Ergänzungen zu Kapitel II.3 - Mathematik@TU

Ergänzungen zu Kapitel II.3
Helge Glöckner, 13. Mai 2004
Dieses Kurzskript beinhaltet die am 13. Mai 2004 vorgetragenen Ergänzungen zum Skript.
1.1 Definition. Es sei K ein Körper, V ein Vektorraum über K und M ∈ End(V ).
(a) M heißt nilpotent, wenn M n = 0 für ein n ∈ N.
(b) M heißt halbeinfach, wenn V ein halbeinfacher Modul der Liealgebra KM ⊆ gl(V ) ist,
wenn es also zu jedem M -invarianten Untervektorraum von V einen komplementären,
M -invarianten Untervektorraum von V gibt.
Eine Matrix M ∈ M (n, K) nennen wir nilpotent (bzw. halbeinfach), wenn der zugehörige
Endomorphismus von Kn (bzgl. der Standardbasis) nilpotent (bzw. halbeinfach) ist.
1.2 Definition (Dualraum). Ist V ein Vektorraum über K, so ist die Menge V ∗ :=
Hom(V, K) aller linearen Abbildungen (“linearen Funktionale”) α : V → K ein Vektorraum,
genannt der Dualraum von V .
1.3 Bemerkung. Ist dim(V ) = n ∈ N, so ist auch V ∗ ∼
= Kn von der Dimension n.
Gegeben eine Basis x1 , . . . , xn von V ist nämlich
V ∗ → Kn ,
α 7→ (α(x1 ), . . . , α(xn ))
ein Isomorphismus von Vektorräumen (nachprüfen !)
Um die Notation suggestiver zu machen, werde ich Vektoren im folgenden auch von rechts
mit Skalaren multiplizieren via vr := rv.
1.4 Lemma (Basen für End(V )). Es sei x1 , . . . , xn eine Basis des K-Vektorraums V
und α1 , . . . , αn eine Basis für V ∗ . Dann bilden die Endomorphismen1 xj αk ∈ End(V ),
xj αk : V → V,
v 7→ xj αk (v) = αk (v)xj
für j, k ∈ {1, . . . , n} eine Basis von End(V ).
Beweis. Da End(V ) die Dimension n2 hat, brauchen wir nur zu zeigen, dass die n2
genannten Endomorphismen ganz End(V ) aufspannen. Sei dazu M ∈ End(V ). Gegeben
v ∈ V ist dann
M v = β1 (v)x1 + · · · βn (v)xn
mit eindeutig festgelegten Skalaren β1 (v), . . . , βn (v) ∈ K, da x1 , . . . , xn eine Basis für V
ist. Aus der Eindeutigkeit von βj (v) folgt, dass βj (v) linear von v abhängt. Wir haben
1
In der Vorlesung hatte ich die Notation αk xj benutzt, die Formeln sahen daher etwas anders aus.
1
also lineare Funktionale β1 , . . . , βn : V → K definiert. Da α1 , . . . , αn eine Basis für V ∗ ist,
finden wir für jedes j Skalare aj,k ∈ K (k ∈ {1, . . . , n}) mit
βj =
n
X
aj,k αk .
k=1
Somit ist M =
gewünscht.
Pn
j=1
xj βj =
Pn
j,k=1
aj,k xj αk eine Linearkombination der xj αk ’s, wie
2
1.5 Definition/Lemma (Duale Basis). Sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum
und x1 , . . . , xn eine Basis für V . Zu gegebenem k ∈ {1, . . . , n} gibt es nach Bemerkung 1.3
ein eindeutig bestimmtes lineares Funktional x∗k ∈ V ∗ , welches auf den Basisvektoren
x1 , . . . , xn die folgenden Werte annimmt:
x∗k (xj ) = δj,k
für alle j ∈ {1, . . . , n} .
Die so definierten linearen Funktionale x∗1 , . . . , x∗n bilden eine Basis von V ∗ , genannt die
duale Basis zu x1 , . . . , xn .
