu belegen. Die meisten
Kritiker werden sich erst mit der Statistik anfreunden, wenn sie ihrer selbst bedürfen.
1.4. Probleme der Lernmotivation in bezug auf Statistik
Die schnelle Ablehnung der Statistik und des Statistiklernens ist also verständlich wegen der zahlreichen
Negativerlebnisse, die das Alltagsleben dem Benutzer und dem der Statistik Unterworfenen anbietet.
Werde ich in der Volkszählung zahlenmäßig erfaßt, dann muß ich damit rechnen, daß die Informationen über
mich nicht unbedingt in dem Sinne benutzt werden, wie ich mir das vorstelle.
Der Verwendungszusammenhang meiner Daten ist - von bestimmten Verwendungsverboten abgesehen unklar; wer welche Daten wann verwendet, ist unbekannt, und wehren kann ich mich gegen einen abstrakten
Gegner kaum noch.
Andererseits möchte ich als politisch aktiver Bürger gern zuverlässige Informationen über Sozialstrukturdaten
haben, mit denen ich meine oder meiner Gruppe Rechte öffentlich einfordern kann. Ich möchte beispielsweise
nachweisen können, in welchem Maße Frauen in bestimmten Ämtern und Berufsbereichen überrepräsentiert
oder unterrepräsentiert sind, ich möchte die Menge der Sozialhilfeempfänger und das Ansteigen dieser Menge
wissen, um gegen unsoziale politische Praktiken argumentieren zu können.
Weiterhin möchte ich wissen, in welchem Maße sich der Lebenshaltungsindex, die Luftbelastung, der Ölpreis
etc., verändern.
9
Wir können also sehen, daß die Nachfrage nach Informationen nicht nur auf Seiten des Staates, sondern auch
auf Seiten des informationsbedürftigen Staatsbürgers vorhanden ist, so daß eigentlich die Bereitschaft bestehen
müßte, statistische Auskünfte zu geben, weil man sie ja auch selbst haben will.
Andererseits steht im Zeitalter leistungsfähiger Datenverarbeitunganlagen die Ohnmacht des einzelnen der
Statistik unterworfenen Menschen als immer gewichtigeres Argument im Raum, wenn über Statistik, das Lernen
von Statistik und die Benutzung von Statistiken nachgedacht wird. Nur wird hierbei nicht berücksichtigt, daß es
für relativ kleine Organisationen und Vereine immer leichter wird, einen eigenen statistischen Apparat
aufzubauen, mit dessen Hilfe auch Argumente zur Kritik offizieller Statistiken produziert werden können, indem
eigene Stichprobenuntersuchungen zur Kontrolle politisch gefärbter Aussagen angestellt werden.
Mit allen diesen eher soziologischen und politologischen Fragen der Benutzung von Information in Wirtschaft,
Bürokratie und Politik hat sich die theoretische Statistik nur am Rande beschäftigt. Mit dieser Enthaltsamkeit
steht sie nicht allein, sondern sie teilt diese Enthaltsamkeit generell mit allen Naturwissenschaften und
technischen Wissenschaften, deren Interesse in erster Linie die unmittelbare Sache ist, um deretwillen sie
forschen.
Die Folgen der Anwendung naturwissenschaftlicher und technischer Forschungsergebnisse sind in der Regel
nicht Gegenstand der gleichen Naturwissenschaften, und sie entziehen sich auch in der Regel ihrem
methodischem Instrumentarium.
Wir können diese Tatsache zwar beklagen, aber nicht kurzfristig ändern. Anfänger der Statistik, besonders in
pädagogischen und psychologischen Forschungseinrichtungen, erliegen oft der Versuchung, die einschlägige
mißbräuchliche Benutzung der Statistik, für die der Nachweis aus so ziemlich jeder Tageszeitung zu erbringen
ist, als Argument gegen das Erlernen von Statistik ins Feld zu führen.
Es entstehen in Anfängerseminaren dann stundenlange und meist fruchtlose Diskussionen darüber, daß das
eigentliche Lernen von Statistik darin bestehen müßte, zu wissen, wie der Mißbrauch funktioniert und wie man
ihn verhindern könnte. Die Statistiker selbst geben hierauf nur teilweise befriedigende Antworten, im übrigen
müßten sie darauf verweisen, daß diese Themen Gegenstand anderer Wissenschaftsdisziplinen sind,
insbesondere der Juristerei (siehe Wirtschaftskriminalität), der Politologie, der Verwaltungswissenschaft, der
Soziologie, der Zeitungswissenschaften etc.
Alles dieses müßte man im Grunde mitstudieren, wenn man einen hinreichend vollständigen Eindruck von der
Bedeutung konkreter statistischer Angaben haben wollte und vom konkreten Umgang mit ihnen.
Da das Erlernen von Statistik leider all diese Aspekte traditionell nicht enthält und auch wegen der geringen
Zeit, die meistens für diesen Stoff zur Verfügung steht, nicht enthalten kann, soll in diesem folgenden Kursus
nur der Versuch gemacht werden, die offensichtlich naheliegenden Mißbrauchsmöglichkeiten zu benennen und
einige Grundsätze ständig mitzubedenken, die einen seriösen Gebrauch von Statistik möglich machen.
Der Zweck des Statistiklernens kann darin bestehen, daß wir in der Lage sind, aufgrund entsprechender
Lernprozesse einerseits statistische Veröffentlichungen sehr kritisch zu lesen und sehr schnell jene Momente
politisch beabsichtigter Ungenauigkeit identifizieren zu können, die uns dann gestatten, kritische Argumente
zielbewußt aufzugreifen.
Ein weiterer Zweck des Statistiklernens kann darin bestehen, die Studierenden auf eigene wissenschaftliche
Arbeiten vorzubereiten, in denen ein wissenschaftlich kontrollierbarer Umgang mit Statistik gefordert
wird.
Statistische Methoden dringen in den Sozialwissenschaften parallel zu qualitativen Forschungsmethoden immer
weiter vor. Ein Gegensatz zwischen qualitativen und quantitativen Forschungsmethoden wird in jüngerer Zeit
immer mehr verneint. Die Forderung der Methodiker richtet sich zunehmend auf eine Vermittlung und
Verbindung zwischen statistischen und qualitativen Ansätzen der Forschung.
Einzelfallanalyse und die Analyse von Massenereignissen müssen immer theoretisch aufeinander bezogen
werden. Das eine kann das andere nicht ersetzen, und der eine Ergebnistyp liefert nur unvollständige Aspekte
der Wirklichkeit ohne Hinzuziehung des anderen.
10
Kritisches Lesen und selbständiges handwerkliches Beherrschen statistischer Methoden zum Zwecke eigener
wissenschaftlicher Arbeit sind also die wesentlichen Zielsetzungen des Statistiklernens. Diesen Zielsetzungen
muß im Bewußtsein von dem gesellschaftlichen Mißbrauch und von den gesellschaftlichen Gefahren der
Statistik nachgegangen werden.
Wir können nicht auf das Statistiklernen deshalb verzichten, weil es schwierig ist, und weil Statistik eine
Wissenschaft ist, deren Ergebnisse im Zentrum politischer Kontroversen stehen. Im Gegenteil: Wenn wir an der
politischen Gestaltung unserer Öffentlichkeit beteiligt sein wollen, ist es geradezu zwingend, daß wir in diesen
Bereich systematisch eindringen.
2. Die Frage der Meßbarkeit: Meßniveaus
In Alltagsgesprächen hört man öfters das Argument: „Das ist nicht vergleichbar“, das ist nicht „meßbar“. Sind
solche Argumente triftig ? Wann - und wann nicht ? Grundsätzlich lassen sich nämlich alle Gegenstände unseres
Bewußtseins miteinander vergleichen, es kommt hierbei nur darauf an, ob sie in bezug auf eine Theorie
interpretiert werden können, für die sie relevant sind. So kann man in bezug auf eine Theorie der Beutemachens durchaus Hunde und Katzen vergleichen, in bezug auf eine Theorie des Fliegens durchaus eine
Hummel, einen Seeadler und eine Boeing 707. Die subjektive Feststellung: „Das ist nicht vergleichbar“ könnte
daher meinen: „Mir fällt keine Theorie ein, die für beide Gegenstände relevant ist, die ich vergleichen möchte.
Daraus ist aber nicht zu schließen, daß es keine solche Theorie geben könnte.“
Wie ist das nun mit dem Messen ? In der Alltagssprache spreche ich dann von Meßvorgängen, wenn ich aus der
Physik bekannte Maßstäbe einsetze, wie Meter (Distanz), Liter (Volumen), Grad (Temperatur), km/h
(Geschwindigkeit). Man sagt: „Das Bild ist 30 cm breit und 45 cm lang“, wenn man das Format ausmißt. Sage
ich aber: „Das Bild ist sehr schön!“, oder: „Das ist ja ein eigenartiges Grün auf diesem Bild!“, dann würde man alltagssprachlich - kaum noch von Meßvorgängen sprechen. Dennoch haben die beiden letztgenannten
Feststellungen etwas in sich, das in den Sozialwissenschaften mit Messung bezeichnet wird. Bei dem „Grün“
wird dem Bild ein Element einer „Farbskala“ zugeordnet, bei dem „sehr schön“ ein Element aus einer
Wertskala. Messung bedeutet in den Sozialwissenschaften, daß ich Zahlen oder Symbole, die ein Element einer
Skala sind, nach Maßgabe einer Meßvorschrift, einem Objekt zuordne. Würde ich beispielsweise innerhalb
eines Forschungsprojekts eine Farbtabelle in die Hand bekommen, und müßte ich entscheiden, welches Grün der
Farbtabelle auf dem Bild ist, oder müßte ich mehrere Bilder, die mir im Rahmen eines Forschungsprojekts
vorgelegt werden, nach meinem Schönheitsempfinden in eine Rangordnung bringen, dann kann es sein, daß aus
Urteilen, die ich im Alltagsleben fälle, „Messungen“ werden, weil diese Urteile in einen
sozialwissenschaftlichen Zusammenhang hineingenommen werden. Hierbei beziehen sich solche Urteile immer
auf Positionen einer Skala. Wichtig ist für die sozialwissenschaftliche Messung nun, welche mathematischen
Eigenschaften solche Skalen haben(„Meßniveau“). Mit welchen mathematischen Methoden man Daten
weiterverarbeiten darf, die auf Skalen definiert sind, hängt nämlich vom „Meßniveau“ der entsprechenden Skala
ab. Man unterscheidet hier „Nominalniveau“, „Ordinalniveau“, „Intervallniveau“ und „Ratio-Niveau“.
2.1. Nominal-Niveau der Messung
2.1.1. Die Nominalskala
Wie wir schon aus der Alltagserfahrung wissen, können Unterschiede zwischen verschiedenen Menschen,
Menschengruppen, Institutionen, sozialen Prozessen - was auch immer Gegenstand der sozialen Forschung sein
mag - verschieden genau bestimmt werden. Die Genauigkeit der Bestimmung von Unterschieden zwischen
Gegenständen der empirischen Sozialforschung wird mit Hilfe des Begriffs "Meßniveau" charakterisiert. Das
Nominal-Niveau der Messung liegt dann vor, wenn nur gesagt werden kann, daß zwei Elemente einer Menge
einander gleich oder ungleich sind. Die mathematischen Symbole hier für sind = (gleich) bzw. ╪ (ungleich).
Frauen sind in bezug auf ihr Geschlecht Frauen gleich. Sie sind den Männern in bezug auf ihr Geschlecht
ungleich. Deutsche sind Deutschen in bezug auf ihre Nationalität gleich. Sie sind Engländern in bezug auf ihre
Nationalität ungleich.
11
Es ist auf der Nominalskala nicht möglich, Aussagen zu formulieren wie: Frauen haben mehr Geschlecht als
Männer, sondern nur: Sie haben ein anderes Geschlecht. Es ist auch sinnlos zu sagen: Engländer haben doppelt
soviel Nation wie Amerikaner.
Man darf auf Nominalskalen nur sagen: Die X sind in bezug auf Z (Skalenname) den Y gleich oder ungleich.
2.1.2. Die formalen Bedingungen der Klassifikation
Allen Klassifikationen können (neben anderen Skalen) Nominalskalen zugrundeliegen. Unabhängig von
Meßniveau gelten bei allen Klassifikationen die „formalen Bedingungen“ der Klassifikation „Eindeutigkeit,
Vollständigkeit“ und „Echtheit“. Die folgenden Ausführungen sollen diese Begriffe erläutern. Nehmen wir an,
wir wollten die folgenden sechs schraffierten Flächen klassifizieren (einer Skala zuordnen),
(Schraffur: von links rechts fallend)
(Schraffur: von links nach rechts steigend)
(Schraffur senkrecht)
(Schraffur waagerecht)
(hellgrau)
(dunkelgrau)
dann müßte unsere Skala alle diese Eigenschaften vorsehen („Prinzip der Vollständigkeit“),
sie müßte es gestatten, diese Eigenschaften eindeutig zuzuordnen („Prinzip der Eindeutigkeit“),
und sie müßte bei der Bildung von Unterklassen möglichst so vorgehen, daß mindestens zwei der gebildeten
Unterklassen auch besetzt sind (Prinzip der Echtheit). Eine Klassifikation, die diese Eigenschaften erfüllen
würde, wäre die folgende:
Eindeutige und vollständige Klassifikation der oben aufgeführten Flächen:
S c h ra ffu r
G ra u to n
sch räg
h e ll
n ic h t
sc h rä g
dunkel
s te ig e n d fa lle n d s e n k re c h t w a a g e
rech t
Hätten wir in der Klassifikation nur Schraffuren vorgesehen und keine Grautöne, könnten wir diese nicht
zuordnen (die Klassifikation wäre unvollständig). Würden wir bei den schräg schraffierten Flächen nicht sagen,
daß steigend und fallend immer von links nach rechts „steigend“ oder „fallend“ bedeutet, wäre die
Klassifikation uneindeutig.
Hätten wir noch eine weitere gepunktete Fläche (die wir oben in der Graphik nicht haben),
dann wäre die Klassifikation auf der 1. Ebene (Grauton, Schraffur, Punktierung) entsprechend zu ergänzen.
Gäbe es dort keine Differenzierung zwischen verschiedenen Punktierungen, dann wäre die Klassifikation dann
12
unecht, wenn unter Punktierung z. B. noch die Klassen „große Punkte“ und „kleine Punkte“ gebildet worden
wären. Mindestens eine dieser Unter-Klassen wäre dann leer.
S ch raffu r
G r a u to n
sch räg
h e ll
n ic h t
sc h rä g
dunkel
s te ig e n d f a l le n d s e n k r e c h t w a a g e
rech t
P u n k tie r u n g
k le in e P u n k te
g ro ß e P u n k te
In der Praxis der Statistik sollten die Kriterien der Eindeutigkeit und der Vollständigkeit erfüllt sein, das
Kriterium der Echtheit ist nur selten erfüllt, da in statistischen Tabellen oft leere Klassen vorkommen. Aber auch
das Kriterium der Vollständigkeit wird oft verletzt, wenn bei Umfragen neben anderen Kategorien einer Frage
noch eine Kategorie „sonstige“ vorgesehen ist. Dann werden die hierin auftauchenden Antworten nicht in den
anderen, zuvor gebildeten Kategorien vollständig erfaßt.
2.2 Ordinal-Niveau der Messung
Auf dem Ordinal-Niveau der Messung kommt zu der Gleichheits- oder Ungleichheitsrelation noch die GrößerKleiner-Relation hinzu. Die mathematischen Symbole hierfür sind: a> b (a ist größer als b), bzw. a < b (a ist
kleiner als b). Relation wird hier als aus einem Vergleich gewonnene Beziehung zwischen zwei oder mehreren
Elementen einer Menge definiert, die durch ein Zeichen, wie z.B. das Gleichheitszeichen (=), oder das "Größerals"-Zeichen (>) ausgedrückt werden kann. Vor allem im Bereich von nicht sehr genau angebbaren
"Einschätzungen" taucht in der Sozialforschung das Ordinal-Niveau der Messung auf. "Ich ziehe das
Musikhören dem Statistiklernen vor", wäre eine solche Relation. Um wieviel lieber mir das Musikhören als das
Statistiklernen ist, werde ich kaum angeben können. Wenn ich im Sommer noch lieber Schwimmen gehe als
Musik höre, und lieber Musik höre als Statistik lerne, dann hätte ich schon drei Elemente, die ich in eine
Rangordnung bringen kann, ohne daß ich angeben kann, um wieviel mir das eine sympathischer ist als das
andere. Zwischen den ranggleichen Elementen gilt die Relation gleich (=). Zwischen den rangverschiedenen
Elementen gilt neben der Relation < oder > immer gleichzeitig die Relation ungleich (╪). Insofern kommen auf
der Ordinalskala zu den Relationen = und ╪ noch die Relationen < und > hinzu, die auf der Nominalskala nicht
definiert sind.
2.3 Intervall-Niveau der Messung
In dem Moment, in dem ich Messungen anstelle, die es mir erlauben, Abstände (Intervalle) zwischen den
verschiedenen Meßpunkten zu benennen, bewege ich mich auf dem Intervall-Niveau der Messung. Sehr viele
Tätigkeiten unseres Alltagslebens enthalten Merkmale, die auf diesem Meßniveau definiert sind: Die
Geburtstage, die in jedem Ausweis eingetragen sind, kann ich nebeneinander stellen und ihren Abstand in
Tagen, Monaten und Jahren berechnen.
13
Das Wetter, das ich am Morgen beim Weg zur Arbeit erlebe, wird durch Temperatur und Luftfeuchtigkeit
(neben anderen Daten) beschrieben. Diese Angaben sind auf dem Intervall-Niveau definiert, d.h. daß Abstände
zwischen den verschiedenen Meßpunkten angegeben werden. Unsere Vorstellungskraft ist auch nicht überfordert, wenn wir die Information verarbeiten sollen, daß es morgen um 5 Grad Celsius kälter sein wird als heute.
Haben wir aber heute bereits eine Temperatur von - sagen wir - minus 10 Grad Celsius, dann wäre die Angabe,
daß es morgen halb so warm sein wird wie heute, allerdings für uns kaum noch interpretierbar, denn die Hälfte
von minus 10 Grad wären minus 5 Grad, und das wäre nicht halb so warm, sondern wärmer.
Auf der Temperaturskala, die eine Intervallskala ist, sind eben nur Abstände, aber keine Quotienten
berechenbar. Habe ich Abstände, dann kann ich Additionen (+) und Subtraktionen (-) ausführen, das heißt, auf
dem Zahlenstrahl, der von links nach rechts steigend definiert ist, um einen bestimmten Betrag nach rechts
gehen (Addition) oder nach links gehen (Subtraktion).
Quotienten, Ergebnisse von Divisionen, können nur dann berechnet werden, wenn ein absoluter Nullpunkt der
Skala existiert, auf den man sich bei konkreten Rechnungen bezieht.
Auf der Intervallskala kommen zu den Relationen =, ╪ , >, < jetzt die Möglichkeiten der Addition und der
Subtraktion hinzu. Divisionen und Multiplikationen sind nicht sinnvoll ausführbar.
2.4. Ratio- oder Verhältnisniveau der Messung
Angaben, mit denen physikalische Größen gemessen werden, sind in der Regel auf dem Ratio- oder
Verhältnisniveau definiert. Für einen Physiker ist es nämlich durchaus möglich, wenn er bei der Temperatur
vom absoluten Nullpunkt ausgeht (auf der Kelvin-Skala wird der Wert -273,16 ° Celsius als 0 definiert), solche
Aussagen wie doppelt so warm, halb so warm etc. sinnvoll zu interpretieren.
Das Ratio- oder Verhältnisniveau der Messung liegt also bei allen Längenmaßen und Gewichten vor, für die
eine feststehende Vergleichsnorm definiert ist. In Statistik-Programmen, in denen man das Meßniveau einer
Variable wählen kann, wird das Ratio-Niveau in der Regel als „metrisch“ bezeichnet.
Zu den Relationen und Operationen, die auf dem Nominal-, dem Ordinal- und dem Intervallniveau der Messung
definiert sind (=, ╪ , >, < , +, -) kommen jetzt noch die Operationen der Multiplikation und der Division hinzu (
mathematische Zeichen : * und ÷). In der Sprache mathematischer Formeln werden diese Symbole allerdings oft
durch andere ersetzt. Statt „a * b“ wird „ab“ geschrieben, statt „1÷ 2“ wird auch „1:2“ oder „½“ geschrieben,
d.h. die Nebeneinanderstellung oder der Bruchstrich ersetzen die Symbole * und ÷.
Nominal-Niveau, Ordinal-Niveau, Intervall-Niveau und Ratio-Niveau der Messung stehen untereinander nach
dem oben Gesagten in einer Beziehung aufsteigender Informationsgehalte; das Nominal-Niveau hat den
geringsten Informationsgehalt, das Ratio- oder Verhältnisniveau den höchsten Informationsgehalt. Für das
jeweils höhere Meßniveau gelten alle Eigenschaften des geringeren Meßniveaus ebenfalls.
Die Bedeutung der Unterscheidung dieser Meßniveaus für die Statistik besteht darin, daß wir bestimmte
Berechnungen z.B. in der Statistik nur anstellen dürfen, wenn das für solche Berechnungen geeignete
Meßniveau gegeben ist. So sind die Ausdrücke: „2. Sinfonie von Beethoven und „1. Sinfonie von Schubert“ auf
den Nominalniveau definiert. Wir würden daher nicht auf die Idee kommen, sie zu addieren und aus beiden
vielleicht die 3. Sinfonie von Bruckner zu machen.
2.4.1. Stetige Merkmale
Auf einem Intervall- und dem Ratio-Niveau der Messung werden stetige und diskrete Merkmale unterschieden.
Stetige Merkmale sind solche, für die im Prinzip jeder beliebige Meßwert im gesamten Meßbereich auftreten
kann. So können wir auf dem Thermometer, wenn es nur hinreichend genau geeicht ist, Werte wie 37,5; 38,9
ablesen. Moderne Stoppuhren erlauben die Messung der Zeit bis hin zur Tausendstel-Sekunde. Mit weiterer
Steigerung der Genauigkeit werden sämtliche möglichen Zwischenwerte im Prinzip ablesbar, so daß
mathematische Funktionen, die Beziehungen zwischen zwei solchen Messungen darstellen, als nicht
unterbrochene, gerade oder kurvenförmige Linie dargestellt werden können, deren Wertepaare vollständig
14
definiert sind. Das hat zur Folge, daß man die Steigung solcher Kurven in jedem Punkt feststellen kann, das
heißt, man kann sie „differenzieren“ (sie sind für die Differentialrechnung geeignet).
2.4.2. Diskrete Merkmale
Haben wir es bei Temperaturmessungen nicht mit einem Fieberthermometer oder einem sehr genauen
Fensterthermometer zu tun, sondern blicken wir auf ein normales Zimmerthermometer, dann sind in der Regel
nur Angaben lesbar, die die vollen Grade in Celsius umfassen. Ähnlich ist es mit Zeitangaben: eine
Bahnhofsuhr, die keinen Sekundenzeiger hat, springt von Minute zu Minute weiter, so daß nur volle
Minutenangaben möglich sind, Zwischenwerte aber ausgeschlossen bleiben. Angaben im Ausweis über das
Lebensalter beziehen sich auf den Tag der Geburt, lassen aber genauere Angaben fort. Fragen wir im
Fragebogen nach dem Geburtsdatum, dann müssen wir uns in der Regel mit Angaben über das Geburtsjahr
bescheiden. Alle Prozesse des Abzählens ganzer Einheiten können nur ganzzahlige Ergebnisse haben,
gebrochene Zahlen kommen nicht vor.
Solche Merkmale, die zwar auf dem Intervallniveau definiert sind, jedoch nur ganz bestimmte Werte annehmen
können, heißen diskret, was nichts mit "Diskretion" zu tun hat, sondern als statistischer Fachterminus die
Tatsache bezeichnet, daß innerhalb einer Meßstrecke nur ganz bestimmte Zwischenwerte (meistens ganze
Zahlen) auftreten können. Die graphische Darstellung darf daher im Prinzip bei diskreten Merkmalen keine
durchgezogenen Linien oder Kurven verwenden, sondern müßte sich mit der Angabe von Meßpunkten
begnügen. Streng genommen lassen sich für diese Meßpunkte auch keine Steigungen angeben, d.h. die
Differentialrechnung dürfte nicht angewendet werden.
Die folgende Graphik zeigt zwei Variablen in Abhängigkeit vom Alter: Eine stetige Variable, die
Sterbewahrscheinlichkeit, ausgedrückt in Promille/Jahr und eine diskrete Variable, das Einkommen, ausgedrückt
in Tausend DM im Monat. Es handelt sich hierbei um ausgedachte Daten. Die Sterbewahrscheinlichkeit wachse
hier stetig, das Einkommen wachse von Gehaltserhöhung zu Gehaltserhöhung in einer „Sprungfunktion“, die
nicht alle möglichen Meßwerte annimmt:
Alter, Sterbewahrscheinlichkeit und Einkommen in der
Kleinstadt Durchschnittshausen.
Sterbewahrsch/ Einkommen
14
12
10
8
6
4
2
Sterbewahrsch.
0
Einkomm.
1
7
4
13 19 25 31 37 43 49 55
10 16 22 28 34 40 46 52 58
Alter in Jahren
15
2.5 Das Problem der Kombination unterschiedlicher Meßniveaus
In der Praxis treten nun leider die verschiedenen Meßniveaus kombiniert auf. Zum Beispiel die Aussage:
„Frauen haben im Durchschnitt ein geringeres Einkommen als Männer" enthält zwei Meßniveaus: das NominalNiveau (bei dem Begriff Frauen) und das Ratio-Niveau (bei dem Begriff „Einkommen“). Die Aussage:
"Wirtschaftsmanager denken pragmatischer als Universitätsprofessoren" enthält das Nominal-Niveau bei der
Unterscheidung zwischen Managern und Professoren und das Ordinal-Niveau bei dem Ausdruck
"pragmatischer". Die Berücksichtigung bei der jeweiligen Kombination von Meßniveaus in der Statistik führt zu
einer Fülle verschiedener Berechnungsmethoden von "statistischen Zusammenhängen", die sich alle nur deshalb
unterscheiden, weil die vorausgesetzte Kombination von Meßniveaus unterschiedlich ist. Die in der
untenstehenden Tabelle aufgeführten Zusammenhangsmaße sind eine Auswahl der wichtigsten
Zusammenhangs-Berechnungsmethoden, von denen die meisten in dieser Schrift dargestellt sind:
Meßniveau/Rechenverfahr Nominal
en für die Darstellung
statistischer
Zusammenhänge
Nominal
Chiquadrat-Test, Cramérs
V, Phi, Fischers exakter
Test
Ordinal
Ordinal
Intervall/Ratio
Kruskal-Wallis-Test
t-Test
Varianzanalyse
Mann-Whitney –U-test,
Kendalls tau, Kruskals
gamma
Intervall/Ratio
Varianzanalyse,
Regressions- und
Korrelationskoeffizienten
Eine ausführlichere Auflistung solcher Techniken findet man in Sidney Siegel: Nonparametric Statistics,
McGraw-Hill, New York 1956.
2.6. Qualitative und quantitative Untersuchungen
Im Alltagssprachgebrauch wird nicht zwischen verschiedenen Meßniveaus unterschieden, sondern das
Begriffspaar qualitativ/quantitativ steht in der Regel an der Stelle einer solchen Unterscheidung. Die Begriffe
Qualität und Quantität enthalten aber noch mehr an Bedeutung als die rein informationstheoretische
Unterscheidung zwischen Meßniveaus. Wir wissen alle, daß mit "Qualität" auch ein Werturteil ausgesprochen
wird: Im Alltagssprachgebrauch wird - besonders in einer der „Psychoscene“ nahestehenden Sprache - zwischen
einer mehr "kopfbetonten" Analyse und einer mehr "bauchbetonten" unterschieden. Hiermit wird in der Regel
nicht nur wertfrei unterschieden, ob mehr der Verstand oder das Gefühl bei bestimmten Urteilen maßgebend
war, sondern die mehr "bauchbetonten" Urteile werden in bestimmten Kreisen auch gegenüber der rein durch
Argument und Erfahrung angeleiteten Erkenntnis als "höherwertig" angesehen.
Dieser Wertcharakter des Wortes "qualitativ" spielt auch im Sprachgebrauch von Marx eine Rolle, wenn dort
vom "Umschlag der Quantität in die Qualität" gesprochen wird. Diese sehr bildliche („metaphorische“)
Sprechweise darf auf keinen Fall verwechselt werden mit einer Sprechweise, die wir in den empirischen
Sozialwissenschaften benutzen. Dies bedeutet nicht, daß wir uns nicht mit der Bedeutung von Metaphern
beschäftigen und sie nicht zum Gegenstand qualitativer Analyse machen dürfen, um sie besser verstehen zu
können. Es ist aber ein großer Unterschied zwischen der wissenschaftlichen Benutzung und der Analyse von
Metaphern. In der Sprache der Statistiker wäre ein Ausdruck wie "Umschlag der Quantität in Qualität" sinnlos.
Sinnvoll hingegen wäre z.B. die Beschreibung eines sozialen Prozesses, in dem Frauen sich zum gewaltlosen
Widerstand gegen militärische Hochrüstung entschließen, nachdem die Rüstungsausgaben in einem Staat über
eine bestimmte Marke geklettert sind. In diesem Fall würde ein Sozialwissenschaftler oder Statistiker zwei
zeitlich verbundene Prozesse feststellen: Eine Veränderung der Rüstungsausgaben in der Zeit (Ratioskala) und
eine Veränderung der Einstellungen gegenüber der Militärpolitik des Staates (zuerst: Nicht-Wahrnehmung; dann
16
kämpferisches Engagement) (Nominal-Skala). Wir hätten hier also zwei Bewegungen nebeneinander: Die eine
auf der Intervall-Skala, die andere auf der "Nominal-Skala". Keine "Quantität" schlägt hier in eine "Qualität"
um, sondern der eine soziale Prozeß bewirkt vielleicht den anderen oder löst ihn aus.
Wir können also festhalten, daß bei der Verwendung von Begriffen aus der Alltagssprache im Bereich
statistischer Argumentation größte Vorsicht geboten ist. Die alltagsssprachliche - manchmal metaphorische Begrifflichkeit hat den Nachteil, daß es schwierig ist, sich darauf zu einigen, was genau gemeint ist. Viele
Auseinandersetzungen in der Studentenbewegung hatten eine begriffliche Unschärfe aus einem marxistischen
Sprachgebrauch als Ursache, nicht immer waren es sachliche Gegensätze. Oft ist es in politischem
Sprachgebrauch auch durchaus beabsichtigt, sich nicht auf Definitionen festzulegen, weil so durch Manipulation
des Sprachgebrauchs leichter erreicht werden kann, was sonst nur über offene Konflikte durchgesetzt werden
könnte. Die Novelle „Animal Farm“ von George Orwell bietet hier die besten Beispiele.
Qualitative Analyse meint - im Gegensatz zu quantitativer Analyse - die komplexe Beschreibung von
Einzelfällen, bei der weniger gezählt und gemessen wird, sondern mehr die Struktur einzelner Fälle sprachlich
und vielleicht auch graphisch dargestellt wird. (Siehe hierzu u.a.: Flick, Uwe/Kardorff, Ernst von/Keupp,
Heiner/Rosenstiel, Lutz von/Wolff, Stephan (Hrsg.): Handbuch Qualitative Sozialforschung. Grundlagen,
Konzepte, Methoden und Anwendung. München (Psychologie Verlags Union) 21995.
Qualitative Analyse liegt auch immer dann vor, wenn es um die Herstellung neuer Begriffe und Kategorien geht,
während die quantitative Analyse in der Regel die vorherige Existenz und Operationalisierung von Begriffen
voraussetzt (mit Operationalisierung ist die Angabe von Verfahren gemeint, mit deren Hilfe Messungen
durchgeführt werden sollen).
3. Einfache Beschreibungen von Massenereignissen - univariate Verteilungen
3.1 Der Begriff "Verteilung"
Massenereignisse setzen sich immer aus vielen Einzelereignissen zusammen. In unserem Empiriekurs sind
beispielsweise 4 Männer und 16 Frauen, also 20 Personen („Ereignisse“, „Untersuchsungsobjekte“). Wollen wir
das Merkmal oder die Variable „Geschlecht" an dieser „Grundgesamtheit" untersuchen, dann können wir
aufgrund der äußeren Erscheinung oder sogar vom Vornamen ausgehend viermal feststellen, daß die
„Merkmalsausprägung“ „männlich“ für unsere Untersuchungsobjekte zutrifft, sechzehnmal die
Merkmalsausprägung „weiblich“.
Solche Gegenüberstellungen von „Häufigkeiten“ nennen wir Verteilungen. Wenn nur eine Variable (Merkmal)
betrachtet wird, nennt man die Verteilung „univariat“. Von empirischen Verteilungen sprechen wir, wenn wir
sie aus wissenschaftlichen Messungen und Zählungen gewinnen. Empirische Verteilungen haben konkrete
Merkmale bzw. Variablen zur Grundlage. Theoretische Verteilungen sind demgegenüber abstrakte
mathematische Strukturen, deren Anwendbarkeit auf konkrete Fälle aufgrund bestimmter mathematischer
Voraussetzungen experimenteller Anordnungen (wie z. B. beim Würfel-Experiment), erwartet wird. Kennen wir
nämlich die mathematischen Voraussetzungen experimenteller Anordnungen, dann können wir ziemlich genau
vorhersagen, wie sich die Ergebnisse des Experiments verteilen. So wissen wir zum Beispiel, daß beim Würfeln
die gleichen Eintrittswahrscheinlichkeiten von jeweils p = 1/6 auf die Zahlen 1 bis 6 entfallen. Dies bedeutet
nicht, daß wir einzelne Würfe vorhersagen könnten, aber die ungefähre empirische Verteilung nach einem
Experiment: Wir erwarten aber eine Verteilung, die mit hoher Wahrscheinlichkeit von einer bestimmten Struktur
umso weniger abweicht, je größer die Zahl der Versuche (hier: Würfe mit dem Würfel) ist:
Was hiermit gemeint ist, zeigen die folgenden Graphiken. Sie demonstrieren, wie sich die prozentualen
Häufigkeiten einzelner Augenzahlen bei immer längeren Würfel-Serien immer mehr der Marke 16,67 %
annähern. Wir wissen, daß die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln, daß eine der sechs Würfelflächen oben liegt,
gleich 1/6 ist. Rechnet man 1/6 in Prozente um, erhält man 16,6666 ... %. Dieser Wert wird – nach dem Gesetz
der großen Zahl - bei immer längeren Würfel-Versuchs-Serien immer besser angenähert:
17
Prozentuale Häufigkeit der Würfelaugen bei 100 Würfen
30
23
23
20
14
Prozent
10
15
14
11
0
1
2
3
4
5
6
AUGEN
Prozentuale Häufigkeit der Würfelaugen bei 1000 Würfen
20
18
17
15
18
16
15
Prozent
10
0
1
AUGEN
2
3
4
5
6
18
Prozentuale Häufigkeit der Würfelaugen bei 10000 Würfen
20,00
16,03
16,76
17,05
16,91
16,68
16,57
2
3
4
5
6
Prozent
10,00
0,00
1
AUGEN
Die Beispielgrafiken – hier für die sogenannte Gleichverteilung - zeigen bei wachsener Zahl der Versuche eine
immer bessere Annäherung der prozentualen Häufigkeiten, mit denen die Würfelaugen auftreten, an die hier
erwartete prozentuale Häufigkeit von 16,67%.
Auch für ungleichverteilte Häufigkeiten läßt sich dieses Gesetz leicht demonstrieren.
Gegeben sei eine Darstellung der Häufigkeiten des Pulsschlages pro Minute aus einer Kleinstadt mit 10000
Einwohnern:
Pulsschläge pro Minute bei 10000 Erwachsenen
in Prozent
30
23
23
20
16
16
Prozent
10
8
7
3
2
0
42,50
52,50
47,50
PULS/MIN
62,50
57,50
72,50
67,50
82,50
77,50
92,50
87,50
102,50
97,50
19
Ziehen wir aus dieser „Grundgesamtheit“ nun zwei Stichproben, eine im Umfang von 1000 Einwohnern, eine im
Umfang von 100 Einwohnern und beobachten wir dann, wie sich die prozentualen Häufigkeiten verändern, die
den verschiedenen „Klassen“ von Pulsschlaghäufigkeiten in der Grundgesamtheit zukamen:
Pulsschläge pro Minute bei einer Stichprobe von 1000 aus obigen 10000
30
25
20
21
17
16
Prozent
10
7
7
3
2
0
42,50
52,50
47,50
62,50
57,50
72,50
67,50
82,50
77,50
92,50
87,50
PULS/MIN
Hier haben sich die prozentualen Häufigkeiten der mittleren Klassen deutlich verändert, die der anderen Klassen
weniger. Ziehen wir nun noch eine kleinere Stichprobe, die nur noch den Umfang 100 Erwachsene hat, dann
verändern sich die prozentualen Häufigkeiten der angegebenen Klassen noch stärker. Die „normalverteilte
Grundstruktur“ kann jedoch noch erahnt werden. Wir werden später sehen, daß der Bereich, in dem der
„Mittelwert“ mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit auftauchen kann, sich in Abhängigkeit vom
Stichprobenumfang gut bestimmen läßt.
Pulsschläge pro Minute bei einer Stichprobe von 100 Erwachsenen
aus obigen 10000
30
24
23
20
17
12
Prozent
10
11
5
5
2
0
52,50
57,50
PULS/MIN
62,50
67,50
72,50
77,50
82,50
87,50
92,50
20
Mit Hilfe der Kenntnis der zu einer empirischen Verteilung gehörenden theoretischen Verteilungsfunktionen
kann relativ genau vorhergesagt werden, wieviele Einzelereignisse sich in bestimmten Intervallen empirischer
Verteilungen befinden werden.
3.2 Ordnung und Klassifikation von Daten – graphische Darstellungen
Im folgenden sollen Daten analysiert werden, die die Altersangaben von Passanten an der Eingangstür unseres
Universitätsgebäudes am Tag der offenen Tür (1.6. 1985) wiedergeben. 60 Passanten wurden hier nach ihrem
Alter befragt. Es antworteten 60 wie folgt:
26;14;3;8;21;39;4;15;1;24;5;0;33;30;12;40;25;39;12;26;21;25;4;25;
22;22;15;24;32;28;31;31;25;24;34;15;27;13;13;26;38;19;11;8;23;30; 15;19;3;26;17;32;22;20;8;8;13;23;13;12;
Eine solche Datensammlung, die noch ungeordnet ist, nennt man auch Urliste.
Wenn wir uns diese Daten flüchtig betrachten, dann sind sie eher verwirrend - etwa wie der Blick aufs
Fußballstadion. Ordnen wir aber diese Daten der Größe – also dem Alter – nach, dann wird die Sache schon
übersichtlicher: In der folgenden Tabelle sind alle Altersangaben der Größe nach aufgeführt.
Personen am Tag der offenen Tür
in der TUB am 1.6. 1985, nach Alter
Anzahl
,00
1,00
3,00
4,00
5,00
8,00
11,00
12,00
13,00
14,00
15,00
17,00
19,00
20,00
21,00
22,00
23,00
24,00
25,00
26,00
27,00
28,00
30,00
31,00
32,00
33,00
34,00
38,00
39,00
40,00
%
1
1
2
2
1
4
1
3
4
1
4
1
2
1
2
3
2
3
4
4
1
1
2
2
2
1
1
1
2
1
1,7%
1,7%
3,3%
3,3%
1,7%
6,7%
1,7%
5,0%
6,7%
1,7%
6,7%
1,7%
3,3%
1,7%
3,3%
5,0%
3,3%
5,0%
6,7%
6,7%
1,7%
1,7%
3,3%
3,3%
3,3%
1,7%
1,7%
1,7%
3,3%
1,7%
21
Die Altersangaben der Personen sind jetzt der Größe nach aufsteigend geordnet. Jede Alters-Angabe kommt nur
einmal vor. Unter den Personen ist ein Baby unter einem Jahr, das mit der Altersangabe 0 geführt wird. 0
bedeutet hier nicht 0, sondern "noch nicht 1 Jahr alt". Weiterhin sehen wir, daß identische Altersangaben
mehrfach, mit einer bestimmten Anzahl oder "Häufigkeit" auftauchen. Solche Häufigkeiten nennen wir
„absolute Häufigkeiten“. Den einzelnen Häufigkeiten ist eine Prozentangabe zugeordnet.
Fassen wir die Daten noch weiter zusammen, um sie übersichtlicher darstellen zu können, dann liegt es nahe, die
Daten zu diesem Zweck in Klassen einzuteilen.
Klassen sind hierbei
• Meßwertgruppen innerhalb jeweils eines Intervalls –
• meistens in einer Menge benachbarter Intervalle (Abstände) auf einer Meßskala, die in der Regel gleich
groß sind.
Die Klassenbildung dient der übersichtlicheren Darstellung und der Verdeutlichung von Eigenschaften einer
Verteilung.
Wollen wir selber Klassen definieren, schauen wir zunächst nach, wie groß der kleinste Meßwert (Minimum)
und der größte (Maximum) sind. Dies sind hier die Altersangaben 0 und 40. Den Abstand zwischen Minimum
und Maximum (hier 40) nennt man Variationsbreite oder (aus dem englischen Sprachraum): RANGE.
Alle Klassen müssen diesen Raum erfassen, so daß weder der kleinste noch der größte Meßwert unterschlagen
werden. Wenn wir 7 Klassen bilden wollen, teilen wir den Range (40) durch 7 und erhalten 5,7. Wir können
daher abschätzen, daß wir mit einer Klassenbreite von 6 (von 5,7 aufgerundet) arbeiten können, wenn wir
ganzzahlige Klassenbreiten haben wollen, und daß wir mit 7 Klassen auskommen werden.
Wo soll aber die Untergrenze der kleinsten Klasse liegen? Wenn der kleinste Meßwert exakt 0 wäre, müßte
die Untergrenze so gewählt werden, daß der Meßwert 0 noch von der kleinsten Klasse erfaßt wird. Bedeutet
aber 0 nicht exakt „Null“, sondern signalisiert 0 nur, daß ein Meßwert zwischen 0 und 1 vorliegt (was hier wohl
der Fall sein dürfte), dann können wir die Untergrenze der kleinsten Klasse auch so legen, daß sie zwar oberhalb
von 0, aber ganz dicht bei diesem Wert 0 beginnt.
Wenn wir die Klassenbreite 6 einsetzen, erhalten wir folgende Klassen:
Klassengrenzen
über 0 bis einschließlich 6
über 6 bis einschließlich 12
über 12 bis einschließlich 18
über 18 bis einschließlich 24
über 24 bis einschließlich 30
über 30 bis einschließlich 36
über 36 bis einschließlich 42
Klassen
mitten
3
9
15
21
27
33
39
Häufigkeiten
f 1= 7
f 2= 5
f3= 13
f 4= 10
f5= 13
f 6= 8
f 7= 4
Diese klassifizierten Werte lassen sich nun in verschiedensten Formen auch graphisch darstellen. Die folgende
Darstellung nennt man „Balkendiagramm“. In ihm ist jeder Klassenmitte ein Balken oder Streifen zugeordnet,
dessen Länge die Häufigkeit symbolisiert, die der Klasse zukommt, auf deren „Mitte“ er errichtet ist. Die
Breite des Balkens ist bedeutungslos; zwischen den Balken kann ein Zwischenraum existieren:
22
Alter der Besucher des Tages der offenen Tür
14
13
13
12
10
10
8
8
Absolute Werte
7
6
5
4
4
2
3,00
9,00
15,00
21,00
27,00
33,00
39,00
ALTER
Das Balkendiagramm hat den Vorteil, daß es nicht nur auf Klassen mit definierter Breite angewendet werden
kann, sondern auch auf Nominal- und Ordinaldaten. Dort wird der Balken den nominalen „Kategorien“ oder
den Rängen zugeordnet.
Für das folgende „Kreisdiagramm“ haben wir die Klasseneinteilung des zuvor gezeigten Stabdiagramms
übernommen. Der Winkel einzelner Sektoren richtet sich nach dem Anteil der in ihm enthaltenen Häufigkeit.
Ein Sektor ist „ausgerückt“ um ihn hervorzuheben.
Besucher des Tages der offenen Tür in der TUB
nach Alter
21,00
16,7%
15,00
27,00
21,7%
21,7%
8,3%
9,00
13,3%
11,7%
3,00
33,00
39,00
Je nach Klassenbreite erhalten wir unterschiedliche Formen der Verteilung, da sich bei veränderter Klassenbreite
auch die Häufigkeiten pro Klasse ändern, wie weiter unten (siehe Ausführungen zum "Modus") gezeigt wird.
Hierin liegt insbesondere für die politische Praxis im Umgang mit Statistiken ein wichtiges Gestaltungsmoment:
Unerfreuliches wird graphisch unterdrückt, Erfreuliches graphisch aufgebläht.
Das folgende Diagramm ist ein sogenanntes Histogramm, in dem einem ganzen Intervall (also nicht nur einem
Meßpunkt) ein dieses Intervall voll ausfüllender Streifen zugeordnet wird, dessen Fläche der Häufigkeit
entspricht, mit der Fälle im jeweiligen Intervall auftreten. Das unten dargestellte Histogramm hat die
Klassenbreite 4 (und nicht 6, wie das obige Balkendiagramm). Daher sind auch andere Klassengrenzen und
andere Häufigkeiten zustandegekommen, die man aus den unten angegebenen Klassenmitten rekonstruieren
kann:
23
Histogramm
Alter von Besuchern des Tages der offenen Tür
an der TUB 1985
14
12
12
12
10
8
8
6
Häufigkeit
4
5
5
4
4
34,0
38,0
3
3
2
4
0
2,0
6,0
10,0
14,0
18,0
22,0
26,0
Klassenun Klassenobergrenze
tergrenze
Klassen
mitte
über 0
über 4
über 8
über 12
über 16
über 20
über 24
über 28
über 32
über 36
2
6
10
14
18
22
26
30
34
38
Summe
bis einschließlich 4
bis einschließlich 8
bis einschließlich 12
bis einschließlich 16
bis einschließlich 20
bis einschließlich 24
bis einschließlich 28
bis einschließlich 32
bis einschließlich 36
bis einschließlich 40
30,0
Absolute
Häufigkei
t
4
3
5
12
3
8
12
5
4
4
60
Prozentuale
Häufigkeit
6,7
5
8,3
20
5
13,3
20
8,3
6,7
6,7
100
Schließlich kann man die gleichen Daten noch mittels Häufigkeitspolygon darstellen:
24
Häufigkeitspolygon
Alter von Besuchern des Tages der offenen Tür
an der TUB 1985
14
12
10
8
6
Häufigkeit
4
2
0
2,00
6,00
10,00
14,00
18,00
22,00
26,00
30,00
34,00
38,00
42,00
Hier werden Punkte über den Klassenmitten in die Graphik im senkrechten Abstand der jeweiligen Häufigkeit
eingetragen und mittels Linienzug verbunden.
Zu beachten ist bei dem obigen Häufigkeitspolygon, daß eine andere Klassengrenzenwahl zugrundeliegt als
beim Histogramm, nämlich von 0 bis unter 4, von 4 bis unter 8 etc., so daß der Wert 40 nicht mehr in die
vorletzte Klasse (bis unter 40) fällt, sondern in die letzte Klasse (40 bis unter 44).
3.3. Zusammenfassung der Information aus Häufigkeitsverteilungen
3.3.1. Daten auf dem Intervall- und Ratio-Niveau der Messung - Lage- und
Streuungsmaße
Neben einer graphischen Darstellung von Häufigkeiten gibt es nun Möglichkeiten einer vergleichsbezogenen
mathematischen Beschreibung von empirischen Verteilungen: Stichproben-Verteilungen werden hierbei durch
Kennwerte beschrieben, die die Form und die Lage der Verteilung charakterisieren.
Bei der Form der Verteilung kommt es oft darauf an,
•
ob die Verteilung einer sogenannten Normalverteilung ähnlich ist oder nicht. Die Normalverteilung wird
weiter unten besprochen. Maße, die die Ähnlichkeit mit einer Normalverteilung messen, sind die „Schiefe“
und der „Exzess“.
25
•
Weiterhin kommt es bei der Form darauf an, ob die Verteilung breit oder schmal ist. Maße, die die Breite
betreffen, nennen wir „Streuungsmaße“. Die Streuung einer Verteilung wird u.a. auch durch die Differenz
von kleinstem und größtem Meßwert charakterisiert.
•
Maße, die die Symmetrie oder Asymmetrie betreffen, lassen sich aus dem Vergleich verschiedener
Mittelwerte entwickeln. Asymmetrie liegt dann vor, wenn wir es mit einer Häufung der Meßwerte an der
rechten oder linken Seite der Verteilung .zu tun haben.
•
Weiterhin kann noch die Menge der Gipfelpunkte einer Verteilung von Bedeutung sein.
Bei der Lage der Verteilung kommt es darauf an,
•
wo Meßwerte liegen, die die ganze Verteilung gut repräsentieren. Solche Werte, die die gesamte
Verteilung gut repräsentieren, sind in der Regel „Mittelwerte“ oder auch „Maße der zentralen Tendenz“
(s.u.). , die dann brauchbar sind, wenn die Form der Verteilung nicht allzu asymmetrisch ist.
Um zu zeigen, worum es hier geht, werden unten zunächst drei verschiedene Verteilungen mit dem gleichen
Maßstab der Meßwertachse als Histogramme dargestellt, zusammen mit ausgewählten statistischen Maßen, die
sie charakterisieren:
Die drei Verteilungen unterscheiden sich. Während „Verteilung 1“ offensichtlich in ihrer Mitte über dem
Meßwert 100 liegt, liegt die Mitte von „Verteilung 2“ über dem Meßwert 120 – d.h. im Durchschnitt sind die
Meßwerte der „Verteilung 2“ um ca. 20 Meßwertpunkte größer als die von
„Verteilung 1“. Diese „Mitten“ sind in den unten aufgeführten Graphiken durch einen senkrechten Strich
oberhalb der Graphik markiert.
Bei „Verteilung 3“ fällt auf, daß sie breiter ist (weiter streut) als die Verteilungen 1 und 2. Außerdem hat sie –
im Gegensatz zu den anderen Verteilungen – zwei Gipfelpunkte – also zwei Häufigkeiten, deren
Nachbarhäufigkeiten rechts und links niedriger sind als die Häufigkeit am „Gipfelpunkt“.
26
Drei ähnliche – und doch deutlich verschiedene – annähernd „normale“ Verteilungen:
Verteilung 1
„100“
80
70
60
50
40
30
Häufigkeit
20
Std.abw. = 10,00
10
Mittel = 100,0
N = 322,00
0
5
2,
13
5
2,
11
,5
92
,5
72
,5
52
Verteilung 2
Meßwerte
„120“
80
70
60
50
40
30
Häufigkeit
20
Std.abw. = 10,00
10
Mittel = 120,0
N = 322,00
0
5
2,
13
„100“
5
2,
11
,5
92
,5
72
,5
52
Verteilung 3
Meßwerte
27
50
40
30
Häufigkeit
20
10
Std.abw. = 20,00
Mittel = 100,0
N = 322,00
0
5
2,
13
5
2,
11
,5
92
,5
72
,5
52
Meßwerte
Während die vorherigen Verteilungen noch einigermaßen „symmetrisch“ aussahen, folgen jetzt zwei stark
asymmetrische Verteilungen – wiederum Histogramme:
Verteilung 4
120
100
80
60
Häufigkeit
40
20
Std.abw. = 50,00
Mittel = 149,0
N = 322,00
0
0
0,
16
0
0,
12
,0
80
,0
40
0
0,
Meßwerte
Verteilung 5
120
100
80
60
Häufigkeit
40
20
Std.abw. = 50,00
Mittel = 41,0
N = 322,00
0
0
16
0
12
,0
,0
,0
80
,0
40
0
0,
Meßwerte
Die folgende Verteilung ist „u-förmig“, aber dennoch ziemlich symmetrisch:
Verteilung 6:
28
60
50
40
30
Häufigkeit
20
10
Std.abw. = 72,11
Mittel = 98,5
N = 322,00
0
16
12
80
0
0,
0
0,
,0
,0
0
40
0,
Meßwerte
In der „beschreibenden Statistik“ (auch „deskriptive“ Statistik genannt) wird nun der Versuch gemacht, über die
graphischen Mittel des Vergleichs von Verteilungen hinaus noch mathematische Hilfsmittel zu konstruieren, die
die Lage, die Streuung und die Form von Verteilungen auszudrücken gestatten. Dies hat Vorteile, wenn es
darum geht, den Vergleich von Häufigkeitsverteilungen nicht nur durch „Augenschein“ vorzunehmen, sondern
auf eine mathematische, besonders aber wahrscheinlichkeitstheoretische Grundlage zu stellen.
Die Problematik, die hierbei auftritt, besteht darin, optische Vergleichsvorgänge auf mathematische
Vergleichsverfahren zu reduzieren oder sie durch mathematische Verfahren zu präzisieren. Wenn z.B. die
beiden folgenden Flächen bezüglich ihrer Größe verglichen werden, dann kann durch den Augenschein kaum
entschieden werden, welche größer ist. Messe ich aber die Kanten und multipliziere sie miteinander, dann kann
die Frage genau entschieden werden.
Ähnlich ist es mit den Maßen der zentralen Tendenz:
Nehmen wir an, die „Mitte“ einer Meßwerte-Schar sei ein adäquater Ausdruck ihrer zentralen Tendenz. Was ist
aber die „Mitte“ ? Bei zwei Meßwerten ist das klar: Die Mitte wird durch die Hälfte der Strecke zwischen den
Meßwerten bestimmt. Bei drei Meßwerten ist das schon nicht mehr klar: Ist der „mittlere“ Meßwert von dreien
immer Repräsentant der Mitte aller drei Meßwerte, unabhängig davon, wie weit er von den beiden äußeren
Meßwerten entfernt ist ? Und wie ist das, wenn ich mehr als drei Meßwerte habe? Wie ist das bei
asymmetrischen Verteilungen, bei denen die größten Häufigkeiten nicht in einem mittleren Intervall liegen,
sondern am Rande ?
29
3.3.1.1 Maße der zentralen Tendenz und Lagemaße
Jedes Maß der zentralen Tendenz kann nur alle Werte einer Verteilung durch einen einzigen Wert „ersetzen“.
Diehl (Diehl, Joerg M.; Kohr, Heinz U.: Deskriptive Statistik, 12. Auflage 1999, S. 76 f) führt hierzu aus, daß
dieser Ersatz immer ein unvollkommener Ersatz ist, und er systematisiert die Fehler, die man bei den
verschiedenen Maßen der zentralen Tendenz macht, wenn man sie auf empirische Verteilungen anwendet.
Dieses Verfahren der Berechnung und Systematisierung der Fehler macht die Maße der zentralen Tendenz in
gewisser Weise in ihrer Brauchbarkeit und Unbrauchbarkeit einschätzbar.
Exkurs zum Summenzeichen
Bevor wir auf die formelmäßige Darstellung der Maße der zentralen Tendenz und der Streuung eingehen,
müssen wir ein mathematisches Symbol einführen, das Summenzeichen Σ (großer griechischer Buchstabe
„Sigma“). Es steht für die Vorschrift, eine Folge von Meßwerten aufzuaddieren, wobei aus dieser Folge eine
Reihe wird (vgl. unten, S. 102).
Eine Folge ist eine Menge von Zahlen, die in einer bestimmten Reihenfolge stehen. Eine arithmetische Folge
bzw. eine geometrische Folge sind besondere Folgen, die aus besonderen Regeln hervorgehen (s.u.). Beim Σ
wird - wenn dies sich nicht aus dem Zusammenhang ergibt - angegeben, von welchem bis zu welchem Glied der
Folge, auf die sich das Summierungszeichen bezieht, die Summierung durchgeführt werden soll. Die einzelnen
Glieder einer Folge werden - ihrer Stellung in der Folge nach - durchnumeriert und diese Nummer wird auch als
Index bezeichnet, der - in allgemeiner Form - oft durch die Buchstaben i oder j oder k ersetzt wird, wobei diese
Buchstaben tiefgestellt gedruckt werden. i, j oder k sind das sogenannte „Laufindizes“.
Beispiel:
Die Folge von Zahlen 3 5 8 2 2 1 0 8 9
kann auch bezeichnet werden mit
a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9
Bildet man die Summe der vier letzten Zahlen in dieser Folge, so ließe sie sich mathematisch wie folgt
ausdrücken:
9
∑a
i =6
i
= a6 + a7 + a8+ a9 = 1 + 0 + 8 + 9 = 18
Wie man sieht, steht unter dem ∑ ein Laufindex i, dessen erster Wert für den Summierungsvorgang unter dem ∑
und dessen letzter Wert über dem ∑ angegeben sind. Weitere Informationen und Übungsbeispiele finden sich zu
dieser Symbolik im Anhang.
Das Summenzeichen ist ein in der Statistik sehr häufig benutztes Symbol. Es ist daher sehr wichtig, mit ihm
sachgerecht umgehen zu können. Mit ihm werden in der Regel drei verschiedene - ebenfalls in der Statistik
verwendete Symbole - verknüpft:
30
xi als Symbol für Meßwerte
yj ebenfalls als Symbol für Meßwerte - aber Meßwerte einer anderen „Variablen“ „y“.
fk als Symbol für Häufigkeiten in bestimmten Klassen von Meßwerten.
