Lösungen - Brinkmann.du

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25.11.2013
FOS: Aufgaben zum freien Fall mit Lösungen
Ergebnisse:
E1 Ergebnis
Der Stein müsste aus einer Höhe von etwa 5892 m fallen.
E2
Ergebnisse
a) Der fallende Körper hat nach etwa 2,548 s die Geschwindigkeit v = 25 m/s.
b) Der fallende Körper hat nach etwa 1,428 s einen Fallweg von 10 m
zurückgelegt.
c) Nach der doppelten Zeit hat sich die Geschwindigkeit auf 50 m/s verdoppelt.
Nach der doppelten Zeit hat sich der Fallweg auf 40 m vervierfacht.
d) a) Auf dem Mond hat der fallende Körper nach etwa 15,432 s die
Geschwindigkeit v = 25 m/s erreicht.
b) Auf dem Mond hat der fallende Körper nach etwa 3,514 s einen Fallweg
von 10 m zurückgelegt.
c) Auch auf dem Mond gilt:
Nach der doppelten Zeit hat sich die Geschwindigkeit auf 50 m/s
verdoppelt.
Nach der doppelten Zeit hat sich der Fallweg auf 40 m vervierfacht.
E3
Ergebnis
Das Auto müsste aus einer Höhe von etwa 9,832 m fallen um mit einer
Geschwindigkeit von v = 50 km/h aufzuschlagen.
E4
Ergebnis
Der Brunnen ist etwa 18,56 m tief.
E5
Ergebnis
Um die Geschwindigkeit 20 km/h zu erreichen, müsste der Fallschirmspringer
aus einer Höhe von etwa 1,573 m herunterspringen.
E6
Ergebnisse
a) Bis zum Boden braucht der Stein etwa 3,349 s.
b) Der Stein wurde aus einer Höhe von etwa 30, 656 m fallen gelassen.
E7
Ergebnis
Das Auto müsste mit einer Geschwindigkeit von etwa 71,31 km/h gegen eine
Wand fahren.
E8
Ergebnis
Beide Kugeln kommen gleichzeitig unten an, da alle Körper gleich schnell fallen.
E9
Ergebnisse
a) Der Abstand verändert sich nicht.
b) Der obere Apfel überholt den unteren.
E10 Ergebnis
Auf dem Mond gibt es keine Atmosphäre, so dass der Staub sofort herunterfällt.
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25.11.2013
Ausführliche Lösungen:
A1 Ausführliche Lösung
Endgeschwindigkeit : v = 340
m
s
g = 9,81
v = 2 ⋅ g ⋅ h ⇔ v2 = 2 ⋅ g ⋅ h ⇔ h =
m
s2
v2
m
mit v = 340
wird:
2⋅g
s
2
m⎞
⎛
m2
340
⎜
3402 s2
m2 ⋅ s2
s ⎟⎠
h=⎝
=
⋅
≈ 5892 2
= 5892m
m 2 ⋅ 9,81 m
s
⋅
m
2 ⋅ 9,81 2
s
s2
Der Stein müsste aus einer Höhe von etwa 5892 m fallen.
A2
Ausführliche Lösungen
a)
v
m
m
v = g ⋅ t ⇔ t = mit v = 25
und g = 9,81 2 wird:
g
s
s
m
25
2
s = 25 ⋅ m ⋅ s ≈ 2,548 s
t=
m
9,81 2 9,81 s ⋅ m
s
Der fallende Körper hat nach etwa 2,548 s die Geschwindigkeit v = 25 m/s.
A2
Ausführliche Lösungen
b)
g
2⋅s
m
s = ⋅ t2 ⇔ t =
mit s = 10 m und g = 9,81 2 gilt:
2
g
s
2 ⋅ 10 m
20 2
=
s ≈ 1, 428 s
m
9,81
9,81 2
s
Der fallende Körper hat nach etwa 1,428 s einen Fallweg von 10 m
zurückgelegt.
t=
A2
Ausführliche Lösungen
c) t 2 = 2 ⋅ t1
v1 = 25
m
wegen v1 = g ⋅ t1 gilt:
s
v 2 = g ⋅ t 2 = g ⋅ 2 ⋅ t1 = 2 ⋅ g ⋅ t1 = 2 ⋅ v1 = 50
m
s
g 2
⋅ t1 gilt:
2
g
g
g
g
2
s2 = ⋅ t 22 = ⋅ ( 2 ⋅ t1 ) = ⋅ 4 ⋅ t12 = 4 ⋅ ⋅ t12 = 4 ⋅ s1 = 40 m
2
2
2
2
Nach der doppelten Zeit hat sich die Geschwindigkeit auf 50 m/s verdoppelt.