Beweis. Da dim(V ∗ ) = n, brauchen wir nur zu zeigen, dass die nP
linearen Funktionale
n
∗
∗
xj linear unabhängig sind. Dazu seien a1 , . . . , an ∈ K mit 0 =
j=1 aj xj . Gegeben
k ∈ {1, . . . , n} liefert Auswerten an der Stelle xk :
n
X
0=
aj x∗j (xk ) = ak .
| {z }
j=1
δj,k
2
Also ist a1 = · · · = an = 0.
Satz II.3.5. Es sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum und M ∈ gl(V ). Ist M
nilpotent (bzw. diagonalisierbar), so auch adM .
Alternativer Beweis. Für den nilpotenten Fall verweise ich auf das Skript. Ist M
diagonalisierbar, so finden wir eine Basis x1 , . . . , xn aus Eigenvektoren von M , zu den
Eigenwerten λ1 , . . . , λn etwa. Es sei x∗1 , . . . , x∗n die duale Basis. Nach Lemma 1.4 bilden
dann die Endomorphismen
xj x∗k für j, k ∈ {1, . . . , n}
eine Basis für End(V ). Wir zeigen nun, dass diese Basisvektoren Eigenvektoren für adM
sind. Es ist
x∗k (M xj ) = x∗k (λj xj ) = λj x∗k (xj ) = λj δj,k = λk δj,k = (λk x∗k )(xj )
für alle j ∈ {1, . . . , n}. Da x1 , . . . , xn eine Basis für V ist, folgt x∗k ◦ M = λk x∗k . Daher gilt2
(adM )(xj x∗k ) = [M, xj x∗k ] = M (xj ) x∗k − xj (x∗k ◦ M ) = λj xj x∗k − λk xj x∗k
= (λj − λk ) xj x∗k .
2
Wenn Dir die folgende Rechnung zu knapp ist, wende die Endomorphismen auf Elemente v ∈ V an
und vollziehe so die einzelnen Schritte nach.
2
Es ist also ad(M )(xj x∗k ) = (λj −λk )·xj x∗k , d.h. xj x∗k ist Eigenvektor von adM zum Eigenwert
λj − λ k .
2
Der folgenden Satz wird im weiteren Verlauf der Vorlesung zwar nicht direkt benutzt, er
ermöglicht es uns jedoch, eine wichtige Vorgehensweise der Algebra kennen zu lernen.
1.6 Satz (Jordan-Zerlegung im Reellen). Es sei V ein endlich-dimensionaler reeller
Vektorraum und M ∈ End(V ). Dann existiert ein halbeinfacher Endomorphismus Ms ∈
End(V ) und ein nilpotenter Endomorphismus Mn ∈ End(V ) derart, dass
M = Ms + Mn
und
[Ms , Mn ] = 0 .
Durch diese Eigenschaften sind Ms und Mn eindeutig bestimmt.
Beweis. Nach Wahl einer Basis dürfen wir mit Matrizen arbeiten. Es sei also M ∈
M (n, R). Dann ist auch M ∈ M (n, C); nach Theorem II.3.3 gibt es eindeutig festgelegte
Matrizen Ms , Mn ∈ M (n, C) derart, dass Ms halbeinfach ist, Mn nilpotent, M = Ms + Mn
und [Ms , Mn ] = 0. Gegeben A = (aj,k ) ∈ M (n, C) sei σ(A) := A = (aj,k ) ∈ M (n, C) die
Matrix mit den komplex konjugierten Einträgen; man rechnet sofort nach, dass σ(A+B) =
σ(A) + σ(B), σ(AB) = σ(A)σ(B) und σ(rA) = rσ(A) für alle r ∈ R und A, B ∈ M (n, C).
Also ist σ eine Automorphismus der reellen assoziativen Algebra M (n, C) (es ist σ 2 = id,
somit σ −1 = σ). Gegeben A ∈ M (n, C) gilt offensichtlich A ∈ M (n, R) genau dann, wenn
σ(A) = A. Also ist
M = σ(M ) = σ(Ms ) + σ(Mn )
mit [σ(Ms ), σ(Mn )] = σ([Ms , Mn ]) = 0. Ist Mnk = 0, so ist auch σ(Mn )k = σ(Mnk ) = 0;
also ist σ(Mn ) nilpotent. Weiter ist σ(Ms ) diagonalisierbar und somit halbeinfach, denn
ist v1 , . . . , vn eine Basis von Eigenvektoren für Ms zu den Eigenwerten λ1 , . . . , λn , so bilden
wegen
σ(Ms ) vj = Ms vj = λj vj = λj vj
die komplex konjugierten Vektoren v1 , . . . , vn ∈ Cn eine Basis von Eigenvektoren für σ(Ms ).