3.3.1.2 Arithmetisches , geometrisches Mittel und harmonisches Mittel
Das arithmetische Mittel ergibt sich als Quotient aus der Summe der Meßwerte (Σxi), die man durch die
Menge der Meßwerte (N), [oder bei Stichproben (n)], [oder bei klassifizierten Daten Σfk] teilt. Das heißt, wir
können das arithmetische Mittel „x“ (sprich x-quer) in verschiedenen Schreibweisen ausdrücken:
n
x=
∑x
i =1
i
n
bzw.
x =
n
1
* ∑
n i=1
x
i
n
oder
x=
∑x
i =1
k
∑f
j =1
i
k
Hierbei bedeuten: xi Meßwerte i, i = 1,2,3....n
n Menge der Meßwerte
fk Häufigkeit in der Klasse k.
Das arithmetische Mittel ist im übrigen ein physikalisches Konzept, das auf die Hebelgesetze zurückgeführt
werden kann. Es entspricht dem Konzept des Schwerpunktes eines Körpers. Man nennt das arithmetische Mittel
deshalb "arithmetisch", weil es aus einer arithmetischen Folge immer genau die Mitte heraussucht!
Arithmetische Folgen sind solche, die durch fortlaufende Addition einer Konstante zu einem Betrag entstehen.
Die Folge
7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27.
wäre eine arithmetische Folge, die ab der Startzahl 7 durch fortlaufende Addition der Konstante 2 zum
Vorgängerwert entsteht. Ihr mittlerer Wert, der 6. von 11 geordneten Zahlen, ist 17. Er ist identisch mit dem
arithmetischen Mittel.
Das geometrische Mittel ist in Analogie zum arithmetischen Mittel konstruiert. Es sucht aus einer
geometrischen Folge den mittleren Wert heraus.
Hierbei gilt als geometrische Folge eine Folge, die durch fortlaufende Multiplikation einer Startzahl mit dem
gleichen Faktor erreicht wird, wie
31
3,5
17,5
87,5
437,5
2187,5
Diese Folge entsteht aus
3,5 * 50; 3,5 * 51;
3,5 * 52;
3,5 * 53
3,5*54....
Das geometrische Mittel sucht nun aus dieser Folge das mittlere Element heraus, also den Wert
3,5 * 52 = 87,5.
Die Formeln für das geometrische Mittel lauten:
1
n
n
xg =
n
∏x
i
i =1
1
n
log xi
∑
= ∏ xi =10 n i =1
i=1
n
Hinter dem letzten Gleichheitszeichen steht die logarithmische Schreibweise des geometrischen Mittels.
π ist (in Analogie zu Σ) die Vorschrift zu fortlaufender Multiplikation der Meßwerte (x1 * x2 * x3*...*xn).
(π ist hier also nicht die Kreiskonstante 3,14... !) Die logarithmische Schreibweise (s.o.) empfiehlt sich, wenn
die Produkte zu groß werden, um noch leicht mit ihnen rechnen zu können. Das ist immer der Fall, wenn n groß
ist.
Führt man für das o.a. Beispiel diese Rechnung aus, ergibt sich
[
x g = (3,5 * 5 * 3,5 * 5 * 3,5 * 5 * 3,5 * 5 * 3,5 * 5
(
5
0
10
= 3,5 * 5
)
1
5
1
2
3
4
)]
1
5
= 3,51 * 52 = 3,5 * 25 = 87,5
Analog zur arithmetischen Folge ergibt sich auf diese Weise bei echten geometrischen Folgen eine Identität von
Median und geometrischem Mittel.
Zu beachten ist, daß beim geometrischen Mittel keine Meßwerte verarbeitet werden können, die gleich oder
kleiner als Null sind. Tauchen solche Werte auf, dann sind alle Meßwerte vor Berechnung des geometrischen
Mittels durch Addition einer Konstante so zu transformieren, daß sie größer als Null sind. Vom geometrischen
Mittel dieser transformierten Werte wäre dann die Konstante wieder abzuziehen.
Neben dem arithmetischen und geometrischen Mittel existieren noch weitere Mittelwerte, die auf einer
harmonischen Folge aufbauen.
Eine harmonische Folge liegt in folgender Zahlenreihe vor:
1 1 1 1 1 1
1, , , , , , ....
2 3 4 5 6 7
Allgemein ausgedrückt:
32
1
xi
für xi = 1 bis n.
Das harmonische Mittel hat die Formel:
HM =
n
n
1
∑x
i =1
i
Führt man mit dieser Formel die Berechnung durch, dann ergibt sich das Resultat von 0,25, also ¼.
¼ ist der 4. Wert der obigen Reihe aus 7 Elementen, d.h. ¼ ist der mittlere Wert.
Praktisch wird das harmonische Mittel zum Beispiel auf Meßwerte angewendet, die sich auf Geschwindigkeiten
beziehen. Wenn ein Fahrradfahrer die ersten 10 km eine Geschwindigkeit von 15 km/h fährt, die zweiten 10 km
eine Geschwindigkeit von 18 km/h und die dritten 10 km eine Geschwindigkeit von 21 km/h, dann käme aus der
Rechnung als Durchschnittsgeschwindigkeit heraus: 17,66 km/h.
Diehl und Kohr (Deskriptive Statistik, a.a.O., S. 86) erwähnen noch das von Senders 1958 vorgestellte
„Kontraharmonische Mittel“:
n
KHM =
∑x
i =1
n
2
i
∑x
i =1
i
Es wird verwendet, wenn xi ein Wert ist, der seinerseits eine Häufigkeit bezeichnet wie die Anzahl der Kinder
pro Familie.
Beispiel:
Kinder pro Familie xi
2
3
5
KHM =
Anzahl der Familien fi
20
15
11
fixi
40
45
55
fixi²
80
135
275
490
= 3,5
140
Das durchschnittliche Kind kommt aus einer Familie mit 3,5, also 3 bis 4 Kindern (KHM).
Die durchschnittliche Familie hat aber nur 3,04 Kinder, wie man mit dem arithmetischen Mittel zeigen kann.
3.3.1.3. Der Median
Der Median (Md) bezeichnet in einer nach Größe geordneten, aber sonst beliebigen Meßwertfolge den
mittleren Wert der geordneten Folge, unabhängig vom Charakter der Folge:
Für die Folge
10,30,50,51,52,53,57
_
gilt: x=43,29;
(7 Meßwerte, der Größe nach geordnet, ungleiche Abstände)
Md = 51
33
Für obige Folge mit 7 Meßwerten ist der Median der 4. Meßwert. Er teilt die Meßwertfolge in zwei gleich große
Mengen.
_
In dieser Folge wäre x = 43,29, läge also zwischen dem 2. und 3. Meßwert. Die Ursache für die Abweichung
von Median und x ist der für diese Folge extrem kleine Wert 10.
Für arithmetische Folgen sind Median und arithmetisches Mittel identisch. Das gleiche gilt für alle
symmetrischen Verteilungen. (Hieraus ist jedoch nicht im Umkehrschluß abzuleiten, daß alle Verteilungen
symmetrisch sind, für die der Median und das arithmetische Mittel identisch sind. Wie man durch Ausprobieren
feststellen kann, gibt es auch leicht asymmetrische Verteilungen mit Identität von arithmetischem Mittel und
Median).
Betrachten wir noch einmal unsere Besucher des Tages der offenen Tür. 60 Besucher kamen, der Median mußte
also zwischen dem 30. und 31. Meßwert in der geordneten Reihe liegen. Dies sind die Meßwerte 21 und 22. Da
in Folgen, die eine geradzahlige Menge von Elementen haben, keine einzelne „mittlere“ Zahl vorkommt,
sondern immer zwei mittlere Zahlen, legt man in diesen Fällen den Median als das arithmetische Mittel der
beiden mittleren Zahlen fest. Daher ist der Median = 21,5. Das arithmetische Mittel ist für die Rohwerte x =
19,87. Median und arithmetisches Mittel sind hier also nicht identisch, da die Meßwerte keine arithmetische
Folge darstellen.
Wie wirken sich nun Klassifikationsvorgänge auf arithmetisches Mittel und Median aus?
3.3.1.4 Arithmetisches Mittel und Median bei klassifizierten Werten
Klassifizieren wir unsere Werte vom Tag der offenen Tür in Klassen mit der Breite 7, dann zeigt sich folgendes
Bild, in dem auch die Summe der Meßwerte pro Klasse berechnet wurde:
Klassengrenzen
Klassenmitten
Häufigkeiten fk
0 bis unter 7
x1 3,5
f1
7
Summe der
Meßwerte
pro Klasse
24,5
7 "
" 14
12
126,0
" 21
x2 10,5
x3 17,5
f2
14 "
f3
9
157,5
21 "
" 28
x4 24,5
f4
19
465,5
28 "
" 35
x5 31,5
f5
9
283,5
35 "
" 40
x6 38,5
f6
4
Σfk = 60
154,0
Σfkxi=1211
Die 1. Klasse von 0 bis unter 7 hat hier die Klassengrenzen 0 und 6,999...also die Klassenmitte 3,5. Da die
Statistiker hier die Konvention haben, wenn andere Informationen fehlen, anzunehmen, daß die Werte einer
Klasse in ihrer Mitte konzentriert sind, haben wir bei klassifiziert vorliegenden Werten in diesem Fall davon
auszugehen, daß 7 mal der Meßwert 3,5 vorliegt.
Das arithmetische Mittel x errechnet sich demgemäß aus
x=
f (x ) + f (x ) + ... + f (x )
∑f
1
1
2
2
6
6
k
=
7 * (3,5) + 12 * (10,5) + 9 * (17,5) + 19 * (24,5) + 9 * (31,5) + 4 * (38,5)
60
= 1211/60= 20,18 Jahre
34
Dieses Rechenergebnis für x ist mit dem für die Rohwerte berechneten ( x = 19,87) nicht identisch!
Die Nichtübereinstimmung resultiert aus der Ungenauigkeit der Klassenmitten als Repräsentanten aller Werte
pro Klasse.
Die maximale Abweichung des arithmetischen Mittels bei klassifizierten Werten vom "wahren Wert" beträgt
eine halbe Klassenbreite; sie träte ein, wenn alle Rohwerte auf der Klassenuntergrenze oder der Obergrenze
konzentriert wären, was praktisch aber nie der Fall ist.
Wie berechnen wir nun den Median bei klassifizierten Werten? Hierzu stellen wir fest, in welche der Klassen er
fällt. Er liegt im obigen Beispiel zwischen dem 30. und 31. Wert, da dort N = 60 ist.
Diese beiden Werte liegen in der 4. Klasse. Also wäre der Median = 24,5, d.h. identisch mit der Mitte der
Klasse, in die er fällt, wenn wir bei der Annahme bleiben, daß sich die Werte auf die Klassenmitte
konzentrieren.
3.3.1.5. Weitere Lagemaße: N-tile und Prozentränge
Während der Median genauso viele Meßwerte unter wie über sich hat, haben N-tile die Eigenschaft, die
geordneten Meßwerte auch in einem anderen Verhältnis zu teilen, z.B. im Verhältnis 25:75; 10:90; 75:25 und so
weiter. Bei 4 N-tilen spricht man von „Quartilen“, bei 10 N-tilen spricht man von „Dezilen“, man benutzt also
die lateinischen Zahlen zur Bildung dieser Begriffe. Wie schon bei der Medianberechnung kommt es auch hier
wieder darauf an,
•
•
•
ob ein konkreter Meßwert das N-til repräsentiert,
ein Wert zwischen zwei benachbarten Meßwerten,
oder eine Klassenmitte.
Für unser Beispiel von den Besuchern des Tages der offenen Tür 1985 können wir folgendes feststellen:
Ordnet man den Altersstufen nicht nur die absolute Häufigkeit zu, sondern auch die prozentuale Häufigkeit
(100*fk/n), und zählt man jede weitere prozentuale Häufigkeit zu der Summe der Vorgänger hinzu, dann erhält
man die in der letzten Spalte der unten stehenden Tabelle aufgeführten kumulierten prozentualen Häufigkeiten.
Sie sind identisch mit den Prozenträngen.
Von diesen unterscheiden sich die N-tile dadurch, daß sie durch die jeweiligen Klassengrenzen beeinflußt sind.
Für die Demonstration des Unterschieds nehmen wir wieder unsere Daten vom Tag der offenen Tür als Beispiel,
jetzt mit einer Klassifikation, bei der die Klassenbreiten gleich 6 sind und die Klassen von Null bis unter 6, von
6 bis unter 12 etc. definiert sind:
Altersangaben zum Tag der offenen Tür in der TU-Berlin
Gültig
3,00
9,00
15,00
21,00
27,00
33,00
39,00
Gesamt
Häufigkeit
7
5
13
10
13
8
4
60
Prozent
11,7
8,3
21,7
16,7
21,7
13,3
6,7
100,0
Gültige
Prozente
11,7
8,3
21,7
16,7
21,7
13,3
6,7
100,0
Kumulierte
Prozente
11,7
20,0
41,7
58,3
80,0
93,3
100,0
35
Für diese Daten sind die rechts in der Tabelle eingetragenen Werte (die kumulierten Prozente), wie schon
gesagt, gleich den Prozenträngen.
Fragt man nach den N-tilen, dann gibt es für diese Frage 2 Antworten: Entweder, man tut so, als würden die
Daten nur aus Angaben über die Klassenmitten bestehen. Aus dieser Annahme resultiert dann folgende Lösung
für 6 N-tile (in der nachfolgenden Tabelle mit Percentile bezeichnet):
OFFTU1
N
Mittelwert
Median
Perzentile
Gültig
Fehlend
16,66666667
33,33333333
50
66,66666667
83,33333333
60
0
20,7000
21,0000
9,0000
15,0000
21,0000
27,0000
33,0000
Die 5 in der Tabelle aufgeführten N-tile von insgesamt 6 N-tilen(oben als „Percentile“ bezeichnet), entsprechen
den Klassenmitten der Klassen, in die jeweils die N-tile (bzw. Percentile) fallen.
Nimmt man an, daß die Daten sich gleichmäßig jeweils über die gesamte Klassenbreite verteilen, dann resultiert
folgende Lösung des gleichen Problems aus obigen Daten:
OFFTU1
N
Mittelwert
Median
Perzentile
Gültig
Fehlend
16,66666667
33,33333333
50
66,66666667
83,33333333
60
0
20,7000
21,0000a
9,3333b
15,7826
21,0000
26,2174
31,8571
a. Aus gruppierten Daten berechnet
b. Perzentile werden aus gruppierten Daten berechnet.
Hier sind die N-tile (wiederum in der Tabelle als „Percentile“ bezeichnet) nicht mehr identisch mit den
Klassenmitten, sondern nehmen Werte an, die innerhalb der Intervalle der jeweiligen Klassen liegen. Formeln
für die Berechnung entsprechender N-tile finden sich bei Benninghaus (Hans Benninghaus, Einführung in die
sozialwissenschaftliche Datenanalyse, München 1990, S. 130ff) und Diehl/Kohr (Diehl, Joerg M und Kohr,
Heinz U.: Deskriptive Statistik, Verlag Dietmar Klotz, Frankfurt am Main, 12. Auflage, S. 57).
Diese Formeln, deren Handhabung ziemlich umständlich ist, werden hier nicht referiert. Da wir in der Praxis
sowieso meistens mit den Rohdaten und nicht mit den klassifizierten Daten rechnen, kommen diese Formeln
selten zur Anwendung. Sie sind aber in SPSS.10 verfügbar, und zwar über die Option „Daten sind aus
gruppierten Daten berechnet“ (s.o.).
3.3.1.6. Modi
Der Modus ist neben den Mittelwerten, N-tilen und Prozenträngen ein weiteres Lagemaß, mit dem wir uns
beschäftigen. Er ist die Bezeichnung für "Gipfelpunkte" (Modi) einer Verteilung. Gipfel sind solche Meßwerte
oder Klassenmitten, deren Häufigkeit größer ist als die der jeweils rechts und links benachbarten
36
Meßwerte oder Klassenmitten. Menge und Lage der Gipfelpunkte hängen stark von der Definition der
Klassengrenzen ab. So erzeugt eine Klassifikation unserer Daten vom Tag der offenen Tür 1985 bei einer
Klassenbreite von 3 und 7 unterschiedlich viele Modi, wie die folgenden Graphiken zeigen:
Altersverteilung am Tag der offenen Tür : 5 Gipfelpunkte
12
11
10
8
8
7
6
4
2
6
5
5
4
3
2
1
37,5
1
0
1,5
7,5
4,5
13,5
10,5
19,5
16,5
25,5
22,5
3
2
2
31,5
28,5
34,5
40,5
Klassenmitten bei Klassenbreite 3
Altersverteilung am Tag der offenen Tür: Zwei Gipfelpunkte
20
19
12
10
9
9
7
4
0
3,5
10,5
17,5
24,5
31,5
38,5
Klassenmitten bei Klassenbreite 7
Während bei der Klassenbreite 3 noch 5 Gipfel vorhanden sind, bleiben nur noch 2 Gipfel bei Klassenbreite 7
übrig. Wie sich hier zeigt, ist der Modus extrem anfällig für Klassifikationsunterschiede. Er scheidet daher für
einen Vergleich dann aus, wenn verschiedene Klassenbreiten vorliegen. Weiterhin ist zu betonen, daß der
Modus vor allem dann nützlich für einen Vergleich ist, wenn er nur einmal auftritt. Treten mehrere Modi auf,
wählt beispielsweise SPSS.10 den kleinsten Meßwert aus, dem ein Modus entspricht. Das hieße für obige
Graphik mit den zwei Modi, daß der Wert 10,5 als Modus angegeben werden würde, nicht aber der Wert 24,5,
dem der Modus mit der absolut größten Häufigkeit entspricht.
3.3.1.7. Relative, prozentuale und kumulierte Häufigkeiten; Wahrscheinlichkeit
Der Vergleich zwischen Verteilungen aufgrund "absoluter" Häufigkeiten (fk) ist schwierig, wenn man
verschieden große Stichproben einander gegenüberstellt. Um Vergleiche auch zwischen Stichproben und
Grundgesamtheiten verschiedenen Umfangs sinnvoll durchführen zu können, ist es nützlich, statt der absoluten
Häufigkeiten "relative" Häufigkeiten anzugeben. Hierbei teilt man die absoluten Häufigkeiten einfach durch n
(die Menge der Fälle) und schon ist ein Vergleich möglich, allerdings auch wiederum nur auf der Grundlage
identischer Klassengrenzen. Die relativen Häufigkeiten sind definiert als
Relative Häufigkeit =
f
n
k
=
1
*
n
f
k
37
Hierbei gelten die Beziehungen:
l
l
∑
k =1
∑f
fk = n ;
k =1
k
n
=1
Das heißt, die Summe aller relativen Häufigkeiten ist immer gleich 1. k ist hier der Laufindex für die Klassen,
der zum Beispiel bei 6 Klassen die Werte 1 bis 6 durchläuft.
Multiplizieren wir die relativen Häufigkeiten mit 100, dann machen wir aus ihnen "prozentuale"
Häufigkeiten, also die "Prozente", die oben in der Tabelle schon berechnet wurden.
Prozentuale Häufigkeit =
100 *
f
k
n
Relative Häufigkeiten kennen wir in der Alltagssprache meistens nur als "Wahrscheinlichkeiten": "Ich wette
10:1, daß Du nicht gern Statistik lernst, weil nur 1/10 (oder nur 10 %) der Studenten erfahrungsgemäß Spaß an
diesem Fach haben".
Die Wahrscheinlichkeit, einen Studenten zu treffen, der das Fach gern hat, müßte bei dieser Wette 1/10, also
0,1 sein oder 10 % sein. Wir sehen, daß die alltagssprachliche Definition der Wahrscheinlichkeit identisch ist
mit der Definition der relativen Häufigkeit. Bei der Wahrscheinlichkeit werden die "zutreffenden" Fälle (also im
Beispiel die Studenten, die gern Statistik lernen) durch die Menge aller Studenten geteilt, die das Fach lernen;
die Formel lautet:
Anzahl der für E zutreffenden Fälle
p (E) =
Anzahl der insgesamt möglichen Fälle
Die Formel bedeutet: Die Wahrscheinlichkeit p für das Eintreten des Ereignisses E ist gleich dem Quotienten
aus den Fällen, bei denen E eintritt, und allen möglichen Fällen des Experiments.
Für die prozentualen Häufigkeiten gilt, daß ihre Summe gleich 100 ist:
l
∑ f
k =1
n
k
* 100 =
l
∑f
k
∑f
k
k =1
l
k =1
* 100 = 100
Weil die Summe der relativen Häufigkeiten gleich 1 ist, leuchtet es ohne weiteres ein, daß die Summe der
prozentualen Häufigkeiten immer gleich 100 ist. Allerdings erhalten wir wegen der Rundungsfehler „nach dem
Komma" nur selten den exakten Wert von 100 %, wenn wir Prozente - wie bei den oben gezeigten kumulierten
Prozenten - addieren.
Die folgende Grafik zeigt die kumulierten Prozente der Altersangaben vom Tag der offenen Tür 1985.
Eingezeichnet sind waagerecht die Teilungslinien, die wir bei Sextilen erhalten würden; man kann in der
Graphik sehr deutlich den Unterschied zwischen Prozenträngen und N-tilen sehen: Die Prozentränge
entsprechen den kumulierten Prozenten an der Obergrenze der jeweiligen Klasse, die N-tile – je nach
38
Konvention – der Klassenmitte jener Klasse, in die der N-til-Wert fällt, oder einem bestimmten Wert in dieser
Klasse:
Besucher des Tages der offenen Tür in der TU
Berlin 1985
100
98
100
38
43
93
80
80
Kumulative Prozent
60
63
45
40
33
20
18
10
0
3
8
13
18
23
28
33
Um nun mit prozentualen Häufigkeiten vergleichend umzugehen, stellen wir unsere Daten vom Tag der offenen
Tür aus Jahr 1985 anderen Daten aus dem Jahr 1986 gegenüber, die ebenfalls am Tag der offenen Tür erhoben
wurden:
Geordnete Angaben von Besuchern des Tages der offenen Tür über ihr Lebensalter vom 1.6.1986:
0,0,0,0,1,1,1,2,2,3,3,4,4,5,5,6,7,8,8,8,8,8,8,9,10,10,11,11,12,12,13,13,13,13,14,14,15,15,17,17,17,17,17,18,18,1
9,19,20,20,20,21,21,21,22,22,22,22,24,24,24,24,24,25,25,26,26,28,28,29,29,29,29,31,32,32,32,32,33,33,33,34,3
4,34,34,34,34,36,39,39,39,40,40,40,40,41,42,44,44,45,45,45,45,45,45,46,49,49,49,49,50,51,51,52,52,53,53,54
Zunächst erfolgt der Vergleich auf der Grundlage absoluter Zahlen:
Vergleich der Altersverteilungen der Besucher am Tage der offenen Tür 1985 und 1986
in der Technischen Universität (aufgrund von klassifizierten Werten mit der Klassenbreite 5):
39
Besucher der Tage der offenen Tür in der TU-Berlin
nach Alter in den Jahren 1985 und 1986
16
15
14
14
13
12
12
11
10
11
11
10 10
9
8
8
8
8
7
6
Absolute Werte
11
6
5
4
JAHR
4
3
2
1985
1
0
3
8
13
18
23
28
33
38
1986
43
48
53
Wie man sieht, ist der Vergleich der absoluten Häufigkeiten von beiden Aufstellungen der Jahre 1985 und 1986
nicht sehr fruchtbar, weil wir z.B. zwar feststellen können, daß in der 5. Klasse (der ca. 23 - jährigen) 1985 11
Personen kamen, 1986 waren es 15. Wir können aber aus dieser Feststellung noch nicht schließen, daß 1986 die
Häufigkeit in der Altergruppe „23“ angestiegen ist, denn diese scheinbar geringe Zunahme wird durch die
Information zweifelhaft, daß 1986 insgesamt fast doppelt soviel wie 1985 kamen, nämlich 117 Personen statt
60: Vergleicht man die Prozente, dann wird aus der scheinbaren Zunahme ein dramatischer Rückgang der
Besucherzahl in dieser Altersgruppe. Vergleichen wir deshalb einmal die Prozentzahlen:
Besucher der Tage der offenen Tür in der Tu-Berlin
nach Alter in den Jahren 1985 und 1986
20
18
17
15
13
13
10
12
12
11
10
9
10
9
9
9
8
7
7
JAHR
Prozent
5
3
1985
2
0
3
8
13
18
23
28
33
38
43
1986
48
53
Es zeigt sich, daß in der Gruppe der ca. 23-jährigen 1986 nur noch 13% der Besucher waren, 1985 waren es
immerhin 18%.
Zugleich zeigt der Vergleich auch, daß sich die Besucher 1986 auf eine größere Spannweite (Range) verteilen.
Der älteste Besucher 1985 war 40, 1986 war er über 50. Die größere Streuung im Alter 1986 führt dazu, daß bei
den älteren Gruppen eine gewaltige Zunahme zu verzeichnen ist, bei vielen jüngeren Gruppen eine Abnahme.
40
Eine weitere Möglichkeit, empirische Verteilungen zu vergleichen, ist der Vergleich der kumulierten
prozentualen Häufigkeiten. Hierbei wird, wie oben schon ausgeführt, bei jeder der Verteilungen die prozentuale
Häufigkeit der 2. Klasse zur prozentualen Häufigkeit der 1. Klasse hinzuaddiert, die der 3. Klasse zu dieser
Summe und so fort. Dieses Verfahren nennt man "Aufwärtskumulation". Es endet beim Wert "100%". Das
folgende graphische Beispiel ist durch Aufwärtskumulation der prozentuierten Häufigkeiten der Besucher in den
Jahren 1985 und 1986 beim Tag der offenen Tür gewonnen, wobei wieder die Klassenbreite 5 zugrundeliegt.
Besucher der Tage der offenen Tür in der Tu-Berlin
nach Alter in den Jahren 1985 und 1986
100
100
98
80
93
84
80
74
60
63
100100
100
93
77
62
Kumulative Prozent
53
45
40
40
33
20
18
0
31
JAHR
21
1985
10 11
3
1986
8
13
18
23
28
33
38
43
48
53
Die Interpretation kumulierter Häufigkeiten ist folgende (die folgenden Beispiele sind der obigen Graphik
entnommen): Wenn man davon ausgeht, daß die Klassengrenzen von über 0 bis 5, von über 5 bis 10 etc.
verlaufen, und daß es sich in der obigen Graphik um aufgerundete Klassenmitten handelt, dann kann man
aufgrund der Graphikwerte sagen:
1985 waren 80 % der Besucher bis zu 30 Jahre alt. 1986 waren es nur 62 %.
1985 waren 63 % der Besucher bis zu 25 Jahre alt, 1986 waren es nur 53 %
1985 waren 7 % älter als 35 Jahre, 1986 waren 26 % älter als 35 Jahre
1985 waren 2 % älter als 40 Jahre, 1986 waren 23 % älter als 40 Jahre.
Für die Darstellung kumulierter Verteilungen benützt man in der Regel Summenpolygone, die bei
Aufwärtskumulieren durch Streckenzüge von der Untergrenze der kleinsten Klasse zur Obergrenze der höchsten
Klasse nach Maßgabe der addierten Werte gewonnen werden. Die addierten Prozente beginnen bei 0 und enden
bei 100 %, wenn die Obergrenze der höchsten Klasse erreicht ist. Die beiden Altersverteilungen von den Tagen
der offenen Tür in der TUB 1985 und 1986 werden in der folgenden Liniengrafik verglichen, die die gleiche
Information enthält wie die oben wiedergegebene Balkengrafik mit dem Vergleich der kumulierten,
prozentualen Häufigkeiten. Unten ist allerdings die Klassenbreite 1 gewählt worden:
41
100
Kumulierte Prozente
80
60
40
Jahr
20
1985
0
0
6
3
12
9
19
15
25
22
31
28
39
34
46
42
54
1986
51
Alter
Die waagerechten Linien in der Grafik entsprechen den Quartilen. Die Grafik zeigt die Unterschiede der
Verteilungen sehr deutlich: Besonders beim dritten Quartil ergeben sich große Differenzen des Alters.
3.3.1.8. Zur unterschiedlichen Leistung der verschiedenen Mittelwerte.
Jedes Maß der zentralen Tendenz – so wurde oben ausgeführt – versucht, alle Werte einer Verteilung durch
einen einzigen Wert „ersetzen“. Dieser Ersatz ist immer ein unvollkommener Ersatz. Daher ist es sinnvoll die
Fehler zu systematisieren, die man bei den verschiedenen Maßen der zentralen Tendenz macht, wenn man sie
auf empirische Verteilungen anwendet. Dadurch werden die Maße der zentralen Tendenz in gewisser Weise in
ihrer Brauchbarkeit und Unbrauchbarkeit einschätzbar.
Wie Diehl und Kohr in ihrem Lehrbuch zur deskriptiven Statistik (a.a.O. S. 76 ff) ausführen, wird für jede Art
des Mittelwertes ein bestimmter Fehler, den man mit der Gleichsetzung aller Meßwerte mit einem beliebigen
Wert „a“ macht, minimiert.
Wenn man z. B. behauptet, in der Verteilung der Meßwerte 1,3,6,9,11 käme nur der Meßwert 6 (hier das
arithmetische Mittel) vor, dann hätte man ein gutes Maß für die damit verursachten Fehler in der Summe der
Abweichungsquadrate der Meßwerte vom arithmetischen Mittel. (Die Summe der Abweichungen zwischen
arithmetischem Mittel und Meßwerten (unquadriert) allein wäre kein gutes Maß, weil sie für das arithmetische
Mittel Null ergibt und für Werte, die größer als das arithmetische Mittel sind, negative Summen ergibt).
Die Summe der Abweichungsquadrate (SAQ) ist:
∑ (x
n
SAQ =
i =1
i
−x
)
2
Wir berechnen : (1-6)² + (3-6)² + (6-6)² + (9-6)² + (11-6)² = 68. Diese Zahl ist kleiner als
alle Summen, die wir erzielen, wenn wir in die Formel der Abweichungsquadrate einen größeren oder kleineren
Wert anstelle von x eingesetzt hätten. Wir probieren das aus:
(1-7)² + (3-7)² + (6-7)² + (9-7)² + (11-7)² = 73;
(1-4)² + (3-4)² + (6-4)² + (9-4)² + (11-4)² = 88;
73 > 68
88 > 68
Daher gilt:
Für das arithmetische Mittel ist der „minimierte Fehler"
n
∑ (x
i =1
i
− a ) ; d.h. wenn a = x , ist der nebenstehende Ausdruck ein Minimum.
2
Für den Median ist der „minimierte Fehler“
42
n
∑ x − a ; d.h. wenn a = Md ist, ist der nebenstehende Ausdruck ein Minimum.
i =1
i
Für den Modus ist der „minimierte Fehler“
n - fa ; d. h., wenn „a“ der Index der Modalklasse ist, ist der nebenstehende Ausdruck ein Minimum
(vorausgesetzt, es gibt nur einen Modus).
3.3.2. Streuungsmaße: Range, Quartilabstand, durchschnittliche, absolute und
quadrierte Abweichungen vom Mittelwert, Varianz und Standardabweichung
Während die bisherigen Beobachtungen sich darauf bezogen, welche Meßwertpunkte zur Charakterisierung von
empirischen Verteilungen herangezogen werden konnten, wird jetzt die Betrachtung auf die Heranziehung von
Intervallen zur Charakterisierung von Verteilungen ausgeweitet. Wir gehen insofern von den Lagemaßen zu
den Streuungsmerkmalen oder Streuungsmaßen über. (Man spricht in diesem Zusammenhang auch von
Lokalisationsmaßen und Dispersionsmaßen, das klingt gelehrter, ist aber nur eine lateinische Bezeichnung für
den gleichen Sachverhalt, nämlich für Lage- und Streuungsmaße).
Der Range („Eingriffsspielraum; Spannweite“) stellt die Differenz zwischen dem größten und dem kleinsten
Meßwert dar. Er gibt an, wie groß dieser Bereich ist. Er ist ein primitives Streuungsmaß, das nur bei sehr großen
Stichproben herangezogen werden sollte, und dann nur in Verbindung mit anderen Streuungsmaßen.
Ein weiteres einfaches Streuungsmaß ist der "Quartilabstand", also die Differenz vom 1. zum 3. Quartil.
Er ist für die Daten vom Tag der offenen Tür von 1985 gleich 26 - 12,25 = 13,75; (Halber Quartil-Abstand =
6,875). (Berechnet mit SPSS.10).
Da der Quartilabstand nur die Lage der mittleren 50% aller Meßwerte charakterisiert, die Verteilung der äußeren
50% aber ignoriert, suchte man in der Vergangenheit nach anderen Charakteristika für die Streuung, die alle
Meßwerte einbeziehen. Hierbei fand man zwei Maße, von denen sich eines schließlich durchsetzte.
Zunächst versuchte man, das arithmetische Mittel der Differenz aller Meßwerte vom arithmetischen Mittel
als Streuungsmaß zu benutzen. Der Nachteil hierbei war, daß die Differenz aller Meßwerte vom arithmetischen
Mittel gleich Null ist (siehe oben). Nimmt man aber von den einzelnen Differenzen nur den (immer positiven)
„Betrag“, dann erhält man ein Streuungsmaß, daß als AD-Streuung in der Literatur auftaucht:
n
AD =
∑
i =1
xi − x
n
Die senkrechten Striche in der Formel sind die sogenannten „Betragsstriche“, die jede der hier ausgerechneten
Differenzen in einen positiven Betrag verwandeln.
Für unsere Daten vom Tag der offenen Tür betragen die so gebildeten durchschnittlichen Abweichungen von
x:
43
n
AD =
∑
xi − x
i =1
= 8,5767
n
(für 1985)
Wir können nun in diese Formel statt des arithmetischen Mittels auch versuchsweise den Median anstelle von
x einsetzen und berechnen, welches Ausmaß die dann resultierende Streuung hat. Das Ergebnis ist:
n
ADMd =
∑x
i =1
i
− Md
n
= 8,5
Es zeigt sich, daß dieses Ergebnis kleiner ist als das der mit dem arithmetischen Mittel erzielte.
Hiernach wäre es zweckmäßig (wenn die Daten besser zur Verwendung des Medians statt des arithmetischen
Mittels bei Berechnung eines Mittelwertes geeignet erscheinen) als Maß der Streuung die durchschnittliche
absolute Abweichung vom Median zu wählen, was allerdings in der Praxis selten geschieht, da diese
Berechnung in Computerprogrammen für Statistik nicht als Routine vorgesehen ist..
_
Sucht man nun nach einem Streuungsmaß, das für x eine analoge Minimierungsbedingung erfüllt, dann findet
man es in der Varianz bzw. in der Standardabweichung (siehe hierzu unsere Ausführungen zum minimierten
Fehler).
Die Varianz von Grundgesamtheiten ist definiert als arithmetisches Mittel der quadrierten Abweichungen der
Meßwerte xi vom arithmetischen Mittel der Grundgesamtheit µ. (N ist die Zahl der Elemente der
Grundgesamtheit.)
σ2 =
1 N
(xi − µ )2
∑
N i =1
Für Stichproben ist aus Gründen einer möglichst erwartungstreuen "Parameter"-Schätzung die Formel
abzuwandeln in
1 n
(xi − x )2
s =
∑
n − 1 i =1
2
Parameter sind - in der Terminologie bestimmter Lehrbücher der Statistik - Bezeichnungen für Lokalisationsund Streuungsmaße, wenn diese sich auf die Grundgesamtheit beziehen. Sie werden mit kleinen griechischen
Buchstaben bezeichnet. Ist die Stichprobe gemeint, wird oft von "Kennwerten" gesprochen, die mit
lateinischen Buchstaben belegt werden.
In der Stichprobe ist n die Stichprobengröße. Im Nenner der Stichprobenvarianz steht n-1 statt n. Durch
n-1 im Nenner wird die Stichprobenvarianz etwas größer. Die Gefahr der Unterschätzung der
Grundgesamtsheitsvarianz soll sich hierdurch verringern.
Da nun die Beträge der Varianz wegen der Quadrierung sehr groß sind
s2 = 105,85 (für die Daten vom Tag der offenen Tür 1985)
verwendet man als optisch anschauliches Streuungsmaß die Quadratwurzel der Varianz, die auch
"Standardabweichung" genannt wird. Die Stichprobenstandardabweichung hat die Formel:
s=
n
2
1
* ∑ (x i − x )
n − 1 i =1
44
Diese Formel ist zwar einfach und noch relativ anschaulich, in der Praxis jedoch umständlich zu berechnen,
wenn man sie mit Taschenrechner oder auf dem Papier berechnet (siehe unten), weil man vorher das
arithmetische Mittel ausrechnen muß und dann erst die Standardabweichung ermitteln kann. Die Formel
entspricht dem unten demonstrierten „Rechengang 1“.
Es ergibt sich für unsere Daten vom Tage der offenen Tür 1985: s = 10,289
3.3.2.1. Berechnungsweise für die Varianz und die Standardabweichung nach
einer vereinfachenden Formel
Versuchen wir die Varianz für irgendeinen Datensatz "zu Fuß" (Rechengang 1) zu berechnen, dann bemerken
wir, daß
_
(1) zunächst x bestimmt werden muß
_
(2) die quadrierten Differenzen von xi und x sehr große Werte
erbringen,
so daß sehr viel Mühe entsteht. Hieraus entwickelt sich das Bedürfnis nach vereinfachter Berechnungsweise
(Rechengang 2). Man formte die Formel für s² (und s) so um, daß nur noch folgende Ausdrücke berechnet
werden müssen, um s² (bzw. s) zu ermitteln:
(1) n
(2) Σ xi
(3) Σ xi²
Hat man diese Ausdrücke ermittelt, dann kann man sie leicht in die vereinfachte Formel (des Rechengangs 2)
einsetzen:
n
s2 =
∑x
i =1
2
i
1 n 2
∑
n i =1 xi
n −1
−
45
n
2
n 2
n * ∑ x i − ∑ x i
i =1
i =1
=
n(n − 1)
Um beide Rechengänge zu demonstrieren, sollen im folgenden die Varianz und die Standardabweichung (für die
ersten 10 Werte vom Tage der offenen Tür in der TU 1985) berechnet werden:
Rechenbeispiel für die zwei Rechengänge der Ermittlung von Varianz und Standardabweichung
Rechengang 1
x1 =26.00
x2 =39.00
x3 = 5.00
x4 =40.00
x5 =21.00
x6 =22.00
x7 =31.00
x8 =15.00
x9 =38.00
x10=30.00
Berechne x
∑Xi=267.00
n=10.00
x =∑Xi/n=26,70
Berechne xi- x
26.00-26.70= - 0,70
39.00-26.70= 12,30
5.00-26.70= - 21,70
40.00-26.70= 13,30
21.00-26.70= - 5,70
22.00-26.70= - 4,70
31.00-26.70= 4,30
15.00-26.70= - 11,70
38.00-26.70= 11,30
30.00-26.70=
3,30
(x1 - x )²= 0,49
(x2 - x )²=151,29
(x3 - x )²=470,89
(x4 - x )²=176,89
(x5 - x )²= 32,49
(x6 - x )²= 22,09
(x7 - x )²= 18,49
(x8 - x )²=136,89
(x9 - x )²=127,69
(x10 - x )²= 10,89
Rechengang 2
Es werden die folgenden Ausdrücke gebildet:
∑Xi=267.00
∑Xi2=8277,00
n= 10.00
Aus diesen wird der Ausdruck s2 gebildet:
s2 =
=
n
2
n
2
n∑ xi − ∑ xi
i =1
i =1
n * (n − 1)
10 x 8277 − 71289
10 * ( 9)
=127,57
Die Wurzel daraus ist s
s = 127,57 = 11,3
46
∑(Xi - x )²= 1148,10
VARIANZ =
∑ (x − x )
n
s2 =
i =1
2
i
= 127,57
n −1
Standardabweichung=S=Wurzel aus Varianz= 11.3
Mit Hilfe von Taschenrechnern, die eine Summenfunktion haben, ist nun heutzutage die Standardabweichungsberechnung stark vereinfacht. Man gibt z.B. beim HP-Rechner fortlaufend die Werte für xi einfach mit dem
Befehl Σ+ ein, und nach jeder dieser Eingaben bildet der Rechner automatisch auf den sogenannten "StatistikRegistern" die Ausdrücke: Σ fk (=n), Σ xi und Σ xi ², wie bei Rechengang 2. Dieser 2. Rechengang ist daher
der wesentlich ökonomischere, wenngleich unanschaulichere.
Bei klassifizierten Häufigkeitsverteilungen multipliziert man die jeweiligen Meßwerte (bzw.
Meßwertquadrate) immer mit der Häufigkeit jener Klasse „k“, in der sie als Klassenmittelpunkte
auftauchen:
n
s2 =
∑ fk x
i =1
2
i
2
1 n
f
x
∑
n i =1 k i
n −1
−
Beispiel: Wir klassifizieren unsere Daten vom Tag der offenen Tür 1985 mit der Klassenbreite 10 und erhalten:
OFFTUE10
Gültig
5,00
15,00
25,00
35,00
45,00
Gesamt
Häufigkeit
11
16
21
11
1
60
Wir berechnen:
n = 60
l
∑f x
k =1
k i
= 11*5+ 16*15 + 21*25 + 11*35 + 1*45 = 1250
47
l
∑f x
k =1
2
k i
= 11*5²+ 16*15² + 21*25² + 11*35² + 1*45² = 32500
und erhalten
Statistiken
OFFTUE10
N
Gültig
Fehlend
Mittelwert
Standardabweichung
Varianz
60
0
20,8333
10,4625
109,4633
3.3.3. Daten auf dem Ordinal- und Nominal-Niveau. Lage- und Streuungsmaße
Von den oben beschriebenen Lage- und Streuungsmaßen fallen beim Ordinalniveau alle die fort, die die
Information über Abstände voraussetzen. Es können bei Ordinalskalen nicht mehr berechnet werden:
_
x (arithmetisches Mittel)
s2 (Varianz)
S (Standardabweichung)
Noch berechnet werden können: Absolute und relative sowie prozentuale Häufigkeiten, Prozentränge, der
Median und N-tile. Allerdings wäre die Berechnung des mittleren Quartil-Abstands nicht sinnvoll, da hier ja
keine Abstands-Informationen vorliegen. Der Modus ist ebenfalls berechenbar.
Bei Nominalskalen bleiben absolute, relative und prozentuale Häufigkeiten sowie der Modus erhalten. Median,
N-tile und Prozentränge fallen fort, da die Anordnung der Kategorien beliebig ist, auf die sich die Häufigkeiten
beziehen.
4. Wahrscheinlichkeit und theoretische Verteilungen
Unabhängig von inhaltlichen Fragen der Deutung liefert die theoretische "schließende" Statistik zahlreiche
Probleme der formalen Deutung von empirischen Stichprobendaten, deren Lösung nur mit Hilfe von
wahrscheinlichkeitstheoretischen Überlegungen auf der Grundlage von theoretischen Verteilungen gefunden
werden kann.
4.1. Begriff Wahrscheinlichkeit
Bei der Erörterung der relativen Häufigkeit hatten wir schon den Bruch kennengelernt, der die relative
Häufigkeit definiert, nämlich
Anzahl der Fälle einer bestimmten Art
Anzahl aller möglichen Fälle
Beispiel: In unseren Daten aus 1985 waren 7 Personen bis unter 6 Jahre alt. Insgesamt erhielten wir 1985 60
Personen-Altersangaben. Die relative Häufigkeit in der genannten Altersklasse beträgt damit
7
= 0,117 aufgerundet
60
Würde man nun aus der Menge der 60 Personen zufällig eine Person herausgreifen, dann wäre die
Wahrscheinlichkeit, daß sie im Alter von 0 bis unter 6 Jahren ist, gleich sieben Sechzigstel. Da im gleichen
48
Datensatz 12 der Personen ein Alter bis unter 12 Jahre haben, wäre die Wahrscheinlichkeit, eine Person mit
unter 12 Jahren zufällig auszuwählen, gleich 12/60= 0,20.
Da die älteste Person 40 ist, wäre die Wahrscheinlichkeit, eine Person mit "bis unter 42 Jahren" Lebensalter
zufällig auszuwählen, gleich 1.
Wir können noch viele weitere solcher Betrachtungen anstellen, sollten diese aber erst vornehmen, wenn wir die
grundsätzlichen Regeln des Rechnens mit Wahrscheinlichkeiten kennengelernt haben.
Diese lauten:
1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A kann höchstens 1 sein.
2. Ist sie gleich 1, so ist das Ereignis "sicher". Ist sie gleich 0, ist das Ereignis
unmöglich.
3. Einander ausschließende Ereignisse haben Wahrscheinlichkeiten, die "additiv"
sind.
4. Einander überlappende Ereignisse haben Wahrscheinlichkeiten, die „additiv“
sind, minus der Wahrscheinlichkeit des Überlappungsbereichs.
5. Voneinander unabhängige Ereignisse haben eine Wahrscheinlichkeit, gleichzeitig aufzutreten, die ihrem Produkt entspricht.
6. Sind zwei Ereignisse A und B voneinander abhängig, dann ist die
Wahrscheinlichkeit,
daß B unter der Voraussetzung eintritt, daß A zuvor eingetreten ist, gleich dem
Quotienten aus der Wahrscheinlichkeit, daß A und B eintritt, geteilt durch die
Wahrscheinlichkeit, daß A eingetreten ist !
Mathematisch ausgedrückt, sehen die obigen Regeln wie folgt aus:
1.
0 ≤P(A) ≤ 1
2. Wenn P(A) = 1, ist das Ereignis „sicher“. Wenn P(A) = 0, ist das Ereignis „unmöglich“. So ist es sicher, daß
beim Würfeln irgendeine der Zahlen oben liegt, unmöglich ist, daß keine der Zahlen oben liegt.
3. Sind A und B einander ausschließende Ereignisse, so ist die Wahrscheinlichkeit, daß das eine oder das andere
Ereignis eintrifft gleich P(A+B) = P(A) + P(B).
Zur dritten Regel ist am Beispiel unserer Daten aus 1985 festzustellen, daß die relative Häufigkeit im Alter bis
zu 12 gleich 0,20 war. Die relative Häufigkeit im Alter von 36 bis unter 42 war 0,0667. Beide Altersklassen
schließen sich gegenseitig aus, denn niemand kann gleichzeitig unter zwölf und älter als 36 sein. Infolgedessen
ist die Wahrscheinlichkeit, eine Person, die entweder unter 12 oder 36 und älter ist, zufällig auszuwählen,
gleich 0,20 + 0,0667 = 0,2667.
4. Sind A und B einander nicht ausschließende Ereignisse, dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß A oder B
eintrifft, gleich P(A+B) = P(A) + P(B) – P (A∩B).
Zur der vierten Regel kann man anhand der Daten aus 1985 fragen, wie wahrscheinlich es ist, daß eine Person
entweder unter 17 Jahre alt ist, oder zwischen 10 und (einschließlich) 25 Jahre alt. Die Wahrscheinlichkeit, daß
eine Person unter 17 ist, beträgt für die Daten aus 1985 0,4 (oder 40 %). Die Wahrscheinlichkeit, daß eine
Person zwischen 10 und 25 Jahre alt ist, beträgt 0,517 (oder 51,7%). Die beiden Bereiche überlappen sich im
Intervall von 10 bis 16. Die Wahrscheinlichkeit daß eine Person in dieses Intervall fällt, beträgt 0,217. Wir
können daher die Wahrscheinlichkeit, daß eine Person entweder unter 17 Jahre alt ist oder zwischen 10 und
(einschließlich) 25 Jahre durch die Rechnung 0,4 + 0,517 - 0,217 = 0,7 beantworten. Die gesuchte
Wahrscheinlichkeit beträgt 70 %.
5. Sind A und B zwei voneinander unabhängige Ereignisse, dann ist die Wahrscheinlichkeit, daß sie gemeinsam
eintreffen, gleich P(AB) = P(A) * P(B).
Zur fünften Regel könnte man fragen, wie wahrscheinlich es ist, daß beim Tag der offenen Tür zweimal
hintereinander jemand kommt, der männlich ist. Wenn die Annahme zutrifft, daß in der Grundgesamtheit 50%
49
der Menschen männlich waren, und wäre das Geschlecht der jeweils nachfolgenden Person unabhängig vom
Geschlecht der vorhergehenden Person, dann könnte man die gesuchte Wahrscheinlichkeit mit pm,m = 0,5²
bestimmen, also dem Produkt aus 0,5*0,5.
6. Ist das Eintreten des Ereignisses B davon abhängig, daß das Ereignis A vorher eingetreten ist (bedingte
Wahrscheinlichkeit), dann gilt:
P(B│A) =
P( A ∩ B)
P( A)
Ein Beispiel hierfür wäre das Ziehen von Kugeln aus einer Urne mit 6
durchnumerierten Kugeln mit den Zahlen 1 bis 6 ohne Zurücklegen.
Wenn ich hier wissen will, wie wahrscheinlich es ist, zweimal eine 6 zu ziehen, dann ist die Lösung nicht mehr
6² sondern Null, da die Wahrscheinlichkeit, eine zweite 6 zu bekommen, gleich Null wird, wenn die 6 schon
beim ersten Male gezogen wurde.
Eine nochmalige Übersicht über die Formeln und grundlegenden Definitionen der Wahrscheinlichkeitsrechnung
findet man in diesem Skript in einer weiteren Tabelle in Kapitel 4.4.2.5., wo auch noch weitere Beispiele
geliefert werden.
4.2 Theoretische Verteilungen
4.2.1 Allgemeines
Wie bei den empirischen Verteilungen müssen wir bei den theoretischen Verteilungen unterscheiden, welche
Voraussetzungen gegeben sein müssen, um eine solche Verteilung zu definieren. Zu diesen Voraussetzungen
zählen u.a. Eigenschaften von Variablen, die wir als „diskret“ oder „stetig“ bezeichnen.
4.2.2 Diskrete Ereignisse
Wir hatten oben schon zwischen stetigen und diskreten Merkmalen unterschieden. Dabei waren die diskreten
Merkmale solche, für die nur bestimmte, aber nicht alle Werte einer Skala auftreten können. Wären in einer
Statistik zum Beispiel die Tage der offenen Tür in einer Woche als "Montag", "Dienstag" ... etc. definiert,
würden die Besuchszeiten nur hiernach erfaßt, dann würde man die Besuchszeiten nicht mit einer stetigen
Funktion abbilden können.
4.2.3 Stetige Ereignisse
Das Lebensalter und das Einkommen, mit denen wir uns oben beschäftigt haben, sind im Prinzip als stetige
Variablen definierbar, wenn auch in der Praxis nur bestimmte Meßpunkte genannt werden.
Um zu stetigen Ereignissen zu kommen, ist mindestens Intervallniveau der Messung erforderlich. Für stetige
Funktionen gilt zusätzlich, daß sie differenzierbar sein müssen (Steigung muß feststellbar sein).
4.3.Beispiele für theoretische Verteilungen
4.3.1 Gleichverteilung - diskret
Wir greifen auf das eingangs referierte Würfelbeispiel zurück. Ein Würfel habe sechs Flächen und sei vom
Gewicht her gleichmäßig. Jede der Flächen hat die "theoretische" Wahrscheinlichkeit von 1:6, nach einem Wurf
'oben zu liegen'.
Wir können - wie oben schon getan - für diesen Fall die Wahrscheinlichkeiten graphisch darstellen:
50
20
17
17
17
17
17
17
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
Prozent (aufgerundet)
10
0
WÜRFEL
Jedem einzelnen der möglichen Ereignisse wird eine Strecke mit der Länge "ein Sechstel"
(≈ 17 %)zugeordnet. Die Summe dieser Strecken ist gleich 1.
4.3.2 Gleichverteilung - stetig
Hätten wir nun anstelle des Würfels einen Zufallszahlengenerator, der uns im Bereich 0 bis einschließlich 6
Zahlen produziert, die beliebig fein differenziert werden können, also beliebig viele Stellen nach dem Komma
haben können, dann müßten wir die o.a. Darstellung umwandeln in folgende Graphik:
Gleichverteilung in sechs Intervallen auf einer Ratioskala:
,5
Warscheinlichkeitsdichte
,4
Das Besondere dieser
Darstellung liegt darin, daß
nicht die Strecken, sondern die
Fläche unter der Kurve f (x)
als Produkt von
,3
,2
,1
6*
0,0
0
1
2
3
4
5
6
1
=1
6
die Zahl 1 ergibt.
Stufenlose Simulation von Zahlen zwischen 0 und 6
Die Kurve f (x) (hier die Parallele zur x-Achse) heißt deshalb auch nicht "Wahrscheinlichkeit", sondern
Wahrscheinlichkeits-Dichte. Den einzelnen Zufallszahlen in dem Intervall von 0 bis 6 kann keine einzelne
Wahrscheinlichkeit mehr zugeordnet werden, sondern nur noch Intervallen wie z.B. dem Intervall
4 bis 5,5
Da die Länge dieses Intervalls gleich 1,5 ist, ist die Wahrscheinlichkeit, einen Zufallswert in diesem Intervall zu
bekommen, gleich
1,5 *
1 1,5
=
= 0,25
6 6
51
Für den Fall, daß unser Intervall, für das die Gleichverteilung definiert ist, nicht von Null begrenzt wird, führen
wir als Grenzen allgemein die Untergrenze a und die Obergrenze b ein. In der folgenden Graphik sind
a = 1 und
b = 8.
Wahrscheinlichkeitsdichte
1,0
,8
,6
,4
,2
0,0
1
2
3
4
5
6
7
8
Zufallszahlen von 1 bis 8
Eine allgemeine Gleichung für die "Gleichverteilung" lautet dann:
f ( x) =
1
für a<x<b
b−a
Der Mittelwert ist für diese Gleichverteilung mit
µ=
a+b
2
gegeben. Die Varianz kann nach der Formel
2
σ =
(b − a)
2
12
berechnet werden. Entsprechend ist die Standardabweichung mit
σ=
(b − a)
2
12
gegeben. (Vgl. Bosch, Wahrscheinlichkeitsrechnung, S. 128 f)
4.4. Kombinatorik als Voraussetzung zur Herleitung von theoretischen
Verteilungen
Zunächst müssen wir den Begriff des Ereignisraums einführen. Ein Ereignisraum ist die Menge aller
theoretisch möglichen Ergebnisse (Elementarereignisse) eines Zufallsexperiments, zum Beispiel die Menge aller
Möglichkeiten, mit 2 Würfeln eine Zahlenkombination zu werfen.
Solche Ereignisräume werden als Permutationen oder Kombinationen beschrieben.
Es soll im folgenden zunächst eine zusammenfassende Darstellung der Definitionen und ein Überblick über die
Formeln gegeben werden. Danach werden die einzelnen Fälle noch einmal anhand von Beispielen erläutert.
52
(1) PERMUTATIONEN
(1.1) Ohne Wiederholung: Menge der möglichen Veränderungen der Reihenfolge aller Elemente einer
Menge von verschiedenen Elementen.
Formel: Permutionsmenge =
n!
(1.2) Mit Wiederholung: Menge aller möglichen Veränderungen der Reihenfolge aller Elemente einer
Menge von teilweise identischen Elementen in den Teilmengen n1, n2, ... nk
Formel: Permutationsmengeid =
n!
n1! n2 !Λ
n!
k
(2) KOMBINATIONEN
(2.1) Ohne Zurücklegen
(2.1.1) ohne Berücksichtigung der Anordnung:
Mengen von k verschiedenen Elementen aus der Menge n verschiedener Elemente
ohne Unterscheidung der Anordnung (Kombinationen k-ter Ordnung)
KomboWoA
n
n!
=
k !( n − k ) ! k
=
(Den letztgenannten Ausdruck liest man „n über k“. Hier fehlt kein Bruchstrich, die Zahlen stehen in den
Klammern übereinander. Es handelt sich hier um den sog. Binomialkoeffizienten).
(2.1.2) mit Berücksichtigung der Anordnung:
Mengen von k verschiedenen
Elementen aus der Menge n verschiedener Elemente
mit Unterscheidung der Anordnung (wird auch
VARIATION k-ter Ordnung ohne Wiederholung
genannt)
Formel
KomboWmA =
n!
(n − k) !
(2.2) mit Zurücklegen
(2.2.1) ohne Berücksichtigung der Anordnung:
Mengen von k Elementen aus n
verschiedenen Elementen, die unbeschränkt oft
wiederholt auftauchen können, ohne
Berücksichtigung der Anordnung
Formel
n + k − 1
=
mWoA
k
Komb
53
(2.2.2) mit Berücksichtigung der Anordnung
Mengen von k Elementen aus n
verschiedenen Elementen, die unbeschränkt oft
wiederholt - mit Berücksichtigung der Anordnung auftauchen können (=VARIATION MIT WIEDERHOLUNG).
KombmWmA =
nk
Zur Systematik der verschiedenen Fälle der Kombinatorik können wir uns merken, daß wir zur Auffindung der
relevanten Formel folgende Fragen stellen müssen:
- Geht es um Teilmengen aus einer größeren Menge (Kombinationen)
oder um die größere Menge allein sowie um die Reihenfolge ihrer
Elemente (Permutationen) ?
- Enthält die größere Menge n nur verschiedene Elemente
("ohne Wiederholung/ohne Zurücklegen") oder auch teilweise identische Elemente
("mit Wiederholung, mit Zurücklegen") ?
- Kommt es bei den Teilmengen auch auf die Anordnung an ("mit
Berücksichtigung der Reihenfolge") oder nicht ("ohne Berücksichtigung der Reihenfolge") ?
Nun zu konkreten Beispielen:
4.4.1. Permutationen
Permutationen: Veränderungen der Anordnung einer Menge von n verschiedenen Elementen einer Menge:
Permutionsmenge =
n!