Nach der doppelten Zeit hat sich der Fallweg auf 40 m vervierfacht.
s1 = 10 m wegen s1 =
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A2
Ausführliche Lösungen
Alle Rechnungen sind für den Mond mit g = 1,62 m/s2 zu wiederholen.
d) a)
v
m
m
v = g ⋅ t ⇔ t = mit v = 25
und g = 1,62 2 wird:
g
s
s
m
25
25 m ⋅ s2
s
t=
=
⋅
≈ 15, 432 s
m
1,62 2 1,62 s ⋅ m
s
Auf dem Mond hat der fallende Körper nach etwa 15,432 s die
Geschwindigkeit v = 25 m/s erreicht.
A2
Ausführliche Lösungen
d) b)
g
2⋅s
m
s = ⋅ t2 ⇔ t =
mit s = 10 m und g = 1,62 2 gilt:
2
g
s
2 ⋅ 10 m
20 2
s ≈ 3,514 s
=
m
1,62
1,62 2
s
Auf dem Mond hat der fallende Körper nach etwa 3,514 s einen Fallweg
von 10 m zurückgelegt.
t=
A2
Ausführliche Lösungen
d) c) t 2 = 2 ⋅ t1
v1 = 25
m
wegen v1 = g ⋅ t1 gilt:
s
v 2 = g ⋅ t 2 = g ⋅ 2 ⋅ t1 = 2 ⋅ g ⋅ t1 = 2 ⋅ v1 = 50
m
s
g 2
⋅ t1 gilt:
2
g
g
g
g
2
s2 = ⋅ t 22 = ⋅ ( 2 ⋅ t1 ) = ⋅ 4 ⋅ t12 = 4 ⋅ ⋅ t12 = 4 ⋅ s1 = 40 m
2
2
2
2
Auch auf dem Mond gilt:
Nach der doppelten Zeit hat sich die Geschwindigkeit auf 50 m/s
verdoppelt.
Nach der doppelten Zeit hat sich der Fallweg auf 40 m vervierfacht.
s1 = 10 m wegen s1 =
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A3
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Ausführliche Lösung
km 50 000 m 50 m
m
=
=
v = 50
und g = 9,81 2
h
3 600 s
3,6 s
s
v = 2⋅g⋅h ⇔ h =
v2
50 m
mit v =
gilt:
2⋅g
3,6 s
2
⎛ 50 m ⎞
m2
2
2
⎜ 3,6 s ⎟
⎠ ≈ 9,832 ⋅ s2 = 9,832 ⋅ m ⋅ s = 9,832m
h= ⎝
m
m
m ⋅ s2
2 ⋅ 9,81 2
s
s2
Das Auto müsste aus einer Höhe von etwa 9,832 m fallen um mit einer
Geschwindigkeit von v = 50 km/h aufzuschlagen.
A4
Ausführliche Lösung
Nach t = 2 s hört man den Stein am Brunnenboden aufschlagen.
Für die Fallbewegung gilt:
m
, t f : Fallzeit )
s2
Vom Boden des Brunnens braucht der Schall die Zeit t s,
(1)
h=
g 2
⋅ tf
2
( h :Brunnentiefe, g = 9,81
bis man ihn oben vernimmt, bis er also die Strecke
h (Brunnentiefe) zurückgelegt hat.