Aus der Eindeutigkeit der komplexen Jordan-Zerlegung schließen wir nun Ms = σ(Ms ) und
Mn = σ(Mn ), es sind also Ms , Mn ∈ M (n, R). Die reelle Matrix Mn ist nilpotent. Was Ms
angeht, müssen wir aufpassen: Per Konstruktion ist der zu Ms gehörige Endomorphismus
von Cn halbeinfach. Ob auch der zugehörige Endomorphismus von Rn halbeinfach ist (und
somit Ms eine reelle halbeinfache Matrix ist), ist a priori nicht klar. Dies ist eine Subtilität,
die man leicht versehentlich übersieht. Glücklicherweise lässt sich zeigen, dass eine reelle
Matrix A halbeinfach als reelle Matrix genau dann ist, wenn sie es als komplexe Matrix
ist (siehe Bemerkung 1.18 (a)). Also ist M = Ms + Mn tatächlich eine Zerlegung der im
Satz gesuchten Art. Aus der Eindeutigkeit der komplexen Jordan-Zerlegung folgt die der
reellen.
2
Wir haben hier die folgende Beweisstrategie verfolgt: Zunächst sind wir vom Reellen zum
Komplexen “aufgestiegen,” wir haben “komplexifiziert.” Im Komplexen haben wir das
Problem gelöst und sind anschließend mithilfe der komplexen Konjugation wieder von C
3
nach R abgestiegen. Beachte, dass die komplexe Konjugation der einzige nicht-triviale Automorphismus der Körpererweiterung C / R ist3 (d.h. ein Körperautomorphismus 6= idC ,
welcher R punktweise festhält). In der Sprache der Galois-Theorie ist also Gal(C / R) =
{id, .̄ }, und hochgestochen ausgedrückt sind wir mittels “Galois-Abstieg” wieder vom
Komplexen zum Reellen abgestiegen. Im folgenden soll zum einen der fehlende Beweisteil
nachgetragen werden. Zum anderen möchte ich die eben umrissene Vorgehensweise, die
auch in vielen anderen Bereichen der Algebra sehr wichtig ist, konkreter auf den Punkt
bringen und an weiteren Beispielen erläutern.
Komplexifizierung und Galois-Abstieg
1.7 (Komplexifizierung reeller Vektorräume). Gegeben einen reellen Vektorraum V
wird die direkte Summe reeller Vektoräume VC := V ⊕ V zu einem komplexen Vektorraum
(nachprüfen !), indem wir Skalarmultiplikation mit komplexen Zahlen definieren durch
(r + is) · (v, w) := (rv − sw, rw + sv)
für r, s ∈ R, v, w ∈ V .
Es ist also z.B. RC = C und (Rn )C = Cn . Die Abbildung γ : V → VC , γ(v) := (v, 0) ist
reell-linear und injektiv, mit Bild V × {0}. Weiter ist i · (V × {0}) = {0} × V . Identifizieren
wir v ∈ V mit γ(v) = (v, 0) ∈ V × {0} und V mit V × {0}, so ist also VC = V ⊕ iV als
reeller Vektorraum.
1.8 (Eigenschaften). (a) Ist B eine Basis des reellen Vektorraums V , so ist offensichtlich
B (genauer: γ(B)) eine Basis des komplexen Vektorraums VC .
(b) Ist f : V → W eine reell-lineare Abbildung in einen komplexen Vektorraum W , so
können wir diese zu einer komplex-linearen Abbildung fe: VC → W fortsetzen via
fe(v + iw) := f (v) + if (w)
für alle v, w ∈ V ,
und offensichtlich ist fe die einzige komplex lineare Abbildung mit fe|V = f (unter Benutzung unserer Identifizierung), oder genauer: mit
fe ◦ γ = f .