Beispiel: In einer Urne sind drei Kugeln, eine grüne, eine rote, eine blaue. In wieviel verschiedenen
Reihenfolgen können sie gezogen werden, wenn man nach dem Ziehen keine zurücklegt ?
Lösung: GRB, GBR, RGB, RBG, BGR, BRG
Das sind 6 Möglichkeiten, die sich aus 3*2*1 errechnen lassen, also aus 3! = 6
Sind in der Urne nun 3 gelbe Kugeln, 3 rote Kugeln und zwei blaue Kugeln, dann wäre - ohne Zurücklegen - die
Permutationsmengeid =
n!
n1! n2 !Λ
n!
k
Die Menge der möglichen Reihenfolgen ließe sich berechnen aus
8!/(3!*3!*2!) = 560.
54
4.4.2 Kombinationen
4.4.2.1. Kombinationen ohne Zurücklegen mit Unterscheidung der Anordnung
Greift man aus einer Menge verschiedener Elemente einen Teil der Elemente (ohne Zurücklegen) heraus und
fragt, wieviele verschiedene KOMBINATIONEN (im Unterschied zu den Permutationen) dabei entstehen
können, die sich auch durch die Anordnung unterscheiden, dann ergibt sich, daß die fragliche Menge der
Kombinationen nach der Formel
KomboWmA =
n!
(n − k) !
ermittelt werden kann.
Beispiel: Ein Lotto-Unternehmer bringt ein neues Spiel auf den Markt, in dem aus 29 Zahlen 5 Zahlen
auszuwählen sind, ohne Zurücklegen – und es soll bei der getippten Lösung auf die Reihenfolge (Anordnung)
der Ziehung ankommen !
Wie groß ist die Chance, 5 richtige in der richtigen Reihenfolge zu bekommen ? Die Menge aller möglichen
Reihenfolgen beträgt:
29!/ 24! = 14.250.600
Folglich ist die Chance, 5 richtige in der richtigen Reihenfolge zu bekommen,
p (5) = 1/ 14.250.600.
4.4.2.2. Kombinationen ohne Zurücklegen ohne Unterscheidung der
Anordnung
Unterscheidet man im letztgenannten Fall die Ergebnisse nicht danach, in welcher Reihenfolge (Anordnung)
die Zahlen gezogen werden, dann lautet die Formel:
KomboWoA
=
n
n!
=
k !( n − k ) ! k
Für unseren o.a. Fall würden nur noch
29!/ (5!* 24!) = 118755
verschiedene Möglichkeiten existieren. Das heißt: die Menge der Möglichkeiten wird kleiner.
Hinweis:
n
k
Der Ausdruck
entspricht den Binomial-Koeffizienten, auf die wir weiter unten noch zu sprechen kommen.
4.4.2.3 Kombinationen mit Zurücklegen unter Berücksichtigung der Anordnung
55
Wenn das Lottospiel nun so konstruiert ist, daß aus 29 numerierten Kugeln 5 ausgewählt werden, wobei die
gezogene Kugel immer zurückgelegt wird, und unterscheidet man die sich ergebenden Kombinationen auch
nach der Anordnung, dann errechnet man die Menge der sich ergebenden Kombinationen aus
nk = 295 = 20.511.149
4.4.2.4 Kombinationen mit Zurücklegen ohne Berücksichtigung der Anordnung
Berücksichtigen wir die Anordnung, also die Reihenfolge, in der die 5 aus den 29 Kugeln gezogen werden,
nicht, dann reduziert sich die Menge der Kombinationen (bei Zurücklegen) erheblich:
n + k − 1
(lies: n + k - 1 über k)
k
Die Formel lautet:
Setzt man die Werte aus obigem Beispiel ein, dann ergibt sich
n + k − 1
=
KombmWoA k = (29 + 5 - 1)!/ (5 ! (29 +5-1 -5)!) = 33 ! / (5! 28!) = 273.336
4.4.2.5. Anwendung dieser Formeln auf ein Beispiel: Urne mit 6 Kugeln
Das folgende soll eine Urne mit 6 numerierten Kugeln sein:
4
6
1
3
5
2
Anhand dieser Urne wollen wir uns die 6 Fälle der Kombinatorik erarbeiten.
Wenn wir eine Kugel blind, d.h. zufällig, entnehmen, können wir vorher nicht wissen, welche Kugel das sein
wird. Entnehmen wir alle 6, dann kennen wir die Reihenfolge nicht, in der wir sie ziehen werden. Fragen wir
uns, wieviele mögliche Reihenfolgen, die alle verschieden sind, wir beim Ziehen aller sechs Kugeln bekommen
können, dann lautet die Antwort:
n ! = 6 ! = 6*5*4*3*2*1 = 720.
Man nennt dieses Problem: Permutation ohne Wiederholung (alle Kugeln sind verschieden).
Das folgende soll eine Urne mit 6 numerierten Kugeln sein, aber die Nummern sind nicht alle verschieden, die 3
und die vier tauchen zweimal auf:
4
4
1
3
3
2
Fragen wir uns, wieviele mögliche unterscheidbare Reihenfolgen wir beim Ziehen aller sechs Kugeln
bekommen können, dann lautet die Antwort:
56
n!
720
=
= 180
n1!*n2 ! 2!*2!
Man nennt diese Problem: Permutation mit Wiederholung (alle Kugeln sind nicht alle verschieden, sondern
die 3 kommt zweimal vor (n1 ist im Nenner deshalb gleich 2), und die 4 kommt auch zweimal vor (n2 ist im
Nenner deshalb auch gleich 2).
Stellen wir uns vor, wir ziehen aus einer Urne mit 6 von 1 bis 6 durch-numerierten Kugeln zweimal zufällig eine
Kugel, die wir jeweils nach dem Ziehen zurücklegen, und werten wir die Ergebnisse auch unter
Berücksichtigung der Reihenfolge der gezogenen Zahlen aus, dann können wir die in der folgenden Tabelle
aufgeführten Ergebnisse bekommen. Die beiden Zahlen in den Zellen der Tabelle zeigen die gezogene
Kombination nach der Durchführung der 1. und zweiten Ziehung.
In der grau unterlegten Vorspalte stehen die möglichen Ergebnisse der ersten Ziehung, in der grau unterlegten
Kopfzeile stehen die Ergebnisse der zweiten Ziehung, in den Zellen der Tabelle stehen die möglichen
Kombinationen aus erster und zweiter Ziehung – wie gesagt: bei Zurücklegen der Kugel und Berücksichtigung
der Reihenfolge der gezogenen Kugeln.
Die Menge der Möglichkeiten beträgt:
nk = 6² = 36
Erste
Ziehung
Zweite Ziehung
1
2
3
4
5
6
1
2
3
4
5
6
11
12
13
14
15
16
21
22
23
24
25
26
31
32
33
34
35
36
41
42
43
44
45
46
51
52
53
54
55
56
61
62
63
64
65
66
Dieses Problem heißt: Menge der Kombinationen aus k Elementen, die aus einer Menge von n Elementen
mit Zurücklegen gezogen werden, unter Berücksichtigung der Reihenfolge.
Würden wir obige Ergebnisse nicht nach der Reihenfolge unterscheiden, die bei der Ziehung entsteht, dann
wären z.B. die Kombinationen 21 und 12 identisch, so daß wir einige Zellen aus der Tabelle streichen könnten.
Es bleiben nur 21 gefüllte Zellen übrig. Dieses Ergebnis, 21, errechnen wir mit der oben mitgeteilten Formel:
57
n + k − 1
=
k
6 + 2 − 1
=
2
7
7!
= =
2!(7 − 2)! 2
7*6
= 21
2
Zu beachten ist, daß die Zellen der Hauptdiagonale mit den Kombinationen 11, 22, 33 etc. nicht wegfallen, denn
sie haben ja keine Doppelgänger, die gestrichen werden, wenn nicht mehr nach der Reihenfolge unterschieden
wird.
Hier das Ergebnis nach Streichung der „Doppelgänger“
Erste
Ziehung
Zweite Ziehung
1
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
11
21
22
31
32
33
41
42
43
44
51
52
53
54
55
61
62
63
64
65
66
Dieses Problem heißt: Menge der Kombinationen aus k Elementen, die aus einer Menge von n Elementen
mit Zurücklegen gezogen werden, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
Bleibt man aber bei der Berücksichtigung der Reihenfolge, verzichtet aber beim Ziehen auf das
Zurücklegen der Kugeln, fällt jetzt in der Tabelle die Hauptdiagonale weg, es bleiben aber alle übrigen
Zelleninhalte erhalten. Der Wegfall der Hauptdiagonale geschieht deshalb, weil ja z.B. nach Ziehung der 1 die 1
nicht noch einmal vorkommen kann.
Die Formel zur Berechnung der verbleibenden Kombinationen lautet (s.o.)
n!
= 6! / 4! = 6 * 5 = 30.
(n − k )!
Die Ergebnisse sind in der folgenden Tabelle festgehalten:
58
Erste
Ziehung
Zweite Ziehung
1
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
6
12
13
14
15
16
23
24
25
26
34
35
36
45
46
21
31
32
41
42
43
51
52
53
54
61
62
63
64
56
65
Dieses Problem heißt: Menge der Kombinationen aus k Elementen, die aus einer Menge von n Elementen
ohne Zurücklegen gezogen werden, mit Berücksichtigung der Reihenfolge.
Berücksichtigt man die Reihenfolge der gezogenen Kugeln nicht und verzichtet beim Ziehen auf das
Zurücklegen, dann fällt in der folgenden Tabelle nicht nur die Hauptdiagonale weg, sondern auch alle
„Doppelgängerfelder“(z. B. für die Kombination „43“ der Doppelgänger „34“). Es verbleiben dann nur noch die
Zelleninhalte der Zellen unterhalb der Hauptdiagonale (sofern man bei Zweierkombinationen immer die größere
Zahl voranstellt):
Die Berechnung der Menge der verbleibenden Zellen (Menge der möglichen Kombinationen) geschieht nach der
Formel für den Binomialkoeffizienten (siehe mathematischer Anhang im Dieckmann – Text):
n
6
n!
6!
= =
= = 15
k!(n − k )! k 2!(6 − 2)! 2
Erste
Ziehung
Zweite Ziehung
1
1
2
3
4
5
6
2
3
4
5
21
31
32
41
42
43
51
52
53
54
61
62
63
64
65
6
59
Dieses Problem heißt: Menge der Kombinationen aus k Elementen, die aus einer Menge von n Elementen
ohne Zurücklegen gezogen werden, ohne Berücksichtigung der Reihenfolge.
Alle unsere Beispiele setzten k = 2 und n = 6 voraus. Natürlich kann n auch jede andere ganze positive Zahl
annehmen und k kann alle Zahlen von 0 bis n annehmen.
Allgemein gesprochen haben wir nun zwei Fälle der Permutation kennengelernt und vier Fälle der Kombination.
Bei der Permutation wurden alle Kugeln entnommen und gefragt wurde nach der Menge der möglichen
Reihenfolgen. Im ersten Fall waren alle Kugeln verschieden, im zweiten teilweise identisch.
Die vier Fälle von Kombinationen unterschieden sich darin, daß die Kugeln zurückgelegt wurden, oder nicht,
und daß es bei den entnommenen Kugeln auf die Reihenfolge ankam oder nicht.
Wenden wir uns nun noch einmal der Terminologie der Wahrscheinlichkeitsrechnung zu.
Dort spräche man, wenn man solche Dinge tut, wie Kugeln aus einer Urne zu ziehen, von einem
Zufallsexperiment. Das Ziehen von k Kugeln aus n Kugeln hätte dann den Namen „Zusammengesetztes
Ereignis“ und – weil zu diesem Ereignis meistens mehrere einzelne Kugeln gehören, bekommen diese den
Namen „Elementar-Ereignis“. Die in der Wahrscheinlichkeitsrechnung interessierenden Ereignisse können
zusammengesetzte oder Elementarereignisse sein.
Die Kombinatorik gibt uns die Antwort auf die Frage, wie groß der Ereignisraum für ein spezifisches
Zufallsexperiment ist, das entweder Elementarereignisse oder zusammengesetzte Ereignisse betrifft.
Betrachten wir wiederum unsere Urne mit den 6 verschiedenen Kugeln:
4
6
1
3
5
2
Ziehen wir nur eine der Kugeln heraus, dann fragen wir uns, wie wahrscheinlich es ist, z. B. die 4 zu ziehen.
Dabei benutzen wir den Begriff der Wahrscheinlichkeit. Dieser kann, als „klassischer“
Wahrscheinlichkeitsbegriff, wie folgt definiert werden:
P (A) =
Zahl der int erressierenden Fälle
Zahl aller gleichmöglichen Fälle
Diesem klassischen Begriff der Wahrscheinlichkeit steht ein statistischer Begriff der Wahrscheinlichkeit
gegenüber, bei dem P(A) eine Zahl ist, die bei langen Versuchsreihen immer besser angenähert wird: Wenn ich
aus unserer Urne erst 10, dann 100, dann 1000 mal eine Kugel ziehe und dann jedesmal die Menge der
gezogenen Sechsen durch die Menge aller Experimente teile, dann nähert sich das Ergebnis immer mehr dem
Wert 1/6 an. 1/6 wäre hier ein Grenzwert. Daher kann man schreiben:
60
P(A) = lim hn/N
wobei hn die Menge der geworfenen Sechsen wäre, N die Menge der Experimente.
In der axiomatischen Fassung des Wahrscheinlichkeitsbegriffs geht man nun von folgenden Festlegungen
aus:
Satz
Formel
Die Wahrscheinlichkeit des
0 ≤ P (A) ≤ 1
Ereignisses A kann durch eine
Zahl P(A) ausgedrückt
werden, die mindestens 0,
maximal 1 beträgt.
Ist das Ereignis „sicher“, dann P(A) = 1 = P (S).
ist P(A) = 1.
S ist das „sichere“ Ereignis.
Additionsatz für einander
ausschließende Ereignisse:
P (A ∪ B) = P(A) +
P(B)
Additionssatz für einander
nicht ausschließende,
beliebige Ereignisse:
P (A ∪ B) = P(A) +
P(B) – P (A ∩ B)
Die Wahrscheinlichkeit des
P ( ) = 1 – P (S) = 0
unmöglichen Ereignisses U ist
gleich Null
Die Wahrscheinlichkeit, daß
P (A) ∪ P(Nicht A)= 1
von zwei komplementären
Ereignissen wenigstens eines
eintritt, ist gleich 1
Die Wahrscheinlichkeit des
gleichzeitigen Auftretens von
zwei sich gegenseitig
P (A ∩ B) = 0
Beispiel
Die Wahrscheinlichkeit, aus
einer Urne mit 6 verschieden
numerierten Kugeln eine
bestimmte Zahl zu ziehen, ist
1/6 liegt also zwischen 0 und
1
Die Wahrscheinlichkeit, eine
beliebige von den
vorhandenen Zahlen zu
ziehen, ist gleich 1
Die Wahrscheinlichkeit, eine
3 oder eine 6 zu ziehen ist
gleich 2 /6
Kommentar
Die Wahrscheinlichkeit, daß
die gezogene Zahl
gleichzeitig dem Bereich 1
Einander
ausschließende
Ereignisse können
Schließen sich zwei
Ereignisse im
Experiment
gegenseitig aus, dann
ist die
Wahrscheinlichkeit,
daß entweder das
eine oder das andere
auftritt, gleich der
Summe ihrer
einzelnen
Wahrscheinlichkeiten
.
Man zieht aus 52 Karten eine Schließen sich zwei
Karte und fragt, wie
Ereignisse im
wahrscheinlich es ist, daß
Experiment nicht
diese ein As oder Karo ist.
gegenseitig aus, dann
Die Wahrscheinlichkeit, ein
ist die
As zu ziehen, ist 4/52, die
Wahrscheinlichkeit,
Wahrscheinlichkeit, Karo zu daß entweder das
ziehen, ist 13/52. Die
eine oder das andere
Wahrscheinlichkeit, das Karo auftritt, gleich der
As zu ziehen ist 1 /52. Daher Summe ihrer
ergibt sich:
einzelnen
Wahrscheinlichkeiten
P (A ∪ B)= 4/52 + 13/52 –
, minus des Inhalts
1/52.
ihrer Schnittmenge
Die Wahrscheinlichkeit, aus
unserer Urne eine 7 zu
ziehen, ist Null
Die Wahrscheinlichkeit,
Komplementäre
entweder eine Zahl im
Ereignisse können
Bereich von 1 bis 3 oder eine nur zwei Ereignisse
Zahl im Bereich von 4 bis 6 sein.
zu ziehen, ist gleich 1.
61
ausschließenden Ereignissen
ist gleich Null.
bis 3 und dem Bereich 4 bis 6 mehr als 2 sein.
angehört, ist gleich Null.
Multiplikationsatz für
voneinander unabhängige
Ereignisse:
P (A ∩ B) = P(A) *
P(B)
Wahrscheinlichkeit, zweimal
die 1 mit Zurücklegen zu
ziehen, ist 1/6 * 1/6 = 1 /36.
Durch das
Zurücklegen ist das
zweite Ereignis vom
ersten unabhängig
Multiplikationssatz für
voneinander abhängige
Ereignisse
P (A ∩ B) = P (A) *
P(B│A)
Die Wahrscheinlichkeit für
das gleichzeitige Auftreten
zweier Ereignisse A und B ist
gleich dem Produkt der
Wahrscheinlichkeit des ersten
Ereignisses A mit der
bedingten Wahrscheinlichkeit
des Ereignisses B, die unter
der Voraussetzung berechnet
wurde, daß das Ereignis A
schon eingetreten war.
Beispiel: Die
Wahrscheinlichkeit, zweimal
die 1 ohne Zurücklegen zu
ziehen ist gleich 1/6 * 0 = 0
Durch das
„Entnehmen ohne
Zurücklegen“
verändern sich die
Wahrscheinlichkeiten
für die zweite
Ziehung
Exkurs zur Berechnung der Summe von Zahlenfolgen und der
Häufigkeit von Würfelsummen; Würfelbeispiele zur Kombinatorik
Die Menge der Zellen unter- oder oberhalb der Hauptdiagonale ist auch durch die Formel
(n* (n-1)) /2 = (6 * 5) /2 = 15 zu errechnen. Das Ergebnis ist gleichzeitig die Summe der Zahlen von 1 bis n-1,
also für unser Beispiel :
1 +2+3+4+5= 15.
Die Summe der Zahlen von 1 bis n errechnet sich aus einer ähnlich einfachen Formel, nämlich
(n * (n+1)) /2 = 1+2+3+4+5+6 = 21.
Diese Formeln sind von großem Nutzen, wenn wir die Summe großer Zahlenbereiche bilden wollen, wie z. B.
die Summe aller Zahlen von 1 bis 10000:
(10000 * (10000 + 1)) / 2= 50 000 5000.
Wollen wir die Summe der Zahlen von 2001 bis 5000 bestimmen, dann rechnen wir nur die Summe der Zahlen
von 1 bis 5000 aus und subtrahieren die Summe der Zahlen von 1 bis 2000:
(5000 * (5001)/2) – (2000 *(2001)/2) = 10 501 500.
62
Das folgende ist ein Rechenverfahren zur Ermittlung der Häufigkeit von Würfelsummen mit Würfeln beliebiger
Flächenzahl. Wir beginnen mit Würfeln, die nur zwei Flächen haben, auf denen die Zahlen 1 und 2 aufgetragen
sind. Diese Würfel, Münzen vergleichbar, erzeugen binomial-verteilte Häufigkeiten ihrer Summe, wenn
angenommen wird, daß zuerst mit einem Würfel, dann mit zwei Würfeln, dann mit drei Würfeln, dann mit vier
Würfeln etc. geworfen wird. Das Rechenverfahren ist folgendes: Wir tragen die Häufigkeiten der möglichen
Würfelsummen senkrecht in die folgende Tabelle ein. Wenn beim Werfen mit einem Würfel die Zahlen 1 und 2
jeweils nur einmal vorkommen können, sind das die Häufigkeiten 1 und 1. Diese sind links oben in der Tabelle
senkrecht untereinander eingetragen. Nun tragen wir sie in die nächste Spalte noch einmal ein, aber um eine
Zeile nach unten versetzt. Jetzt addieren wir zeilenweise diese versetzt eingetragenen Häufigkeiten und erhalten
eine neue Spalte mit den Häufigkeiten für die Würfelsummen mit zwei Würfeln: 1 2 1. (Die Würfelsummen
selber tauchen in der Tabelle nicht auf, es wären hier die Summen 2, 3 und 4). Die erhaltenen Häufigkeiten
tragen wir wieder – um eine Zeile nach unten versetzt – in die nächste Spalte ein und addieren. Wir erhalten die
Häufigkeiten für die Würfelsummen von drei Würfeln: 1 3 3 1 (für die Summen 3 4 5 6). Bei einem Würfel mit
zwei Seiten erhalten wir mit diesem Verfahren die Binomialkoeffizienten, wie auch in der Kopfzeile der
folgenden Tabelle angegeben wurde.
1
k
2
k
3
k
4
k
5
k
6
k
7
k
8
k
9
k
1
Wü
rfel
1
1
1
1
2
Wü
rfel
1
2
1
1
2
1
3
Wü
rfel
1
3
1
3
3
1
3
1
4
Würf
el
1
4
6
4
1
5
Wü
rfel
1
5
10
10
5
1
6
Wü
rfel
1
6
15
20
15
6
1
7
Wü
rfel
1
7
21
35
35
21
7
1
8
Wü
rfel
1
8
28
56
70
56
28
8
1
9
Wü
rfel
1
9
36
84
126
126
84
36
9
1
10
k
10
Würf
el
1
1
1
1
1
1
1
10
4
5
6
7
8
9
45
6
10
15
21
28
36 120
4
10
20
35
56
84 210
1
5
15
35
70
126 252
1
6
21
56
126 210
1
7
28
84 120
1
8
36 45
1
9
10
1
1
Was ist aber zu tun, wenn wir die Flächenzahl des Würfels variieren ? Die Anweisung lautet dann: Die
Häufigkeiten werden nicht nur zweimal, um eine Zeile versetzt in die nächste Spalte geschrieben, sondern
entsprechend der Flächenzahl dreimal: Beispiel für einen Würfel mit drei Flächen:
1
2
3
4
5
6
7
Wü
Wü
W
Wü
Wü
Wü
Würf
rfel
rfel
ürf
rfel
rfel
rfel
el
el
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
3
1
4
1
5
1
6
1
7
1
1
1
3
2
1
6
3
1
10 4
1
15 5
1
21 6
1
28
1
1
2
3
2
8
6
3
17 10 4
31 15 5
51 21 6
78
1
1
2
3
6
8
6
20 17 10 47 31 15 93 51 21 165
1
2
3
6
8
17 20 17 54 47 31 132 93 51 276
1
1
3
6
10 17 20 47 54 47 148 132 93 373
1
3
4
10 17 31 47 54 132 148 132 412
1
1
4
10 15 31 47 93 132 148 373
1
4
5
15 31 51 93 132 276
1
1
5
15 21 51 93 165
1
5
6
21 51 78
1
1
6
21 28
1
6
7
1
1
63
Beispiel für die Berechnung der Häufigkeit von Würfelsummen bei
Würfeln mit 6 Flächen:
1
Wü
rfel
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
W
ürf
el
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
3
Wü
rfel
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
1
3
6
10
15
21
25
27
27
25
21
15
10
6
3
1
4
Würf
el
1
3
6
10
15
21
25
27
27
25
21
15
10
6
3
1
1
3
6
10
15
21
25
27
27
25
21
15
10
6
3
1
1
3
6
10
15
21
25
27
27
25
21
15
10
6
3
1
1
3
6
10
15
21
25
27
27
25
21
15
10
6
3
1
1
3
6
10
15
21
25
27
27
25
21
15
10
6
3
1
1
4
10
20
35
56
80
104
125
140
146
140
125
104
80
56
35
20
10
4
1
64
Exkurs mit Würfelbeispielen zur Kombinatorik
Man habe mit dem obigen Verfahren ausgerechnet, wie häufig mit 6 Würfeln folgende Würfelsummen geworfen
werden können und noch einiges mehr, was im folgenden abgedruckt ist:
Würfelsumme mit 6 Würfeln
Würfelsumme Häufigkeit
6,00
7,00
8,00
9,00
10,00
11,00
12,00
13,00
14,00
15,00
16,00
17,00
18,00
19,00
20,00
21,00
22,00
23,00
24,00
25,00
26,00
27,00
28,00
29,00
30,00
31,00
32,00
33,00
34,00
35,00
36,00
Gesamt
Gültige Kumulierte Prozente
Prozente
1
,0
,0
6
,0
,0
21
,0
,1
56
,1
,2
126
,3
,5
252
,5
1,0
456
1,0
2,0
756
1,6
3,6
1161
2,5
6,1
1666
3,6
9,6
2247
4,8
14,5
2856
6,1
20,6
3431
7,4
27,9
3906
8,4
36,3
4221
9,0
45,4
4332
9,3
54,6
4221
9,0
63,7
3906
8,4
72,1
3431
7,4
79,4
2856
6,1
85,5
2247
4,8
90,4
1666
3,6
93,9
1161
2,5
96,4
756
1,6
98,0
456
1,0
99,0
252
,5
99,5
126
,3
99,8
56
,1
99,9
21
,0
100,0
6
,0
100,0
1
,0
100,0
46656
100,0
Würfelsumme bei sechs Würfeln - Kennwerte
N Gültig
46656
Mittelwert
Standardfehler
des
Mittelwertes
Median
Modus
Standardabwei
chung
Varianz
Spannweite
Summe
Perzentile
21,0000
1,937E-02
21,0000
21,00
4,1833
17,5004
30,00
979776,00
25 18,0939
50 21,0000
75 23,9061
65
Der Spieler möchte vor dem Hintergrund dieser Daten folgendes wissen:
Wie groß sind die Chancen für
•
•
•
6 Einsen ?
(1 /46656)
6 Sechsen ?
(1 /46656)
die Würfelsumme bis einschließlich 17 ?
•
•
•
die Würfelsumme größer als 17 ?
(79,4%)
zwei Dreien und vier Vieren ?
Es könnten 6 Würfel 15 mal (n! / n1!*n2!) die Kombination von zwei
Dreien und vier Vieren haben. Die Wahrscheinlichkeit ist demnach 15/46656.
zweimal drei gleiche Zahlen ? Es gibt 15 Kombinationen zweier nicht identischer Zahlen aus 6 Zahlen.
Diese können bei 6 Zahlen jeweils in 20 verschiedenen Reihenfolgen auftreten (n! / n1!*n2!). 15 mal 20 =
300. Lösung daher: 300/46656.
einen Pasch ? (= 6 identische Zahlen) ?
(6/46656)
•
eine Kombination aus den Zahlen 1 bis 6 (1, 2, 3, 4, 5, 6) ?
•
Wie müßte man ein Würfelspiel mit 6 Würfeln, die gleichzeitig geworfen werden, konstruieren, in dem ein
Spieler und sein potentieller Gegner gleiche Chancen haben, wenn sie sich den Bereich der Würfelsummen
in Bereiche aufteilen, in denen der eine gewinnt und der andere verliert bzw. keiner gewinnt ? Wieviele
Lösungen gibt es für dieses Problem ?
•
(20,6 %)
n!/nk = 6!/46656 =
(720/46656)
Wie man der obigen Tabelle entnehmen kann, wäre eine faire Lösung folgende: Ein Spieler gewinnt immer
dann, wenn die Würfelsumme kleiner als 21 ist, der andere immer dann, wenn die Würfelsumme größer als 21
ist, und wenn die 21 kommt, gewinnt keiner. Man könnte aber auch noch weitere Lösungen anbieten: Zum
Beispiel: Einer gewinnt immer, wenn die Würfelsumme kleiner als 18 ist, der andere, wenn die Würfelsumme
größer als 24 ist und wenn die Würfelsumme im Restintervall liegt (18 bis 24) gewinnt keiner. Die Menge
solcher Lösungen beträgt hier 15.
Exkurs Ende.
4.5. Die Binomialverteilung
Nehmen wir folgenden Fall an: Es gibt Neuwahlen in Berlin. Wir beobachten die Wahlbeteiligung von Männern
und Frauen. Wir wollen wissen, wie wahrscheinlich es ist, daß unter 10 Wählern, die das Wahllokal betreten,
0 Frauen sind
1 Frau ist
2 Frauen sind
3 " "
4 " "
5 " "
6 " "
7 " "
8 " "
9 " "
10 " ".....
Wir nehmen an, daß die Menge der Wahlberechtigten sehr groß ist, und daß sich die Geschlechter gleich
verteilen. Wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, daß eine Frau das Wahllokal betritt, mit p und nehmen an,
diese sei konstant p = 0,5; wir bezeichnen die Wahrscheinlichkeit, daß ein Mann das Wahllokal betritt, mit q (=
1-p) und nehmen an, diese sei konstant 1-p= q= 0,5. Außerdem nehmen wir an, daß die Wahrscheinlichkeit, daß
66
das Geschlecht desjenigen, der jeweils als nächster kommt, unabhängig vom Geschlecht des Vorgängers ist (d.h.
die Ehepaare kommen nicht zusammen).
Unter diesen Bedingungen wäre z.B. die Wahrscheinlichkeit, zuerst 3 Frauen und danach 7 Männer bei 10
Leuten, die das Lokal betreten, zu bekommen, gleich
pppqqqqqqq = p3q7 = 0,53 * 0,57 = 0,000976563
Da nun diese Wahrscheinlichkeit auch gegeben wäre, wenn eine andere Reihenfolge, zum Beispiel diese
pqqqpqqqpq
vorhanden wäre, müssen wir p3q7 noch mit der Anzahl multiplizieren, in der es Kombinationen gibt, die drei
Frauen und 7 Männer enthalten.
Hierzu stellen wir folgende Überlegung an: Wir numerieren die Fälle, in denen ein Mensch das Wahllokal
betritt, durch (bei 10 Menschen von 1 bis 10). Dann hätten wir die Zahlen 1 bis 10. Aus diesen greifen wir 3
Zahlen heraus und sagen, daß diesen Zahlen der Fall entspricht, daß eine Frau das Wahllokal betreten hat. Um
die Menge der Kombinationen von 3 aus 10 verschiedenen Zahlen (ohne daß es auf die Reihenfolge ankommt)
zu ermitteln, benutzen wir den oben dargestellten Binomialkoeffizienten.
Bei 10 Personen und 3 Frauen ergibt unser Binomialkoeffizient 10!/(3!7!) = 120. Multiplizieren wir diesen mit
pkqn-k,
dann ergibt sich
n k n−k
p q ; hierbei ist Pn,k die gesuchte Wahrscheinlichkeit,
k
Pn,k =
daß unter n Menschen k Frauen sind.
Es ist zu beachten, daß das große P und das kleine p unterschiedliche Bedeutung haben! Das kleine p hatten wir
ja für die Wahrscheinlichkeit „reserviert“, daß eine Frau das Wahllokal betritt.
Wir kommen zu folgendem Ergebnis, wenn wir das Beispiel für alle möglichen k (von 0 bis 10) durchrechnen:
Die Wahrscheinlichkeit, daß bei 10 Wählern, die das Wahllokal betreten,
10
0
keine Frau ist, ist
1 Frau
10
1
ist, ist
0
10
pq
1
9
pq
= 10 * 0,000976563 = 0,00976563
10
2
pq
10
3
10
4
pq
10
5
pq
2 Frauen sind, ist
3 Frauen sind, ist
4 Frauen sind, ist
5 Frauen sind, ist
= 1 * 0,000976563 = 0,000976563
2
8
pq
3
7
4
6
5
5
= 45 * 0,000976563 = 0,043945313
=120 * 0,000976563 = 0,1171875
=210 * 0,000976563 = 0,205078125
=252 * 0,000976563 = 0,24609375
67
10
6
pq
10
7
pq
10
8
pq
10
9
pq
10
10
p q
6 Frauen sind, ist
7 Frauen sind, ist
8 Frauen sind, ist
9 Frauen sind, ist
10 Frauen sind, ist
6
4
7
3
8
2
9
1
10
=210 * 0,000976563 = 0,205078125
=120 * 0,000976563 = 0,1171875
= 45 * 0,000976563 = 0,043945313
= 10 * 0,000976563 = 0,00976563
0
= 1 * 0,000976563 = 0,000976563
Stellen wir diese Wahrscheinlichkeiten graphisch dar: Wir bemerken, daß sich eine symmetrische Verteilung
ergibt, die ihr Maximum in der Mitte hat: Abbildung A (die in den Stäben in Prozent ausgedruckten
Wahrscheinlichkeiten sind gerundet):
Wahrscheinlichkeit in %
Abb. A
p = 0,5
30
25
25
20
21
21
15
12
10
5
0
12
4
0
1
2
4
3
4
5
6
Anzahl der Frauen
7
8
9
10
In den folgenden
Abbildungen B, und C
sind unterschiedliche
Binomialverteilungen
wiedergegeben, die sich
nur durch Veränderung
von p (und damit auch
von q, da q = 1-p)
ergeben. Sie werden
berechnet, indem man für
ein gegebenes p
nacheinander - wie oben
geschehen - den Wert k
in der Formel von 0 bis N
anwachsen läßt.
In den Graphiken ist unten die dem jeweiligen k entsprechende Wahrscheinlichkeit p als gerundeter Prozentsatz
ausgedruckt.
Uns fällt auf, daß diese Verteilungen asymmetrisch sind. Diese Asymmetrie folgt aus der Tatsache, daß p und q
bei diesen Verteilungen nicht gleich 0,5 sind, sondern gleich 0,1 bzw. 0,9.
68
Wahrscheinlichkeit in %
Abb. B
p = 0,1
40
30
35
39
20
19
10
6
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Anzahl der Frauen
Wahrscheinlichkeit in %
Abb. C
p = 0,9
40
39
30
20
35
19
10
0
6
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Anzahl der Frauen
Es fällt auf, daß für p = 0,1 und p = 0,9 die Binomialverteilungen ihr Maximum bei k = 1 bzw. bei k = 9 haben,
d.h. diese Verteilungen sind spiegelbildliche Abbilder voneinander.
Für die Abbildungen A bis C ist N = 10. Würde N = 30 sein, und wäre p = 0,5, dann sähe die entsprechende
Binomialverteilung so aus (Abb. D):
Abb. D.
69
Wahrscheinlichkeit in %
Binomialverteilung
16
14
12
10
8
6
4
2
0
N = 30 p = 0,5
14
13 13
11
11
8
8
5
0
2
4
6
5
3
3
1
1
8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
K
Rechnen wir nun - versuchsweise - die Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen k in Häufigkeiten um und tun wir
so, als wäre k ein Meßwert in einer empirischen Verteilung, dann können wir für die Binomialverteilung einen
Mittelwert berechnen und auch eine Standardabweichung. Hierzu multiplizieren wir die Wahrscheinlichkeiten
mit einem beliebigen, aber hinreichend großen n und erhalten dann für die einzelnen Ausprägungen von k
'empirische' Häufigkeiten. Für diese werden dann x und s berechnet.
Berechnen wir hierfür den Mittelwert x , dann erhalten wir x = 15, die Standardabweichung beträgt s= 2,7386.
Für die Binomialverteilung können wir uns diese Berechnung insofern vereinfachen, als es für sie besondere,
einfache Formeln zur Ermittlung von x und s gibt.
Der Mittelwert von Binomialverteilungen errechnet sich aus
µ = p * n.
Die Standardabweichung errechnet sich aus
S =
p*n*q
Für die oben aufgeführte Binomialverteilung errechnen wir:
p = 0,5; n = 30; p * n = 15
s=
p * q * n = 0,5 * 0,5 * 30 = 2,7386
Die Binomialverteilung ist allerdings nur auf unser oben genanntes Problem, "Menge der Frauen unter 10
Wählern" anwendbar, wenn sich die Wahrscheinlichkeiten, daß Männer oder Frauen das Wahllokal betreten,
nicht im Verlaufe des Experiments dadurch verändern, daß schon eine bestimmte Anzahl von Personen gewählt
hat.
Beim Experiment mit einer Los-Trommel würde man also nach jedem Ziehen das gezogene Los zurücklegen
müssen, wenn man die Binomialverteilung anwenden will.
70
4.6. Die geometrische Verteilung
Fragen wir etwas einfacher in unserem Beispiel danach, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, daß der erste
Wählende eine Frau ist; der erste und der zweite; der erste, der zweite und der dritte; etc., dann ist ein
Anwendungsfall für die geometrische Verteilung gegeben. Wir setzen wieder voraus, daß 50% der
Wahlberechtigten Frauen sind. Wir hatten oben schon die geometrische Reihe kennengelernt als Reihe von
fortfolgenden Multiplikationen mit einem konstanten Faktor. So etwas geschieht auch hier. Die
Wahrscheinlichkeit, daß der 1. Wählende eine Frau ist, der erste und der zweite Wählende, der erste, der zweite
und der dritte Wählende etc. wird nach folgender Formel berechnet:
P = p(1-p)k-1 (k = 1,2 ... n)
Hierbei ist P die gesuchte Wahrscheinlichkeit, p die relative Häufigkeit von Frauen, k ist die laufende Nummer
der Beobachtung.
Prozent Wahrscheinlichkeit
Wenn die relative Häufigkeit von Frauen unter den Wahlberechtigten gleich 0,5 ist, errechnen wir folgende
Wahrscheinlichkeiten für unser Beispiel:
,6
,5
.5
,4
,3
.3
,2
.1
,1
.1
0,0
1
2
3
4
.0
5
6
7
8
K
Prozent Wahrscheinlichkeit
Wäre die relative Häufigkeit der weiblichen Wahlberechtigten nur p = 0,4 dann ergäbe sich folgendes Bild:
,5
,4
.4
,3
,2
.2
,1
.1
0,0
1
K
2
3
.0
4
5
6
7
8
71
Man kann auch für die geometrische Verteilung einen Mittelwert und eine Standardabweichung angeben:
µ=
σ=
1
p
q
p
2
Für p = 0,4 wären
µ
σ
=2,5
=1,936
4.7. Die hypergeometrische Verteilung
Wir nehmen wiederum unser Beispiel zum Ausgangspunkt, das wir schon von der Binomialverteilung her
kennen. Wählen insgesamt z.B. nur 100 Personen, also nicht viele, die natürlich nicht ins Wahllokal
zurückkehren, und sind davon 50 Männer und 50 Frauen, dann muß auf die gleiche Problematik die
hypergeometrische Verteilung angewendet werden: Werden die 100 Personen mit N bezeichnet, die 50 Frauen
mit M, die Häufigkeit des Auftretens von Frauen in einer Gruppe von n Personen mit x und die Zahl dieser
"Personen" mit n, dann ergibt sich nach der Formel
M N − M
x n − x
P=
N
n
P ist die Wahrscheinlichkeit, unter n = 10 Personen, die das Wahllokal verlassen x (x = 0;1;2;...10) Frauen zu
beobachten.
Für die o.a. hypergeometrische Verteilung müßten wir daher in die Formel einsetzen:
N = 100
M = 50
x = 0,1,2 ... 10
n = 10
50 100 − 50
x 10 − x
d.h. f (x) =
100
10
Es ergeben sich folgende Wahrscheinlichkeiten für x = 0, x = 1;...x = 10:
72
x = 0 Männer, Wahrscheinlichkeit: 0,000593420
1 Mann
"
0,007236825
2 Männer
"
0,037993333
3 Männer
"
0,113096432
4 Männer
"
0,211413217
5 Männer
"
0,259333546
6 Männer
"
0,211413217
7 Männer
"
0,113096432
8 Männer
"
0,037993333
9 Männer
"
0,007236825
10 Männer
"
0,000593420
Das Beispiel zeigt, daß Unterschiede zur Binomialverteilung in den Wahrscheinlichkeiten erst in der zweiten
Stelle nach dem Komma auftreten. Die Binomialverteilung ist der hypergeometrischen Verteilung insofern oft
nah verwandt, besonders, wenn N, M oder N-M groß sind und wenn n im Vergleich dazu klein ist.
Neu bei der hypergeometrischen Verteilung ist - gegenüber der Binomialverteilung - die Einführung der
Gesamtmenge von Ereignissen, auf die sich die Verteilung jeweils bezieht.
Demzufolge berechnet sich bei der hypergeometrischen Verteilung der Mittelwert - anders als bei der
Binomialverteilung - nach folgender Formel:
µ=n*
M
__
N
Die Standardabweichung ist auch anders als bei der Binomialverteilung zu berechnen, denn sie ist in der Regel
kleiner:
S=
nM ( N − M )( N − n)
N
2
( N − 1)
wobei sich M/N und p aus der Binomialverteilung entsprechen.
(Weiteres und Formelherleitung: siehe Bosch, Karl: Einführung in die elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung,
Vieweg, Braunschweig 19844, S. 84 ff, sowie Kreyszig, Erwin: Statistische Methoden und ihre Anwendungen,
Vandenhoeck 1973, 4. Aufl, S. 121)
73
4.8 Die Poissonverteilung
Für einen Spezialfall der Binomialverteilung hat man noch eine weitere Verteilungsfunktion ermittelt:
Ist die Zahl der "Personen" n in unserem Wahlbeispiel sehr groß und die Wahrscheinlichkeit des einzelnen
Ereignisses p sehr klein, dann ist es angeraten, statt der Binomialverteilung die sogenannte Poissonverteilung zu
wählen. Diese ist für große n eine gute Annäherung der Binomialverteilung, aber weniger umständlich zu
berechnen.
µ
f ( x) =
x
−µ
x! e
Hierbei ist µ = np
ein Ausdruck, den wir als Mittelwert der Binomialverteilung schon kennengelernt haben. Beispiel:
Wir wissen aus früheren Untersuchungen, daß nur wenige Frauen rechtsradikal wählen. Wir sind daran
interessiert zu erfahren, wie wahrscheinlich es ist, unter 100 Frauen 0, 1, 2, ... 100 Frauen zu treffen, die
rechtsradikal wählen. Die Wahrscheinlichkeit, daß eine Frau rechtsradikal wählt, sei z.B. 1,8%. Dann wäre
hiernach
µ = 1,8.
Rechnet man die o.a. Formel durch, dann ergibt sich, daß die Wahrscheinlichkeit, bei 100 Frauen
0 keine solche zu treffen
1 solche zu treffen
2 " " "
3 " " "
4 " " "
5 " " "
6 " " "
....
10 " " "
0,17
0,30
0,27
0,16
0,07
0,03
0,01
ist
"
"
"
"
"
"
0,000016264 ist.
Die Poisson-Verteilung ist kein Ersatz für die Binomial-Verteilung in allen Fällen, in denen letztere schwer zu
berechnen ist. Wenn nämlich große Werte für x! auftauchen, kann es technisch schwierig sein, x! zu berechnen.
4.9. Die Normalverteilung und die Prüfung einer Verteilung auf Normalität
Waren die Binomialverteilung, die geometrische, die hypergeometrische und die Poisson-Verteilung auf diskrete
Merkmale bezogen, so ist die Normalverteilung auf stetige Merkmale bezogen. Wir können die
Normalverteilung als Spezialfall der Binomialverteilung betrachten, wenn dort N bzw. K gegen unendlich gehen
und p = 1-q = 0,5 ist.
Nach dem "lokalen Grenzwertsatz" von Moivre-Laplace gilt für jedes p, das zwischen 0 und 1 liegt, folgende
Beziehung:
n
k
k
pq
n−k
=
für k = 0,1,2 ... n
1
2πnpq
−
e
( k − np ) 2
2 npq
[ R ( k )]
* 1+
n
74
Hierbei ist Rn (k) ein sogenanntes "Restglied" in der Formel, das für wachsende k gegen 0 strebt, so daß für sehr
große k das Restglied fortfällt.
Ersetzen wir jetzt (Übergang zur stetigen Variable!)
(k-np) durch x und setzen wir npq = 1,
dann erhalten wir die Formel
2
−
2
x
z( x ) =
e
2π
Dies ist die Formel der sogenannten "Standardnormalverteilung".
z (x) hat die Standardabweichung 1 und den Mittelwert x = 0.
Um Verwechslungen mit den Meßwerten xi auszuschließen, bezeichnen wir künftig in der StandardNormalverteilung die xi als z-Werte (zi).
Da die Verteilung stetig ist, können wir die Ordinaten der Kurve der Standardnormalverteilung nicht als
Wahrscheinlichkeiten p interpretieren, sondern nur als Wahrscheinlichkeitsdichte.
Dementsprechend können konkrete Wahrscheinlichkeiten auch nur bestimmten Intervallen dieser Funktion
zugeordnet werden, nicht aber einzelnen xi. Dies bedeutet, daß - im Unterschied zu allen diskreten
Wahrscheinlichkeitsverteilungen - die Aufsummierung aller auf einzelne zi bezogenen
Wahrscheinlichkeitsdichten nicht 1 ergibt (sondern unendlich), während die Addition der einzelnen
Wahrscheinlichkeiten für die Binomialverteilung, die geometrische Verteilung, die hypergeometrische
Verteilung ect. immer die Summe 1 ergab.
Die Summe 1 als Summe aller Einzelwahrscheinlichkeiten resultiert in allen Fällen genannten Verteilungen
daraus, daß das sichere Ereignis die Wahrscheinlichkeit 1 hat. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein mögliches
Ereignis (für das jeweilige Experiment) im Wertebereich der angegebenen Verteilung auftaucht, ist immer
gleich 1, weil dieses Ereignis sicher ist; z.B. beim Münzwurf kommt immer Kopf oder Zahl.
Wie ermitteln wir aber bei der Standard-Normalverteilung die Einzelwahrscheinlichkeiten, deren Summe 1
ergibt? Wir müssen dazu die Flächen (Integrale) berechnen, die bestimmten Intervallen auf der z-Achse
entsprechen. Wer dies nicht mit dem (programmierbaren) Taschenrechner durchführen kann, ist praktisch darauf
angewiesen, in Tabellen der Statistik-Lehrbücher diese Flächenanteile nachzuschlagen. Dabei ist zu beachten,
daß solche Tabellen von Lehrbuch zu Lehrbuch anders aufgebaut sind, und man muß die Leseanweisung für
solche Tabellen sorgfältig beachten.
Untersuchen wir, welche Werte das Integral der Standard-Normalverteilung annimmt, wenn wir, bei minus
unendlich beginnend, über null bis plus unendlich die Fläche zusammensetzen, die unter der Funktion der
Wahrscheinlichkeitsdichte liegt:
Wir wissen im voraus, daß die Summe der Flächenstücke gleich 1 ist, weil ja die Standardnormalverteilung nur
ein Grenzfall der Binomialverteilung ist, bei der - wie bei allen untersuchten Wahrscheinlichkeitsverteilungen
die Summe der Einzelwahrscheinlichkeiten immer gleich 1 war. Hiervon ausgehend können wir sagen, daß bei
die Fläche links (oder rechts) vom Mittelwert (0) gleich 0,5 sein muß. Ermitteln wir die Fläche im Intervall von 1 bis 0, dann ergibt sich der Wert 0,341. Folglich beträgt die Fläche links von - 1 „0,5-0,341 = 0,159“.
Da die Standardnormalverteilung symmetrisch zu 0 ist, kann man alle Überlegungen aus dem Bereich links von
0 analog in den Bereich rechts von 0 übertragen, durch Spiegelung an der 0-Achse.
75
Verlauf der Standardnormalverteilung:
,4
,3
,2
Wert f(z)
,1
0,0
-3,
-2,
-1,
0
1,
2,
3,
Z
Summiert man die Flächenstücke unter der Standardnormalverteilung von links nach rechts auf - wie bei der
Kumulierung von Prozenten - dann ergibt sich das Integral (die Summenfunktion) der Verteilung als von 0 bis 1
ansteigende Kurve. Die oben gezeichnete Grafik enthält die Standardnormalverteilung, unten finden wir die
dazugehörige Summenfunktion. Die Ordinate wird hier in Prozent dargestellt:
100
80
60
Kumulierte Fläche
40
20
0
-3
Z
-2
-1
0
1
2
3
76
Zu berücksichtigen ist, daß die beiden Kurven sich auf unterschiedliche Maßstäbe in der Senkrechten beziehen:
auf die Wahrscheinlichkeitsdichte in der Standardnormalverteilung oben, auf das Integral (als prozentualer
Anteil der Gesamtfläche ausgedrückt), unten.
Praktisch werden die Standardnormalverteilung und die ihr zugeordnete Integralfunktion zur Schätzung von
Häufigkeiten in bestimmten Intervallen empirischer Verteilungen benutzt. Wenn ich zum Beispiel weiß, daß
eine empirische Verteilung das arithmetische Mittel 20 hat und die Standardabweichung von 6, dann kann
ich leicht die Wahrscheinlichkeit dafür errechnen, daß ein Meßwert im Bereich von 14 bis 20 auftritt.
Wir ziehen hierzu von jedem empirischen Meßwert das empirische arithmetische Mittel ab und teilen die
Differenz durch die empirische Standardabweichung. Dieses Verfahren nennt man „z-Standardisierung“.
z
=
i
x −x
i
s
Für ein Intervall von 14 bis 20 heißt dies:
z
1
z
2
=
14 − 20 − 6
=
= −1
6
6
=
20 − 20 0
= =0
6
6
Für das Intervall z1 bis z2, also von minus 1 bis 0, errechnen wir jetzt die "Fläche unter der StandardNormalverteilung" und erhalten, wie oben schon ermittelt, den Wert 0,341. Damit kann vermutet werden, daß
für die empirische Verteilung mit x = 20 und S = 6 im Intervall von 14 bis 20 34,1% der Meßwerte liegen.
Die Berechnung von z-Werten aus empirischen Meßwerten ist jedoch nur sinnvoll, wenn die empirische
Verteilung annähernd normal verteilt ist. Ist dies nicht der Fall, dann ergeben sich ganz andere
Wahrscheinlichkeitsverteilungen.
Wie kann man aber prüfen, ob eine Verteilung annähernd „normalverteilt“ ist ? Die Prüfung auf Normalität
kann viele Wege gehen. Ein einfaches Verfahren ist die Berechnung von Maßen der "Schiefe" (englisch:
Skewness) und des "Exzesses" (englisch: Kurtosis), worunter wir uns Abweichungen einer empirischen
Verteilung von der Form der Normalverteilung vorzustellen haben. Solche Abweichungen können in der
Richtung der Meßwertachse (Problem der Schiefe) vorliegen oder in Richtung der Häufigkeitsachse (Problem
des Exzesses oder der Kurtosis, s.u.).
Das Schiefemaß lautet:
n
Sch =
∑z
i =1
3
i
n
Bei Vorliegen einer „Normalverteilung“ ist die Schiefe = 0. Ist die Verteilung „schief“, d.h. ist der Schwerpunkt
nach links oder rechts verschoben, dann nimmt das Schiefemaß bei Schwerpunktverschiebung nach links
größere, bei Schwerpunktverschiebung nach rechts kleinere Werte als 0 an.
Das „Exzess“-Maß lautet:
77
n
Ex =
∑z
i =1
4
i
n
Bei Vorliegen einer Normalverteilung nimmt es den Wert 3 an. Deshalb wird der Exzess auch gelegentlich als
n
Ex =
∑z
i =1
n
4
i
−3
definiert. Dann ergibt sich bei Vorliegen einer Normalverteilung der Wert 0. Unter Exzess wird die
Verschiebung der Verteilung in der Senkrechten verstanden (im Gegensatz zur Schiefe, bei der es um
waagerechte Abweichungen von der Normalverteilung geht). Liegen in der Mitte der Verteilung die
Häufigkeiten oberhalb der Normalverteilung, am Rande aber unterhalb, dann wächst das Exzessmaß auf Werte
oberhalb von Null, ist es umgekehrt, fällt das Exzessmaß auf Werte unter Null.
Es ist darauf hinzuweisen, daß SPSS10 bei Schiefe und Exzess mit anderen Formeln arbeitet.
Die Schiefe und der Exzess sind in SPSS.10 wie folgt definiert:
n
Schiefe =
(
n∑ xi − x
i =1
)
3
s (n − 1)(n − 2 )
3
(
)
(
)
2
n
n(n + 1)∑ xi − x − 3(n − 1)∑ xi − x
i =1
i =1
Exzess =
(n − 1)(n − 2)(n − 3) s 4
n
4
2
Diese Formeln führen zu leichten Abweichungen der Ergebnisse gegenüber den oben genannten Formeln für
Schiefe und Exzess. Im Übrigen wird der Exzess in SPSS.10 mit „Kurtosis“ bezeichnet.
Ob eine konkrete Abweichung der Schiefe und des Exzesses von ihren „Normwerten“ erheblich (signifikant) ist,
kann mit Hilfe des unten besprochenen Chiquadrat-Tests oder mit Hilfe des Kolmogoroff-Smirnov-Tests
ermittelt werden.
Eine weitere Möglichkeit, die Normalität einer Verteilung festzustellen, existiert mit Hilfe von Schiefe und
Exzess wie folgt:
2
Chi = Sch
6
2
n
Der Wert Chi 2 ist chiquadratverteilt (s.u.).
(Ex −3) ; df = 2
+
2
24
n
78
5. Prüfverteilungen
Verschiedene, mit der Normalverteilung verwandte, spezielle Verteilungen werden in der Statistik - neben der
Binomial- und der Normalverteilung - dazu benutzt, statistische Hypothesen zu überprüfen. (Was statistische
Hypothesen sind, wird weiter unten erörtert). Hierzu gehören die Chiquadrat-Verteilung, die t-Verteilung und
die F-Verteilung. In diesem Kapitel wird zunächst nur die Form der Verteilung eingeführt und ihre
Berechnungsweise. Wie man mit ihr praktisch umgeht, wird nur kurz angedeutet, später werden die
Anwendungsfälle genauer ausgeführt. Tabellen dieser Verteilungen findet man im Anhang, wobei
ausführlichere Fassungen solcher Tabellen in der Lehrbuchliteratur für Statistik aufzusuchen sind.
5.1. Die Chi-Quadrat-Verteilung
Wenn wir mehrere voneinander unabhängige Zufallsgrößen (Variablen) haben, dann kann deren Summe innerhalb bestimmter Grenzen - jeden beliebigen Wert annehmen. Das gilt auch für die Summe der quadrierten
Werte, nur daß diese Summe immer positiv ist, d.h. kein negatives Vorzeichen haben kann.
Die Summe einer Menge von quadrierten Daten aus standardisierten Normalverteilungen
z1² + z2² + z3² + z4² +...+ zn² kann wie folgt ausgedrückt werden:
n
CHI = Σ z
2
i =1
2
i
Der Menge der Summanden, n, entspricht in diesem Fall die Menge der Freiheitsgrade.
Kurzer Exkurs zum Begriff „Freiheitsgrad“, der uns noch oft begegnen wird: Die Schätzung von Parametern ist
eng verbunden, mit der jeweils zur Verfügung stehenden Information. Die formale Anzahl von Informationen
(z.B. die Meßwerte von N Befragten), die zur Schätzung eines Parameters herangezogen werden, ist der
Ausgangspunkt für die Festlegung der zur Verfügung stehenden Freiheitsgraden. Im allgemeinen ist die Anzahl
der Freiheitsgrade gleich der formalen Anzahl unabhängiger Einzelinformationen minus der Anzahl der in die
Berechnung des jeweiligen Parameters eingehenden zusätzlichen Parameter. Wird z.B. die Varianz (σ2 ) einer
Verteilung mit N Werten geschätzt, dann ist die Anzahl der Freiheitsgrade N-1, da die Formel zur Berechnung
von Varianz den Mittelwert µ als weiteren Parameter enthält.
Die folgende Tabelle enthält in den ersten 6 Spalten 6 quadrierte z-Verteilungen (Normalverteilungen mit dem
arithmetischen Mittel 0 und der Standardabweichung 1), und zwar pro Verteilung 20 Werte. Diese unsortierten
quadrierten Werte werden Zeile für Zeile addiert und ergeben in der letzten Spalte Ausprägungen der Variable
Chi²df6:
Z1²
,00
,77
2,30
,07
,00
1,86
,05
,10
,48
,96
,00
1,12
1,92
,08
,61
,10
1,30
1,32
1,84
1,49
z2²
,00
,16
,00
,17
,02
,10
,68
,00
,00
,09
1,42
7,51
,63
1,97
1,14
,17
,94
,20
5,74
,45
z3²
,24
1,12
,94
1,24
3,10
,23
,44
,01
1,29
1,07
4,52
2,92
,20
,21
,01
1,97
,76
,23
,82
3,95
z4²
,58
,17
,69
,75
4,18
,23
3,85
2,96
,14
,50
,32
,15
2,84
,01
,55
1,78
1,07
1,07
,05
,07
z5²
1,60
3,75
1,93
,49
1,64
,19
,06
1,02
1,12
,03
,31
2,11
,47
,00
,71
2,32
,06
2,67
,34
,62
z6²
,23
2,38
,22
,05
1,58
,27
,18
,05
,07
,28
5,64
,06
,13
,06
,01
,76
2,44
,03
,08
,16
Chi²df6
2,65
8,36
6,08
2,77
10,52
2,87
5,26
4,15
3,12
2,95
12,21
13,86
6,18
2,33
3,03
7,09
6,57
5,51
8,86
6,76
79
Die Möglichkeiten des Verlaufs dieser Variable „Chi²df6“ sind theoretisch durch eine Verteilungsfunktion
(Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion) zu beschreiben, die folgende Formel hat
f [Chi ] = e
2
x2
−
2
2
df
−1
2
* x²
df
2
* Γ df2
In der Formel für Chi-Quadrat bedeuten
e = Eulersche Konstante = 2,71828 ...
n
Chi² = der konkrete Wert Chiquadrat =
∑z
i =1
2
i
df = Menge der sog. Freiheitsgrade der Funktion (df > 0).