Für den Schallweg gilt:
m
Schallgeschwindigkeit )
s
Die gemessene Zeit t setzt sich wie folgt zusammen: t = t f + t s = 2 s
( 2)
(1)
h = v ⋅ ts
( t s : Schallzeit, v = 340
und ( 2 ) werden gleichgesetzt:
g 2
⋅ t f = v ⋅ t s aus t = t f + t s folgt: t s = t − t f also
2
g 2
g
⋅ t f = v ( t − t f ) = v ⋅ t − v ⋅ t f ⇒ ⋅ t 2f + v ⋅ t f − v ⋅ t = 0 ( quadratische Gleichung )
2
2
2⋅v
2⋅v ⋅t
auf die Normalform gebracht: t 2f +
⋅ tf −
=0
g
g
Lösung mittels p - q - Formel:
2⋅v
p=
g
2
2
⎛ v ⎞ 2⋅v ⋅t
2⋅v ⋅t
⎛p⎞
q=−
⇒D = ⎜ ⎟ −q= ⎜ ⎟ +
g
g
⎝2⎠
⎝g⎠
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A4
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Ausführliche Lösung
2
t f1/ 2 = −
p
± D
2
⎛ v ⎞ 2⋅v ⋅t
v
− + ⎜ ⎟ +
g
g
⎝g⎠
2
⎛ v ⎞ 2⋅v ⋅t
v
− − ⎜ ⎟ +
< 0 ⇒ keine Lösung
g
g
⎝g⎠
m
m
⎛
340
340
⎜
⎛ v ⎞ 2⋅v ⋅t
v
s +
s
⇒ tf = − + ⎜ ⎟ +
=−
⎜
m
m
g
g
⎝g⎠
⎜⎜ 9,81
9,81 2
s
s2
⎝
2
2
m
⎞
⎟ 2 ⋅ 340 s ⋅ 2s
⎟ +
m
⎟⎟
9,81 2
s
⎠
2
340
⎛ 340 ⎞ 2 4 ⋅ 340 2
s+ ⎜
=−
⎟ s + 9,81 s ≈ 1,945401753 s
9,81
⎝ 9,81 ⎠
⇒ mit (1) :
A4
h=
g 2 9,81 m 2
⋅ tf =
⋅ t f ≈ 18,56 m (Brunnentiefe)
2
2 s2
Ausführliche Lösung
Kontrolle: t s = t − t f = 2 s − t f ≈ 0,054598247 s
m
⋅ t s ≈ 18,56 m
s
Der Brunnen ist also 18,56 m tief.
Würde man die Zeit, die der Schall für den Weg nach oben benötigt,
nicht berücksichtigen, dann wäre der Brunnen
9,81 m
h=
⋅ 4 s2 = 19,62 m tief (Abweichung etwa 5,7 % )
2
2 s
⇒ mit ( 2 ) : h = v ⋅ t s = 340
A5
Ausführliche Lösung
km 20 000 m 20 m
=
=
v = 20
h
3 600 s
3,6 s
g = 9,81
v = 2 ⋅ g ⋅ h ⇔ v2 = 2 ⋅ g ⋅ h ⇔ h =
m
s2
v2
20 m
mit v =
gilt:
2⋅g
3,6 s
2
⎛ 20 m ⎞
m2
2
2
⎜ 3,6 s ⎟
⎠ ≈ 1,573 ⋅ s2 = 1,573 ⋅ m ⋅ s = 1,573 m
h= ⎝
m
m
s2 ⋅ m
2 ⋅ 9,81 2
s
s2
Um die Geschwindigkeit 20 km/h zu erreichen, müsste der Fallschirmspringer
aus einer Höhe von etwa 1,573 m herunterspringen.
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A6
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Ausführliche Lösungen
a)
2⋅h
m
t=
mit h = 55 m und g = 9,81 2 wird:
g
s
2 ⋅ 55 m
110 2
=
⋅ s ≈ 3,349 s
m
9,81
9,81 2
s
Bis zum Boden braucht der Stein etwa 3,349 s.
b)
g
m
h = ⋅ t 2 und g = 9,81 2 mit t = 2,5 s wird:
2
s
m
9,81 2
s ⋅ ( 2,5 s )2 = 9,81⋅ 6,25 ⋅ m ≈ 30,656 m
h=
2
2
Der Stein wurde aus einer Höhe von etwa 30, 656 m fallen gelassen.
t=
A7
Ausführliche Lösung
h = 20 m
v = 2⋅g⋅h
g = 9,81
m
mit h = 20 m wird:
s2
m
m2
m
v = 2 ⋅ g = 9,81 2 ⋅ 20 m = 2 ⋅ 20 ⋅ 9,81 2 ≈ 19,809
s
s
s
m
km
km
1 = 3,6
⇒ v ≈ 71,31
s
h
h
Das Auto müsste mit einer Geschwindigkeit von etwa 71,31 km/h gegen eine
Wand fahren.
A8
Ausführliche Lösung
Wird der Luftwiderstand nicht berücksichtigt, kommen beide Kugeln gleichzeitig
unten an, da alle Körper gleich schnell fallen.
Ansonsten wäre die kleine Kugel eher unten, weil sie der Luft weniger
Widerstand bietet.
A9
Ausführliche Lösungen
a) Der Abstand verändert sich nicht, da zu jedem Zeitpunkt die
Geschwindigkeit beider Äpfel gleich ist.
b) Der obere überholt den unteren, da er bei Erreichen des Apfels schon eine
Geschwindigkeit hat, die sich weiterhin erhöht.
A10 Ausführliche Lösung
Auf dem Mond gibt es keine Atmosphäre, so dass der Staub sofort herunterfällt.
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