(1)
(c) Sind V und W reelle Vektorräume und ist f : V → W reell-linear, so ist g := γW ◦ f :
V → WC ein reell-lineare Abbildung in einen komplexen Vektorraum. Es gibt daher eine
eindeutige komplex-lineare Fortsetzung ge : VC → WC von g (d.h. ge ◦ γV = g). Dann ist also
fC := ge : VC → WC : v + iw 7→ f (v) + if (w)
eine (und die einzige) komplex-lineare Abbildung mit fC ◦ γV = γW ◦ f .
(d) Ist insbesondere V = W in (c) mit V endlich-dimensional und M ∈ End(V ), so erhalten wir einen Endomorphismus MC ∈ End(VC ). Ist B = (b1 , . . . , bn ) eine (angeordnete)
3
Wer die Galoistheorie noch nicht kennt, kann die folgenden Zeilen einfach ignorieren.
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Basis für V , so auch für VC (s.o.), und da MC (bj ) = M (bj ), hat MC bzgl. B die gleiche
Matrix wie M . Wenn wir eine reellwertige Matrix als komplexwertige Matrix auffassen
(wie im Beweis von Satz 1.6), so heißt dies also für die zugeordneten Endomorphismen,
dass wir statt eines Endomorphismus M von Rn dessen Komplexifizierung MC betrachten.
1.9 (Kleine Verallgemeinerung). Gegeben einen reellen Vektorraum V trifft man häufig
die folgende Situation an: W ist ein komplexer Vektorraum derart, dass W = V0 ⊕ iV0
(intern, als reeller Vektorraum) für einen reellen Untervektorraum V0 ⊆ W mit V0 ∼
= V.
Dann gibt es also eine injektive reell-lineare Abbildung γ : V → W mit Bild V0 . Man nennt
auch in dieser etwas allgemeineren Situation W , zusammen mit der Abbildung γ, eine
Komplexifizierung von V (und schreibt W = VC ). Im Unterschied zum vorigen Spezialfall
ist es nun wichtig, γ explizit mit anzugeben (sonst wäre nicht klar, mit welchen Elementen
von W wir Elemente v ∈ V identifizieren wollen).
1.10 (Komplexifizierung reeller Liealgebren). Ist g eine reelle Liealgebra, so können
wir die Komplexifizierung gC = g ⊕ ig des zugrundeliegenden reellen Vektorraums via
[x + iy, u + iv] := [x, u] − [y, v] + i[x, v] + i[y, u]
für x, y, u, v ∈ g
(2)
zu einer komplexen Liealgebra gC machen (Axiome nachrechnen !) Wie zuvor identifizieren
wir g mit g×{0} ⊆ gC . Da die Lieklammer von gC auf g mit der gegebenen übereinstimmt,
ist g eine reelle Unter-Liealgebra von gC . Bzgl. einer Basis von g haben dann übrigens g
und gC die gleichen Strukturkonstanten.
1.11 Beispiel. Es ist gl(n, C) eine Komplexifizierung der reellen Liealgebra gl(n, R),
zusammen mit der Inklusion γ : gl(n, R) ,→ gl(n, C).
1.12 (Reelle Formen). Ist g eine reelle Liealgebra und h eine komplexe Liealgebra mit
h∼
= gC , so nennen wir g eine reelle Form von h. Nach dem Vorigen ist z.B. gl(n, R) eine
reelle Form von gl(n, C).
1.13 Lemma. Für das Zentrum der Komplexifizierung gC einer reellen Liealgebra g gilt
z(gC ) = z(g) ⊕ iz(g) = z(g)C . Insbesondere ist z(gC ) = {0}, falls z(g) = {0}.
Beweis. z(gC ) ⊆ z(g)C : Istv+iw ∈ z(gC ) mit v, w ∈ g, so gilt 0 = [x, v+iw] = [x, v]+i[x, w]
für alle x ∈ g und somit [x, v] = 0 und [x, w] = 0. Somit v, w ∈ z(g).
z(g)C ⊆ z(gC ): Sind v, w ∈ z(g), so ist [v + iw, x + iy] = [v, x] − [w, y] + i[v, y] + i[w, x] = 0
für alle x, y ∈ g, somit v + iw ∈ z(gC ).