Γ= Im Nenner befindet sich das Zeichen „Γ“. Es bezeichnet die sogenannte Gammafunktion, die wir als stetige
Erweiterung der (diskreten) Fakultät für nichtgradzahlige Werte auffassen können, wenn wir beachten:
Γ (n)= (n-1)! für alle natürlichen Zahlen. Eine ausführliche Erläuterung der Gamma-Funktion und
auch eine entsprechende Tabelle liefert Erwin Kreyszig, Statistische Methoden und ihre Anwendungen,
Göttingen 1965, S. 158 u. S. 391.
Wie man in der Formel erkennt, gibt es so viele Chiquadrat-Funktionen wie es Freiheitsgrade (df) gibt.
Für alle diese Funktionen gilt:
•
Die Chi2-Verteilung hat ein arithmetisches Mittel von df und eine Varianz von 2df.
•
Alle Chiquadrat-Funktionen können als Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen mit dem Gesamt-Integral
gleich 1 interpretiert werden.
Chiquadrat-Dichtefunktion
Die Funktion verläuft bei einem Freiheitsgrad monoton fallend, bei 2 Freiheitsgraden ebenfalls, bei 3
Freiheitsgraden steigt sie zunächst an und fällt dann stetig. Ab 10 Freiheitsgraden wird sie der Normalverteilung
immer ähnlicher.
,4
Chiquadrat-Dichtefunktionen für
unterschiedliche Freiheitsgrade
,3
df 10
,2
df 5
,1
df 3
df 1
0,0
0
2
4
6
Chiquadrat
8
10
80
„Empirische“ Chiquadratfunktionen lassen sich durch das oben erwähnte Additionsverfahren erzeugen und
haben in ihrer äußeren Gestalt große Ähnlichkeit mit den in der Graphik der Dichtefunktionen dargestellten
Funktionsverläufen, wie das folgende Beispiel einer empirischen Chiquadratverteilungen mit 5 Freiheitsgraden
zeigt:
Empirische Chiquadratverteilung mit df=5
20
Prozent
10
0
0
2
1
4
3
6
5
8
7
10
9
12
11
14
13
16
15
18
17
20
Chiquadrat
Der Unterschied der empirischen Chiquadratverteilung zur theoretischen Chiquadratverteilung besteht hier in
folgendem: Während die Ordinate der empirischen Verteilung mit Prozent (Werte von 1 bis 100) bezeichnet
werden kann, wird die Ordinate der theoretischen Verteilung mit Wahrscheinlichkeitsdichte (Werte von 0 bis 1)
bezeichnet. Die theoretische Verteilung, die nach der o.a. Formel berechnet wurde, ist glatt, die empirische
Verteilung hat Unregelmäßigkeiten.
Praktisch wird die Chiquadrat-Verteilung dazu benützt, abzuschätzen, wie wahrscheinlich es ist, daß bestimmte
chiquadrat-verteilte Rechenergebnisse in bestimmten Intervallen der Chiquadratverteilung als Resultat
empirischer Untersuchungen auftreten. Hierbei bedient man sich der Integrale (Flächen unter) der
Chiquadratdichtefunktion. Diese Integrale der Chiquadrat-Dichtefunktionen liegen in Tabellenform vor, so daß
aus ihnen entnommen werden kann, in welchen Intervallen der Chiquadratverteilung Chiquadratwerte mit
welcher Wahrscheinlichkeit auftreten können. So zeigt die folgende Graphik der aufkumulierten Flächen einer
Chiquadrat-Verteilung (df = 5), daß oberhalb des Chiquadratwertes 11 noch etwa 5 % der Werte von Chiquadrat
auftreten können.
81
Aufkumulierte Chiquadratverteilung mit df=5
100
Kunulierte Prozente
80
60
40
20
0
0
2
1
4
3
6
5
8
7
10
9
12
11
14
13
16
15
18
17
20
Chiquadrat
Die Wahrscheinlichkeit, aus Zufallsprozessen in chiquadratverteilten Variablen mit 5 Freiheitsgraden Werte von
größer als 11 zu erhalten, wäre also gleich 0,05, wie nicht nur aus dieser empirischen Verteilung, sondern auch
aus den Tabellen zu den Flächen unter der Chiquadrat-Verteilung abgelesen werden kann.
5.2 Die t-Verteilung
Diese Verteilung ist ein „Zwitter“, da sie als Quotient aus einer Standard-Normalverteilung und einer Chi2Verteilung mit n Freiheitsgraden wie folgt konstruiert wird:
T
df
=
z
χ df2
df
Die Variable z ist dabei „standard-normalverteilt“ mit dem Mittel 0 und der Standardabweichung 1; die Variable
χ df2
ist chiquadrat-verteilt, mit df Freiheitsgraden.
Die Entstehung einer t-Verteilung kann an der folgenden Tabelle nachvollzogen werden:
82
z1 ²
z2 ²
z3 ²
z4 ²
z5 ²
z6
chi²df5 tdf5
/5
,83
,00
,08
,13
3,44
3,12
,10
2,67
,03
,10
,12
1,35
2,04
,76
,20
3,19
2,32
1,03
,54
,34
,00
,77
2,30
,07
,00
1,86
,05
,10
,48
,96
,00
1,12
1,92
,08
,61
,10
1,30
1,32
1,84
1,49
,00
,16
,00
,17
,02
,10
,68
,00
,00
,09
1,42
7,51
,63
1,97
1,14
,17
,94
,20
5,74
,45
,24
1,12
,94
1,24
3,10
,23
,44
,01
1,29
1,07
4,52
2,92
,20
,21
,01
1,97
,76
,23
,82
3,95
,58
,17
,69
,75
4,18
,23
3,85
2,96
,14
,50
,32
,15
2,84
,01
,55
1,78
1,07
1,07
,05
,07
-1,26
1,94
1,39
-,70
-1,28
,43
,24
-1,01
1,06
-,18
-,56
1,45
,68
,02
,84
1,52
-,24
-1,63
-,58
,79
,33
,45
,80
,47
2,15
1,11
1,02
1,15
,39
,55
1,28
2,61
1,52
,61
,50
1,44
1,28
,77
1,80
1,26
-2,20
2,90
1,55
-1,02
-,87
,41
,24
-,94
1,70
-,24
-,50
,90
,55
,03
1,19
1,27
-,21
-1,87
-,43
,70
Durch Addition entsteht aus 5 quadrierten z-Verteilungen eine Chiqudratverteilung mit 5 Freiheitsgraden. Teilt
man die Variable z6, die nicht quadriert wurde, durch die Chiquadratverteilung, deren einzelne Werte zuvor noch
durch 5 (die Menge ihrer Freiheitsgrade) geteilt und aus denen noch die 2. Wurzel gezogen wurde, dann erhält
man die gewünschte t-Verteilung mit 5 Freiheitsgraden.
Die Dichtefunktion der t-Verteilung lautet
df + 1
2
df +1
2
2
df
t
1 +
2 df
Γ
h (t) =
df
dfΠ Γ
mit df als Freiheitsgraden.
Die t-Verteilung hat, wenn die Freiheitsgrade 3 und größer sind, einen Erwartungswert (Mittel) von 0 und eine
Varianz von
df
s ² = ─────────
df - 2
Deshalb wird mit wachsenden Freiheitsgraden wird die t-Verteilung der Normalverteilung ähnlich, weil die
Varianz der Standardnormalverteilung 1 ist und bei wachsenden Freiheitsgraden der Ausdruck für die Varianz
der t-Verteilung sich 1 annähert.
83
f(z) beziehungsweise f(t,df)
Vergleich von Normalverteilung und t-Verteilungen
,5
mit df = 1 und df = 6 (Dichtefunktionen)
,4
,3
,2
t-Verteilung df=6
,1
t-Verteilung df=1
0,0
-4
Normalverteilung
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
z beziehungsweise t
Praktisch bedeutsam wird die t-Verteilung z.B. im Zusammenhang der Prüfung von Hypothesen über
Mittelwertsunterschiede zweier Stichproben und der Prüfung der Signifikanz von Korrelationskoeffizienten.
5.3 Die F-Verteilung
Die F-Verteilung entsteht aus dem Quotienten zweier chiquadrat-verteilter Zufallsvariablen, die verschieden
viele Freiheitsgrade haben können (m und n), und die jeweils durch die Menge ihrer Freiheitsgrade geteilt
werden:
χ m2
F(m , n ) = m2
χn
n
Demonstration der Formel:
Die folgende Tabelle enthält 4 quadrierte z-Verteilungen zm²1 bis zm²4, deren Summe, durch 4 geteilt,
chiqm /m bildet; weiterhin enthält die Tabelle 6 quadrierte z-Verteilungen zn²1 bis zn²6, deren Summe, durch 6
geteilt, chiqn /n bildet. Der Quotient (chiqm /m) / (chiqn/n) wird gebildet und man erhält die F-verteilte Variable
84
f4; 6
mit 4 Freiheitsgraden im Zähler und 6 Freiheitsgraden im Nenner:
zm²1
zm²2
zm²3
zm²4
zn²1
zn²2
zn²3
zn²4
zn²5
zn²6
,83
,00
,08
,13
3,44
3,12
,10
2,67
,03
,10
,12
1,35
2,04
,76
,20
3,19
2,32
1,03
,54
,34
,00
,77
2,30
,07
,00
1,86
,05
,10
,48
,96
,00
1,12
1,92
,08
,61
,10
1,30
1,32
1,84
1,49
,00
,16
,00
,17
,02
,10
,68
,00
,00
,09
1,42
7,51
,63
1,97
1,14
,17
,94
,20
5,74
,45
,24
1,12
,94
1,24
3,10
,23
,44
,01
1,29
1,07
4,52
2,92
,20
,21
,01
1,97
,76
,23
,82
3,95
,58
,17
,69
,75
4,18
,23
3,85
2,96
,14
,50
,32
,15
2,84
,01
,55
1,78
1,07
1,07
,05
,07
chiqm
m
,24
,81
1,58
,26
1,06
2,07
,94
1,28
,72
,72
chiqn
n
1,18
2,01
,88
,72
1,50
,75
1,29
,75
1,34
1,02
f4;6
,20
,40
1,79
,36
,71
2,77
,73
1,71
,54
,71
Die Dichte-Funktion lautet (für x ≥ 0)
m+n
m
Γ
2 m2
g (m, n ) =
m n
Γ Γ n
2 2
(χ )
m
−1
2
(
1+ mn *χ
)
m+n
2
Eine Zufallsvariable, die F-verteilt ist, hat den Erwartungswert (arithmetisches Mittel)
x=
n
n −1
für n > 3
und die Varianz
2 n ( n + m − 2)
S²=
m( n − 4) ( n − 2)
2
2
für m > 5
(Vgl. Bamberg, Bauer: Statistik, 3. Auflage, Oldenburg, S. 11).
Die Integrale dieser Dichtefunktionen liegen tabelliert vor, wobei zu beachten ist, daß jede F-Verteilung zwei
verschiedene Angaben über die Freiheitsgrade m und n im Zähler und im Nenner auf sich vereinigt.
85
F-Verteilung für unterschiedliche
Freiheitsgrade
1,2
1,0
,8
,6
,4
m=30, n=20
m=12, n=10
,2
m=6, n=4
0,0
0,0 ,4 ,8 1,2 1,6 2,0 2,4 2,8 3,2 3,6 4,0 4,4 4,8
,2 ,6 1,0 1,4 1,8 2,2 2,6 3,0 3,4 3,8 4,2 4,6 5,0
Praktisch
bedeutsam wird
die F-Verteilung
z.B. bei der
Untersuchung der
Frage, ob mehrere
Stichproben mit
verschieden
großen Varianzen
aus der gleichen normalverteilten Grundgesamtheit
gezogen worden
sein können. Siehe
hierzu das Kapitel
über den F-Test
unten.
F-Werte
6. Der Standardfehler von Stichprobenkennwerten
6.1. Allgemeines.
Terminologisch muß folgendes nochmals betont werden: Für Stichproben werden die Lage- und
Streuungsmaße „Kennwerte“ genannt. Sie werden mit lateinischen Buchstaben ( x, s ) bezeichnet. Berechnet
man Lage- und Streuungsmaße von Grundgesamtheiten, dann bezeichnen wir diese mit griechischen
Buchstaben (arithmetisches Mittel = µ; Standardabweichung = σ ) und nennen sie „Parameter“.
Stichprobenkennwerte streuen um die entsprechenden Parameter der Grundgesamtheit, wie leicht
nachzuvollziehen ist, denn es wäre schon ein merkwürdiger Zufall, wenn man beim Stichprobenziehen immer
Kennwerte bekäme, die genau den Parametern entsprächen. Interessant ist nun, ob die Streuung der Kennwerte
bekannt ist und ob man hieraus statistisch Nutzen ziehen kann.
6.2. Der Standardfehler des arithmetischen Mittels
6.2.1 Demonstration des Standardfehlers des arithmetischen Mittels
Wenn wir wissen wollen, in welchem Bereich wir den Mittelwert einer Stichprobe erwarten dürfen, wenn wir
die Stichprobengröße und den wahren Mittelwert kennen, dann könnten wir hierzu ein Experiment durchführen.
Wir ziehen aus einer großen Grundgesamtheit fortlaufend Stichproben eines bestimmten Umfangs und notieren
jeweils den Mittelwert x . Die notierten Mittelwerte stellen wir wiederum in einer Häufigkeitsverteilung dar und
berechnen für diese die Standardabweichung.
86
Beispiel: Aus einer Stichprobe mit 4000 Personen aus Aktienhausen werden 10 Stichproben
(Einkommensangaben in DM) gezogen.
Die wahren Werte (Parameter der Grundgesamtheit) sind:
Arithmetisches Mittel
Standardabweichung
Minimum
Maximum
n
µ = 3020,80
σ = 796,12
323,39
6323,96
= 4000
Graphik der Häufigkeitsverteilung in der Grundgesamtheit:
Monatseinkommen in Aktienhausen
600
500
400
300
200
Std.abw. = 796,12
Mittel = 3020,8
N = 4000,00
100
0
,0
50
62 0,0
5
5 7 0, 0
5
52 0, 0
5
47 0, 0
5
42 0, 0
5
37 0, 0
5
32 0, 0
5
27 0, 0
5
22 0, 0
5
17 0, 0
5
12 , 0
0
75 , 0
0
25
Monatseinkommen in DM
10 Stichprobenkennwertgruppen, die bei ca. 5-prozentiger Auswahl zustandekommen, sind:
Variable
STICHPROBE
STICHPROBE
STICHPROBE
STICHPROBE
STICHPROBE
STICHPROBE
STICHPROBE
STICHPROBE
STICHPROBE
STICHPROBE
NR.
NR.
NR.
NR.
NR.
NR.
NR.
NR.
NR.
NR.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
ar. Mittel Std-Abw.
Minimum
Maximum
n
3050,37
3000,93
3068,58
2947,53
3056,28
3006,44
2994,61
2948,32
2970,61
3019,45
1099,84
558,16
1000,76
718,65
958,02
459,24
447,67
1345,91
323,39
1060,44
4691,61
4741,84
6323,96
5329,43
6323,96
5416,04
5298,42
5036,31
4821,20
5549,10
174
186
223
211
182
213
200
189
186
202
821,37
745,35
816,77
776,78
854,96
817,24
849,97
754,04
776,48
807,99
****
****
****
****
Berechnen wir aus den 10 Stichprobenmittelwerten eine Standardabweichung, dann
erhalten wir folgendes Ergebnis:
Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte =
43,14
Diese Standardabweichung der Stichprobenmittelwerte wird nun Standardfehler genannt. Wir bemerken, daß
die 10 Mittelwerte der Stichproben nicht identisch mit dem wahren Wert sind. Wir können aber feststellen, daß
6 von 10, also 60 % unserer Stichprobenmittel, im Intervall von µ ± ein Standardfehler liegen. Die Werte sind
oben fett gedruckt. Alle Stichprobenmittelwerte liegen in einem Intervall von ± zwei Standardfehlern.
Überprüfe dies an folgenden Angaben:
87
Wahrer Mittelwert + 1 empirischer Standardfehler: 3020,8 + 43,14 = 3063,94
Wahrer Mittelwert - 1 empirischer Standardfehler: 3020,8 - 43,14 = 2977,66
Wahrer Mittelwert + 2 empirische Standardfehler: 3020,8 + 86,28 =3107,08
Wahrer Mittelwert - 2 empirische Standardfehler: 3020,08 - 86,28 = 2934,52
Wenn man den Standardfehler nun mit wenig Aufwand schätzen könnte, dann hätte man eine gute Methode, um
den Bereich abzuschätzen, in dem der wahre Wert µ mit beispielsweise 60 % Wahrscheinlichkeit liegt, wenn
man eines der Stichprobenmittel kennt. Hierzu machen wir uns folgende Gesetzmäßigkeit zunutze:
Der Standardfehler des Mittelwertes einer Verteilung
beträgt
σ
x
=
σ
2
n
und ist gleich der Standardabweichung der Mittelwerte von Stichproben im Umfange n aus einer Population.
Dabei ist σ 2 die Populationsvarianz.
Eine Häufigkeitsverteilung, die wir erhalten würden, wenn wir sehr viele Stichproben mit jeweils gleich großem
Umfang aus einer bestimmten Grundgesamtheit ziehen und jeweils das arithmetische Mittel dieser Stichproben
notieren würden, hätte eine Standardabweichung von
σ
x
.
Ist die Populationsvarianz unbekannt, wird sie geschätzt durch die Stichprobenvarianz, die mit dem Faktor n/(n1) multipliziert wird.
σˆ
x
=
σˆ
Σ (x i − x )
1
1 Σ (x i − x )
n
* =
*
*
=
n
n
n
n −1
n(n − 1)
2
2
2
Der Standardfehler des Mittelwerts kann somit, wie leicht zu erkennen ist, auch geschrieben werden als
σ∃ =
x
σ∃ =
2
n
s
;
n
Der „zentrale Grenzwertsatz“ besagt, daß die Mittelwerte von Stichproben des Umfangs n (für n>30), die ein
und derselben Grundgesamtheit entnommen werden, normalverteilt sind, unabhängig davon, ob die
Grundgesamtheit auch normalverteilt ist, und zwar mit dem Mittelwert µ und der Standardabweichung von
σ
x
.
6.2.2. Zur Bedeutung des Standardfehlers des arithmetischen Mittels
Der Standardfehler ist, wie wir wissen, die Standardabweichung des arithmetischen Mittels von Stichproben mit
der Größe n. Er würde die Standardabweichung einer Verteilung darstellen, die bei zahlreichen
Stichprobenziehungen aus einer gegebenen Grundgesamtheit für die Variable „Arithmetisches Mittel der
Stichprobe im Umfange von n“ entstünde.
Er ist definiert durch (s. o.)
88
σ∃ =
x
σ∃ =
2
n
s
;
n
Wird nun n variiert, dann ergeben sich für die Verteilung des Stichprobenmittels unterschiedliche Gestalten. Die
Kurve der Wahrscheinlichkeitsdichte wird um so steiler, je größer n ist. Die folgende Graphik demonstriert dies
für Stichproben mit
n = 4,
n = 9,
n = 25,
n = 81,
die aus einer standard-normalverteilten Grundgesamtheit gezogen wurden:
4
3
2
Wahrscheinlichkeitsdichte
Standardnormal
n=4
1
n=9
n = 25
0
n = 81
-2,98
-2,34
-1,70
-1,06
-,42
,22
,86
1,50
2,14
2,78
ZWERTE
Der Bereich, in dem das arithmetische Mittel einer Stichprobe auftauchen kann, wird daher mit wachsendem n
der Stichprobe immer schmaler.
Für SPSS-Interessenten sei noch mitgeteilt, wie man mit Hilfe von SPSS eine solche Graphik herstellt:
1.
Man definiert auf dem leeren Daten-Editor 301 Fälle mit dem Befehl:
„Daten“ – „gehe zu Fall 301“ „Eingabe irgeneiner Zahl in ein Feld des Falles 301“.
2.
Man weist diesen Fällen z-Werte mit folgendem Befehl zu:
89
COMPUTE zwerte = $casenum/50 - 3 .
EXECUTE .
3.
Man weist den Fällen standardnormalverteilte Ordinaten mit folgendem Befehl zu:
COMPUTE normalv = (1/((1/1)*2.50663))*2.71828**(0-0.5*((zwerte-0)/(1/1))**2).
EXECUTE .
In diesem Befehl steckt die Wurzel aus n an den Stellen, die hier durch Pfeile bezeichnet sind. Bei der
Standardnormalverteilung ist Wurzel aus n = 1.
4. Man erzeugt eine Graphik der Standardnormalverteilung mit folgendem Befehl:
GRAPH
/LINE(SIMPLE)=VALUE(normalv) BY zwerte .
4. Man erzeugt für die Verteilung der Standardfehler mit n = 4, n= 9, n = 25, n = 81 entsprechende
Variablen durch folgende Befehlsketten, in die an den unterstrichenen Stellen jeweils die Wurzel
aus n eingefügt ist:
n=4
COMPUTE nor4 = (1/((1/2)*2.50663))*2.71828**(0-0.5*((zwerte-0)/(1/2))**2).
EXECUTE .
n=9
COMPUTE nor9 = (1/((1/3)*2.50663))*2.71828**(0-0.5*((zwerte-0)/(1/3))**2).
EXECUTE .
n = 25
COMPUTE nor25 = (1/((1/5)*2.50663))*2.71828**(0-0.5*((zwerte-0)/(1/5))**2).
EXECUTE .
n = 81
COMPUTE nor81 = (1/((1/9)*2.50663))*2.71828**(0-0.5*((zwerte-0)/(1/9))**2).
EXECUTE .
5. Die Graphik erzeugt man durch den Befehl
GRAPH
/LINE(MULTIPLE)= VALUE(normalv nor4 nor9 nor25 nor81 ) BY zwerte .
Diese Graphik kann dann weiterbearbeitet werden.
Viel Vergnügen beim Nacharbeiten !
90
6. 3. Der Standardfehler von Prozentsätzen
Der Standardfehler von Wahrscheinlichkeiten läßt sich – in Anlehnung an die Binomialverteilung – ebenfalls
bestimmen, sofern man die Frage auf Situationen begrenzt, wo in der Stichprobe zwei Eigenschaften vorliegen,
die einander ausschließen (wie „krank“ und „gesund“). In diesem Fall kann der Standardfehler bestimmt werden
aus der Gleichung:
σ 2p =
p*q
n
p und q sind hier die einander ausschließenden Wahrscheinlichkeiten, in deren Umfang in der Stichprobe
jemand krank oder gesund ist. Es muß allerdings gelten: npq > 9. Wenn z. B. p = 0,3 und q = 0,7 sind, dann
müßte n mindestens 43 betragen, weil dann npq = 9,03 wäre.
Der Standardfehler für Wahrscheinlichkeiten wäre dann:
σp =
p*q
n
Beispiel: Wir ziehen eine Stichprobe von 200 Tomaten, von denen 20 % krank sind (p = 0,2) und 80 % gesund
sind
(q = 0,8). Der Standardfehler dieser Wahrscheinlichkeiten würde sich wie folgt errechnen:
σp =( (0,2 *0,8)/200)0,5 = 0,0283
Will man hieraus einen Standardfehler für Prozentsätze machen, multipliziert man das Ergebnis mit 100. Es
käme also ein Standardfehler für den Prozentsatz kranker Tomaten von 2,83 Prozent heraus.
7. Statistische Tests
Im Unterschied zu den Intervall-Schätzverfahren, bei denen für einen Parameter (z. B. µ) ein Bereich angegeben
wird, in dem dieser unter bestimmten Voraussetzungen (z.B. Normalverteilung und Kenntnis der Varianz der
Grundgesamtheit bei gegebenen Stichprobendaten) mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit liegt, werden beim
Testen statistischer Hypothesen Bereiche einer Prüfverteilung bestimmt, innerhalb deren eine sogenannte
„Nullhypothese“ mit einer bestimmten „Irrtumswahrscheinlichkeit“ beibehalten bzw. abgelehnt wird. Die Werte
der Prüfverteilung werden mit einem Kritischen Wert c verglichen, der seinerseits einer bestimmten IrrtumsWahrscheinlichkeit entspricht, deren Niveau vorab festgelegt wird. In der Regel ist dies die Wahrscheinlichkeit,
eine Nullhypothese irrtümlich abzulehnen, obwohl sie richtig ist.
Beim Aufstellen statistischer Hypothesen formuliert man in der Regel eine Alternative in der Form: "Wir
nehmen an, es ist so und nicht so." Die Aussage bezieht sich auf Eigenschaften der Grundgesamtheit, die Basis
der Aussage sind, u.a. Stichprobendaten. Die Stichprobendaten und Überlegungen darüber, welches Risiko man
eingehen will, sich bei der Annahme oder Verwerfung einer Hypothese zu irren, führen zur Entscheidung für
die eine der Alternativen und gegen die andere.
7.1. Zur Terminologie
Die beiden Alternativen, um die es hierbei geht, werden in der Statistik als "Nullhypothese" und "AlternativHypothese" bezeichnet.
Bamberg/Baur sprechen von der zu untersuchenden Hypothese immer als "Nullhypothese" (H0). Die
Gegenhypothese nennen sie immer Alternativhypothese (H1). Noch eine weitere terminologische Festlegung
spielt in diesem Zusammenhang eine Rolle:
91
Der Fehler 1. Art oder alpha-Fehler liegt vor, wenn ich die Alternativ-Hypothese H1 annehme, obwohl H0
richtig ist. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Fehlers heißt α (alpha).
Der Fehler 2. Art oder beta-Fehler liegt vor,
wenn ich die Null-Hypothese annehme, obwohl H1 richtig ist.
Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten dieses Fehlers
heißt ß (beta).
Die Größe α (alpha) wird als "Irrtumswahrscheinlichkeit" bezeichnet, die Größe 1 - α als
Sicherheitswahrscheinlichkeit oder auch als „Signifikanzniveau“ (Bosch, K.: Elementare Einführung in die
angewandte Statistik, a.a.O., S. 75).
7.2. Zur Struktur der Statistischen Tests
(1) Für jede Fragestellung eines statistischen Tests gibt es eine Prüfverteilung (Testfunktion), deren Integral
gleich 1 ist. Diese Prüfverteilung ist in Abhängigkeit davon zu wählen, wie das Verteilungsgesetz jener
Kennwerte ist, mit deren Hilfe unsere Nullhypothese formuliert wird.
(2) Für den Wertebereich der Prüfverteilung wird bestimmt, wie groß α oder (1 - α) sein sollen und wo daher
der Annahmebereich und wo der Ablehnungsbereich für H0 liegen soll. Die Grenze zwischen beiden
Bereichen soll c, der „Kritische Wert“, markieren.
(3) E wird geprüft, welcher Wert der Testfunktion aus den empirischen Daten berechnet werden kann und ob
dieser
empirische Wert in den Annahme- oder Ablehnungsbereich für H0 fällt.
7.3. Beispiele
7.3.1. Z-Test und t-Test auf Abweichung der Stichprobe von der Grundgesamtheit
7.3.1.1. Z-Test
Beispiel für eine große Stichprobe mit beliebig verteilter Grundgesamtheit:
49 Studierende (Stichprobe) erlangen in einer Klausur im Durchschnitt 75 Punkte und eine Standardabweichung
von 9 Punkten, in der zuvor eine große Gruppe (Population) Studierender im Durchschnitt nur 72 Punkte
erreichten. Wir wollen wissen, ob es sich um eine zufällige Abweichung handelt, bei einer
Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 1%
Zunächst legen wir fest, daß unser Test „zweiseitig“ sein soll, das heißt, wir machen keine Vorannahme darüber,
ob erwartet wird, daß unser empirisches arithmetisches Mittel der Stichprobe größer oder kleiner als das
arithmetische Mittel der Grundgesamtheit ist.
Die Nullhypothese hätte hiernach die Formulierung: H 0 : µ = x
Die Alternativhypothese hätte hiernach die Formulierung: H1 : µ ≠ x
Hätten wir uns für einen „einseitigen“ Test der Nullhypothese entschieden, dann könnte die Alternativhypothese
zwei unterschiedliche Formulierungen haben: entweder H1 : µ < x oder H1 : µ > x .
92
Für einen zweiseitigen Test müßten wir nun einen kritischen Wert (c) ermitteln, der uns hilft, die Bedingung
einzuhalten, daß die Irrtumswahrscheinlichkeit α = 1% sein soll.
Wir wissen, daß die Mittelwerte aus hinreichend großen Zufallsstichproben normalverteilt sind, mit der
Standardabweichung in der Größenordnung des Standardfehlers und dem arithmetischen Mittel µ. Hierzu stellen
wir durch Analyse der Tabelle der Standardnormalverteilung fest, daß außerhalb des Intervalls - 2,58 bis + 2,58
etwa 1% der Fläche der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung liegen, das heißt: oberhalb von z =+2,58
liegen 0,5 % der Fläche, unterhalb von z = - 2,58 liegen ebenfalls 0,5 % der Fläche, was zusammen 1 % der
Fläche sind.
Wie können wir diese Feststellung anhand der Tabelle der Standardnormalverteilung machen ? Dies hier zu
erklären, würde voraussetzen, daß hier die entsprechende Tabelle hier abgedruckt wird, was aber nicht
geschieht. Sie befindet sich, mit Gebrauchsanweisung im Anhang. Statt dessen wird versucht, das Prinzip
graphisch zu erläutern:
Demonstration des Annahmebereichs für eine zwei- oder einseitige
Nullhypothese im Intervall von -2,58 bis +2,58 bzw. unterhalb von +2,32
100
80
Kumulative Prozent
60
40
20
0
-3,00
-2,36
-2,68
-1,72
-2,04
-1,08
-1,40
-,44
-,76
,20
-,12
,84
,52
1,48
1,16
2,12
1,80
2,76
2,44
Z
Dem Tabellenwert in der Standardnormalverteilung z = - 2,58 entspricht eine von links nach rechts
aufkumulierte Wahrscheinlichkeit von 0,0049 ≈ 0,005. Das sind 0,5 % der Fläche der Standardnormalverteilung.
Wegen der Symmetrie der Standardnormalverteilung ist das gleichzeitig die Fläche, die oberhalb des
Tabellenwertes von + 2,58 noch bis 100 % fehlt. Wir können daher den kritischen Wert c als jenen z-Wert
bestimmen, der gleich 2,58 ist.
Wir errechnen nun unser empirisches z:
z=
x − µ 75 − 72
=
= 3 / 1,28=2,3333
s
9 / 49
n
Unser empirisches z ist kleiner als c. Daher behalten wir die Nullhypothese bei 1% Irrtumswahrscheinlichkeit
und zweiseitigem Test bei.
93
Hätten wir aber erwartet, daß unser arithmetisches Mittel aus der Stichprobe auf jeden Fall größer ist als das
Mittel der Grundgesamtheit (einseitiger Test), dann hätten wir einen kritischen Wert von c=2,326347 erhalten,
da rechts von diesem Wert in der Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ca. 1% ihrer Fläche liegt.
Z=2,333 ist geringfügig größer als dieses neu bestimmte c für den einseitigen Test. Unter diesen Bedingungen
hätten wir die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen.
7.3.1.2. t-Test
20 Studierende erlangen in einer Klausur im Durchschnitt 75 Punkte, in der zuvor 1000 Studierende im
Durchschnitt nur 72 Punkte erreichten, mit einer Standardabweichung von 9 Punkten. Wir wollen wissen, ob es
sich um eine zufällige Abweichung handelt, bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von α =1%. Wir führen einen
einseitigen Test durch. Die Nullhypothese lautet wieder:
H0 : µ = x
Die Alternativhypothese hätte die Formulierung:
H1 : µ < x
Da wir wissen, daß das arithmetische Mittel kleiner Stichproben aus einer Grundgesamtheit nicht normalverteilt
ist, sondern t-verteilt, errechnen wir jetzt keinen empirischen z-Wert – wie oben – sondern einen empirischen tWert (nach der gleichen Formel wie vorher den empirischen z-Wert).
t=
75 − 72
= 3 / 2,01=1,49
9 / 20
Woher bekommen wir nun einen „kritischen t-Wert“, den wir auch wieder c nennen können und mit dem wir
unser empirisches t vergleichen können? Wir finden ihn in jener t-Verteilung, die n-1 Freiheitsgrade hat, also
hier 20-1 = 19 Freiheitsgrade. Für die t-Verteilung mit 19 Freiheitsgraden gilt, daß rechts vom Wert t= 2,539
etwas weniger als 1% der Gesamtfläche der Verteilung liegt. Diese Feststellung wäre bei einem einseitigen Test
mit 1% Irrtumswahrscheinlichkeit zu machen. Für diesen Test wäre also c=2,539. Wir müssen in diesem Fall die
Nullhypothese beibehalten, daß unsere Stichprobe aus der Grundgesamtheit hätte gezogen werden können, denn
t=1,49 ist kleiner als c=2,539.
Die beiden Beispiele zeigen, daß bei fast identischen Bedingungen, nur durch Variation der Stichprobengröße,
veränderte Ergebnisse unserer Hypothesenprüfung entstehen, weil wir bei kleinen Stichproben die t-Verteilung
benutzen.
7.3.2. t-Test für die Differenz zweier Mittelwerte aus unabhängigen Stichproben aus 2
varianzhomogenen Grundgesamtheiten
Es seien zwei unabhängige Stichproben gegeben, die aus normalverteilten Grundgesamtheiten stammen, deren
Varianzen als annähernd gleich groß angenommen werden, die aber unbekannt sind. Für diese Stichproben
kenne ich die arithmetischen Mittel
x
i
die Standardabweichungen si und den Umfang ni.
94
Für diesen Fall können wiederum verschiedene Formulierungen einer Alternativhypothese H1 zu einer
einheitlichen Nullhypothese Ho (Ho = die beiden Stichproben stammen aus einer gemeinsamen
Grundgesamtheit) vorgenommen werden, wie folgt:
H o:
µ=µ
1
µ ≠µ
(b) H = µ < µ
(c) H = µ > µ
(a) H1=
2
oder
1
1
oder
1
1
2
1
2
(„zweiseitiger Test“)
2
(„einseitiger Test“)
(„einseitiger Test“)
Wir wissen, daß für kleinere Stichproben, deren Elemente zusammen weniger als 50 ausmachen, die Differenz
der Mittelwerte t-verteilt ist, mit n1+n2 - 2 Freiheitsgraden.
Um hiervon Gebrauch machen zu können, müssen wir den Standardfehler der Mittelwertedifferenz schätzen.
Er errechnet sich nach folgender Schätzformel:
σ∃x
−
1
x2
Σ
=
( x − x ) + Σ( x − x )
(n − 1) + ( n − 1)
2
i1
i2
1
1
2
2
2
1
1
* +
n1 n2
Wenn die geschätzten Populationsvarianzen (die gleich den Stichprobenvarianzen sind) bekannt sind, gilt für
den Standardfehler der Mittelwertsdifferenzen:
σ∃x
( n − 1) *σ∃ + ( n − 1) *σ∃ 1 + 1
( n − 1) + ( n − 1) n n
2
−
1
x2
1
=
2
2
1
1
2
1
2
2
Haben wir diesen ermittelt, dann können wir den zugehörigen t- bzw. z-Wert wie folgt ermitteln:
t=
x −x
σ∃x x
1
−
1
2
2
d.h. wir setzen den Standardfehler in den Nenner des o.a. Bruchs.
Die Anwendung dieser Formel ist nur gestattet, wenn die Grundgesamtheiten normalverteilt sind, aus denen die
Stichproben entnommen wurden und wenn die Varianzen dieser Grundgesamtheiten „homogen“ sind. Für den
Fall inhomogener Varianzen müssen Verfahren mit Korrekturformeln benutzt werden. Ob homogene Varianzen
vorliegen, wird entweder mit dem F-Test oder mit dem Levene-Test geprüft (den wir hier nicht besprechen).
Ein Beispiel für die Anwendung der o.a. Formeln sei folgendes: Eine Studentengruppe (I) erziele im
Intelligenztest folgende Werte:
97
97
101
97
111
103
106
97
95
109
106
103
102
102
105
98
96
102
95
98
98
104
103
107
105
100
101
98
102
98
99
110
100
101
110
110
100
112
102
106
104
113
102
102
109
102
101
102
110
107
Eine andere Gruppe (II) erzielte folgende Werte:
106
106
114
103
99
109
101
99
105
110
98
101
110
105
105
Wir wollen wissen, ob beide Gruppen aus der gleichen Stichprobe entnommen worden sein können, d.h. die
Nullhypothese würde lauten:
95
H o:
µ=µ
1
2
Die Alternativhypothese würde- wenn wir einen zweiseitigen Test wählen – lauten:
H 1=
µ ≠µ
1
2
Wir wollen die Nullhypothese bei 1 % Irrtumswahrscheinlichkeit prüfen.
Wir errechnen für die Gruppe 1 und 2 folgende Kennwerte:
Gruppenstatistiken
GRUPPE
1,00
2,00
N
34
31
Mittelwert
101,3529
105,2581
Standardab
weichung
4,2489
4,4719
Standardfe
hler des
Mittelwertes
,7287
,8032
Durch Quadrierung der Standardabweichungen gewinnen wir die Varianzen:
Varianz in Gruppe 1
Varianz in Gruppe 2
18,053
19,998
Zur Schätzung des Standardfehlers der Mittelwertdifferenz setzen wir ein:
σˆ x
−
1
x2
=
(34 − 1) *18.053 + (31 − 1) *19,99 * 1 + 1 = 1,0819
(34 − 1) + (31 − 1)
34 31
t läßt sich jetzt leicht ermitteln:
t=
101,35 − 105,26
= −3,610
1,0819
Dieser t-Wert müßte jetzt mit einem Kriteriumswert c verglichen werden. Wir wissen, daß die
Mittelwertsdifferenz zweier unabhängiger Stichproben t-verteilt ist, und zwar mit n1 –1 + n2 –1 Freiheitsgraden.
Die Fläche außerhalb des Intervalls von - 2,660 bis + 2,660 beträgt etwa 1%. Unser gesuchtes c wäre daher 2,66.
Daher kann man hier die Nullhypothese, daß kein Unterschied der Populationen bestünde, aus denen die
Stichproben gezogen sein könnten, mit mindestens 1% Irrtumswahrscheinlichkeit verwerfen (zweiseitiger Test),
denn c=2,66 < t=3,610.
Bei einem einseitigen Test müßten wir hier die Alternativhypothese anders formulieren, und zwar wie folgt:
H 1=
µ <µ
1
2
96
Wir müßten – wie leicht festgestellt werden kann - mit einem c = 2,39 rechnen und kämen zum gleichen
Ergebnis: Ablehnung der Nullhypothese.
Dies alles gilt allerdings nur unter der Voraussetzung, daß die Varianzen der beiden Gruppen „homogen“ sind.
Diese Homogenität kann mittels des F-Test überprüft werden. Heutzutage wird in SPSS die Varianzhomogenität
mittels des Levene-Tests überprüft, der hier nicht besprochen wird.
7.3.3. Der F-Test
Der F-Test – der neuerdings bei Durchführung des t-Test in SPSS durch den „Levene-Test“ ersetzt wurde – ist
u. a. geeignet, die Homogenität zweier Varianzen zu prüfen. Das bedeutet, es wird die Nullhypothese geprüft
H 0 ⇒ σ 12 = σ 22 , und zwar fast immer einseitig gegen die Alternativhypothese
H 1 ⇒ σ 12 > σ 22
Daher setzt man für
σ 12 immer die größere Varianz ein, für σ 22
die kleinere.
Die Teststatistik, F wird wie folgt berechnet:
F=
sm2
sn2
Hierbei sind m und n die Freiheitsgrade (Stichprobengröße minus 1) der jeweiligen Varianzen, wobei m der
größeren, n der kleineren Varianz zugerechnet wird. Ob die Nullhypothese (s.o.) beibehalten werden kann,
richtet sich nach dem Vergleich eines empirischen F-Wertes mit einem kritischen F-Wert. Diesen gewinnen wir
aus der Tabelle der F-Verteilung, in der wir in der Regel folgende Informationen vorfinden:
Kopfzeile: Freiheitsgrade für die größere Varianz
Vorspalte: Freiheitsgrade für die kleinere Varianz
Zelle: Zwei Werte: a) kritischer F-Wert für eine Irrtumswahrscheinlichkeit von 5 %. b) kritischer Wert für eine
Irrtumswahrscheinlichkeit von 1 %.
Wird der kritische Wert von dem empirischen unterschritten, behalten wir die Nullhypothese bei, und – bei
Homogenitätsprüfung – wäre unsere Varianzhomogenität gegeben. Wird der kritische Wert von dem
empirischen überschritten, wird die Nullhypothese abgelehnt und die Varianzhomogenität wäre nicht gegeben.
Im Falle des t-Tests müßten wir daher mit einem Verfahren vorlieb nehmen, das diese Inhomogenität der
Varianzen berücksichtigt.
7.3.4. t-Test für die Differenz zweier Mittelwerte aus varianzheterogenen
Grundgesamtheiten
Muß man im konkreten Falle die Voraussetzung fallen zu lassen, daß die Varianzen gleich groß sind und bleibt
die Voraussetzung erhalten, daß die Grundgesamtheiten normalverteilt sind, aus denen die Stichproben gezogen
wurden, dann lautet für diesen Fall die Formel der Testfunktion (Korrekturformel nach Welch):
t=
x −x
s +s
n n
1
2
2
2
2
1
1
2
.
97
Dieses t bezieht sich auf eine t-Verteilung mit Freiheitsgraden (df), die nach folgendem Verfahren ermittelt
werden:
df =
1
2
g + (1 − g )
n −1 n −1
2
1
2
2
s
n
1
für g =
1
2
s
n
1
1
+s
n
2
2
2
In diesen Formeln bedeuten
x1 = arithmetisches Mittel der Stichprobe 1
x 2 = arithmetisches Mittel der Stichprobe 2
n1 = Umfang der Stichprobe 1
n2 = Umfang der Stichprobe 2
s1 = Standardabweichung der Stichprobe 1
s2 = Standardabweichung der Stichprobe 2
Für unseren oben durchgeführten Gruppenvergleich bedeutet die Benutzung der Formel nach dem Welch-Test,
daß der t-Wert sich verändert und auch die Menge der Freiheitsgrade jener t-Verteilung, aus der man den
kritischen Wert gewinnt.
Eine vergleichende Rechnung zeigt die unterschiedlichen Ergebnisse:
Test bei unabhängigen Stichproben
Levene-Test der
Varianzgleichheit
T-Test für die
Mittelwertgleichheit
F
Signifikanz
T
df
Sig. (2-seitig)
Mittlere Differenz
Standardfehler der Differenz
Varianzen sind gleich
,322
,573
-3,610
63
,001
Varianzen sind
nicht gleich
-3,601
61,706
,001
-3,9051
-3,9051
1,0819
1,0845
Bei Annahme der Varianzenhomogenität ist t = -3,61, und es wird an einer t-Verteilung geprüft mit 63
Freiheitsgraden. Bei Annahme der Inhomogenität ist es absolut etwas kleiner: t = - 3,601, und es wird an einer
Verteilung mit nur 61,7 Freiheitsgraden geprüft. Auffällig ist, daß hier „gebrochene“ Freiheitsgrade auftreten.
In der Praxis muß man hier also runden.
98
7.3.5. t-Test für Mittelwertsdifferenzen aus abhängigen Stichproben.
Die unter 7.3.2. abgehandelten t-Tests beziehen sich auf die Fälle „unabhängiger“ Stichproben. Untersucht man
aber Fälle mit Meßwiederholung an den Fällen einer einzigen Stichprobe, dann gelten die Datensätze mit den
Meßwerten der Meßwiederholung als Stichproben, die von der ersten Stichprobe mit den ersten Messungen
abhängig sind. Eine andere Terminologie spricht auch von Meßwertpaaren.
In diesem Fall interessieren wir uns nicht nur dafür, wie die Differenzen der Mittelwerte der ersten und der
zweiten Stichprobe (vor und nach dem Ereignis, an dessen Auswirkungen wir interessiert sind), sondern wir
wollen alle einzelnen Fälle in ihrer Veränderung erfassen. Daher bilden wir den Ausdruck der
Meßwertedifferenz:
d
23
=
x
23;1
− x 23; 2
d ist die Differenz der ersten und der zweiten Messung a z.B. einer Versuchsperson mit der Nummer 23. Fassen
wir alle Meßwertdifferenzen in ihrem arithmetischen Mittel zusammen, dann können wir schreiben:
n
x
=
d
Σd
i =1
i
n
Für den Fall, daß wir annehmen, in der Grundgesamtheit zeige sich überhaupt kein Effekt eines interessierenden
Ereignisses, könnten wir die Nullhypothese als
H 0 ⇒ xd = µ = 0
formulieren, die (ungerichtete) Alternativhypothese (für einen zweiseitigen Test) entsprechend:
H 0 ⇒ xd ≠ µ = 0
In diesem Fall können wir unser empirisches t wie folgt bestimmen:
t=
x
d
σ̂ x
σ∃x
σ̂ x
d
ist hierbei der Standardfehler der Meßwertpaardifferenzen. Er wird errechnet aus:
d
=
d
sx d
n
Die Freiheitsgrade bestimmen sich hier durch df=n-1, wobei n gleich der Anzahl der Meßwertpaare it.
Ist
n < 31, dann müssen die Meßwertdifferenzen in der Grundgesamtheit normalverteilt sein, wenn man den t-Test
benutzen will. Ist n > 50, dann können hier statt der t-Tabelle auch Werte aus der Tabelle der
Standardnormalverteilung benutzt werden.
Beispielrechnung:
In einem Gymnasium werden die Schüler auf Musikalität hin getestet. Es gibt einen Vortest, ein Training und
einen Nachtest. Gefragt ist, ob sich die Werte im Nachtest signifikant von den Werten des Vortests
unterscheiden. In diesem Fall könnte angenommen werden, daß das Training sich positiv ausgewirkt hat.
99
Vortestwerte
Nachtestwerte
Nachtest minus Vortest
118,00
98,00
-20,00
102,00
133,00
31,00
101,00
127,00
26,00
111,00
104,00
-7,00
95,00
97,00
2,00
104,00
116,00
12,00
115,00
114,00
-1,00
91,00
100,00
9,00
102,00
123,00
21,00
97,00
110,00
13,00
101,00
105,00
4,00
93,00
127,00
34,00
116,00
119,00
3,00
118,00
112,00
-6,00
92,00
121,00
29,00
104,00
128,00
24,00
108,00
109,00
1,00
105,00
94,00
-11,00
109,00
105,00
-4,00
106,00
120,00
14,00
101,00
106,00
5,00
113,00
95,00
-18,00
105,00
106,00
1,00
105,00
114,00
9,00
108,00
98,00
-10,00
Summe: Summe:
Summe:
2620,00 2781,00
161,00
Es ergeben sich:
Das arithmetische Mittel der Meßwert-Paar-Differenzen:
xd =
161
= 6,44
25
Die Standardabweichung der Meßwert-Paar-Differenzen:
sd = 14,9835
Der Standardfehler ergibt sich aus der Division dieser Standardabweichung durch Wurzel aus n, also durch 5:
sx d =
14,9835
= 2,9967
5
Der empirische t-Wert errechnet sich somit aus:
100
t=
x
σˆ x
=
d
6,44
= 2,149
2,9967
d
Der kritische t-Wert kann einer t-Verteilung mit df = n-1 = 24 Freiheitsgraden entnommen werden. Er beträgt
für eine Irrtumswahrscheinlichkeit α von 5 %: c= 2,06, wie wir der Tabelle der t-Verteilung entnehmen können
(bei zweiseitigem Test).
Da c < t ist, wird hier die Nullhypothese abgelehnt und die Alternativhypothese angenommen.
7.3.6. Der Binomialtest
Der Test setzt voraus, daß eine Zufallsstichprobe gegeben ist, in der ein Merkmal in einer gegebenen Häufigkeit
vorkommt, das nur zwei Ausprägungen hat. Die (kleinere) Häufigkeit des Auftretens einer der Ausprägungen
kann dann daraufhin untersucht werden, ob die Stichprobe aus einer Grundgesamtheit gezogen wurde, in der
eine bestimmte Wahrscheinlichkeit eben dieses Merkmals gegeben ist.
Mit Hilfe des Binomialtests läßt sich daher die Nullhypothese prüfen, daß eine bestimmte Stichprobe, in der für
zwei einander ausschließende Ereignisse zwei unterschiedliche Häufigkeiten vorliegen, aus einer bestimmten
Grundgesamtheit stammt, in der diese Ereignisse mit gegebenen Wahrscheinlichkeiten p und q auftauchen. Die
Nullhypothese würde dann folgende Form haben:
H 0 ⇒ ps ≥ p g
Die Alternativhypothese hätte die Form
H 1 ⇒ ps < p g
Hierbei bedeuten
ps = Prozentsatz eines interessierenden Ereignisses in einer Stichprobe
pg= Prozentsatz desselben interessierenden Ereignisses in einer Grundgesamtheit.
Dem Binomialtest liegt die Binomialverteilung zugrunde, deren Formel wir oben schon kennengelernt haben:
n
Pn , p ,k = p k q n−k
k
Sie bestimmt die Wahrscheinlichkeit P, daß ein Ereignis, für dessen Eintretenswahrscheinlichkeit p steht, in
einer Stichprobe vom Umfang n
k-mal auftritt. Also zum Beispiel, daß beim Wurf von n=8 Münzen k=2mal
der „Kopf“ oben liegt. Diese Wahrscheinlichkeit konnten wir mittels der Binomialverteilung darstellen, die
Graphik zeigte eine ähnliche Gestalt wie die Normalverteilung, nur daß die Variable k nicht stetig war, sondern
die diskreten Werte von k=0 bis k = n durchlief.
Bilden wir nun für diese Variable die Summenfunktion, d.h. kumulieren wir von links nach rechts die
Binomialverteilung auf, dann erhalten wir folgende Funktion:
101
u
n
P0−u = ∑ p k q n−k
k =0 k
Hierbei bedeuten
n = Größe der Stichprobe
u = Häufigkeit eines Merkmals, das nur zwei Ausprägungen haben
darf, in der Stichprobe
k = Laufvariable, die von 0 bis u läuft.
p = Wahrscheinlichkeit des Eintretens dieses Merkmals in einer Grundgesamtheit
q = 1-p
Diese Funktion bestimmt die Summe der Wahrscheinlichkeiten P, daß ein Ereignis, für dessen
Eintretenswahrscheinlichkeit p steht, in einer Stichprobe vom Umfang n nullmal oder einmal oder zweimal
oder ...oder u-mal auftritt. Also zum Beispiel, daß beim Wurf von n=8 Münzen der Kopf nullmal oder 1mal oder
2mal oder...oder 4mal oben liegt.
Diese Summe von Wahrscheinlichkeiten P0-u kann minimal 0 und maximal 1 (entsprechend 100 %) sein, da u
maximal den Wert von n annehmen kann.
Für die Prüfung unserer Nullhypothese benutzen wir nun diese Summenfunktion als Lieferanten unseres
Kriteriums c, das den Annahme- und Ablehnungsbereich der Nullhypothese in unserer Testfunktion
voneinander trennt. Wir legen c beispielsweise bei 0,05 bzw. 5 % fest und berechnen P0-u Ist P0-u kleiner als c,
dann lehnen wir die Nullhypothese ab, ist P0-u größer als c, dann behalten wir die Nullhypothese bei.
Rechenbeispiel:
In einer Untersuchung über Drogengebrauch geben 15 Personen aus einer befragten einer Gruppe (n = 15) an,
keine Drogen zu benutzen. Man vermutet aber, daß die Stichprobe einer Grundgesamtheit entnommen wurde, in
der 50 % Drogen gebrauchen. Nun ist die Frage, ob es Zufall ist, wenn alle, alle bis auf einen, alle bis auf zwei,
alle bis auf drei usw. den Drogengebrauch verneinen. Kodieren wir das Zugeben des Drogengebrauchs mit 1,
das Verneinen mit 2, dann können wir mittels der Berechnung der kumulierten Wahrscheinlichkeiten ablesen,
wann die Nullhypothese beibehalten werden kann, bei 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit und einseitigem Test, daß
eine Stichprobe aus einer Grundgesamtheit mit 50 % Drogenbenutzern gezogen wurde.
In der folgenden Tabelle steht die Gruppe 1 für die den Drogengebrauch zugebenden Personen, die Gruppe 2
sind diejenigen, die den Drogengebrauch verneinen. Untereinander stehen in mehreren Zeilen zum Vergleich
Stichproben, die kein Mitglied der Gruppe 1 enthalten, 1 Mitglied enthalten, 2 Mitglieder enthalten etc...:
102
Test auf Binomialverteilung
N
Gruppe 1
Gruppe 2
Gesamt
Gruppe 1
Gruppe 2
Gesamt
Gruppe 1
Gruppe 2
Gesamt
Gruppe 1
Gruppe 2
Gesamt
Gruppe 1
Gruppe 2
Gesamt
0
15
15
1
14
15
2
13
15
3
12
15
4
11
15
Beobachteter
Anteil
,00
1,00
1,00
,07
,93
1,00
,13
,87
1,00
,20
,80
1,00
,27
,73
1,00
Testan
teil
,50
Kumulierte
Punktwahrs
cheinlichkei
t
,000
Punkt-Wahrs
cheinlichkeit
,000
,50
,000
,000
,50
,004
,003
,50
,018
,014
,50
,059
,042
In der letzten Spalte ist die Wahrscheinlichkeit (Punktwahrscheinlichkeit) dafür berechnet worden, daß exakt
kein Mitglied der Gruppe 1 enthalten, 1 Mitglied enthalten, 2 Mitglieder enthalten etc...:
In der vorletzten Spalte ist diese Wahrscheinlichkeit aufkumuliert. Nimmt man diese aufkumulierte
Wahrscheinlichkeit als Kriterium für die Entscheidung über die Nullhypothese, dann kann aus der Tabelle
folgendes abgelesen werden: Sind 4 Mitglieder der Gruppe 1 in der Stichprobe vorhanden, dann kann die
Nullhypothese bei einseitigem Test und bei 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit schon beibehalten werden, da die
kumulierte Punktwahrscheinlichkeit P0-U auf 0,059 angewachsen ist, also größer als 0,05 geworden ist (unser c
wäre bei 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit gleich 0,05). Sind nur 3 Mitglieder der Gruppe 1 vorhanden , müßte sie
abgelehnt werden, da P0-U = 0,018 < 0,05 wäre.
Das praktische Berechnen der kumulierten Punktwahrscheinlichkeit kann sehr mühsam sein, wenn die
Stichproben groß werden. Daher behilft man sich bei großen Stichproben mit einer anderen Rechenstrategie.
Wenn (nach einem Kriterium von Sidney Siegel) npq > 9, rechnet man den z-Test anstelle des Binomialtests. z
wird hierbei wie folgt bestimmt:
( x 0,5) − np
z=
+
−
npq
Hierbei ist z eine Entfernung vom Nullpunkt der standardisierten Normalverteilung, der ein bestimmtes Integral
der standardisierten Normalverteilung entspricht. In der Formel steht das darin enthaltene x für die Anzahl, mit
der das seltenere Ereignis von zwei möglichen Ereignissen in der Stichprobe aufgetreten ist. Die Subtraktion
oder Addition des Wertes 0,5 von x erfolgt nach der Regel:
wenn x < np wird 0,5 addiert
wenn x > np wird 0,5 subtrahiert.
Diese Operation dient der sogenannten "Kontinuitätskorrektur".
Hierzu ein weiterer praktischer Fall:
In einer Stichprobe vom Umfang 80 (N) aus Studierenden der Betriebswirtschaft wurden 26 Frauen gezählt.
Man weiß aus anderen Quellen, daß in der Grundgesamtheit der Anteil der Frauen 27% beträgt. Die Frage
lautet: Wie gut bildet die Stichprobe die Grundgesamtheit ab, ist sie in bezug auf das Geschlecht für die
Grundgesamtheit „repräsentativ“? Durch Überprüfung der Repräsentativität will man ausschließen, daß
aufgrund der Stichprobe unzulässige Aussagen über die Grundgesamtheit gemacht werden. Rechnen wir das o.a.
Beispiel durch, dann ergibt sich:
n*q*p= 80*0,27*0,73=15,77 > 9
(Siegel-Kriterium).
103
Wir dürfen hiernach den z-Test rechnen; da: x=26 > 80*0,27 = 21,60, ist in der Formel 0,5 von x zu
subtrahieren:
z=
(26 ± 0,5) − 80 * 0,27 = 25,5 − 21,60 = 0,9821
3,971
80 * 0,27 * 0,73
Für dieses z können wir feststellen, daß zwischen -0,9821 und + 0,9821 67,4% der Fläche unter der
Dichtefunktion der Standardnormalverteilung liegen. Außerhalb dieses Bereichs liegen also 32,6% der Fläche,
was der Größe des Ablehnungsbereichs der Nullhypothese bei zweiseitigem Test entspräche. Soll dieser aber
nur - beispielsweise - 5% betragen, dann müßten wir in diesem Fall die Nullhypothese beibehalten, daß unsere
Stichprobe aus der fraglichen Grundgesamtheit entnommen worden sein kann.