2
1.14 (Komplexifizierung von Moduln). Ist g eine reelle Liealgebra und V ein gModul, mit zugehöriger Darstellung ρV : g → gl(V ), so wird der komplexe Vektorraum VC
ein gC -Modul via
gC × VC → VC , (x + iy).(v + iw) := x.v − y.w + ix.w + iy.v für x, y ∈ g, v, w ∈ V (3)
5
(Nachrechnen !). Gegeben x ∈ g ist also x.(v + iw) = x.v + ix.w = ρV (x)(v) + iρV (x)(w) =
ρV (x)C (x + iy) für alle v, w ∈ V und somit
ρVC (x) = ρV (x)C
für x ∈ g.
(4)
1.15 (Komplexe Konjugation). Wie auf C können wir auch auf der Komplexifizierung
VC eines reellen Vektorraums eine “komplexe Konjugation” einführen: Wir setzen v + iw :=
v − iw für v, w ∈ V . Dann ist
σ : VC → VC ,
σ(v + iw) := v + iw = v − iw
offensichtlich eine reell lineare Selbstabbildung von VC derart, dass σ ◦ σ = idVC und
σ(ix) = iσ(x) für alle x ∈ VC . Für x = v + iw gilt x ∈ V genau dann, wenn σ(x) = x.
1.16 Lemma (Galois-Abstieg). Ist W ⊆ VC ein unter komplexer Konjugation invarianter, komplexer Untervektorraum von VC (d.h. es ist σ(W ) ⊆ W ), so gilt
W = (W ∩ V ) ⊕ i (W ∩ V ) = (W ∩ V )C
(wobei eine interne direkte Summe reeller Untervektorräume gemeint ist).
Beweis. Es ist U := W ∩ V ein reeller Untervektorraum von VC mit U ∩ iU = {0} (da
V ∩iV = {0}). Die Summe U +iU ist also direkt. Um zu sehen, dass U ⊕iU = U +iU = W ,
sei w ∈ W . Dann ist w = w1 + iw2 mit w1 := 21 (w + w) und w2 := 2i1 (w − w). Da W ⊆ W
per Voraussetzung, sind w1 , w2 ∈ W . Wegen w1 = w1 und w2 = w2 folgt w1 , w2 ∈ W ∩ V .
2
Jetzt kommt ein toller Satz.
1.17 Satz. Es sei g eine reelle Liealgebra und V ein g-Modul. Dann gilt:
(a) V ist halbeinfach genau dann, wenn der gC -Modul VC halbeinfach ist.
(b) Ist VC einfach, so auch V . Ist V einfach, so ist entweder VC einfach oder es gibt
einen einfachen Untermodul W ⊆ VC derart, dass
V =W ⊕W ,
wobei auch W := σ(W ) ein einfacher gC -Untermodul von VC ist.
1.18 Bemerkung. Vor dem Beweis zunächst einige Anwendungen und Anmerkungen.
(a) Gegeben M ∈ End(Rn ) ist nach Satz 1.17 Rn genau dann ein halbeinfacher RM Modul, wenn (Rn )C = Cn ein halbeinfacher (RM )C -Modul ist. Die Wirkung von M auf Cn
ist nach (4) hierbei gegeben durch M.v = MC (v). Realisieren wir die Komplexifizierung
also als (RM )C = CMC mit γ(rM ) := rMC , so haben wir auf Cn die natürliche CMC Modulstruktur, zMC .v := zMC (v).
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Es ist also Rn ein halbeinfacher RM -Modul genau dann, wenn Cn ein halbeinfacher CMC Modul ist. Da M und MC bzgl. der Standardbasis durch die gleiche Matrix A ∈ M (n, R)
repräsentiert werden (siehe 1.8 (d)), schließen wir: Eine Matrix A ∈ M (n, R) ist genau
dann als reelle Matrix halbeinfach, wenn sie als komplexe Matrix halbeinfach ist.
(b) Betrachten wir eine reelle Liealgebra g als g-Modul mittels der adjungierten Darstellung ad : g → gl(g), so zeigen die Gleichungen (2) und (3), dass die zum komplexifizierten
Modul gC gehörige Darstellung der Liealgebra gC genau deren adjungierte Darstellung ist.
Mit Satz 1.17 folgt: Eine reelle Liealgebra g ist reduktiv genau dann, wenn ihre Komplexifizierung gC reduktiv ist.