7.3.7. Chiquadrat-Test
7.3.7.1. Allgemeines
Ausgehend von der sogenannten "Pearsonschen Testfunktion",
(y − np )
2
Chi
2
r
=∑
i =1
i
np
i
i
r
( fb − fe )²
i =1
fe
=∑
die für große n näherungsweise chiquadrat-verteilt ist, können verschiedene Anpassungstests formuliert werden,
also Tests, die die Gestalt der Verteilungsfunktion einer Zufallsvariable betreffen und nicht den einen oder
anderen Parameter der Zufallsvariable. In der o.a. Funktion bedeuten
yi = Zufallsvariable, Anzahl von Versuchen (z.B. Würfeln),
bei denen das Ereignis A eintritt (z.B. die Zahl 4). yi entspricht der beobachteten Häufigkeit eines Ereignisses
f b.
pi = ist die Eintrittswahrscheinlichkeit für das
Ereignis Ai.
n = Menge der Versuche in einem Experiment.
r = Menge verschiedener möglicher Ereignisse Ai
np = fe = erwartete Häufigkeit eines Ereignisses A
Für konkrete Versuche berechnen wir zunächst für jedes Ereignis den Erwartungswert aus n * pi. Dies sind die
"erwarteten Häufigkeiten".
Diese subtrahieren wir von den beobachteten Häufigkeiten, die für konkrete Untersuchungen an die Stelle der yi
in der o.a. Formel treten. Wir quadrieren die Differenz (yi - npi)2 und dividieren diese durch (n * pi), so daß wir
schließlich aus den Chiquadratwerten der Einzelereignisse die Summe bilden können. Diese Summe ist der Wert
der Testfunktion, den wir wiederum mit einem Kriteriumswert zu vergleichen haben, wenn wir über die
Annahme oder Ablehnung einer Nullhypothese entscheiden.
104
7.3.7.2. Eindimensionales und zweidimensionales Chiquadrat-Design
Wie können wir bei Chiquadratverfahren die Nullhypothese formulieren ?
Hierzu gibt es zwei Möglichkeiten:
Für eine monovariate (eindimensionale) Häufigkeitsverteilung:
H 0 ⇒ die Variable y ist (gleichverteilt, normalverteilt etc.) in der Grundgesamtheit
H1 ⇒ die Variable y ist nicht (gleichverteilt, normalverteilt etc.) in der Grundgesamtheit
Für eine kombinierte (zweidimensionale) Häufigkeitsverteilung der Variablen v und w:
H 0 ⇒ die Variablen vw sind gleichverteilt in der Grundgesamtheit
H1 ⇒ die Variablen vw sind nicht gleichverteilt in der Grundgesamtheit
oder
H 0 ⇒ die Variablen vw sind „randverteilt“ in der Grundgesamtheit
H1 ⇒ die Variablen vw sind nicht „randverteilt“ in der Grundgesamtheit
Bei Gleichverteilung sind die Erwartungswerte für jede Häufigkeit der Verteilung gleich groß.
Bei „Randverteilung“ unterscheiden sich die Erwartungswerte der verschiedenen kombinierten Häufigkeiten.
Sie werden aus den Randsummen einer n*m-Tabelle ermittelt, und zwar so, daß pro Häufigkeit der folgende
Ausdruck berechnet wird:
Erwartungswert pro Zelle = (Zeilensumme * Spaltensumme) /Tabellensumme
Wie bestimmen wir jetzt die Freiheitsgrade jener Chiquadratfunktion, aus der wir unser Kriterium für die
Entscheidung über die Nullhypothese gewinnen ? Hier sind die folgenden zwei Fälle zu unterscheiden:
•
Bei monovariaten Häufigkeitsverteilungen wird der Kriteriumswert für die Entscheidung über die
Nullhypothese aus einer Chiquadratverteilung mit k-1 Freiheitsgraden gewonnen, wobei k die Menge der
Kategorien ist, in die die Variable eingeteilt ist.
•
Bei bivariaten Häufigkeitsverteilungen, die auch in Tabellenform dargestellt werden können, wird der
Kriteriumswert für die Entscheidung über die Nullhypothese aus einer Chiquadratverteilung mit (r-1)*(c-1)
Freiheitsgraden gewonnen, wobei r die Menge der Zeilen einer solchen Tabelle ist, c die Menge der Spalten.
Rechenbeispiele:
„Eindimensionales Chiquadrat“
Es wird 1026 mal gewürfelt. Die Nullhypothese ist: Die Augenzahl ist gleichverteilt. Erwartet werden daher für
die verschiedenen Augenzahlen jeweils n/k = 1026/6 = 171-maliges Auftreten. Die untenstehende Tabelle
enthält neben den tatsächlich aufgetretenen Häufigkeiten der verschiedenen Augen noch die erwarteten
Häufigkeiten und deren Differenz zu den erwarteten Häufigkeiten. Setzt man jetzt die Werte in die
Testfunktionsformel ein, dann erhält man die unten abgedruckte Chiquadratsumme. Diese beträgt 10,76 und
muß mit einem Kriteriumswert verglichen werden, der aus einer Chiquadratverteilung mit k-1 = 6-1= 5
Freiheitsgraden gewonnen wird. Führen wir eine einseitigen Chiquadrattest mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit
von 5 %, dann ist c, der Kriteriumswert, gleich 11,7.
105
AUGEN
1,00
2,00
3,00
4,00
5,00
6,00
Gesamt
Beobachtetes
N
192
178
142
158
189
167
1026
Erwartete
Anzahl
171,0
171,0
171,0
171,0
171,0
171,0
Residuum
21,0
7,0
-29,0
-13,0
18,0
-4,0
Statistik für Test
Chi-Quadrata
df
Exakte Signifikanz
AUGEN
10,760
5
,056
a. Bei 0 Zellen (,0%) werden weniger als
5 Häufigkeiten erwartet. Die kleinste
erwartete Zellenhäufigkeit ist 171,0.
Da das berechnete Chiquadrat kleiner ist als der Kriteriumswert für 5% Irrtumswahrscheinlichkeit bei fünf
Freiheitsgraden, behalten wir die Nullhypothese bei. Die Angabe der „exakten Signifikanz“ in der o.a. Tabelle
entspricht der Größe des Integrals in einer Chiquadratverteilung mit fünf Freiheitsgraden von 10,76 bis
unendlich.
„Zweidimensionales Chiquadrat“
In einer Untersuchung über die Einstellung von Menschen zu Hunden werden zwei Vorgaben gemacht:
(a) Mein Hund soll schön und auffallend sein. Item-Stufen: Keinesfalls, eher nicht, vielleicht doch, eher ja.
(b) Wenn ein Hund seine Aufgaben nicht erfüllt, sollte man sich einen anderen Hund anschaffen. Item-Stufen:
Keinesfalls, eher nicht, vielleicht doch, eher ja.
Die wissenschaftliche Hypothese, die zu dieser kombinierten Auszählung (Bildung einer sogenannten
Kreuztabelle) Anlaß gibt, lautet: Menschen, denen es vor allem auf das schöne Aussehen eines Hundes
ankommt, sind eher bereit, den Hund abzuschaffen, wenn er seine Aufgaben nicht erfüllt, als Menschen, denen
es nicht so sehr auf die Schönheit ankommt.
Aus dieser wissenschaftlichen Hypothese wird die statistische Hypothese entwickelt:
H 0 ⇒ die Variablen vw sind „randverteilt“ in der Grundgesamtheit
H1 ⇒ die Variablen vw sind nicht „randverteilt“ in der Grundgesamtheit
Was heißt nun „randverteilt“? Randverteilung liegt vor, wenn alle Zellen-Häufigkeiten (in allen Zeilen und allen
Spalten) im gleichen Verhältnis stehen wie die Randsummen der Tabelle. Ist dies der Fall, dann unterscheiden
sich beobachtete und erwartete Häufigkeiten nicht. Es gibt dann keine Häufigkeiten, die auf Unter- oder
Überrepräsentation bestimmter Wertekombinationen hindeuten.
Sind die Zellenhäufigkeiten aber anders verteilt (in bestimmten Zeilen oder Spalten) als die entsprechenden
Randsummen, dann liegen in diesen Zellen Über- oder Unterrepräsentationen von Wertekombinationen vor, die
auf einen statistischen Zusammenhang zweier Variablen hindeuten. Für das oben aufgeführte Beispiel müßten
also Menschen, die auf einen schönen Hund Wert legen, signifikant häufiger als andere Menschen bereit sein,
sich einen anderen Hund anzuschaffen, wenn ihr derzeitiger Hund seine Aufgaben nicht erfüllt.
Hier nun die empirischen Daten aus einer Untersuchung des Autors:
106
Mein Hund soll schön und auffallend sein / Wenn der Hund seine Aufgaben nicht erfüllt: Anderen
anschaffen
Schöner
Hund
keinesfalls
eher
nicht
vielleicht
doch
eher ja
Gesamt
Anderen anschaffen
vielleicht
doch
eher nicht
20
6
27,3
11,1
-7,3
-5,1
51
10
43,8
17,8
7,2
-7,8
33
18
30,8
12,5
keinesfalls
86
71,6
14,4
120
115,1
4,9
74
81,0
Anzahl
Erwartete Anzahl
Residuen
Anzahl
Erwartete Anzahl
Residuen
Anzahl
Erwartete Anzahl
Residuen
Anzahl
Erwartete Anzahl
Residuen
Anzahl
Erwartete Anzahl
eher ja
10
12,0
-2,0
15
19,3
-4,3
13
13,6
-7,0
2,2
5,5
-,6
30
42,3
-12,3
310
310,0
14
16,1
-2,1
118
118,0
14
6,5
7,5
48
48,0
14
7,1
6,9
52
52,0
Gesamt
122
122,0
196
196,0
138
138,0
72
72,0
528
528,0
Chi-Quadrat-Tests
Wert
Chi-Quadrat nach
Pearson
Anzahl der gültigen Fälle
df
a
35,491
9
528
a. 0 Zellen (,0%) haben eine erwartete Häufigkeit
kleiner 5. Die minimale erwartete Häufigkeit ist 6,55.
Die obige Kreuztabelle enthält in ihren Zellen die beobachteten Häufigkeiten, die erwarteten Häufigkeiten und
deren Differenz, die sog. Residuen. Würden alle beobachteten Häufigkeiten randverteilt sein, würden sie den
erwarteten entsprechen und die Residuen wären gleich null. Weichen die beobachteten Häufigkeiten positiv von
den erwarteten ab, dann liegt eine Überrepräsentation der entsprechenden Wertekombination vor, weichen die
beobachteten Häufigkeiten negativ von den erwarteten ab, dann liegt eine Unterrepräsentation der
entsprechenden Wertekombination vor.
Wie eine Inspektion der Tabelle zeigt, sind vor allem die Zellen der sogenannten Hauptdiagonale (von oben
links nach unten rechts) mit Häufigkeiten versehen, die auf Überrepräsentation hindeuten, Zellen die oben rechts
und unten links von der Hauptdiagonale liegen, weisen eher Unterrepräsentationen auf. Dieses Phänomen kann
zufällig auftreten oder auf einen statistischen Zusammenhang hindeuten. Ob ein solcher Zusammenhang
angenommen werden kann, hängt davon ab, ob unsere Nullhypothese („Randverteilung“) beibehalten werden
kann oder ob sie abgelehnt werden muß. Das Kriterium hierzu gewinnen wir aus einer Chiquadratverteilung mit
(r-1)(c-1) Freiheitsgraden. Bei 4 Zeilen (r) und 4 Spalten (c) ist df (Menge der Freiheitsgrade) gleich 3*3= 9.
Testen wir unsere Hypothese einseitig bei 1 % Irrtumswahrscheinlichkeit wäre unser Kriteriums-ChiquadratWert gleich 21,67.
Aus der Tabelle berechnen wir nach der Formel
Chi
2
r
( fb − f e )²
i =1
fe
=∑
eine Chiquadratsumme für die ganze Tabelle von 35,491.
Da unser Kriteriums-Chiquadrat (21,67) kleiner als das berechnete ist, lehnen wir bei einseitigem Test mit 1 %
Irrtumswahrscheinlichkeit die Nullhypothese ab.
Dies heißt zunächst nur, daß unsere Stichprobe nicht zufällig einer Grundgesamtheit entnommen worden sein
kann, in der die Zellenverteilungen sich nach den Randsummenverteilungen richten. Es müssen also Über- und
Unterrepräsentationen in der Tabelle vorkommen. Welche sind das ? Dadurch, daß die positiven Residuen
107
(Überrepräsentationen) überwiegend auf der Hauptdiagonale liegen, kommen wir zu dem Schluß, daß die
wachsende Priorität für die Schönheit des Hundes mit einer wachsenden Bereitschaft einhergeht, ihn
gegebenenfalls zu ersetzen.
Generell kann nun gesagt werden:
Es läßt sich für alle Chi2-Verteilungen (entweder mit k-1 Freiheitsgraden oder mit (r-1)*(c-1) Freiheitsgraden)
jener kritische Wert c bestimmen, der ein Integral der entsprechenden Chi2-Verteilung rechts begrenzt, welches
einer bestimmten Irrtumswahrscheinlichkeit α entspricht. Liegt unser berechnetes Chi2 oberhalb dieses
kritischen Wertes, dann müssen wir die Null-Hypothese ablehnen.
Sonderfall:
Für den eindimensionalen Test von Übereinstimmung einer Verteilung mit einer von unbekannten Parametern
(z.B. von µ und σ) abhängigen Funktion (z.B. der Normalverteilung) verringert sich die Menge der
Freiheitsgrade, die sonst df = r-1 ist, um die Menge der Parameter m, so daß für diesen Fall
df = r - 1 - m beträgt.
Testen wir also die Übereinstimmung mit einer Normalverteilung, dann müssen wir für die Berechnung der pi
und der fi Meßwertklassen bilden; die Freiheitsgrade für den Test wären dann hiernach gleich "Menge der
Meßwertklassen minus 3". (vgl. Bosch, a.a.O., S. 103 ff., hierzu siehe S. 108).
7.3.7.3. Standardisierte, korrigierte Chiquadratresiduen
Will man bei einem zweidimensionalen Chiquadrat-Test den Beitrag einzelner Zellen zum Tabellen-Chiquadrat
ermitteln, dann bieten sich hierzu mehrere Möglichkeiten an:
Beispiel:
Die Differenz von beobachteter Häufigkeit und erwarteter Häufigkeit ergibt die Residuen. Sind diese groß, dann
ist der Beitrag der Zelle zum Tabellen-Chiquadrat groß.
Diese Chiquadrat-Residuen kann man „standardisieren“, indem man sie durch die Wurzel aus den erwarteten
Häufigkeiten teilt. Auch hier ist der Beitrag zum Tabellen-Chiquadrat erkennbar.
Die standardisierten Residuen kann man durch eine weitere Operation in die sogenannten „korrigierten“
standardisierten Residuen verwandeln:
Es bedeuten: Z = Zeilensumme für die jeweilige Zelle
S = Spaltensumme für die jeweilige Zelle
n = Stichprobengröße (Tabellensumme).
Diese korrigierten, standardisierten Residuen sind z-verteilt, d.h. man kann aus ihnen ablesen, ob der Beitrag
einer Zelle zum Tabellen-Chiquadrat „signifikant“ ist. Das Auftreten von z-Werten oberhalb bestimmter
Schwellenwerte ist umso weniger wahrscheinlich, je größer diese Schwellenwerte sind. Sinkt diese
Wahrscheinlichkeit unter bestimmte kritische Werte ab, z. B. auf 1 % oder 0,1%, dann kann man dem
entsprechenden z bzw. dem standardisierten, korrigierten Chiquadrat-Residuum schon die Eigenschaft
zusprechen, eine „signifikante“ Über- oder „Unterrepräsentation“ der jeweiligen Kombination von Werten für
eine bestimmte Zelle in einer Kreuztabelle zu signalisieren. So kann man sowohl über die Signifikanz der
108
Beziehung zwischen den Variablen in der Tabelle als auch über die Bedeutung der einzelnen Zellen hierbei eine
Aussage machen.
Versuchen Sie, dies anhand der folgenden Daten nachzuvollziehen: Die Daten entstammen einer Befragung von
Hundehaltern, die entscheiden sollten, ob ihr Hund eher Wach- und Schutzhund sein sollte oder nicht. Auffällig
sind beispielsweise die standardisierten, korrigierten Chiquadratresiduen bei der Ausprägung „Auf jeden Fall“.
Sie liegen bei
–
4,3 (für die Frauen) und + 4,3 (für die Männer).
Die Wahrscheinlichkeit, daß oberhalb von z-Werten von 4,3 noch weitere z-Werte auftreten, ist mit
p = 0,0000008540 annähernd Null. Analog wäre das Auftreten von standardisierten, korrigierten
Chiquadratresiduen oberhalb von 4,2 ähnlich wenig wahrscheinlich. Wir deuten daher solche Werte als Zeichen
für signifikante Über- oder Unterrepräsentation der entsprechenden Kombination von Ausprägungen in der
Tabelle:
Kreuztabellen
Verarbeitete Fälle
N
Geschl. d. Befragten *
Mein H. soll Wachund Schutzhund sein
Fälle
Fehlend
N
Prozent
Gültig
Prozent
961
96,9%
31
3,1%
N
Gesamt
Prozent
992
100,0%
Geschlecht der Befragten * Mein H. soll Wach- und Schutzhund sein, Kreuztabelle
Mein H. soll Wach- und Schutzhund sein
Auf keinen
Eher nicht Teils-teils eher ja Auf jeden Fall Gesamt
Fall
Geschl. d. weiblich Anzahl
72
212
143
114
40
581
Befragten
Erwartete Anzahl
70,1
188,6
149,9
112,5
59,9
581,0
Standardisierte Residu
,2
1,7
-,6
,1
-2,6
Korrigierte Residuen
,4
3,3
-1,0
,3
-4,3
männlich Anzahl
44
100
105
72
59
380
Erwartete Anzahl
45,9
123,4
98,1
73,5
39,1
380,0
Standardisierte Residu
-,3
-2,1
,7
-,2
3,2
Korrigierte Residuen
-,4
-3,3
1,0
-,3
4,3
Gesamt
Anzahl
116
312
248
186
99
961
Erwartete Anzahl
116,0
312,0
248,0
186,0
99,0
961,0
Chi-Quadrat-Tests
Wert
Chi-Quadrat nach
Pearson
Anzahl der gültigen Fälle
24,968
Asymptotisch
e Signifikanz
(2-seitig)
df
a
4
,000
1
,000
961
a. 0 Zellen (,0%) haben eine erwartete Häufigkeit kleiner 5. Die
minimale erwartete Häufigkeit ist 39,15.
109
Symmetrische Maße
Näherung
sweise
Signifikanz
Wert
,161
,000
961
Nominal-Maß
Cramer-V
Anzahl der gültigen Fälle
a. Die Null-Hyphothese wird nicht angenommen.
b. Unter Annahme der Null-Hyphothese wird der asymptotische
Standardfehler verwendet.
7.3.8. Mann-Whitney U-Test
Beispiel: Gegeben seien zwei unabhängige Stichproben A und B von ordinal skalierten Meßwerten. Meßwerte
aus der Stichprobe A heißen ai, Meßwerte aus der Stichprobe B sind die bi. Die Nullhypothese ist, daß die
beiden Stichproben aus identisch verteilten Grundgesamtheiten stammen (wobei die Form der Verteilung
gleichgültig ist). Die Alternativhypothese ist, daß die Elemente der Stichprobe A größere Werte annehmen als
die aus der Stichprobe B.
H 0 ⇒ p(a > b) = 0,5
H1 ⇒ p (a > b) > 0,5
Gesucht ist nun ein empirischer Wert einer Funktion, die einen kritischen Wert für die Entscheidung der
Nullhypothese enthält. Dieses ist die sog. U-Funktion. Der empirische U-Wert wird wie folgt berechnet:
U = n1n2 +
n1 (n1 + 1)
− R1
2
Hierbei ist n1 der Umfang der 1. Stichprobe, n2 der Umfang der zweiten Stichprobe und R1 die Summe der
Ränge in der 1. Stichprobe.
Rechenbeispiel: Zwei Gymnasien (1 und 2) werden aufgrund kleiner Stichproben verglichen in bezug auf die
Lösungsgeschwindigkeit bei einer Mathematikaufgabe in Minuten. Aus dem ersten Gymnasium kommen 5
Schüler, aus dem zweiten vier. Deren Lösungsdauer in Minuten werden in der folgenden Tabelle
zusammengefügt und in eine Rangordnung gebracht. Die Ränge derjenigen Schüler, die im 1. Gymnasium sind,
werden addiert. Das Ergebnis ist R1 = 26.
Punktesumme
im
Abiturzeugnis
Gymnasium
Rang
45,00
51,00
53,00
64,00
70,00
75,00
78,00
82,00
110,00
1,00
2,00
2,00
1,00
2,00
1,00
1,00
1,00
2,00
1,000
2,000
3,000
4,000
5,000
6,000
7,000
8,000
9,000
Menge der Meßwerte aus
Gymnasium 1, die besser
sind als bestimmte
Meßwerte aus Gymnasium2
1
1
2
5
Summe = 9 = U.
110
Nun setzen wir die Werte in die Formel ein, dann ergibt sich
U = 5*4 +
5(5 + 1)
− 26 = 9
2
Es gilt nun:
U = n1n2 − U '
Eingesetzt ergibt sich:
9 = 5*4 –11
U‘= 11 ist daher größer als U=9.
Den kleineren von beiden Werten U und U‘ nimmt man als empirischen Testwert.
Dieser ist hier die Menge der Meßwerte aus Gymnasium 1, die jeweils besser sind als bestimmte Meßwerte aus
Gymnasium 2.
Diese empirisch ermittelte Zahl 9 wird nun mit der U-Tabelle verglichen. Wäre U‘ kleiner als U, würden wir U‘
wählen.
Für die Prüfung der Nullhypothese suchen wir in der U-Tabelle die Teiltabelle für die größere Stichprobe (n=5).
Wir suchen jene Wahrscheinlichkeit der U-Funktion, die unserem U = 9 und der Stichprobengröße der kleineren
Stichprobe (n=4) entspricht. Dort finden wir (Siegel, S. 271) die Größe p = 0.452. Da diese Zahl größer ist als
ein mögliches Niveau der Irrtumswahrscheinlichkeit von α = 0,05, entscheiden wir uns, die Nullhypothese
beizubehalten. Wie Siegel ausführt, sind unterschiedliche Verfahren der Berechnung des kritischen Wertes von
U maßgeblich, je nachdem, wie groß die größere der beiden Stichproben ists. Wächst deren Umfang über 20 an,
kann man mittels eines z-Tests entscheiden, ob die Nullhypothese beibehalten werden kann. Hier gilt:
z=
n1n2
2
n1n2 (n1 + n2 + 1)
12
U−
Dieses z ist – wie oben ausgeführt – standardnormalverteilt mit dem arithmetischen Mittel 0 und der
Standardabweichung 1. Diese Verteilung wird dann benutzt wie beim z-Test.
Tauchen ties auf (siehe hierzu Kendalls τb), dann wird den entsprechenden Rängen ihr durchschnittlicher Rang
zugewiesen und z wird nach einer korrigierten Formel berechnet, die Siegel auf S. 125 referiert.
111
7.4. Tabellarische Übersicht über kombinatorische Probleme und die
Prüfverteilungen
Übersicht über Fragestellungen und Lösungen kombinatorischer Probleme:
Permutationen: (Menge der
möglichen Reihenfolgen aller
Elementen einer Menge)
Alle
Einige Elemente
Elemente
sind identisch
sind
verschieden
Kombinationen:
Zusammensetzung einer Teilmenge, die aus einer Gesamtmenge von
verschiedenen Elementen ausgewählt wurde
Mit Berücksichtigung der
Ohne Berücksichtigung der Reihenfolge der
Reihenfolge der Elemente
Elemente
Mit Zurücklegen
von Elementen
bei der Auswahl
Ohne
Zurücklegen
der Elemente
bei der
Auswahl
Mit Zurücklegen
von Elementen
bei der Auswahl
Ohne Zurücklegen der
Elemente bei der Auswahl
n!
n!
n1! n2 !...nu !
nk
n!
(n − k )!
n + k − 1
k
n
n!
=
k!(n − k )! k
Beispiel:
Als
Elemente
existieren
die
Buchstaben:
S A B I N E.
Wieviele
verschiedene
Buchstabenfolgen kann
man aus
diesen
Buchstaben
herstellen ?
Beispiel: Als
Elemente
existieren die
Buchstaben:
O T T O K A R.
Wieviele
verschiedene
unterscheidbare
Buchstabenfolgen kann man
aus diesen
Buchstaben
herstellen ?
(Merke:
Vertauschungen
identischer
Buchstaben sind
nicht
unterscheidbar)
Beispiel: Aus
den Buchstaben:
TUBCHAM
P I O N werden 3
Buchstaben
ausgewählt, aber
nach der
Auswahl
zurückgelegt, bei
der Menge der
Kombinationen
sei die
Reihenfolge
bedeutsam:
Wieviele
unterscheidbare
Kombinationen
gibt es ?
Beispiel: Aus
den Buchstaben:
TUBCHAM
P I O N werden 3
Buchstaben
ausgewählt, aber
nach der
Auswahl
zurückgelegt, bei
der Menge der
Kombinationen
ist die
Reihenfolge
nicht bedeutsam:
Wieviele
unterscheidbare
Kombinationen
gibt es ?
Beispiel: Aus den
Buchstaben: T U B C H A
M P I O N werden 3
Buchstaben ausgewählt
und nach der Auswahl
nicht zurückgelegt, bei
der Menge der
Kombinationen ist die
Reihenfolge nicht
bedeutsam: Wieviele
unterscheidbare
Kombinationen gibt es ?
Lösung:
720
Lösung:
1260
Lösung:
1331
Beispiel: Aus
den Buchstaben
TUBCHA
MPION
werden 3
Buchstaben
ausgewählt,
und nach der
Auswahl nicht
zurückgelegt,
bei der Menge
der
Kombinationen
ist die
Reihenfolge
bedeutsam:
Wieviele
unterscheidbare
Kombinationen
gibt es ?
Lösung:
990
Lösung:
286
Lösung:
165
112
Verteilungsfunktionen von Wahrscheinlichkeiten für das Eintreten bestimmter Ereignisse:
Entweder für diskrete Variablen (z. B. k in der Binomialverteilung)
oder für stetige Variablen (z.B. Wahrscheinlichkeitsdichte der Normalverteilung etc.)
Name/ Erklärung der
Formel für die Wahrscheinlichkeit/bzw. die
arithmeSymbole
Wahrscheinlichkeitsdichte/Anwendungsfälle:
tisches
Mittel
f(x) = 1/(b-a) für das Intervall ׀a bis b׀
µ=
Gleichverteilung
(a + b)/2
x: stetige Variable,
Meßwert.
a: Untergrenze
b:Obergrenze eines
Intervalls
µ=n*p
Binomialverteilung
u
n k n−k
n k n−k
n: Umfang einer Menge P
p q
n , p ,k =
k p q ; P0−u =
k: Umfang einer
k =0 k
ausgewählten
Anwendungsfall: Binomialtest: Stammt eine Stichprobe
Teilmenge
(n=30)mit bis zu 2 Kranken aus einer Grundgesamtheit
u= maximales k
mit 20% Kranken, bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von
p: Wahrscheinlichkeit
2 %?
eines Ereignisses von
zwei möglichen
Ereignissen (z.B.
weiblich/männlich)
q = 1-p:
Wahrscheinlichkeit des
komplementären
Ereignisses
k
Poisson-Verteilung:
µ= np
∑
Symbole wie bei
Binomialverteilung,
e: Eulersche Zahl
2,718281828...
Normalverteilung –
allgemeine Form und
Standardform
µ: arithmetisches Mittel
der Grundgesamtheit
f (k ) =
f ( x) =
e
− ( x − µ )2
2σ ²
σ 2π
Wenn µ= 0 und σ = 1 sind, ergibt sich:
f ( z) =
e
− x2
2
2π
σ=
(b − a )²
12
σ=
npq ; Die Verteilung ist
die Basis des Binomialtests
σ=
np ; Die Verteilung geht
aus der Binomialverteilung
hervor, wenn p gegen 0 geht und
n gegen ∞, und wenn np eine
endliche und konstante Größe
bleibt.
Anwendungsfall: Es geht um die Wahrscheinlichkeit
seltener Ereignisse: Wenn z.B. .die Wahrscheinlichkeit, in
einer Klausur zu versagen gleich p = 0,01 ist, ist die
Wahrscheinlichkeit berechenbar, unter n=40
Klausurteilnehmern k= 0, 1, 2, 3, 4 „Ausfälle“ zu haben.
Sie nimmt folgende Werte an: 0,67; 0,26; 0,053; 0,007.
x :arithmetisches
Mittel der Stichprobe
σ : Standardabweichung der
Grundgesamtheit
s:Standardabweichung der Stichprobe
π: Kreiskonstante:
3,141592654...
z : Standardisierter
Meßwert
(np) −np
e
k!
Standardabweichung bzw.
Varianz/ Erläuterung
µ ist
definiert
zwischen
- ∞ und
+ ∞.
Für die
Standardnormalverteilung
ist µ=0.
σ definiert zwischen 0 und +∞.
Die Verteilung geht aus der
Binomialverteilung hervor, wenn
n gegen ∞ geht, und npq > 9 ist.
Sie ist die Basis des z-Tests.
Jede beliebige Normalverteilung
läßt sich durch Standardisierung
der Meßwerte in z-Werte
xi − x
s
Anwendungsfall: Stammt eine Stichprobe mit n = 49, s =
z=
9,3 und x = 75 mit 1 % Irrtumswahrscheinlichkeit aus
einer normalverteilten Grundgesamtheit mit µ= 72,
umrechnen. Es entsteht dann die
Standardnormalverteilung f(z).
σ=9?
Lösung:
z=
x−µ
σ
Bei ihr ist σ = 1.
n = 2,333
p = α = 0,0098 < 0,01. Die Nullhypothese
x = µ wird abgelehnt, die Alternativhypothese
x > µ angenommen.
113
χ²-Verteilung
df
χ² =
∑z
i =1
2
i
k
( f b − f e )2
i =1
fe
χ =∑
2
f (χ ) =
2
χ²: stetige Variable auf
der Abszisse der χ²Verteilung
df: Freiheitsgrad.
fb = beobachtete
Häufigkeit
fe = erwartete
Häufigkeit
Γ Zeichen für die
Gammafunktion
t-Verteilung
χ df2
df
t: stetige Variable auf
der Abszisse der tVerteilung
F-Verteilung
F: stetige Variable auf
der Abszisse der FVerteilung
χ m2
Fm,n=
m
χ n2
n
m = df1
n= df2
µ=df;
( )
* χ
df
2 2 −1
df=(r-1)*
(c-1)
df
2
df
2 *Γ
2
Anwendungsfälle: Eindimensionales χ²:
Die Echtheit eines Würfels wird überprüft.
df = k-1.
Zweidimensionales χ²: Der Zusammenhang zweier
nominalskalierter Variablen, der in einer Kreuztabelle mit
r Zeilen und c Spalten dargestellt ist, wird überprüft (df=
(r-1)*(c-1).
df − 1
Γ
2
z
tdf =
e
−χ 2
2
f(tdf)=
2 * df
; Die Verteilung
() (
)
Γ n = n − 1 ! für alle
natürlichen Zahlen. Die Gammafunktion ist jedoch darüber
hinaus die stetige Erweiterung
der Fakultät für nichtganzzahlige
Werte.
µ=0
für df > 2 ist
df
df − 2
Die Verteilung geht aus der
Division einer z-Verteilung
durch die Wurzel aus einer χ ²Verteilung, deren Werte
ihrerseits durch die Menge der
Freiheitsgrade geteilt werden,
hervor. Sie ist die Basis
verschiedener t-Tests.
σ=
t2
df − 2
dfπ * Γ
* 1 +
2 df
df +1
2
Anwendungsfälle: a)Ist die Differenz der Mittelwertes
einer kleinen Stichprobe (n<30) und einer
normalverteilten Grundgesamtheit mit bekannter Varianz
signifikant ? (df = n-1)
b) Ist die Differenz der Mittelwerte zweier (b1)
unabhängiger(df = n1 + n2 – 2) bzw. (b2) zweier
abhängiger (df = n1 – 1)Stichproben mit homogenen
Varianzen „signifikant“. c) Ist ein Korrelationskoeffizient
r aus einer Stichprobe mit dem Umfang n signifikant ? (df
= n – 2).
m
f (Fm,n ) =
σ=
geht aus der Addition von
quadrierten z-Verteilungen
hervor, wobei die Menge der
Freiheitsgrade df der Menge
der Summanden entspricht.
Sie ist die Basis des χ ²-Tests.
Die sog. Gamma-Funktion liefert
für n >2
m
−1
m + n m 2
Γ
− 1 * F 2
2
n
m n m
Γ − 1Γ − 11 + (F )
n
2
2
µ=
m+ n
2
Anwendungsfälle: a) Homogenitätsprüfung für die
Varianzen zweier unabhängiger Stichproben beim t-Test.
b) Verschiedene Formen der Varianzanalyse. Hier geht es
z.B. um die Frage, ob die Mittelwerte mehrerer
unabhängiger Stichproben, die verschiedenen
Ausprägungen einer nominalskalierten Variable
zugehören, in mindestens einem Fall signifikant
verschieden sind (einfaktorielle Varianzanalyse).
m
n −2
für m >5
σ=
2m 2 (m + n − 2)
n(m − 4)(m − 2)²
Die Verteilung geht aus der
Division zweier χ ²Verteilungen hervor, die
ihrerseits durch die Menge ihrer
Freiheitsgrade geteilt wurden.
.
114
8. Bivariate Verteilungen - Zusammenhangsdarstellungen und -maße
Erst wenn mindestens zwei Merkmale gleichzeitig an einer Erhebungseinheit festgestellt werden, können
Zusammenhänge von Merkmalen beschrieben werden.
Der Begriff "Zusammenhang" hat hierbei eine spezielle Bedeutung. Er besagt, daß die Kenntnis der
Ausprägung eines Merkmals eine Prognose der Ausprägung eines anderen Merkmals zuläßt.
Dabei ist diese Prognose mehr oder minder genau. Statistische Maßzahlen (Koeffizienten), die die
Genauigkeit dieser Prognose beschreiben, sind in der Regel zwischen 0 und 1 definiert. Ist der
Genauigkeitsgrad gering, geht der Koeffizient gegen 0, ist er groß, geht der Koeffizient gegen Eins.
Eine spezielle Problematik des Ansatzes für eine solche Prognose ist durch das Skalierungsniveau der Daten
gegeben. Bei Daten auf dem Nominalniveau kann ich nur Häufigkeiten für verschiedene Kategorien
vorhersagen, bei Daten auf dem Ordinal-Niveau nur Häufigkeiten für Ränge; erst bei Daten auf dem Intervallund Ratio-Niveau kann man Funktionswerte und Abweichungskorridore für solche Funktionen beschreiben.
Dabei kann es sich um lineare und nicht-lineare Funktionen mit einer abhängigen und einer unabhängigen
Variable handeln oder um Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen.
Die folgenden Ausführungen geben eine Auswahl aus den Möglichkeiten der Darstellung statistischer
Zusammenhänge wieder.
9. Korrelation und Regression
9.1 Zwei intervallskalierte Merkmale
9.1.1. Die Regressionsgeraden und die Regressions-Koeffizienten
Wir gehen von folgendem praktischen Beispiel aus:
In einer empirischen Untersuchung von Drogenabhängigen stellte sich folgender Konsum von Alkohol und
Tabletten (Beruhigungsmittel) heraus:
yi
xi
Alkohol in cl
pro Tag
Name
Paul
Peter
Jutta
Carla
Annette
Eduard
Siegfried
Urs
5
2
8
6
6
8
7
2
Beruhigungstabletten
pro Tag
9
13
1
9
10
3
15
6
Stellen wir diese Verteilung in einem y/x-Achsenkreuz graphisch dar, dann ergibt sich das folgende Bild:
115
Tablettenkonsum und Alkoholkonsum bei 8 Drogenabhängigen
16
14
2. Regressionsgerade
12
10
y
8
TABLETTE
6
1.
4
Regressionsgerade
2
0
0
1
2
3
4
5
x
6
7
8
9
ALKOHOL
Die Wertepaare sind in dieser Graphik, die auch „Scatterplot“ genannt wird, als kleine Quadrate eingezeichnet.
Die senkrechte Linie liegt dort, wo bei dem Alkoholgebrauch pro Tag das arithmetische Mittel (5,5) liegt, die
waagerechte Linie liegt dort, wo beim Tablettengebrauch das arithmetische Mittel (8,25) liegt. Durch den
Kreuzungspunkt beider Linien verlaufen die sogenannten „Regressionsgeraden“, auf die wir unten noch
eingehen.
Wie wir später sehen werden, können wir aufgrund obiger Rechenergebnisse zwar sagen, daß ein Verdacht
besteht, in der Stichprobe hingen Tablettenkonsum und Alkoholkonsum in dem Sinne zusammen, daß das eine
das andere ersetzt. Wie wir aber weiterhin sehen werden, kann dieser Verdacht aufgrund der vorhandenen Daten
statistisch nicht gesichert werden. Wie gehen wir zur Erlangung dieser Aussagen nun im einzelnen vor ?
Nach den uns bekannten Methoden können wir nun für die Meßwerte xi und yi die arithmetischen Mittel und die
Standardabweichungen berechnen. Hierdurch erfahren wir aber noch nichts über den Zusammenhang der
Variablen.
Was bedeutet nun "Zusammenhang" im Sinne der Statistik? Der Begriff "Zusammenhang" meint die
Möglichkeit, in Kenntnis des Wertes der einen Variablen den Wert der anderen vorhersagen zu können. Eine
solche Vorhersage ist bei intervallskalierten Daten gut formulierbar, wenn eine Funktion x=f(y) benannt werden
kann, die dieser Vorhersage zugrunde liegt. Weiterhin kann die Vorhersage mehr oder minder genau sein, so
daß der vorhergesagte Wert eintrifft oder knapp bzw. weit verfehlt wird.
In der Statistik löst man dieses Problem so, daß eine Funktion gesucht wird, bei der die Summe der
quadrierten Differenzen zwischen prognostizierten und eingetretenen Werten der Ordinate in unserer
Graphik ein Minimum wird.
Zunächst gilt es, den Funktionstyp festzulegen. Hierbei können wir uns fragen, ob die Funktion ein Polynom
vom 1. Grade (eine lineare Funktion) oder ein Polynom höheren Grades sein soll (Parabel, kubische Funktion
etc.). Die Entscheidung hierüber liegt in der Regel bei der Theorie über den Gegenstand. Haben wir den
Funktionstyp festgelegt (wir wählen hier eine Gerade), dann wählen wir die Methode der Berechnung des
Verlaufs der gesuchten Funktion. Diese Methode soll, wie oben gesagt, gewährleisten, daß die gesuchte
Funktion die Bedingung minimaler Abweichungsquadrate erfüllt.
Der Fall, den wir hier behandeln, geht von dem Funktionstyp "Gerade" aus. Da eine Gerade durch zwei
Konstanten, den Abschnitt auf der y-Achse a und die Steigung b, festgelegt wird, müssen wir a und b berechnen.
Die Koeffizienten a und b nennen wir die Regressionskoeffizienten.
Wenn wir von x ausgehend y vorhersagen wollen, ergibt sich allerdings eine andere Gerade als wenn wir von y
ausgehend x vorhersagen wollen.
Deshalb suchen wir zwei Geraden, die sogenannten Regressionsgeraden:
116
(1) y = a1 +b1x
(2) x = a2 +b2y
Zu beachten ist, daß wir in der ersten Gleichung y, in der anderen x vor dem Gleichheitszeichen haben.
Dies ist wichtig, wenn wir die Geraden zeichnen wollen, weil a1 ein Abschnitt auf der y-Achse, a2 ein Abschnitt
auf der x-Achse ist.
Die Berechnung von b1, b2, a1 und a2 kann nun nach folgendem Verfahren erfolgen, das allerdings umständlich
ist, und das wir in der Praxis nicht anwenden:
Σ (x − x ) * ( y
n
b1 =
i
i =1
1
2
2
(Kovarianz)
2
(Summe der quadrierten Abweichungen)
= y − b1 x
Σ (x − x ) * ( y
=
i
Σ (y
i =1
n
i =1
a
)
i
n
b
−y
Σ (x − x )
n
i =1
a
j
j
−y
j
)
−y
)
(Kovarianz)
2
(Summe der quadrierten Abweichungen)
= x − b2 y
Vereinfachte Berechnungsweisen sind die folgenden (weniger Rechenaufwand, obwohl die Formeln
komplizierter aussehen):
Wir bestimmen zunächst folgende Ausdrücke:
n
Menge der Meßwertpaare
n
Σx
i
Σx
i
i =1
n
i =1
n
2
Σy
i =1
n
Σy
i =1
n
Summe der Meßwerte der Variablen x
Summe der quadrierten Meßwerte der Variablen x
Summe der Meßwerte der Variablen y
j
2
Summe der quadrierten Meßwerte der Variablen y
j
Σxy
i =1= j
i
n
Σ xi
i =1
j
Summe der Produkte der Meßwertpaare
2
n
Σ y j
i =1
Quadrierte Summen der Meßwerte der Variablen x bzw. y:
2
Diese setzen wir in die unten aufgeführten Formeln ein:
117
n
n
n
n * Σ xi y − Σ xi * Σ y
j
j
k =1
k =1
k =1
2
b1 =
n
n
2
n * Σ xi − Σ xi
k =1
k =1
n
n
2
n
n
*
−
*
y
Σ j Σ xi Σ xi Σ xi y j
k =1
k =1
k =1
k =1
2
a1 =
n
2
n
n * Σ xi − Σ xi
k =1
k =1
bzw. vereinfacht: (s.o.)
a
1
= y − b1 x
9.1.2. Der Produkt-Moment-Korrelationskoeffizient r
Während die Regressionskoeffizienten für gegebene Meßwertpaare nur die Geraden angeben, an die die
Meßwerte in Richtung x- oder y-Achse nach dem Kriterium minimaler Abstandsquadrate optimal angepaßt sind,
soll der Produktmoment-Korrelationskoeffizient den Anpassungsgrad selber signalisieren. Dabei sind folgende
Fälle zu unterscheiden:
- Totale Anpassung :
- keine Anpassung :
- "mittlere" Anpassung:
r = ±1
r=0
0 < |r| <1
Das Vorzeichen von r ist das gleiche wie das der Steigung von b1.
r wird aus folgender "Urform" gewonnen und dann zu einer rechentechnisch optimierten Form umgeformt:
Σ (x − x ) * ( y
n
i
i = j =1
r=
Σ (x − x )
n
n*
i =1
n
=
Σ (x − x ) * ( y
i
j
Σ (x − x ) * Σ ( y
n
i =1
2
i
Σ (y
j =1
*
n
i = j =1
−y
n
j =1
−y
)
n
2
i
j
j
−y
)
2
n
)
−y
j
(Kovarianz)
)
2
Die rechentechnisch optimierte Formel lautet:
Produkt der Standardabweichungen, multipliziert mit n).
118
n*
r=
n
Σxy
i = j =1
i
n
n
i =1
j =1
− Σ xi * Σ y
j
j
2
2
n
n
2
n
2
n
n * Σ xi − Σ xi * n * Σ y j − Σ y j
i =1 j =1
j =1
i =1
In der "Urform" enthält r im Zähler deutlich sichtbar die "Kovarianz", im Nenner das geometrische Mittel der
Summen der quadrierten Abweichungen von x bzw. y. Die Kovarianz ist ein Ausdruck für die gemeinsame
Veränderung der Variablen x und x. Ist sie gleich 0, besteht kein Zusammenhang. Sie wird gleich 0, wenn die
Regressionsgeraden entweder zur X-Achse oder zur Y-Achse parallel verlaufen. Sie ist positiv, wenn die Gerade
nach rechts ansteigt, negativ, wenn sie nach rechts fällt. Das Produkt der Abweichungs-Quadratsummen im
Nenner ist gleich 0, wenn auf einer Variablen keine Variation vorliegt. Dann ist der Koeffizient nicht
berechenbar (wegen des Verbots, durch 0 zu teilen).
Bei Linearität des Zusammenhangs erreicht die Kovarianz genau das geometrische Mittel der summierten
Abweichungsquadrate, so daß r = 1; bei Abweichungen von der Linearität der Wertepaare ist die Kovarianz
kleiner als das geometrische Mittel der summierten Abweichungsquadrate.
Daher ist in solchen Fällen 0 < |r| <1.
9.1.3. Ein Rechenbeispiel
Wir gehen von den oben aufgeführten Daten zum Zusammenhang von Alkoholkonsum und Tablettenkonsum
aus, für den oben schon eine Graphik erstellt wurde.
Wertepaare und Arbeitstabelle für Rechengang Nr. 2:
fk
1
1
1
1
1
1
1
1
n= 8
Alkohol in cl
xi
xi²
yj
5
2
8
6
6
8
7
2
25
4
64
36
36
64
49
4
9
13
1
9
10
3
15
6
n
n
n
∑ xi = 44
i =1
∑ xi ² = 282
i =1
(Σ x ) = 1936
2
i
Wir berechnen zunächst b1:
b1 =
8 * 334 − 44 * 66 − 232
=
= −0,725
8 * 282 − 1936
320
Sodann ermitteln wir a1:
Tabletten pro Tag
yj2
81
169
1
81
100
9
225
36
∑ y j = 66
j =1
(Σ y )
2
j
= 4356
n
∑ y 2j = 702
j =1
xi *yj
45
26
8
54
60
24
105
12
n
∑x y
i = j =1
i
j
=334
119
a1 = 8,25 − (−0,725 * 5,5) = 12,238
Danach ermitteln wir b2:
b2 =
8 * 334 − 44 * 66
− 232
=
= − 0 ,184
8 * 702 − 4356
1260
sodann a2:
a
2
= 5,5 − (−0,184 * 8,25) = 7,018
Schließlich setzen wir die errechneten Werte für r ein:
r=
8 * 334 − 44 * 66
= −0,365
(8 * 282 − 1936)(8 * 702 − 4356)
Die Regressionsgeraden sind somit bestimmt als
1. Regressionsgerade:
y = a1 + b1x = 12,238 – 0.725 x
2. Regressionsgerade:
x = a2 + b2y = 7,018 –0,184y
Merke :hier ist x = f(y)
Beide Regressionsgeraden sind in die o.a. Graphik eingezeichnet. Ihr Winkel korrespondiert mit dem
Korrelationskoeffizienten r insofern, als ein Korrelationskoeffizient von 1 dem Winkel von 0° entspräche, ein
Korrelationskoeffizient von 0 einem Winkel von 90°.
Die Voraussetzung für die Berechnung des Korrelationskoeffizienten ist, daß beide Variablen x und y
normalverteilt sind und daß es sinnvoll ist, eine Gerade als Repräsentantin entsprechender „Punktwolken“ aus
Wertepaaren anzusehen.
Hier muß nur noch darauf hingewiesen werden, daß das Quadrat des Korrelationskoeffizienten
r²
auch als Determinationskoeffizient bezeichnet wird und angibt, in welchem Maße die Varianz der Variable y
durch die Varianz der Variable x erklärt wird (siehe hierzu auch eta² in der Varianzanalyse unten).
9.2. Zwei ordinal skalierte Merkmale
9.2.1. Kruskals Gamma
Auch für den Fall ordinal skalierter Merkmale ist man an der statistischen Beschreibung von Zusammenhängen
interessiert. Das heißt, man will in Kenntnis des Wertes - der Ausprägung - einer Variablen den Wert der
anderen vorhersagen. Während nun bei intervallskalierten Merkmalen oder Variablen mit Abständen und
Abstandsquadraten argumentiert werden kann, ist dies bei Rangskalen verboten; daher ergibt sich die
Notwendigkeit, neue Konzepte für Rangkorrelationen zu entwickeln. Hierbei geht eine Gruppe von Statistikern
vom Konzept der konkordanten und diskordanten Paare aus.
120
Beispiel:
13 Schüler geben ein Urteil ab über 3 Lehrer, die sie in einem System von je drei Rängen plazieren, einmal auf
der Dimension "Sachbezogenheit", zum anderen auf der Dimension "positiver Beitrag zum Gruppenklima".
Das Ergebnis sei die folgende Tabelle mit 39 Urteilen, die für beide Dimensionen vorliegen; für jeden Lehrer
gibt es die Angabe der Position auf beiden Rangskalen, die jeweils 3 Ränge umfassen:
39 Urteile über 3 Lehrer durch 13 Schüler, betreffend deren Sachbezogenheit und ihren Beitrag zum
Gruppenklima.
Rang
Sach-
1
Rang: "Gruppenklima"
2
3
5
7
2
11
12
13
1
bezogen
1
9
0
21
1
22
3
23
11
31
32
33
2
heit
Die Zahlen in den einzelnen Zellen
bedeuten:
obere Zahl: Häufigkeit
untere Zahl:
Kombination der zellenspezifischen
Ränge.
3
Die Zelle mit der Zugehörigkeit zu den Rängen 1 auf beiden Skalen hat insofern die Kennzeichnung 11.
Die Ränge werden hier so interpretiert, daß kleine Rangzahlen höhere Ränge anzeigen als große Rangzahlen.
Ein Lehrer mit den Rängen
x=1/y=1
und ein Lehrer mit den Rängen
x=2/y=2
bilden nun ein sogenanntes konkordantes Paar, da beide Rangunterschiede auf beiden Variablen "gleichsinnig"
sind.
( x: 1 > 2; y: 1 > 2 )
Ein Lehrer, der die Ränge
x=1/y=3
zugesprochen bekommt, und einer, der die Ränge
x=3/y=1
zugesprochen bekommt, bilden ein sogenanntes "diskordantes Paar", da die Rangunterschiede "ungleichsinnig
sind" (x:1>3;y: 3<1).
Die Menge aller konkordanten Paare wird nun mit Nc bezeichnet, die Menge der diskordanten Paare mit Nd
Kruskals γ („gamma“), ein einfaches Maß für die Rangkorrelation, wird aus
γ =
N −N
N +N
c
d
c
d
bestimmt.
121
Die Berechnung der Menge konkordanten Paare (Nc) erfolgt durch Aufsummieren der aller Produkte von
Häufigkeiten in Zellen, die konkordante Paare enthalten, wie
Zelle
Zelle
Häufigkeit
11
11
11
11
12
12
21
21
22
5
5
5
5
7
7
1
1
9
Produkt
Häufigkeit
22
23
32
33
23
33
32
33
33
9
0
3
11
0
11
3
11
11
5 * 9 = 45
5* 0= 0
5 * 3 = 15
5* 11 = 55
7* 0= 0
7 * 11 = 77
1* 3= 3
1 * 11 = 11
9 * 11 = 99
Nc
= 305
Die Berechnung der Menge diskordanter Paare erfolgt analog:
Zelle
Zelle
Häufigkeit
13
13
13
13
12
12
23
23
22
γ =
2
2
2
2
7
7
0
0
9
Produkt
Häufigkeit
22
21
32
31
21
31
32
31
31
9
1
3
1
1
1
3
1
1
2 * 9 = 18
2*1= 2
2*3= 6
2*1= 2
7*1= 7
7*1= 7
0*3= 0
0*1= 0
9*1= 9
Nd
= 51
305 − 51
= 0,713
305 + 51
In diese Rechnung sind allerdings noch keine Paare einbezogen, bei denen zeilen- oder spaltengleiche Ränge
existieren, wie z.B. bei den Zellen
11 und 12, bei denen der Rang in der Variable Gruppenklima ungleich ist, der bei Sachbezogenheit aber
gleich,
oder 11 und 21, bei denen der Rang in der Variable Gruppenklima gleich ist, der bei Sachbezogenheit aber
ungleich.
Paare, die in sich solchen Zellen befinden, bilden die sogenannten ties, also (teilweise) ranggleiche Elemente in
der Menge der Paare.
Die Berechnung von Gamma berücksichtigt nur die anderen (konkordanten, diskordanten) Paare. Gamma ist wie
r zwischen -1 und +1 definiert. Da es "ties" (Übereinstimmungen von Rängen in einer der Variablen) nicht
berücksichtigt, zeigt es jedoch oft zu "günstige" Werte an und täuscht Zusammenhänge vor.
122
9.2.2. Kendalls τb ("taub").
Ein Maß, das die ties berücksichtigt, ist das Maß τb (taub) von Kendall, das eine erweiterte Form von Kendalls τa
(„taua“) ist. τa ist Kruskals γ vergleichbar:
τa = − N c
− Nd
n(n − 1)
2
Hier steht im Nenner eine Konstante, die Menge der Zellen einer quadratischen Matrix oberhalb der
Hauptdiagonale. Sie betrüge für eine 3*3-Matrix genau 3.
τb hat einen anders definierten Nenner als Kruskals γ:
τb =
N −N
(N + N + T )(N + N + T
c
c
d
x
d
c
d
y
)
In diesem Nenner bedeutet Tx die Menge der "ties" auf der Variablen x (hier „Sachbezogenheit“) , Ty die Menge
der „ties“ auf der Variablen y (hier „Beitrag zum Gruppenklima“).
Die Tx errechnen sich wie folgt:
Zelle
Häufigkeit Zelle
11
5
21
11
5
31
21
1
31
12
7
22
12
7
32
22
9
32
13
2
23
13
2
33
23
0
33
Häufigkeit
1
1
1
9
3
3
0
11
11
Die Ty errechnen sich wie folgt:
Zelle
Zelle
Häufigkeit
11
11
12
21
21
31
31
32
5
5
7
1
1
1
1
3
Produkt
Häufigkeit
12
13
13
22
23
32
33
33
Tx = 144
Ty = 115
Produkt
5* 1= 5
5* 1= 5
1* 1= 1
7 * 9 = 63
7 * 3 = 21
9 * 3 = 27
2* 0= 0
2 * 11 = 22
0 * 11 = 0
Tx
= 144
7
2
2
9
0
3
11
11
5 * 7 = 35
5 * 2 = 10
7 * 2 = 14
1* 9= 9
1* 0= 0
1* 3= 3
1 * 11 = 11
3 * 11 = 33
Ty
= 115
123
Setzt man diese Werte in die Formel ein, dann ergibt sich
τb =
305 − 51
= 0,523
(305 + 51 + 144)(305 + 51 + 115)
Da γ, in dem die "ties" nicht berücksichtigt wurden, den (größeren) Wert 0,713 hatte, ist der "dämpfende"
Einfluß der Einbeziehung der ties in die Formel von τb hier gut sichtbar. Welche ties diesen Einfluß haben, kann
man am Nenner ablesen: Der Einfluß der Tx=144 ist stärker als der Einfluß der Ty=115.
9.3 Zwei nominal skalierte Merkmale
9.3.1 Cramérs V
Für den Fall nominal skalierter Merkmale ist die Möglichkeit nicht mehr gegeben, zwischen einer gleichsinnigen
oder ungleichsinnigen Veränderung der Variablen y bei Veränderung der Variablen x zu unterscheiden, sondern
nur noch die Möglichkeit, zu messen, wie stark die beobachteten Werte von erwarteten Werten abweichen.
Genau dies haben wir beim zweidimensionalen Chiquadrat-Test getan. Ist diese Abweichung groß, dann wird
das Bestehen eines Zusammenhangs vermutet. Was dies bedeutet, kann an folgendem Beispiel demonstriert
werden:
Wir benutzen wiederum das oben zum Chiquadrat-Test angeführte Beispiel:
Mein Hund soll schön und auffallend sein / Wenn der Hund seine Aufgaben nicht erfüllt: Anderen
anschaffen
Schöner
Hund
keinesfalls
eher
nicht
vielleicht
doch
eher ja
Gesamt
Anderen anschaffen
vielleicht
doch
eher nicht
20
6
27,3
11,1
-7,3
-5,1
51
10
43,8
17,8
7,2
-7,8
33
18
30,8
12,5
keinesfalls
86
71,6
14,4
120
115,1
4,9
74
81,0
Anzahl
Erwartete Anzahl
Residuen
Anzahl
Erwartete Anzahl
Residuen
Anzahl
Erwartete Anzahl
Residuen
Anzahl
Erwartete Anzahl
Residuen
Anzahl
Erwartete Anzahl
eher ja
10
12,0
-2,0
15
19,3
-4,3
13
13,6
-7,0
2,2
5,5
-,6
30
42,3
-12,3
310
310,0
14
16,1
-2,1
118
118,0
14
6,5
7,5
48
48,0
14
7,1
6,9
52
52,0
Gesamt
122
122,0
196
196,0
138
138,0
72
72,0
528
528,0
Chi-Quadrat-Tests
Wert
Chi-Quadrat nach
Pearson
Anzahl der gültigen Fälle
df
a
35,491
9
528
a. 0 Zellen (,0%) haben eine erwartete Häufigkeit
kleiner 5. Die minimale erwartete Häufigkeit ist 6,55.
Hier gilt es nur noch, ein Maß der Stärke des Zusammenhangs nachzureichen.
Die Stärke des Zusammenhangs wird durch folgenden Koeffizienten gemessen, der zwischen 0 und 1 definiert
ist:
124
V=
χ
2
n(Min(r − 1); (c − 1))
Dieser Koeffizient, Cramérs V, hat im Zähler das oben berechnete χ2, im Nenner das Produkt aus n (der
Tabellensumme) und dem kleineren von zwei Werten (das bedeutet "Min"):
der Menge der Zeilen minus 1 (=r-1); unsere obige Tabelle hat 4 Zeilen;
oder
der Menge der Spalten minus 1 (=c-1); unsere obige Tabelle hat 4 Spalten.
Für unser konkretes Beispiel errechnen wir
V=
35,419
= 0,149
528 * (4 − 1)
Da Zeilenmenge und Spaltenmenge identisch sind, ist es hier egal, ob wir r-1 oder c-1 in den Nenner
einbeziehen. Die Definition des Nenners stellt sicher, daß V den Wert 1 auch dann erreichen kann, wenn keine
quadratische Matrix vorliegt. Im vorliegenden Fall haben wir es mit einem schwachen Zusammenhang zu tun,
der aber – weil die Nullhypothese im Chiquadrat-Test abgelehnt wurde, als statistisch auf dem 1%-Niveau der
Irrtumswahrscheinlichkeit gesichert gilt.
9.3.2 Phi und korrigiertes χ²
Die Messung von Zusammenhängen zwischen nominal skalierten Merkmalen durch Cramers V bezog sich auf
den Fall von Tabellen beliebig großen Formats. Sinkt das Tabellenformat auf 2 x 2 ab, dann sinkt der
Freiheitsgrad von χ2 auf 1. In diesem Fall wirkt sich die Tatsache, daß bei der oben gezeigten
Berechnungsmethode für Erwartungswerte auch Brüche vorkommen können, in der Realität aber nur ganze
Zahlen als absolute Häufigkeiten denkbar sind, verfälschend auf den Wert von χ2 aus. Weiterhin gibt es für
Vierfeldertabellen ein vereinfachtes Verfahren der Berechnung des statistischen Zusammenhangs, d.h. es
brauchen nicht mehr einzelne Erwartungswerte etc. ermittelt zu werden, sondern nur noch der folgende
Ausdruck (Phi):
Φ=
ad − bc
(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )
Das zur Kontinuitätskorrektur nach Yates modifizierte Chiquadrat errechnet man für Vierfeldertafeln nach
χ =
2
y
[ ad − bc − ] n
n 2
2
(a + b )(c + d )(a + c )(b + d )
Die Buchstaben a, b, c und d in diesen Formeln bedeuten absolute Häufigkeiten in den Zellen einer
quadratischen Tabelle mit 4 Feldern:
a
c
b
d
"a" ist also immer die Häufigkeit "links oben", "d" die Häufigkeit "rechts unten" etc.
125
Rechenbeispiel:
In einer Untersuchung über die geschlechtsspezifischen Einstellungen zur Nutzung der Atomkraft verteilten sich
die Aussagen für bzw. gegen ein sofortiges Abschalten aller Atomkraftwerke wie folgt:
für sofortiges Abschalten
der AKW
gegen sofortiges
Abschalten der AKW
Summe
Frauen
7
5
12
Männer
4
9
13
Summe
11
14
25
Setzt man die Werte in die Formel für Φ ein, ergibt sich:
Φ=
7 *9 − 4*5
= 0,28
(7 + 4)(5 + 9)(7 + 5)(4 + 9)
χ
2
y
[7 * 9 − 4 * 5 − ] * 25 = 0,968
=
25 2
2
(11)(14)(12)(13)
Prüft man die Nullhypothese, daß die Häufigkeiten „randverteilt“ sind bei 1 % Irrtumswahrscheinlichkeit
einseitig, dann müßte man dies an einer Chiquadratverteilung mit einem Freiheitsgrad tun. Der Kriteriumswert
betrüge dann 6,63.
Da das berechnete Chiquadrat nur 0,968 beträgt, behalten wir die Nullhypothese bei, d.h. wir rechnen nicht mit
einem Zusammenhang von Geschlecht und Einstellung zur Nutzung der Atomkraft.
Der Statistiker Cole schlägt noch eine Korrektur von Phi vor, weil Phi den Maximalwert 1 nur annehmen kann,
wenn die Felder einer Diagonale leer sind. Um eine Unterschätzung des Zusammenhangs zu vermeiden, schlägt
er vor, Phi nach verschiedenen Formeln zu berechnen, je nachdem, ob der Zähler ein positives oder negatives
Vorzeichen hat. Einzelheiten referieren Clauß und Ebner (Grundlagen der Statistik für Psychologen, Pädagogen
und Soziologen, 2. Auflage 1975, S. 285).
10. Signifikanztests für Korrelations- und Assoziationsmaße
10.1. t-Test für den Produktmomentkorrelationskoeffizienten
Die Nullhypothese lautet in diesem Fall: "In der Grundgesamtheit ist die Korrelation gleich Null".
Der Test dieser Hypothese ist möglich mit Hilfe eines kritischen Wertes "t", der wie folgt berechnet wird.
t=r
n−2
1− r
2
df= n-2
Wenden wir diese Formel auf unser Rechenbeispiel vom Zusammenhang des Alkohol- und Tablettenkonsums
an, dann können wir einsetzen:
t = 0,365
8−2
= 0,96
1 − 0,133
126
für 8-2 = 6 Freiheitsgrade wäre der Kriteriumswert der t-Verteilung bei einseitigem Test und 1 %
Irrtumswahrscheinlichkeit t = 3,14. Da unser empirischer t-Wert mit t = 0,96 kleiner ist, behalten wir die
Nullhypothese bei und Verneinen die Vermutung eines Zusammenhangs von Alkohol- und Tablettenkonsum.
Einfacher ist es noch, eine Tabelle von Zufallshöchstwerten von r zu Rate zu ziehen (vgl. Erna Weber, Jena
1972, S. 652).
10.2. Z-Test für Kendalls "tau"
Für Kendalls tau existiert ein Signifikanztest auf der Basis der standardisierten Normalverteilung. Der kritische
z-Wert
Z =
(N − N ) ± 1
c
d
n( n − 1)( 2 n + 5)
18
wird unter folgender Nebenbedingung berechnet; für Nc < Nd ist die Zahl 1 dem Zähler hinzuzuaddieren;
ist Nc > Nd, ist 1 zu subtrahieren. Bedenken gegen diesen Koeffizienten sind insofern legitim, als die zVerteilung und die t-Verteilung Abstände voraussetzen, die bei Rangkorrelationen nicht gegeben sind.
Weiterhin wird die Menge der ties nicht in die Kriteriumsberechnung einbezogen.
10.3. Einschränkungen der Chiquadrat-Tests für Cramers V und Phi
Es sei hier noch nachgetragen, daß bei Tabellen mit im Durchschnitt weniger als 5 Elementen pro Zelle der
Chiquadrattest problematisch wird, weil die Chiquadratverteilung große n voraussetzt. In der Praxis wird man
daher durch Modifikation von Tabellen (mittels Zusammenfassung von Kategorien oder Weglassen schlecht
besetzter Kategorien) dafür Sorge tragen, daß nicht mehr als 20 % der Zellen Erwartungswerte von weniger als
5 haben. Allerdings ist in der Berichterstattung auf eine solche Prozedur hinzuweisen.
Für kleine n wird statt der Chiquadrat-Methoden "Fishers exakter Test" empfohlen, der allerdings nur den
Vierfelder-Fall betrifft.
10.4 Fisher's exakter Test
Eine Methode zur Analyse von Vierfeldertafeln in bezug auf die Frage, ob bestehende Zusammenhänge auch in
der Grundgesamtheit vorhanden sind, bietet Fisher's "exakter" Test. Er gestattet es, die Wahrscheinlichkeiten für
das Auftreten bestimmter Zellenbesetzungen zu berechnen, wenn die Randverteilungen gegeben sind. Für
folgenden Fall
10
10
10
sind folgende Zellenbesetzungen denkbar:
10
127
0
10
10
0
1
9
9
1
2
8
8
2
3
7
7
3
4
6
6
4
5
5
5
5
6
4
4
6
7
83
3
7
8
2
2
8
9
1
1
9
10
0
0
10
Der Test berechnet für eine konkrete Verteilung, z.B. für die Verteilung
3
7
7
3
die Wahrscheinlichkeit ihres Eintretens nach Maßgabe der hypergeometrischen Verteilung mit der Formel
Formel:
p(a)
x
=
( a + b) !( c + d ) !( a + c) !( b + d ) !
a !b !c ! d ! n !
Hierbei sind a, b, c und d die Häufigkeiten einer Vierfeldertabelle
a
b
c
d
p (a) x ist die Wahrscheinlichkeit, daß - bei gegebenen Randsummen - a den Wert x annimmt. Für unser o.a.
Beispiel können wir ermitteln:
Punktwahrscheinlichkeiten
aufsummierte Werte:
0,000005413
p(a)0= 0,000005413
0,001087921
p(a)1= 0,000541254
0,011507069
p(a)2= 0,010960402
0,089447703
p(a)3= 0,077940635
0,328140896
p(a)4= 0,238693193
0,6718591
p(a)5= 0,343718198
0,410552287
p(a)6= 0,238693193
0,988492922
p(a)7= 0,077940635
0,99453324
p(a)8= 0,010960402
0,999994578
p(a)9= 0,000541254
1,0000
p(a)10= 0,000005413
Der Fisher Test summiert nun die Wahrscheinlichkeiten auf, die für ein konkretes a = x und alle möglichen
kleineren a < x gelten. Diese Summe
x
Σ p( a = i )
i=0
wird nun wie folgt interpretiert: Ist ihr Wert größer als ein Kriteriumswert (die zugelassene Wahrscheinlichkeit
für die irrtümliche Ablehnung der Nullhypothese, daß in der Grundgesamtheit kein Zusammenhang besteht),
wird die Nullhypothese angenommen.
Der Fisher-Test wird als "einseitiger" Test interpretiert: er ist nur anwendbar auf die schwächstbesetzte Zelle
einer Tabelle! Diese muß beim Test immer in der Position von a sein:
128
a
Modifikationen referiert Sidney Sigel, a.a.O., S. 101 ff.
Die o.a. Berechnungen zeigen, daß der Fall
2
8
8
2
noch zur Ablehnung der Nullhypothese führt,
3
7
7
3
schon zur Annahme der Nullhypothese führt.
daß aber der Fall
Das gleiche Ergebnis ist aber auch näherungsweise mit Hilfe der Chiquadrattechnik zu erzielen, wenn man die
Yates-Korrektur benutzt.
11. Einfaktorielle Varianzanalyse
Während beim t-Test aufgrund der Mittelwertsdifferenzen geprüft werden kann, ob zwei Stichproben aus einer
gemeinsamen Grundgesamtheit gezogen worden sein können, bietet die einfaktorielle Varianzanalyse die
Möglichkeit, mehrere gleichgroße Stichproben in bezug auf die Frage zu untersuchen, ob sie alle aus einer
gemeinsamen Grundgesamtheit stammen können oder nicht. Die Nullhypothese würde sein:
H0= µ1=µ2=µ3=µ4.
Die einfaktorielle Varianzanalyse erlaubt es, zu überprüfen, ob sich verschiedene Stichproben, deren Mitglieder
aus unterschiedlichen "Bereichen" kommen, so unterscheiden, daß man die Unterschiede durch die Herkunft aus
unterschiedlichen Bereichen "erklären" kann. Bereiche können dabei z.B. regional, temporal, institutionell oder
auch experimentell definiert sein.
An einer Volkshochschule werden Spanier in Deutsch unterrichtet. Alle Dozenten benutzen das gleiche
Lehrmaterial, aber die Personen, die unterrichten, praktizieren informell sehr verschiedene persönliche Lehrstile.
Diese wirken sich auf die Motivation der Beteiligten fördernd oder hinderlich aus. Die Menge der Fehltage in
einem Jahr schwankt deshalb beträchtlich. Die Frage ist nun, liegt das am Lehrstil?
Jeweils
5 Teilnehmer bei den 4 verschiedenen Dozenten werden nun befragt, wie oft sie bei dem Dozenten im letzten
Semester gefehlt haben. Die Antworten lauten:
Dozent Nr.
1. Person
Fehltage
1
1
2
2
3
3
4
4
2. Person
Fehltage
1
2
5
3
3. Person
Fehltage
3
5
7
2
129
4. Person
Fehltage
1
6
5
1
5. Person
Fehltage
0
3
6
0
Zunächst können wir die durchschnittliche Fehldauer pro Dozent feststellen: Sie beträgt bei
Dozent Nr.
1
2
3
4
x
1,2
3,6
5,2
2,0
k
Hiernach scheint es so zu sein, als ob es aufgrund der Mittelwertdifferenzen deutliche Unterschiede zwischen
den einzelnen Teilstichproben gibt. Um dies genauer zu klären, stellen wir den Mittelwert aller Meßwerte fest.
Er beträgt für unsere Daten
x
tot
=3
„tot" ist ein Kürzel für "total - alle".
Die weitere Analyse der Streuungen geht nun folgenden Gang:
Von der Varianz, die - wenn die Grundgesamtheitsvarianz geschätzt werden soll - als
σ
2
=
Σ
(x − x)
2
i
n −1
definiert ist, wird zunächst nur der Zähler, also die Summe der Abweichungsquadrate, auch "Quadratsumme"
genannt, abgekürzt QS, betrachtet.
Beziehen wir in die Berechnung von QS alle Meßwerte aus allen Stichproben ein, und wählen wir
x
als Bezugsgröße,
tot
dann erhalten wir
QS
tot
=Σ
(x − x )
i
2
tot
Dies ist die Quadratsumme, über alle Meßwerte gerechnet.
Dieser Ausdruck wird als Resultat einer Addition aufgefaßt:
QStot = QStreat
+ QSfehler
"Treat" ist hier eine Abkürzung für "Treatment" (Behandlung).
QStreat
ist die Quadratsumme, deren Zustandekommen durch
130
unterschiedliche "Treatments" entstanden ist.
ist eine durch zufällige Variation entstandene Quadratsumme.
QSFehler
Diese Gleichung spiegelt wieder, daß die Unterschiede zwischen den Meßwerten einen systematisch
verursachten Anteil, QStreat
in unserem Falle durch die spezifische Lehrmethode des Dozenten verursachten Anteil - ,
und einen zufälligen Anteil
QSFehler
haben.
Diese Quadratsummen sind ihrerseits chiquadratverteilt, mit
Freiheitsgraden, für die folgendes gilt:
= dftreat
dftot
Teilt man QStreat
+
durch QStot
dffehler
, dann erhält man, wenn der
Quotient mit 100 multipliziert wird, den „Prozentsatz der Varianzaufklärung“:
QStreat * 100
Varianzaufklärung = ------------- = eta² + 100
QStot
wird wie folgt berechnet:
Die QStreat
QS
= nΣ
treat
(x − x )
k
2
tot
Hier werden die Differenzen der "dozentenspezifischen" Mittelwerte und des Gesamtmittelwerts quadriert,
aufsummiert und mit n multipliziert.
Die QSfehler
wird wie folgt berechnet:
Für jeden Bereich k - also für jeden Dozenten wird die dozenten-spezifische Quadratsumme ermittelt. Alle diese
Summen werden aufaddiert. Daher die Doppelsumme.
QS
treat
= ΣΣ
(x − x )
i
2
k
Jeder Quadratsumme entspricht nun eine Schätzung der entsprechenden Varianz der Grundgesamtheit, also
der totalen Varianz, der durch das "Treatment verursachten" Varianz und der durch "Fehler" verursachten
Varianz.
Diese Schätzungen erhält man, wenn man jeweils eine dieser Quadratsummen durch die ihr entsprechende
Menge an Freiheitsgraden teilt:
131
σ∃
2
tot
=
QS
df
tot
tot
σ∃
2
treat
QS
df
=
treat
treat
σ∃
2
fehler
QS
=
df
fehler
fehler
Die Freiheitsgrade, df, werden hier wie folgt bestimmt:
dftot = n*p-1, wobei in unserem Beispiel n die Menge der Schüler
pro Dozent ist, p die Menge der Dozenten.
dftreat
= p-1
dffehler
= p*(n-1)
Die Frage, ob der Grad der Varianzaufklärung
Varianzaufklärung =
QS *100
= eta
QS
treat
2
* 100
tot
zufällig zustandekommt oder statistisch gesichert ist, wird nun mit Hilfe des F-Tests geprüft. Hierbei gilt die
Beziehung:
σ∃
F=
σ∃
2
treat
2
fehler
wobei die Menge der Freiheitsgrade jene ist, die im Nenner der in diesen Bruch einbezogenen Ausdrücke steht.
Wie oben schon erläutert, entsteht die F-Verteilung aus zwei Chi-Quadrat-Verteilungen, mit jeweils einer
spezifischen Menge an Freiheitsgraden. Die Entscheidung, ob ein konkreter Bruch F zufällig zustande kommt
oder nicht, wird wieder - wie schon bei den anderen oben gezeigten Verteilungen - an einem kritischen Wert c
orientiert. c entspricht einem vorher festgelegten Niveau der Irrtumswahrscheinlichkeit für eine bestimmte FVerteilung. Dieses c wird mit dem konkreten berechneten F, für die jeweils relevante Kombination von
Freiheitsgraden, verglichen. Ist das empirisch ermittelte F > c, wird die o.a. Nullhypothese abgelehnt.
Für unser Beispiel errechnen wir:
QS
treat
= 47,2 df
= 3σ∃treat = 15,733
2
treat
132
F=
QS
fehler
= 36,8 df
= 16 σ∃fehler = 2,300
2
fehler
c
QS
tot
= 84,0 df
15,733
= 6,841
2,3
3;16;1%
= 5,29
= 19 σ∃tot = 4,442
2
tot
Da F > c ist, können wir die Nullhypothese auf dem 1% Niveau ablehnen. Es zeigt sich eine
Varianzaufklärung =
QS *100
= 56,19%
QS
treat
tot
Damit wird in diesem Beispiel das Problem der Fehlzeiten zur über 50 % durch die dozentenspezifische Art des
Lehrens erklärt.
Der entsprechende SPSS-Ausdruck sah für frühere SPSS-Versionen (SPSS6 oder 7) folgendermaßen aus:
ANOVA /VARIABLES haeuf BY dozent (1,4) /STATISTICS ALL.
HAEUF
BY DOZENT
TOTAL POPULATION
3.00
(
20)
DOZENT
1
2
1.20
3.60
(
5) (
5)
(
* * *
3
5.20
5)
C E L L
(
M E A N S
* * *
4
2.00
5)
* * * A N A L Y S I S
HAEUF
BY
DOZENT
Sum of
Source of Variation
Squares
DF
Main Effects
47.200
3
DOZENT
47.200
3
O F
Explained
47.200
3
Residual
36.800
16
Total
84.000
19
20 Cases were processed.
0 Cases (
.0 PCT) were missing.
V A R I A N C E
Mean
Square
15.733
15.733
15.733
2.300
4.421
* * *
F
6.841
6.841
Signif
of F
.004
.004
6.841
.004
133
Rechenschritte einer einfachen Varianzanalyse:
Gegeben sind m Teilstichproben vom Umfange ni
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Man berechnet die arithmetischen Mittel und die Varianzen für alle Teilstichproben und für den gesamten
Datensatz.
Die Varianzen der Teilstichproben werden mit (n-1) multipliziert. Es resultieren die Quadratsummen (QS)
der Teilstichproben.
Man addiert diese und erhält die Fehlerquadratsumme (QSFehler)
Man ermittelt die Freiheitsgrade für QSFehler, indem man die Menge der Teilstichproben m mit (n-1)
multipliziert. Es resultiert dfFehler. Dann teilt man QSFehler durch dfFehler. Es resultiert die Fehlervarianz, die
auch Binnenvarianz pro Freiheitsgrad genannt wird und durch σ²Fehler bezeichnet wird.
Man ermittelt die Treatmentquadratsumme QSTreatment, in dem man die Differenzen zwischen den
Mittelwerten der Teilstichproben und dem Mittelwert der Gesamtstichprobe bildet, diese Differenzen
quadriert und aufsummiert. Die Summe multipliziert man mit n. Man ermittelt die Freiheitsgrade dfTreatment
von QSTreatment, indem man von der Menge der Teilstichproben m die Zahl 1 subtrahiert (m-1). Man teilt
QSTreatment durch dfTreatment und erhält die Zwischenvarianz pro Freiheitsgrad σ²Treatment.
Man addiert QSFehler und QSTreatment und erhält QStot.
Man ermittelt den F-Wert, indem man σ²Treatment durch σ²Fehler teilt. Dem Zähler werden die Freiheitsgrade
des Treatment dfTreatment zugeschrieben, dem Nenner die Freiheitsgrade für die Fehler dfFehler.
Es wird – beispielsweise bei einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1 % der kritische Wert in der F-Verteilung
gesucht, der Fdftreatment,dffehler,1% entspricht. Ist der empirische F-Wert größer als der kritische F-Wert, wird die
Nullhypothese verworfen, daß alle Teilstichproben aus der gleichen Grundgesamtheit gezogen worden sein
können. Ist der empirische F-Wert größer als der kritische F-Wert, behält man die Nullhypothese bei.
Man ermittelt den Grad der Varianzaufklärung aus dem Quotienten QSTreatment* 100/ QStot= eta²*100
Man interpretiert das Ergebnis etwa folgendermaßen: Die Nullhypothese..............wird
beibehalten/abgelehnt bei .......% Irrtumswahrscheinlichkeit. Der Grad der Varianzaufklärung ist....%.
12. Einführung in statistisches Rechnen
134
Es gibt in der Statistik viele Symbole, deren Bedeutung bekannt sein müssen, wenn entsprechende Formeln
verstanden und sinngemäß angewendet werden sollen. Leider ist die Schreibweise und Definition einiger
Symbole nicht bei allen Autoren einheitlich, so daß nicht selten aus dem Kontext erschlossen werden muß, was
gemeint ist. Eine grundlegende Einführung auch in die mathematische Symbolsprache ist erfahrungsgemäß
deshalb vonnöten, weil viele Studierende sehr schlechte Erfahrungen mit dem Mathematikunterricht gemacht
und das meiste aus der Schule wieder vergessen haben.
Da eine kurze Wiederholung eine gründlichere Beschäftigung mit diesen Symbolen nicht ersetzen kann, seien
hier noch einschlägige Titel angegeben:
GELLERT, W. u.a. /Hrsg): Kleine Enzyklopädie Mathematik, Frankfurt/M. 1972
WALKER, Helen M.: Mathematik für den statistischen Grundkurs, Weinheim 1971
BORTZ, Jürgen: Lehrbuch der Statistik, 2. Auflage, Anhang A, B und C, Heidelberg 1985.
CLAUß, G., EBNER, H.: Grundlagen der Statistik, Kap. 6, Frankfurt Main 1975
ZÖFEL, Peter: Statistik in der Praxis. Kap (1.2), Stuttgart 1985
Statistik hat es mit Zahlen zu tun.
Deshalb zunächst einiges über Zahlen:
(1) Natürliche Zahlen:
Kardinalzahlen: 1, 2, 3, ...
Kardinalzahlen entstehen durch Abzählen der Elemente einer Menge
Ordinalzahlen: 1., 2., 3., 4., ...
(der erste, zweite, dritte, vierte ....) entstehen durch Zuweisung von Plätzen oder Rängen.
Die Null gilt auch hier als natürliche Zahl.
(2) Die Grundrechenarten und ihre Schreibweisen:
Addition ( a +b)
Subtraktion (a-b)
(Multiplikation) (a*b); (ab)
Diese drei Grundrechenarten sind im Bereich der natürlichen Zahlen unbeschränkt ausführbar.
Die Division ((a÷b), (a:b),(a/b) und der waagerechte Bruchstrich) ist nur beschränkt ausführbar, da einige
Zahlen sich nicht ohne Rest durch andere natürliche Zahlen teilen lassen.
(3) Ganze Zahlen
Sind mit Vorzeichen versehene natürliche Zahlen
also
-5 -4 -3 -2 -1 0 +1 +2 +3 +4
Sie sind erforderlich, um alle Subtraktionsaufgaben lösen zu können.
(4) Absolutzahlen
sind Zahlen ohne Vorzeichen: für die ganzen Zahlen -3 +5 -7
bzw. sind die AbsolutBETRÄGE 3 5 7
(5) Für das Rechnen mit ganzen Zahlen gilt
a + b = b + a (Kommutativgesetz)
(a+b) + c = a + (b+c) (Assoziativgesetz)
Aus a < b folgt a + c < b + c (Monotoniegesetz)
(6) Subtraktionen können auch durch Addition negativer Zahlen ausgeführt werden
6 - 2 = 6 + (-2)
(7) Addition und Subtraktion sind Rechenoperationen erster Stufe
Multiplikationen und Divisionen sind Rechenoperationen zweiter Stufe
Letztere haben bei Rechnungen Vorrang (Punkt- geht vor Strichrechnung).
135
(8) Multiplizieren
kann als fortlaufende Addition des gleichen Betrages aufgefaßt werden.
Für Multiplikationen gilt:
a * b = b * a (Assoziativgesetz)
bei Zahlen > 0 (nicht für negatives c gültig):
aus a < b folgt a*c < b*c (Monotoniegesetz)
Vorzeichenregel:
(+u) * (+v) = (-u) * (-v) = u*v
(+u) * (-v) = (-u) * (+v) = -u*v
(9) Division
ist die Umkehrung der Multiplikation. Es gelten die gleichen Vorzeichenregeln
(+u) : (+v) = (-u) : (-v) =
u
v
; (-u) : (+v) = (+u) : (-v) = -
u
v
;
(10) Brüche
Bei allen Divisionen entstehen Brüche
z.B. der Form
p
q
p heißt Zähler, q Nenner.
Brüche mit dem Nenner 0 sind ausgeschlossen.
(11) Erweitern
z.B.
1 2 4 20
= =
=
3 6 12 60
Zähler und Nenner werden mit gleicher Zahl multipliziert
20 10
5 1
=
=
=
80 40 20 4
Zähler und Nenner werden durch gleiche Zahl dividiert
Kürzen
z.B.
(12) Bruchrechnen
Brüche werden addiert, indem man sie gleichnamig macht.
Der Hauptnenner ist das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner:
z.B.
1 3 11 5 + 9 − 22 − 8
4
+ −
=
=
=−
6 10 15
30
30
15
(13) Produkt von Brüchen
a c a *c
* =
b d b*d
(14) Quotient von Brüchen
a c a d
: = *
b d b c
136
(15) Distributivgesetz:
(Vgl. oben (8)).
a * (b+c) = a*b + a*c
(16) Dezimalbrüche
Jeder gemeine Bruch läßt sich als endlicher oder periodischer Dezimalbruch schreiben:
z.B.
1 5
=
= 0,5:
2 10
34
= 0, 34 = 0, 3434343434....
99
(17) Rechnen mit Dezimalbrüchen
Addition: Komma unter Komma:
0, 45
+23, 43
=23, 88
Multiplikation: Wie bei natürlichen Zahlen, Menge der Kommastellen richtet sich nach der Summe der
Kommastellen der Faktoren:
50*0,00004= 0,002
50 hat zwei Vorkommastellen
0,00004 hat fünf Nachkommastellen.
2-5 = -3, also muß das Ergebnis drei Nachkommastellen haben.
Division:
Der Divisor wird zu einer ganzen Zahl gemacht. Entsprechend wird beim Dividieren das Komma
verschoben:
0,88 : 0,0022 = 8800 : 22 = 400
(18) Potenzen und Wurzeln
Potenzen sind Vorschriften für mehrfache Multiplikation:
Wurzeln sind Potenzen mit gebrochenem Exponenten.
a*a*a =a
3
a ist hier die Basis, 3 der Exponent. Der Exponent kann im Prinzip jeden Zahlenwert annehmen, also
positiv und negativ sein, ganzzahlig oder gebrochen. Auch die Basis darf positiv und negativ sein.
Ausnahmen siehe unten.
Beispiele:
0° = verbotene Operation
137
10
0
10
1
= 10
10
2
= 100
10
8
= 100 000 000
10
= 1
−1
(±10)
(-10)
1
100 2 =
2
−4
−5
= +0,0001
= - 0,00001
100 = 10
− 12
100
= 1/10 8 = 0.00000001
(-100) 2 = verbotene Operation
(wenn Basis a<0, darf Exponent nur ganze Zahl
(-10)
2
= +100
sein)
(-10)
3
= -1000
10
−8
= 0,1 =
1
100
= 1/10 = 0,1
2
−1
(19) Regeln zur Potenzrechnung
n
(a*b)
n
a *a
( ab )
n
= a *b
m
=a
n
Multiplikation
n+ m
n
= an
n
Division
b
m
a n = a m− n
a
a° = 1 ; (für a ≠ 0)
a
−n
n
(a )
n
1
=
am =
a
m
m
Erweiterung des Potenzbegriffs auf Potenzen von 0 und den
Bereich kleiner 0
n
=a
a
nm
n
Wurzeln als Bruch im Exponenten
(20) Logarithmen
Beispiele:
2
für die Beziehung 10 = 100
kann gesagt werden, daß der Exponent 2 der Logarithmus von 100 auf der Basis 10 ist.
für die Beziehung 2
ist.
3
= 8 kann gesagt werden, daß der Exponent 3 der Logarithmus von 8 auf der Basis 2
Logarithmengesetze (bezogen auf die Basis b):
log b (n 1 *n 2 ) = log b n 1 + log b n 2
Der Logarithmus eines Produkts ist gleich der
Summe der Logarithmen der Faktoren
log b
n1 = log n - log n
b 1
b 2
n2
log b
Differenz der Logarithmen des Dividenden und
des Divisors
heißt „Logarithmus auf der Basis b“. Die Basis muß größer als eins sein.
r
Logarithmus einer Potenz
w = 1r log b w
Logarithmus einer Wurzel
log b (p ) = r*log b p
log b
r
Der Logarithmus eines Quotienten ist gleich der
138
Bei den Logarithmen auf der Basis 10 verweist eine positive Zahl vor dem Komma auf die Menge der
Stellen der Zahl, ist sie negativ, verweist sie auf die Menge der Nullen nach dem Komma. Die Zahlen der
Logarithmen nach dem Komma nennt man auch Mantisse.
Beispiele:
log 10 2000
= 3,301029996
log 10 200
= 2,301029996
log 10
= 1,301029996
log 10
20
0,02 = - 1,698970004
(2000 hat 4 Stellen; 3+1 = 4)
(0,02 hat zwei Stellen nach dem Komma.
- (1+1) = - 2
(21) Logarithmen auf der Basis 2, e und 10
Da Logarithmen auf der Basis aller Zahlen, die größer als 1 sind, definiert sein können, ist zu fragen, was
„üblich“ ist. Üblich sind die Basis 2, die Basis e und die Basis 10. Die Logarithmen auf der Basis 10
heißen „dekadische“, die auf der Basis e „natürliche“ und die auf der Basis 2 „logarithmus dualis“. Die
dekadischen Logarithmen schreibt man lg, die natürlichen ln.
Die Basis „e“ ist eine Zahl, die sich ergibt, wenn man die Reihe
e=
1im
n→∞
n
(1+ 1n ) , bzw. deren „Grenzwert“ berechnet.
Ihr Betrag ist 2,718281828...... (e ist eine „transzendente Zahl“, gehört also zu einer Teilmenge der
„reellen Zahlen“, Definition siehe unten (23)).
x
Der Vorteil der Zahl e ist, daß die Funktion e einen Differentialquotienten hat, der ihrem Betrag
proportional ist, das heißt, er läßt sich leicht berechnen. Der Differentialquotient ist ein Ausdruck für die
Steigung.
Die Umrechnung von Logarithmen der einen in die der anderen Basis ist leicht:
lg n = 1/(ln 10) * (ln n) = 0,4342945* (ln n)
(22) Vorteil des Rechnens mit Logarithmen: Jede Rechnung wird auf der nächst-niedrigeren
Stufe durchgeführt, Multiplikationen werden zu Additionen, die Potenz wird zur Multiplikation. Dadurch
lassen sich in Brüchen Probleme lösen, die sonst nicht lösbar wären. Außerdem lassen sich nichtlineare
Funktionen teilweise in lineare Funktionen überführen (Linearisierung).
(23) Viele Logarithmen, Wurzeln und die Zahlen e (s.o.) und π gehören zu den „reellen“
Zahlen“. Diese sind unendliche - positive und negative - Dezimalbrüche. Die oben erwähnten
„transzendenten“ Zahlen genügen keiner algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten.
(24) Algebraische Gleichungen sind solche, in denen mit den Unbekannten nur algebraische
Rechenoperationen vorgenommen werden, d.h., + - * ÷, Wurzel, Potenz.
Transzendente Zahlen können in algebraischen Gleichungen vorkommen.
Grundformen algebraischer Gleichungen sind die lineare Gleichung, die quadratische Gleichung und
schließlich die allgemeine algebraische Gleichung; sie werden hier in der
139
Form der Bestimmungsgleichung aufgeschrieben, d.h. die Bestimmung der Koeffizienten
a i wird versucht:
a 1 x1 + a 0 xo = 0
a2x
2
a3 x
3
an x
n
1
lineare Gleichung (Gerade)
o
+ a1 x + a 0 x = 0
+a2x
2
+ a n −1 x
quadratische Gleichung (Parabel)
1
o
+ a1 x + a 0 x = 0
n −1
1
kubische Gleichung (kubische Funktion)
o
+ ...+ a 1 x + a o x = 0
allgemeine Form der algebraischen
Bestimmungsgleichung (Polynom)
(25) Von den algebraischen Gleichungen werden Exponential- und logarithmische Gleichungen
unterschieden:
z.B. e
−x
-x=0
oder
ln x + x = 0
(26) Von der Form der Bestimmungsgleichung unterscheidet sich die
Form der Funktionsgleichung: z.B. Gerade: y = a1x1 + aoxo = a 1 x + a 0
(27) Mehrere Gleichungen mit mehreren Unbekannten
lineare Gleichungen
a1 x + b1 y = c1
zwei Gleichungen, zwei Unbekannte
a2x+b2y=c2
a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3
= b1
drei lineare Gleichungen
a 21 x 1 + a 22 x 2 + a 23 x 3
=b2
drei Unbekannte
a 31 x 1 + a 32 x 2 + a 33 x 3
=b3
Die Koeffizienten werden mit verschiedenen Lösungsverfahren ermittelt. Lösbarkeit ist nicht in allen
Fällen gegeben.
Ist die Zahl der Gleichungen größer als die der Unbekannten, ist das System überbestimmt und hat keine
Lösung.
Lösungsmodelle werden heute der Matrix-Algebra entnommen (s.u.)
(28) Folgen und Reihen
Folgen sind gegeben, wenn jeder natürlichen Zahl n genau eine Zahl a n zugeordnet wird, die das n-te
Glied der Folge ist.
arithmetische Folge: a 1 ; a 2 = a 1 + d; a 3 = a 1 +2d; ... a n = a 1 + (n-1)d
1
2
geometrische Folge: a 1 ; a 2 = a 1 * q ; a 2 = a 1 * q ; ... a n = a 1 q
n −1
140
Die Folge muß keine der Größe nach geordneten Zahlen enthalten, dies gilt nur für bestimmte (z.B.:
arithmetische, geometrische) Folgen.
Reihen sind aufsummierte Folgen, z.B.
n
a 1 + a 2 + a 3 + a 4 + a 5 + ... + a n =
∑a
i =1
Σ heißt „Summe“
i
(lies: Summe über a i für i=1 bis n)
Wenn keine Mißverständnisse befürchtet werden müssen, können die
Summationsgrenzen (hier 1 und n) weggelassen werden.
Beispiele:
12
A 7 + A 8 + A 9 + A 10 + A 11 + A 12 =
a τ +a τ a τ +a τ +a τ
5
6
5
(x1 − a )
χ
6+
7
8
7
9
8
∑A
i
i =7
9
= ∑ ai τ i
9
i =5
4
+ ( x 2 − a ) + ( x3 − a ) + ( x 4 − a ) = ∑ ( xi − a )
2
2
2
2
2
i =1
16
+ χ 13 + χ 14 + χ 15 + χ 16 = ∑ χ i
12
2
2
2
2
2
2
i =12
∑ (χ
5
i =1
i
) ( χ − 2) + ( χ − 2) + ( χ − 2) + ( χ − 2) + ( χ − 2)
= ( χ + χ + χ + χ + χ ) − 10
−2 =
2
1
1
2
5
=
∑χ
i =1
i
3
3
4
4
5
5
− 10
4
∑ aχ = aχ + aχ + aχ + aχ
1
i
i =1
2
3
4
( χ + χ + χ + χ ) = a∑ χ
4
= a
1
2
χ +χ +χ +χ
3
4
7
12
3
4
i =1
i
kann nicht mit Hilfe des Summationszeichens geschrieben werden.
Doppelte Indizes
Wenn Daten nach mehr als einem Gesichtspunkt eingeteilt werden, ist der Gebrauch von doppelten oder
sogar dreifachen Indizes sehr nützlich. Als einfaches Beispiel sei angenommen, daß von N Schülern c
verschiedene Tests durchgeführt worden sind, also N*c Messungen. Es sei X 12 (lies „X eins zwei“) der
Testwert von Schüler 1 beim Test 2, X 71 der Wert von Schüler 7 beim Test 1 und allgemein X ij der Wert
von Schüler i beim Test j.
Die Nc Testwerte können in einer rechteckigen Formation, genannt Matrix, angeordnet werden:
141
In dieser Matrix liegen die Werte jedes einzelnen Schülers in einer Reihe; die Werte aller Schüler in einem
einzigen Test sind in einer Spalte. Die Reihe der Werte X i1 , X i 2 , ..., X ic repräsentiert die Werte von
irgendeinem nicht spezifizierten Schüler. Die Spalte X 1 j , X 2 j , ..., X Nj repräsentiert die Werte aller
Schüler bei irgendeinem nicht spezifizierten Test.
Algebraische Symbole
X 11
X 12
.
X1j
.
X 1C
X 21
X 22
.
X2j
.
X 2C
X 31
X 32
.
X3j
.
X 3C
.
.
.
X i1
.
.
.
X i2
.
.
.
.
.
.
.
X ij
.
.
.
.
.
.
.
.
.
X N1
.
.
.
.
.
.
X N2 .
.
X iC
.
.
.
.
.
.
X Nj .
.
.
.
X NC
Man möchte eventuell die Summe der Werte eines einzelnen Schülers bei allen Tests oder die Summe der
Werte aller Schüler bei einem einzigen Test angeben oder die Summe der Werte aller Schüler bei allen
Tests. Studiere dazu die folgenden Gleichungen und drücke sie dabei in Worten aus.
Für die Werte von Schüler 6 gilt:
C
X 61 + X 62 + ... + X 6 j + ... + X 6 j =
∑X
i =1
6j
(Die Summe der X 6 j , wobei j von 1 bis c
läuft)
Für die Werte in Test 4 gilt:
N
X 14 + X 24 + ... + X i 4 + ... + X N 4 =
∑X
i =1
i4
(Die Summe der X i 4 , wobei i von 1 bis N
läuft)
Für die Werte irgendeines nicht spezifizierten Schülers gilt:
N
X 1 j + X 2 j + ... + X ij + ... + X Nj =
∑X
i =1
ij
Für die Werte irgendeines nicht spezifizierten Tests gilt:
C
X i1 + X i 2 + ... + X ij + ... + X iC =
∑X
j =1
ij
Übung
Für alle Werte gilt, wenn man sie erst spalten- und dann reihenweise addiert:
(X 12 + X 21 + ... + X N 1 ) + (X 12 + X 22 + ... + X N 2 ) + ... + (X 1C + X 2 C + ... + X NC )
142
N
=
∑
i =1
C
=
N
X i1 + ∑
i =1
N
X i 2+...+∑
i =1
X
iC
N
∑∑ X
j =1 i =1
ij
Für alle Werte gilt, wenn man sie erst reihen- und dann spaltenweise addiert:
(X 11 + X 12 + ... + X 1C ) + (X 21 + X 22 + ... + X 2 C )+ ... + (X N 1 + X N 2 + ... + X NC )
C
=
∑X
j =1
N
=
1i
C
C
j =1
j =1
+ ∑ X 2i + ... + ∑ X Ni
C
∑∑ X
i =1 j =1
ij
Offenbar ist das Endergebnis stets gleich, egal ob man zuerst die Reihen oder die Spalten addiert.
(29) Fortlaufendes Produkt.
In Analogie zur Reihe kann eine Folge auch fortlaufend multipliziert werden.
Die Schreibweise ist dann
n
a 1 * a 2 * a 3 ... * a n = Π
i =1
a
Π heißt „Produkt“
i
(lies: Produkt über a i für i= 1 bis n)
(30) Fakultät, Permutationen
Das Produkt 1*2*3*4 wird auch als 4! geschrieben (allgemein: n!)
(lies: vier Fakultät).
n- Fakultät bedeutet: n! = 1*2*3*...*(n-1)*n
Es gilt: 0! = 1; 1! = 1.
(n- Fakultät entspricht der Zahl der möglichen Vertauschungen der Reihenfolge der Elemente einer Menge
mit n verschiedenen Elementen:
Beispiel: Die Buchstaben abc können in 3!=6 verschiedenen Reihenfolgen geschrieben werden:
abc, acb, bac, bca, cab, cba. Solche Vertauschungen heißen auch Permutationen).
(31) Kombinationen und „n über k“
n
k
der Ausdruck (lies: n über k) ist eine abgekürzte Schreibweise
von
n
r
n!
.
k !( n − k )!
als C n ,r oder als
C
Der gleiche Ausdruck wird auch als oder
n
r
oder als r Cn geschrieben. Er ist ein Symbol für die Menge verschiedener
Kombinationen von k Elementen einer Menge mit dem Umfang n, aus der k (bzw. r) Dinge ausgewählt
werden, ohne daß es auf die Reihenfolge ankäme.
49
49 !
= 13983816
=
6 6 !( 49 − 6)!
Beispiel: Beim Spiel 6 aus 49 errechnen sich
verschiedene Kombinationen von 6 Lottozahlen.
143
(32) Multiplikation algebraischer Summen
(a+b) (c+d) = a(c+d) + b(c+d) =ac + ad + bc + bd
(33) Binomische Formeln als Sonderfall der Multiplikation algebraischer Summen
(a±b)
2
=a
2
2
± 2ab + b
(a+b) (a-b) = a
2
-b
2
n
k
Bei höheren Potenzen ergibt sich durch die Einführung des Summenzeichens und des Ausdrucks
eine vereinfachte Schreibweise:
(a+b)
n
n
0
n
= a
b
n
1
+ a
n −1
b
n
2
1
+ a
n−2
b
2
n
n
+ ... + a
0
b
n
n n − k k
a b
k
n
=
0
∑
k =0
n
k
Die Ausdrücke heißen auch Binomialkoeffizienten, weil sie in der o.a. Gleichung die Berechnung
des Koeffizienten vor den Produkten von a und b gestatten.
Beispiel (die Binomialkoeffizienten werden fett gedruckt)
(a+b)
7
b
0
+ 7a
+ 21 a
2
b
= 1a
7
5
6
b
1
+ 21a
+7a
1
b
6
5
b
+ 1a
0
2
+ 35a
b
4
b
3
+ 35 a
3
b
4
7
Die Entwicklung der Folge der Binomialkoeffizienten ist symmetrisch.
(34) Matrizenrechnung: Definition einer Matrix
Matrix = rechteckige Anordnung von Zahlen in Zeilen und Spalten (n = Menge der Zeilen, m = Menge der
Spalten in einer n*m Matrix)
Die Matrix wird mit fettgedruckten Großbuchstaben bezeichnet, die Elemente haben Indizes, deren
erster die zugehörige Zeile, deren zweiter die zugehörige Spalte bezeichnet:
a11
A = a 21
a31
a
a
a
12
22
32
24
34
a a
a a
a a
13
23
33
14
A = a ij (i=1,2,3;j=1,2,3,4)
(35) Transponierte
Zeilen und Spalten der ursprünglichen Matrix werden vertauscht: Wenn A z.B.
2 3 6
A = 5 0 4
1 2 1
2 5 1
wäre die Transponierte A’ = 3 0 2
6 4 1
144
(36) Matrizen, die nur eine Zeile oder Spalte haben, werden Vektoren genannt,
Spaltenvektoren werden mit fettgedruckten Kleinbuchstaben bezeichnet,
Zeilenvektoren mit fettgedruckten Kleinbuchstaben mit Strich
u’ = (u 1 , u 2 , u 3 ),
wenn sie als transponierte Spaltenvektoren angesehen werden.
V 1
V 2
v=
V 3
V 4
(37) Matrizen, die nur einen Wert haben, heißen Skalar. In einer Diagonalmatrix sind nur die
Werte in der Diagonale von links oben nach rechts unten besetzt. In der Identitätsmatrix ist diese
Diagonale mit Einsen besetzt. Die Diagonalmatrix wird mit D, die Identitätsmatrix mit I bezeichnet.
I wird oft auch als Einheitsmatrix bezeichnet.
(38) Addition von Matrizen
Jedes Element der Summenmatrix ist gleich der Summe der korrespondierenden Matrizenelemente
3 1
5 2
2 4
A
5 4
1 2
1 3
+
8 5
6 4
3 7
B
=
C
(39) Multiplikation mit einem Skalar oder mit einer Matrix:
Multiplikation mit einem Skalar:
Jedes Matrixelement wird mit dem Skalar multipliziert.
Multiplikation mit einer Matrix folgt der Regel
s
C=A*B
c ij =
∑a *b
k =1
ik
kj
für i=1,2...n; j=1,2...m und k=1,2...s.
A ist hierbei eine n*s Matrix, B ist eine s*m Matrix und C eine n*m Matrix.
Beispiel:
A
5 3 0
6 9 7
*
B
=
0,5 0,2
8
4
6
1
C
14,5 25
46 115,2
Die einzelnen Elemente der Ergebnismatrix C werden wie folgt errechnet:
c 11 = 5*0,5+3*4+0*1 = 14,5
145
c 12 = 5*0,2+3*8+0*6 = 25
c 13 = 6*0,5+9*4+7+1 = 46
c 14 = 6*0,2+9*8+7*6 = 115,2
Würde man die Reihenfolge von A und B in dieser Multiplikation vertauschen, dann hätte C nicht wie
oben die Dimension 2*2 sondern 3*3:
A
*
B
0,5 0,2
8
4
6
1
=
5 3 0
6 9 7
C
3,7 3,3 1,4
68 84 56
41 57 42
c 11 = 0,5*5+0,2*6 = 3,7
c 12 = 0,5+3+0,2+9 = 3,3
c 13 = 0,5+0+0,2*7 = 1,4
c 21 = 4*5+8*6
= 68
c 22 = 4*3+8*9
= 84
c 23 = 4*0+8*7
= 56
c 31 = 1*5+6*6
= 41
c 32 = 1*3+6*9
= 57
c 33 = 1*0+6*7
= 42
Es kommt bei der Matrizenmultiplikation daher auf die Reihenfolge an. Bedingung für die
Matrizenmultiplikation ist, daß die Menge der Spalten der links stehenden Matrix gleich der Menge der
Zeilen der rechts stehenden Matrix ist.
(40) Die Matrizenmultiplikation ist distributiv und assoziativ, aber nicht kommutativ:
(A+B)*C = A*C + B*C
A* (B+C) = A*B+A*C
(A*B)*C = A*(B*C) = A*B*C
(41) Die Multiplikation mit einer Diagonalmatrix verändert im Fall der Einheitsmatrix die
Ursprungsmatrix nicht, gleichgültig, ob von links oder von rechts multipliziert wird.
AI = IA = A
(42) In eine Determinante gehen sämtliche Elemente der Matrix ein. Sie ist eine Zahl, die als
gewichtete Summe der Elemente einer beliebigen Zeile oder Spalte berechnet wird.
(Zum Berechnungsverfahren siehe Bortz (1989, S. 816f).
Die Determinante wird für die Matrix A
A geschrieben. Die Determinante ist für Ursprungsmatrix und Transponierte identisch: A = A' .
Die Determinante eines Matrixprodukts ist gleich dem Produkt der entsprechenden Determinanten:
AB = A * B
(43) Die Inverse einer Matrix ist diejenige Matrix, die mit der ursprünglichen Matrix
146
multipliziert, die Einheitsmatrix ergibt.
Die Inverse von A wird A
Es gilt die Beziehung
−1
geschrieben.
A*A
−1
=I
−1
A *A=I
Zum Berechnungsverfahren siehe BORTZ (1989, S. 820f)
Sowohl die Berechnung von Inverse als auch Determinante sind bei größeren Matrizen so
rechenaufwendig, daß ausschließlich von Rechenprogrammen Gebrauch gemacht wird, um sie zu
bestimmen.
(44) Die Inverse existiert nur für quadratische Matrizen und nur für solche, deren Determinante
von 0 verschieden ist. Für symmetrische Matrizen ist die Inverse ebenfalls symmetrisch.
Die Inverse einer Transponierten ist gleich der Transponierten der Inversen:
(A’)
−1
= (A
−1
)’
(45) Lineare Gleichungssysteme vgl. oben 24) lassen sich mit Hilfe der Matrizenrechnung
wie folgt lösen:
Gegeben sei ein Gleichungssystem mit folgenden Gleichungen:
9x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 0
5x 1 + 4x 2 + 5x 3 = 0
0x 1 + 4x 2 + 4x 3 = 3
Wir definieren aus diesen Gleichungen die Matrix
9 5 3
A = 5 4 5
0 4 4
den Spaltenvektor
x1
x = x 2
x 3
den Spaltenvektor
0
c= 0
3
Gesucht sind die Elemente des Spaltenvektors x.
Sie können aus folgender Gleichung errechnet werden:
X=A
−1
* c; also:
A
−1
*
c
=
x
147
0
0
3
0,05
0,11 − 0,17
0,26 − 0,47 0,39
− 0,26 0,47 − 0,14
− 0,51
,
118
− 0,43
Es ergeben sich: x 1 = -0,51; x 2 = 1,18; x 3 = -0,43
(es zeigen sich bei der Probe kleine Rundungsfehler, weil nur zwei Nachkommastellen angezeigt wurden).
(46) Bestimmtes Integral
Für viele Probleme der Statistik ist es erforderlich, Integrale zu berechnen. In der Regel handelt es sich
hierbei um Integrale von Verteilungsfunktionen. Deshalb soll hier kurz angedeutet werden, wie die
mathematische Schreibweise ist, ohne tiefer auf Probleme der Integralrechnung einzugehen:
Man kann das Integral als Fläche zwischen einer stetigen Funktion und der x-Achse beschreiben.
Integrale werden für bestimmte Intervalle berechnet. Die Intervallgrenzen werden unterhalb und oberhalb
des Integralzeichens angegeben.
Für die stetige Funktion y = f(x) (lies: y ist eine Funktion von x) schreibt man das bestimmte Integral
zwischen den Grenzen x = a und x = b wie folgt:
b
∫ f ( x )dx
(lies: Integral von a bis b über f(x) dx).
a
Diese Schreibweise ist entstanden aus folgender Vorstellung: Man schneide die Fläche unter der Funktion
in lauter kleine Streifen, deren Breite mit ∆x bezeichnet wird und deren Höhe entweder mit m i oder M i
bezeichnet wird, je nachdem, ob die oberen Kanten der (rechteckigen) Streifen die Funktion von unten
(Untersumme) oder von oben (Obersumme) berühren. Werden die Streifen unendlich schmal, dann
gleichen sich Ober- und Untersumme an. Das Integral ergibt sich dann als Grenzwert folgender Summen:
lim
lim
n
n→∞
n
∑m ∆ x = n → ∞∑ M ∆ x = F
i =1
i
i =1
i
a
b
b
=
∫ f ( x ) dx
a
(47) Differentialrechnung
Der Ausgangspunkt der Fragestellung ist: Welche Steigerung (Gefälle) hat eine stetige Funktion. Stellt
man die Steigerung als Verhältnis von zwei Strecken dar, dann kann sie näherungsweise durch den sog.
Differenzenquotienten bestimmt werden.
Dieser lautet:
∆y
=
∆x
y−y
x −x
1
0
1
0
= tan α
Geht ∆x gegen 0, dann geht
α
∆y
∆x
in
dy
dx
ist näherungsweise der Steigungswinkel
über.
148
Dieses ist der genannte Differentialquotient.
In diesem Quotienten heißt dy Differential der Funktion an der Stelle x 0 .
dy = f’ (x 0 ) dx;
dy
= f’(x 0 )
dx
dx ist das Differential der abhängigen Variablen..
f’ (x) wird als 1. Ableitung der Funktion f(x) bezeichnet.
Viele Funktionen haben mehr als eine Ableitung, d.h. man kann von der Ableitung wieder eine Ableitung
bilden (1., 2., n-te Ableitung).
In Formeln drückt man das wie folgt aus:
n
d y = d(d
n −1
y) = f
(n)
(x) (dx)
n
(Differential n-ter Ordnung)
Ein Differential 3. Ordnung schriebe man:
3
2
n y = d(d y) = f’’’ (x) (dx)
3
Von den zahlreichen Differenzierungsregeln (Faktor-, Summen-, Produkt- und Quotientenregel) soll hier
nur die Potenzregel mitgeteilt werden:
dx n
n −1
=nx
dx
n reell)
de x
x
Spezialfall:
=e
dx
Von Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen können partielle oder totale Ableitungen gebildet
werden.
13. Kurze Einführung in SPSS 6.0.1 und in die wichtigsten Routinen.
13.1. Die „Fenster“ von SPSS
Diese Einführung setzt die Vertrautheit mit der Fenstertechnik in Windows 3.1. voraus. Der Einführung liegt die
Version SPSS 6.0.1 zugrunde.
Wenn man in Windows 3.1. das Programm SPSS 6.0.1 lädt, dann zeigen sich drei Fenster, zwischen denen man
durch den Befehl STRG+F6 hin- und her-wechseln kann.
149
13.1.1. Das Datenfenster
Die unten stehende Tabelle ist dem Datenfenster nachgebildet:
• In der obersten Zeile steht eine Datensatzbezeichnung mit Angabe des Pfades.
• In der zweiten Zeile steht die Fallnummer und die Bezeichnung der Variable, in der sich der Kursor
befindet. Davon getrennt befindet sich rechts das Eingabefenster für weitere Daten.
• In der dritten Zeile stehen die bereits vergebenen Variablen-Namen. Kästchen, in denen noch kein
Variablenname steht, sind nur mit „var“ bezeichnet.
• In der 4. Zeile steht der 1. Fall, der mit der laufenden Nr. 1 bezeichnet ist. Ihm sind alle
Ausprägungen aller Variablen (Merkmale) in der 1. Zeile zuzuordnen, die auf ihn zutreffen.
Klickt man die Schaltfläche zweimal an, auf der VAR steht, dann öffnet sich ein weiteres Fenster, in dem die
Möglichkeit besteht, zahlreiche Eingaben zur Definition der Variablen zu machen.
• Variablenname: Hier kann ein bis zu 8 Zeichen langer Variablenname eingegeben werden.
• Variablenbeschreibung: (Alle folgenden „Einstellungen“ sind jederzeit änderbar):
• Typ: Varianten sind: Numerisch und andere (Tip: immer numerisch nehmen)
• Breite (Tip: immer 8 nehmen)
• Dezimalstellen (Tip: nur bei ganzzahligen Werten 0 nehmen, sonst die notwendige Zahl)
• Label: Hier kann eine ausführliche Variablenbezeichnung eingegeben werden, ohne Beschränkung.
Weiterhin können hier für bestimmte Ausprägungen Namen vergeben werden (Wertelabels).
Missing Werte: Hier können Zahlen angegeben werden, bei deren Verarbeitung der Rechner intern den
jeweiligen Fall als „fehlende Angabe“ bewertet. (Tip: Möglichst den Missing Wert 0 nehmen, wenn die
Zahl 0 sonst nicht gebraucht wird).
• Spaltenformat: Hier können Breite des Drucks und Ausrichtung der Zahlenangaben beim Druck
(links, rechts, zentriert) gewählt werden.(Tip: Spaltenformat immer größer als das Zahlenformat
wählen.
Es empfiehlt sich, vor Eingabe der Daten alle Variablen vollständig zu definieren.
Ist dies geschehen, kann die Dateneingabe beginnen. Dies geht wie folgt: Eingabe der Zahl ins
Dateneingabefenster, dann die Enter-Taste drücken. Der Kursor springt dann automatisch zum nächsten Fall bei
der gleichen Variable:
In der nebenstehenden Tabelle sind die ersten 10 Zahlen
für unser Beispiel vom Tag der offenen Tür 1985
eingegeben. Der Kursor steht im Feld 10/1. In der
zweiten Zeile ist angegeben, daß der Kursor auf dem 10
Fall der Variable „Besucher“ steht, und - im Eingabefeldkann abgelesen werden, daß der Wert dieses Falles „24“
ist.
c:\(Pfad)Besuch85.sav
10:Besucher 24 (Eingabefeld)
(lfd.Nr.)
Besucher var
1 26
2 14
3 3
4 8
5 21
6 39
7 4
8 15
9 1
10 24
...
13.1.2. Häufigkeitsanalysen als Rechenbeispiel
Für alle Häufigkeitsanalysen kann man nun folgende Befehle im Menue von SPSS anklicken (die
entsprechenden Fenster öffnen sich nacheinander: „Statistik“, „Deskriptive Statistik“, „Häufigkeiten“.
Es öffnet sich bei „Häufigkeiten“ ein Fenster, in dem links die definierten Variablen stehen. Die blaue
Markierung ist mit Hilfe der Maustaste bewegbar. Man kann hiermit die Namen jener Variablen auswählen, die
150
man in SPSS untersuchen will. Nach der Auswahl werden sie durch Anklicken des nach rechts gerichteten Pfeils
in die Variablenliste für den jeweiligen Vorgang kopiert.
Weiterhin kann man in diesem Fenster bestimmen, ob man die Häufigkeitstabelle (nicht) anzeigen will und
welche von den Kennwerten (hier „Statistiken genannt“) man berechnet haben möchte.