(c) Eine Liealgebra ist genau dann halbeinfach, wenn sie reduktiv ist und triviales Zentrum hat (Lemma II.2.2, Satz II.2.3 (iii)). Mit dem vorigen Teil (b) und Lemma 1.13 folgern
wir also: Eine reelle Liealgebra g ist genau dann halbeinfach, wenn ihre Komplexifizierung
gC halbeinfach ist.
(d) Beide der in Satz 1.17 geschilderten Fälle können auftreten. Erstes Beispiel: R
mit x.y := 0 ein einfacher R-Modul, dessen Komplexifizierung RC = C ein einfacher
2
RC = C-Modul
ist. Zweites Beispiel: R ist ein einfacher RM -Modul für die Matrix
0 1
M := −1
(die keine reellen Eigenwerte hat). Als komplexe Matrix betrachtet ist M
0
jedoch diagonalisierbar und somit der komplexifizierte Modul (R2 )C = C2 kein einfacher
(RM )C -Modul.
Beweis von Satz 1.17. Ist VC halbeinfach und W ⊆ V ein g-Untermodul, so ist WC :=
W ⊕ iW ⊆ VC ein gC -Untermodul von VC (klar ? Sonst nachrechnen !). Da VC halbeinfach
ist, finden wir einen gC -Untermodul Y ⊆ V mit WC ⊕ Y = VC . Dann ist Z := V ∩ Y ein
g-Untermodul von V mit W ⊕ Z = V (vgl. Beweis von La. II.1.3). Also ist V halbeinfach.
L
Nun sei V halbeinfach. Dann istL
V = j∈J Vj (intern) für eine Familie (Vj )j∈J einfacher
g-Untermoduln und somit VC = j∈J (Vj ⊕ iVj ) intern, wobei Vj + iVj = Vj ⊕ iVj = (Vj )C
ein gC -Untermodul von VC ist und eine Komplexifizierung von Vj . Wenn wir zeigen können,
dass jeder der g-Moduln (Vj )C halbeinfach
ist, so ist jedes Vj eine direkte Summe einfacher
L
gC -Moduln und somit auch VC =
j∈J (Vj )C , weswegen VC halbeinfach ist. Es genügt
daher, im folgenden V als einfachen g-Modul anzunehmen.
Sei nun V einfach und W ⊆ VC ein gC -Untermodul mit W 6= {0}. Dann ist auch W :=
σ(W ) ein gC -Untermodul (nachprüfen !), und somit auch W ∩ W . Da W ∩ W offensichtlich
unter komplexer Konjugation invariant ist, gilt W ∩W = U ⊕iU = UC mit U := W ∩W ∩V ,
nach Lemma 1.16 (Galois-Abstieg). Als Durchschnitt von g-Untermoduln von VC ist U ein
g-Untermodul von VC und somit von V . Da V einfach ist, ist folglich entweder U = V
(dann ist W ∩ W = VC und somit W = VC ), oder es ist U = {0}, somit W ∩ W =
{0} und somit die Summe W + W direkt. Dann ist W ⊕ W = VC . Begründung: Da
Y := W + W konjugationsinvariant ist, gilt Y = (Y ∩ V ) ⊕ i(Y ∩ V ). Da Y 6= {0}, ist
also Y ∩ V ein von {0} veschiedener g-Untermodul von V und somit Y ∩ V = V . Somit
7
Y = (Y ∩ V ) ⊕ i(Y ∩ V ) = VC . Es ist also VC = W ⊕ W (intern). Wäre W nicht einfach,4
so fänden wir einen Untermodul {0} ⊂ Z ⊂ W . Dann ist Z ∩ Z ⊆ W ∩ W = {0}, somit
auch Z ⊕ Z = VC nach dem Vorigen. Jedoch ist wegen Z ⊂ W auch Z ⊕ Z ⊂ W ⊕ W = VC ,
Widerspruch. Wir haben gezeigt: Ist VC nicht einfach, gibt es also einen Untermodul W
mit {0} ⊂ W ⊂ V , so sind W und W einfach und VC ist die direkte Summe dieser zwei
einfachen Summanden. Also ist VC stets halbeinfach, und auch die letzte Aussage des
Satzes ist bewiesen.
2
4
Falls W nicht einfach ist, verfährt man analog.
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