13.1.3. Das Syntaxfenster.
Wenn man dann alles ausgewählt hat, könnte man den „Befehl“, der von SPSS inzwischen intern aufgebaut
worden ist, im „Syntax-Fenster“ anzeigen lassen. Hierzu klickt man auf die Schaltfläche „Befehl“. Es öffnet
sich das Syntax-Fenster, und in diesem könnte beispielsweise folgender „Befehl“ stehen:
FREQUENCIES
VARIABLES=besuch85
/PERCENTILES= 5
/STATISTICS=STDDEV VARIANCE RANGE MINIMUM MAXIMUM SEMEAN MEAN MEDIAN MODE
SKEWNESS KURTOSIS
/HISTOGRAM NORMAL
(Beachten, daß hier ein Punkt steht)!!
.
Solche „Befehle“ kann man im Syntax-Fenster auch manuell vom Tastenfeld aus eingeben oder ändern, und
man sollte sie in Forschungsprojekten zur eigenen Orientierung als File abspeichern (Speichertechnik wie in
Windows generell üblich), damit man später noch sehen kann, was man mit welchen Daten wann gerechnet
hat. Die Sprache dieser Befehle („Befehls-Syntax“) ist weitgehend (aber nicht vollständig) noch mit der alten
unter DOS gültigen Sprache identisch. Die englische Terminologie, die nicht in allen SPSS-Versionen
vollständig ins Deutsche übertragen wurde, bedeutet für dieses Beispiel im Deutschen:
SPSS-Ausdruck
FREQUENCIES :
VARIABLES=besuch85
/PERCENTILES= 5
/STATISTICS=
STDDEV
VARIANCE
RANGE
MINIMUM
MAXIMUM
SEMEAN
MEAN
MEDIAN
MODE
SKEWNESS
KURTOSIS
/HISTOGRAM NORMAL
Bedeutung im Deutschen
Führe eine Häufigkeitsanalyse durch
für die Variable mit dem Label „besuch85“
Berechne den Prozentrang 5.
Berechne folgende Kennwerte
Standardabweichung
Varianz
Eingriffsspielraum
kleinsten Meßwert
größten Meßwert
Standardfehler des arithmetischen Mittels
arithmetisches Mittel
Median
den kleinsten Modus
die Schiefe
den Exzess
Zeichne ein Histogramm und lege hierhinein den Verlauf einer
Normalverteilungs-Kurve mit den entsprechenden Kennwerten für die
151
Standardabweichung und das arithmetische Mittel.
Jeder SPSS-Befehl wird immer mit einem PUNKT enden (Siehe den Befehlstext oben). Ohne Punkt ist er nicht
ausführbar. Um ihn auszuführen, markiere ich mit der Maus den gesamten Befehlstext. Dann klicke ich auf die
Schaltfläche „Ausführen“.
13.1.4. Das Ausgabe-Fenster und das Graphik-Karussel
13.1.4.1. Das Ausgabe Fenster
Es öffnen sich jetzt das „Ausgabe-Fenster“ und, wenn eine Graphik angefordert wird, zeigt sich das Symbol
für das Graphik - Karussell. Im Ausgabefenster könnte folgendes stehen:
BESUCH85
Besucheralter beim Tag der offenen Tür 1
Value Label
Value
Frequency
Percent
Valid
Percent
Cum
Percent
1
3
4
8
14
15
21
24
26
39
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
------10
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
------100,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
10,0
------100,0
10,0
20,0
30,0
40,0
50,0
60,0
70,0
80,0
90,0
100,0
Total
Hi-Res Chart
Mean
Mode
Kurtosis
Minimum
2:Histogramm vom Besucheralter beim Tag der Offenen Tür 1985
15,500
1,000
-,169
1,000
Std err
Std dev
Skewness
Maximum
3,833
12,122
,621
39,000
Median
Variance
Range
* Multiple modes exist.
The smallest value is shown.
Percentile
5,00
Valid cases
Missing cases
Value
1,000
10
Hierin bedeuten: Value-Label:
Value:
Frequency
Percent
Valid-Percent
Cum Percent
14,500
146,944
38,000
0
Werte-Etikett (Labels wurden hier nicht vergeben)
Wert aus der Datenmatrix
Beobachtete Häufigkeit
Rohprozente (wenn fehlende Fälle auftreten, werden sie mit-prozentuiert.
Gültige Prozente (wenn fehlende Fälle auftreten, werden sie nicht mitprozentuiert.
Von unten nach oben aufkumulierte gültige Prozente.
Es empfiehlt sich, auch die Inhalte des Ausgabefensters innerhalb von Projekten abzuspeichern und sich eine
systematische Liste der gespeicherten Ausgaben mit den Filenamen und anderen Angaben anzulegen.
13.1.4.2. Das Graphik-Karussel
Klickt man nun das Graphik-Karussel-Symbol an, dann könnte im Graphikfenster folgende Graphik erscheinen.
152
2,5
Histogramm
2,0
Häufigkeit
1,5
1,0
Std.abw. = 12,12
Mittel = 15,5
N = 10,00
,5
0,0
0,0
10,0
5,0
20,0
15,0
30,0
25,0
40,0
35,0
Besucheralter beim Tag der offenen Tür 1985
Die obige Graphik kann im Graphik-Fenster noch in verschiedenster Weise bearbeitet werden. Da man
innerhalb einer SPSS-Sitzung mehrere Graphiken (auf einmal oder nacheinander) erzeugen kann, die man
nacheinander „durchblättern“ kann, wird der Graphik - Editor auch „Graphik-Karussel“ genannt.
Wie wir sehen, werden hier mit wenigen Handgriffen alle die komplizierten Rechnungen ausgeführt, die oben
im Skriptum theoretisch beschrieben wurden.
13.1.5. Übertragung von Ergebnissen aus SPSS nach WinWord
Die Übertragung von Ergebnissen von SPSS nach Word ist eine der wichtigsten Arbeiten, mit denen
Studierende vertraut sein sollten. Im Prinzip wird wie folgt verfahren:
SPSS und WINWORD werden nacheinander geöffnet. Über den Befehl STRG+ESC öffnet sich ein Fenster, in
dem alle geöffneten Programme angezeigt werden. Man stellt mit dem Kursor die blaue Leiste auf jenes
Programm, zu dem man wechseln will und wählt die Schaltfläche „wechseln zu“. Der Rechner wechselt in das
gewünschte Programm. Nach dieser Prozedur ist es in der Regel möglich, zwischen den zwei Programmen,
SPSS und WinWord durch ALT+TAB zu wechseln.
In den Fenstern von SPSS markiert man für die Übertragung nach Word den gewünschten Text bzw. die
gewünschte Graphik durch anklicken und ev. Festhalten der linken Maustaste. Dann gibt man den Befehl:
„Bearbeiten“ - „Kopieren“ (durch Anklicken der Optionen im Menue Bearbeiten). Dann wechselt man nach
Word. Dort stellt man vor dem Einfügen von Texten, besonders von Tabellen, die Schriftart auf Courier New.
Danach wählt man die Befehle Bearbeiten - Einfügen.
Bei Graphiken verfährt man ähnlich:
Man wählt in SPSS „Bearbeiten“ „Graphik kopieren“
geht dann nach Word und wählt „Bearbeiten“ - „Inhalte einfügen“ - „Graphik“ - „OK“
Wenn man hierbei Probleme bekommt (die Graphik wird in Word nicht angezeigt), sollte man andere Wege
durch Ausprobieren suchen.
Wichtig ist, daß Graphiken vor der Übertragung nach Word so vollständig bearbeitet sind, daß eine
Nachbearbeitung in Word unnötig ist. Hierbei ist beispielsweise sinnvoll, keine Graphik-Titel oder -Nummern in
SPSS für Graphiken zu vergeben, da man diese in Word leicht hinzusetzen kann, ohne die Graphik
nachbearbeiten zu müssen. Eine Möglichkeit, die Graphik nachzubearbeiten, die für den Umbruch von Texten
sehr praktisch ist, besteht allerdings auch noch nach der Übertragung nach Word: Man kann durch Ziehen der
Kanten eine Graphik senkrecht, schräg und waagerecht verkleinern oder vergrößern und so dem Seitenformat
gut anpassen.
153
13.2. Praktische Fälle
13.2.1. Untersuchung von Mittelwertsdifferenzen zweier unabhängiger Stichproben.
Gegeben sei das Ergebnis eines sportlichen Tests, anläßlich dessen je eine Stichprobe männlicher und weiblicher
Mitglieder einer Sportschule um die Wette laufen. Die Datenmatrix hat folgende Gestalt:
Laufende
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
Zeit in
Sekunden
13,1
12,0
14,1
12,6
15,5
11,5
14,4
13,2
13,1
12,0
12,7
12,9
13,5
12,4
12,6
13,0
15,6
14,0
15,6
14,7
14,3
13,4
14,4
15,5
13,9
15,2
15,2
14,7
12,7
12,0
14,0
15,5
11,8
13,6
12,2
13,8
13,0
13,8
14,4
14,3
Geschlecht
(1=m, 2=w)
1
1
2
1
2
2
2
1
1
1
1
2
1
2
1
2
2
1
2
2
2
1
1
2
2
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
2
1
1
1
1
Wir wählen in SPSS aus dem Menue die Befehle:
„Statistik“, „Mittelwertvergleiche“, „t-Test bei unabhängigen
Stichproben“.
Wir wählen die Variable „Sekunden“ als „Testvariable“, indem wir
sie in das entsprechende Kästchen kopieren (blau hinterlegen, Pfeil
anklicken), und wir wählen das Geschlecht als
„Gruppierungsvariable“, in dem wir den Variablennamen blau
hinterlegen und dann den „Pfeil“ anklicken. Es öffnet sich ein neues
Fenster, in dem der Variablenname und ein Klammerausdruck mit 2
Fragezeichen steht. Wir drücken die Schaltfläche „Gruppen
definieren“ und schreiben bei „Gruppe 1“ in den vorgesehenen
Kasten eine „1“, bei Gruppe 2 eine „2“ hinein. Dann klicken wir die
Schaltfläche „Weiter“ an und drücken die Schaltfläche „Befehl“. Im
Syntax-Fenster erscheint folgender Befehl:
T-TEST
GROUPS=geschlt(1 2)
/MISSING=ANALYSIS
/VARIABLES=sekunden
/CRITERIA=CIN(.95) .
Wir markieren diesen Befehlstext und klicken auf die Schaltfläche
„Ausführen“. Im Ausgabefenster erscheint:
t-tests for independent samples of GESCHLT
Geschlecht der Schüler
Number
Variable
of Cases
Mean
SD
SE of Mean
--------------------------------------------------------------SEKUNDEN
männlich
20
13,1788
,860
,192
154
weiblich
20
14,1288
1,277
,286
--------------------------------------------------------------Mean Difference = -,9500
Levene's Test for Equality of Variances: F= 2,483
t-test for Equality of Means
P= ,123
95%
Variances t-value
df
2-Tail Sig
SE of Diff
CI for Diff
----------------------------------------------------------------------Equal
-2,76
38
,009
,344
(-1,647; -,253)
Unequal
-2,76
33,30
,009
,344
(-1,651; -,249)
----------------------------------------------------------------------Diesem „Output“ können wir entnehmen, daß zwischen den Jungen und den Mädchen ein auf dem 5 % Niveau
im zweiseitigen Test signifikanter Schnelligkeits-Unterschied besteht, der im Durchschnitt bei 0,95 Sekunden
liegt (Mean Difference). Daß der Unterschied signifikant ist, erkennen wir daran, daß für „2-Tail Sig“ ein Wert
von 0,009 < 0,05 (Signifikanzniveau) angegeben ist (siehe folgende Tabelle).
Im einzelnen bedeuten:
SPSS-Ausdruck
SD
SE of Mean
Mean Difference
Levenes Test for Equality of
Variances
2-Tail sig
SE of Diff
CI for Diff
Equal - Unequal
Bedeutung im Deutschen
Standardabweichung
Standardfehler
Durchschnittliche Differenz der
Gruppen
Levenes Test der Varianzhomogenität
(ist hier p < 0,05, wird
Varianzinhomogenität angenommen
Niveau der Irrtumswahrscheinlichkeit
bei zweiseitigem Test, bei der die
Grenze zur Ablehnung der
Nullhypothese liegt. Oben ist der
Wert 0,009. Da 0,009 < 0,05 ist,
wird die Nullhypothese auf dem 5 %
Niveau abgelehnt, daß in der
Grundgesamtheit keine Differenz
besteht
Standardfehler der Gruppendifferenz
sog. Konfidenzintervall für die
Gruppendifferenz (hier: bei α = 5%)
Ergebnisse für den Fall homogener
bzw. inhomogener Varianzen
155
13.2.2. Untersuchung von Mittelwertsdifferenzen zweier abhängiger Stichproben.
Wir gehen von folgender Datenmatrix aus, in der die Daten von Sportlern vor und nach einem Training im 100m
Lauf enthalten sind:
Laufende
Nr.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
Sekunden
vor dem
Training
13,406
14,399
11,844
13,561
13,226
13,040
14,520
12,861
12,531
11,501
13,335
10,690
11,412
13,408
13,487
13,568
12,235
12,780
11,834
11,727
Sekunden
nach dem
Training
13,424
14,144
11,410
12,658
12,621
12,683
14,626
12,365
12,675
11,169
13,154
10,391
11,449
12,740
12,960
13,795
11,774
12,398
12,027
11,756
Wir wählen im SPSS-Menue den Befehl „Statistik“,
“Mittelwertvergleiche“, „T-Test bei gepaarten Stichproben“ und
kopieren mit dem Pfeil die beiden Variablen „Vortrai“ und
„Nachtrai“ in das Fenster für die gepaarten Variablen.
Wir klicken die Schaltfläche „Befehl“ und erhalten im Syntaxfenster
folgendes:
T-TEST
PAIRS= vortrai WITH nachtrai (PAIRED)
/CRITERIA=CIN(.95)
/FORMAT=LABELS
/MISSING=ANALYSIS.
Diesen Befehl markieren wir und klicken auf die Schaltfläche
„Ausführen“. Im Ausgabefenster erscheint:
- - - t-tests for paired samples - - Number of
2-tail
Variable
pairs
Corr
Sig
Mean
SD
SE of Mean
-------------------------------------------------------------------------VORTRAI
12,7681
1,022
,229
20
,952
,000
NACHTRAI
12,5109
1,036
,232
-------------------------------------------------------------------------Paired Differences
|
Mean
SD
SE of Mean |
t-value
df 2-tail Sig
----------------------------------|------------------------------------,2573
,318
,071
|
3,62
19
,002
95% CI (,108; ,406)
|
Der Output zeigt, daß das Training im Durchschnitt eine Leistungsverbesserung von ¼ Sekunde gebracht hat,
und daß dieses Ergebnis auf dem 1% Niveau von α signifikant ist (untere Zeile: 2-tail Sig = 0,002< 0,01. Die
156
Angabe zur „2-tail Sig.“ in der oberen Zeile bezieht sich auf den dort angegeben Korrelationskoeffizienten, der
aber in diesem Zusammenhang immer sehr hoch sein wird, insofern ist diese Angabe banal.
13.2.3. Einfache Varianzanalyse
Nehmen wir an, wir hätten Daten von 5 Gruppen, die miteinander um die Wette laufen, und bei denen sich nur
die Trainingsbedingungen unterscheiden, in der unten stehenden Word-Tabelle: Also 5 voneinander
unabhängige Stichproben. Die Gruppennummer muß als selbständige Variable aufgefaßt werden:
Laufleistung in Sekunden pro 100m in 5 Gruppen
Gruppe 1
13,406
14,399
11,844
13,561
13,226
13,040
14,520
12,861
12,531
11,501
13,335
10,690
11,412
13,408
13,487
13,568
12,235
12,780
11,834
11,727
Gruppe 2
13,424
14,144
11,410
12,658
12,621
12,683
14,626
12,365
12,675
11,169
13,154
10,391
11,449
12,740
12,960
13,795
11,774
12,398
12,027
11,756
Gruppe 3
13,325
12,451
10,392
12,919
12,173
12,376
12,679
12,314
14,152
12,535
12,499
10,066
10,286
13,015
14,303
13,344
10,864
12,668
11,222
12,118
Gruppe 4
13,437
13,189
12,563
13,979
12,369
12,587
12,886
12,777
12,477
13,066
12,768
10,053
12,294
13,810
15,124
11,117
11,827
13,791
12,274
11,583
Gruppe 5
13,063
13,527
10,140
13,390
12,232
13,633
13,813
12,027
12,305
14,511
12,378
13,511
11,993
12,950
14,871
11,954
13,716
14,372
12,738
10,996
Zunächst einmal müssen wir die oben in der Word-Tabelle nebeneinander ausgedruckten Daten im
Eingabefenster von SPSS in einer Spalte anordnen, denn es handelt sich ja um Daten einer Variable, der
Laufleistung. Dazu kopieren wir die Daten aus den verschiedenen Spalten der obigen Word-Tabelle in eine
einzige Spalte des Eingabefensters von SPSS, der wir zuvor den Variablennamen Laufleistung
(„Laufleis“)zuweisen, sowie 6 Stellen für die Zahlenangabe, mit 3 Nachkommastellen.
Der Kopiervorgang funktioniert wie folgt: Nehmen wir an, die Fälle oben liegen in einer Word-Tabelle (wie
oben) vor. Wir markieren mit dem Kursor alle Fälle in der jeweiligen Spalte (=Variable), die wir kopieren
wollen. Dann geben wir den Befehl „STRG+C“. Dann gehen wir mit dem Kursor in das erste freie Feld der
Variable „Laufleis“ des SPSS-Eingabefensters. Dort geben wir den Befehl „STRG+V“. Der Rechner kopiert die
Daten in die entsprechende Spalte. Sodann müssen wir die jetzt untereinander stehenden Fälle mit der Nummer
der Gruppe bezeichnen, aus der sie stammen. Hierzu bilden wir die Variable: „Gruppnr“. Das Eingabefenster in
SPSS sieht dann wie folgt aus (gezeigt werden nur die oben fettgedruckten Fälle 15 bis 25, denn bei den Fällen
15-20 ist die Gruppennummer noch 1, ab Fall 21 wächst sie an auf 2:
157
Lauf.
Nr.
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
.
.
Grupp
nr
1
1
1
1
1
1
2
2
2
2
2
.
.
Laufleis
13,487
13,568
12,235
12,780
11,834
11,727
13,424
14,144
11,410
12,658
12,621
.
.
Haben wir alle Fälle in der neuen Variable „Laufleistung“ angeordnet, dann
geben wir folgende Befehle: „Statistik“, „Mittelwertvergleiche“,
„einfaktorielle ANOVA“. Dort weisen wir „Laufleis“ der Gruppe der
abhängigen Variablen zu, dem „Faktor“ weisen wir „Gruppnr“ zu. Wir
klicken auf die Schaltfläche „Bereich definieren“ und weisen dem
„Minimum“ die Gruppennummer 1, dem „Maximum“ die Gruppennummer 5
zu. Im „Optionsfenster“ wählen wir noch „Deskriptive Statistiken“ und
„Varianzhomogenität“. Dann klicken wir auf die Schaltflächen: „Weiter“ und
„Befehl“.
Im Syntax-Fenster erscheint das Folgende:
ONEWAY
laufleis BY gruppnr(1 5)
/HARMONIC NONE
/STATISTICS DESCRIPTIVES HOMOGENEITY
/FORMAT NOLABELS
/MISSING ANALYSIS.
Diese Befehle führen wir aus. Im Ausgabefenster erscheint jetzt das Folgende:
- - - - - O N E W A Y - - - - Variable LAUFLEIS
By Variable GRUPPNR
Gruppennummer
Source
Between Groups
Within Groups
Total
D.F.
4
95
99
Analysis of Variance
Sum of
Mean
Squares
Squares
4,6608
116,5749
121,2357
1,1652
1,2271
F
Prob.
,9495
,4390
Count
Mean
Standard
Deviation
1
2
3
4
5
20
20
20
20
20
12,7681
12,5109
12,2851
12,6986
12,9060
1,0223
1,0360
1,1884
1,0991
1,1818
,2286
,2317
,2657
,2458
,2643
12,2897
12,0260
11,7289
12,1842
12,3529
TO
TO
TO
TO
TO
13,2466
12,9957
12,8413
13,2130
13,4591
Total
100
12,6337
1,1066
,1107
12,4142
TO
12,8533
Group
Grp
Grp
Grp
Grp
Grp
GROUP
MINIMUM
MAXIMUM
Grp
Grp
Grp
Grp
Grp
1
2
3
4
5
10,6897
10,3914
10,0659
10,0532
10,1399
14,5199
14,6256
14,3026
15,1242
14,8706
TOTAL
10,0532
15,1242
- - - - -
Standard
Error
F
Ratio
O N E W A Y
Levene Test for Homogeneity of Variances
Statistic
,1908
df1
4
df2
95
2-tail Sig.
,943
95 Pct Conf Int for Mean
- - - - -
158
Der Output zeigt, daß zwischen den 5 Gruppen kein signifikanter Unterschied besteht. Die Varianzen sind
homogen (2-tail Sig =0,943> 0,05), der F-Wert ist nicht auf dem 5 % Niveau signifikant („F-Prob. = 0,4390 >
0,05). Die Nullhypothese, daß alle Gruppen aus der gleichen Grundgesamtheit entnommen sein können, wird
angenommen. Wäre das Ergebnis signifikant, könnten wir aus den Angaben über die Gruppenmittelwerte
entnehmen, welche Gruppen die größten Abstände untereinander aufweisen und dann - durch Ausschluß von
extremen Gruppen - prüfen, ob auch für Teilmengen der Gruppen noch signifikante Unterschiede der
Mittelwerte bestehen.
13.2.4. Zweidimensionaler CHI-Quadrat -Test mit einer Vierfelder-Tabelle.
Gegeben seien 46 Befragte, Frauen und Männer, die eine Angabe darüber machen, ob sie sehr selten (value=1)
oder gelegentlich (value =2) Horoskope lesen. Die Frage ist, ob es eine größere Bereitschaft bei Frauen als bei
Männern gibt, Horoskope zu lesen.
Das Eingabefenster ( die ersten 10 Fälle) sieht hierbei wie folgt aus:
Geschlecht
1
2
1
1
2
2
1
1
1
2
.
.
.
Horoskop
1
2
1
2
2
2
1
2
2
2
.
.
.
Wir wählen über das Menue die Befehle „Statistik“, „Deskriptive Statistik“,
„Kreuztabellen“, und weisen mit dem „schwarzen Pfeil“ den Zeilen die Variable
„Geschlecht“ und den Spalten die Variable „Horoskop“ zu. Über die Schaltfläche
„Statistiken“ öffnen wir ein neues Fenster in dem wir „Chiquadrat“ und „Phi und
Cramers V“ durch Anklicken der entsprechenden Kästchen auswählen. Dann klicken
wir die Schaltfläche „Weiter“ an und wählen über die Schaltfläche „Zellen“ nach dem
gleichen Verfahren „Beobachtete“ und „Erwartete“ Werte, sowie „korrigierte
standardisierte“ Residuen. Danach klicken wir auf „Weiter“ und „Befehl“. Im
Syntaxfenster zeigt sich folgender Text:
CROSSTABS
/TABLES=geschl BY horoskop
/FORMAT= AVALUE NOINDEX BOX LABELS TABLES
/STATISTIC=CHISQ PHI
/CELLS= COUNT EXPECTED ASRESID .
Diese Befehle führen wir aus. Im Ausgabefenster erscheint u.a. folgendes (weitere, hier unwesentliche
Angaben wurden nicht abgedruckt:
GESCHL Geschlecht by HOROSKOP Lesen von Horoskopen
HOROSKOP
Count |
Exp Val |sehr
gelegent
Adj Res |selten
lich
Row
|
1 |
2 | Total
GESCHL
--------+--------+--------+
1 |
12 |
16 |
28
männlich
|
8,5 | 19,5 | 60,9%
|
2,3 | -2,3 |
+--------+--------+
2 |
2 |
16 |
18
weiblich
|
5,5 | 12,5 | 39,1%
| -2,3 |
2,3 |
+--------+--------+
Column
14
32
46
Total
30,4%
69,6%
100,0%
Chi-Square
Value
DF
--------------------------------Pearson
5,21542
1
Continuity Correction
3,82376
1
Minimum Expected Frequency 5,478
Statistic
Value
Significance
-------------------------Phi
,33672
,02239 *1
Significance
-----------,02239
,05053
159
*1 Pearson chi-square probability
Number of Missing Observations: 0
Der Output zeigt, daß es einen auf dem 5% Niveau signifikanten Zusammenhang zwischen Geschlecht und der
Bereitschaft gibt, Horoskope zu lesen. Die Nullhypothese könnte mit 5 % Irrtumswahrscheinlichkeit abgelehnt
werden. Wie der Zusammenhang inhaltlich gestaltet ist, kann an der Differenz von beobachteten und erwarteten
Häufigkeiten bzw. an den aus diesem Verhältnis pro Zelle errechneten angepaßten, standardisierten ChiquadratResiduen abgelesen werden. Die Tabelle zeigt positive Werte hierfür bei den Kombinationen von
männlich+sehrselten bzw. weiblich+gelegentlich. Frauen haben hiernach eine größere Affinität zur Lektüre von
Horoskopen.
Wir können die Beträge der angepaßten, standardisierten Chiquadratresiduen wie z-Werte interpretieren:
Sofern z.B. ein z-Wert den Betrag von +2,58 annimmt, können wir feststellen, daß die Wahrscheinlichkeit
größerer Z-Werte gleich 0,005 ist. Eine Nullhypothese würde daher bei zweiseitigem Test auf dem 1%Niveau
abgelehnt werden müssen, wenn z > 2,58. Ist ein angepaßtes, standardisiertes Chiquadratresiduum größer (bzw.
kleiner) als ± 2,58, dann kann angenommen werden, daß eine Über (bzw. Unter-) Repräsentation in der
entsprechenden Zelle vorliegt, mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 1% (zweiseitig).
In der obigen Tabelle können wir feststellen, daß die Männer bei „gelegentlich“ unterrepräsentiert sind, die
Frauen aber überrepräsentiert sind, mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit pro Zelle von 2,2 % (bei z= 2,3 ist α =
0,022 bei beidseitigem Test). Das Signifikanzniveau für Phi entspricht in der Vierfeldertabelle genau dieser
Größe mit p = 0,022. Hätte die Tabelle mehr als 4 Zellen, würde statt Phi Cramers V zu interpretieren sein.
SPSS druckt immer beides gleichzeitig ab.
Im einzelnen bedeuten:
In der Tabelle:
Count
Expected
Adj. Res
Row
Column
Total
Pearson
Continuity
Correction
Minimum expected
Frequency
sind die Zelleninhalte frei wählbar. Welche ausgewählt
sind, wird links oben, vor der Kopfzeile, angegeben:
Absolute Häufigkeit (hier: Oberste Zahl in jeder Zelle)
erwartete Häufigkeit (hier: zweite Zahl in jeder Zelle
Angepaßte, standardisierte Chiquadrat-Residuen
(hier:dritte Zahl in jeder Zelle)
Zeile
Spalte
Summe
Chiquadrat-Wert nach Pearson
Chiquadrat-Wert nach Yates korrigiert
kleinster Erwartungswert in der Tabelle
Besonderheiten anderer Fälle: Haben wir mehr als 4 Felder in der Tabelle, dann ist - wie gesagt - Cramers V
und nicht mehr PHI zu interpretieren. Es ist bei allen solchen Tabellen darauf zu achten, ob in mehr als 20% der
Zellen der Erwartungswert kleiner als 5 ist. Sollte dies der Fall sein, ist durch Verzicht auf Kategorien die
Tabelle bei gleichem n so zu verkleinern, daß doch noch V berechnet und interpretiert werden kann.
Ist bei Vierfelder-Tabellen die Fallzahl gering, so daß in mehr als 20 % der Zellen der Erwartungswert kleiner
als 5 ist, dann druckt SPSS noch die Ergebnisse für Fisher’s exakten Test ab. Dieser ist auch bei kleinen
Fallzahlen zuverlässig.
13.2.5. Zweidimensionaler CHI-Quadrat -Test mit Kontrollvariable.
Der Fall: In einer empirischen Untersuchung von VolkshochschulteilnehmerInnen wird gefragt, wie wichtig den
Teilnehmern das Weiterlernen im Beruf ist. Sie können hierauf mit „selten...“, „gelegentlich...“, „öfters...“ und
„sehr wichtig“ antworten (vierstufige Ordinalskala). Weiterhin werden sie nach Alter und Geschlecht gefragt. Es
soll nun untersucht werden, ob bei den Volkshochschulteilnehmern Unterschiede zwischen den Geschlechtern
bestehen, was die Attraktivität beruflichen Weiterlernens in verschiedenen (5) Altersgruppen betrifft. Im
Datensatz enthalten sind die Variablen: „Alter“, „V33berw“ (= Bedeutung des beruflichen Weiterlernens) und
160
als Kontrollvariable das Geschlecht „gender“. Da der Datensatz sehr groß ist, wird er hier nicht noch einmal
dargestellt.
Wenn der Datensatz ins Datenfenster geladen wurde, holen wir uns über das Menue folgende Befehle:
„Statistik“, „deskriptive Statistik“, „Kreuztabellen“ und erhalten ein Fenster, in dem wir den Zeilen „V33berw“,
den Spalten das Alter zuweisen können und als Kontrollvariable das Geschlecht („gender“) wählen können.
Unter der Schaltfläche „Statistiken“ wählen wir „Chiquadrat“, Cramers V, Kendalls taub , und unter der
Schaltfläche „Zellen“ wählen wir „beobachtete Werte“, „zeilenweise“ und „spaltenweise“ Prozente sowie die
oben schon besprochenen „angepaßten standardisierten Chiquadratresiduen“ aus. Wir klicken auf die
Schaltflächen „weiter“ und „Befehl“ und erhalten im Syntaxfenster folgendes:
CROSSTABS
/TABLES=v33berw BY alter BY v61gend
/FORMAT= AVALUE NOINDEX BOX LABELS TABLES
/STATISTIC=CHISQ PHI BTAU
/CELLS= COUNT ROW COLUMN ASRESID .
Wir führen diesen Befehl aus und erhalten im Ausgabefenster folgenden Output, in dem zur weiteren
Interpretation alle interessanten „angepaßten, standardisierten Chiquadratresiduen fett gedruckt sind:
V33BERW Weiterlernen im Beruf by ALTER
Controlling for.V61GEND Geschlecht Value = 1
maennlich
ALTER
Count |
Row Pct |
Col Pct |
Row
Adj Res |
1|
2|
3|
4|
5| Total
V33BERW
--------+------+------+------+------+------+
1 |
45|
65|
48|
57|
69|
284
unwichtig
| 15,8%| 22,9%| 16,9%| 20,1%| 24,3%| 39,7%
| 36,3%| 37,1%| 32,2%| 36,8%| 61,1%|
|
-,8|
-,8| -2,1|
-,8|
5,1|
+------+------+------+------+------+
2 |
10|
18|
14|
15|
12|
69
selten wichtig
| 14,5%| 26,1%| 20,3%| 21,7%| 17,4%| 9,6%
| 8,1%| 10,3%| 9,4%| 9,7%| 10,6%|
|
-,7|
,3|
-,1|
,0|
,4|
+------+------+------+------+------+
3 |
19|
21|
22|
17|
14|
93
gelegentlich wic | 20,4%| 22,6%| 23,7%| 18,3%| 15,1%| 13,0%
| 15,3%| 12,0%| 14,8%| 11,0%| 12,4%|
|
,9|
-,4|
,7|
-,8|
-,2|
+------+------+------+------+------+
4 |
13|
21|
26|
20|
4|
84
oefters wichtig | 15,5%| 25,0%| 31,0%| 23,8%| 4,8%| 11,7%
| 10,5%| 12,0%| 17,4%| 12,9%| 3,5%|
|
-,5|
,1|
2,4|
,5| -2,9|
+------+------+------+------+------+
5 |
37|
50|
39|
46|
14|
186
sehr wichtig
| 19,9%| 26,9%| 21,0%| 24,7%| 7,5%| 26,0%
| 29,8%| 28,6%| 26,2%| 29,7%| 12,4%|
|
1,1|
,9|
,1|
1,2| -3,6|
+------+------+------+------+------+
Column
124
175
149
155
113
716
Total
17,3% 24,4% 20,8% 21,6% 15,8% 100,0%
Chi-Square
Value
-----------------------------Pearson
39,12885
Minimum Expected Frequency 10,890
DF
---16
Approximate
Significance
-----------,00104
161
Statistic
-----------------Cramer's V
Kendall's Tau-b
Value
Significance
----------------------,11689
,00104 *1
-,10386
V33BERW Weiterlernen im Beruf by ALTER
Controlling for V61GEND Geschlecht Value = 2
weiblich
ALTER
Count |
Row Pct |
Col Pct |
Row
Adj Res |
1|
2|
3|
4|
5| Total
V33BERW
--------+------+------+------+------+------+
1 |
151|
157|
128|
155|
242|
833
unwichtig
| 18,1%| 18,8%| 15,4%| 18,6%| 29,1%| 46,6%
| 44,2%| 36,8%| 39,5%| 44,5%| 69,7%|
| -1,0| -4,7| -2,8|
-,9|
9,6|
+------+------+------+------+------+
2 |
31|
35|
35|
35|
15|
151
selten wichtig
| 20,5%| 23,2%| 23,2%| 23,2%| 9,9%| 8,4%
| 9,1%| 8,2%| 10,8%| 10,1%| 4,3%|
|
,5|
-,2|
1,7|
1,2| -3,1|
+------+------+------+------+------+
3 |
31|
59|
38|
33|
33|
194
gelegentlich wic | 16,0%| 30,4%| 19,6%| 17,0%| 17,0%| 10,9%
| 9,1%| 13,8%| 11,7%| 9,5%| 9,5%|
| -1,2|
2,3|
,6|
-,9|
-,9|
+------+------+------+------+------+
4 |
51|
59|
36|
29|
17|
192
oefters wichtig | 26,6%| 30,7%| 18,8%| 15,1%| 8,9%| 10,7%
| 14,9%| 13,8%| 11,1%| 8,3%| 4,9%|
|
2,8|
2,4|
,2| -1,6| -3,9|
+------+------+------+------+------+
5 |
78|
117|
87|
96|
40|
418
sehr wichtig
| 18,7%| 28,0%| 20,8%| 23,0%| 9,6%| 23,4%
| 22,8%| 27,4%| 26,9%| 27,6%| 11,5%|
|
-,3|
2,3|
1,6|
2,1| -5,8|
+------+------+------+------+------+
Column
342
427
324
348
347
1788
Total
19,1% 23,9% 18,1% 19,5% 19,4% 100,0%
Chi-Square
Value
-----------------------Pearson
119,65653
Minimum Expected Frequency 27,362
Statistic
-----------------Cramer's V
Kendall's Tau-b
Value
--------,12935
-,12761
DF
---16
ASE1
--------
Val/ASE0
--------
,01917
-6,66177
Significance
-----------,00000
Approximate
Significance
-----------,00000 *1
162
Number of Missing Observations:
380
Der Output zeigt, daß bei den Männern (erste Tabelle) nur zwei Zellen der Tabelle auffällig sind:
• Die letzte Zelle in der ersten Zeile, aus der hervorgeht, daß ältere Männer stark überrepräsentiert sind bei der
Aussage, daß berufliche Weiterbildung für sie unwichtig ist.
• Die letzte Zelle in der letzten Zeile, aus der hervorgeht, daß ältere Männer stark unterrepräsentiert sind bei
der Aussage, daß berufliche Weiterbildung für sie sehr wichtig ist,
• Die dritte Zelle in der vierten Zeile, aus der hervorgeht, daß Männer im mittleren Alter leicht
überrepräsentiert sind bei der Aussage, daß berufliche Bildung für sie öfters wichtig ist.
Insgesamt gibt es nur eine zwar signifikante, aber schwache negative Korrelation zwischen Alter und Bedürfnis
nach beruflicher Weiterbildung in der Volkshochschule bei Männern.
Bei Frauen (zweite Tabelle) ist das Ergebnis ähnlich:
Der Output zeigt, daß bei den Frauen (zweite Tabelle) 5 Zellen der Tabelle auffällig sind:
• Die letzte Zelle in der ersten Zeile, aus der hervorgeht, daß ältere Frauen stark überrepräsentiert sind bei der
Aussage, daß berufliche Weiterbildung für sie unwichtig ist.
• Die letzte Zelle in der letzten Zeile, aus der hervorgeht, daß ältere Frauen stark unterrepräsentiert sind bei der
Aussage, daß berufliche Weiterbildung für sie sehr wichtig ist,
• Aus der ersten und zweite Zelle in der vierten Zeile geht hervor, daß jüngere Frauen überrepräsentiert sind
bei der Aussage, daß für sie berufliche Bildung „öfters wichtig ist“.
• Aus der zweiten Zelle der letzten Zeile geht hervor, daß für jüngere Frauen bei der Aussage überrepräsentiert
sind, daß für sie berufliche Weiterbildung „sehr wichtig“ ist.
Insgesamt gibt es nur eine zwar signifikante, aber schwache negative Korrelation zwischen Alter und Bedürfnis
nach beruflicher Weiterbildung in der Volkshochschule bei den Frauen, die aber etwas stärker ausgeprägt ist als
bei den Männern. Tendenziell gilt bei beiden Geschlechtern: Die Nachfrage nach beruflicher Weiterbildung
sinkt mit dem Alter.
13.2.6. Korrelations- und Regressionsanalyse
Wir haben den Fall zweier miteinander zusammenhängender Variablen, die beide intervallskaliert sind: Die
Menge der km, die ein Autofahrer zum Dienstort benötigt, und die Menge der Punkte in Flensburg wegen
irgendwelcher Verkehrsdelikte. Dies alles geschieht in einer Stadt mit extrem schlechter Verkehrsbeschilderung
und hoher Kontrolldichte der Polizei. Es soll der Nachweis geführt werden, daß die Menge der Punkte in
Flensburg vor allem von der Entfernung zum Dienstort abhängt. Das Eingabefenster sähe wie folgt aus (die
ersten 4 Fälle):
KmzumD
19,0
25,0
13,0
18,0
...
Punkte
7
7
4
4
...
Wir wählen aus dem Menue folgende Befehle aus: „Statistik“, „Regression“, „linear“;
wir weisen in dem dann offenen Fenster „Punkte“ der „abhängigen Variable“ zu,
„KmzumD“ der „unabhängigen Variable“. In der Schaltfläche „Statistiken“ fordern wir
noch „univariate Statistiken“ an. Das klicken wir die Schaltfläche „Befehl“ an. Im
Syntax-Fenster erscheint dann folgendes:
REGRESSION
/DESCRIPTIVES MEAN STDDEV CORR SIG N
/MISSING LISTWISE
/STATISTICS COEFF OUTS R ANOVA
/CRITERIA=PIN(.05) POUT(.10)
/NOORIGIN
163
/DEPENDENT punkte
/METHOD=ENTER kmzumd.
Wir führen diesen Befehl aus und erhalten folgenden Output im Ausgabefenster (alles hier nicht Relevante ist
weggelassen):
* * * *
M U L T I P L E
R E G R E S S I O N
* * * *
Listwise Deletion of Missing Data
Mean Std Dev Label
PUNKTE
6,174
1,568 Punkte in Flensburg
KMZUMD
19,783
5,257 Entfernung zum Dienstort in km
N of Cases =
46
Correlation, 1-tailed Sig:
PUNKTE
KMZUMD
PUNKTE
1,000
,706
,
,000
KMZUMD
,706
1,000
,000
,
Variable
KMZUMD
(Constant)
B
SE B
Beta
T
Sig T
,210431
2,011046
,031854
,651556
,705658
6,606
3,087
,0000
,0035
Wir können dem Output entnehmen, daß es eine deutliche Korrelation zwischen den beiden Variablen gibt,
wobei 49,7 % der Varianz der abhängigen Variable durch die unabhängige Variable erklärt werden. Der
Korrelationskoeffizient r = 0,7056 kann dem Output an zwei Stellen entnommen werden: bei
„Correlation, 1-tailed Sig“ und bei „Beta“.
Die Regressionskoeffizienten entnehmen wir bei B = 0,210 (und erhalten die Steigung in der 1.
Regressionsgerade). Der Abschnitt auf der y-Achse ist gleich a = 2,011. Wir finden die Angabe hinter
„Constant“. Nach diesen Angaben könnten wir die Regressionsgerade zeichnen (siehe unten die
entprechende Graphik). Weiterhin stellen wir fest, daß der Korrelationskoeffizient signifikant ist (T = 6,606), p
= 0,000. Überdies erhalten wir anfangs im Output noch Angaben über arithmetische Mittel und
Standardabweichungen der untersuchten Variablen.
Würden wir eine Graphik der Beziehung haben wollen, wäre ein „Scatterplot“ geeignet. Wir erhalten diese
Graphik über die Befehlsfolge: „Graphik“, „Scatterplot“, „Einfach“, „Definieren“ und weisen dort der x-Achse
die Variable „KmzumD“ zu und der y-Achse die Variable „Punkte“. Dann klicken wir auf die Schaltfläche
„Befehl“ und erhalten im Syntaxfenster:
GRAPH
/SCATTERPLOT(BIVAR)=kmzumd WITH punkte
/MISSING=LISTWISE .
Nachdem wir diesen Befehl ausgeführt haben, können wir durch Anklicken des Symbols „Graphikkarussel“
folgende Graphik im Graphikeditor herstellen: Zunächst erscheint die Graphik ohne die Regressionsgerade und
ohne die senkrechten Linien, die die Position der arithmetischen Mittel von x und y markieren. Aber mit Hilfe
des Menues „Bearbeiten“ „Graphik“ etc. lassen sich diese Zusätze zur Erstfassung der Graphik herstellen.
164
Wichtig für die Praxis ist noch, daß man Farben durch Schraffuren ersetzen kann, daß man den
Darstellungsspielraum der Achsen wählen kann (um zum Beispiel den Nullpunkt mit darzustellen), und daß man
auch Überschriften hinzufügen kann etc.:
Punkte in Flensburg
Zusammenhang zwischen der Entfernung zum Arbeitsort und den „Punkten in Flensburg“ bei
zufällig ausgewählten Autofahrern in einer Stadt mit problematischer Verkehrsbeschilderung
und hoher polizeilicher Kontrolldichte:
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
0
10
20
30
40
R-Qu. = 0,4980
Entfernung zum Dienstort in km
13.2.7. Binomialtest
Der Fall: „Unter 1000 britischen Ärzten geben 600 an, emotional nicht stabile Patienten im Zweifel lieber zur
Ärztin als zum Arzt zu überweisen, da Frauen unter den Ärzten mehr Einfühlungsvermögen zugetraut wird.“
(Ärzte Zeitung vom 17.9 97).
Wenn wir so eine Meldung lesen und mittels SPSS den Binomialtest auf die Daten anwenden wollen, aber nur
die Häufigkeiten (und nicht den Datensatz) haben, können wir mittels des Befehls „weight“ dennoch Test
durchführen. Wir bauen folgenden Datensatz auf:
ueberw
1
2
haeufig
600
400
Dann wählen wir über das Menue folgende Befehle: Statistik, nichtparametrische Tests, Binomial. Dort wählen
wir als Testvariable „ueberw“. Den Test-Anteil lassen wir bei ,50. Wir klicken auf die Schaltfläche: Befehl und
erhalten im Syntaxfenster den folgenden Text (ohne die erste Zeile, die wir hinzuschreiben und mit einem Punkt
abschließen).
weight by haeufigk.
NPAR TEST
/BINOMIAL (.50)= ueberw
/MISSING ANALYSIS.
Wir führen den Befehl aus und erhalten im Ausgabefenster:
- - - - - Binomial Test
UEBERW
Geschlecht des bevorzugten Arztes
Cases
400
600
----
= 1
= 2
Test Prop. =
Obs. Prop. =
,5000
,4000
Z Approximation
165
1000
Total
2-Tailed P =
,0000
Hierbei bedeutet 2-Tailed P = ,000, daß die Wahrscheinlichkeit, aus einer gleichverteilten Grundgesamtheit das
vorliegende Ergebnis zufällig zu erhalten, gleich Null ist. Die Nullhypothese wird daher abgelehnt. Die
britischen Ärzte haben hiernach ein bestimmtes „Vor“-Urteil über ihre Kolleginnen.
13.2.8. Kolmogorov-Smirnov-Test auf Verteilungsform bei einer Stichprobe
Gegeben sei eine Stichprobe von 200 Zahlen aus Intelligenztests. Gefragt ist, ob diese Stichprobe
„normalverteilt“ ist:
95;99;98;98;90;91;98;108;99;98;98;94;107;95;97;91;92;105;103;102;100;95;107;98;99;106;98;98;103;95;99;10
5;93;98;96;98;94;105;106;93;99;101;100;102;100;98;104;100;100;101;94;86;103;107;105;102;95;97;111;96;97
;105;104;94;108;102;96;99;105;105;89;108;97;102;99;92;104;97;95;90;103;97;95;95;89;97;90;91;101;103;97;1
01;108;100;103;93;94;94;98;101;93;109;106;96;93;102;101;94;105;99;97;107;103;100;104;107;98;91;97;103;9
7;92;97;101;93;97;102;98;101;102;88;98;98;101;100;104;92;99;101;102;106;94;102;101;100;107;99;97;92;101
;88;92;102;102;102;96;98;94;93;91;96;97;100;103;105;97;94;103;104;92;103;99;98;101;107;92;107;105;110;1
02;97;104;111;90;103;94;96;99;100;98;93;97;106;100;110;97;94;96;104;107.
Hierzu lesen wir unsere Daten im Datenfenster unter der Variablenbezeichnung: Inteli ein und geben folgende
Befehle: „Statistik“, „nichtparametrische Tests“, „1-Stichproben-KS“. Wir wählen die Variable „Inteli“ als
Testvariable und wählen bei den Optionen noch „Deskriptive Statistiken“ und „Quartile“. Wir wählen die
Prüfung auf „Normalverteilung“. Dann klicken wir die Schaltfläche „Befehl“ an und erhalten im Syntaxfenster:
NPAR TESTS
/K-S(NORMAL)= INTELI
/STATISTICS DESCRIPTIVES QUARTILES
/MISSING ANALYSIS.
Diesen Befehl führen wir aus und erhalten im Ausgabefenster:
INTELI
N
200
INTELI
N
200
Mean
99,095
25th
Percentile
95,25
Std Dev Minimum Maximum
5,134
86
111
(Median)
50th
75th
Percentile Percentile
99,00
103,00
- - - - - Kolmogorov - Smirnov Goodness of Fit Test
INTELI
Test distribution
Cases:
-
Normal
Mean:
Standard Deviation:
99,10
5,13
200
Most extreme differences
Absolute
Positive
Negative
,06445
,06445
-,05161
K-S Z
,9114
2-Tailed P
,3771
SPSS berechnet eine Irrtums-Wahrscheinlichkeit im zweiseitigen Test von p = 0,3771, daß die Daten nicht
zufällig einer Normalverteilung entnommen worden sind. Bei dieser hohen Irrtumswahrscheinlichkeit behalten
wir die Nullhypothese bei, daß die Daten aus einer Normalverteilung entnommen wurden.
166
4. Tabellen
4.1. Standardnormalverteilung
Die folgende Tabelle zeigt die Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung. Für ausgewählte z-Werte ist
die Wahrscheinlichkeit W(Z≤z)=(1-α) angegeben, daß dieser oder ein kleinerer z-Wert auftritt.
Lesebeispiel: Die Tabelle enthält z-Werte, die auf zwei Stellen hinter dem Komma gerundet sind: z.B. -2,03,
1,07 oder 1,96. Damit die Tabelle nicht zu viel Platz einnimmt, ist jeder z-Wert in zwei Teile aufgespaltet: Teil 1
mit der ersten Nachkommastelle (Spalte 1) und Teil 2 mit der zweiten Nachkommastelle (alle folgenden
Spalten). Gesucht sei die Wahrscheinlichkeit, daß maximal ein z-Wert von -2,03 auftritt (Teil 1: -2,0; Teil 2:
0,03). In der Zeile mit z=-2,0 (erste Spalte) finden Sie in der mit 0,03 überschriebenen Spalte die gesuchte
Wahrscheinlichkeit (1-α)=0,0212.
Teil 2 des z-Wertes (2. Nachkommastelle)
z-Werte
(Teil 1)
0,00
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
0,08
0,09
0,0019 0,0018 0,0018 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,0014
-2,9
0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,0023 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,0019
-2,8
0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,0026
-2,7
0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,0036
-2,6
0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,0049 0,0048
-2,5
0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,0064
-2,4
0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,0084
-2,3
0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0125 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,0110
-2,2
0,0179 0,0174 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,0143
-2,1
0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,0183
-2,0
0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0239 0,0233
-1,9
0,0359 0,0351 0,0344 0,0336 0,0329 0,0322 0,0314 0,0307 0,0301 0,0294
-1,8
0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,0367
-1,7
0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,0455
-1,6
0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0571 0,0559
-1,5
0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0721 0,0708 0,0694 0,0681
-1,4
0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,0823
-1,3
0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,0985
-1,2
0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,1170
-1,1
0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,1379
-1,0
0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,1611
-0,9
0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894 0,1867
-0,8
0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2296 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,2148
-0,7
0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,2451
-0,6
0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,2776
-0,5
0,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,3121
-0,4
0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,3483
-0,3
0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,3859
-0,2
0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,4247
-0,1
0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,4641
-0,0
0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359
0,0
0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753
0,1
0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141
0,2
0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517
0,3
0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879
0,4
0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224
0,5
167
0,6
0,7
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
1,9
2,0
2,1
2,2
2,3
2,4
2,5
2,6
2,7
2,8
2,9
0,7257
0,7580
0,7881
0,8159
0,8413
0,8643
0,8849
0,9032
0,9192
0,9332
0,9452
0,9554
0,9641
0,9713
0,9772
0,9821
0,9861
0,9893
0,9918
0,9938
0,9953
0,9965
0,9974
0,9981
0,7291
0,7611
0,7910
0,8186
0,8438
0,8665
0,8869
0,9049
0,9207
0,9345
0,9463
0,9564
0,9649
0,9719
0,9778
0,9826
0,9864
0,9896
0,9920
0,9940
0,9955
0,9966
0,9975
0,9982
0,7324
0,7642
0,7939
0,8212
0,8461
0,8686
0,8888
0,9066
0,9222
0,9357
0,9474
0,9573
0,9656
0,9726
0,9783
0,9830
0,9868
0,9898
0,9922
0,9941
0,9956
0,9967
0,9976
0,9982
0,7357
0,7673
0,7967
0,8238
0,8485
0,8708
0,8907
0,9082
0,9236
0,9370
0,9484
0,9582
0,9664
0,9732
0,9788
0,9834
0,9871
0,9901
0,9925
0,9943
0,9957
0,9968
0,9977
0,9983
0,7389
0,7703
0,7995
0,8264
0,8508
0,8729
0,8925
0,9099
0,9251
0,9382
0,9495
0,9591
0,9671
0,9738
0,9793
0,9838
0,9875
0,9904
0,9927
0,9945
0,9959
0,9969
0,9977
0,9984
0,7422
0,7734
0,8023
0,8289
0,8531
0,8749
0,8944
0,9115
0,9265
0,9394
0,9505
0,9599
0,9678
0,9744
0,9798
0,9842
0,9878
0,9906
0,9929
0,9946
0,9960
0,9970
0,9978
0,9984
0,7454
0,7764
0,8051
0,8315
0,8554
0,8770
0,8962
0,9131
0,9279
0,9406
0,9515
0,9608
0,9686
0,9750
0,9803
0,9846
0,9881
0,9909
0,9931
0,9948
0,9961
0,9971
0,9979
0,9985
0,7486
0,7794
0,8078
0,8340
0,8577
0,8790
0,8980
0,9147
0,9292
0,9418
0,9525
0,9616
0,9693
0,9756
0,9808
0,9850
0,9884
0,9911
0,9932
0,9949
0,9962
0,9972
0,9979
0,9985
0,7517
0,7823
0,8106
0,8365
0,8599
0,8810
0,8997
0,9162
0,9306
0,9429
0,9535
0,9625
0,9699
0,9761
0,9812
0,9854
0,9887
0,9913
0,9934
0,9951
0,9963
0,9973
0,9980
0,9986
0,7549
0,7852
0,8133
0,8389
0,8621
0,8830
0,9015
0,9177
0,9319
0,9441
0,9545
0,9633
0,9706
0,9767
0,9817
0,9857
0,9890
0,9916
0,9936
0,9952
0,9964
0,9974
0,9981
0,9986
168
4.2. χ2-Verteilung
Die folgende Tabelle zeigt die inverse Verteilungsfunktion der χ2-Verteilung: χ2(1-α|df). Für ausgewählte
Freiheitsgrade (df) und Wahrscheinlichkeiten (1-α) werden die entsprechenden χ2-Werte (χ2-Quantile)
dargestellt. Lesebeispiel: Gesucht sei der χ2-Wert, unter dem bei df=17 Freiheitsgraden 95% aller möglichen
Werte einer χ2-verteilten Zufallsvariablen X2 liegen. In der Zeile für df=17 finden Sie in der Spalte (1-α)=0,95
den gesuchten Wert χ2=27,59.
(rote/dunkle) Fläche (1-α)
df
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
0,975
0,99
0,995
1,32
1,64
2,07
2,71
3,84
5,02
6,63
7,88
1 1,07
2,77
3,22
3,79
4,61
5,99
7,38
9,21
10,60
2 2,41
4,11
4,64
5,32
6,25
7,81
9,35
11,34
12,84
3 3,66
5,39
5,99
6,74
7,78
9,49
11,14
13,28
14,86
4 4,88
6,63
7,29
8,12
9,24
11,07
12,83
15,09
16,75
5 6,06
7,84
8,56
9,45
10,64
12,59
14,45
16,81
18,55
6 7,23
9,04
9,80
10,75
12,02
14,07
16,01
18,48
20,28
7 8,38
10,22
11,03
12,03
13,36
15,51
17,53
20,09
21,95
8 9,52
10,66
11,39
12,24
13,29
14,68
16,92
19,02
21,67
23,59
9
12,55
13,44
14,53
15,99
18,31
20,48
23,21
25,19
10 11,78
13,70
14,63
15,77
17,28
19,68
21,92
24,73
26,76
11 12,90
14,85
15,81
16,99
18,55
21,03
23,34
26,22
28,30
12 14,01
15,98
16,98
18,20
19,81
22,36
24,74
27,69
29,82
13 15,12
17,12
18,15
19,41
21,06
23,68
26,12
29,14
31,32
14 16,22
18,25
19,31
20,60
22,31
25,00
27,49
30,58
32,80
15 17,32
19,37
20,47
21,79
23,54
26,30
28,85
32,00
34,27
16 18,42
20,49
21,61
22,98
24,77
27,59
30,19
33,41
35,72
17 19,51
21,60
22,76
24,16
25,99
28,87
31,53
34,81
37,16
18 20,60
22,72
23,90
25,33
27,20
30,14
32,85
36,19
38,58
19 21,69
23,83
25,04
26,50
28,41
31,41
34,17
37,57
40,00
20 22,77
24,93
26,17
27,66
29,62
32,67
35,48
38,93
41,40
21 23,86
24,94
26,04
27,30
28,82
30,81
33,92
36,78
40,29
42,80
22
27,14
28,43
29,98
32,01
35,17
38,08
41,64
44,18
23 26,02
28,24
29,55
31,13
33,20
36,42
39,36
42,98
45,56
24 27,10
29,34
30,68
32,28
34,38
37,65
40,65
44,31
46,93
25 28,17
34,80
36,25
37,99
40,26
43,77
46,98
50,89
53,67
30 33,53
45,62
47,27
49,24
51,81
55,76
59,34
63,69
66,77
40 44,16
56,33
58,16
60,35
63,17
67,50
71,42
76,15
79,49
50 54,72
66,98
68,97
71,34
74,40
79,08
83,30
88,38
91,95
60 65,23
77,58
79,71
82,26
85,53
90,53
95,02
100,43
104,21
70 75,69
88,13
90,41
93,11
96,58
101,88
106,63
112,33
116,32
80 86,12
98,65
101,05
103,90
107,57
113,15
118,14
124,12
128,30
90 96,52
109,14
111,67
114,66
118,50
124,34
129,56
135,81
140,17
100 106,91
161,29
164,35
167,96
172,58
179,58
185,80
193,21
198,36
150 158,58
209,99
213,10
216,61
220,74
226,02
233,99
241,06
249,45
255,26
200
520,95
526,40
532,80
540,93
553,13
563,85
576,49
585,21
500 516,09
169
4.3. t-Verteilung
Die folgende Tabelle zeigt die inverse Verteilungsfunktion der T-Verteilung: T(1-α|df). Für ausgewählte
Freiheitsgrade (df) und Wahrscheinlichkeiten (1-α) werden die entsprechenden t-Werte (t-Quantile) dargestellt,
für die gilt: W(T≤t|df) = (1-α).
Lesebeispiel: Gesucht sei der t-Wert, unter dem bei df=17 Freiheitsgraden 95% aller möglichen Werte einer Tverteilten Zufallsvariablen T liegen. In der Zeile für df=17 finden Sie in der Spalte (1-α)=0,95 den gesuchten
Wert t=1,740.
Fläche (1-α)
df
0,65
0,7
0,75
0,8
0,85
0,9
0,95
0,975
0,99
0,995
0,510
0,727
1,000
1,376
1,963
3,078
6,314
12,706
31,821
63,656
1
0,445
0,617
0,816
1,061
1,386
1,886
2,920
4,303
6,965
9,925
2
0,424
0,584
0,765
0,978
1,250
1,638
2,353
3,182
4,541
5,841
3
0,414
0,569
0,741
0,941
1,190
1,533
2,132
2,776
3,747
4,604
4
0,408
0,559
0,727
0,920
1,156
1,476
2,015
2,571
3,365
4,032
5
0,404
0,553
0,718
0,906
1,134
1,440
1,943
2,447
3,143
3,707
6
0,402
0,549
0,711
0,896
1,119
1,415
1,895
2,365
2,998
3,499
7
0,399
0,546
0,706
0,889
1,108
1,397
1,860
2,306
2,896
3,355
8
0,398
0,543
0,703
0,883
1,100
1,383
1,833
2,262
2,821
3,250
9
0,542
0,700
0,879
1,093
1,372
1,812
2,228
2,764
3,169
10 0,397
0,540
0,697
0,876
1,088
1,363
1,796
2,201
2,718
3,106
11 0,396
0,539
0,695
0,873
1,083
1,356
1,782
2,179
2,681
3,055
12 0,395
0,538
0,694
0,870
1,079
1,350
1,771
2,160
2,650
3,012
13 0,394
0,537
0,692
0,868
1,076
1,345
1,761
2,145
2,624
2,977
14 0,393
0,536
0,691
0,866
1,074
1,341
1,753
2,131
2,602
2,947
15 0,393
0,535
0,690
0,865
1,071
1,337
1,746
2,120
2,583
2,921
16 0,392
0,534
0,689
0,863
1,069
1,333
1,740
2,110
2,567
2,898
17 0,392
0,534
0,688
0,862
1,067
1,330
1,734
2,101
2,552
2,878
18 0,392
0,533
0,688
0,861
1,066
1,328
1,729
2,093
2,539
2,861
19 0,391
0,533
0,687
0,860
1,064
1,325
1,725
2,086
2,528
2,845
20 0,391
0,532
0,686
0,859
1,063
1,323
1,721
2,080
2,518
2,831
21 0,391
0,532
0,686
0,858
1,061
1,321
1,717
2,074
2,508
2,819
22 0,390
0,532
0,685
0,858
1,060
1,319
1,714
2,069
2,500
2,807
23 0,390
0,531
0,685
0,857
1,059
1,318
1,711
2,064
2,492
2,797
24 0,390
0,531
0,684
0,856
1,058
1,316
1,708
2,060
2,485
2,787
25 0,390
0,530
0,683
0,854
1,055
1,310
1,697
2,042
2,457
2,750
30 0,389
0,529
0,681
0,851
1,050
1,303
1,684
2,021
2,423
2,704
40 0,388
0,528
0,679
0,849
1,047
1,299
1,676
2,009
2,403
2,678
50 0,388
0,527
0,679
0,848
1,045
1,296
1,671
2,000
2,390
2,660
60 0,387
0,527
0,678
0,847
1,044
1,294
1,667
1,994
2,381
2,648
70 0,387
0,526
0,678
0,846
1,043
1,292
1,664
1,990
2,374
2,639
80 0,387
0,387
0,526
0,677
0,846
1,042
1,291
1,662
1,987
2,368
2,632
90
0,526
0,677
0,845
1,042
1,290
1,660
1,984
2,364
2,626
100 0,386
0,526
0,676
0,844
1,040
1,287
1,655
1,976
2,351
2,609
150 0,386
0,525
0,676
0,843
1,039
1,286
1,653
1,972
2,345
2,601
200 0,386
0,525
0,675
0,842
1,038
1,283
1,648
1,965
2,334
2,586
500 0,386
0,525
0,675
0,842
1,037
1,282
1,646
1,962
2,330
2,581
1000 0,385
170
4.4. F-Verteilung für (1-α)=0,99
Die folgende Tabelle zeigt die inverse Verteilungsfunktion der F-Verteilung für (1-α)=0,99. Für ausgewählte
Zähler- und Nenner-Freiheitsgrade (df1, df2) werden die entsprechenden f-Werte (f-Quantile) dargestellt, für die
gilt: W(F≤f|df1, df2) = 0,99. Lesebeispiel: Gesucht sei der f-Wert, unter dem bei df1=2 Zähler-Freiheitsgraden
und df2=4 Nenner-Freiheitsgraden 99% aller möglichen Werte einer F-verteilten Zufallsvariablen F liegen. In
der Zeile für df2=4 finden Sie in der Spalte für df1=2 den gesuchten Wert F=18,00.
df2
(Nenne
r)
df1 (Zähler)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
14
16
18
20
22
24
26
1
4052 4999 5403 5624 5763 5858 5928 5980 6022 6055 6083 6106 6143 6170 6191 6208 6223 6234 6244
,18 ,34 ,53 ,26 ,96 ,95 ,33 ,95 ,40 ,93 ,40 ,68 ,00 ,01 ,43 ,66 ,10 ,27 ,52
2
98,5 99,0 99,1 99,2 99,3 99,3 99,3 99,3 99,3 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4 99,4
0
0
6
5
0
3
6
8
9
0
1
2
3
4
4
5
6
6
6
3
34,1 30,8 29,4 28,7 28,2 27,9 27,6 27,4 27,3 27,2 27,1 27,0 26,9 26,8 26,7 26,6 26,6 26,6 26,5
2
2
6
1
4
1
7
9
4
3
3
5
2
3
5
9
4
0
6
4
21,2 18,0 16,6 15,9 15,5 15,2 14,9 14,8 14,6 14,5 14,4 14,3 14,2 14,1 14,0 14,0 13,9 13,9 13,8
0
0
9
8
2
1
8
0
6
5
5
7
5
5
8
2
7
3
9
5
16,2 13,2 12,0 11,3 10,9 10,6 10,4 10,2 10,1 10,0
9,96 9,89 9,77 9,68 9,61 9,55 9,51 9,47 9,43
6
7
6
9
7
7
6
9
6
5
6
13,7 10,9
9,78 9,15 8,75 8,47 8,26 8,10 7,98 7,87 7,79 7,72 7,60 7,52 7,45 7,40 7,35 7,31 7,28
5
2
7
12,2
9,55 8,45 7,85 7,46 7,19 6,99 6,84 6,72 6,62 6,54 6,47 6,36 6,28 6,21 6,16 6,11 6,07 6,04
5
8
11,2
8,65 7,59 7,01 6,63 6,37 6,18 6,03 5,91 5,81 5,73 5,67 5,56 5,48 5,41 5,36 5,32 5,28 5,25
6
9
10,5
8,02 6,99 6,42 6,06 5,80 5,61 5,47 5,35 5,26 5,18 5,11 5,01 4,92 4,86 4,81 4,77 4,73 4,70
6
10
10,0
7,56 6,55 5,99 5,64 5,39 5,20 5,06 4,94 4,85 4,77 4,71 4,60 4,52 4,46 4,41 4,36 4,33 4,30
4
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
9,65 7,21 6,22 5,67 5,32 5,07 4,89 4,74 4,63 4,54 4,46 4,40 4,29 4,21 4,15 4,10 4,06 4,02 3,99
9,33 6,93 5,95 5,41 5,06 4,82 4,64 4,50 4,39 4,30 4,22 4,16 4,05 3,97 3,91 3,86 3,82 3,78 3,75
9,07 6,70 5,74 5,21 4,86 4,62 4,44 4,30 4,19 4,10 4,02 3,96 3,86 3,78 3,72 3,66 3,62 3,59 3,56
8,86 6,51 5,56 5,04 4,69 4,46 4,28 4,14 4,03 3,94 3,86 3,80 3,70 3,62 3,56 3,51 3,46 3,43 3,40
8,68 6,36 5,42 4,89 4,56 4,32 4,14 4,00 3,89 3,80 3,73 3,67 3,56 3,49 3,42 3,37 3,33 3,29 3,26
8,53 6,23 5,29 4,77 4,44 4,20 4,03 3,89 3,78 3,69 3,62 3,55 3,45 3,37 3,31 3,26 3,22 3,18 3,15
8,40 6,11 5,19 4,67 4,34 4,10 3,93 3,79 3,68 3,59 3,52 3,46 3,35 3,27 3,21 3,16 3,12 3,08 3,05
8,29 6,01 5,09 4,58 4,25 4,01 3,84 3,71 3,60 3,51 3,43 3,37 3,27 3,19 3,13 3,08 3,03 3,00 2,97
8,18 5,93 5,01 4,50 4,17 3,94 3,77 3,63 3,52 3,43 3,36 3,30 3,19 3,12 3,05 3,00 2,96 2,92 2,89
8,10 5,85 4,94 4,43 4,10 3,87 3,70 3,56 3,46 3,37 3,29 3,23 3,13 3,05 2,99 2,94 2,90 2,86 2,83
8,02 5,78 4,87 4,37 4,04 3,81 3,64 3,51 3,40 3,31 3,24 3,17 3,07 2,99 2,93 2,88 2,84 2,80 2,77
7,95 5,72 4,82 4,31 3,99 3,76 3,59 3,45 3,35 3,26 3,18 3,12 3,02 2,94 2,88 2,83 2,78 2,75 2,72
7,88 5,66 4,76 4,26 3,94 3,71 3,54 3,41 3,30 3,21 3,14 3,07 2,97 2,89 2,83 2,78 2,74 2,70 2,67
7,82 5,61 4,72 4,22 3,90 3,67 3,50 3,36 3,26 3,17 3,09 3,03 2,93 2,85 2,79 2,74 2,70 2,66 2,63
7,77 5,57 4,68 4,18 3,85 3,63 3,46 3,32 3,22 3,13 3,06 2,99 2,89 2,81 2,75 2,70 2,66 2,62 2,59
7,72 5,53 4,64 4,14 3,82 3,59 3,42 3,29 3,18 3,09 3,02 2,96 2,86 2,78 2,72 2,66 2,62 2,58 2,55
7,68 5,49 4,60 4,11 3,78 3,56 3,39 3,26 3,15 3,06 2,99 2,93 2,82 2,75 2,68 2,63 2,59 2,55 2,52
7,64 5,45 4,57 4,07 3,75 3,53 3,36 3,23 3,12 3,03 2,96 2,90 2,79 2,72 2,65 2,60 2,56 2,52 2,49
7,60 5,42 4,54 4,04 3,73 3,50 3,33 3,20 3,09 3,00 2,93 2,87 2,77 2,69 2,63 2,57 2,53 2,49 2,46
7,56 5,39 4,51 4,02 3,70 3,47 3,30 3,17 3,07 2,98 2,91 2,84 2,74 2,66 2,60 2,55 2,51 2,47 2,44
171
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
50
60
70
80
90
100
125
150
175
200
250
300
400
500
1000
100000
0
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7,50 5,34 4,46 3,97 3,65 3,43 3,26 3,13 3,02 2,93 2,86 2,80 2,70 2,62 2,55 2,50 2,46 2,42 2,39
7,47 5,31 4,44 3,95 3,63 3,41 3,24 3,11 3,00 2,91 2,84 2,78 2,68 2,60 2,53 2,48 2,44 2,40 2,37
7,44 5,29 4,42 3,93 3,61 3,39 3,22 3,09 2,98 2,89 2,82 2,76 2,66 2,58 2,51 2,46 2,42 2,38 2,35
7,42 5,27 4,40 3,91 3,59 3,37 3,20 3,07 2,96 2,88 2,80 2,74 2,64 2,56 2,50 2,44 2,40 2,36 2,33
7,40 5,25 4,38 3,89 3,57 3,35 3,18 3,05 2,95 2,86 2,79 2,72 2,62 2,54 2,48 2,43 2,38 2,35 2,32
7,37 5,23 4,36 3,87 3,56 3,33 3,17 3,04 2,93 2,84 2,77 2,71 2,61 2,53 2,46 2,41 2,37 2,33 2,30
7,35 5,21 4,34 3,86 3,54 3,32 3,15 3,02 2,92 2,83 2,75 2,69 2,59 2,51 2,45 2,40 2,35 2,32 2,28
7,33 5,19 4,33 3,84 3,53 3,30 3,14 3,01 2,90 2,81 2,74 2,68 2,58 2,50 2,43 2,38 2,34 2,30 2,27
7,31 5,18 4,31 3,83 3,51 3,29 3,12 2,99 2,89 2,80 2,73 2,66 2,56 2,48 2,42 2,37 2,33 2,29 2,26
7,17 5,06 4,20 3,72 3,41 3,19 3,02 2,89 2,78 2,70 2,63 2,56 2,46 2,38 2,32 2,27 2,22 2,18 2,15
7,08 4,98 4,13 3,65 3,34 3,12 2,95 2,82 2,72 2,63 2,56 2,50 2,39 2,31 2,25 2,20 2,15 2,12 2,08
7,01 4,92 4,07 3,60 3,29 3,07 2,91 2,78 2,67 2,59 2,51 2,45 2,35 2,27 2,20 2,15 2,11 2,07 2,03
6,96 4,88 4,04 3,56 3,26 3,04 2,87 2,74 2,64 2,55 2,48 2,42 2,31 2,23 2,17 2,12 2,07 2,03 2,00
6,93 4,85 4,01 3,53 3,23 3,01 2,84 2,72 2,61 2,52 2,45 2,39 2,29 2,21 2,14 2,09 2,04 2,00 1,97
6,90 4,82 3,98 3,51 3,21 2,99 2,82 2,69 2,59 2,50 2,43 2,37 2,27 2,19 2,12 2,07 2,02 1,98 1,95
6,84 4,78 3,94 3,47 3,17 2,95 2,79 2,66 2,55 2,47 2,39 2,33 2,23 2,15 2,08 2,03 1,98 1,94 1,91
6,81 4,75 3,91 3,45 3,14 2,92 2,76 2,63 2,53 2,44 2,37 2,31 2,20 2,12 2,06 2,00 1,96 1,92 1,88
6,78 4,73 3,90 3,43 3,12 2,91 2,74 2,61 2,51 2,42 2,35 2,29 2,19 2,10 2,04 1,98 1,94 1,90 1,87
6,76 4,71 3,88 3,41 3,11 2,89 2,73 2,60 2,50 2,41 2,34 2,27 2,17 2,09 2,03 1,97 1,93 1,89 1,85
6,74 4,69 3,86 3,40 3,09 2,87 2,71 2,58 2,48 2,39 2,32 2,26 2,15 2,07 2,01 1,95 1,91 1,87 1,83
6,72 4,68 3,85 3,38 3,08 2,86 2,70 2,57 2,47 2,38 2,31 2,24 2,14 2,06 1,99 1,94 1,89 1,85 1,82
6,70 4,66 3,83 3,37 3,06 2,85 2,68 2,56 2,45 2,37 2,29 2,23 2,13 2,05 1,98 1,92 1,88 1,84 1,80
6,69 4,65 3,82 3,36 3,05 2,84 2,68 2,55 2,44 2,36 2,28 2,22 2,12 2,04 1,97 1,92 1,87 1,83 1,79
6,66 4,63 3,80 3,34 3,04 2,82 2,66 2,53 2,43 2,34 2,27 2,20 2,10 2,02 1,95 1,90 1,85 1,81 1,77
6,63 4,61 3,78 3,32 3,02 2,80 2,64 2,51 2,41 2,32 2,25 2,18 2,08 2,00 1,93 1,88 1,83 1,79 1,76
172
Fortsetzung F-Verteilung für (1-α) = 0,99
df2
(Nenne
27 28 29 30 31 32 33
r)
df1 (Zähler)
34
35
36
37
38
40
42
44
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10000
00
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,17 ,90 ,09 ,35 52 ,87 ,13 ,92 ,25 ,05 ,37 ,70 ,43 ,15 ,88 ,67 ,92 ,54 9
2
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99,50
6
6
6
7
2
7
7
7
7
7
7
7
8
8
8
8
9
0
3
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26,13
5
3
2
0
0
8
7
6
5
4
3
3
1
0
9
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4
5
4
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13,8 13,8 13,7 13,7 13,7 13,7 13,7 13,7 13,7 13,7 13,7 13,5 13,4
7,51
13,46
8
6
5
4
1
0
9
9
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6
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1
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36
37
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7,27 7,25 7,24 7,23 4,64 7,21 7,20 7,19 7,18 7,17 7,16 7,16 7,14 7,13 7,12 7,11 6,99 6,90 6,88
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5,23 5,22 5,21 5,20 3,62 5,18 5,17 5,16 5,15 5,14 5,14 5,13 5,12 5,10 5,09 5,08 4,96 4,88 4,86
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4,28 4,27 4,26 4,25 3,11 4,23 4,22 4,21 4,20 4,19 4,19 4,18 4,17 4,15 4,14 4,13 4,01 3,93 3,91
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3,74 3,72 3,71 3,70 2,80 3,68 3,67 3,66 3,65 3,65 3,64 3,63 3,62 3,61 3,60 3,59 3,47 3,38 3,36
3,54 3,53 3,52 3,51 2,68 3,49 3,48 3,47 3,46 3,45 3,45 3,44 3,43 3,41 3,40 3,39 3,27 3,19 3,17
3,38 3,37 3,36 3,35 2,59 3,33 3,32 3,31 3,30 3,29 3,29 3,28 3,27 3,25 3,24 3,23 3,11 3,03 3,00
3,25 3,24 3,23 3,21 2,51 3,19 3,18 3,18 3,17 3,16 3,15 3,15 3,13 3,12 3,11 3,10 2,98 2,89 2,87
3,14 3,12 3,11 3,10 2,44 3,08 3,07 3,06 3,05 3,05 3,04 3,03 3,02 3,01 3,00 2,99 2,86 2,78 2,75
3,04 3,03 3,01 3,00 2,38 2,98 2,97 2,96 2,96 2,95 2,94 2,93 2,92 2,91 2,90 2,89 2,76 2,68 2,65
2,95 2,94 2,93 2,92 2,33 2,90 2,89 2,88 2,87 2,86 2,86 2,85 2,84 2,82 2,81 2,80 2,68 2,59 2,57
2,88 2,87 2,86 2,84 2,29 2,82 2,81 2,81 2,80 2,79 2,78 2,77 2,76 2,75 2,74 2,73 2,60 2,51 2,49
2,81 2,80 2,79 2,78 2,24 2,76 2,75 2,74 2,73 2,72 2,72 2,71 2,69 2,68 2,67 2,66 2,54 2,44 2,42
2,76 2,74 2,73 2,72 2,21 2,70 2,69 2,68 2,67 2,66 2,66 2,65 2,64 2,62 2,61 2,60 2,48 2,38 2,36
2,70 2,69 2,68 2,67 2,17 2,65 2,64 2,63 2,62 2,61 2,60 2,60 2,58 2,57 2,56 2,55 2,42 2,33 2,31
2,66 2,64 2,63 2,62 2,14 2,60 2,59 2,58 2,57 2,56 2,56 2,55 2,54 2,52 2,51 2,50 2,45 2,28 2,26
2,61 2,60 2,59 2,58 2,12 2,56 2,55 2,54 2,53 2,52 2,51 2,51 2,49 2,48 2,47 2,46 2,40 2,24 2,21
2,58 2,56 2,55 2,54 2,09 2,52 2,51 2,50 2,49 2,48 2,47 2,47 2,45 2,44 2,43 2,42 2,36 2,19 2,17
2,54 2,53 2,51 2,50 2,07 2,48 2,47 2,46 2,45 2,45 2,44 2,43 2,42 2,40 2,39 2,38 2,33 2,16 2,13
2,51 2,49 2,48 2,47 2,05 2,45 2,44 2,43 2,42 2,41 2,41 2,40 2,38 2,37 2,36 2,35 2,29 2,12 2,10
2,48 2,46 2,45 2,44 2,03 2,42 2,41 2,40 2,39 2,38 2,37 2,37 2,35 2,34 2,33 2,32 2,26 2,09 2,06
2,45 2,44 2,42 2,41 2,01 2,39 2,38 2,37 2,36 2,35 2,35 2,34 2,33 2,31 2,30 2,29 2,23 2,06 2,03
2,42 2,41 2,40 2,39 1,99 2,36 2,35 2,35 2,34 2,33 2,32 2,31 2,30 2,29 2,27 2,26 2,21 2,03 2,01
2,40 2,39 2,37 2,36 1,98 2,34 2,33 2,32 2,31 2,30 2,30 2,29 2,27 2,26 2,25 2,24 2,18 2,01 1,98
2,38 2,36 2,35 2,34 1,96 2,32 2,31 2,30 2,29 2,28 2,27 2,27 2,25 2,24 2,23 2,22 2,16 1,98 1,96
2,36 2,34 2,33 2,32 1,95 2,30 2,29 2,28 2,27 2,26 2,25 2,25 2,23 2,22 2,21 2,20 2,14 1,96 1,93
2,34 2,32 2,31 2,30 1,94 2,28 2,27 2,26 2,25 2,24 2,23 2,23 2,21 2,20 2,19 2,18 2,12 1,94 1,91
2,32 2,30 2,29 2,28 1,92 2,26 2,25 2,24 2,23 2,22 2,21 2,21 2,19 2,18 2,17 2,16 2,10 1,92 1,89
2,30 2,29 2,28 2,26 1,91 2,24 2,23 2,22 2,21 2,21 2,20 2,19 2,18 2,16 2,15 2,14 2,08 1,90 1,87
2,28 2,27 2,26 2,25 1,90 2,23 2,22 2,21 2,20 2,19 2,18 2,17 2,16 2,15 2,13 2,12 2,06 1,88 1,85
173
38
39
40
50
60
70
80
90
100
125
150
175
200
250
300
400
500
1000
100000
0
2,27 2,26 2,24 2,23 1,89 2,21 2,20 2,19 2,18 2,17 2,16 2,16 2,14 2,13 2,12 2,11 2,05 1,86 1,84
2,26 2,24 2,23 2,22 1,88 2,20 2,19 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 2,13 2,12 2,10 2,09 2,03 1,85 1,82
2,24 2,23 2,22 2,20 1,87 2,18 2,17 2,16 2,15 2,14 2,14 2,13 2,11 2,10 2,09 2,08 2,02 1,83 1,80
2,14 2,12 2,11 2,10 1,80 2,08 2,07 2,06 2,05 2,04 2,03 2,02 2,01 1,99 1,98 1,97 1,91 1,71 1,68
2,07 2,05 2,04 2,03 1,76 2,01 2,00 1,99 1,98 1,97 1,96 1,95 1,94 1,92 1,91 1,90 1,84 1,63 1,60
2,02 2,01 1,99 1,98 1,72 1,96 1,95 1,94 1,93 1,92 1,91 1,90 1,89 1,87 1,86 1,85 1,78 1,57 1,54
1,98 1,97 1,96 1,94 1,70 1,92 1,91 1,90 1,89 1,88 1,87 1,86 1,85 1,83 1,82 1,81 1,75 1,53 1,49
1,96 1,94 1,93 1,92 1,68 1,89 1,88 1,87 1,86 1,85 1,84 1,84 1,82 1,81 1,79 1,78 1,72 1,49 1,46
1,93 1,92 1,91 1,89 1,66 1,87 1,86 1,85 1,84 1,83 1,82 1,81 1,80 1,78 1,77 1,76 1,69 1,47 1,43
1,89 1,88 1,87 1,85 1,64 1,83 1,82 1,81 1,80 1,79 1,78 1,77 1,76 1,74 1,73 1,72 1,65 1,41 1,37
1,78 1,85 1,84 1,83 1,62 1,80 1,79 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,71 1,70 1,69 1,62 1,38 1,33
1,85 1,74 1,82 1,81 1,60 1,78 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,73 1,71 1,69 1,68 1,67 1,60 1,35 1,30
1,84 1,82 1,71 1,79 1,59 1,77 1,76 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71 1,69 1,68 1,67 1,65 1,58 1,33 1,28
1,82 1,80 1,79 1,77 1,58 1,75 1,74 1,73 1,72 1,71 1,70 1,69 1,67 1,66 1,64 1,63 1,56 1,30 1,24
1,80 1,79 1,77 1,76 1,57 1,74 1,73 1,72 1,70 1,70 1,69 1,68 1,66 1,65 1,63 1,62 1,55 1,28 1,22
1,79 1,77 1,76 1,75 1,56 1,72 1,71 1,70 1,69 1,68 1,67 1,66 1,64 1,63 1,61 1,60 1,53 1,25 1,19
1,78 1,76 1,75 1,74 1,55 1,71 1,70 1,69 1,68 1,67 1,66 1,65 1,63 1,62 1,60 1,59 1,52 1,23 1,16
1,76 1,74 1,73 1,72 1,54 1,69 1,68 1,67 1,66 1,65 1,64 1,63 1,61 1,60 1,58 1,57 1,50 1,19 1,11
1,74 1,72 1,71 1,70 1,52 1,67 1,66 1,65 1,64 1,63 1,62 1,61 1,59 1,58 1,56 1,55 1,47 1,15
Statistische
Formelsammlung
Begleitende Materialien zur
Statistik - Vorlesung des Grundstudiums
im Fachbereich IK
Erstellt im Rahmen des studierenden Projektes PROST
Studienjahr 2001/2002
unter Anleitung von Frau Prof. Dr. rer. nat. Kira Klenke
von J.Gelwert, C.Seeger, E.Zotou
1
Statistik
4
Deskriptive Statistik
Analytische Statistik
Grundbegriffe der Statistik
Urliste
Grundgesamtheit
Stichprobe
Vollerhebung
Merkmalsträger
Merkmal
Merkmalsausprägungen
Quantitative und qualitative Merkmale
quantitativ
stetige / metrische Variablen
diskrete Variablen
qualitativ
nominale Variablen
ordinale Variablen
4
4
5
5
5
5
5
5
5
6
6
6
6
6
6
6
6
Deskriptive Statistik
Mittelwerte
Arithmetisches Mittel
Geometrisches Mittel
Schätzung des arithmetischen Mittels für klassierte Daten
Median
Modus
Streuungsmaße
Spannweite
Varianz und Standardabeichung
in der Stichprobe
in der Grundgesamtheit
Quartile
Quartilsabstand
Variationskoeffizient
Welches Streuungsmaß bei welchem Mittelwert?
Häufigkeiten
Häufigkeitstabelle
Kreuztabelle
Klassenbildung
7
7
7
7
8
9
9
10
10
10
10
10
11
11
11
11
12
12
13
14
Grafiken der deskriptiven Statistik
Kreisdiagramm
Stabdiagramm
Balkendiagramm
Stem & Leaf
Box-Plot
Histogramm
Verlaufskurve
15
15
15
15
15
16
16
16
Analytische Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ereignisraum
Definitionen der Wahrscheinlichkeit
Additionssatz
17
17
17
17
17
2
allgemeiner Additionssatz
spezieller Additionssatz
stochastische (Un-)Abhängigkeit von Ereignissen
bedingte Wahrscheinlichkeit
Multiplikationssatz
allgemeiner Multiplikationssatz
spezieller Multiplikationssatz
Kombinatorik
Fakultät
Binomialkoeffizient
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Verteilungsfunktion
Binomialverteilung
Gauß- oder Normalverteilung
standardisierte Normalverteilung
beliebige Zufallsvariable
Transformation der Standardnormalverteilung
Parameter in der Grundgesamtheit
Konfidenzintervalle
für einen unbekannten Mittelwert
für eine unbekannte Proportion
Fallzahlbestimmung
Bestimmung des erforderlichen (Mindest-) Stichprobenumfangs
bei Schätzung eines (prozentualen) Anteils π
Bestimmung der erforderlichen (Mindest-)Fallzahl n bei der
Schätzung eines (unbekannten) Mittelwertes µ
Stichwortliste
17
17
18
18
18
18
18
19
19
19
19
19
19
20
20
20
20
20
21
21
21
22
22
22
23
3
Statistik
Statistik ist eine Wissenschaft, deren Zweck es ist, Informationen in Form von Zahlen oder
anderen Daten zusammenzutragen, das gesammelte Material aufzubereiten und die
Informationen schließlich so zu verdichten, dass sie aussagekräftig, verständlich und
überschaubar werden. Sie ist eine gute Möglichkeit, Fakten exakt und überzeugend
darzustellen.
Sie findet Anwendung sowohl in naturwissenschaftlichen als auch wirtschaftlichen,
soziologischen und politischen Bereichen.
Sie unterteilt sich in zwei Disziplinen:
Deskriptive Statistik
Deskriptive Statistik bedeutet beschreibende Statistik und meint die reine Beschreibung des
erhobenen Datenbestandes (in der Regel die Stichprobe).
Entsprechend der Fragestellung werden Daten erhoben, ausgewertet und dargestellt.
Deskriptive Statistik ist also eine Zusammenfassung von unüberschaubar vielen Einzeldaten
bzw. ein überschaubares Komprimieren von vielen Einzelinformationen.
Die zusammenfassende Darstellung erfolgt durch die Berechnung der Maßzahlen und die
Erstellung von Häufigkeitstabellen und Grafiken.
Analytische Statistik
auch: Schließende Statistik, Interferenzstatistik, induktive Statistik.
Die analytische Statistik (insbesondere mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsrechnung) befasst
sich damit, wie aufgrund von Daten der Stichproben Rückschlüsse bzw. allgemeingültige
Aussagen über die zugrunde liegende Grundgesamtheit hergeleitet werden können.
4
Grundbegriffe der Statistik
Urliste
Die Urliste ist die Liste der Einzeldaten, so wie erhoben, noch nicht sortiert oder gruppiert.
x1, x2, x3, x4......xn
sortierte Urliste
Hier werden die Ausprägungen in eine aufsteigende Reihenfolge gebracht.
x(1), x(2), x(3), x(4)......x(n)
d.h.
x(1) ≤ x(2) ≤ x(3) ≤ x(4) ≤.....x(n)
Grundgesamtheit
Die Grundgesamtheit ist die Menge aller interessierenden Untersuchungsobjekte.
Stichprobe
Unter Stichprobe versteht man eine Teilmenge der Grundgesamtheit, die ausgewählt
wird. Sie muss repräsentativ sein.
Eine Stichprobe ist dann repräsentativ, wenn jede Untersuchungseinheit aus der
Grundgesamtheit dieselbe Chance hat, ausgewählt zu werden.
Vollerhebung
Bei einer Vollerhebung wird die ganze Grundgesamtheit erhoben.
Merkmalsträger / Untersuchungsobjekte / statistische Einheit / Element
Objekte, an denen die interessierenden Merkmale auftreten.
Merkmal / Variable
Interessierende Eigenschaften der Merkmalsträger.
Hierbei ist eine exakte Definition wichtig.
5
Merkmalsausprägungen
Es sind die möglichen Meßwerte eines Merkmals gemeint.
Quantitative und qualitative Merkmale (Merkmalsausprägungen)
quantitativ:
Ausprägungen sind echte Meßwerte (von Natur aus Zahlen), d.h. addier-,
subtrahier- und multiplizierbar. Man unterscheidet folgende Skalierungen:
stetige / metrische Variablen
- können fast jeden Wert und Zwischenwert annehmen, d.h. sie sind
beliebig fein meßbar
diskrete Variablen
- es können nur endlich viele, ganz konkrete Werte angenommen
werden (i.d.R. ganzzahlig, keine Brüche)
qualitativ:
Ein Merkmal bezeichnet eine Eigenschaft, „Qualität“, der untersuchten Objekte. Die
Ausprägungen eines qualitativen Merkmales sind keine echten Zahlen. Man kann
mit ihnen nicht rechnen! Hier unterscheidet man folgende Skalierungen:
nominale Variablen
- sind nur namentlich unterscheidbar (keine Zahlen, keine Ordnung,
nur Namen)
ordinale Variablen
- sind sortierbar, es gibt eine „innere Ordnung“, es kann damit nicht
gerechnet werden
Diese 4 Skalierungstypen sind weisungsgebend für die Art der Datenauswertung!!
6
Deskriptive Statistik
Mittelwerte
Arithmetisches Mittel (engl. arithmetic mean)
auch: Standard - Mittelwert
Man addiert die Werte aller Elemente und dividiert den Gesamtwert durch die Anzahl
der Elemente. Eindeutig zu bestimmen ist das arithmetische Mittel, wenn die
Originalwerte in nicht klassifizierter Form vorliegen.
1
x =
n
n
∑
i=1
xi
x : sprich x-quer
n=
Anzahl der Beobachtungen / Messungen
x=
Ausprägung (kann sehr leicht verzerrt / verfälscht werden durch Extremwerte)
geeignet für stetige Merkmale. Wird in der Praxis auch benutzt bei ordinalen
und diskreten Merkmalen.
Gewogenes arithmetisches Mittel
x =
1
•
k
∑
fi
k
∑
x i ⋅ fi
i =1
i =1
k = Anzahl verschiedener Werte des Merkmals X
fi = die zugehörigen Häufigkeiten
Geometrisches Mittel (engl. geometric mean)
Ist geeignet zur Berechnung von Wachstumsraten.
durchschnittliches Wachstum w:
Schreibweise in %:
w = n (100% + w1 )• (100% + w2 )• (100% + w3 )• ... • (100% + wn ) − 100%
wobei w1, w2, w3,...wn Wachstumsraten in n gleich langen Zeiträumen in %-Angaben.
alternativ: Komma-Schreibweise:
w = n (1 + w1 )• (1 + w2 )• (1 + w3 )• ... • (1 + wn ) − 1
7
Schätzung des arithmetischen Mittels für klassierte Daten
(Klassenbildung S.14)
x ≈ ist eine Näherung!!
Klassen eines stetigen
Merkmals
Absolute Häufigkeiten fi Klassenmitte ai
... bis unter ...
... bis unter ...
... bis unter ...
..
..
..
k
x≈
∑a
i =1
i
• fi
=
k
∑f
i =1
k
fi
Min Klasse + Max Klasse
2
..
..
..
1 k
∑ ai • f i
n i =1
i
Anzahl verschiedener Klassen
die zugehörigen Häufigkeiten
k
∑f
i =1
i
=n
Anzahl von Beobachtungen
8
Median (engl. median)
auch: Zentralwert
Man sortiert die Urliste vom kleinsten zum größten Wert und der Median ist der Wert,
der „in der Mitte“ liegt. Er ist unempfindlich gegen Extremwerte.
Er ist insbesondere für ordinalskalierte Merkmale geeignet und wenn diskrete und
stetige Merkmale schief verteilt sind.
50 % der Werte größer oder gleich
50 % der Werte kleiner oder gleich
bei gerader Anzahl der Werte
Median =
1
x n + x n
+1
2 2
2
Der Median ist bei einer geraden Anzahl von Werten der Mittelwert, der beiden
Werte in der Mitte der sortierten Urliste.
bei ungerader Anzahl der Werte:
Median = x n+1
2
Bei ungerader Anzahl der Werte ist der Median der Wert, der in der sortierten
Urliste in der Mitte liegt.
Modus
auch: Modalwert
→ besonders für nominalskalierte Variablentypen geeignet
Der Modus ist derjenige Merkmalswert, der die größte Häufigkeit aufweist,
vorrausgesetzt es existiert genau 1 Häufigster.
9
Streuungsmaße (⇒ was befindet sich rechts und links vom Mittelwert?)
Zu jedem Mittelwert sollte immer mind. ein Streuungsmaß angegeben werden.
Spannweite R (engl. range)
Die Spannweite ist die Differenz aus dem maximalen und dem minimalen Wert der
sortierten Urliste, der aber sehr leicht durch Extremwerte verzerrt werden kann.
x(1) ≤ x(2) ≤...≤ x(n)
R = x(n) – x(1)
Varianz (engl. variance) und Standardabweichung (engl. standard deviation)
Man unterscheidet zwischen Stichprobe und Grundgesamtheit.
Varianz und Standardabweichung in der Stichprobe werden mit s2 bzw. s
bezeichnet.
Varianz s2 in der Stichprobe
Die Varianz ist die Summe der Quadrate der Abweichungen aller Werte vom
arithmetischen Mittel, geteilt durch die Anzahl der Werte.
1
s =
n
2
n
∑
(xi - x )2
i =1
Standardabweichung s in der Stichprobe (mittlere quadratische Abweichung)
Standardabweichung ist die Wurzel aus der Varianz.
s=
Für die Berechnung mit Taschenrechner ist die Taste σn zu
benutzen.
s2
Da in der Regel nicht die komplette Grundgesamtheit erfasst wird, werden die
Varianz und Standardabweichung der Grundgesamtheit in der analytischen Statistik
geschätzt. Diese wird, im Gegensatz zu deskriptiver Statistik, mit n-1 statt mit n
berechnet. Deswegen existieren zwei Tasten auf den Taschenrechner, eine für
analytische und eine für deskriptive Statistik.
Schätzung der Varianz in der Grundgesamtheit (analytische Statistik)
σ̂ 2=
1
n −1
n
∑
(xi - x )2
i =1
Schätzung der Standardabweichung in der Grundgesamtheit (analytische
Statistik)
σ̂ = σ̂ 2
Für die Berechnung mit Taschenrechner ist die Taste σn-1 zu
benutzen.
10
Quartile
Sie sind insbesondere für ordinalskalierte Merkmale geeignet und wenn diskrete
und stetige Merkmale schief verteilt sind.
Die geordnete Reihe von Merkmalswerten wird in vier gleiche Teile geteilt
(also 4 × 25%):
Unteres Quartil (1.Quartil):
25% der Werte sind kleiner oder gleich
75% der Werte sind größer oder gleich
Zweites Quartil → Median
50% der Werte sind kleiner oder gleich
50% der Werte sind größer oder gleich
Oberstes Quartil (3.Quartil):
75% der Werte sind kleiner oder gleich
25% der Werte sind größer oder gleich
Das vierte Quartil ist das Maximum:
100% der Werte sind kleiner oder gleich
Quartilabstand QA (engl. Interquartilerange IQR)
Quartilabstand ist die Differenz zwischen dem oberen und dem unteren Quartil
(Spannweite der mittleren 50%)
QA = Q3 – Q1
Variationskoeffizient (engl. coefficient of variation)
Variationskoeffizient dient dazu, mehrere Standardabweichungen miteinander zu
vergleichen.
CV=
s
x
bzw.
CV=
s
x
100% (für Angaben in Prozent)
CV= Verhältnis der Standardabweichung s zum Mittelwert x in %.
„Wie viel % des arithmetischen Mittels ist s?“
Welches Streuungsmaß wird bei welchem Mittelwert angegeben?
Mittelwert
x
Median
Streuungsmaß
s² und s
Spannweite
beim Vergleichen mehrerer
Streuungsmaße CV
IQR / QA
Spannweite
11
Häufigkeiten
Häufigkeitsverteilung (engl. frequency)
Bei Häufigkeitsverteilungen wird ausgezählt, wie oft einzelne Merkmalsausprägungen in
der Stichprobe aufgetreten sind.
Besonders geeignet für nominale, ordinale und diskrete Ausprägungen.
Für stetige Merkmale müssen Klassen gebildet werden (siehe unten).
Die Ergebnisse der Auszählung werden in tabellarischer Form dargestellt.
Beispiel: eine Häufigkeitstabelle in SPSS
Fachrichtung
Häufigkeit
Gültig
Allgemeine
Dokumentation
Wirtschaftsinformatik
Bibliothekswesen
Psychologie
Mathematik
E-Technik
Jura
Sozialwissenschaften
Lehramt für
berufsbild.Schulen
Geschichte &
Politikwissens.
Germanistik &
Politikwissens.
Architektur
Gesamt
absolute Häufigkeiten
(ausgezählt)
Relative Häufigkeiten:
Prozent
Kumulierte
Prozente
11
13,8
13,8
10
7
9
3
6
8
3
12,5
8,8
11,3
3,8
7,5
10,0
3,8
26,3
35,0
46,3
50,0
57,5
67,5
71,3
6
7,5
78,8
4
5,0
83,8
6
7,5
91,3
7
80
8,8
100,0
100,0
relative Häufigkeit
(in Prozent)
kumulierte Prozente
Anzahl _ mit _ der _ spez. Ausprägung
• 100
Gesamtzahl (n)
Kumulierte Prozente: Aufaddierung der Prozente zeilenweise.
12
Kreuztabelle
Mehrere Merkmale werden gegeneinander ausgezählt. (Normalfall:2 Merkmale, ab 4
Merkmalen ist die Tabelle schwer überschaubar).
Softwarepakete geben die Zellinhalte der Kreuztabelle i.d.R. folgendermaßen aus:
Häufigkeit absolut (frequency)
Reihenprozente (Rowpercent)
Spaltenprozente (Colpercent)
Gesamtprozente (Percent)
Beispiel erstellt mit SPSS
Geschlecht d.Stud. * welche Hochschule? Kreuztabelle
Geschlecht
d.Stud.
weiblich
männlich
Gesamt
Anzahl
% von Geschlecht d.Stud.
% von welche
Hochschule?
% der Gesamtzahl
Anzahl
% von Geschlecht d.Stud.
% von welche
Hochschule?
% der Gesamtzahl
Anzahl
% von Geschlecht d.Stud.
% von welche
Hochschule?
% der Gesamtzahl
welche Hochschule?
Fachhoch
Universität
schule
4
8
33,3%
66,7%
Gesamt
12
100,0%
36,4%
88,9%
60,0%
20,0%
7
87,5%
40,0%
1
12,5%
60,0%
8
100,0%
63,6%
11,1%
40,0%
35,0%
11
55,0%
5,0%
9
45,0%
40,0%
20
100,0%
100,0%
100,0%
100,0%
55,0%
45,0%
100,0%
Inhaltliche Interpretation:
4 Personen sind weiblich und studieren an der Universität.
4/12 • 100 = 33,3%
33,3% der weiblichen Befragten studieren an der Universität.
4/11 • 100 = 36,4
36,4% der Studierenden an der Universität sind weiblich.
4/20 • 100 = 20%
20% der Befragten sind weiblich und studieren an der Universität.
13
Klassenbildung bei stetigen Merkmalen
Da stetige Merkmale ganz unterschiedliche Merkmalswerte besitzen können, würde
die direkte Auswertung der Daten durch Häufigkeitstabellen wenig Sinn machen.
Deswegen werden die Daten nach unterschiedlichen Aspekten gruppiert, d.h. es
werden Klassen gebildet, die in Häufigkeits- oder Kreuztabellen ausgewertet werden
können.
Festgelegt werden muss:
• Wie viele Klassen lege ich fest?
• Wo lege ich Klassengrenzen fest?
Wie viele Klassen?
Anzahl der Klassen wird bestimmt durch die Größe der Stichprobe.
Faustregel: Anzahl der Klassen =
n (bei Dezimalstellen sinnvoll runden)
Klassengrenzen
• Grenzen dürfen sich nicht überschneiden (klare Definition)
• Klassengrenzen sollen aneinander grenzen
• 1.Klasse fängt bei dem minimalen Wert an
• letzte Klasse hört bei dem maximalen Wert auf
• zur besseren Lesbarkeit sollten die Klassengrenzen „glatte Zahlen“ sein
Gleich breite Klassen:
Jede Klasse besteht aus gleich breiten Abschnitten.
Klassenbreite =
Spannweite
Anzahl _ der _ Klassen
Prozentual gleich starke Klassen
Jede Klasse besitzt die gleiche Anzahl von n.
Klassenhäufigkeit =
n
Anzahl _ der _ Klassen
Inhaltliche Klassenbildung
Sinnvolle Kombination der Auswertungsmöglichkeiten.
Klassen sind inhaltlich vorgegeben, z.B. bei Blutwerten Grenzwerte für normal und
pathologisch.
14
Grafiken der deskriptiven Statistik
Merkmalstyp
Skalierung:
nominal, ordinal, diskret
Grafiktyp
Kreisdiagramm
Fehlend
5-10x im Monat
5,0%
10,0%
Anwendungstipp:
max. 7 Ausprägungen
nicht für feine Unterschiede geeignet
täglich
1-4x in der Woche
45,0%
40,0%
Wie oft nutzen Sie das Internet?
Skalierung:
ordinal, nominal, diskret
Stabdiagramm
40
auch:
Gruppen- & Komponentendiagramm
2. stetiges Merkmal auf der y-Achse
30
Absolute Werte
20
10
0
Fehlend
weiblich
männlich
Geschlecht der Studierenden
siehe Stabdiagramm!
Balkendiagramm
Besonders geeignet für nominale
Skalierungen.
Beschriftung ist sehr gut lesbar und wird
manchmal nach Häufigkeiten sortiert.
Auch als Gruppen- & Komponentendiagramm.
Allgemeine Dokumenta
Wirtschaftsinformati
E-Technik
Fachrichtung
Jura
Geschlecht d.Stud.
Geschichte & Politik
männlich
weiblich
0
2
4
6
8
10
12
14
Absolute Werte
Skalierung:
stetig
verwendet einen Teil der Datenwerte als
Stem / Stamm, um Gruppen / Klassen zu
bilden, und den anderen Teil als Leaf /
Blatt, um die Anzahl der Häufigkeiten
graphisch zu verdeutlichen.
Vorteil: Man sieht die aktuellen Datenwerte,
die gleichzeitig graphisch dargestellt sind.
Stem & Leaf
Für die erste Zeile ALTERSANGABE:
40, 41, 41, 42, 43, 44
4
4
5
5
6
6
011234
566677
1122233344
55566677899
00111222333455
5567788999999
15
Grafik, in der mehrere Maßzahlen
dargestellt werden: unteres Quartil,
Median, oberes Quartil, Maximum,
Minimum. In manchen Versionen werden
Extremwerte extra gekenzeichnet.
Box-Plot
60000
50000
Umsatz des einzelnen Vertreters
Skalierung:
stetig
12
40000
30000
20000
10000
N=
8
7
7
7
Nord
Süd
Ost
West
Bezirk
Anhand des Box-Plots lässt sich auf die
Verteilungsart der Daten schließen.
Symmetrische Verteilung
Linksschiefe Verteilung
Skalierung:
stetig
Grafische Darstellung einer
Häufigkeitsverteilung eines stetigen
klassierten Merkmals. Das Maß für die
Häufigkeit ist in der Regel die Fläche.
Anwendungstipp:
Mehrere Klasseneinteilungen
ausprobieren!
Rechtsschiefe Verteilung
Histogramm
40
30
20
10
Std.abw. = 3,68
Mittel = 24,0
N = 75,00
0
17,5
20,0
22,5
25,0
27,5
30,0
32,5
35,0
37,5
Alter d. Stud.
x-Achse: i.d.R. findet sich hier der zeitliche
Aspekt wieder.
Verlaufskurve
Umsatz im Jahr in Mio
Skalierung:
y-Achse:
stetige oder diskrete mit vielen
Ausprägungen.
14
12
10
8
6
4
2
0
1997
1998
1999
2000
2001
2002
Jahr
16
Analytische Statistik
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Ereignisraum (⇒
⇒ Menge aller möglichen Elementar - Ereignisse)
A,B,C
P(A)
Ereignisse
Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis A eintritt.
A
komplementäres Ereignis zu A (Gegenereignis)
Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis A oder Ereignis B
oder beide eintreten (Vereinigung → Additionssatz).
Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ereignis A und Ereignis B
eintreten (Schnittmenge → Multiplikationssatz).
P (A ∪ B )
P (A ∩ B )
Definitionen der Wahrscheinlichkeit
Klassische Definitionen (Laplac'sche Definition):
Wenn die Elementarereignisse endlich und gleichmöglich sind, gilt:
P(A)=
Anzahl _ aller _ günstigen _ Elementarereignisse
Anzahl _ aller _ gleichmöglichen _ Elementarereignisse
Statistische Definition:
P(A) wird als diejenige Größe definiert, der sich die relative Häufigkeit eines
Ereignisses A bei unbeschränkter Versuchsserie (n
→ ∞ ) nähert.
Axiomatische Definition nach Kolmogoroff:
Axiom 1: 0<=P(A)<=1
Axiom 2: P(S) = 1
sicheres Ereignis S
Axiom 3: P(E) = 0
unmögliches Ereignis E
Additionssatz
Allgemeiner Additionssatz (für beliebige Ereignisse):
P (A ∪ B )=P(A) + P(B) - P (A ∩ B )
P (A ∪ B ∪ C )=P(A) + P(B) + P(C) - P (A ∩ B ) - P (A ∩ C ) - P (B ∩ C ) +
P (A ∩ B ∩ C )
Spezieller Additionssatz (für disjunkte Ereignisse):
Disjunkte Ereignisse sind unvereinbare Ereignisse, die nicht gleichzeitig
auftreten können.
P (A ∪ B )=P(A) + P(B)
P (A U B U C ) =P(A) + P(B) + P(C)
(
)
P A U A =P(S)=1
P( A )=1-P(A)
Das zu einem Ereignis A komplementäres Ereignis A ist
das Ereignis, das eintritt, wenn A nicht eintritt.
17
Stochastische (Un-)Abhängigkeit von Ereignissen:
Gegeben seien die Ereignisse A,B,C mit P(A)>0, P(B)>0 und P(C)>0.
Ereignis B ist stochastisch (un-)abhängig von Ereignis A, wenn
( )
( )
P B A =P B A =P(B)
Die Ereignisse A, B, C sind voneinander stochastisch unabhängig, wenn
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
( )
( )
(
)
P A B = P A C = P A B ∩ C = P(A)
P B A = P B C = P B A ∩ C =P(B) und
P C A = P C B = P C A ∩ B =P(C)
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Sie ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass B eintritt, unter der Bedingung dass A mit
P(A) ≠ 0 bereits eingetreten ist.
( ) P(A ∩ B) mit P(A)>0
P BA =
P(A)
( ) P(A ∩ B) mit P(B)>0
P AB =
P(B)
Multiplikationssatz
Allgemeiner Multiplikationssatz:
P (A ∩ B )=P(A) • P B A =P(B) • P A B
( )
( ) (
( )
P (A ∩ B ∩ C ) =P(A) • P B A •P C A ∩ B
)
Spezieller Multiplikationssatz:
Für stochastisch unabhängige Ereignisse A, B und C gilt:
P (A ∩ B )=P(A) • P(B)
P (A ∩ B ∩ C ) =P(A) • P(B) • P(C) für beliebig viele Ereignisse
18
Kombinatorik
Fakultät
n!=1 • 2 •...• (n-1) • n
0!=1
Binomialkoeffizient (sprich n über k)
n n(n − 1)(n − 2)...(n − k + 1)
n!
=
=
k
k!
k!(n − k )!
n
= 1
0
Für Berechnung des Binomialkoeffizienten mit Taschenrechner ist die Taste nCr
zu benutzen.
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Verteilungsfunktion
⇒ definiert für alle reellen Zahlen xi
F(xi) = P(X <= xi )
F(xi) Verteilungsfunktion
P
Wahrscheinlichkeit
X
Zufallsvariable (z.B. Zuweisen der Augenzahl beim Würfeln)
konkrete Ausprägungen
xi
~
verteilt wie
Binomialverteilung (anzuwenden für kleine Stichproben)
Voraussetzungen für die Anwendungen der Binomialverteilung
• Merkmal ist dichotom (besitzt genau 2 Ausprägungen: A und A )
• n unabhängige Wiederholungen des Zufallsexperiments werden
durchgeführt (z.B. Ziehen von Kugeln mit Zurücklegen)
• p = P(A) ist bekannt
n
P(X = k) = • pk • (1-p)n-k
k
wobei:
X
k
p
n
P: Wahrscheinlichkeit, dass unter n
(unabhängigen) Versuchen genau k mal
Ereignis A auftritt
Zufallsvariable
Anzahl der Treffer
Wahrscheinlichkeit einen Treffer zu ziehen
Anzahl der Versuche
Kurzbezeichnungsweise (sprich X verteilt wie/nach Binomialverteilung): X ~ B(n,p)
19
Gauß- oder Normalverteilung N(µ,σ
σ2)
Wird eindeutig festgelegt durch:
µ
σ2
Mittelwert in der GG
Varianz in der GG
-
innerhalb der Entfernung von 1 Standardabweichung σ nach rechts und links
vom Mittelwert µ befinden sich 68,26% der Messwerte
-
innerhalb der Entfernung von 2 Standardabweichungen σ nach rechts und links
vom Mittelwert µ befinden sich 95,45% der Messwerte
-
innerhalb der Entfernung von 3 Standardabweichungen σ nach rechts und links
vom Mittelwert µ befinden sich 99,73% der Messwerte
Standardisierte Normalverteilung N(0,1)
ist vertafelt
µ=0
Standardisierung einer beliebigen Zufallsvariablen X ~ N(µ,σ
σ2)
X −µ
=U
σ
wobei U ~ N(0,1)
Transformation der Standardnormalverteilung in eine beliebige
Normalverteilung
U ~ N(0,1)
U • σ + µ ~ N(µ,σσ )
2
Parameter in der Grundgesamtheit
Zur Unterscheidung von der Stichprobe werden die Parameter der Grundgesamtheit
mit griechischen Buchstaben bezeichnet:
µ
σ
π
Mittelwert in der Grundgesamtheit
Streuung in der Grundgesamtheit
Prozentsatz in der Grundgesamtheit
20
Konfidenzintervalle
1-α
α
uα/2
Sicherheits- oder Vertrauenswahrscheinlichkeit
üblich: 99%, 95%, 90%
Irrtumswahrscheinlichkeit
üblich: 1%, 5%, 10%
Werte aus der N(0,1)-Tafel
1-α
α/2
α/2
0
-uα/2
uα/2
Konfidenzintervall für einen unbekannten Mittelwert µ einer
Grundgesamtheit
P( x - uα/2 •
s
n
≤ µ ≤ x + uα/2 •
s
) = 1-α
n
Beispiel für 95%-ige Sicherheitswahrscheinlichkeit:
P( x - 1,96 •
s
n
≤ µ ≤ x + 1,96 •
s
) = 95%
n
Sonderregel:
Umfasst die Stichprobe mehr als 5% der Grundgesamtheit (große Stichprobe),
benutze
statt
s
besser
s
n
n
N −n
N −1
Konfidenzintervall für eine unbekannte Proportion π einer
Grundgesamtheit
P(p - uα/2 •
p(1 − p )
≤ π ≤ p + uα/2 •
n
Voraussetzung:
n• p≥5
n • (1-p) ≥ 5
p(1 − p )
) = 1-α
n
wenn p ≤ 0,5
wenn p > 0,5
Beispiel für 95%-ige Sicherheitswahrscheinlichkeit:
P(p – 1,96 •
p(1 − p )
≤ π ≤ p + 1,96 •
n
p(1 − p )
) = 95%
n
Sonderregel:
Umfasst die Stichprobe mehr als 5% der Grundgesamtheit ( große Stichprobe),
benutze
statt
p(1 − p )
n
besser
p(1 − p )
•
n
N −n
N −1
21
Fallzahlbestimmung
Bestimmung des erforderlichen (Mindest-) Stichprobenumfangs bei
Schätzung eines (prozentualen) Anteils π
n≥
u 2α 2 • p • (1 - p)
e2
n
die erforderliche Mindestfallzahl
1-α bzw. α
Sicherheits- bzw. Irrtumswahrscheinlichkeit
uα/2
aus Tabelle von N(0,1)
p
„Erfahrungswert“
für ungefähre Größenordnung des %-Anteils
existiert kein Wert, setze p=0,5
e
Exaktheit
Abstand zwischen Stichprobenschätzung p und wahrem π
der Grundgesamtheit
e= π − p
Bestimmung der erforderlichen (Mindest-)Fallzahl n bei der Schätzung eines
(unbekannten) Mittelwertes µ
n≥
u2
a
2
• σˆ 2
e2
n
erforderliche Mindestfallzahl
1-α bzw. α
Sicherheits- bzw. Irrtumswahrscheinlichkeit
e
Exaktheit
e= µ − x
Unterschied zwischen Stichprobenmittelwert x und wahrem
µ der Grundgesamtheit
σ̂ 2
Schätzung der Varianz des betrachteten stetigen Merkmals
falls keine Schätzung existiert, berechne
s2 =
(
n
1
• ∑ xi − x
n − 1 i =1
)2
22
A
Additionssatz
Allgemeiner Additionssatz
Allgemeiner Multiplikationssatz
Analytische Statistik Definition
Analytische Statistik
Arithmetisches Mittel
17
17
18
4
17
7
B
Balkendiagramm
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Binomialkoeffizient
Binomialverteilung
Box-Plot
15
18
19
19
16
Modus
Multiplikationssatz
9
18
N
Nominale Variablen
Normalverteilung
6
20
O
Ordinale Variablen
6
P
Parameter in der Grundgesamtheit
18
Q
D
Deskriptive Statistik Definition
Deskriptive Statistik
Diagramme
Diskrete Variablen
4
7
15
6
E
Ereignisraum
17
F
Fakultät
Fallzahlbestimmung
19
22
G
Gaußverteilung
Geometrisches Mittel
Grafiken
Grundbegriffe der Statistik
Grundgesamtheit
18
7
15
5
5
Quantitative Merkmale
Quantitative Merkmale
Quartile
Quartilsabstand
6
6
11
11
S
Schätzung des arithmetischen Mittels
für klassierte Merkmale
Spannweite
Spezieller Additionssatz
Spezieller Multiplikationssatz
Stabdiagramm
Standardabeichung
Standardisierte Normalverteilung
Stem & Leaf
Stetige / metrische Variablen
Stichprobe
Stichprobenumfangs
Stochastische (Un-)Abhängigkeit
Streuungsmaße
8
10
17
18
15
10
20
15
6
5
22
18
10
H
Häufigkeiten
Häufigkeitstabelle
Histogramm
12
12
16
T
Transformation der Standardnormalverteilung20
U
I
Inhaltsverzeichnis
Urliste
5
2f
V
K
Klassenbildung
Kombinatorik
Konfidenzintervalle
Kreisdiagramm
Kreuztabelle
14
19
21
15
13
M
Median
Merkmal
Merkmalsausprägungen
Merkmalsträger
Mittelwerte
9
5
6
5
7
Varianz
Variationskoeffizient
Verlaufskurve
Verteilungsfunktion
Vollerhebung
10
11
16
19
5
W
Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
17
17
19
Z
Zufallsvariable
20
23
